2012届全国各省市高三上期数学联考试题重组专题（9部分打包）教师版

2012届全国各省市高三上期数学联考试题重组专题
题型四 函数与导数（文）
【备 考 要 点】
在解答题中通常考查函数与导数、不等式的综合运用。其主要表现在: 1.通过选择题和填空题,全面考查函数的基本概念,性质和图象。2.在解答题的考查中,与函数有关的试题常常是以综合题的形式出现。3.从数学具有高度抽象性的特点出发,没有忽视对抽象函数的考查。4.一些省市对函数应用题的考查是与导数的应用结合起来考查的。 5.涌现了一些函数新题型。6.函数与方程的思想的作用不仅涉及与函数有关的试题,而且对于数列,不等式,解析几何等也需要用函数与方程思想作指导。7.多项式求导(结合不等式求参数取值范围),和求斜率(切线方程结合函数求最值)问题。8.求极值, 函数单调性,应用题,与三角函数或向量结合，预计2012年基本上还是这个考查趋势，具体为：(1)以选择题或者填空题的形式考查集合的基本关系和基本运算，考查中涉及函数的定义域、不等式的解、方程的解等问题，要特别注意一些新定义试题． (2)以选择题或者填空题的方式考查逻辑用语的知识，其中重点是充要条件的判断和含有一个量词的命题的否定． (3)以选择题或者填空题的方式考查基本初等函数及其应用，重点是函数定义域、值域，函数的单调性和奇偶性的应用，指数函数、对数函数、幂函数的图象和性质的应用，函数的零点判断，简单的函数建模，导数的几何意义的应用，定积分的计算及其简单应用．(4)以解答题的方式考查导数在函数问题中的综合应用，重点是使用导数的方法研究函数的单调性和极值以及能够转化为研究函数的单调性、极值、最值问题的不等式和方程等问题，考查函数建模和利用导数解模
【2011高考题型】
函数与导数是高考数学的重点内容之一,函数的观点和思想方法贯穿整个高中数学的全过程,在近几年的高考中, 函数类试题在试题中所占分值一般为22---35分.一般为2个选择题或2个填空题,1个解答题 ,而且常考常新。在选择题和填空题中通常考查反函数、函数的定义域、值域、函数的单调性、奇偶性、周期性、函数的图象、导数的概念、导数的应用以及从函数的性质研究抽象函数。从近几年高考来看，本讲高考命题有以下特点：1．从内容上看，考查导数有三个层次：
(1)导数的概念、求导公式与法则、导数的几何意义；(2)导数的简单应用，包括求函数极值、求函数的单调区间、证明函数的单调性等；(3)导数的综合考查，包括导数的应用题以及导数与函数、不等式等的综合题．
2．从特点上看，高考对导数的考查有时单独考查，有时在知识交汇处考查，常常将导数与函数、不等式、方程、数列、解析几何等结合在一起考查．
3．从形式上看，考查导数的试题有选择题、填空题、解答题，有时三种题型会同时出现．
【2012 命题方向】
对任意
可知………（12分）
因为，所以，所以因此在R上递减．…（14分）
【试题出处】上海市宝山区2012届高三上学期期末质量监测数学试题
【原题】已知函数，（为正常数），且函数与的图像在轴上的截距相等．（1）求的值；（2）若（为常数），试讨论函数的奇偶性．
【解析】（1）由题意，，即，又，故．（4分）
（2），其定义域为，（8分）
．若为偶函数，即，则有，此时，
，故，即不为奇函数；若为奇函数，即，则，
此时，，故，即不为偶函数；综上，当且仅当时，函数为
偶函数，且不为奇函数，（10分）当且仅当时，函数为奇函数，且不为偶函数，（12分）
当时，函数既非奇函数又非偶函数．（14分）
【试题出处】上海市卢湾区2012届高三上学期期末质量监测数学（文）试题
【原题】已知函数.（1）画出函数在闭区间上的大致图像；（2）解关于的不等式；（3）当时，证明：对恒成立.
【解析】（1）坐标系正确1分；大致图像3分.评分关键点：与轴的两个交点 ，两个最高点，与轴的交点，对称性.
（2）原不等式等价转化为下列不等式组：或者解得不等式的解为或或或.……4分
（或者由，解得或）
所以原不等式的解为：.……6分
（3）证法1：原不等式等价转化为下列不等式组：
（Ⅰ）或者（Ⅱ） 2分
（Ⅰ）不等式2中，判别式，因为，所以，，即；所以当时，恒成立. ……5分
（Ⅱ）在不等式4中，判别式，因为，所以，，又，
所以，.
（或者）
所以当时，恒成立.
综上讨论，得到：当时，对恒成立.…8分
证法2：设（），（）
（）（）……2分
以下讨论关于的最值函数的最值与0关系（略）。………………………8分
【试题出处】上海市静安区2012届高三上学期期末教学质量检测数学（文）试题
【原题】设函数是定义域为的奇函数．（1）求值；（2）当时，试判断函数单调性并求使不等式的解集；（3）若，且，在上的最小值为，求的值.
【解析】(1)∵f(x)是定义域为R的奇函数，∴f(0)＝0， 2分∴1-（k－1）＝0，∴k＝2，… 4分
（2）（文），单调递减，单调递增，故f(x)在R上单调递减。…… 6分原不等式化为：f(x2＋2x)>f(4－x)∴x2＋2x<4－x，即x2＋3x－4<0 … 8分
∴，∴不等式的解集为{x|}．…10分
(3)∵f(1)＝，，即…12分
∴g(x)＝22x＋2－2x－2m(2x－2－x)＝(2x－2－x)2－2m(2x－2－x)＋2.令t＝f(x)＝2x－2－x，由(1)可知
f(x)＝2x－2－x为增函数∵x≥1，∴t≥f(1)＝，令h(t)＝t2－2mt＋2＝(t－m)2＋2－m2 (t≥)…15分
若m≥，当t＝m时，h(t)min＝2－m2＝－2，∴m＝2…… 16分
若m<，当t＝时，h(t)min＝－3m＝－2，解得m＝>，舍去……17分综上可知m＝2.…18分
【试题出处】上海市长宁区2012届高三第一学期期末质量抽测（数学文）
【原题】(本小题满分16分) 对于函数,若存在实数对(),使得等式对定义域中的每一个都成立,则称函数是“()型函数”.(1)判断函数是否为“()型函数”，并说明理由；(2)已知函数是“(1,4)型函数”, 当时,都有成立,且当时,,若,试求的取值范围.
当,即时,的值域为,即,所以则在 上的值域为,则由题意得且
解得…13分当,即时,的值域为,
即,则在上的值域为
=,则,解得.
综上所述,所求的取值范围是16分
【试题出处】南京市、盐城市2012届高三年级第一次模拟考试数学试题
【原题】函数，
定义的第阶阶梯函数，其中 ，的各阶梯函数图像的最高点，（1）直接写出不等式的解；（2）求证：所有的点在某条直线上．
【解析】（1） ----4分
（2）∵， ----6分
∴的第阶阶梯函数图像的最高点为，------7分第阶阶梯函数图像的最高点为 所以过这两点的直线的斜率为---8分 同理可得过这两点的直线的斜率也为 ．所以的各阶阶梯函数图像的最高点共线．直线方程为即 ---12分
【试题出处】上海市奉贤区2012届高三上学期期末质量抽测试题（数学）
【原题】（本小题满分13分）已知函数，其中是常数.（Ⅰ）当时，求在点处的切线方程；（Ⅱ）求在区间上的最小值.
【解析】（Ⅰ）由可得.……2分
当时, ,.……4分
所以 曲线在点处的切线方程为，即.6分
（Ⅱ）令，解得或.…………8分
当，即时，在区间上，，所以是上的增函数.所以的最小值为＝;…10分当，即时, 随的变化情况如下表
↘ ↗
由上表可知函数的最小值为…13分
【试题出处】北京市海淀区2012届高三年级第一学期期末数学试题(文)
（Ⅱ）.……6分当时,因为，所以函数在区间上单调递减；7分当时，⑴当时，即时，，所以函数在区间 上单调递增；……9分
⑵当时，即时，由解得， ，或
.…10分由解得； 11分
所以当时，函数在区间上单调递增；在上单调递减，单调递增. ……13分
【试题出处】北京市朝阳区2011-2012学年度高三年级第一学期期末统一考试数学试卷（文史类）
【原题】（本小题满分12分） 设函数，曲线通过点（0，2a+3），且在点处的切线垂直于y轴。（1）用a分别表示b和c；（2）当取得最小值时，求函数的单调区间。
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：，……8分
，
…10分
….12分
【试题出处】安徽省宿州市2012届高三第一次教学质量检测数学试题（文）
【原题】（本小题满分12分） 已知函数（1）若曲线在点处的切线斜率为-2，求a的值以及切线方程；（2）若是单调函数，求a的取值范围。
【解析】（Ⅰ）f(x)＝1－2ax－． …2分由题设，f(1)＝－2a＝－2，a＝1，
此时f(1)＝0，切线方程为y＝－2(x－1)，即2x＋y－2＝0．…5分
（Ⅱ）f(x)＝－，令Δ＝1－8a．当a≥时，Δ≤0，f(x)≤0，f(x)在(0，＋∞)单调递减10分当0＜a＜时，Δ＞0，方程2ax2－x＋1＝0有两个不相等的正根x1，x2，不妨设x1＜x2，则当x∈(0，x1)∪(x2，＋∞)时，f(x)＜0，当x∈(x1，x2)时，f(x)＞0，这时f(x)不是单调函数．综上，a的取值范围是[，＋∞)…12分
【试题出处】唐山市2012届高三上学期期末考试数学试题（文）
【原题】（本小题满分12分）已知函数， .（Ⅰ）如果函数在上是单调函数，求的取值范围；（Ⅱ）是否存在正实数，使得函数在区间内有两个不同的零点？若存在，请求出的取值范围；若不存在，请说明理由．
【解析】（Ⅰ）当时，在上是单调增函数，符合题意．……1分
当时，的对称轴方程为，
由于在上是单调函数，所以，解得或，
综上，的取值范围是，或． ………4分
（Ⅱ），因在区间()内有两个不同的零点,所以，
即方程在区间()内有两个不同的实根.…5分
设 ，
………7分
令，因为为正数，解得或（舍）当时, , 是减函数；当时, ，是增函数.…8分为满足题意，只需在()内有两个不相等的零点, 故解得 ……12分
【试题出处】山东省青岛市2012届高三期末检测数学 (文科)
【原题】（本小题共13分）已知函数.（Ⅰ）若，求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围．
【解析】（Ⅰ）当时，，.
，．………3分
所以所求切线方程为即．…5分
（Ⅱ）. 令，得.………7分
由于，，的变化情况如下表：
+ 0 — 0 +
单调增 极大值 单调减 极小值 单调增
所以函数的单调递增区间是和. …………9分
要使在区间上单调递增，应有 ≤ 或 ≥，
解得≤或≥．……11分 又 且， ……12分
所以 ≤． 即实数的取值范围 ．……13分
【试题出处】北京市东城区2011-2012学年度高三数第一学期期末教学统一检测数学文科
【原题】（本小题满分12分）设函数．（Ⅰ）当时，求曲线在处的切线方程；（Ⅱ）当时，求函数的单调区间；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，设函数，若对于[1，2]，[0，1]，使≥成立，求实数b的取值范围.
【解析】函数的定义域为， （2分）
（Ⅲ）当时，由（Ⅱ）可知函数在上为增函数，∴函数在[1，2]上的最小值为 （9分）若对于[1，2]，使 ≥成立在上的最小值不大于在上的最小值（*） （10分）
又，
①当时，在上为增函数，与（*）矛盾
②当时，，由及得，
③当时，在上为减函数，，
此时 （11分）综上，的取值范围是 （12分）
【试题出处】吉林市普通中学2011—2012学年度高中毕业班上学期期末教学质量检测数学(文科)
【原题】(本小题满分13分)已知函数（为实数）.（I）当时， 求的最小值；（II）若在上是单调函数，求的取值范围.
【解析】(Ⅰ) 由题意可知：…1分当时 ….2分
当时， 当时，..4分故..5分
(Ⅱ) 由① 由题意可知时，,在时，符合要求 …….7分② 当时，令
故此时在上只能是单调递减 即 解得 …….9分
当时，在上只能是单调递增 即得 故.11分
综上…….13分
【试题出处】北京市昌平区2011－2012学年第一学期高三年级期末质量抽测（数学文）
【原题】（本小题满分14分）已知函数.(). （1）当时，求函数的极值；（2）若对，有成立，求实数的取值范围．
【解析】（1）当时，， =， ----2分
令，解得.当时，得或；
当时，得.当变化时，，的变化情况如下表：
1
+ 0 0 +
单调递增 极大 单调递减 极小 单调递增
--------4分
∴当时，函数有极大值，----5分
当时函数有极小值，-------6分
（2）∵，∴对，成立，
即对成立， --7分当时，有，
即，对恒成立，----9分
∵，当且仅当时等号成立，∴---11分
当时，有，即，对恒成立，
（Ⅱ）若不等式在区间上恒成立，求实数k的取值范围；
【解析】（Ⅰ），故其定义域为
令>0,得令<0,得
故函数的单调递增区间为单调递减区间为
（Ⅱ）令又
令解得当x在内变化时，，变化如下表
x
) + 0 -
↗ ↘
由表知，当时函数有最大值，且最大值为所以，
【试题出处】山东省德州市2012届高三上学期期末考试数学试题（文科）
【原题】（本题满分15分）设函数，且为的极值点．
(Ⅰ) 若为的极大值点，求的单调区间（用表示）；(Ⅱ)若恰有两解，求实数的取值范围．
【解析】又所以且，
……4分
（I）因为为的极大值点，所以当时，；当时，；当时，所以的递增区间为，；递减区间为．…………7分
（II）①若，则在上递减，在上递增，恰有两解，则，
即，所以；②若，则，
因为，则
，从而只有一解；③若，
则,,
则只有一解.综上，使恰有两解的的范围为．……15分
【试题出处】浙江省宁波市2012届高三第一学期期末考试数学（文）试卷
【解析】（1）＞0…1分而＞0lnx+1＞0＞＜0＜00＜＜所以在上单调递减，在上单调递增.………………3分
所以是函数的极小值点，极大值点不存在.…………………4分
（2）设切点坐标为，则切线的斜率为所以切线的方程为…6分又切线过点，所以有解得所以直线的方程为………8分
（3），则 ＜0＜00＜＜＞0＞所以在上单调递减，在上单调递增.………………9分
当即时，在上单调递增，所以在上的最小值为……10分
当1＜＜e，即1＜a＜2时，在上单调递减，在上单调递增.
在上的最小值为…12分当即时，在上单调递减，所以在上的最小值为……13分
综上，当时，的最小值为0；当1＜a＜2时，的最小值为；
当时，的最小值为………14分
【试题出处】山东省枣庄市2012届高三上学期期末检测 数学（文）
【原题】（本小题满分1６分）已知函数，其中ｅ是自然数的底数，。（Ⅰ）当时，解不等式；（Ⅱ）若在［－１，１］上是单调增函数，求的取值范围；当时，求整数ｋ的所有值，使方程在［ｋ，ｋ＋１］上有解。
【解析】⑴因为，所以不等式即为，又因为，所以不等式可化为，所以不等式的解集为．……4分
⑵，①当时，，在上恒成立，当且仅当时取等号，故符合要求；…6分②当时，令，因为，所以有两个不相等的实数根，，不妨设，因此有极大值又有极小值．若，因为，所以在内有极值点，故在上不单调．8分若，可知，因为的图象开口向下，要使在上单调，因为必须满足即所以.综上可知，的取值范围是10分
⑶当时, 方程即为，由于，所以不是方程的解，
所以原方程等价于，令，因为对于恒成立，所以在和内是单调增函数，…13分又，，，，所以方程有且只有两个实数根，且分别在区间和上，所以整数的所有值为．…………16分
（Ⅱ）因为令………7分
当函数有极值时，方程有实数解，则……… 8分
由，得.…… 9分当时，有实数，在两侧均有，故函数无极值，舍去；… 10分当时，方程有两个不等的实根，即有极值。故，当时，函数有极值。……… 12分
【试题出处】2012年北海市高中毕业班第一次质量检测文科数学
【原题】（本题满分15分）设函数（1）求的单调区间；（2）求在上的最大值和最小值；（3）若关于的方程在区间上恰好有两个相异的实根，求实数的取值范围。
【解析】(1)函数的定义域为…1分，……2分由，
得，由，得…3分的递增区间为，递减区间为……4分
（2），得（舍去）…5分由（1）知在上递减，在
上递增。……6分当时，取最小值。又
且……7分在上的最小值为1，最大值为……8分
（3）方程，即，记，
，…10分由得或（舍去），
得在上递减，在上递增。……12分
为使方程在区间上恰好有两个相异的实根
只需在和上各有一个实根，于是 ，即
…14分即实数的取值范围是 …15分
【试题出处】温州市十校联合体2011学年第一学期高三期末联考数学（文科）试题卷
【原题】（本题满分14分）设,函数.（1）讨论函数的单调区间和极值;（2）已知和是函数的两个不同的零点,求的值并证明:.
函数的极大值为. ………9分
(2) ∴，解得:.…10分∴ …11分
又,, ……13分
由(1)函数在递减,故函数在区间有唯一零点,因此. …14分
【试题出处】2012年佛山市普通高中高三教学质量检测(一)文科数学试题
【原题】（本小题满分14分） 已知函数（Ⅰ）求函数的单调区间；（Ⅱ）若恒成立，试确定实数k的取值范围；（Ⅲ）证明：
【解析】（Ⅰ）函数的定义域为，．当时，，
则在上是增函数 ；当时，若，则；若，
则．所以在上是增函数，在上是减函数……（4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知时，在上是增函数，而不成立，故．当时，由（Ⅰ）知．要使恒成立，则即可．故，解得．（8分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当时有在恒成立，且在上是减函数，，
所以在上恒成立．令，则，即，从而．所以 ．…（14分）
【试题出处】湖北省武昌区2012届高三年级元月调研测试数学试题（文）
【方 法 总 结】
1．掌握导数运算在判断函数的单调性、求函数的极大(小)值中的应用，尤其要重视导数运算在解决实际问题中的最值问题时所起的作用．
2．函数的性质与导数
(1)在区间(a，b)内，如果＞0，那么函数在区间(a，b)上单调递增．在区间(a，b)内，如果＜0，那么函数在区间(a，b)上单调递减．
(2)求极值的步骤
①求；②求＝0的根；③判定根两侧导数的符号；④下结论．
(3)求函数在区间[a，b]上的最大值与最小值的步骤
①求；②求＝0的根(注意取舍)；③求出各极值及区间端点处的函数值；④比较其大小，得结论(最大的就是最大值，最小的就是最小值)．
3．解单调性的题目时要注意判断端点能否取到，用导数求单调函数的最值时要注意由极值到最值的过渡．
4．对于函数求导，一般要遵循先化简，再求导的基本原则，求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用，在实施化简时，首先必须注意变换的等价性，避免不必要的运算失误．
5．函数与导数题充分体现导数的“传接性”和“工具性”，应用导数研究函数的性质、方程根的分布、不等式及曲线的切线等问题是新课程高考考查的重点和热点，敬请考生切实掌握题型规律，善于总结解题方法。2012届全国各省市高三上期数学联考试题重组专题
题型四 函数与导数（理）
【备 考 要 点】
在解答题中通常考查函数与导数、不等式的综合运用。其主要表现在: 1.通过选择题和填空题,全面考查函数的基本概念,性质和图象。2.在解答题的考查中,与函数有关的试题常常是以综合题的形式出现。3.从数学具有高度抽象性的特点出发,没有忽视对抽象函数的考查。4.一些省市对函数应用题的考查是与导数的应用结合起来考查的。 5.涌现了一些函数新题型。6.函数与方程的思想的作用不仅涉及与函数有关的试题,而且对于数列,不等式,解析几何等也需要用函数与方程思想作指导。7.多项式求导(结合不等式求参数取值范围),和求斜率(切线方程结合函数求最值)问题。8.求极值, 函数单调性,应用题,与三角函数或向量结合，预计2012年基本上还是这个考查趋势，具体为：(1)以选择题或者填空题的形式考查集合的基本关系和基本运算，考查中涉及函数的定义域、不等式的解、方程的解等问题，要特别注意一些新定义试题． (2)以选择题或者填空题的方式考查逻辑用语的知识，其中重点是充要条件的判断和含有一个量词的命题的否定． (3)以选择题或者填空题的方式考查基本初等函数及其应用，重点是函数定义域、值域，函数的单调性和奇偶性的应用，指数函数、对数函数、幂函数的图象和性质的应用，函数的零点判断，简单的函数建模，导数的几何意义的应用，定积分的计算及其简单应用．(4)以解答题的方式考查导数在函数问题中的综合应用，重点是使用导数的方法研究函数的单调性和极值以及能够转化为研究函数的单调性、极值、最值问题的不等式和方程等问题，考查函数建模和利用导数解模．
【2011高考题型】
函数与导数是高考数学的重点内容之一,函数的观点和思想方法贯穿整个高中数学的全过程,在近几年的高考中, 函数类试题在试题中所占分值一般为22---35分.一般为2个选择题或2个填空题,1个解答题 ,而且常考常新。
在选择题和填空题中通常考查反函数、函数的定义域、值域、函数的单调性、奇偶性、周期性、函数的图象、导数的概念、导数的应用以及从函数的性质研究抽象函数。从近几年高考来看，本讲高考命题有以下特点：1．从内容上看，考查导数有三个层次：(1)导数的概念、求导公式与法则、导数的几何意义；(2)导数的简单应用，包括求函数极值、求函数的单调区间、证明函数的单调性等；(3)导数的综合考查，包括导数的应用题以及导数与函数、不等式等的综合题．
2．从特点上看，高考对导数的考查有时单独考查，有时在知识交汇处考查，常常将导数与函数、不等式、方程、数列、解析几何等结合在一起考查．
3．从形式上看，考查导数的试题有选择题、填空题、解答题，有时三种题型会同时出现．
【2012 命题方向】
【原题】（本题满分14分） 已知函数．（1）当时，求满足的的取值范围； （2）若的定义域为R，又是奇函数，求的解析式，判断其在R上的单调性并加以证明．
【解析】（1）由题意，，化简得……（2分）
解得…………（4分）所以……（6分，如果是其它答案得5分）
（2）已知定义域为R，所以，………（7分）
又，…（8分）所以；……（9分）
对任意
可知………（12分）
因为，所以，所以因此在R上递减．…（14分）
【试题出处】上海市宝山区2012届高三上学期期末质量监测数学试题
【原题】（本小题满分18分）设函数是定义域为的奇函数．
（1）求值；（2）若，试判断函数单调性并求使不等式恒成立的的取值范围；（3）若，且，在上的最小值为，求的值.
【解析】(1)∵f(x)是定义域为R的奇函数，∴f(0)＝0，…… 2分
∴1-（k－1）＝0，∴k＝2，…… 4分
（2）……6分
单调递减，单调递增，故f(x)在R上单调递减。……7分
令h(t)＝t2－2mt＋2＝(t－m)2＋2－m2　(t≥)………15分
若m≥，当t＝m时，h(t)min＝2－m2＝－2，∴m＝2………… 16分
若m<，当t＝时，h(t)min＝－3m＝－2，解得m＝>，舍去…17分综上可知m＝2.…18分
【试题出处】2011学年长宁区第一学期高三数学质量抽测试卷（理）
【原题】(本小题满分16分) 对于函数,若存在实数对(),使得等式对定义域中的每一个都成立,则称函数是“()型函数”.(1)判断函数是否为“()型函数”，并说明理由；(2)已知函数是“(1,4)型函数”, 当时,都有成立,且当时,,若,试求的取值范围.
【解析】(1)函数是“()型函数”……2分
因为由,得,所以存在这样的实数对,如……6分
(2) 由题意得,,所以当时, ,其中,
而时,,且其对称轴方程为,
当,即时,在上的值域为,即,则在上的值域为,由题意得,此时无解……………11分
当,即时,的值域为,即,所以则在 上的值域为,则由题意得且,
解得……13分
当,即时,的值域为,即,则在上的值域为=,
则,解得.综上所述,所求的取值范围是…16分
【试题出处】南京市、盐城市2012届高三年级第一次模拟考试数学试题
【原题】（本小题满分12分）若是函数的两个极值点．（Ⅰ）若，求函数的解析式；（Ⅱ）若，求的最大值.
【解析】（Ⅰ）∵，∴
依题意有和1是方程的两根∴ 解得，
∴．（经检验，适合）……5分
（Ⅱ）∵,依题意，是方程的两个根，∵且，∴．∴．．．．７分
∵∴．．．．．．８分 设，则．
由得，由得．即函数在区间上是增函数，在区间上是减函数，．．．10分 ∴当时，有极大值为，∴在上的最大值是，∴的最大值为．………12分
【试题出处】山东省青岛市2012届高三期末检测数学 (理科)
【原题】（本小题共13分）已知函数，其中．（Ⅰ）求证：函数在区间上是增函数；（Ⅱ）若函数在处取得最大值，求的取值范围．
【解析】（Ⅰ）．因为且，所以．
所以函数在区间上是增函数．…………6分
（Ⅱ）由题意.
