2012届全国各省市高三上期数学联考试题重组专题题型五 解析几何（教师版）

2012届全国各省市高三上期数学联考试题重组专题
题型五 解析几何
【备 考 要 点】
考情分析 从近几年高考来看，本讲高考命题具有以下特点：1．圆锥曲线是高考中每年必考内容，是高考的重点和热点，选择题、填空题和解答题均有涉及，所占分数在12～18分．主要考查圆锥曲线的标准方程、几何性质等．2．由于新课标对此部分的考查增加了“理解数形结合思想”的要求，所以考查数形结合、等价转化、分类讨论等数学思想方法的问题有所加强．3．以向量为载体的解析几何问题已成为高考的重中之重，联系方程、不等式以及圆锥曲线的转化，题型灵活多样．
解答题的题型设计主要有三类：圆锥曲线的有关元素计算．关系证明或范围的确定；涉及与圆锥曲线平移与对称变换、最值或位置关系的问题；求平面曲线（整体或部分）的方程或轨迹．近年来，高考中解析几何综合题的难度有所下降．随着高考的逐步完善，结合上述考题特点分析，预测今后高考的命题趋势是：将加强对于圆锥曲线的基本概念和性质的考查，加强对于分析和解决问题能力的考查．因此，教学中要注重对圆锥曲线定义、性质、以及圆锥曲线基本量之间关系的掌握和灵活应用．高考第二阶段的复习，应在继续作好知识结构调整的同时，抓好数学基本思想、数学基本方法的提炼，进行专题复习；做好“五个转化”，即从单一到综合、从分割到整体、从记忆到应用、从慢速摸仿到快速灵活、从纵向知识到横向方法.这一复习过程，要充分体现分类指导、分类要求的原则，内容的选取一定要有明确的目的性和针对性，要充分发挥教师的创造性，更要充分考虑学生的实际，要密切注意学生的信息反馈，防止过分拔高，加重负担. 要点知识整合
【2011高考题型】
根据近年来各地高考的情况，解析几何高考考查特点(1)题型稳定:近几年来高考解析几何试题一直稳定在三(或二)个选择题,一个填空题,一个解答题上,分值约为30分左右, 占总分值的20%左右。
(2)整体平衡,重点突出:对直线、圆、圆锥曲线知识的考查几乎没有遗漏,通过对知识的重新组合,考查时既注意全面,更注意突出重点, 对支撑数学科知识体系的主干知识, 考查时保证较高的比例并保持必要深度。近四年新教材高考对解析几何内容的考查主要集中在如下几个类型: ① 求曲线方程( 类型确定、类型未定); ②直线与圆锥曲线的交点问题(含切线问题); ③与曲线有关的最(极)值问题; ④与曲线有关的几何证明(对称性或求对称曲线、平行、垂直); ⑤探求曲线方程中几何量及参数间的数量特征;
(3)能力立意,渗透数学思想:一些虽是常见的基本题型,但如果借助于数形结合的思想,就能快速准确的得到答案。
(4)题型新颖,位置不定:近几年解析几何试题的难度有所下降,选择题、填空题均属易中等题,且解答题未必处于压轴题的位置,计算量减少,思考量增大。加大与相关知识的联系(如向量、函数、方程、不等式等),凸现教材中研究性学习的能力要求。加大探索性题型的分量。
由于圆锥曲线是传统的高中数学主干知识，在高考命题上已经比较成熟，考查的形式和试题的难度、类型已经较为稳定，预计2012年仍然是这种考查方式，不会发生大的变化．
【2012 命题方向】
【原题】（本小题满分14分）已知中，点A、B的坐标分别为，点C在x轴上方。（1）若点C坐标为，求以A、B为焦点且经过点C的椭圆的方程；（2）过点P（m，0）作倾角为的直线交（1）中曲线于M、N两点，若点Q（1，0）恰在以线段MN为直径的圆上，求实数m的值。
【解析】（Ⅰ）设椭圆方程为，c=,2a=,b=椭圆方程为5分
即，．
【试题出处】黄冈市2011年秋季高三年级期末考试数学试题（文）
【原题】（本小题满分12分）已知斜率为1的直线与双曲线相交于B、D两点，且BD的中点为M（1，3）。（1）求双曲线C的离心率；（2）若双曲线C的右焦点坐标为（3，0），则以双曲线的焦点为焦点，过直线上一点M作椭圆，要使所作椭圆的长轴最短，点M应在何处？并求出此时的椭圆方程。
