大题专练六（立体几何）-2021届高三高考数学（艺术班）二轮复习

大题专练六（立体几何）
一、知识梳理
1．直线与平面平行的判定定理和性质定理
文字语言
图形语言
符号语言
判定
定理
平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行(简记为“线线平行?线面平行”)
因为l∥a，
a?α，l?α，
所以l∥α
性质
定理
一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行(简记为“线面平行?线线平行”)
因为l∥α，
l?β，
α∩β＝b，
所以l∥b
2.平面与平面平行的判定定理和性质定理
文字语言
图形语言
符号语言
判定
定理
一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行(简记为“线面平行?面面平行”)
因为a∥β，
b∥β，a∩b＝P，
a?α，b?α，
所以α∥β
性质
定理
如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行
因为α∥β，
α∩γ＝a，
β∩γ＝b，
所以a∥b
3.直线与平面垂直的判定定理与性质定理
文字语言
图形语言
符号语言
判定
定理
一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直
?l⊥α
性质
定理
垂直于同一个平面的两条直线平行
?a∥b
4.平面与平面垂直的判定定理与性质定理
文字语言
图形语言
符号语言
判定
定理
一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直
?α⊥β
性质
定理
两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直
?l⊥α
5．直线的方向向量与平面的法向量的确定
(1)直线的方向向量：l是空间一直线，A，B是直线l上任意两点，则称为直线l的方向向量，与平行的任意非零向量也是直线l的方向向量，显然一条直线的方向向量可以有无数个．
(2)平面的法向量
①定义：与平面垂直的向量，称做平面的法向量．一个平面的法向量有无数多个，任意两个都是共线向量．
②确定：设a，b是平面α内两不共线向量，n为平面α的法向量，则求法向量的方程组为
6．空间位置关系的向量表示
位置关系
向量表示
直线l1，l2的方向向量分别为n1，n2
l1∥l2
n1∥n2?n1＝λn2
l1⊥l2
n1⊥n2?n1·n2＝0
直线l的方向向量为n，平面α的法向量为m
l∥α
n⊥m?n·m＝0
l⊥α
n∥m?n＝λm
平面α，β的法向量分别为n，m
α∥β
n∥m?n＝λm
α⊥β
n⊥m?n·m＝0
7．两条异面直线所成角的求法
设a，b分别是两异面直线l1，l2的方向向量，则
l1与l2所成的角θ
a与b的夹角β
范围
[0，π]
求法
cos
θ＝
cos
β＝
直线与平面所成角的求法
设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为θ，a与n的夹角为β，则sin
θ＝|cos
β|＝．
求二面角的大小
(1)如图①，AB，CD分别是二面角α－l－β的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小θ＝〈，〉．
(2)如图②③，n1，n2分别是二面角α－l－β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足|cos
θ|＝|cos〈n1，n2〉|，二面角的平面角大小是向量n1与n2的夹角(或其补角)．
8利用空间向量求距离
(1)两点间的距离
设点A(x1，y1，z1)，点B(x2，y2，z2)，则|AB|＝||＝.
(2)点到平面的距离
如图所示，已知AB为平面α的一条斜线段，n为平面α的法向量，则B到平面α的距离为||＝.
1.如图，已知长方体ABCD?A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝3，E为线段AB上一点，且AE＝AB，求DC1与平面D1EC所成的角的正弦值
2.如图所示，平面PAD⊥平面ABCD，ABCD为正方形，△PAD是直角三角形，且PA＝AD＝2，E，F，G分别是线段PA，PD，CD的中点．求证：
(1)PB∥平面EFG；
(2)平面EFG∥平面PBC.
　
参考答案
1.如图，以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则C1(0，3，1)，D1(0，0，1)，E(1，1，0)，C(0，3，0)，所以＝(0，3，1)，＝(1，1，－1)，＝(0，3，－1)．
设平面D1EC的法向量为n＝(x，y，z)，
则即即取y＝1，得n＝(2，1，3)．
因为cos〈，n〉＝＝＝，所以DC1与平面D1EC所成的角的正弦值为
2.　(1)因为平面PAD⊥平面ABCD，且ABCD为正方形，所以AB，AP，AD两两垂直．
以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)，E(0，0，1)，F(0，1，1)，G(1，2，0)．　
法一：＝(0，1，0)，＝(1，2，－1)，　
设平面EFG的法向量为n＝(x，y，z)，
则即
令z＝1，则n＝(1，0，1)为平面EFG的一个法向量，
因为＝(2，0，－2)，
所以·n＝0，所以n⊥，
因为PB?平面EFG，所以PB∥平面EFG.
法二：＝(2，0，－2)，＝(0，－1，0)，＝(1，1，－1)．设＝s＋t，
即(2，0，－2)＝s(0，－1，0)＋t(1，1，－1)，
所以解得s＝t＝2.所以＝2＋2，
又因为与不共线，
所以，与共面．
因为PB?平面EFG，所以PB∥平面EFG.
(2)因为＝(0，1，0)，＝(0，2，0)，
所以＝2，
所以BC∥EF.
又因为EF?平面PBC，BC?平面PBC，
所以EF∥平面PBC，
同理可证GF∥PC，
从而得出GF∥平面PBC.
又EF∩GF＝F，EF?平面EFG，GF?平面EFG，
所以平面EFG∥平面PBC.