则. …8分
令，即. ①
由于 ，可设方程①的两个根为，，由①得，
由于所以，不妨设，．
当时，为极小值，所以在区间上，在或处取得最大值；
当≥时，由于在区间上是单调递减函数，所以最大值为，
综上，函数只能在或处取得最大值． …………10分
又已知在处取得最大值，所以≥，即≥，解得≤，又因为，
所以（］．……13分
【试题出处】北京市东城区2011-2012学年度高三数第一学期期末教学统一检测数学（理科）
【原题】（本小题满分14分）已知函数是的一个极值点.（1）求函数的单调区间；（2）若当时，恒成立，求的取值范围.
【解析】（1）∵且是的一个极值点
∴， ------2分∴-----4分
由得或，∴函数的单调增区间为，；---6分
由得，∴函数的单调减区间为， --------8分
（2）由（1）知，函数在上单调递减，在上单调递增
∴当时，函数取得最小值，=，----------10分
时，恒成立等价于--------12分
即。-----14分
【试题出处】广东省揭阳市2012届高三学业水平考试数学（理）试题
【原题】（本小题满分13分）已知函数（）. （I）当时，求函数的单调区间；（II）若不等式对恒成立,求a的取值范围.
【解析】对函数求导得:……2分
(Ⅰ)当时, 令解得 或，解得所以, 单调增区间为和,单调减区间为 (-2 ,1)…5分
(Ⅱ) 令,即,解得或 6分当时,列表得：
x 1
+ 0 － 0 +
↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
……………8分
对于时，因为,所以，∴>0 … 10 分
对于时，由表可知函数在时取得最小值
所以，当时， … 11分
由题意，不等式对恒成立，所以得，解得…13分
当，即时，因为，所以，所以函数在上单调递增.… 6分
当，即时，令，则（），
所以. 因此，当时，，当时，.所以函数的单调递增区间为，函数的单调递减区间为. 10分
（Ⅲ）当时，函数在上单调递增，则的最小值为，满足题意.… 11分
当时，由（Ⅱ）知函数的单调递增区间为，函数的单调递减区间为，则的最小值为，而，不合题意.所以的取值范围是13分
【试题出处】北京市朝阳区2011-2012学年度高三年级第一学期期末统一考试数学试卷（理工类）
【原题】（本小题满分12分）设函数（Ⅰ）当时，过原点的直线与函数的图象相切于点P，求点P的坐标；（Ⅱ）当时，求函数的单调区间；（Ⅲ）当时，设函数，若对于]，[0，1]使≥成立，求实数b的取值范围.（是自然对数的底，）
【解析】函数的定义域为， （2分）
（Ⅰ）设点，当时，，则，，∴ （3分）解得，故点P 的坐标为 （4分）
（Ⅱ）
∵ ∴ （5分）
∴当，或时，当时，
故当时，函数的单调递增区间为；单调递减区间为，（7分）
（Ⅲ）当时，由（Ⅱ）可知函数在上是减函数，在上为增函数，在上为减函数，且，
∵，又，∴，
∴，故函数在上的最小值为（9分）
若对于，使 ≥成立在上的最小值不大于
在上的最小值（*）（10分）又，
①当时，在上为增函数，与（*）矛盾
②当时，，由及得，
③当时，在上为减函数，，此时
综上，的取值范围是 （12分）
【试题出处】吉林市普通中学2011—2012学年度高中毕业班上学期期末教学质量检测数学(理科)
【原题】（本题满分14分）已知函数（Ⅰ）求函数的单调区间；（Ⅱ）若不等式在区间上恒成立，求实数k的取值范围；（Ⅲ）求证：
【解析】（Ⅰ），故其定义域为令>0,得
令<0,得故函数的单调递增区间为单调递减区间为
（Ⅱ）令又令解得
当x在内变化时，，变化如下表
x
) + 0 -
↗ ↘
由表知，当时函数有最大值，且最大值为所以，
（Ⅲ）由（Ⅱ）知
又
即
【试题出处】山东省德州市2012届高三上学期期末考试数学试题（理科）
【原题】（本小题满分12分）已知函数（1）若是单调函数，求的取值范围；（2）若有两个极值点，证明：
【解析】（Ⅰ）＝－lnx－ax2＋x， ＝－－2ax＋1＝－．2分
令Δ＝1－8a当a≥时，Δ≤0，≤0，在(0，＋∞)单调递减． …4分
当0＜a＜时，Δ＞0，方程2ax2－x＋1＝0有两个不相等的正根x1，x2，
不妨设x1＜x2，则当x∈(0，x1)∪(x2，＋∞)时，＜0，当x∈(x1，x2)时，＞0，
这时不是单调函数．综上，a的取值范围是[，＋∞)． …6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当且仅当a∈(0，)时，有极小值点x1和极大值点x2，
且x1＋x2＝，x1x2＝．＝－lnx1－ax＋x1－lnx2－ax＋x2＝－(lnx1＋lnx2)－(x1－1)－(x2－1)＋(x1＋x2)＝－ln(x1x2)＋(x1＋x2)＋1＝ln(2a)＋＋1．…9分
令g(a)＝ln(2a)＋＋1，a∈(0，]，则当a∈(0，)时，g(a)＝－＝＜0，g(a)在(0，)单调递减，所以g(a)＞g()＝3－2ln2，即． …12分
【试题出处】唐山市2012届高三上学期期末考试数学试题（理）
【原题】(本题满分12分)已知函数的图像为曲线C，函数的图像为直线（Ⅰ）当，时，求的最大值。(Ⅱ)设直线与曲线C的交点横坐标分别为，，且，求证：。
【解析】（1）∵ a=2,b= -3, ∴ F(x)=-x+3,F′(x)= -1=令F′(x)=0，则x=1, 2分
当x∈(0,1)时，F′（x）＞0,F(x)单调递增， 当x∈(1,+∞)时，F′(x)＜0，F（x）单调递减，
∴ F(x)max=F(1)=2. 5分
（2）不妨设x1＜x2，要证(x1+x2)g(x1+x2)＞2， 只需证(x1+x2)［a(x1+x2)+b］＞2，只需证a(x1+x2)+b＞，证a(x22-x12)+b(x2-x1)＞,证ax22+bx2-(ax12+bx1)＞, 7分
H(x)＞H(x1)=0，即H(x)=(x+x1)ln-2(x-x1)＞0, 所以(x1+x2)g(x1+x2)＞0.………12分
【试题出处】黑龙江省绥化市2011-2012学年度高三年级质量检测数学理科试题
【原题】（本题满分15分）设函数，且为的极值点． (Ⅰ) 若为的极大值点，求的单调区间（用表示）； (Ⅱ)若恰有1解，求实数的取值范围．
【解析】因为为的极值点，所以所以且，……3分
（I）因为为的极大值点，所以当时，；当时，；当时，所以的递增区间为，；递减区间为……6分
（II）若，则在上递减，在上递增恰有1解,则，即,所以；……9分若，则，
因为，则
，从而恰有一解；……12分
若，则
，从而恰有一解；所以所求的范围为．…15分
【试题出处】浙江省宁波市2012届高三第一学期期末考试数学（理）试卷
【原题】(本题12分)已知函数.(I)若在处取和极值， ①求、的值；②存在，使得不等式成立，求的最小值；(II)当时，若在上是单调函数，求的取值范围.（参考数据）
【解析】（Ⅰ）①，定义域为∴ …1分
∵ 在处取得极值， ∴
即，所求值均为………3分
②在存在，使得不等式成立，则只需…… 4分
由
∴ 当时，，函数单调递减；当时，，函数 单调递增；当时，，函数单调递减，∴ 在处有极小值…………6分
而又，
因,
∴ ，故 。…………7分
（Ⅱ）当 a = b 时，当时，则在上单调递增；8分
当时，∵ ，则在上单调递增；当时，设，只需，从而得，此时在上单调递减；…… 11分综上可得，…12分
【试题出处】2012年北海市高中毕业班第一次质量检测理科数学
【原题】（本小题满分1６分）已知函数，其中ｅ是自然数的底数，。
当时，解不等式；若在［－１，１］上是单调增函数，求的取值范围；当时，求整数ｋ的所有值，使方程在［ｋ，ｋ＋１］上有解。
【解析】⑴因为，所以不等式即为，又因为，所以不等式可化为，所以不等式的解集为．………4分
⑵，①当时，，在上恒成立，当且仅当时取等号，故符合要求；……6分
②当时，令，因为，
所以有两个不相等的实数根，，不妨设，因此有极大值又有极小值．
若，因为，所以在内有极值点，
故在上不单调．………8分若，可知，
因为的图象开口向下，要使在上单调，因为，
必须满足即所以.综上可知，的取值范围是．……10分
⑶当时, 方程即为，由于，所以不是方程的解，所以原方程等价于，令，因为对于恒成立，所以在和内是单调增函数，…13分又，，，，所以方程有且只有两个实数根，且分别在区间和上，所以整数的所有值为…16分
【试题出处】江苏省苏北四市（徐、连、宿、淮）2012届高三元月调研测试（数学）
【原题】已知函数（1）当a=2时，求函数f（x）的图像在x=1处的切线的方程；（2）若函数上有两个不等的实数根，求实数m的取值范围；（3）若函数f（x）的图像与x轴交于不同的点求证：（其中实数p，q满足）
【解析】（Ⅰ）当时，，，切点坐标为，切线的斜率，则切线方程为，即．2分
（Ⅱ）方程即为，令，则，因为，故时，．当时，；
当时，．故函数在处取得极大值，4分又，，，则故函数在上的最小值是．6分
方程在上有两个不相等的实数根，则有
解得，故实数m的取值范围是． 8分
（Ⅲ）∵函数的图象与x轴交于两个不同的点，，的两个根为，，则两式相减得，，，则
（∵）
．（*）10分
∵，，则，又，∴，
【试题出处】资阳市2011——2012学年度高中三年级第一次高考模拟考试数学（理科）
【原题】（本小题满分14分）已知函数 （1）求函数的单调区间； （2）若恒成立，试确定实数k的取值范围；（3）证明：①上恒成立②
【解析】（1）函数………（1分）
当时，则上是增函数……（2分）
当时，若时有 ………（3分）
若时有则上是增函数，
在上是减函数………（5分）
（2）法一：由（I）知，时递增，而不成立，故（7分）又由（I）知，要使恒成立，
则即可。 由……（9分）
法二（分离变量法）：
…（9分）
（3）①证明；由（2）知，当时有恒成立，且上是减函数，，恒成立，即上恒成立 。……（11分）
②证明：令，则，即，从而，
成立…（14分）
【试题出处】中山市高三级2011—2012学年度第一学期期末统一考试数学试卷（理科）
【原题】（本小题满分14分） 已知函数 （I）若函数在其定义域内为增函数，求实数a的取值范围；（II）设存在两个零点m，n且，证明： 函数处的切线不可能平行于x轴。
【解析】（Ⅰ）．
由已知，得对一切恒成立．，即对一切恒成立．，．的取值范围为…（5分）
（Ⅱ）．
由已知得，．
，即．
假设结论不成立，即，则，．
又，
．．
【解析】（1） 故在递减 …3分
（2） 记 ………5分
再令 在上递增。
，从而 故在上也单调递增
………8分
（3）方法1： 由（2）知：恒成立，即
令 则 ………10分
，， ……
叠加得：
13分
方法2：用数学归纳法证明（略）。
【试题出处】株洲市2012届高三教学质量统一检测理科数学试题
【原题】（本小题满分15分）已知函数的图象在点（为自然对数的底数）处的切线斜率为3．（1）求实数的值；（2）若，且对任意恒成立，求证k的最大值为3；（3）当时，证明．
【解析】（1）解：因为，所以．
因为函数的图像在点处的切线斜率为3，所以，即． 所以． ......3分
（2）由（1）知，，所以对任意恒成立，即对任意恒成立．令， 则，
令， 则，
所以函数在上单调递增． 。。。。6分
因为，
所以方程在上存在唯一实根，且满足．
且
当，即，当，即，
所以函数在上单调递减，在上单调递增．。。。。。。9分
所以．
所以． 故整数的最大值是3． 。。。。。。11分
（3）证明1：由（2）知，是上的增函数，
所以当时，．
即．
整理，得．
因为， 所以．
即． 即． 所以．。。15分
证明2：构造函数，则．
因为，所以．
所以函数在上单调递增．因为， 所以．
所以．
即．即． 即．所以．
【试题出处】温州市十校联合体2011学年第一学期高三期末联考数学试卷（理科）
【方 法 总 结】
1．无限接近的极限思想是建立导数概念、用导数定义求函数的导数的基本思想，丢掉极限思想就无法理解导数的概念．2．熟练记忆基本求导公式和函数的求导法则，是正确进行导数运算的基础．
3．掌握导数运算在判断函数的单调性、求函数的极大(小)值中的应用，尤其要重视导数运算在解决实际问题中的最值问题时所起的作用．
4．函数的性质与导数
(1)在区间(a，b)内，如果＞0，那么函数在区间(a，b)上单调递增．在区间(a，b)内，如果＜0，那么函数在区间(a，b)上单调递减．
(2)求极值的步骤
①求；②求＝0的根；③判定根两侧导数的符号；④下结论．
(3)求函数在区间[a，b]上的最大值与最小值的步骤2012届全国各省市高三上期数学联考试题重组专题
题型三 立体几何
【备 考 要 点】
立体几何在数学高考中占有重要的地位，近几年高考对立体几何考察的重点与难点稳定（也是考生的基本得分点）：高考始终把直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行的判断与性质、垂直的判断与性质作为考察的重点。新课标教材对立体几何要求虽有所降低，但考察的重点一直没有变，常常考察线线、线面、面面的平行与垂直的位置关系和空间角与距离的计算。
（1）从考题的数量看，一般为2-3题，其中一大一小的设置更符合课时比例；从所占分值来看，同一省份不同年份差异不大，不同省份略有差异。
（2）文理科差异较大，文科以三视图、面积与体积、平行与垂直关系的判断与证明为主要的考查对象，三视图几乎每年必考（其实，三视图是考察学生空间想象能力的良好素材，大部分省份的情况是文、理同题，位置调整难度）。
（3）理科在文科的基础上重点考查空间角的计算，由此可见“空间角的计算”受到的关注程度最高，与考纲要求吻合。解答题的命制特点是“一题两法”，各地标准答案都给出了向量解法。
（4）在“空间角”的考查中，主要考查的是“二面角”，高于教材要求，但对线面角的考查也有加大的趋势。
预测2012年高考的可能情况是： (1)以选择题或者填空题的形式考查空间几何体的三视图以及表面积和体积的计算．对空间几何体的三视图的考查有难度加大的趋势，通过这个试题考查考生的空间想象能力；空间几何体的表面积和体积计算以三视图为基本载体，交汇考查三视图的知识和面积、体积计算，试题难度中等． (2)以解答题的方式考查空间线面位置关系的证明，在解答题中的一部分考查使用空间向量方法求解空间的角和距离，以求解空间角为主，特别是二面角．
【2011高考题型】
立体几何大题一般出现在试卷中第18、19题，难度中等，少数省份出现在20、21或17题位置，难度中等偏上或偏下。小题通常为容易题、中等题，中上难度的题也时有出现。占分比重全国绝大多数省份是两小题一大题21-22分，占全卷的14%左右。 考查重点 直线与平面的位置关系判定、证明及角度与距离的计算。直线平面的平行、垂直作为知识体系的轴心，在考查中地位突出，贯穿整个大题。角度的计算：线线角、线面角、二面角是必考内容，线面角、二面角的出现频率更高些。距离以点面距、异面直线的距离为主，前者的出现频率更高。另外还应注意非标准图形的识别、三视图的运用、图形的翻折、求体积时的割补思想等，以及把运动的思想引进立体几何。最近几年综合分析全国及各省高考真题，立体几何开放题是高考命题的一个重要方向，开放题更能全面的考查学生综合分析问题的能力。考查内容一般有以下几块内容：1、平行：包括线线平行，线面平行，面面平行；2、垂直：包括线线垂直，线面垂直，面面垂直；3、角度：包括线线（主要是异面直线）所成的角，线面所成的角，面面所成的角；4、求距离或体积；高考中的立体几何题的解法通常一题多解，同一试题的解题途径和方法中常常潜藏着极其巧妙的解法，尤其是空间向量这一工具性的作用体现的更为明显。因此，这就要求考生通过“周密分析、明细推理、准确计算、猜测探求”等具有创造性思维活动来选择其最佳解法以节约做题时间，从而适应最新高考要求。
立体几何解答题的设计，注意了求解方法既可用向量方法处理，又可用传统的几何方法解决，并且向量方法比用传统方法解决较为简单，对中学数学教学有良好的导向作用，符合数学教材改革的要求，有力地支持了新课程的改革..
【2012 命题方向】
【原题】（本题满分13分）如图，在四棱锥中，平面平面．底面为矩形， ，．
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求二面角的大小.
【解析】（Ⅰ）因为平面平面，
，且面面，
所以平面.又因为平面
所以．…… 6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，.
在中，，，
所以，所以平面.
即，,
所以为二面角的平面角．
在中， ，
所以二面角的大小．… 13分
法二：取的中点, 的中点．在中，，为的中点，所以，．
又因为平面平面，且平面平面 所以，平面．显然，有… 1分 如图，以P为坐标原点，PA为x轴，PE为y轴，PS
为z轴建立空间直角坐标系，
则，，
，，
………3分
（Ⅰ）易知因为， 所以．… 6分
（Ⅱ）设为平面的一个法向量，则有，即，
所以 7分显然，平面，所以为平面的一个法向量，所以为平面的一个法向量… 9分所以 ， 所以二面角的大小为 13分
【试题出处】北京市朝阳区2011-2012学年度高三年级第一学期期末统一考试数学试卷
【原题】(本小题满分12分) 如图，在三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1⊥平面A1B1C1，∠B1A1C1=90°，D、E分别为CC1和A1B1的中点，且A1A=AC=2AB=2． (I)求证：C1E∥平面A1BD； (Ⅱ)求点C1到平面A1BD的距离．
【解析】（Ⅰ）证明：取中点F，连结EF，FD．
∵,又,,
∴平行且等于所以为平行四边形，……4分
∴，又平面,
∴平面.……………6分
（Ⅱ），,……………8分
所以,
，……10分及，.
所以点到平面的距离为.………………12分
【试题出处】河北省石家庄市2012届高三上学期教学质量检测 (一)数学（文）试题
【原题】(本小题满分12分) 如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，且PA=AB，M、N 分别是PA、BC的中点．(I)求证：MN∥平面PCD；(II)在棱PC上是否存在点E，使得AE上平面PBD 若存在，求出AE与平面PBC所成角的正弦值，若不存在，请说明理由．
【解析】（Ⅰ）证明：取PD中点为F，连结FC，MF．
∵,.
∴四边形为平行四边形，……3分∴，又平面,………5分
∴MN∥平面PCD.
（Ⅱ）以A为原点，AB、AD、AP分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系。设AB=2，则B(2,0，0)，D(0，2，0)，P(0，0， 2)，C(2，2，0)，
设PC上一点E坐标为，，
即则．…7分
由,解得．∴.……9分
作AH⊥ PB于H，∵BC⊥平面PAB，∴BC⊥AH，
∴AH⊥平面PBC,取为平面PBC的法向量．则，
∴设AE与平面PBC所成角为，,的夹角为，则
.……12分
【试题出处】河北省石家庄市2012届高三上学期教学质量检测(一)数学（理）试题
【原题】（本小题满分13分）如图，在四棱锥中，底面是菱形，，，,平面，是的中点，是的中点. 　
(Ⅰ) 求证：∥平面；（Ⅱ）求证：平面⊥平面；（Ⅲ）求平面与平面所成的锐二面角的大小.
【解析】(Ⅰ) 取中点为，连 ∵ 是的中点 ∴是的中位线,∴ ∵ 是中点且是菱形，
,∴ . ∴
∴ 四边形是平行四边形. 从而 , ∵ 平面 ,
平面, ∴ ∥平面 ………………………………4分
∵平面 ∴ 平面⊥平面 .…………8分
说明：(Ⅰ) 、（Ⅱ）前两小题用向量法，解答只要言之有理均应按步给分.
由（Ⅱ）知⊥平面，∴是平面的一个法向量,
设平面的一个法向量为 由 ,且由
在以上二式中令，则得，，
∴,设平面与平面所成锐角为
故平面与平面所成的锐角为 …………13分
说明：（Ⅲ）小题用几何法，解答只要言之有理均应按步给分.
【试题出处】福建省三明市普通高中2011-2012学年第一学期联合命题考试高三数学（理科）试题
【原题】（本题满分12分）如图1，平面四边形ABCD关于直线AC对称，
，把△ABD沿BD折起（如图2），
使二面角A―BD―C的余弦值等于。对于图2，完成以下各小题：
（1）求A，C两点间的距离；（2）证明：AC平面BCD；（3）求直线AC与平面ABD所成角的正弦值。
【解析】（1）取BD的中点E，连接AE，CE，
由AB=AD，CB=CD得，
就是二面角A―BD―C的平面角，
在△ACE中，
（2）由AC=AD=BD=2，AC=BC=CD=2，
（3）以CB，CD，CA所在直线分别为x轴，y轴和z轴建立空间直角坐标系C－xyz，
则
【试题出处】山东省烟台市2012届高三上学期期末检测 数学（理）试题
【原题】（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分7分．
如图，在直三棱柱中，， ，．
（1）求三棱柱的表面积；
（2）求异面直线与所成角的大小（结果用反三角函数表示）．
【解析】（1）在△中，因为，，
，所以．…………（1分）
．………………（1分）
所以
．…………（3分）
（2）连结，因为∥，所以就是
异面直线与所成的角（或其补角）（1分）
在△中，，，（1分）
由余弦定理，（3分）
所以（1分）即异面直线与所成角的大小为．（1分）
【试题出处】2011学年嘉定区高三年级第一次质量调研数学试卷（理）
【原题】（本小题满分12分）如图，四边形为矩形，平面,，平面于点，且点在上.
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求四棱锥的体积；
（Ⅲ）设点在线段上，且，
试在线段上确定一点，使得平面.
【解析】（Ⅰ）因为平面，∥
所以，因为平面于点，
…2分
因为，所以面，则
因为，所以面，则……4分
（Ⅱ）作，因为面平面，所以面
因为，，
所以6分…8分
（Ⅲ）因为，平面于点，所以是的中点设是的中点，连接10分所以∥∥因为，所以∥面，则点就是点
【试题出处】山东省青岛市2012届高三期末检测数学 (文科)
【原题】（本小题满分12分）已知四边形满足∥，，是的中点，将沿着翻折成，使面面，为的中点.
（Ⅰ）求四棱的体积；（Ⅱ）证明：∥面；（Ⅲ）求面与面所成二面角的余弦值.