【解析】（Ⅰ）由题设知：的方程为，代入的方程，并化简得：
(＊)………2分
设，则， ……4分由为的中点知，故即.　故，∴验证可知方程(＊)的△>0……6分
（Ⅱ）双曲线的左、右焦点为、，点关于直线①
的对称点的坐标为，直线的方程为② ………8分
解方程组①②得：交点…9分此时最小，
所求椭圆的长轴，∴…11分
又， ∴，故所求椭圆的方程为 ……12分
【试题出处】安徽省宿州市2012届高三第一次教学质量检测数学试题（理）
【原题】（本题满分13分）已知椭圆:的离心率等于,抛物线:的焦点在椭圆的顶点上．（1）求抛物线的方程。 （2）过的直线与抛物线交于、两点，又过、作抛物线的切线、，当时，求直线的方程。
【解析】（1）已知椭圆的短半轴为，半焦距为， 由离心率等于
∴，∴椭圆的上顶点，∴抛物线的焦点为，∴抛物线的方程为　
（2）设直线的方程为，，，，∴
∴切线、的斜率分别为、　当时，即：由得：，解得或 ①∴即：满足 ①∴直线的方程为
【试题出处】2012届厦门市高三上期末质量检查数学模拟试题（理）
【原题】（本小题满分12分） 过椭圆的左焦点F作斜率为的直线交椭圆于A，B两点，使得AB的中点M在直线上。（1）求k的值；（2）设C（-2，0），求
【解析】（Ⅰ）由椭圆方程，a＝，b＝1，c＝1，则点F为(－1，0)．
直线AB方程为y＝k(x＋1)，代入椭圆方程，得(2k2＋1)x2＋4k2x＋2k2－2＝0． ①
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，则x0＝＝－，y0＝k(x0＋1)＝，
由点M在直线x＋2y＝0上，知－2k2＋2k＝0，∵k≠0，∴k＝1…6分
（Ⅱ）将k＝1代入①式，得3x2＋4x＝0，不妨设x1＞x2，则x1＝0，x2＝－， …8分
记α＝∠ACF，β＝∠BCF，则tanα＝＝＝，tanβ＝－＝－＝，
∴α＝β，∴tan∠ACB＝tan2α＝＝．…12分
【试题出处】唐山市2012届高三上学期期末考试数学试题（文）
【原题】已知曲线的方程为（）．（1）讨论曲线所表示的轨迹形状；（2）若时，直线与曲线相交于两点，，且，求曲线的方程．
【解析】（1）当时，曲线的轨迹是焦点在轴上的双曲线；……（1分）
当时，曲线的轨迹是两条平行的直线和；…（1分）
当时，曲线的轨迹是焦点在轴上的椭圆；…（1分）
当时，曲线的轨迹是圆；…（1分）
当时，曲线的轨迹是焦点在轴上的椭圆．……（1分）
（2）由，得……① …………（2分）
因为，所以方程①为一元二次方程，△，所以直线与曲线必有两个交点．…（1分）设，，则，为方程①的两根，所以
，，……（1分）所以
，……（2分）
所以，解得或……（2分）
因此曲线的方程为或． ……（1分）
【试题出处】上海市嘉定区2012届高三上学期第一次质量调研数学文试卷
【原题】如图，焦距为2的椭圆D的两个顶点分别为和，且与共线.（Ⅰ）求椭圆D的标准方程；（Ⅱ）过点且斜率为的直线l与椭圆D有两个不同的交点P和Q ，若以PQ为直径的圆经过原点O，求实数m的值.
【解析】（Ⅰ）设椭圆E的标准方程为，由已知得，∴，∵与共线，∴，又（3分）
∴ ，∴ 椭圆E的标准方程为 （5分）
（Ⅱ）设,把直线方程代入椭圆方程，
消去y，得，,∴, （7分）
，∴ （8分）∵以PQ为直径的圆经过原点O
∴，即（9分）
又
由得，∴（11分）∴（12分）
【试题出处】吉林市普通中学2011—2012学年度高中毕业班上学期期末教学质量检测数学
【原题】（本题满分13分）已知椭圆的离心率为，且过点，为其右焦点（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设过点的直线与椭圆相交于、两点（点在两点之间），若与的面积相等，试求直线的方程.
【解析】（Ⅰ）因为，所以，…1分
设椭圆方程为，又点在椭圆上,所以，解得，…3分
所以椭圆方程为……4分
（Ⅱ）易知直线的斜率存在, 设的方程为，5分
由消去整理，得，6分
由题意知，解得.………7分
设，，则， ①， .… ②.
因为与的面积相等，所以，所以. ③…10分
由①③消去得. ④ 将代入②得. ⑤
将④代入⑤，整理化简得，解得经检验成立.所以直线的方程为.…13分
【试题出处】北京市朝阳区2011-2012学年度高三年级第一学期期末统一考试数学试卷（文史类）
【原题】已知椭圆的中心在原点，左焦点为，离心率为．设直线与椭圆有且只有一个公共点，记点在第一象限时直线与轴、轴的交点分别为，且向量.求：（I）椭圆的方程；（II）的最小值及此时直线的方程
【解析】(Ⅰ)由题意可知，，所以，于是，由于焦点在轴上，故C椭圆的方程为……5分
（Ⅱ）设直线的方程为：，消去得：
…7分直线与曲线有且只有一个公共点，
即① 9分∵
②…11分将①式代入②得：
当且仅当时，等号成立，故，此时直线方程为：.14分
【试题出处】昌平区2011－2012学年第一学期高三年级期末质量抽测数学试卷（文科）
【原题】（本小题共13分）已知椭圆的右焦点为，为椭圆的上顶点，为坐标原点，且△是等腰直角三角形．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）是否存在直线交椭圆于，两点， 且使点为△的垂心（垂心：三角形三边高线的交点）？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．
【解析】（Ⅰ）由△是等腰直角三角形得，，故椭圆方程为5分
（Ⅱ）假设存在直线交椭圆于，两点，且为△的垂心，设，
因为，，故．………7分于是设直线的方程为，
由得．
解得或…12分经检验，当时，△不存在，故舍去．
当时，所求直线存在，且直线的方程为．………13分
【试题出处】北京市东城区2011-2012学年度高三数第一学期期末教学统一检测数学（理科）
【原题】（本小题满分13分）已知椭圆:的右焦点为，离心率为.
（Ⅰ）求椭圆的方程及左顶点的坐标；（Ⅱ）设过点的直线交椭圆于两点，若的面积为，求直线的方程.
【解析】（Ⅰ）由题意可知：，，所以.所以 . 所以 椭圆的标准方程为，左顶点的坐标是.……4分
（Ⅱ）根据题意可设直线的方程为，.由可得：.所以 ，，
.…7分所以 的面积…9分
.………10分
因为的面积为，所以.令，则.解得（舍），.所以. 所以直线的方程为或.…13分
【试题出处】北京市海淀区2012届高三年级第一学期期末数学试题(文)
【原题】（本小题满分13分）如图，轴，点M在DP的延长线上，
且．当点P在圆上运动时。
（I）求点M的轨迹C的方程；（Ⅱ）过点
的切线交曲线C于A，B两点，求△AOB面积S的最大值和相应的点T的坐标。
【解析】设点的坐标为，点的坐标为，则，
所以， ①因为在圆上所以②
将①代入②，得点的轨迹方程C的方程为．…… （5分）
（Ⅱ）由题意知，．当时，切线的方程为，点A、B的坐标分别为
此时，当时，同理可得； 当时，设切线的方程为由得③
设A、B两点的坐标分别为，则由③得：．
又由l与圆相切，得即
所以
因为且当时，|AB|=2，所以|AB|的最大值为2
依题意，圆心到直线AB的距离为圆的半径，所以面积，
当且仅当时，面积S的最大值为1，相应的的坐标为或者．13分
【试题出处】湖北省武昌区2012届高三年级元月调研测试数学试题（文）
【原题】（本题满分14分） 已知椭圆的离心率为，直线过点，，且与椭圆相切于点.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）是否存在过点的直线与椭圆相交于不同的两点、，使得 若存在，试求出直线的方程；若不存在,请说明理由.
【解析】（Ⅰ）由题得过两点，直线的方程为.………… 1分
因为，所以，. 设椭圆方程为,
由消去得，.又因为直线与椭圆相切,所以又直线与椭圆相切，由解得，所以…10分则. 所以.
又
所以，解得.经检验成立.…… 13分
所以直线的方程为.…… 14分
【试题出处】北京市朝阳区2011-2012学年度高三年级第一学期期末统一考试数学试卷（理工类）
【原题】(本题12分)如图，ADB为半圆，AB为半圆直径，O为半圆圆心，且ODAB，Q为线段OD的中点，已知|AB|=4，曲线C过Q点，动点P在曲线C上运动且保持|PA|+|PB|的值不变。(I)建立适当的平面直角坐标系，求曲线C的方程；(II)过点B的直线与曲线C交于M、N.两点，与OD所在直线交于E点，，证明：为定值.