【解析】（Ⅰ）取的中点连接，因为，为等边三角形，则，又因为面面，所以面，……2分
所以…………4分
（Ⅱ）连接交于，连接，因为为菱形，，又为的中点，
所以∥，所以∥面……………7分
（Ⅲ）连接，分别以为轴
则
……9分
设面的法向量，，令，则
设面的法向量为，，令，则……11分
则，所以二面角的余弦值为……………12分
【试题出处】山东省青岛市2012届高三期末检测数学 (理科)
【原题】（本小题满分12分）如图，在四棱锥S—ABCD中，底面ABCD，底面ABCD是矩形，且，E是SA的中点。
（1）求证：平面BED平面SAB；
（2）求平面BED与平面SBC所成二面角（锐角）的大小。
【解析】（Ⅰ）∵SD⊥平面ABCD，∴平面SAD⊥平面ABCD，∵AB⊥AD，∴AB⊥平面SAD，∴DE⊥AB．
∵SD＝AD，E是SA的中点，∴DE⊥SA，∵AB∩SA＝A，∴DE⊥平面SAB∴平面BED⊥平面SAB…4分
（Ⅱ）建立如图所示的坐标系D—xyz，不妨设AD＝2，则
D(0，0，0)，A(2，0，0)，B(2，，0)，C(0，，0)，S(0，0，2)，E(1，0，1)．＝(2，，0)，＝(1，0，1)，＝(2，0，0)，
＝(0，－，2)．设m＝(x1，y1，z1)是面BED的一个法向量，
则即因此可取m＝(－1，，1)．8分
设n＝(x2，y2，z2)是面SBC的一个法向量，则即
因此可取n＝(0，，1)． 10分cosm，n＝＝＝，故平面BED与平面SBC所成锐二面角的大小为30．…12分
【试题出处】唐山市2012届高三上学期期末考试数学试题（理）
【原题】（本小题满分14分）如图，在直三棱柱中，AB=AC=5,BB1=BC=6,D,E分别是AA1和B1C的中点（Ⅰ） 求证：DE∥平面ABC；（Ⅱ）求三棱锥E-BCD的体积。
【解析】⑴取BC中点G，连接AG，EG，
因为是的中点，所以EG∥，
且．由直棱柱知，，而是的中点，
所以，…4分所以四边形是平行四边形，
所以，又平面，
所以∥平面．………7分
⑵因为，所以平面，
所以，……………10分
由⑴知，∥平面，
所以．…14分
【试题出处】江苏省苏北四市（徐、连、宿、淮）2012届高三元月调研测试（数学）
【原题】（本题满分14分）如图，在梯形中，，
，，四边形为矩形，
平面平面，．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）设点为中点，求二面角的余弦值．
【解析】(1)证明：
则，，则得
，面平面，
面平面平面7分
（II）过作交于点，连,
则为二面角的平面角，在中，
，，则二面角的余弦值为．……14分
【试题出处】浙江省宁波市2012届高三第一学期期末考试数学（文）试卷
【原题】（本题满分14分）已知四棱锥中，，底面是边长为的菱形，，．（I）求证：；（II）设与交于点，为中点，若二面角的正切值为，求的值．
【解析】（I）因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BD又ABCD为菱形，所以AC⊥BD,所以BD⊥平面PAC
从而平面PBD⊥平面PAC．………6分
（II）过O作OH⊥PM交PM于H，连HD因为DO⊥平面PAC，可以推出DH⊥PM,所以∠OHD为A-PM-D的平面角又，且
从而，
,, …………8分
从而
因为BD⊥平面PAC,所以平面PMO的一个法向量为．
设平面PMD的法向量为,由得
取，
即……11分设与的夹角为，则二面角大小与相等
从而，得，从而，
即…14分
【试题出处】浙江省宁波市2012届高三第一学期期末考试数学（理）试卷
【原题】（本小题满分14分）如图①边长为1的正方形ABCD中，点E、F分别为AB、BC的中点，将△BEF剪去，将△AED、△DCF分别沿DE、DF折起，使A、C两点重合于点P得一三棱锥如图②示.（1）求证：；
（2）求三棱锥的体积；
（3）求点E到平面PDF的距离．
(2)解法1：依题意知图①中AE=CF= ∴PE= PF=，在△BEF中,-----6分
在中，
∴---------8分
∴．-----10分
(2)解法2：依题意知图①中AE=CF= ∴PE= PF=，
在△BEF中,------6分
取EF的中点M，连结PM
则,∴--------7分
∴------8分
∴．--10分
(3) 由（2）知,又 ∴平面-------12分
∴线段的长就是点E到平面PDF的距离------------13分
∵, ∴点E到平面PDF的距离为.--------14分　
【试题出处】广东省揭阳市2011—2012学年度高三学业水平考试数学文试题
【原题】（本小题满分14分）如图，一简单组合体的底面ABCD为正方形，
PD⊥平面ABCD，EC//PD，PD=2EC
若，求DE与平面PDB所成角的正弦值。
【解析】证：取PD中点F ，连接EF，AF
(2)取PB中点H，连接EH，DH 连接AC交BD于O 点，连接HO
四边形OCEH为平行四边形
。。。。。11分
设AD=1，则PD=，易得,,
。。。。 14分
其他解答自行给分向量解法 建立直角坐标系，证明AC平面PDB ，为平面PBD的法向量，用公式
【试题出处】温州市十校联合体2011学年第一学期高三期末联考数学试卷
【原题】（本小题满分12分）如图，已知四棱台ABCD –A1B1C1D1的侧棱AA1垂直于底面ABCD，底面ABCD是边长为2的正方形，四边形A1B1C1D1是边长为1的正方形，DD1=2。（ I）求证：平面A1ACC1⊥平面B1BDD1；
（Ⅱ）求四棱台ABCD - A1B1C1D1的体积；（Ⅲ）求二面角B—C1C—D的余弦值．
【解析】（Ⅰ）∵⊥平面 ABCD，∴．
底面是正方形，．
与是平面内的两条相交直线，∴⊥平面．
平面，∴平面平面．（4分）
（Ⅱ）过作于，则．
∵⊥平面 ABCD，平面．
在中，求得．
而，所以四棱台的体积． …（8分）
（Ⅲ）设与交于点O，连接．过点B在平面内作于M，连接．
由（Ⅰ）知⊥平面，．所以平面， ．
所以，是二面角的平面角．在中，求得，
从而求得．在中，求得，同理可求得．
在中，由余弦定理，求得．…（12分）
【试题出处】湖北省武昌区2012届高三年级元月调研测试数学（理）试题
【原题】(本小题满分13分)在三棱柱ABC—A1B1C1中，底面是边长为的正三角形，点A1在底面ABC上的射影O恰是BC的中点．（Ⅰ）求证：A1A⊥BC；
（Ⅱ）当侧棱AA1和底面成45°角时，
求二面角A1—AC—B的大小余弦值；
（Ⅲ）若D为侧棱A1A上一点，当为何值时，BD⊥A1C1．
【解析】法一：（Ⅰ）连结AO，∵A1O⊥面ABC，AO⊥BC．
∴A1A⊥BC．……………3分
（Ⅱ）由（Ⅰ）得∠A1AO=45°由底面是边长为2的正三角形，可知AO=3∴A1O=3，AA1=3过O作OE⊥AC于E，连结A1E，则∠A1EO为二面角A1—AC—B的平面角 ……6分
∵OE=，∴tan∠A1EO=……………9分
即二面角A1—AC—B的大小余弦值为．
（Ⅲ）过D作DF∥A1O，交AO于F，则DF⊥平面ABC．
∴BF为BD在面ABC内的射影，
又∵A1C1∥AC，∴要使BD⊥A1C1，只要BD⊥AC，即证BF⊥AC，
∴F为△ABC的中心，∴ ……………………8分
法二：以O点为原点，OC为x轴，OA为y轴，OA1为z轴建立空间直角坐标系．
（Ⅰ）由题意知∠A1AO=45°，A1O=3．∴O（0，0，0），C（，0，0），A（0，3，0），
A1（O，0，3），B（－，0，0）．∵=（0，－3，3），
=（2，0，0）∴·=0×2+（－3）×0+3×0=0．
∴AA1⊥BC…………4分
（Ⅱ）设面ACA1的法向量为n1=（x，y，z），
则
令z=1，则x=，y=1，∴n1=（，1，1）……6分
而面ABC的法向量为n2=（0，0，1）……8分cos(n1，n2)=
又显然所求二面角的平面角为锐角，∴所求二面角的大小为………9分
（Ⅲ）A1C1∥AC，故只需BD⊥AC即可，设AD=a，则D（0，3－a，a）
又B（－，0，0），则=（－，3－a，a），=（，－3，0）．
要使BD⊥AC，须·=3－3（3－a）=0，得a=2，而AA1=3，∴A1D=，
∴………13分
【试题出处】2012届厦门市高三上期末质量检查数学模拟试题（理）
【原题】（本小题满分12分）如图，在四棱锥S-ABCD中，
底面ABCD是正方形，四个侧面都是等边三角形，AC与BD
的交点为O，E为侧棱SC上一点。
（1）求证:平面平面
(2)当二面角的大小为时，试判断点E在SC上的位置，并说明理由。
【解析】(1)由已知可得，SB=SD,O是BD的中点，所以BD⊥SO 2分
又因为四边形ABCD是正方形，所以BD⊥AC， 3分因为AC∩SO=O，所以BD⊥面SAC. 4分
又因为BD面BDE，所以平面BDE⊥平面SAC. 5分
(2)易证，SO⊥面ABCD，AC⊥BD.建立如图所示的空间直角坐标系.7分设四棱锥S-ABCD的底面边长为2，则O(0，0，0)，S(0，0，)，B(0，，0)，D(0，-，0).所以=(0,-2,0),设CE=a(0＜a＜2),由已知可求得∠ECO=45°,则E(-+,0, ),=(-+,-, ).
设平面BDE的法向量为n=(x,y,z),则即令z=1,得n=(,0,1), 9分因为SO⊥底面ABCD，所以=(0,0, )是平面SAC的一个法向量 10分因为二面量角E-BD-C的大小为45°，所以=,解得a=1,所以点E是SC的中点. 12分
注：其他证法相应得分?
【试题出处】黑龙江省绥化市2011-2012学年度高三年级质量检测数学理科试题
【原题】（本小题共14分）如图，在四棱锥中，底面为菱形，，为的中点，． （Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）点在线段上，，试确定的值，
使平面；（Ⅲ）若平面，平面平面，
求二面角的大小．
【解析】（Ⅰ）连接 ．因为四边形为菱形，，
所以△为正三角形．又为中点， 所以．因为,为的中点，
所以．又， 所以平面．…………4分
（Ⅱ）当时，∥平面．
下面证明：连接交于，连接．
因为∥，所以．
因为∥平面，平面，平面平面，所以∥.所以．
所以，即． 因为，所以．所以，
所以∥.又平面，平面，所以∥平面．…………9分
（Ⅲ）因为，又平面平面，交线为，
所以平面．以为坐标原点，分别以
所在的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
由===2，则有，，．
设平面的法向量为=， 由，且，，
可得令得．所以=为平面的一个法向量
取平面的法向量=， 则，故二面角的大小为60°…14分
【试题出处】北京市东城区2011-2012学年度高三数第一学期期末教学统一检测数学
【原题】(本题12分) 如图(1)在等腰中，D，E，F
分别是AB，AC和BC边的中点，，
现将沿CD翻折成直二面角A-DC-B.(如图(2))
(I)试判断直线AB与平面DEF的位置关系，
并说明理由；(II).求二面角E-DF-C的余弦值；
(III)在线段BC是否存在一点P，但APDE？证明你的结论.
【解析】
法一（I）如图：在△ABC中，由E、F分别是AC、BC中点，得EF//AB，
又AB平面DEF，EF平面DEF，∴AB∥平面DEF．………………4分
（II）∵AD⊥CD，BD⊥CD，∴∠ADB是二面角A—CD—B的平面角，∴AD⊥BD，∴AD⊥平面BCD，取CD的点M，使EM∥AD，∴EM⊥平面BCD，过M作MN⊥DF于点N，连结EN，则EN⊥DF，
∴∠MNE是二面角E—DF—C的平面角.……6分设CD＝a,则AC＝BC＝2a , AD＝DB＝, △DFC中,设底边DF上的高为h由， ∴h＝在Rt△EMN中，EM=，MN= h＝，
∴tan∠MNE=2从而cos∠MNE ＝……8分
（Ⅲ）在线段BC上不存在点P，使AP⊥DE，………… 9分
证明如下：在图2中, 作AG⊥DE,交DE于G交CD于Q
由已知得∠AED＝120°，于是点G在DE的延长线上，
从而Q在DC的延长线上，过Q作PQ⊥CD交BC于P
∴PQ⊥平面ACD ∴PQ⊥DE∴DE⊥平面APQ∴AP⊥DE.但P在BC的延长线上。… 12分
法二（Ⅱ）以点D为坐标原点，直线DB、DC为x轴、y轴，建立空间直角坐标系，
设CD＝a，则AC＝BC＝2a , AD＝DB＝则A（0，0，），B（，0，0），
C（0，.…… 5分
取平面CDF的法向量为设平面EDF的法向量为，
则 得…6分
…… 7分
所以二面角E—DF—C的余弦值为…… 8分
（Ⅲ）设，
又，……… 9分
……11分
把，可知点P在BC的延长线上
所以在线段BC上不存在点P使AP⊥DE.…… 12分
【试题出处】2012年北海市高中毕业班第一次质量检测数学
【原题】如图所示,在棱长为2的正方体中,点分别在棱上,满足,且.
(1)试确定、两点的位置.
(2)求二面角大小的余弦值.
【解析】(1)以为正交基底建立空间直角坐标系,设,
则
,,,∵,∴，
∴，解得4分∴PC=1,CQ=1,即分别为中点………5分
(2)设平面的法向量为，∵,又，∴，令，则,……8分
∵为面的一个法向量,∴,而二面角为钝角,故余弦值为……10分
【试题出处】南京市、盐城市2012届高三年级第一次模拟考试数 学试题
【原题】（本小题满分12分）如图，在底面是直角梯形的四棱锥P—ABCD中，，
平面ABCD，PA=AB=BC=3，梯形上底AD=1。
（1）求证：平面PAB；
（2）求面PCD与面PAB所成锐二面角的正切值；
（3）在PC上是否存在一点E，使得DE//平面PAB？
若存在，请找出；若不存在，说明理由。
【解析】（Ⅰ）：由题意
…… 4分
（Ⅱ）（法一）延长BA、CD交于Q点，过A作AH⊥PQ,垂足为H,连DH
由（Ⅰ）及AD∥BC知：AD⊥平面PAQ
∴ AD⊥PQ且AH⊥PQ所以PQ⊥平面HAD，即PQ⊥HD.
所以∠AHD是面PCD与面PBA所成的二面角的平面角. …………… 6分
易知，所以
所以面PCD与面PAB所成二面角的正切值为.………8分
（Ⅲ）解：存在. ………9分在BC上取一点F,使BF=1，则DF∥AB.由条件知，PC=,在PC上取点E,使PE=,则EF∥PB.……10分所以，平面EFD∥平面PAB故 DE∥平面PAB………12分
【试题出处】安徽省宿州市2012届高三第一次教学质量检测数学试题（理）
【原题】（本小题满分14分）如图在四棱锥中，底面是正方形，，垂足为点，,点，分别是，的中点．（I）求证: ；（II）求证:平面；
（III）若 ,求平面与平面所成二面角的余弦值.
【解析】（I）连接
. 4分
(II) ，又
… 7分
在，点，分别是，的中点．
.…… 9分
（III），
以为原点，建立空间直角坐标系由 可得
设平面MNF的法向量为 n
平面ABCD的法向量为
…… 11分
可得：解得： 令 n …… 13分
……14分
【试题出处】昌平区2011－2012学年第一学期高三年级期末质量抽测数学试卷（理科）
【方 法 总 结】
解答题在考查中经常涉及的知识及题型有：①证明“平行”和“垂直”；②求多面体的体积；③三种角的计算；④有关距离的计算；⑤多面体表面积或体积的计算.这类问题的解法主要是化归思想，如两条异面直线所成的角转化为两相交直线所成的角，面面距离转化为线面距离，再转化为点面距离等. 一题两法，支持新课程改革.
1.平行、垂直位置关系的论证 证明空间线面平行或垂直需要注意以下几点：
(1)理清平行、垂直位置关系的相互转化.
(2)由已知想性质，由求证想判定，即分析法与综合法相结合寻找证题思路.
(3)立体几何论证题的解答中，利用题设条件的性质适当添加辅助线(或面)是解题的常用方法之一.
(4)三垂线定理及其逆定理在高考题中使用的频率最高，在证明线线垂直时应优先考虑，应用时需要先认清所观察的平面及它的垂线，从而明确斜线、射影、面内直线的位置，再根据定理由已知的两直线垂直得出新的两直线垂直.另外通过计算证明线线垂直也是常用方法之一.
2.空间角的计算
主要步骤：一作、二证、三算；若用向量，那就是一证、二算.
(1)两条异面直线所成的角①平移法：在异面直线中的一条直线上选择“特殊点”，作另一条直线的平行线，常常利用中位线或成比例线段引平行线. ②补形法：把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，如正方体、平行六面体、长方体等，其目的在于容易发现两条异面直线间的关系. ③向量法：直接利用向量的数量积公式cos=（注意向量的方向）.
(2)直线和平面所成的角①作出直线和平面所成的角，关键是作垂线、找射影转化到同一三角形中计算，或用向量计算.②用公式计算sin= (PM 直线l，M∈面, 是l与所成的角，是 面的法向量）.
(3)二面角 ①平面角的作法：求两平面所成的二面角，就是要求出它的平面角，作二面角的平面角关键在于寻求棱上一点出发的两条垂线（分别位于两个平面内）．但如果两垂线不同时出现于特殊位置上，就需要构思出二面角的平面角．构思的一般方法是：（1）利用三垂线定理或逆定理，过一个面内一点分别作另一个平面的垂线、棱的垂线，连结两个垂足，可以得到二面角的平面角；（2）寻找（或证明）棱垂直于过棱上一点的两条相交直线（分别位于两个面内）所确定的平面．②平面角计算法： (ⅰ)找到平面角，然后在三角形中计算（解三角形）或用向量计算. (ⅱ)射影面积法：cos=. (ⅲ)向量夹角公式：|cos|= ，是两面的法向量.( 是锐角还是钝角，注意图形和题意取舍）.
*求平面的法向量：①找；②求：设，为平面内的任意两个向量，=(x,y,1)为的法向量, 则由方程组，可求得法向量.
3.空间距离的计算
(1)两点间距离公式（线段的长度）
(2)求点到直线的距离，经常应用三垂线定理作出点到直线的垂线，然后在相关的三角形中求解，也可以借助于面积相等求出点到直线的距离.(可用向量法来计算)
(3)求两条异面直线间距离，一般先找出其公垂线，然后求其公垂线段的长.在不能直接作出公垂线的情况下，可转化为线面距离求解（这种情形高考不作要求）.
(4)求点到平面的距离，一般找出（或作出）过此点与已知平面垂直的平面，利用面面垂直的性质过该点作出平面的垂线，进而计算；也可以利用“三棱锥体积法”直接求距离；有时直接利用已知点求距离比较困难时，我们可以把点到平面的距离转化为直线到平面的距离，从而“转移”到另一点上去求“点到平面的距离”.求直线与平面的距离及平面与平面的距离一般均转化为点到平面的距离来求解.
（向量法： (N为P在面内的射影，M∈, 是面的法向量））.
A
B
C
A1
B1
C1
（第16题）
（第20题）
（第20题）
D
P
A
B
C
E
A
B
O
C
D
A1
B1
C1
A
D
B
C
P
A1
B1
C1
Q
D1
第22题2012届全国各省市高三上期数学联考试题重组专题
题型二 概率与统计（理）
【备 考 要 点】
概率与统计以其独特的研究对象和研究方法，在中学数学中是相对独立的，但是，概率与统计试题的背景与日常生活最贴近，联系最为紧密，不管是从内容上，还是从思想方法上，都体现着应用的观念与意识，在展现分类讨论、化归思想与同时，培养学生解决问题的能力.在高考的考查中，基本上都是1道小题以及1道解答题，其中小题较容易，解答题逐渐取代了90年代兴起的应用题，其难度不大，但有一定的灵活性，对题目的背景和题意理解要求较高，考查概率的计算与离散随机变量的分布列及期望等等.理科重点考查随机变量的分布列与期望，互斥事件有一个发生的概率，相互独立事件同时发生的概率，独立重复事件的概率等，穿插考查合情推理能力和有关优化决策能力，难度可能有所提升，考生应有心理准备.
　
【2011高考题型】
高考对概率与统计内容的考查,往往以实际应用题出现,这既是这类问题的特点,也符合高考发展的方向.概率应用题侧重于分布列与期望. 应用题近几年的高考有以概率应用题替代传统应用题的趋势,2011年高考概率统计应用题多数省份出现在解答题前三题的位置，可见概率统计在高考中属于中档题。高中学习的《概率统计》是大学统计学的基础，起着承上启下的作用，是每年高考命题的热点.试题特点（1）概率统计试题的题量大致为2道，约占全卷总分的6％-10％，试题的难度为中等或中等偏易。（2）概率统计试题通常是通过对课本原题进行改编，通过对基础知识的重新组合、变式和拓展，从而加工为立意高、情境新、设问巧、并赋予时代气息、贴近学生实际的问题。这样的试题体现了数学试卷新的设计理念，尊重不同考生群体思维的差异，贴近考生的实际，体现了人文教育的精神。（3）概率统计试题主要考查基本概念和基本公式，对等可能性事件的概率、互斥事件的概率、独立事件的概率、事件在n次独立重复试验中恰发生k次的概率、离散型随机变量分布列和数学期望、方差、抽样方法等内容都进行了考查。
【2012 命题方向】
【原题】（本小题满分13分）盒中装有个零件，其中个是使用过的，另外个未经使用.（Ⅰ）从盒中每次随机抽取个零件，每次观察后都将零件放回盒中，求次抽取中恰有次抽到使用过的零件的概率；（Ⅱ）从盒中随机抽取个零件，使用后放回盒中，记此时盒中使用过的零件个数为，求的分布列和数学期望.
【解析】（Ⅰ）：记“从盒中随机抽取个零件，抽到的是使用过的零件”为事件，则. 2分
所以次抽取中恰有次抽到使用过的零件的概率. ……5分
（Ⅱ）：随机变量的所有取值为.…………7分
　　　； ；.…10分
所以，随机变量的分布列为:
…………11分
………………13分
【试题出处】北京市西城区2011 — 2012学年度第一学期期末试卷高三数学（理科）
【原题】(本题12分) 某企业招聘中，依次进行A科、B科考试，当A科合格时，才可考B科，且两科均有一次补考机会，两科都合格方通过。甲参加招聘，已知他每次考A科合格的概率均为，每次考B科合格的概率均为。假设他不放弃每次考试机会，且每次考试互不影响。(I)求甲恰好3次考试通过的概率；(II)记甲参加考试的次数为，求的分布列和期望.
【解析】设甲“第一次考A科成绩合格”为事件，“ A科补考后成绩合格”为事件，
“第一次考B科成绩合格”为事件，“B科补考后成绩合格”为事件。………… 1分
（Ⅰ）甲参加3次考试通过的概率为： …6分
（Ⅱ）由题意知，可能取得的值为：2，3，4
…………………………………………7分
…………8分
………………… 9分
2 3 4
P
分布列（如右表）………………………………………………………10分
故………………12分
【试题出处】2012年北海市高中毕业班第一次质量检测理科数学
【原题】（本小题满分12分）某校从高二年级4个班中选出18名学生参加全国数学联赛，学生来源人数如下表：
班别 高二（1）班 高二（2）班 高二（3）班 高二（4）班
人数 4 6 3 5
（I）从这18名学生中随机选出两名，求两人来自同一个班的概率；（Ⅱ）若要求从18位同学中选出两位同学介绍学习经验，设其中来自高二（1）班的人数为，求随机变量的分布列及数学期望E．
【解析】（Ⅰ）“从这18名同学中随机选出两名，两人来自于同一个班”记作事件A，
则． ………………………………（5分）
（Ⅱ）的所有可能取值为0，1，2． ∵，，，∴的分布列为：
0 1 2
P
∴． ………………………………（13分）
【试题出处】湖北省武昌区2012届高三年级元月调研测试（数学理）
【原题】（本小题满分13分）为加强大学生实践、创新能力和团队精神的培养，促进高等教育教学改革，教育部门主办了全国大学生智能汽车竞赛. 该竞赛分为预赛和决赛两个阶段，参加决赛的队伍按照抽签方式决定出场顺序.通过预赛，选拔出甲、乙等五支队伍参加决赛.（Ⅰ）求决赛中甲、乙两支队伍恰好排在前两位的概率；（Ⅱ）若决赛中甲队和乙队之间间隔的队伍数记为，求的分布列和数学期望.
【解析】（Ⅰ）设“甲、乙两支队伍恰好排在前两位”为事件，则. …4分
所以 甲、乙两支队伍恰好排在前两位的概率为.…5分
（Ⅱ）随机变量的可能取值为. ……6分
，，
，.…………10分
随机变量的分布列为：
因为 ，所以 随机变量的数学期望为.…13分
【试题出处】海淀区高三年级第一学期期末试题数学（理科）
【原题】（本小题满分12分）我市某大学组建了A、B、C、D、E五个不同的社团组织，为培养学生的兴趣爱好，要求每个学生必须参加且只能参加一个社团，假定某寝室的甲、乙、丙三名学生对这五个社团的选择是等可能的。（1）求甲、乙、丙三名学生中至少有两人参加同一社团的概率； （2）设随机变量为甲、乙、丙这三个学生参加A或B社团的人数，求的分布列与数学期望。
∴的分布列为
∴的数学期望（万元）． 12分
【试题出处】湖北省襄阳市2012届高三12月统一调研考试（数学理）
【原题】（本小题满分12分）张师傅驾车从公司开往火车站，途径4个交通岗，这4个交通岗将公司到火车站分成5个时段，每个时段的驾车时间都是3分钟，如果遇到红灯要停留1分钟。假设他在各交通岗遇到红灯是相互独立的，并且概率都是 （1）求张师傅此行程时间不小于16分钟的概率；（2）记张师傅此行程所需时间为Y分钟，求Y的分布列和均值。
【解析】（Ⅰ）如果不遇到红灯，全程需要15分钟，否则至少需要16分钟．
张师傅此行程时间不小于16分钟的概率P＝1－(1－)4＝． …4分
（Ⅱ）设此行程遇到红灯的次数为X，则X～B(4，)，P(X＝k)＝C()k()4－k，k＝0，1，2，3，4．
依题意，Y＝15＋X，则Y的分布列为
Y 15 16 17 18 19
P …10分
Y的均值E(Y)＝E(X＋15)＝E(X)＋15＝4×＋15＝． …12分
【试题出处】唐山市2012届高三上学期期末考试数学试题（理）
【原题】（本小题满分12分）第30届夏季奥运会将于2012年7月27日在伦敦举行，当地某学校招募了8名男志愿者和12名女志愿者。将这20名志愿者的身高编成如下茎叶图（单位：cm）：若身高在180cm以上（包括180cm）定义为“高个子”，身高在180cm以下（不包括180cm）定义为“非高个子”,且只有“女高个子”才能担任“礼仪小姐”。（I）如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中抽取5人，再从这5人中选2人，那么至少有一人是“高个子”的概率是多少？（Ⅱ）若从所有“高个子”中选3名志愿者，用X表示所选志愿者中能担任“礼仪小姐”的人数，试写出X的分布列，并求X的数学期望。
【解析】（Ⅰ）根据茎叶图，有“高个子”8人，“非高个子”12人，用分层抽样的方法，每个人被抽中的概率是， 所以选中的“高个子”有人，“非高个子”有人．…3分
用事件表示“至少有一名“高个子”被选中”，则它的对立事件表示“没有一名“高个子”被选中”，　则 ．因此，至少有一人是“高个子”的概率是．…………6分
（Ⅱ）依题意，所选志愿者中能担任“礼仪小姐”的人数X的取值分别为．
　，　，　，
　因此，X的分布列如下：
X
…………10分
所以X的数学期望 …………12分
【试题出处】郑州2012高三第一次质量预测（数学理）
【原题】（本小题满分14分）甲、乙两运动员进行射击训练，已知他们击中目标的环数都稳定在7、8、9、10环，且每次射击成绩互不影响，射击环数的频率分布表如下：
甲运动员 乙运动员
射击环数 频数 频率
7 10 0.1
8 10 0.1
9 0.45
10 35
合计 100 1
射击环数 频数 频率
7 8 0.1
8 12 0.15
9
10 0.35
合计 80 1
　　　　　
若将频率视为概率，回答下列问题：（1）求表中，，的值及甲运动员击中10环的概率；（2）求甲运动员在3次射击中至少有一次击中9环以上(含9环)的概率．（3）若甲运动员射击2次，乙运动员射击1次，表示这3次射击中击中9环以上(含9环)的次数，求的分布列及.