【解析】（Ⅰ）以AB、OD所在直线分别为x轴、y轴， O为原点，
建立平面直角坐标系，∵动点P在曲线C上运动
且保持|PA|+|PB|的值不变．且点Q在曲线C上,
∴|PA|+|PB|=|QA|+|QB|=2＞|AB|=4． 3分
∴曲线C是为以原点为中心，A、B为焦点的椭圆．设其长半轴为a,短半轴为b,半焦距为c,则2a=2,∴a=,c=2,b=1… 4分∴曲线C的方程为+y2=15分
【法1】（Ⅱ）：设点的坐标分别为，
易知点的坐标为．且点B在椭圆C内,故过点B的直线l必与椭圆C相交．
∵，∴． ∴ ，… 7分
将M点坐标代入到椭圆方程中得：，
去分母整理，得………… 9分
同理，由可得：…… 10分
∴ ，是方程的两个根11分∴ ……… 12分
【法2】（Ⅱ）：设点的坐标分别为，
易知点的坐标为．且点B在椭圆C内,故过点B的直线l必与椭圆C相交．
显然直线 的斜率存在，设直线 的斜率为 ，则直线 的方程是 …6分
将直线 的方程代入到椭圆 的方程中，消去 并整理得
∴ ，…… 8分
又 ∵， 则．∴，
同理，由，∴………10分
∴ ……………………12分
【试题出处】2012年北海市高中毕业班第一次质量检测数学
【原题】已知椭圆C的中心在原点，对称轴为坐标轴，且过(Ⅰ)求椭圆C的方程，(Ⅱ)直线交椭圆C与A、B两点，求证：
【解析】设椭圆C 的方程为由椭圆C过点得：
解得椭圆C的方程为
（Ⅱ）设，由消去y整理得，由韦达定理得，则由两边平方整理可得
只需证明，
而
故恒成立
【试题出处】山东省德州市2012届高三上学期期末考试数学试题（理科）
【原题】（本小题共13分）已知椭圆的左、右焦点分别为，， 点是椭圆的一个顶点，△是等腰直角三角形．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过点分别作直线，交椭圆于，两点，设两直线的斜率分别为， ，且，证明：直线过定点（）．
【解析】（Ⅰ）由已知可得 ，所求椭圆方程为．…5分
（Ⅱ）若直线的斜率存在，设方程为，依题意．
设，，由 得 …7分
则．由已知，
所以，即．………10分
所以，整理得 ．故直线的方程为，即（）．
所以直线过定点（）．……12分
若直线的斜率不存在，设方程为，设，，
由已知，得．此时方程为，显然过点（）．
综上，直线过定点（）．…13分
【试题出处】北京市东城区2012届高三上学期期末考试文科数学
【原题】（本小题满分13分）已知椭圆的离心率为，两焦点之间的距离为4。 （I）求椭圆的标准方程；（II）过椭圆的右顶点作直线交抛物线于A、B两点，（1）求证：OA⊥OB；（2）设OA、OB分别与椭圆相交于点D、E，过原点O作直线DE的垂线OM，垂足为M，证明|OM|为定值。
【解析】（Ⅰ）由得，故．所以，所求椭圆的标准方程为…4分
（2）设、，直线的方程为，代入，得
．于是．
从而，．代入，整理得．∴原点到直线的距离为定值……（13分）
【试题出处】湖北省武昌区2012届高三年级元月调研测试数学（理）试题
【原题】（本小题满分14分）已知椭圆的离心率为，椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）已知动直线与椭圆相交于、两点.①若线段中点的横坐标为，求斜率的值；②已知点，求证：为定值.
【解析】（Ⅰ）因为满足， ……2分
。解得，则椭圆方程为……4分
（Ⅱ）（1）将代入中得……6分
，……7分
因为中点的横坐标为，所以，解得…………9分
（2）由（1）知，
所以 ……………11分
…12分
…14分
【试题出处】山东省青岛市2012届高三期末检测数学 (文科)
【解析】（1）由已知，，（，），设
由，得，故点的坐标为，…（3分）
将点的坐标代入，化简得，．…………（3分）
（2）解法一：设，则，所以．……（1分）
又，，所以
，…………（3分）
记，，则在上是减函数，在上是增函数．
所以，当时，取最小值，当时，取最大值．
所以△面积的取值范围是．…………（2分）
解法二：因为，（，），所以
，…（4分）
记，，则在上是减函数，在上是增函数
所以，当时，取最小值，当时，取最大值．
所以△面积的取值范围是．…………（2分）
【试题出处】2011学年嘉定区高三年级第一次质量调研数学试卷（理）
【原题】如图，过抛物线上一点P（1，-2）作倾斜角互补的两条直线，分别与抛物线交于点
（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若，求面积的最大值。
【解析】⑴因为，在抛物线上，
所以， ，
同理，依题有，因为，所以．…4分
⑵由⑴知，设的方程为，
到的距离为，，
所以=，…8分
令，由，，可知．，
因为为偶函数，只考虑的情况，
记，，故在是单调增函数，故的最大值为，故的最大值为6．…………10分
【试题出处】江苏省苏北四市（徐、连、宿、淮）2012届高三元月调研测试（数学）
【原题】（本小题满分13分）已知椭圆的一个焦点是，且离心率为.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设经过点的直线交椭圆于两点，线段的垂直平分线交轴于点，求的取值范围.
【解析】（Ⅰ）：设椭圆的半焦距是.依题意，得 .……1分 因为椭圆的离心率为，
所以，. …3分故椭圆的方程为 . ………4分
（Ⅱ）解：当轴时，显然. ……5分当与轴不垂直时，可设直线的方程为
.由 消去整理得 .…7分
设，线段的中点为，则 .……8分
所以 ，.线段的垂直平分线方程为
.在上述方程中令，得10分
当时，；当时，.所以或12分
综上，的取值范围是. …13分
【试题出处】北京市西城区2011 — 2012学年度第一学期期末试卷高三数学
【原题】（本小题共13分）在平面直角坐标系xOy中，为坐标原点，以为圆心的圆与直线相切．（Ⅰ）求圆的方程；（Ⅱ）直线：与圆交于，两点，在圆上是否存在一点，使得四边形 为菱形，若存在，求出此时直线的斜率；若不存在，说明理由．
所以原点到直线：的距离为．……10分
所以，解得，…11分即，经验证满足条件．……12分
所以存在点，使得四边形为菱形．……13分
（方法二）记与交于点．因为直线斜率为，显然，所以直线方程为…7分， 解得， 所以点坐标为，……9分
因为点在圆上，所以，解得，……11分
即，经验证满足条件．…12分所以存在点，使得四边形为菱形．…3分
【试题出处】丰台区2011—2012学年度第一学期期末练习高三数学（文科）
【原题】（本小题共13分）在平面直角坐标系xOy中，为坐标原点，动点与两个定点，的距离之比为．（Ⅰ）求动点的轨迹的方程； （Ⅱ）若直线：与曲线交于，两点，在曲线上是否存在一点，使得，若存在，求出此时直线的斜率；若不存在，说明理由．
【解析】（Ⅰ）设点的坐标为，依题意，即 3分化简得． 所以动点的轨迹的方程为．…5分
（Ⅱ）因为直线：与曲线相交于，两点， 所以 ， 所以或……7分假设存在点，使得…8分因为，在圆上，且，由向量加法的平行四边形法则可知四边形为菱形，所以与互相垂直且平分…9分所以原点到直线：的距离为…10分即 ，解得，
，经验证满足条件………12分所以存在点，使得．…13分
【试题出处】丰台区2011—2012学年度第一学期期末练习高三数学（理科）
【原题】（本小题满分14分）已知焦点在轴上的椭圆过点，且离心率为,为椭圆的左顶点.（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）已知过点的直线与椭圆交于，两点.（ⅰ）若直线垂直于轴，求的大小;（ⅱ）若直线与轴不垂直，是否存在直线使得为等腰三角形？如果存在，求出直线的方程；如果不存在，请说明理由.
【解析】（Ⅰ）设椭圆的标准方程为，且.由题意可知：，.……2分所以.所以，椭圆的标准方程为.……3分
（Ⅱ）由（Ⅰ）得.设.（ⅰ）当直线垂直于轴时，直线的方程为.由 解得：或即（不妨设点在轴上方）.……5分则直线的斜率，直线的斜率.因为 ，所以 .所以 .6分
（ⅱ）当直线与轴不垂直时，由题意可设直线的方程为.由消去得：.因为 点在椭圆的内部，显然.…8分因为 ，，，所以
.