【解析】（1）由题意可得x＝100(10＋10＋35)＝45，y＝1－(0.1＋0.1＋0.45)＝0.35，
因为乙运动员的射击环数为9时的频率为1－(0.1＋0.15＋0.35)＝0.4，所以z＝0.4×80＝32，
由上可得表中x处填45，y处填0.35，z处填32. ……3分
设“甲运动员击中10环”为事件A，则，即甲运动员击中10环的概率为0.35. …………5分
（2）设甲运动员击中9环为事件，击中10环为事件，则甲运动员在一次射击中击中9环以上(含9环)的概率为，
故甲运动员在3次射击中至少有一次击中9环以上 (含9环) 的概率
………8分
（3）的可能取值是0,1,2,3，则
，
……12分所以的分布列是
0 1 2 3
P 0.01 0.11 0.4 0.48
E＝0×0.01＋1×0.11＋2×0.4＋3×0.48＝2.35. …………14分
【试题出处】惠州市2012届高三第三次调研考试数学(理科)
【原题】（本小题满分12分） 某旅行社组织了一个有36名游客的旅游团到安徽风景名胜地旅游，其中是省外游客，其余是省内游客，在省外游客中有玩过黄山，在省内游客中有玩过黄山。 （1）在该团中随机采访3名游客，求恰有1名 省外游客玩过黄山且省内游客玩过黄山少于2人的概率；（2）在该团的省内游客中随机采访3名游客，设其中省内游客玩过黄山的人数为随机变量，求的分布列及数学期望
【解析】（Ⅰ）由题意得，省外游客有27人，其中9人玩过黄山；省内游客有9人，其中6人玩过黄山.设事件为“在该团中随机采访3名游客，恰有1省外游客玩过黄山且省内游客玩过黄山少于2人”.事件为“采访该团3人中，1名省外游客玩过黄山，0名省内游客玩过黄山”；事件为“采访该团3人中，1名省外游客玩过黄山，1名省内游客玩过黄山”. 则
所以在该团中随机采访3人，恰有1名省外游客人玩过黄山且省内游客玩过黄山少于2人”的概率是.……6分
【试题出处】安徽省宿州市2012届高三第一次教学质量检测数学试题（理）
【原题】（本题满分13分）佛山某学校的场室统一使用“佛山照明”的一种灯管，已知这种灯管使用寿命（单位：月）服从正态分布，且使用寿命不少于个月的概率为，使用寿命不少于个月的概率为.（1）求这种灯管的平均使用寿命；（2）假设一间功能室一次性换上支这种新灯管，使用个月时进行一次检查，将已经损坏的灯管换下（中途不更换），求至少两支灯管需要更换的概率.
【解析】（1）∵，，，∴，显然……3分由正态分布密度函数的对称性可知，，
即每支这种灯管的平均使用寿命是个月；………5分
（2）每支灯管使用个月时已经损坏的概率为………6分
假设使用个月时该功能室需要更换的灯管数量为支，则，……10分
故至少两支灯管需要更换的概率（写成也可以）……13分
【试题出处】2012年佛山市普通高中高三教学质量检测（一）理科数学试题
【原题】某校为全面推进新课程改革，在高一年级开设了研究性学习课程，某班学生在一次研究活动课程中，一个小组进行一种验证性实验，已知该种实验每次实验成功的概率为（1）求该小组做了5次这种实验至少有2次成功的概率。（2）如果在若干次实验中累计有两次成功就停止实验，否则将继续下次实验，但实验的总次数不超过5次，求该小组所做实验的次数的概率分布列和数学期望。
【解析】（Ⅰ）记“该小组做了5次实验至少有2次成功”为事件A，“只成功一次”为事件A1，“一次都不成功”为事件A2，则：P(A)＝1－P(A1＋A2)＝1－P(A1)－P(A2)＝．
故该小组做了5次这种实验至少有2次成功的概率为．6分
（Ⅱ）的可能取值为2，3，4，5.
则；，，
．（每对一个得1 分）10分
∴的分布列为：
2 3 4 5
P
∴Eξ=． 12分
【试题出处】资阳市2011——2012学年度高中三年级第一次高考模拟考试数学（理科）
【原题】（本小题满分12分）某产品按行业生产标准分成个等级，等级系数依次为，其中为标准，为标准，产品的等级系数越大表明产品的质量越好，已知某厂执行标准生产该产品，且该厂的产品都符合相应的执行标准. （Ⅰ）从该厂生产的产品中随机抽取件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下：
3 5 3 3 8 5 5 6 3 4
6 3 4 7 5 3 4 8 5 3
8 3 4 3 4 4 7 5 6 7
该行业规定产品的等级系数的为一等品，等级系数的为二等品，等级系数的为三等品，试分别估计该厂生产的产品的一等品率、二等品率和三等品率；
（2）已知该厂生产一件该产品的利润y（单位：元）与产品的等级系数的关系式为：
，从该厂生产的产品中任取一件，其利润记为，用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求的分布列和数学期望．
【解析】（Ⅰ）由样本数据知，30件产品中等级系数有6件，即一等品有6件，二等品有9件，三等品有15件-3分∴样本中一等品的频率为，故估计该厂生产的产品的一等品率为--4分
二等品的频率为，故估计该厂生产的产品的二等品率为；-----5分
三等品的频率为，故估计该厂生产的产品的三等品的频率为． -------6分
（2）∵的可能取值为：1,2,4用样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，由（1）
可得,,--8分∴可得的分布列如右：--------10分
1 2 4
0.5 0.3 0.2
其数学期望(元) ------12分
【试题出处】广东省揭阳市2011—2012学年度高三学业水平考试数学理试题
【原题】（本小题满分12分）某高中社团进行社会实践，对岁的人群随机抽取人进行了一次是否开通“微博”的调查，若开通“微博”的为“时尚族”，否则称为“非时尚族”。通过调查分别得到如图1所示统计表和如图2所示各年龄段人数频率分布直方图：
尚族”中采用分层抽样法抽取18人参加网络时尚达人大赛，其中选取3人作为领队，记选取的3名领队中年龄在岁得人数为,求的分布列和数学期望
【解析】（1）第二组的频率为1-(0.04+0.04+0.03+0.02+0.01)×5=0.3，
所以第二组的人数为1000×0.3=300， p==0.65, 4分
第四组的频率为 0.03×5=0.15，第四组的人数为1000×0.15=150，所以a=150×0.4=60．5分
（2）因为［40,45)岁与［45, 50)岁年龄段的“时尚族”的比值为60∶30=2∶1，
所以采用分层抽样法抽取18人，［40,45)岁中有12人，［45,50)岁中有6人． 6分
随机变量X服从超几何分布．P(X=0)= =,P(X=1)= =,
P(X=2)= =,P(X=3)= =所以随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3
P
10分
∴ 数学期望 E(X)=0×+1×+2×+3×=2
（或者E(X)= =2 ）． 12分
【试题出处】黑龙江省绥化市2011-2012学年度高三年级质量检测数学理科试题
【原题】(满分13分)某人进行射击训练，击中目标的概率是，且各次射击的结果互不影响.（Ⅰ）假设该人射击5次，求恰有2次击中目标的概率；（Ⅱ）假设该人每射击5发子弹为一组，一旦命中就停止，并进入下一组练习，否则一直打完5发子弹才能进入下一组练习，求：① 在完成连续两组练习后，恰好共使用了4发子弹的概率；② 一组练习中所使用子弹数的分布列，并求的期望.
【解析】（I）设射击5次，恰有2次击中目标的事件为.
……4分
（Ⅱ）①完成两组练习后，恰好共耗用4发子弹的事件为,则
. ……8分
②可能取值为1，2，3，4，5. …… 9分
; ，
， ……11分
1 2 3 4 5
0.8 0.16 0.032 0.0064 0.0016
. ……13分
【试题出处】北京市昌平区2011－2012学年第一学期高三年级期末质量抽测（数学理）
【原题】（本题满分13分）如图，一个圆形游戏转盘被分成6个均匀的扇形区域．用力旋转转盘，转盘停止转动时，箭头A所指区域的数字就是每次游戏所得的分数（箭头指向两个区域的边界时重新转动），且箭头A指向每个区域的可能性都是相等的．在一次家庭抽奖的活动中，要求每个家庭派一位儿童和一位成人先后分别转动一次游戏转盘，得分情况记为（假设儿童和成人的得分互不影响，且每个家庭只能参加一次活动）．（Ⅰ）求某个家庭得分为的概率？（Ⅱ）若游戏规定：一个家庭的得分为参与游戏的两人得分之和，且得分大于等于8的家庭可以获得一份奖品．请问某个家庭获奖的概率为多少？
（Ⅲ）若共有5个家庭参加家庭抽奖活动．在（Ⅱ）的条件下，记获奖的家庭数为，求的分布列及数学期望．
【解析】（Ⅰ）记事件A：某个家庭得分情况为． ．
所以某个家庭得分情况为的概率为．…… 4分
（Ⅱ）记事件B：某个家庭在游戏中获奖，则符合获奖条件的得分包括 共3类情况．所以． 所以某个家庭获奖的概率为．……… 8分
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，每个家庭获奖的概率都是，所以．
， ，
，，
，. …… 11分
所以分布列为：
0 1 2 3 4 5
所以．
所以的数学期望为．……………………………… 13分
【试题出处】北京市朝阳区2011-2012学年度高三年级第一学期期末统一考试数学试卷（理工类）
【原题】（本小题共13分）某市医疗保险实行定点医疗制度，按照“就近就医、方便管理”的原则，参加保险人员可自主选择四家医疗保险定点医院和一家社区医院作为本人就诊的医疗机构．若甲、乙、丙、丁4名参加保险人员所在地区附近有A，B，C三家社区医院，并且他们的选择是相互独立的．（Ⅰ）求甲、乙两人都选择A社区医院的概率；（Ⅱ）求甲、乙两人不选择同一家社区医院的概率；（Ⅲ）设4名参加保险人员中选择A社区医院的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．
【解析】（Ⅰ）设“甲、乙两人都选择A社区医院”为事件，那么…………1分
……3分所以甲、乙两人都选择A社区医院的概率为．……………4分
（Ⅱ）设“甲、乙两人选择同一个社区医院”为事件，那么……5分，7分所以甲、乙两人不选择同一个社区医院的概率是．……8分
（Ⅲ）（方法一）随机变量ξ可能取的值为0，1，2，3，4．那么……9分
； ；
； ；
． （错三个没分）
所以ξ的分布列为
0 1 2 3 4
…………12分
． ………13分
（方法二）依题意, …………10分
所以ξ的分布列为，．即
0 1 2 3 4
…………12分
所以 ．………13分
【试题出处】丰台区2011—2012学年度第一学期期末练习高三数学（理科）
【方 法 总 结】
1．主要内容是离散型随机变量的分布列、期望与方差，抽样方法，总体分布的估计，正态分布和线性回归。
　　2．离散型随机变量的分布列
(1)设离散型随机变量ξ可能取的值为x1，x2，…，xi，…，ξ取每一个值xi的概率为P(ξ＝xi)＝pi，则称下表：
ξ x1 x2 x3 … xi …
P p1 p2 p3 … pi …
为离散型随机变量ξ的分布列．
(2)离散型随机变量ξ的分布列具有两个性质：①pi≥0，②p1＋p2＋…＋pi＋…＝1(i＝1,2,3，…)．
　　3．常见的离散型随机变量的分布
(1)两点分布 分布列为(其中0ξ 0 1
P 1－p p
(2)二项分布
在n次独立重复试验中，事件A发生的次数ξ是一个随机变量，其所有可能取的值为0,1,2,3，…，n，并且P(ξ＝k)＝Cpkqn－k(其中k＝0,1,2，…，n，q＝1－p)．显然P(ξ＝k)≥0(k＝0,1,2，…，n)，pkqn－k＝1.称这样的随机变量ξ服从参数n和p的二项分布，记为ξ～B(n，p)．
　　4．随机变量的数学期望和方差
　　（1）离散型随机变量的数学期望：…；反映随机变量取值的平均水平。
　　（2）离散型随机变量的方差：……；反映随机变量取值的稳定与波动，集中与离散的程度。
（3）基本性质：；。
　　5．二项分布和正态分布
　　（1）记ε是n次独立重复试验某事件发生的次数，则ε～B（n，p）；
　　其概率…。期望Eε=np，方差Dε=npq。
　　（2）正态分布密度函数：　　期望Eε=μ，方差。
1 1.5 2
P 0.4 0.4 0.22012届全国各省市高三上期数学联考试题重组专题
题型一 三角函数
【备 考 要 点】
三角函数是中学数学的主体内容,是高考的重点,也是高考的热点,其考点主要包括:同角三角关系式及诱导公式,三角函数的图象和性质,三角函数的化简求值,三角形中的三角函数,三角函数的最值及综合应用。一般设计一道或两道客观题,一道解答题,约占总分的13%,即20分左右.多数是中、低档题.
近几年高考已逐步抛弃了对复杂三角变换和特殊技巧的考查，而重点转移对三角函数的图象与性质的考查，对基础知识和基本技能的考查上来.在考查三角公式进行恒等变形的同时，也直接考查了三角函数的性质及图象的变换，降低了对三角函数恒等变形的要求，加强了对三角函数性质和图象的考查力度.
【2011高考题型】
1、三角函数的概念及同角关系式
此类题主要考查三角函数诱导公式及三角函数的符号规律.解此类题注意必要的分类讨论以及三角函数值符号的正确选取.
2、三角函数的化简求值
这类题主要考查三角函数的变换.解此类题应根据考题的特点灵活地正用、逆用，变形运用和、差、倍角公式和诱导公式，进行化简、求值.
5、三角应用题
此类题主要考查三角函数实际应用. 解决三角应用题的关键是认真阅读题目，正确理解题意，运用所学知识建立适当的三角模型，准确无误的计算等。
6、三角函数的最值及综合应用。
此类问题主要考查三角函数最值和与三角函数有关学科内综合问题，如与平面向量、不等式、数列、解析几何等相结合。多为解答题。而三角形中三角函数最值问题仍将是高考的热点。
三角函数的命题趋于稳定,2012年高考可能依然会保持原有的考试风格，尽管命题的背景上有所变化，但仍属基础题、中档题、常规题.实施新课标后，新一轮基础教育的改革增添了与现代生活和科学技术发展相适应的许多全新的内容，它们会吸引命题者关注的目光.
由于该专题内容基础，高考试题的难度不大，经过一轮复习的学生已经达到了高考的要求，二轮复习就是在此基础上进行的巩固和强化，在复习中注意如下几点：
(1)该专题具有基础性和工具性，虽然没有什么大的难点问题，但包含的内容非常广泛，概念、公式、定理很多，不少地方容易混淆，在复习时要根据知识网络对知识进行梳理，系统掌握其知识体系．
(2)抓住考查的主要题型进行训练，要特别注意如下几个题型：根据三角函数的图象求函数解析式或者求函数值，根据已知三角函数值求未知三角函数值，与几何图形结合在一起的平面向量数量积，解三角形中正弦定理、余弦定理、三角形面积公式的综合运用，解三角形的实际应用问题．
(3)注意数学思想方法的应用，该部分充分体现了数形结合思想、函数与方程思想、化归与转化思想(变换)，在复习中要有意识地使用这些数学思想方法，强化数学思想方法在指导解题中的应用
【2012 命题方向】
【原题】 (本小题满分l2分) 已知函数 ． （1）求函数的最小正周期及单调递增区间；（2）内角的对边长分别为，若求的值．
【试题出处】山东省烟台市2012届高三第一学期期末考试数学试题
【原题】（本小题满分13分）已知函数，.（Ⅰ）求的零点；（Ⅱ）求的最大值和最小值.
【解析】法一：（Ⅰ）：令，得 ，……1分
得 ……4分因为，所以.…………5分
所以，当，或时，.……7分
即 或时，.综上，函数的零点为或.………9分
（Ⅱ）：由（Ⅰ）可知，当，即时，的最大值为；………11分
当，即时，的最小值为. ………………13分
【试题出处】北京市西城区2011— 2012学年度第一学期期末试卷
【原题】（本小题满分12分） 已知函数 （ I）求的单调递增区问；（Ⅱ）若对一切x∈[0，]均成立，求实数m的取值范围．
【解析】．
（Ⅰ）由，解得．
所以，的递增区间为． ………………………（5分）
（Ⅱ）由，得对一切均成立．
所以方程的解集为．……（1分）
解法二：，……（2分）
由，得，…………（1分）
，，…………（2分）
所以方程的解集为．…………（1分）
（2）由余弦定理，，
，……（2分）
所以，…………（1分）由题意，，所以．……（1分）
，，……（2分）
所以此时函数的值域为．…………（2分）
【试题出处】2011学年嘉定区高三年级第一次质量调研数学试卷
【原题】（本小题满分12分）设（其中），已知
且最小正周期为（1）求的值及的表达式；（2）设
的值
【试题出处】湖北省八校2012届高三第一次联考数学试题（文）
【原题】（本小题满分14分）已知向量，，函数．（1）求函数的解析式；（2）当时，求的单调递增区间；（3）说明的图象可以由的图象经过怎样的变换而得到．
【解析】（1）∵
……2分
∴1，………3分∴。……………4分
（2）由，解得，…6分
的图象向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），最后把所得各点的纵坐标伸长为原来的2倍（横坐标不变），得到的图象.14分（每一步变换2分）
【试题出处】广东省汕头市2012届高三上学期教学质量测评卷数学
【原题】（本小题满分12分）在中，，，分别是角A,B,C的对边，且.（Ⅰ）求角的值（Ⅱ）已知函数，将的图像向左平移个单位长度后得到函数的图像，求的单调增区间.
【解析】（1）由正弦定理得(2sinA+sinC)cosB+sinBcosC=0， 2分
即 2sinAcosB+sinCcosB+cosCsinB=0，　　得 2sinAcosB+sin(B+C)=0， 3分
因为 A+B+C=π，所以 sin(B+C)=sinA，得 2sinAcosB+sinA=0，
因为 sinA≠0，所以 cosB=， 5分 又B为三角形的内角，所以B=. 6分
（2）∵ B=, ∴ f(x)=2cos(2x-), 7分∴　g(x)=2cos［2(x+)-］=2cos(2x-)=2sin2x, 9分
由2k-≤2x≤2k+ (k∈Z),得k-≤x≤k+ (k∈Z),
故f(x)的单调增区间为［k-，k+］(k∈Z). 12分
【试题出处】黑龙江省绥化市2011-2012学年度高三年级质量检测数学理科试题
【原题】（本题满分12分）已知函数的图像与y轴的交点为他在y轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为和。(Ⅰ)求的解析式及值；(Ⅱ)若锐角满足求的值
【解析】（Ⅰ）由题意可得：，
得，所以，所以，又是最小的正数，；
（Ⅱ），
【试题出处】山东省德州市2012届高三上学期期末考试数学试题
【原题】（本小题共13分）已知函数．（Ⅰ）求函数的最小正周期和值域；（Ⅱ）若为第二象限角，且，求的值．
【解析】（Ⅰ）因为……1分 ，………2分
所以函数的周期为，值域为．……4分
（Ⅱ）因为 ，所以 ，即……5分
因为 ……8分
，………10分
又因为为第二象限角， 所以 ．…11分
解得：……11分. ……13分
【试题出处】昌平区2011－2012学年第一学期高三年级期末质量抽测
【原题】（本小题满分12分） 已知函数
（1）求函数的最小值和最小正周期；（2）已知内角A、B、C的对边分别为a、b、c且c=3,，若向量与共线，求实数a、b的值。
【解析】（1）
∴ 的最小值为，最小正周期为.…………5分
（2）∵ ， 即
∵ ，，∴ ，∴ ． ……7分
∵ 与共线，∴ ．由正弦定理 ， 得 ①…9分
由正弦定理得，，
，，，所以的取值范围为 ………14分
【试题出处】浙江省宁波市2012届高三第一学期期末考试数学（理）试卷
【原题】（本题满分12分）在△ABC中，已知AB＝，BC＝2（Ⅰ）若cosB＝－，求sinC的值；（Ⅱ）求角C的取值范围．
【解析】（Ⅰ）在△ABC中，由余弦定理知， AC2＝AB2＋BC2－2 ABBCcosB＝4＋3＋2×2×（－）＝9．所以AC＝3．（3分） 又因为sinB＝＝＝，…………（4分）
由正弦定理得＝． 所以sinC＝sinB＝…（6分）
（Ⅱ）在△ABC中，由余弦定理得，AB2＝AC2＋BC2－2 ACBCcosC，所以，3＝AC2＋4－4ACcosC，
即 AC2－4cosCAC＋1＝0…（8分）由题，关于AC的一元二次方程应该有解令△＝（4cosC）2－4≥0, 得cosC≥，或cosC≤－（舍去，因为AB＜AC）,所以，0＜C≤，即角C的取值范围是（0，）…12分）
【试题出处】鄂州市2011—2012学年度上学期期末考试
【原题】（本题满分13分）在锐角中，，，分别为内角，，所对的边，且满足．（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）若，且，，求的值．
【试题出处】北京市朝阳区2011-2012学年度高三年级第一学期期末统一考试
【原题】（本小题满分12分）已知函数，,将函数向左平移个单位后得函数，设三角形三个角、、的对边分别为、、.（Ⅰ）若，，，求、的值；（Ⅱ）若且，，求的取值范围.
【解析】（Ⅰ）1分
,所以因为,所以【试题出处】山东省青岛市2012届高三期末检测数学
【原题】（15分）已知向量，，函数．
（1）求函数的最小正周期；（2）若，，是的内角，，的对边，，，且是函数在上的最大值，求：角，角及边的大小．
【解析】（1），
…………5分
（2），，的最大值为3．
，为三角形内角，…………9分
又，得，，………………12分
由，得，………15分
【试题出处】上海市虹口区2012届高三上学期期终教学质量监控测试数学试卷
【原题】（本小题满分13分） 设函数，其中向量（Ⅱ）由f(A) = 2，得， 在△ABC中，
，解得 ……8分
又，解得c = 2.△ABC中，由余弦定理得：
， ∴a = .…10分
由，得…13分
【试题出处】2012届厦门市高三上期末质量检查数学模拟试题
【原题】（本小题满分12分）如图，在平面直角坐标系中，锐角和钝角的终边分别与单位圆交于，两点．⑴如果、两点的纵坐标分别为、，求和；
⑵在⑴的条件下，求的值；
⑶已知点，求函数的值域．
【解析】（1）根据三角函数的定义，得，．
又是锐角，所以 ( 4分)
（2）由（1）知．因为是钝角，所以．
所以． ( 8分)
（3）由题意可知，，．
所以，
因为，所以，
从而，因此函数的值域为． ( 12分)
【试题出处】2012年长春市高中毕业班第一次调研测试数学试题卷
【原题】（本小题满分12分）在某海岸A处，发现北偏东方向，距离A处n mile的B处有一艘走私船在A处北偏西的方向，距离A处n mile的C处的缉私船奉命以n mile/h的速度追截走私船. 此时，走私船正以5 n mile/h的速度从B处按照北偏东方向逃窜，问缉私船至少经过多长时间可以追上走私船，并指出缉私船航行方向.
【解析】设缉私船至少经过t h 可以在D点追上走私船，则， （1分）
在△ABC中，由余弦定理得，,∴ （3分）由正弦定理得，，∴， （5分）∴点B在C的正东方向上， （7分）
又在△DBC中，由正弦定理得,
∴ ，∴ （9分）
∴，∴，即，∴， （11分） 又故缉私船至少经过h可以追上走私船，缉私船的航行方向为北偏东.（12分）
【试题出处】吉林市普通中学2011—2012学年度高中毕业班上学期期末教学质量检测数学(理科)
【方法总结】
三角函数的命题趋于稳定,但近年考查得似乎有些简单，因此2012年高考可能会保持原有的考试风格，但三角函数解答题在复习时应着重备考向量与三角的整合以及解三角形与三角公式整合的题型。尽管命题的背景有变化，但总的来说仍属基础题、中档题和常规题.
1.三角函数的图象和性质是考查的重点也是难点.因为三角函数的图象和性质是学生将来学习高等数学和应用技术学科的基础,又是解决实际生产问题的工具，而且近年来高考降低了对三角变换的考查要求,势必会加大对三角函数图象与性质的考查力度，从而使三角函数的图象和性质成为高考的一个热点，是三角解答题的主要题型，具有一定的灵活性和综合性.周期及对称问题以及三角函数单调性仍是高考的重点.
2.三角函数的化简和求值是常考题型.它往往出现在小题中，或者是作为解答题中的一小问，其中必然渗透着简单的三角恒等变换和三角函数的性质.着重考查三角函数的基础知识、基本技能和基本方法.
A
C
B
·
·2012届全国各省市高三上期数学联考试题重组专题
题型五 解析几何
【备 考 要 点】
考情分析 从近几年高考来看，本讲高考命题具有以下特点：1．圆锥曲线是高考中每年必考内容，是高考的重点和热点，选择题、填空题和解答题均有涉及，所占分数在12～18分．主要考查圆锥曲线的标准方程、几何性质等．2．由于新课标对此部分的考查增加了“理解数形结合思想”的要求，所以考查数形结合、等价转化、分类讨论等数学思想方法的问题有所加强．3．以向量为载体的解析几何问题已成为高考的重中之重，联系方程、不等式以及圆锥曲线的转化，题型灵活多样．
解答题的题型设计主要有三类：圆锥曲线的有关元素计算．关系证明或范围的确定；涉及与圆锥曲线平移与对称变换、最值或位置关系的问题；求平面曲线（整体或部分）的方程或轨迹．近年来，高考中解析几何综合题的难度有所下降．随着高考的逐步完善，结合上述考题特点分析，预测今后高考的命题趋势是：将加强对于圆锥曲线的基本概念和性质的考查，加强对于分析和解决问题能力的考查．因此，教学中要注重对圆锥曲线定义、性质、以及圆锥曲线基本量之间关系的掌握和灵活应用．高考第二阶段的复习，应在继续作好知识结构调整的同时，抓好数学基本思想、数学基本方法的提炼，进行专题复习；做好“五个转化”，即从单一到综合、从分割到整体、从记忆到应用、从慢速摸仿到快速灵活、从纵向知识到横向方法.这一复习过程，要充分体现分类指导、分类要求的原则，内容的选取一定要有明确的目的性和针对性，要充分发挥教师的创造性，更要充分考虑学生的实际，要密切注意学生的信息反馈，防止过分拔高，加重负担. 要点知识整合
【2011高考题型】
根据近年来各地高考的情况，解析几何高考考查特点(1)题型稳定:近几年来高考解析几何试题一直稳定在三(或二)个选择题,一个填空题,一个解答题上,分值约为30分左右, 占总分值的20%左右。
(2)整体平衡,重点突出:对直线、圆、圆锥曲线知识的考查几乎没有遗漏,通过对知识的重新组合,考查时既注意全面,更注意突出重点, 对支撑数学科知识体系的主干知识, 考查时保证较高的比例并保持必要深度。近四年新教材高考对解析几何内容的考查主要集中在如下几个类型: ① 求曲线方程( 类型确定、类型未定); ②直线与圆锥曲线的交点问题(含切线问题); ③与曲线有关的最(极)值问题; ④与曲线有关的几何证明(对称性或求对称曲线、平行、垂直); ⑤探求曲线方程中几何量及参数间的数量特征;
(3)能力立意,渗透数学思想:一些虽是常见的基本题型,但如果借助于数形结合的思想,就能快速准确的得到答案。
(4)题型新颖,位置不定:近几年解析几何试题的难度有所下降,选择题、填空题均属易中等题,且解答题未必处于压轴题的位置,计算量减少,思考量增大。加大与相关知识的联系(如向量、函数、方程、不等式等),凸现教材中研究性学习的能力要求。加大探索性题型的分量。
由于圆锥曲线是传统的高中数学主干知识，在高考命题上已经比较成熟，考查的形式和试题的难度、类型已经较为稳定，预计2012年仍然是这种考查方式，不会发生大的变化．
【2012 命题方向】
【原题】（本小题满分14分）已知中，点A、B的坐标分别为，点C在x轴上方。（1）若点C坐标为，求以A、B为焦点且经过点C的椭圆的方程；（2）过点P（m，0）作倾角为的直线交（1）中曲线于M、N两点，若点Q（1，0）恰在以线段MN为直径的圆上，求实数m的值。
【解析】（Ⅰ）设椭圆方程为，c=,2a=,b=椭圆方程为5分
即，．
【试题出处】黄冈市2011年秋季高三年级期末考试数学试题（文）
【原题】（本小题满分12分）已知斜率为1的直线与双曲线相交于B、D两点，且BD的中点为M（1，3）。（1）求双曲线C的离心率；（2）若双曲线C的右焦点坐标为（3，0），则以双曲线的焦点为焦点，过直线上一点M作椭圆，要使所作椭圆的长轴最短，点M应在何处？并求出此时的椭圆方程。
【解析】（Ⅰ）由题设知：的方程为，代入的方程，并化简得：
(＊)………2分
设，则， ……4分由为的中点知，故即.　故，∴验证可知方程(＊)的△>0……6分
（Ⅱ）双曲线的左、右焦点为、，点关于直线①
的对称点的坐标为，直线的方程为② ………8分
解方程组①②得：交点…9分此时最小，
所求椭圆的长轴，∴…11分
又， ∴，故所求椭圆的方程为 ……12分
【试题出处】安徽省宿州市2012届高三第一次教学质量检测数学试题（理）
【原题】（本题满分13分）已知椭圆:的离心率等于,抛物线:的焦点在椭圆的顶点上．（1）求抛物线的方程。 （2）过的直线与抛物线交于、两点，又过、作抛物线的切线、，当时，求直线的方程。
【解析】（1）已知椭圆的短半轴为，半焦距为， 由离心率等于
∴，∴椭圆的上顶点，∴抛物线的焦点为，∴抛物线的方程为　
（2）设直线的方程为，，，，∴
∴切线、的斜率分别为、　当时，即：由得：，解得或 ①∴即：满足 ①∴直线的方程为
【试题出处】2012届厦门市高三上期末质量检查数学模拟试题（理）
【原题】（本小题满分12分） 过椭圆的左焦点F作斜率为的直线交椭圆于A，B两点，使得AB的中点M在直线上。（1）求k的值；（2）设C（-2，0），求
【解析】（Ⅰ）由椭圆方程，a＝，b＝1，c＝1，则点F为(－1，0)．
直线AB方程为y＝k(x＋1)，代入椭圆方程，得(2k2＋1)x2＋4k2x＋2k2－2＝0． ①
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，则x0＝＝－，y0＝k(x0＋1)＝，
由点M在直线x＋2y＝0上，知－2k2＋2k＝0，∵k≠0，∴k＝1…6分
（Ⅱ）将k＝1代入①式，得3x2＋4x＝0，不妨设x1＞x2，则x1＝0，x2＝－， …8分
记α＝∠ACF，β＝∠BCF，则tanα＝＝＝，tanβ＝－＝－＝，
∴α＝β，∴tan∠ACB＝tan2α＝＝．…12分
【试题出处】唐山市2012届高三上学期期末考试数学试题（文）
【原题】已知曲线的方程为（）．（1）讨论曲线所表示的轨迹形状；（2）若时，直线与曲线相交于两点，，且，求曲线的方程．
【解析】（1）当时，曲线的轨迹是焦点在轴上的双曲线；……（1分）
当时，曲线的轨迹是两条平行的直线和；…（1分）
当时，曲线的轨迹是焦点在轴上的椭圆；…（1分）
当时，曲线的轨迹是圆；…（1分）
当时，曲线的轨迹是焦点在轴上的椭圆．……（1分）
（2）由，得……① …………（2分）
因为，所以方程①为一元二次方程，△，所以直线与曲线必有两个交点．…（1分）设，，则，为方程①的两根，所以
，，……（1分）所以
，……（2分）
所以，解得或……（2分）
因此曲线的方程为或． ……（1分）
【试题出处】上海市嘉定区2012届高三上学期第一次质量调研数学文试卷
【原题】如图，焦距为2的椭圆D的两个顶点分别为和，且与共线.（Ⅰ）求椭圆D的标准方程；（Ⅱ）过点且斜率为的直线l与椭圆D有两个不同的交点P和Q ，若以PQ为直径的圆经过原点O，求实数m的值.
【解析】（Ⅰ）设椭圆E的标准方程为，由已知得，∴，∵与共线，∴，又（3分）
∴ ，∴ 椭圆E的标准方程为 （5分）
（Ⅱ）设,把直线方程代入椭圆方程，
消去y，得，,∴, （7分）
，∴ （8分）∵以PQ为直径的圆经过原点O
∴，即（9分）
又
由得，∴（11分）∴（12分）
【试题出处】吉林市普通中学2011—2012学年度高中毕业班上学期期末教学质量检测数学
【原题】（本题满分13分）已知椭圆的离心率为，且过点，为其右焦点（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设过点的直线与椭圆相交于、两点（点在两点之间），若与的面积相等，试求直线的方程.
【解析】（Ⅰ）因为，所以，…1分
设椭圆方程为，又点在椭圆上,所以，解得，…3分
所以椭圆方程为……4分
（Ⅱ）易知直线的斜率存在, 设的方程为，5分
由消去整理，得，6分
由题意知，解得.………7分
设，，则， ①， .… ②.
因为与的面积相等，所以，所以. ③…10分
由①③消去得. ④ 将代入②得. ⑤
将④代入⑤，整理化简得，解得经检验成立.所以直线的方程为.…13分
【试题出处】北京市朝阳区2011-2012学年度高三年级第一学期期末统一考试数学试卷（文史类）
【原题】已知椭圆的中心在原点，左焦点为，离心率为．设直线与椭圆有且只有一个公共点，记点在第一象限时直线与轴、轴的交点分别为，且向量.求：（I）椭圆的方程；（II）的最小值及此时直线的方程
【解析】(Ⅰ)由题意可知，，所以，于是，由于焦点在轴上，故C椭圆的方程为……5分
（Ⅱ）设直线的方程为：，消去得：
…7分直线与曲线有且只有一个公共点，
即① 9分∵
②…11分将①式代入②得：
当且仅当时，等号成立，故，此时直线方程为：.14分
【试题出处】昌平区2011－2012学年第一学期高三年级期末质量抽测数学试卷（文科）
【原题】（本小题共13分）已知椭圆的右焦点为，为椭圆的上顶点，为坐标原点，且△是等腰直角三角形．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）是否存在直线交椭圆于，两点， 且使点为△的垂心（垂心：三角形三边高线的交点）？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．
【解析】（Ⅰ）由△是等腰直角三角形得，，故椭圆方程为5分
（Ⅱ）假设存在直线交椭圆于，两点，且为△的垂心，设，
因为，，故．………7分于是设直线的方程为，
由得．
解得或…12分经检验，当时，△不存在，故舍去．
当时，所求直线存在，且直线的方程为．………13分
【试题出处】北京市东城区2011-2012学年度高三数第一学期期末教学统一检测数学（理科）
【原题】（本小题满分13分）已知椭圆:的右焦点为，离心率为.
（Ⅰ）求椭圆的方程及左顶点的坐标；（Ⅱ）设过点的直线交椭圆于两点，若的面积为，求直线的方程.
【解析】（Ⅰ）由题意可知：，，所以.所以 . 所以 椭圆的标准方程为，左顶点的坐标是.……4分
（Ⅱ）根据题意可设直线的方程为，.由可得：.所以 ，，
.…7分所以 的面积…9分
.………10分
因为的面积为，所以.令，则.解得（舍），.所以. 所以直线的方程为或.…13分
【试题出处】北京市海淀区2012届高三年级第一学期期末数学试题(文)
【原题】（本小题满分13分）如图，轴，点M在DP的延长线上，
且．当点P在圆上运动时。
（I）求点M的轨迹C的方程；（Ⅱ）过点
的切线交曲线C于A，B两点，求△AOB面积S的最大值和相应的点T的坐标。
【解析】设点的坐标为，点的坐标为，则，
所以， ①因为在圆上所以②
将①代入②，得点的轨迹方程C的方程为．…… （5分）
（Ⅱ）由题意知，．当时，切线的方程为，点A、B的坐标分别为
此时，当时，同理可得； 当时，设切线的方程为由得③
设A、B两点的坐标分别为，则由③得：．
又由l与圆相切，得即
所以
因为且当时，|AB|=2，所以|AB|的最大值为2
依题意，圆心到直线AB的距离为圆的半径，所以面积，
当且仅当时，面积S的最大值为1，相应的的坐标为或者．13分
【试题出处】湖北省武昌区2012届高三年级元月调研测试数学试题（文）
【原题】（本题满分14分） 已知椭圆的离心率为，直线过点，，且与椭圆相切于点.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）是否存在过点的直线与椭圆相交于不同的两点、，使得 若存在，试求出直线的方程；若不存在,请说明理由.
【解析】（Ⅰ）由题得过两点，直线的方程为.………… 1分
因为，所以，. 设椭圆方程为,
由消去得，.又因为直线与椭圆相切,所以又直线与椭圆相切，由解得，所以…10分则. 所以.
又
所以，解得.经检验成立.…… 13分
所以直线的方程为.…… 14分
【试题出处】北京市朝阳区2011-2012学年度高三年级第一学期期末统一考试数学试卷（理工类）
【原题】(本题12分)如图，ADB为半圆，AB为半圆直径，O为半圆圆心，且ODAB，Q为线段OD的中点，已知|AB|=4，曲线C过Q点，动点P在曲线C上运动且保持|PA|+|PB|的值不变。(I)建立适当的平面直角坐标系，求曲线C的方程；(II)过点B的直线与曲线C交于M、N.两点，与OD所在直线交于E点，，证明：为定值.
【解析】（Ⅰ）以AB、OD所在直线分别为x轴、y轴， O为原点，
建立平面直角坐标系，∵动点P在曲线C上运动
且保持|PA|+|PB|的值不变．且点Q在曲线C上,
∴|PA|+|PB|=|QA|+|QB|=2＞|AB|=4． 3分
∴曲线C是为以原点为中心，A、B为焦点的椭圆．设其长半轴为a,短半轴为b,半焦距为c,则2a=2,∴a=,c=2,b=1… 4分∴曲线C的方程为+y2=15分
【法1】（Ⅱ）：设点的坐标分别为，
易知点的坐标为．且点B在椭圆C内,故过点B的直线l必与椭圆C相交．
∵，∴． ∴ ，… 7分
将M点坐标代入到椭圆方程中得：，
去分母整理，得………… 9分
同理，由可得：…… 10分
∴ ，是方程的两个根11分∴ ……… 12分
【法2】（Ⅱ）：设点的坐标分别为，
易知点的坐标为．且点B在椭圆C内,故过点B的直线l必与椭圆C相交．
显然直线 的斜率存在，设直线 的斜率为 ，则直线 的方程是 …6分
将直线 的方程代入到椭圆 的方程中，消去 并整理得
∴ ，…… 8分
又 ∵， 则．∴，
同理，由，∴………10分
∴ ……………………12分
【试题出处】2012年北海市高中毕业班第一次质量检测数学
【原题】已知椭圆C的中心在原点，对称轴为坐标轴，且过(Ⅰ)求椭圆C的方程，(Ⅱ)直线交椭圆C与A、B两点，求证：
【解析】设椭圆C 的方程为由椭圆C过点得：
解得椭圆C的方程为
（Ⅱ）设，由消去y整理得，由韦达定理得，则由两边平方整理可得
只需证明，
而
故恒成立
【试题出处】山东省德州市2012届高三上学期期末考试数学试题（理科）
【原题】（本小题共13分）已知椭圆的左、右焦点分别为，， 点是椭圆的一个顶点，△是等腰直角三角形．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过点分别作直线，交椭圆于，两点，设两直线的斜率分别为， ，且，证明：直线过定点（）．
【解析】（Ⅰ）由已知可得 ，所求椭圆方程为．…5分
（Ⅱ）若直线的斜率存在，设方程为，依题意．
设，，由 得 …7分
则．由已知，
所以，即．………10分
所以，整理得 ．故直线的方程为，即（）．
所以直线过定点（）．……12分
若直线的斜率不存在，设方程为，设，，
由已知，得．此时方程为，显然过点（）．
综上，直线过定点（）．…13分
【试题出处】北京市东城区2012届高三上学期期末考试文科数学
【原题】（本小题满分13分）已知椭圆的离心率为，两焦点之间的距离为4。 （I）求椭圆的标准方程；（II）过椭圆的右顶点作直线交抛物线于A、B两点，（1）求证：OA⊥OB；（2）设OA、OB分别与椭圆相交于点D、E，过原点O作直线DE的垂线OM，垂足为M，证明|OM|为定值。
【解析】（Ⅰ）由得，故．所以，所求椭圆的标准方程为…4分
（2）设、，直线的方程为，代入，得
．于是．
从而，．代入，整理得．∴原点到直线的距离为定值……（13分）
【试题出处】湖北省武昌区2012届高三年级元月调研测试数学（理）试题
【原题】（本小题满分14分）已知椭圆的离心率为，椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）已知动直线与椭圆相交于、两点.①若线段中点的横坐标为，求斜率的值；②已知点，求证：为定值.
【解析】（Ⅰ）因为满足， ……2分
。解得，则椭圆方程为……4分
（Ⅱ）（1）将代入中得……6分
，……7分
因为中点的横坐标为，所以，解得…………9分
（2）由（1）知，
所以 ……………11分
…12分
…14分
【试题出处】山东省青岛市2012届高三期末检测数学 (文科)
【解析】（1）由已知，，（，），设
由，得，故点的坐标为，…（3分）
将点的坐标代入，化简得，．…………（3分）
（2）解法一：设，则，所以．……（1分）
又，，所以
，…………（3分）
记，，则在上是减函数，在上是增函数．
所以，当时，取最小值，当时，取最大值．
所以△面积的取值范围是．…………（2分）
解法二：因为，（，），所以
，…（4分）
记，，则在上是减函数，在上是增函数
所以，当时，取最小值，当时，取最大值．
所以△面积的取值范围是．…………（2分）
【试题出处】2011学年嘉定区高三年级第一次质量调研数学试卷（理）
【原题】如图，过抛物线上一点P（1，-2）作倾斜角互补的两条直线，分别与抛物线交于点
（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若，求面积的最大值。
【解析】⑴因为，在抛物线上，
所以， ，
同理，依题有，因为，所以．…4分
⑵由⑴知，设的方程为，
到的距离为，，
所以=，…8分
令，由，，可知．，
因为为偶函数，只考虑的情况，
记，，故在是单调增函数，故的最大值为，故的最大值为6．…………10分
【试题出处】江苏省苏北四市（徐、连、宿、淮）2012届高三元月调研测试（数学）
【原题】（本小题满分13分）已知椭圆的一个焦点是，且离心率为.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设经过点的直线交椭圆于两点，线段的垂直平分线交轴于点，求的取值范围.
【解析】（Ⅰ）：设椭圆的半焦距是.依题意，得 .……1分 因为椭圆的离心率为，
所以，. …3分故椭圆的方程为 . ………4分
（Ⅱ）解：当轴时，显然. ……5分当与轴不垂直时，可设直线的方程为
.由 消去整理得 .…7分
设，线段的中点为，则 .……8分
所以 ，.线段的垂直平分线方程为
.在上述方程中令，得10分
当时，；当时，.所以或12分
综上，的取值范围是. …13分
【试题出处】北京市西城区2011 — 2012学年度第一学期期末试卷高三数学
【原题】（本小题共13分）在平面直角坐标系xOy中，为坐标原点，以为圆心的圆与直线相切．（Ⅰ）求圆的方程；（Ⅱ）直线：与圆交于，两点，在圆上是否存在一点，使得四边形 为菱形，若存在，求出此时直线的斜率；若不存在，说明理由．
所以原点到直线：的距离为．……10分
所以，解得，…11分即，经验证满足条件．……12分
所以存在点，使得四边形为菱形．……13分
（方法二）记与交于点．因为直线斜率为，显然，所以直线方程为…7分， 解得， 所以点坐标为，……9分
因为点在圆上，所以，解得，……11分
即，经验证满足条件．…12分所以存在点，使得四边形为菱形．…3分
【试题出处】丰台区2011—2012学年度第一学期期末练习高三数学（文科）
【原题】（本小题共13分）在平面直角坐标系xOy中，为坐标原点，动点与两个定点，的距离之比为．（Ⅰ）求动点的轨迹的方程； （Ⅱ）若直线：与曲线交于，两点，在曲线上是否存在一点，使得，若存在，求出此时直线的斜率；若不存在，说明理由．
【解析】（Ⅰ）设点的坐标为，依题意，即 3分化简得． 所以动点的轨迹的方程为．…5分
（Ⅱ）因为直线：与曲线相交于，两点， 所以 ， 所以或……7分假设存在点，使得…8分因为，在圆上，且，由向量加法的平行四边形法则可知四边形为菱形，所以与互相垂直且平分…9分所以原点到直线：的距离为…10分即 ，解得，
，经验证满足条件………12分所以存在点，使得．…13分
【试题出处】丰台区2011—2012学年度第一学期期末练习高三数学（理科）
【原题】（本小题满分14分）已知焦点在轴上的椭圆过点，且离心率为,为椭圆的左顶点.（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）已知过点的直线与椭圆交于，两点.（ⅰ）若直线垂直于轴，求的大小;（ⅱ）若直线与轴不垂直，是否存在直线使得为等腰三角形？如果存在，求出直线的方程；如果不存在，请说明理由.
【解析】（Ⅰ）设椭圆的标准方程为，且.由题意可知：，.……2分所以.所以，椭圆的标准方程为.……3分
（Ⅱ）由（Ⅰ）得.设.（ⅰ）当直线垂直于轴时，直线的方程为.由 解得：或即（不妨设点在轴上方）.……5分则直线的斜率，直线的斜率.因为 ，所以 .所以 .6分
（ⅱ）当直线与轴不垂直时，由题意可设直线的方程为.由消去得：.因为 点在椭圆的内部，显然.…8分因为 ，，，所以
.
所以 . 所以 为直角三角形.……………11分
假设存在直线使得为等腰三角形，则.
取的中点，连接，则.
记点为.
另一方面，点的横坐标，
所以 点的纵坐标.
所以
.所以 与不垂直，矛盾.
所以 当直线与轴不垂直时，不存在直线使得为等腰三角形.…13分
【试题出处】北京市海淀区2012届高三年级第一学期期末数学试题(理)
【原题】已知椭圆的焦点，过作垂直于轴的直线被椭圆所截线段长为，过作直线l与椭圆交于A、B两点.（1）求椭圆的标准方程；（2）若A是椭圆与y轴负半轴的交点，求的面积；（3）是否存在实数使，若存在，求的值和直线的方程；若不存在，说明理由．
【解析】(1) 设椭圆方程为，由题意点在椭圆上，……（2分）
所以，解得……（4分）
（2）由题意，…（5分）所以，（7分）…（9分）
（3）当直线斜率不存在时，易求，
所以
由得，直线的方程为．………（11分）
当直线斜率存在时，所以，
由得即…………（13分）
因为，所以此时，直线的方程为…（16分）
注：由得是AB的中点或P、A、B、共线，不扣分．
【试题出处】上海市宝山区2012届高三上学期期末质量监测数学试题
【原题】（本题满分12分）已知圆，圆，动点到圆,上点的距离的最小值相等.（1）求点的轨迹方程；（2）点的轨迹上是否存在点，使得点到点的距离减去点到点的距离的差为，如果存在求出点坐标，如果不存在说明理由.