所以 . 所以 为直角三角形.……………11分
假设存在直线使得为等腰三角形，则.
取的中点，连接，则.
记点为.
另一方面，点的横坐标，
所以 点的纵坐标.
所以
.所以 与不垂直，矛盾.
所以 当直线与轴不垂直时，不存在直线使得为等腰三角形.…13分
【试题出处】北京市海淀区2012届高三年级第一学期期末数学试题(理)
【原题】已知椭圆的焦点，过作垂直于轴的直线被椭圆所截线段长为，过作直线l与椭圆交于A、B两点.（1）求椭圆的标准方程；（2）若A是椭圆与y轴负半轴的交点，求的面积；（3）是否存在实数使，若存在，求的值和直线的方程；若不存在，说明理由．
【解析】(1) 设椭圆方程为，由题意点在椭圆上，……（2分）
所以，解得……（4分）
（2）由题意，…（5分）所以，（7分）…（9分）
（3）当直线斜率不存在时，易求，
所以
由得，直线的方程为．………（11分）
当直线斜率存在时，所以，
由得即…………（13分）
因为，所以此时，直线的方程为…（16分）
注：由得是AB的中点或P、A、B、共线，不扣分．
【试题出处】上海市宝山区2012届高三上学期期末质量监测数学试题
【原题】（本题满分12分）已知圆，圆，动点到圆,上点的距离的最小值相等.（1）求点的轨迹方程；（2）点的轨迹上是否存在点，使得点到点的距离减去点到点的距离的差为，如果存在求出点坐标，如果不存在说明理由.
【解析】（1）设动点的坐标为，圆的圆心坐标为，圆的圆心坐标为2分
因为动点到圆,上的点距离最小值相等，所以, ………3分
即，化简得…4分因此点的轨迹方程是…5分
（2）假设这样的点存在，因为点到点的距离减去点到点的距离的差为4，
所以点在以和为焦点，实轴长为的双曲线的右支上， 即点在曲线上9分又点在直线上点的坐标是方程组的解11分消元得，，方程组无解，所以点的轨迹上不存在满足条件的点…13分
【试题出处】2012年佛山市普通高中高三教学质量检测（一）数学试题
【原题】(本小题满分12分) 在直角坐标系中，以坐标原点为圆心的圆与直线：相切。（1）求圆的方程；（2）若圆上有两点关于直线对称，且,求直线MN的方程；（3）圆与x轴相交于A、B两点，圆内的动点P使|PA|、|PO|、|PB|成等比数列，求的取值范围。
【解析】（1）依题设，圆的半径等于原点到直线的距离， 即 ．
得圆的方程为……3分
（2）由题意，可设直线MN的方程为。则圆心到直线MN的距离…5分
由垂径分弦定理得：，即。所以直线MN的方程为：
或…7分
（3）不妨设．由得．设，由
成等比数列，得，即． …………9分
∴=由于点在圆内，故由此得
．…11分所以的取值范围为………12分
【试题出处】株洲市2012届高三教学质量统一检测理科数学试题
【原题】（本小题满分12分）已知抛物线的焦点为F，过点F作直线与抛物线交于A，B两点，抛物线的准线与轴交于点C。（1）证明：； （2）求的最大值，并求取得最大值时线段AB的长。
【解析】（Ⅰ）由题设知，F(，0)，C(－，0)，设A(x 1，y1)，B(x2，y2)，直线l方程为x＝my＋，
代入抛物线方程y2＝2px，得y2－2pmy－p2＝0．y1＋y2＝2pm，y1y2＝－p2．…4分不妨设y1＞0，y2＜0，则tan∠ACF＝＝＝＝＝，tan∠BCF＝－＝－，
∴tan∠ACF＝tan∠BCF，所以∠ACF＝∠BCF．…8分
（Ⅱ）如（Ⅰ）所设y1＞0，tan∠ACF＝≤＝1，当且仅当y1＝p时取等号，此时∠ACF取最大
值，∠ACB＝2∠ACF取最大值，并且A(，p)，B(，－p)，|AB|＝2p．…12分
【试题出处】唐山市2012届高三上学期期末考试数学试题（理）
【原题】（本小题满分14分）已知圆的圆心在坐标原点,且恰好与直线相切.(Ⅰ) 求圆的标准方程；（Ⅱ）设点为圆上任意一点,轴于,若动点满足
,(其中为常数),试求动点的轨迹方程；（Ⅲ）在（Ⅱ）的结论下，当时,得到曲线，问是否存在与垂直的一条直线与曲线交于、两点,且为钝角，请说明理由.