【解析】（1）设动点的坐标为，圆的圆心坐标为，圆的圆心坐标为2分
因为动点到圆,上的点距离最小值相等，所以, ………3分
即，化简得…4分因此点的轨迹方程是…5分
（2）假设这样的点存在，因为点到点的距离减去点到点的距离的差为4，
所以点在以和为焦点，实轴长为的双曲线的右支上， 即点在曲线上9分又点在直线上点的坐标是方程组的解11分消元得，，方程组无解，所以点的轨迹上不存在满足条件的点…13分
【试题出处】2012年佛山市普通高中高三教学质量检测（一）数学试题
【原题】(本小题满分12分) 在直角坐标系中，以坐标原点为圆心的圆与直线：相切。（1）求圆的方程；（2）若圆上有两点关于直线对称，且,求直线MN的方程；（3）圆与x轴相交于A、B两点，圆内的动点P使|PA|、|PO|、|PB|成等比数列，求的取值范围。
【解析】（1）依题设，圆的半径等于原点到直线的距离， 即 ．
得圆的方程为……3分
（2）由题意，可设直线MN的方程为。则圆心到直线MN的距离…5分
由垂径分弦定理得：，即。所以直线MN的方程为：
或…7分
（3）不妨设．由得．设，由
成等比数列，得，即． …………9分
∴=由于点在圆内，故由此得
．…11分所以的取值范围为………12分
【试题出处】株洲市2012届高三教学质量统一检测理科数学试题
【原题】（本小题满分12分）已知抛物线的焦点为F，过点F作直线与抛物线交于A，B两点，抛物线的准线与轴交于点C。（1）证明：； （2）求的最大值，并求取得最大值时线段AB的长。
【解析】（Ⅰ）由题设知，F(，0)，C(－，0)，设A(x 1，y1)，B(x2，y2)，直线l方程为x＝my＋，
代入抛物线方程y2＝2px，得y2－2pmy－p2＝0．y1＋y2＝2pm，y1y2＝－p2．…4分不妨设y1＞0，y2＜0，则tan∠ACF＝＝＝＝＝，tan∠BCF＝－＝－，
∴tan∠ACF＝tan∠BCF，所以∠ACF＝∠BCF．…8分
（Ⅱ）如（Ⅰ）所设y1＞0，tan∠ACF＝≤＝1，当且仅当y1＝p时取等号，此时∠ACF取最大
值，∠ACB＝2∠ACF取最大值，并且A(，p)，B(，－p)，|AB|＝2p．…12分
【试题出处】唐山市2012届高三上学期期末考试数学试题（理）
【原题】（本小题满分14分）已知圆的圆心在坐标原点,且恰好与直线相切.(Ⅰ) 求圆的标准方程；（Ⅱ）设点为圆上任意一点,轴于,若动点满足
,(其中为常数),试求动点的轨迹方程；（Ⅲ）在（Ⅱ）的结论下，当时,得到曲线，问是否存在与垂直的一条直线与曲线交于、两点,且为钝角，请说明理由.
（Ⅲ）时,曲线方程为，假设存在直线与直线垂直,设直线的方程为…8分设直线与椭圆交点
联立得:，得……9分
因为，解得，且……10分
…12分因为为钝角，所以，
解得满足所以存在直线满足题意……14分
【试题出处】山东省青岛市2012届高三期末检测数学 (理科)
【原题】．（本小题满分14分）已知定点A（-3,0），MN分别为x轴、y轴上的动点（M、N不重合），且,点P在直线MN上，.（1）求动点P的轨迹C的方程；（2）设点Q是曲线上任一点，试探究在轨迹C上是否存在点T？使得点T到点Q的距离最小，若存在，求出该最小距离和点T的坐标，若不存在，说明理由．
【解析】（1）设点M、N的坐标分别为，（）点P的坐标为，
则，，
由得，-（※）--2分由得 --3分
∴代入（※）得----5分
∵∴∴动点P的轨迹C的方程为（）------6分
（2）曲线即，是以B（4,0）为圆心，以1为半径的圆,设 T为轨迹C上任意一点，连结TB, 则----------8分
∴当最小时，最小.----9分∵点T在轨迹C上，设点（）
∴-------11分
当，即时，有最小值，---------12分
当时，∴在轨迹C上是存在点T，其坐标为，使得最小，.--14分
【试题出处】广东省揭阳市2011—2012学年度高三学业水平考试数学理试题数学试题(理科)
【原题】在△ABC中，顶点A，B，动点D，E满足：①；
②，③共线. （Ⅰ）求△ABC顶点C的轨迹方程；（Ⅱ）是否存在圆
心在原点的圆，只要该圆的切线与顶点C的轨迹有两个不同交点M，N，就一定有，若存
在，求该圆的方程；若不存在，请说明理由.
【解析】：(I)设C（x,y）,由得，动点的坐标为；
由得，动点E在y轴上，再结合与共线，得，动点E的坐标为;…2分由的，，整理得，.因为的三个顶点不共线，所以，故顶点C的轨迹方程为.…………5分
(II)假设存在这样的圆，其方程为，当直线MN的斜率存在时，设其方程为，代入椭圆的方程，得，设M，N，
则，
所以 (*)…7分由，得0，
即，将式子(*)代入上式，得.……9分又直线MN：与圆相切知：.
所以，即存在圆满足题意；当直线MN的斜率不存在时，可得，满足.综上所述：存在圆满足题意. …………12分
【试题出处】郑州2012高三第一次质量预测（数学理）
【原题】(本小题满分16分) 如图,在平面直角坐标系中,已知点为椭圆的右顶点, 点,点在椭圆上, (1)求直线的方程；(2)求直线被过三点的圆截得的弦长；(3)是否存在分别以为弦的两个相外切的等圆 若存在,求出这两个圆的方程；若不存在,请说明理由.
【解析】(1)因为,且A(3,0),所以=2,而B,P关于y轴对称,所以点P的横坐标为1,从而得…3分 所以直线BD的方程为………5分
(2)线段BP的垂直平分线方程为x=0,线段AP的垂直平分线方程为,
所以圆C的圆心为(0,－1),且圆C的半径为……8分
又圆心(0,－1)到直线BD的距离为,所以直线被圆截得的弦长为…10分
(3)假设存在这样的两个圆M与圆N,其中PB是圆M的弦,PA是圆N的弦,则点M一定在y轴上,点N一定在线段PC的垂直平分线上,当圆和圆是两个相外切的等圆时,一定有P,M,N在一条直线上,且PM=PN…12分设,则,根据在直线上,解得……14分所以,故存在这样的两个圆,且方程分别为
,……16分
【试题出处】南京市、盐城市2012届高三年级第一次模拟考试数学试题
【原题】（本题满分15分）长为3的线段的两个端点分别在轴上移动，点在直线上且满足．（I）求点的轨迹的方程；（II）记点轨迹为曲线，过点任作直线交曲线于两点，过作斜率为的直线交曲线于另一点．求证：直线与直线的交点为定点（为坐标原点），并求出该定点．
【解析】（I）设由得即又由得即为点的轨迹方程．……5分
（II）当的斜率不存在时，直线与曲线相切，不合题意；
当斜率存在时，设直线的方程为，即
联列方程得
设，则………7分
则的方程为与曲线C的方程联列得
则所以 ……9分
直线的方程为令，则
．……11分
．从而．即直线与直线交于定点．15分
【试题出处】浙江省宁波市2012届高三第一学期期末考试数学（理）试卷
【原题】（本题满分15分）已知抛物线的焦点为，抛物线上一点的横坐标为，过点作抛物线的切线交轴于点，交轴于点，交直线于点，当时，．（Ⅰ）求证：为等腰三角形，并求抛物线的方程；（Ⅱ）若位于轴左侧的抛物线上，过点作抛物线的切线交直线于点，交直线于点，求面积的最小值，并求取到最小值时的值．
（II）设，则处的切线方程为
由，
同理，所以面积……①
设的方程为，则由，得代入①得：，使面积最小，则得到② 令，②得，，所以当时单调递减；当单调递增，所以当时，取到最小值为，此时，，所以，即 …15分
椭圆的右焦点（1，0）……2分 即 ……4分
抛物线方程为……5分
（2）设直线AB: 联立，消得，………7分
设，，则 ……9分
由=
…11分
…13分当时，有最小值-2. 15分
【试题出处】温州市十校联合体2011学年第一学期高三期末联考数学（文科）试题卷
【原题】（本小题满分15分）已知焦点在x轴的椭圆C的离心率为，椭圆上的点与焦点的最大距离为8。（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）过其右焦点作与轴不垂直的任意直线交椭圆C于两点， 线段的垂直平分线交轴于点，求的值 。（3）类似的有：“若曲线为，则为”， 根据以上两结论试猜测，对任意的椭圆或双曲线，此为什么（无需证明）。
的垂直平分线的方程为：
令，解得即所以。。。7分
又
=
故 。。。。。12分
(3) 。。。。15分
【试题出处】温州市十校联合体2011学年第一学期高三期末联考数学试卷（理科）
【方 法 总 结】
圆锥曲线方程这章扩展开的内容比较多，比较繁杂，对学生来说不一定要把所有的结论一一记住，关键是掌握圆锥曲线的概念实质以及直线和圆锥曲线的关系.因此，在复习过程中要注意下述几个问题：（1）在解答有关圆锥曲线问题时，首先要考虑圆锥曲线焦点的位置，对于抛物线还应同时注意开口方向，这是减少或避免错误的一个关键，同时勿忘用定义解题.（2）在考查直线和圆锥曲线的位置关系或两圆锥曲线的位置关系时，可以利用方程组消元后得到二次方程，用判别式进行判.但对直线与抛物线的对称轴平行时，直线与双曲线的渐近线平行时，不能使用判别式，为避免繁琐运算并准确判断特殊情况，此时要注意用好分类讨论和数形结合的思想方法.画出方程所表示的曲线，通过图形求解.当直线与圆锥曲线相交时：涉及弦长问题，常用“韦达定理法”设而不求计算弦长(即应用弦长公式)；涉及弦长的中点问题，常用“差分法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化.同时还应充分挖掘题目的隐含条件，寻找量与量间的关系灵活转化，往往就能事半功倍.（3）求圆锥曲线方程通常使用待定系数法，若能据条件发现符合圆锥曲线定义时，则用定义求圆锥曲线方程非常简捷.在处理与圆锥曲线的焦点、准线有关问题，也可反用圆锥曲线定义简化运算或证明过程. 一般求已知曲线类型的曲线方程问题，可采用“先定形，后定式，再定量”的步骤.定形——指的是二次曲线的焦点位置与对称轴的位置；定式——根据“形”设方程的形式，注意曲线系方程的应用，如当椭圆的焦点不确定在哪个坐标轴上时，可设方程为mx2+ny2=1(m＞0,n＞0)；定量——由题设中的条件找到“式”中特定系数的等量关系，通过解方程得到量的大小.（4）在解与焦点三角形（椭圆、双曲线上任一点与两焦点构成的三角形称为焦点三角形）有关的命题时，一般需使用正余弦定理、和分比定理及圆锥曲线定义.（5）要熟练掌握一元二次方程根的判别式和韦达定理在求弦长、中点弦、定比分点弦、弦对定点张直角等方面的应用.（6）求动点轨迹方程是解析几何的重点内容之一，它是各种知识的综合运用，具有较大的灵活性，求动点轨迹方程的实质是将“曲线”化成“方程”，将“形”化成“数”，使我们通过对方程的研究来认识曲线的性质. 求动点轨迹方程的常用方法有：直接法、定义法、几何法、代入转移法、参数法、交轨法等.解题时，注意求轨迹的步骤：建系、设点、列式、化简、确定点的范围.2012届全国各省市高三上期数学联考试题重组专题
题型七 选考系列
【备 考 要 点】
选考内容由各省市自行选择内容和数量，选修系列包括几何证明选讲（选修4-1）、矩阵与变换（选修4-2）、坐标系与参数方程（选修4-4）、不等式选讲（选修4-5）等几部分内容。纵观近几年来的全国卷与各省市的试卷，试题在选择题、填空题、解答题中都有可能出现，题目不难；通常与其它数学内容联系而构成组合题，主要考查数形结合与分类讨论等数学思想与方法的灵活应用能力。从各地的高考试卷看，考生在备考时，应从下列考点夯实基础，做到以不变应万变：（1）理解三角形和圆的知识．（2）理解直线、圆和圆锥曲线的参数方程及应用．（3）了解矩阵与变换的内容．（4）掌握绝对值不等式、数学归纳法等证明方法。
【2011高考题型】
几何证明选讲是高考的选考内容，主要考查相似三角形的判定与性质，射影定理，平行线分线段成比例定理；圆的切线定理，切割线定理，相交弦定理，圆周角定理以及圆内接四边形的判定与性质等．题目难度不大，以容易题为主．对本部分的考查主要是一道选考解答题，预测2012年仍会如此，难度不会太大．
矩阵与变换主要考查二阶矩阵的基本运算，主要是以解答题的形式出现．预测在2012年高考主要考查(1)矩阵的逆矩阵；(2)利用系数矩阵的逆矩阵求点的坐标或曲线方程．
坐标系与参数方程重点考查直线与圆的极坐标方程，极坐标与直角坐标的互化；直线，圆与椭圆的参数方程，参数方程与普通方程的互化，题目不难，考查“转化”为目的．预测2012高考中，极坐标、参数方程与直角坐标系间的互化仍是考查的热点，题目容易．
不等式选讲是高考的选考内容之一，主要考查绝对值的几何意义，绝对值不等式的解法以及不等式证明的基本方法(比较法、分析法、综合法)．关于含有绝对值的不等式的问题．预测2012年高考在本部分可能会考查不等式的证明或求最值问题．
【2012 命题方向】
【原题】（在（1）（2）中任选作一题，如两题都做，按第（1）题记分）（1）
参数方程）在极坐标系中，定点A（2，），动点B
在直线=上运动，则线段AB的最短长
度为 ．
（2）(几何证明选讲）如图，在半径为2的⊙O中，
∠AOB=90°,D为OB的中点，AD的延长线交⊙O
于点E，则线段DE的长为 。
【解析】（1）；（2）
【试题出处】黄冈市2011年秋季高三年级期末考试数学试题（理）
【原题】选做题(14～15题,考生只能从中选做一题) 14．（坐标系与参数方程）在极坐标系下，已知直线的方程为，则点到直线的距离为__________.
15.（几何证明选讲）如图，为圆外一点，由引圆的
切线与圆切于点，引圆的割线与圆交于
点.已知， .则圆的面积为 .
【解析】14． 15．
【试题出处】2012年佛山市普通高中高三教学质量检测（一）数学试题
【原题】选做题（14 ～15题，考生只能从中选做一题；两道题都做的，只记第14题的分。）
14.（坐标系与参数方程选做题）．在极坐标系中，点到直线的距离为________．
15.(几何证明选讲选做题)已知是圆的切线，切点为，，是圆的直径，与圆交于点，，则圆的半径的长为________．
【解析】14．在相应直角坐标系中，，直线方程：，所以到的距离
15.如右图，连接AB，∵PA是⊙O的切线，∴∠PAB＝∠C，又∵∠APB＝∠CPA，∴△PAB∽△PCA，∴＝，即＝，
∴R＝＝＝.
【试题出处】惠州市2012届高三第三次调研考试数学
【原题】15．（考生注意：请在下列两题中任选一题作答，如果都做，则按所做第1题评分）
（1）在极坐标系中，点P的极坐标为（，4）,,点Q是曲线C上的动点，曲线C的极坐标方程为+1 =0，则P、Q两点之间的距离的最小值为 。
（2）已知PA是圆O的切线，切点为4，PA =2，AC是圆O的直径，PC与圆O交于点B，PB=l，则圆D的半径R= 。
【解析】（1）；（2）
【试题出处】湖北省武昌区2012届高三年级元月调研测试数学（理）试题
【原题】选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）
14．(坐标系与参数方程选做题) 直线被圆
所截得的弦长为 .
15．(几何证明选讲选做题)如图，从圆外一点P引圆的切线PC
和割线PBA，已知PC=2PB，,则的长为 ．
【解析】14．把直线和圆的参数方程化为普通方程得，于是弦心距弦长.
15．∵ ∴∽
∴
【试题出处】广东省揭阳市2011—2012学年度高三学业水平考试数学理试题数学试题
【原题】选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）
14. （几何证明选讲选做题）如图3,中,D、E分别在边AB、AC上,CD平分∠ACB,DE∥BC,如果AC=10，AE=4，那么BC=___________.
15.（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，曲线与的交点的极坐标为 .
【解析】14填：15. 解：∵DE∥BC,∴∠1=∠2.又∵∠1=∠3,∴∠2=∠3.
∴DE=EC=AC－AE=10－4=6.∵DE∥BC,∴=.∴BC=15.
15填：.解：转化为直角坐标系下与
的交点为，该点在极坐标系下表示为
【试题出处】肇庆市中小学教学质量评估2011—2012学年第一学期统一检测题高三数学（文科）
【原题】选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）
14．（几何证明选讲选做题）
如右图，是圆的直径，直线与圆相切于点，
于点，若圆的面积为，，则的长为 ．
15．（极坐标与参数方程选做题）
在极坐标系中，点的坐标为，曲线的方程为，则（为极点）所在直线被曲线所截弦的长度为 ．
【解析】14．1 15．
【试题出处】广州市2012届高三年级调研测试数学（理科）
【原题】选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）
14.（几何证明选讲选做题）如图3,PAB、PCD为⊙O的两条割线,若 PA=5,AB=7,CD=11,，则BD等于
15.（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，
点 到直线的距离等于
【解析】14. 填：6.
解析:由割线定理得PA·PB=PC·PD,∴5×(5+7)=PC(PC+11).∴PC=4或PC=－15(舍去).
又∵PA·PB=PC·PD,,∠P=∠P,∴△PAC∽△PDB.∴.
故
15. 填： 解：点 的直角坐标为，直线的直角坐标方程为，所以
【试题出处】广东省肇庆市2012届高三上学期期末考试数学（理科）试题
【原题】请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。
22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图，E是圆O内两弦AB和CD的交点F是AD延长线上一点，FG与圆O相切于点G，且EF=FG，求证：（1）； （2）EF//BC。
23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
直角坐标系和极坐标系的原点与极点重合，
轴正半轴与极轴重合，单位长度相同，在直角坐标系下，
曲线C的参数方程为为参数）。（1）在极坐标系下，曲线C与射线和射线分别交于A，B两点，求的面积；（2）在直角坐标系下，直线的参数方程为（为参数），求曲线C与直线的交点坐标。
24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知的解集为M。 （1）求M； （2）当时，证明：
【解析】（22）证明：（Ⅰ）∵FG与圆O相切于点G，∴FG2＝FD·FA，∵EF＝FG，EF2＝FD·FA，
∴＝，∵∠EFD＝∠AFE，∴△EFD∽△AFE．…5分
（Ⅱ）由（Ⅰ），有∠FED＝∠FAE，∵∠FAE和∠BCD都是上的圆周角，∴∠FED＝∠BCD，
∴EF∥BC．…10分
（24）解：（Ⅰ）f(x)＝|x＋1|＋|x－1|＝
当x＜－1时，由－2x＜4，得－2＜x＜－1；当－1≤x≤1时，f(x)＝2＜4；
当x＞1时，由2x＜4，得1＜x＜2．所以M＝(－2，2)． …5分
（Ⅱ）当a，b∈M即－2＜a，b＜2，∵4(a＋b)2－(4＋ab)2＝4(a2＋2ab＋b2)－(16＋8ab＋a2b2)
＝(a2－4)(4－b2)＜0，∴4(a＋b)2＜(4＋ab)2，∴2|a＋b|＜|4＋ab|．…10分
【试题出处】唐山市2012届高三上学期期末考试数学试题
【原题】请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分。做答时请写清题号。
（22） （本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲
如图，锐角△ABC的内心为I，过点A作直线BI的垂线，垂足为H，点E为内切圆I与边CA的切点.
（Ⅰ）求证：四点Ａ，Ｉ，Ｈ，Ｅ共圆；（Ⅱ）若∠C=，求∠IEH的度数.
（23） （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy 中，直线的参数方程为.在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为.（Ⅰ）求圆C在直角坐标系中的方程；（Ⅱ）若圆C与直线相切，求实数a的值.
(24)(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲
已知函数.（Ⅰ）当a=3时，求函数的最大值；
（Ⅱ）解关于x的不等式.
【解析】22.：（Ⅰ）由圆I与边AC相切于点E，得IE⊥AE;…２分
结合IH⊥AH,得所以，四点A,I,H,E共圆.…５分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知四点A,I,H,E共圆，得，;…７分
在中,
结合IH⊥AH,得；所以.
由得 …………10分
23.（Ⅰ）由得，…………２分
结合极坐标与直角坐标的互化公式得，
即 …………５分
（Ⅱ）由直线的参数方程化为普通方程，得，.…７分
结合圆C与直线相切，得，解得. …10分
24、：（Ⅰ）当a=3时， ………３分
所以，当x=1时，函数f(x)取得最大值2. …………５分
（Ⅱ）由得，两边平方得：，
即，…７分得，
所以，①当时，不等式的解集为；②当时，不等式的解集为；③当时，不等式的解集为.………10分
【试题出处】郑州2012高三第一次质量预测（数学理）
【原题】说明：请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做第一题记分。
22.（本小题满分10）选修4-1：几何证明与选讲
如图，已知PA与圆O相切于点A，经过点O的割线PBC交圆O于点B、C，的平分线分别交AB、AC于点D、E.
证明：
若AC=AP,求的值
23. （本小题满分10）选修4-4：坐标系与参数方程
已知点，参数，点Q在曲线C：上。
求点P的轨迹方程和曲线C的直角坐标方程；
求点P与点Q之间距离的最小值。
24. （本小题满分10）选修4-5：不等式选讲
已知，对，恒成立，求的取值范围。
【解析】22.(本小题满分10分)选修4—1：几何证明选讲
：(1)∵ PA是切线，AB是弦，∴ ∠BAP=∠C，…2分
又 ∵ ∠APD=∠CPE, ∴ ∠BAP+∠APD=∠C+∠CPE,
∵ ∠ADE=∠BAP+∠APD, ∠AED=∠C+∠CPE, 4分
∴ ∠ADE=∠AED. 5分
(2)由(1)知∠BAP=∠C, 又 ∵ ∠APC=∠BPA,
∴ △APC∽△BPA, ∴, 7分
∵ AC=AP, ∴ ∠APC=∠C=∠BAP,由三角形内角和定理可知，∠APC+∠C+∠CAP=180°,∵ BC是圆O的直径，∴ ∠BAC=90°∴ ∠APC+∠C+∠BAP=180°-90°=90°,∴ ∠C=∠APC=∠BAP=×90°=30°.
在Rt△ABC中，=, ∴ =. 10分
23.(本小题满分10分)选修4—4:坐标系与参数方程
解(1)由得点P的轨迹方程 (x-1)2+y2=1(y≥0), 2分
又由=，得=,　∴　=9.
∴曲线C的直角坐标方程为 x+y=9. 5分
(2)半圆(x-1)2+y2=1(y≥0)的圆心(1，0)到直线x+y=9的距离为4，所以｜PQ｜min=4-1. 10分
24.(本小题满分10分)选修4－5:不等式选讲
解：∵ a＞0,b＞0 且a+b=1 ∴ +=(a+b)( +)=5++≥9,故+的最小值为9， 5分
因为对?a,b∈(0，+∞),使+≥｜2x-1｜-｜x+1｜恒成立，
所以，｜2x-1｜-｜x+1｜≤9, 7分当 x≤-1时，2-x≤9, ∴ -7≤x≤-1,当 -1＜x＜时，-3x≤9,
∴ -1＜x＜,当 x≥时,x-2≤9， ∴ ≤x≤11,∴ -7≤x≤11 10分
【试题出处】黑龙江省绥化市2011-2012学年度高三年级质量检测数学理科试题
【原题】21.【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在答题卡指定区域内作答，
若多做，则按作答的前两题评分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
选修4-1：几何证明选讲（本小题满分10分）
如图，是直角，圆Ｏ与AP相切于点T，与AQ相交于两点B，C。求证：BT平分
选修4-2：矩阵与变换（本小题满分10分）
若点A（２，２）在矩阵对应变换的作用下
得到的点为B（－２，２），求矩阵M的逆矩阵
选修4-2：矩阵与变换（本小题满分10分）
在极坐标系中， A为曲线上的动点， B为直线上的动点，求AB的最小值。
D．选修4-5：不等式选讲（本小题满分10分）
已知都是正数，且=1，求证：
【解析】A．连结，因为是切线，所以．又因为是直角，即，所以，所以．…… 5分又，所以，
所以，即平分．…… 10分
B．由题意知， ，即 ，
所以 解得所以5分
由，解得……10分
另解：矩阵的行列式，所以.
C．圆方程为，圆心，直线方程为，…… 5分
圆心到直线的距离，所以． ………… 10分
D．因为是正数，所以……5分同理，
将上述不等式两边相乘，得 ，
因为，所以．……10分
【试题出处】江苏省苏北四市（徐、连、宿、淮）2012届高三元月调研测试（数学）
【原题】21．[选做题] 在A、B、C、D四小题中只能选做2题,每小题10分,计20分.请把答案写在答题纸的指定区域内.
A.（选修4—1：几何证明选讲）
如图，的半径垂直于直径，为上一点，的延长线交于点，过 点的圆的切线交的延长线于.求证：.
B．（选修4—2：矩阵与变换）
已知矩阵，若矩阵对应的变换把直线：变为直线，求直线的方程.