（Ⅲ）时,曲线方程为，假设存在直线与直线垂直,设直线的方程为…8分设直线与椭圆交点
联立得:，得……9分
因为，解得，且……10分
…12分因为为钝角，所以，
解得满足所以存在直线满足题意……14分
【试题出处】山东省青岛市2012届高三期末检测数学 (理科)
【原题】．（本小题满分14分）已知定点A（-3,0），MN分别为x轴、y轴上的动点（M、N不重合），且,点P在直线MN上，.（1）求动点P的轨迹C的方程；（2）设点Q是曲线上任一点，试探究在轨迹C上是否存在点T？使得点T到点Q的距离最小，若存在，求出该最小距离和点T的坐标，若不存在，说明理由．
【解析】（1）设点M、N的坐标分别为，（）点P的坐标为，
则，，
由得，-（※）--2分由得 --3分
∴代入（※）得----5分
∵∴∴动点P的轨迹C的方程为（）------6分
（2）曲线即，是以B（4,0）为圆心，以1为半径的圆,设 T为轨迹C上任意一点，连结TB, 则----------8分
∴当最小时，最小.----9分∵点T在轨迹C上，设点（）
∴-------11分
当，即时，有最小值，---------12分
当时，∴在轨迹C上是存在点T，其坐标为，使得最小，.--14分
【试题出处】广东省揭阳市2011—2012学年度高三学业水平考试数学理试题数学试题(理科)
【原题】在△ABC中，顶点A，B，动点D，E满足：①；
②，③共线. （Ⅰ）求△ABC顶点C的轨迹方程；（Ⅱ）是否存在圆
心在原点的圆，只要该圆的切线与顶点C的轨迹有两个不同交点M，N，就一定有，若存
在，求该圆的方程；若不存在，请说明理由.
【解析】：(I)设C（x,y）,由得，动点的坐标为；
由得，动点E在y轴上，再结合与共线，得，动点E的坐标为;…2分由的，，整理得，.因为的三个顶点不共线，所以，故顶点C的轨迹方程为.…………5分
(II)假设存在这样的圆，其方程为，当直线MN的斜率存在时，设其方程为，代入椭圆的方程，得，设M，N，
则，
所以 (*)…7分由，得0，
即，将式子(*)代入上式，得.……9分又直线MN：与圆相切知：.
所以，即存在圆满足题意；当直线MN的斜率不存在时，可得，满足.综上所述：存在圆满足题意. …………12分
【试题出处】郑州2012高三第一次质量预测（数学理）
【原题】(本小题满分16分) 如图,在平面直角坐标系中,已知点为椭圆的右顶点, 点,点在椭圆上, (1)求直线的方程；(2)求直线被过三点的圆截得的弦长；(3)是否存在分别以为弦的两个相外切的等圆 若存在,求出这两个圆的方程；若不存在,请说明理由.
【解析】(1)因为,且A(3,0),所以=2,而B,P关于y轴对称,所以点P的横坐标为1,从而得…3分 所以直线BD的方程为………5分
(2)线段BP的垂直平分线方程为x=0,线段AP的垂直平分线方程为,
所以圆C的圆心为(0,－1),且圆C的半径为……8分
又圆心(0,－1)到直线BD的距离为,所以直线被圆截得的弦长为…10分
(3)假设存在这样的两个圆M与圆N,其中PB是圆M的弦,PA是圆N的弦,则点M一定在y轴上,点N一定在线段PC的垂直平分线上,当圆和圆是两个相外切的等圆时,一定有P,M,N在一条直线上,且PM=PN…12分设,则,根据在直线上,解得……14分所以,故存在这样的两个圆,且方程分别为
,……16分
【试题出处】南京市、盐城市2012届高三年级第一次模拟考试数学试题
【原题】（本题满分15分）长为3的线段的两个端点分别在轴上移动，点在直线上且满足．（I）求点的轨迹的方程；（II）记点轨迹为曲线，过点任作直线交曲线于两点，过作斜率为的直线交曲线于另一点．求证：直线与直线的交点为定点（为坐标原点），并求出该定点．
【解析】（I）设由得即又由得即为点的轨迹方程．……5分
（II）当的斜率不存在时，直线与曲线相切，不合题意；
当斜率存在时，设直线的方程为，即
联列方程得
设，则………7分
则的方程为与曲线C的方程联列得
则所以 ……9分