C．（选修4—4：坐标系与参数方程）
在极坐标系中，圆的方程为，以极点为坐标原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线的参数方程为（为参数），求直线被截得的弦的长度.
D.（选修4—5：不等式选讲）
已知均为正数，求证：.
【解析】A. 证明：连结OE，因为PE切⊙O于点E，所以∠OEP=900，所以∠OEB+∠BEP=900，因为OB=OE，所以∠OBE=∠OEB，因为OB⊥AC于点O，所以∠OBE+∠BDO=900…5分
故∠BEP=∠BDO=∠PDE，PD=PE，又因为PE切⊙O于点E，所以PE2=PA·PC故PD2=PA·PC10分
B. 易得……3分, 在直线上任取一点，经矩阵变换为
点，则，∴，即8分
代入中得,∴直线的方程为………10分
C. 解：的方程化为，两边同乘以，得
由,得……5分
其圆心坐标为，半径,又直线的普通方程为,
∴圆心到直线的距离,∴弦长………10分
D. 证明:由柯西不等式得………5分
则,即……10分
【试题出处】南京市、盐城市2012届高三年级第一次模拟考试数学试题
【原题】请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.本题满分10分。
22．选修4-1：几何证明选讲
如图，是⊙的直径，是⊙的切线，与的延长线交于点，为切已知不等式（Ⅰ）若，求不等式的解集；（Ⅱ）若已知不等式的解集不是空集，求a的取值范围。
【解析】22. 选修4-1：几何证明选讲
【证明】证明：连结，，，，
，．又 与⊙相切于点，，
∽，．
为⊙的直径，，．
可解得，． 又平分，，
又，∽，
23. (本小题满分10分）
（Ⅰ）
（Ⅱ）
24．（Ⅰ），① 若，则，，舍去．② 若，则，．③ 若，则，．综上，不等式的解集为．
（Ⅱ）设，则，
，．评分细则：每一位5分
【试题出处】河北省衡水中学2012届高三上学期五调考试试题（数学理）
在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建坐标系,已知曲线（a＞0），已知过点P（－2，－4）的直线L的参数方程为：，直线L与曲线C分别交于M，N． ⑴写出曲线C和直线L的普通方程； ⑵若|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，求a的值．
【解析】选修4—1：几何证明选讲
证明：⑴连接OD，可得OD∥AE………（3分）
又 DE是⊙O的切线．………（5分）
⑵过D作于H，则有
．……………（6分）
设，则
……………（8分）
由∽可得
又∽，……（10分）
23．选修4—4：坐标系与参数方程
⑴…………（5分）
⑵直线的参数方程为（t为参数）,代入得到,
则有…（8分）因为，所以 解得……（10分）
【试题出处】湖北省鄂州市2010—2011学年度上学期期末考试高三数学试题（理科）
【原题】请考生在22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.
（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲.
如图，⊙O内切△ABC的边于D、E、F，AB=AC，连接AD交⊙O于点H，直线HF交BC的延长线于点G.⑴证明：圆心O在直线AD上；
⑵证明：点C是线段GD的中点.
（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程选讲.
在极坐标系中, O为极点, 半径为2的圆C的圆心的极坐标为. ⑴求圆C的极坐标方程；⑵是圆上一动点，点满足，以极点O为原点，以极轴为x轴正半轴建立直角坐标系，求点Q的轨迹的直角坐标方程.
（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲.
已知函数⑴解不等式；⑵若不等式的解集为空集，求的取值范围.
【解析】(本小题满分10分)选修4-1：几何证明选讲
【命题意图】本小题主要考查平面几何的证明，具体涉及到三角形内心的定义，以及弦切角定理等知识.证明⑴：∵∴.
又∵∴
又∵△是等腰三角形，,∴是角∠的平分线.
∴内切圆圆心O在直线AD上. 　 　　(5分)
⑵连接DF，由⑴知，DH是⊙O的直径，
∴点C是线段GD的中点. 　　　　　　　　　　　(10分)
(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程选讲
【命题意图】本小题主要考查坐标系与参数方程的相关知识，具体涉及到极坐标方程的求解，以及轨迹方程等内容.
解：（1）设是圆上任一点，过作于点，则在△中，，而，，，所以，即为所求的圆的极坐标方程.　 　( 5分)
（2）设，由于，所以 代入⑴中方程得，即∴，
,∴点的轨迹的直角坐标方程为. (10分)
(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲
【命题意图】本小题主要考查不等式的相关知识，具体涉及到绝对值不等式的解法及性质等内容.
解：(1)根据条件
当时，
当时，
当时，
综上，的解集为或.　 （5分）
(2)由于可得的值域为.
又不等式的解集为空集，所以. （10分）
【试题出处】2012年长春市高中毕业班第一次调研测试数学试题卷
【方 法 总 结】
选考题在高考试题中出现，是新课改的一大成果，包括平面几何证明选讲、矩阵与变换、参数方程与极坐标、不等式证明选讲四个专题的解答题各一道，所涉及试题一般比较简单，是大家应着力突破的部分
几何证明选讲是考查同学们推理能力、逻辑思维能力的好资料，题目以证明题为主，特别是一些定理的证明和用多个定理证明一个问题的题目，我们更应注意．
重点把握以下内容：1．射影定理的内容及其证明；2．圆周角与弦切角定理的内容及证明；3．圆幂定理的内容及其证明；4．圆内接四边形的性质与判定；5．平行投影的性质与圆锥曲线的统一定义．
矩阵与变换
1．伸压变换是指沿着特定坐标轴方向伸长或者压缩的变换，我们不能简单地把伸压变换理解为把平面上的点向下压，或者向上拉伸．2．在旋转变换中的θ为一个实数，叫做旋转角．当θ>0时，旋转的方向是逆时针，当θ<0时，旋转的方向则是顺时针．我们一般是讨论逆时针方向．3．投影变换不是一一映射．投影变换不仅仅依赖于投影的目标直线(点)，还依赖于投影的方向．4．矩阵的乘法对应着变换的复合，这样简单的变换可以复合成较为复杂的变换，反过来一些较复杂的几何变换实际上可以分解为若干简单的变换．(可以用二阶矩阵表示的)5．矩阵的乘法与数的乘法之间有着很多本质的区别，同样矩阵乘法的性质与数的乘法之间也有着本质的区别．6．关于特征值与特征向量的讨论与矩阵变换性质、矩阵的乘积、行列式以及线性方程组的解等有密切的联系，或说是所学知识的一个综合使用．本部分的学习在本专题中既是重点，又是难点．大家可先从一些具体的几何变换的不变量入手，体会特征向量是客观存在的，并且是重要的，逐渐从直观到抽象更好地理解特征向量的概念．
1．极点的极径为0，极角为任意角，即极点的坐标不是惟一的．极径ρ的值也允许取负值，极角θ允许取任意角，当ρ<0时，点M(ρ，θ)位于极角θ的终边的反向延长线上，且OM＝|ρ|，在这样的规定下，平面上的点的坐标不是惟一的，即给定极坐标后，可以确定平面上惟一的点，但给出平面上的点，其极坐标却不是惟一的．这有两种情况：①如果所给的点是极点，其极径确定，但极角可以是任意角；②如果所给点M的一个极坐标为(ρ，θ)(ρ≠0)，则(ρ，2kπ＋θ)，(－ρ，(2k＋1)π＋θ)(k∈Z)也都是点M的极坐标．这两种情况都使点的极坐标不惟一，因此在解题的过程中要引起注意．
2．在进行极坐标与直角坐标的转化时，要求极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x轴的正半轴重合，且长度单位相同，在这个前提下才能用转化公式．同时，在曲线的极坐标方程和直角坐标方程互化时，如遇约分，两边平方，两边同乘以ρ，去分母等变形，应特别注意变形的等价性．
3．对于极坐标方程，需要明确：①曲线上点的极坐标不一定满足方程．如点P(1,1)在方程ρ＝θ表示的曲线上，但点P的其他形式的坐标都不满足方程；②曲线的极坐标方程不惟一，如ρ＝1和ρ＝－1都表示以极点为圆心，半径为1的圆．
4．同一个参数方程，以不同量作为参数，一般表示不同的曲线．
5．任何一个参数方程化为普通方程，从理论上分析都存在扩大取值范围的可能性．从曲线和方程的概念出发，应通过限制普通方程中变量的取值范围，使化简前后的方程表示的是同一条曲线，原则上要利用x＝f(t)，y＝g(t)，借助函数中求值域的方法，以t为自变量，求出x和y的值域，作为普通方程中x和y的取值范围．
6．直线还有其他形式的参数方程，但只有中的参数才具有特定的意义，因此若直线的参数方程是(t是参数，a2＋b2≠1)，则要通过换元(b≥0时，令t′＝t；b<0时，令t′＝－t)将方程化为上述标准方程后再应用上述结论，否则会导致错误．
不等式选讲
1．对于两个不等式的加法，即：a>b，c>d a＋c>b＋d，也就是说两个同向不等式可以相加．但是对于两个不等式相减时，要慎重使用，这时往往转化为两个同向不等式后，再相加．
2．对于不等式的各项取倒数问题，一定要分清各项的符号，对于同号的，可运用深化(2)；若不同号，可根据符号进行判定．
3．解含绝对值的不等式的指导思想是去掉绝对值．常用的方法是：①由定义分段讨论；②利用绝对值不等式的性质；③平方．
4．解含参数的不等式，如果转化不等式的形式或求不等式的解集时与参数的取值范围有关，就必须分类讨论．注意：①要考虑参数的取值范围；②用同一标准对参数进行划分，做到不重不漏．5．利用绝对值的定义和几何意义来分析，绝对值的特点是解决带有绝对值符号问题的关键，如何去掉绝对值符号，一定要认真总结规律与方法．6．绝对值不等式的证明通常与放缩法联系在一起，放缩常用如下绝对值不等式：
①|a＋b|≤|a|＋|b|；②|a－b|≤|a－c|＋|c－b|.
A
C
E
B
P
D
O
2012届全国各省市高三上期数学联考试题重组专题
题型六 数列
【备 考 要 点】
数列是新课程的必修内容，从课程定位上说，其考查难度不应该太大，数列试题倾向考查基础是基本方向．从课标区的高考试题看，试卷中的数列试题最多是一道选择题或者填空题，一道解答题．由此我们可以预测2012年的高考中，数列试题会以考查基本问题为主，在数列的解答题中可能会出现与不等式的综合、与函数导数的综合等，但难度会得到控制．
1.数列是一种特殊的函数,学习时要善于利用函数的思想来解决。如通项公式、前n项和公式等2.运用方程的思想解等差(比)数列,是常见题型,解决此类问题需要抓住基本量、d(或q),掌握好设未知数、列出方程、解方程三个环节,常通过“设而不求,整体代入”来简化运算。3.分类讨论的思想在本章尤为突出.学习时考虑问题要全面,如等比数列求和要注意q=1和q≠1两种情况等等。4.等价转化是数学复习中常常运用的,数列也不例外 。如与的转化;将一些数列转化成等差(比)数列来解决等.复习时,要及时总结归纳。5.深刻理解等差(比)数列的定义,能正确使用定义和等差(比)数列的性质是学好本章的关键。6.解题要善于总结基本数学方法.如观察法、类比法、错位相减法、待定系数法、归纳法、数形结合法,养成良好的学习习惯,定能达到事半功倍的效果。7.数列应用题将是命题的热点,这类题关键在于 建模及数列的一些相关知识的应用。
【2011高考题型】
考情分析 从近几年高考来看，本讲高考命题具有以下特点：
1．几乎每年都有与数列有关的选择题、填空题和解答题．对于等差数列与等比数列的概念、性质、通项公式与前n项和等基础知识，主要以选择题、填空题的形式考查，难度属于中、低档．
2．考查两种数列或将非等差、等比数列模型经过配凑构造转化为等差、等比数列的综合题经常出现，要掌握好它们的公式和性质，做到熟练且灵活的应用．
3.每年高考都会有一道利用数列的递推关系求通项公式及前n项和，或利用数列的前n项和Sn与通项an之间的关系求前n项和的客观题或解答题，客观题难度为低、中档，解答题难度为中、高档
【2012 命题方向】
【原题】（本小题满分13分）已知数列是等差数列,，数列的前n项和是，且.（I）求数列的通项公式；（II）求证：数列是等比数列；
【解析】（1）由已知 解得
为公比的等比数列.………13分
【试题出处】昌平区2011－2012学年第一学期高三年级期末质量抽测数学试卷（文科）
【原题】(本小题满分13分)已知数列满足：，，数列满足,.(Ⅰ)求数列的通项； （Ⅱ）求证：数列为等比数列；并求数列的通项公式.
【解析】.(Ⅰ) 数列为等差数列……3分又所以
数列的通项…………6分
（Ⅱ）∵,∴.∴.所以数列是以为首项，为公比的等比数列…………10分…………13分
【试题出处】福建省三明市普通高中2011-2012学年第一学期联合命题考试高三数学试题
【原题】（本小题12分）已知数列的前n项和满足：（为常数，）（Ⅰ）求的通项公式；（Ⅱ）设，求数列{}的前项和。
【解析】（Ⅰ）当时，由，得
当时，由，得
两式相减得………3分若时，，若时，， 是等比数列． ∴， 综上：所求的通项为，（）………6分
（II）当时，当时
设则
两式相减得
若时 ，
若时
综上：………12分
【试题出处】江西省宜春市2012届高三上学期期末统考试卷数学(文)
【原题】(本小题满分10分) 已知等差数列{},为其前n项的和，=0，=6，n∈N* (I)求数列{}的通项公式； (II)若=3，求数列{}的前n项的和．
【解析】（Ⅰ）依题意……2分解得 ………5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知 ，，所以数列是首项为，公比为9的等比数列，…7分
.所以数列的前项的和.……10分
【试题出处】河北省石家庄市2012届高三上学期教学质量检测(一)数学试题
【原题】（本小题满分13分）一个数列中的数均为奇数时，称之为“奇数数列”． 我们给定以下法则来构造一个奇数数列｛an｝，对于任意正整数n，当n为奇数时，an=n；当n为偶数时，an=．
（1）试写出该数列的前6 项；（2）研究发现，该数列中的每一个奇数都会重复出现，那么第10个5是该数列的第几项？（3）求该数列的前2n项的和Tn．
【试题出处】株洲市2012届高三年级教学质量统一检测（一）数学试题（理科）
【原题】（本题满分12分）已知数列满足
(Ⅰ)求数列的通项；(Ⅱ)若求数列的前n项和
【解析】（Ⅰ） ………………(1)
………..(2)
(1)-(2)得即又也适合上式
（Ⅱ）
【试题出处】山东省德州市2012届高三上学期期末考试数学试题
【原题】（本小题满分12分）数列的前项和记为,,点在直线上,．(Ⅰ)当实数为何值时,数列是等比数列？(Ⅱ)在(Ⅰ)的结论下,设,，是数列的前项和,求。
【解析】(Ⅰ)∵点在直线上∴...2分
， ∴......4分
∴当t=1时，数列是等比数列。.....6分
(Ⅱ) 在(Ⅰ)的结论下, ...........8分
，....9分， .....10分
.......12分
【试题出处】安徽省六校教育研究会2012届高三测试数学试题(文)
【原题】已知数列的前项和为，对任意，有．（1）求证：数列是等比数列，并求数列的通项公式；（2）求数列的前项和
【解析】（1）∵ 对任意n∈N*有，且，∴得= 2 1分
又由，得 ．当n≥2且n∈N* 时，
有，…………… 3分
即， ∴，由此表明是以+ 1 = 3为首项，3为公比的等比数列。
需验证n取1,2时也成立.∴，有．……… 5分
故数列的通项公式为． …… 6分
（2）n = n()= n ·－n，设数列 的前n项和为，
则 = …………… 8分
∴ 3 =，
两式相减，得－2 = =… 10分
∴ ，12分因此 【解析】（Ⅰ）因为,所以当时，
，即以为首项，为公比的等比数列． ∴；……4分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，
若为等比数列，则有，而，，
故，解得………7分
再将代入得成等比数列， 所以成立 ………8分
由于①…………………10分
（或做差更简单：因为，所以也成立)
②，故存在；所以符合①②,故为“嘉文”数列………12分
【试题出处】山东省青岛市2012届高三期末检测数学
【原题】(本题12分) )在数列中，，，，其中.(I)求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式；(II)设，数列的前项和为，是否存在正整数，使得对于恒成立，若存在，求出的最小值，若不存在，说明理由.
【解析】（Ⅰ）证明：
∴　数列是等差数列……3分
………… 4分
由得……… 6分
【解】（Ⅱ），
……9分依题意要使对于恒成立，只需，解得，所以m的最小值为1.… 12分
【试题出处】2012年北海市高中毕业班第一次质量检测理科数学
【原题】（本题满分14分）在数列中，为其前项和，满足．（I）若，求数列的通项公式；（II）若数列为公比不为1的等比数列，求
【解析】（1）当时，所以,即……3分所以当时，；当时，所以数列的通项公式为…6分
（II）当时，，
，，若，则，
从而为公比为1的等比数列，不合题意；……………8分
若，则，，
由题意得，，所以或．……10分
当时,，得,,不合题意；…12分
当时，，从而
因为 ， 为公比为3的等比数列,，所以，从而．…………14分
【试题出处】浙江省宁波市2012届高三第一学期期末考试数学（理）试卷
【原题】（本小题满分12分）已知数列是首项为，公比的等比数列．设，数列满足（1）求证：数列成等差数列；（2）求数列的前n项和（3）若对一切正整数n恒成立，求实数m的取值范围．
【解析】（1）由已知可得，，
为等差数列，其中.………3分
（2）
【试题出处】黄冈市2011年秋季高三年级期末考试数学试题（理）
【原题】（本小题12分）已知数列的前n项和满足：（为常数）.
（1）求的通项公式；（2）若时，证明：.
【解析】（1）当时∴，当时，由，
得相减得…3分
当时，…4分 当时，即是等比数列．
∴；…5分 综上：…6分
（2）若时，，………8分
设，
则 …10分
……12分
【试题出处】江西省宜春市2012届高三上学期期末统考试卷数学(理)试题
【原题】（本题满分14分）已知等比数列的前项和为（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设数列满足，为数列 的前项和，试比较 与 的大小，并证明你的结论．
【解析】（Ⅰ）由得:时，………2分
是等比数列，，得 …4分
（Ⅱ）由和得……………………6分
……10分
……11分当或时
有，所以当时有那么同理可得：
当时有，所以当时
有……13分综上：当时有；
当时有………14分
【试题出处】浙江省2011~2012学年度普通高中毕业班教学质量监测试题理科数学
【原题】（本题满分14分）设，圆：与轴正半轴的交点为，与曲线的交点为，直线与轴的交点为.（1）用表示和；（2）若数列满足：.①求常数的值使数列成等比数列；②比较与的大小.
【解析】(1) 与圆交于点,则,………2分
由题可知，点的坐标为，从而直线的方程为,………3分
由点在直线上得: , ………4分
将，代入化简得: .…6分
(2)由得：，……7分
又，故， ……8分
①，
令得：…9分
由等式对任意成立得：，解得：或故当时，数列成公比为的等比数列；当时，数列成公比为2的等比数列。……11分
②由①知：，当时，；当时，12分
事实上,令,则,故是增函数,即:,即14分
【试题出处】2012年佛山市普通高中高三教学质量检测（一）文科数学试题
,…9分
(3)先证:当时,.
事实上, 不等式
后一个不等式显然成立,而前一个不等式.
故当时, 不等式成立.
,……11分(等号仅在n=1时成立)求和得: ……14分
【试题出处】2012年佛山市普通高中高三教学质量检测（一）数学试题（理科）
【原题】（本小题满分14分）如果一个数列的各项都是实数，且从第二项起，每一项与它的前一项的平方差是同一个常数，则称该数列为等方差数列，这个常数叫这个数列的公方差．（Ⅰ）若数列既是等方差数列，又是等差数列，求证：该数列是常数列；（Ⅱ）已知数列是首项为，公方差为的等方差数列，数列的前项和为，且满足．若不等式对恒成立，求的取值范围．
【解析】（1）：依题
又为等差数列，设公差为，则
故是常数列. 4分
（2）由是首项为2，公方差为2的等方差数列.即为首项为4，公差为2的的等差数列， 6分由得
① ②
10分不等式即
也即，即恒成立
由于时，；时，；假设时，，
那么，由归纳法原理知：时，，所以，故的取值范围为 14分
【试题出处】安徽省六校教育研究会2012届高三联考数学（理科）试题
【原题】定义：若数列满足，则称数列为“平方数列”。已知数列中，，点在函数的图像上，其中为正整数。（1）证明：数列是“平方数列”，且数列为等比数列。（2）设（1）中“平方数列”的前项之积为，即，求数列的通项及关于的表达式。（3）对于（2）中的，记，求数列的前项之和，并求使的的最小值。
（3）＝，…10分
∴…12分
由得,.
当时，，当时，，∴的最小值为2011．
【试题出处】惠州市2012届高三第三次调研考试数学试题（理科）
【原题】（本小题满分13分）已知数列是等差数列,，数列的前n项和是，且.（I）求数列的通项公式；（II）求证：数列是等比数列；（III）记，求证：.
【解析】（1）由已知 解得 …………4分
（2）由于，①令=1，得 解得，当时，②
①－②得 ， 又,
∴数列是以为首项，为公比的等比数列.……………9分
（3）由（2）可得……9分 ……10分
，故 ………13分
【试题出处】昌平区2011－2012学年第一学期高三年级期末质量抽测数学试卷（理科）
【原题】（本题满分14分）数列，（）由下列条件确定：①；②当时，与满足：当时，,；当时，，.（Ⅰ）若，，写出，并求数列的通项公式；
（Ⅱ）在数列中，若(,且)，试用表示；（Ⅲ）在（Ⅰ）的条件下，设数列满足，，(其中为给定的不小于2的整数)，求证：当时，恒有.
【解析】（Ⅰ）解：因为，所以,.
因为,所以,.
因为,所以,.
所以.……… 2分
由此猜想，当时,，则，.… 3分
下面用数学归纳法证明：
①当时，已证成立. ②假设当（，且）猜想成立， 即，，. 当时，由， 得，则，. 综上所述，猜想成立.
所以.故.……… 6分
（Ⅱ）解：当时，假设，根据已知条件则有，
与矛盾，因此不成立，… 7分
所以有，从而有，所以.当时，，,
所以; …………………… 8分
当时，总有成立. 又，
所以数列()是首项为，公比为的等比数列, ，,又因为，所以…10分
（Ⅲ）证明：由题意得 .
因为，所以.所以数列是单调递增数列.…… 11分
因此要证,只须证.
由，则<，即.…… 12分
因此
.所以.故当,恒有.………14分
【试题出处】北京市朝阳区2011-2012学年度高三年级第一学期期末统一考试数学试卷
【原题】（本小题共13分）若有穷数列{an}满足：（1）首项a1=1，末项am=k，（2）an+1= an+1或an+1=2an ，(n=1，2，…，m-1)，则称数列{an}为k的m阶数列．（Ⅰ）请写出一个10的6阶数列；（Ⅱ）设数列{bn}是各项为自然数的递增数列，若，且，求m的最小值．
【解析】（Ⅰ）1，2，3，4，5，10或1，2，4，8，9，10． ………2分
（Ⅱ）由已知在数列{an}中 an+1= an+1或an+1=2an，
当为偶数时，，或．因为 ，
所以在数列{an}中 中i的个数不多于中j的个数，
要使项数m最小，只需 ．…5分
当am为奇数时，必然有 ，是偶数，可继续重复上面的操作．
所以要使项数m最小，只需遇到偶数除以2，遇到奇数则减1．
因为，且，
只需除以次2，得到为奇数；减1，得到为偶数，
再除以次2，得到；再减1，得到为偶数，…………，最后得到为偶数，除以次2，得到1，即为．
所以=………13分
（若用其他方法解题，请酌情给分）
【试题出处】丰台区2011—2012学年度第一学期期末练习高三数学（理科）
【原题】（本小题满分13分）已知数列.如果数列满足，，其中，则称为的“衍生数列”.（Ⅰ）若数列的“衍生数列”是，求；（Ⅱ）若为偶数，且的“衍生数列”是，证明：的“衍生数列”是；（Ⅲ）若为奇数，且的“衍生数列”是，的“衍生数列”是，….依次将数列，，，…的第项取出，构成数列.证明：是等差数列.
由 ①、② 可知，对于任意正整数，有. ………………7分
设数列的“衍生数列”为，则由以上结论可知
，其中.
由于为偶数，所以，
所以 ，其中.
因此，数列即是数列. ………………9分
证法二：
因为 ，
，
，
……
，
由于为偶数，将上述个等式中的第这个式子都乘以，相加得
即，. ………………7分
由于，，
根据“衍生数列”的定义知，数列是的“衍生数列”. ………………9分
（Ⅲ）证法一：
证明：设数列,,中后者是前者的“衍生数列”.欲证成等差数列，只需证明成等差数列，即只要证明即可. ……10分
由（Ⅱ）中结论可知 ，
，
所以，，即成等差数列，
所以是等差数列. ………………13分
证法二：因为 ，
所以 .
所以欲证成等差数列，只需证明成等差数列即可. ………………10分
对于数列及其“衍生数列”，
因为 ，，，……，
由于为奇数，将上述个等式中的第这个式子都乘以，
相加得即.设数列的“衍生数列”为，
因为 ，，所以 ， 即成等差数列.
同理可证，也成等差数列.即 是等差数列.所以 成等差数列.………13分
【试题出处】北京市西城区2011 — 2012学年度第一学期期末试卷高三数学（理科）
【原题】对数列和，若对任意正整数，恒有，则称数列是数列的“下界数列”.（1）设数列，请写出一个公比不为的等比数列，使数列是数列的“下界数列”；（2）设数列，求证数列是数列的“下界数列”；（3）设数列，，构造
，求使对恒成立的最小值.
【解析】（1）等，答案不唯一；…4分
（2），当时最小值为9,；…6分，则,因此，时，最大值为6，…9分所以，，数列是数列的“下界数列”；… 10分
（3），…11分
，…12分不等式为，，， 设，则，15分
当时，单调递增，时，取得最小值，因此…17分的最小值为……18分
【试题出处】2011学年长宁区第一学期高三数学质量抽测试卷（理）
【原题】已知函数,若成等差数列. (1)求数列的通项公式； (2)设是不等式整数解的个数，求； (3)记数列的前n项和为，是否存在正数，对任意正整数，使恒成立？若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由.
【解析】（1）由题可知（2分）得．……（4分）
（2）原式化简：
………（8分）
【原题】（本小题满分12分）已知正项数列满足：（1）求的范围，使得恒成立；（2）若，证明（3）若，证明：
【解析】:（Ⅰ）由，得由，即
所以或（舍）所以时，………3分
（Ⅱ）证：若，得 现假设（）
构造函数，易知在上单调增
所以
即由以上归纳可知……………6分
（Ⅲ）由得
所以……8分
构造函数，在上单调递增
所以
………12分
【试题出处】重庆市2012届高三上学期期末考试数学试题（理）
【方 法 总 结】
1. 数列中与的关系一直是高考的热点，求数列的通项公式是最为常见的题目，要切实注意与的关系.关于递推公式，在《考试说明》中的考试要求是：“了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项”。但实际上，从近两年各地高考试题来看，是加大了对“递推公式”的考查。
2. 探索性问题在数列中考查较多，试题没有给出结论，需要考生猜出或自己找出结论，然后给以证明.探索性问题对分析问题解决问题的能力有较高的要求.
3. 等差、等比数列的基本知识必考.这类考题既有选择题，填空题，又有解答题；有容易题、中等题，也有难题。
4. 求和问题也是常见的试题，等差数列、等比数列及可以转化为等差、等比数列求和问题应掌握，还应该掌握一些特殊数列的求和.
5. 将数列应用题转化为等差、等比数列问题也是高考中的重点和热点，从本章在高考中所在的分值来看，一年比一年多，而且多注重能力的考查.
6. 有关数列与函数、数列与不等式、数列与概率等问题既是考查的重点，也是考查的难点。今后在这方面还会体现的更突出。2012届全国各省市高三上期数学联考试题重组专题
题型二 概率与统计（文）
【备 考 要 点】
概率问题综合性强，都是以实际问题为背景，对运用数学思想方法的要求高。重点考查随机事件、古典概型、互斥事件、独立事件、n次独立重复试验中恰好发生k次等五种事件的概率.
会用样本频率分布估计总体分布,会用样本平均数估计总体期望值,会用样本的方差估计总体的方差,样本频率分布直方图与茎叶图依然是命题的热点.从近几年高考看，概率与统计知识约占全卷总分的10%左右。基本上是是一个选择题或填空题、一个解答题。概率与统计问题是每年高考必考内容.其考查特点一是重视对等可能事件的概率计算公式,互斥事件的概率加法公式，对立事件的概率减法公式,相互独立事件的概率乘法公式,事件在n次独立重复试验种恰好发生k次的概率计算公式等五个基本公式的应用
试题多为课本例题,习题拓展加工的基础题或中档题.只要我们理解和掌握五个概率公式及其应用,夯实基础,借助排列组合知识和化归转化思想方法,就能顺利解答高考概率与统计试题.
【2011高考题型】
概率与统计高考对概率与统计内容的考查,往往 以实际应用题出现,这既是这类问题的特点,也符合高考发展的方向.概率应用题侧重于古典概率,近几年的高考有以概率应用题替代传统应用题的趋势,2011 年高考概率统计应用题多数省份出现在解答题前三题的位置,可见概率统计在高考中属于中档题。在今年的高考中,可能涉及等可能事件,互斥事件,对立事件,独立事件的概率的求法,对于这部分,我们还应当重视与传统内容的有机结合
【2012 命题方向】
【原题】（本小题满分13分）为加强大学生实践、创新能力和团队精神的培养，促进高等教育教学改革，教育部门主办了全国大学生智能汽车竞赛. 该竞赛分为预赛和决赛两个阶段，参加决赛的队伍按照抽签方式决定出场顺序.通过预赛，选拔出甲、乙和丙三支队伍参加决赛.（Ⅰ）求决赛中甲、乙两支队伍恰好排在前两位的概率；（Ⅱ）求决赛中甲、乙两支队伍出场顺序相邻的概率
【解析】基本事件空间包含的基本事件有“甲乙丙，甲丙乙，乙甲丙，乙丙甲，丙甲乙，丙乙甲”.2分
（Ⅰ）设“甲、乙两支队伍恰好排在前两位”为事件，事件包含的基本事件有“甲乙丙，乙甲丙”，4分则 .所以 甲、乙两支队伍恰好排在前两位的概率为.…7分
（Ⅱ）设“甲、乙两支队伍出场顺序相邻”为事件，事件包含的基本事件有“甲乙丙，乙甲丙，丙甲乙，丙乙甲”，…10分则.所以甲、乙两支队伍出场顺序相邻的概率为.…13分
【试题出处】海淀区高三年级第一学期期末试题数 学（文科）
【原题】（本小题共12分）2011年武汉电视台问政直播节日首场内容是“让交通更顺畅”．A、B、C、D四个管理部门的负责人接受问政，分别负责问政A、B、C、D四个管理部门的现场市民代表（每一名代表只参加一个部门的问政）人数的条形图如下．为了了解市民对武汉市实施“让交通更顺畅”几个月来的评价，对每位现场市民都进行了问卷调查，然后用分层抽样的方法从调查问卷中抽取20份进行统计，统计结果如下面表格所示：
（I）若市民甲选择的是A部门，求甲的调查问卷被选中的概率；（11）若想从调查问卷被选中且填写不满意的市民中再选出2人进行电视访谈，求这两人中至少有一人选择的是D部门的概率．
【解析】（Ⅰ）由条形图可得，分别负责问政四个管理部门的现场市民代表共有200人，其中负责问政A部门的市民为40人．由分层抽样可得从A部门问卷中抽取了份．
设事件=“市民甲被选中进行问卷调查”，所以．
答：若甲选择的是A部门，甲被选中问卷调查的概率是．…………（6分）
（Ⅱ）由图表可知，分别负责问政A，B，C，D四部门的市民分别接受调查的人数为4，5，6，5． 其中不满意的人数分别为1，1，0，2个 ．记对A部门不满意的市民是；对B部门不满意的市民是；对D部门不满意的市民是． 设事件N=“从填写不满意的市民中选出2人，至少有一人选择的是D”．
从填写不满意的市民中选出2人，共有（a，b），（a，c），（a，d），（b，c），（b，d），（c，d）共6个基本事件；而事件N有（a，c），（a，d），（b，c），（b，d），（c，d）共5个基本事件，所以．
答：这两人中至少有一人选择的是D的概率是．……………（12分）
【试题出处】湖北省武昌区2012届高三年级元月调研测试数学试题（文）
【原题】(本题12分)某企业招聘中，依次进行A科、B科考试，当A科合格时，才可考B科，且两科均有一次补考机会，两科都合格方通过。甲参加招聘，已知他每次考A科合格的概率均为，每次考B科合格的概率均为。假设他不放弃每次考试机会，且每次考试互不影响。(I)求甲恰好3次考试通过的概率；(II)求甲招聘考试通过的概率.
【解析】设甲“第一次考A科成绩合格”为事件，“ A科补考后成绩合格”为事件，
“第一次考B科成绩合格”为事件，“B科补考后成绩合格”为事件。…………………… 1分
（Ⅰ）甲恰好3次考试通过的概率为： ……………6分
（Ⅱ）由题意知，甲招聘考试通过，考试的次数为2，3，4
………12分
【试题出处】2012年北海市高中毕业班第一次质量检测文科数学
【原题】（本小题满分12分）已知关于的一元二次函数（Ⅰ）设集合和，分别从集合和中随机取一个数作为和，求函数在区间[上是增函数的概率；（Ⅱ）设点是区域内的随机点，记有两个零点,其中一个大于，另一个小于,求事件发生的概率.
【解析】（Ⅰ）∵函数的图象的对称轴为
要使在区间上为增函数，当且仅当且 ……2分
若则，若则若则 ……………………4分
记函数在区间上是增函数
则事件包含基本事件的个数是1+2+2=5，∴……6分
，∴事件发生的概率为 ……12分
【试题出处】山东省青岛市2012届高三期末检测数学 (文科)
【原题】（本小题满分12分）如图，从参加环保知识竞赛的学生中抽出名，将其成绩（均为整数）整理后画出的频率分布直方图如下：观察图形，回答下列问题：（1）这一组的频数、频率分别是多少？ (2)估计这次环保知识竞赛成绩的平均数、众数、中位数。（不要求写过程） (3) 从成绩是80分以上（包括80分）的学生中选两人，求他们在同一分数段的概率.
【解析】（1）依题意，间的频率为：
1-（0.01+0.015+0.025+0.035+0.005）10=0.1…2分频数为: 40×0.1=4………4分
（2）这次环保知识竞赛成绩的平均数、众数、中位数分别是：68.5、75、70 ………8分
（3）因为有4人，设为a,b,c,d， 90～100有2人，设为A，B，从中任选2人，
共有如下15个基本事件（a,b）,(a,c),(a,d),(a,A),(a,B),(b,c),(b,d),(b,A),(b,B),(c,d),(c,A),
(c,B），（d,A），（d,B）,(A,B)……10分
设分在同组记为事件M，分在同一组的有（a,b）,(a,c),(a,d), (b,c),(b,d), (c,d), (A,B)共7个，……11分
所以 =……12分
【试题出处】惠州市2012届高三第三次调研考试文科数学
【原题】（本小题满分12分）为了检测某批棉花的质量，质检人员随机抽取6根，其平均纤维长度为25mm。用表示第n根棉花的纤维长度，且前5根棉花的纤维长度如下表：
（1）求X6及这6根棉花的标准差s；（2）从这6根棉花中，随机选取2根，求至少有1根的长度在区间（20，25）内的概率。
【解析】（Ⅰ）由题意，＝25，X6＝40． 2分
s2＝＝49，s＝7．…5分
（Ⅱ）从这6根棉花中，随机选取2根用无序数组(Xi，Xj)（i，j＝1，2，3，4，5，6，i≠j）表示，可能出现的结果为
(X1，X2)，(X1，X3)，(X1，X4)，(X1，X5)，(X1，X6)，
(X2，X3)，(X2，X4)，(X2，X5)，(X2，X6)，
(X3，X4)，(X3，X5)，(X3，X6)，
(X4，X5)，(X4，X6)，
(X5，X6)；
2根的长度都不在区间(20，25)内的结果为
(X1，X2)，(X1，X4)，(X1，X6)，
(X2，X4)，(X2，X6)，
(X4，X6)． …9分
2根的长度都不在区间(20，25)内概率P＝＝，
至少有1根的长度在区间(20，25)内的概率为1－P＝…12分
【试题出处】唐山市2012届高三上学期期末考试数学试题（文）
【原题】（本题满分13分）如图，一个圆形游戏转盘被分成6个均匀的扇形区域．用力旋转转盘，转盘停止转动时，箭头A所指区域的数字就是每次游戏所得的分数（箭头指向两个区域的边界时重新转动），且箭头A指向每个区域的可能性都是相等的．在一次家庭抽奖的活动中，要求每个家庭派一位儿童和一位成人先后各转动一次游戏转盘，得分记为（假设儿童和成人的得分互不影响，且每个家庭只能参加一次活动）．（Ⅰ）请列出一个家庭得分的所有情况；（Ⅱ）若游戏规定：一个家庭的总得分为参与游戏的两人所得分数之和，且总得分为偶数的家庭可以获得一份奖品．请问一个家庭获奖的概率为多少？
【解析】（Ⅰ）由题意可知，一个家庭的得分情况共有9种，分别为，．…7分
（Ⅱ）记事件A：一个家庭在游戏中获奖，则符合获奖条件的得分情况包括 ，共5种，……11分 所以． 所以一个家庭获奖的概率为． ……………13分
【试题出处】北京市朝阳区2011-2012学年度高三年级第一学期期末统一考试数学试卷（文史类）
【原题】（本小题共13分）为了解某地区中学生的身体发育状况，拟采用分层抽样的方法从甲、乙、丙三所中学抽取6个教学班进行调查.已知甲、乙、丙三所中学分别有12，6，18个教学班.
（Ⅰ）求从甲、乙、丙三所中学中分别抽取的教学班的个数；（Ⅱ）若从抽取的6个教学班中随机抽取2个进行调查结果的对比，求这2个教学班中至少有1个来自甲学校的概率.
【解析】（Ⅰ）由已知可知在甲、乙、丙三所中学共有教学班的比是12:6:18=2:1:3………1分
所以甲学校抽取教学班数为个，乙学校抽取教学班数为个，丙学校抽取教学班数为个，……4分所以分别抽取的教学班个数为2，1，3.…………5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，从甲、乙、丙三所中学分别抽取2，1，3个教学班，不妨分别记为，，，，，，则从6个教学班中随机抽取2个教学班的基本事件为：，，，，，，，，，，，，，，共15个.……7分设“从6个教学班中随机抽取2个教学班，至少有1个来自甲学校”为事件，…8分则事件包含的基本事件为：，，，，，，，，共9个.………10分所以 . ……12分
所以从抽取的6个教学班中随机抽取2个，且这2个教学班中至少有1个来自甲学校的概率为.…13分
【试题出处】丰台区2011—2012学年度第一学期期末练习高三数学（文科）
【原题】（本小题满分13分）某种零件按质量标准分为五个等级.现从一批该零件中随机抽取个，对其等级进行统计分析，得到频率分布表如下：
等级
频率
（Ⅰ）在抽取的个零件中，等级为的恰有个，求；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，从等级为和的所有零件中，任意抽取个，求抽取的个零件等级恰好相同的概率.
【解析】（Ⅰ）：由频率分布表得 ，即 .…2分
由抽取的个零件中，等级为的恰有个，得 ……4分
所以. ………5分
（Ⅱ）：由（Ⅰ）得，等级为的零件有个，记作；等级为的零件有个，
记作.从中任意抽取个零件，所有可能的结果为：
共计种.……9分
记事件为“从零件中任取件，其等级相等”.则包含的基本事件为
共4个.……11分故所求概率为 .……13分
【试题出处】北京市西城区2011 — 2012学年度第一学期期末试卷高三数学（文科）
【原题】（本小题满分12分）继“三鹿奶粉”，“瘦肉精”， “地沟油”等事件的发生之后，食品安全问题屡屡发生，引起了国务院的高度重视.为了加强食品的安全，某食品安检部门调查一个海水养殖场的养殖鱼的有关情况，安检人员从这个海水养殖场中不同位置共捕捞出100条鱼，称得每条鱼的重量（单位：kg），并将所得数据进行统计得下表.若规定超过正常生长的速度为1.0～1.2kg/年的比重超过15%，则认为所饲养的鱼有问题，否则认为所饲养的鱼没有问题。
鱼的质量
鱼的条数 3 20 35 31 9 2
（Ⅰ）根据数据统计表，估计数据落在[1.20,1.30）中的概率约为多少，并判断此养殖场所饲养的鱼是否存在问题 （Ⅱ）上面捕捞的100条鱼中间，从重量在和[的鱼中，任取2条鱼来检测，求恰好所取得鱼重量和[各有1条的概率.
【解析】（Ⅰ）捕捞的100条鱼中间，数据落在的概率约为；（1分）
数据落在的概率约为； （2分）
所以数据落在[1.20,1.30）中的概率约为 （4分）
由于％％％ （5分）故饲养的这批鱼没有问题. （6分）
（Ⅱ）重量在的鱼有3条，把这3条鱼分别记作重量在的鱼有2条，分别记作：那么所有的可能有：
共10种， （9分）而恰好所取得鱼重量在和各有1条有：共6种， （11分）
所以恰好所取得鱼重量在和各有1条的概率为. （12分）
【试题出处】肇庆市中小学教学质量评估2011—2012学年第一学期统一检测题高三数学（文科）
【原题】（本小题12分）一个袋中装有4个形状大小完全相同的小球，球的编号分别为1、2、3、4，甲、乙、丙依次有放回地随机抽取1个球 ，摸到球的编号分别为在一次抽取中：
（Ⅰ）若两人抽取的编号都相同，则称这两人为“好朋友” ，求甲、乙两人成为“好朋友”的概率；（Ⅱ）求丙抽取的编号能使方程成立的概率.
【解析】（Ⅰ）甲、乙依次摸到球的编号记为，则 基本事件有：（1，1）、（1，2）、（1，3）、（1，4）、（2，1）、（2，2）、（2，3）、（2，4）、（3，1）、（3，2）、（3，3）、（3，4）、（4，1）、（4，2）、（4，3）、（4，4）一共4×4=16种，甲、乙两人成为“好朋友”的基本事件有（1，1）、（2，2）、（3，3）、（4，4）共4种，故甲、乙两人成为“好朋友”的概率………6分
（Ⅱ）甲、乙、丙依次摸到球的编号记为，则基本事件有4×4×4=64种。
若丙抽取的编号时，则分别为（1，3）、（2，2）、（3，1），
若丙抽取的编号时，则分别为（1，1），若丙抽取的编号时，方程不成立综上：丙抽取的编号能使方程成立基本事件有4种，∴所求概率 … …12分
【试题出处】江西省宜春市2012届高三上学期期末统考试卷数学(文)
【原题】（本小题满分12分）甲乙两个学校高三年级分别有1200人，1000人，为了了解两个学校全体高三年级学生在该地区六校联考的数学成绩情况，采用分层抽样方法从两个学校一共抽取了110名学生的数学成绩，并作出了频数分布统计表如下：
分组 [70,80） [80,90） [90,100） [100,110）
频数 3 4 8 15
分组 [110,120） [120,130） [130,140） [140,150]
频数 15 x 3 2
甲校：
分组 [70,80） [80,90） [90,100） [100,110）
频数 1 2 8 9
分组 [110,120） [120,130） [130,140） [140,150]
频数 10 10 y 3
乙校：
（Ⅰ）计算x，y的值。（Ⅱ）若规定考试成绩在[120,150]内为优秀，请分别估计两个学校数学成绩的优秀率。
甲校 乙校 总计
优秀
非优秀
总计
（Ⅲ）由以上统计数据填写右面2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为两个学校的数学成绩有差异。
参考数据与公式：
由列联表中数据计算
临界值表
P（K≥k0） 0.10 0.05 0.010
k0 2.706 3.841 6.635
【解析】（Ⅰ）甲校抽取110×60人，
甲校 乙校 总计
优秀 15 20 35
非优秀 45 30 75
总计 60 50 110
乙校抽取110×=50人，故x＝10，
y＝7，………4分
（Ⅱ）估计甲校优秀率为，
乙校优秀率为＝40%. ………8分
(Ⅲ) k2＝≈2.83>2.706
又因为 1－0.10＝0.9，故有90%的把握认为两个学校的数学成绩有差异。 ……………12分
【试题出处】安徽省六校教育研究会2012届高三测试数学试题(文)
【原题】(本小题满分12分)某工科院校对A,B两个专业的男女生人数进行调查，得到如下的列联表：
(I) 从B专业的女生中随机抽取2名女生参加某项活动，其中女生甲被选到的概率是多少？
(II)能否在犯错误的概率不超过0．05的前提下，认为工科院校中“性别”与“专业”有关系呢 注：
【解析】（Ⅰ）设B专业的4名女生为甲、乙、丙、丁，随机选取两个共有（甲，乙），（甲，丙），（甲，丁），（乙，丙），（乙，丁），（丙，丁）6种可能，……2分
其中选到甲的共有3种可能，……………4分则女生甲被选到的概率是.………6分
（Ⅱ）根据列联表中的数据，………9分由于，因此在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为工科院校中“性别”与“专业”有关系.…………12分
【试题出处】河北省石家庄市2012届高三上学期教学质量检测(一)数学（文）试题
【原题】（本小题满分12分）我省城乡居民社会养老保险个人年缴费分100，200，300，400，500，600，700，800，900，1000（单位元）十个档次，某社区随机抽取了50名村民，按缴费在100~500元，600~1000元，以及年龄在20~39岁，40~59岁之间进行了统计，相关数据如下：
（1）用分层抽样的方法在缴费100~500元之间的村民中随机抽取5人，则年龄在20~39岁之间应抽取几人？（2）在（1）的条件下抽取的5人中，随机选取2人进行到户走访，求这2人的年龄都在40~59岁之间的概率。（3）能否有95%的把握认为缴费的档次与年龄有关？
【解析】（Ⅰ）设抽取人，则，，所以在20~39岁之间应抽取2人.
…………………3分
（Ⅱ）记在缴费100~500元之间抽取的5人中，年龄20~39的两人为，年龄40~59 岁【试题出处】安徽省宿州市2012届高三第一次教学质量检测数学试题（文）
【原题】（本小题满分12分）已知集合，，（1）在区间上任取一个实数，求“”的概率；（2）设为有序实数对，其中是从集合中任取的一个整数，是从集合中任取的一个整数，求“”的概率.
【解析】（1）由已知，，……………2分
设事件“”的概率为，这是一个几何概型，则。……5分
（2）因为，且，所以，，基本事件由下表列出，共12个：共有12个结果，即12个基本事件：1，2，3，4，0，1，2，3，1，0，1，2……9分又因为，设事件为“”，则事件中包含9个基本事件，…11分事件的概率。…… 12分
【试题出处】汕头市2011~2012学年度普通高中毕业班教学质量监测试题文科数学
【原题】（本小题满分12分）某种产品的广告费支出与销售额(单位：万元）之间有如下对应数据:
2 4 5 6 8
30 40 60 50 70
（Ⅰ）求回归直线方程；（Ⅱ）试预测广告费支出为10万元时，销售额多大？（Ⅲ）在已有的五组数据中任意抽取两组，求至少有一组数据其预测值与实际值之差的绝对值不超过5的概率。（参考数据： ）
【解析】（Ⅰ）：，
又已知 ，
于是可得：，
因此，所求回归直线方程为：
（Ⅱ）: 根据上面求得的回归直线方程，当广告费支出为10万元时，
(万元) 即这种产品的销售收入大约为82. 5万元.
2 4 5 6 8
30 40 60 50 70
30.5 43.5 50 56.5 69.5
（Ⅲ）：
基本事件：（30，40），（30，60），（30，50），（30，70），（40，60），（40，50），（40，70），（60，50），（60，70），（50，70）共10个两组数据其预测值与实际值之差的绝对值都超过5：（60，50）所以至少有一组数据其预测值与实际值之差的绝对值不超过5的概率为
【试题出处】2012年普通高等学校招生全国统一考试福建模拟卷数学试题（文史类）
【方 法 总 结】
1公式的使用(1)常用公式：
①等可能事件的概率：P(A)= =
②互斥事件的概率：P（A+B）=P（A）+P（B）.
③对立事件的概率：P（A+）=P（A）+P（）=1.
④相互独立事件的概率： P（A·B）=P（A）·P（B）.
⑤n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率： Pn(k)= Pk(1－P)n－k.
(2)注意事项：
①每个公式都有其成立的条件，若不满足条件，则这些公式将不再成立.
②对于一个概率问题，应首先弄清它的类型，不同的类型采用不同的计算方法.一般题中总有关键语句说明其类型，对于复杂问题要善于进行分解，或者运用逆向思考的方法.
2统计
(1)抽样方法：简单随机抽样、系统抽样、分层抽样．
(2)利用样本频率分布估计总体分布
①频率分布表和频率分布直方图．②总体密度曲线．③茎叶图．
(3)用样本的数字特征估计总体的数字特征①众数、中位数．②平均数＝.
③方差与标准差方差s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2]．
标准差s＝ .
3.两个变量间的相关关系
两个变量间的相关关系中，主要是能作出散点图，了解最小二乘法的思想；能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程.体会回归分析及独立性检验的基本思想.
4．独立性检验
(1)2×2列联表一般地，假设有两个分类变量X和Y，它们的值域分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其样本频数列联表为：
y1 y2 总计
x1 a b a＋b
x2 c d c＋d
总计 a＋c b＋d a＋b＋c＋d
K2＝(其中n＝a＋b＋c＋d为样本容量)．