直线的方程为令，则
．……11分
．从而．即直线与直线交于定点．15分
【试题出处】浙江省宁波市2012届高三第一学期期末考试数学（理）试卷
【原题】（本题满分15分）已知抛物线的焦点为，抛物线上一点的横坐标为，过点作抛物线的切线交轴于点，交轴于点，交直线于点，当时，．（Ⅰ）求证：为等腰三角形，并求抛物线的方程；（Ⅱ）若位于轴左侧的抛物线上，过点作抛物线的切线交直线于点，交直线于点，求面积的最小值，并求取到最小值时的值．
（II）设，则处的切线方程为
由，
同理，所以面积……①
设的方程为，则由，得代入①得：，使面积最小，则得到② 令，②得，，所以当时单调递减；当单调递增，所以当时，取到最小值为，此时，，所以，即 …15分
椭圆的右焦点（1，0）……2分 即 ……4分
抛物线方程为……5分
（2）设直线AB: 联立，消得，………7分
设，，则 ……9分
由=
…11分
…13分当时，有最小值-2. 15分
【试题出处】温州市十校联合体2011学年第一学期高三期末联考数学（文科）试题卷
【原题】（本小题满分15分）已知焦点在x轴的椭圆C的离心率为，椭圆上的点与焦点的最大距离为8。（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）过其右焦点作与轴不垂直的任意直线交椭圆C于两点， 线段的垂直平分线交轴于点，求的值 。（3）类似的有：“若曲线为，则为”， 根据以上两结论试猜测，对任意的椭圆或双曲线，此为什么（无需证明）。
的垂直平分线的方程为：
令，解得即所以。。。7分
又
=
故 。。。。。12分
(3) 。。。。15分
【试题出处】温州市十校联合体2011学年第一学期高三期末联考数学试卷（理科）
【方 法 总 结】
圆锥曲线方程这章扩展开的内容比较多，比较繁杂，对学生来说不一定要把所有的结论一一记住，关键是掌握圆锥曲线的概念实质以及直线和圆锥曲线的关系.因此，在复习过程中要注意下述几个问题：（1）在解答有关圆锥曲线问题时，首先要考虑圆锥曲线焦点的位置，对于抛物线还应同时注意开口方向，这是减少或避免错误的一个关键，同时勿忘用定义解题.（2）在考查直线和圆锥曲线的位置关系或两圆锥曲线的位置关系时，可以利用方程组消元后得到二次方程，用判别式进行判.但对直线与抛物线的对称轴平行时，直线与双曲线的渐近线平行时，不能使用判别式，为避免繁琐运算并准确判断特殊情况，此时要注意用好分类讨论和数形结合的思想方法.画出方程所表示的曲线，通过图形求解.当直线与圆锥曲线相交时：涉及弦长问题，常用“韦达定理法”设而不求计算弦长(即应用弦长公式)；涉及弦长的中点问题，常用“差分法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化.同时还应充分挖掘题目的隐含条件，寻找量与量间的关系灵活转化，往往就能事半功倍.（3）求圆锥曲线方程通常使用待定系数法，若能据条件发现符合圆锥曲线定义时，则用定义求圆锥曲线方程非常简捷.在处理与圆锥曲线的焦点、准线有关问题，也可反用圆锥曲线定义简化运算或证明过程. 一般求已知曲线类型的曲线方程问题，可采用“先定形，后定式，再定量”的步骤.定形——指的是二次曲线的焦点位置与对称轴的位置；定式——根据“形”设方程的形式，注意曲线系方程的应用，如当椭圆的焦点不确定在哪个坐标轴上时，可设方程为mx2+ny2=1(m＞0,n＞0)；定量——由题设中的条件找到“式”中特定系数的等量关系，通过解方程得到量的大小.（4）在解与焦点三角形（椭圆、双曲线上任一点与两焦点构成的三角形称为焦点三角形）有关的命题时，一般需使用正余弦定理、和分比定理及圆锥曲线定义.（5）要熟练掌握一元二次方程根的判别式和韦达定理在求弦长、中点弦、定比分点弦、弦对定点张直角等方面的应用.（6）求动点轨迹方程是解析几何的重点内容之一，它是各种知识的综合运用，具有较大的灵活性，求动点轨迹方程的实质是将“曲线”化成“方程”，将“形”化成“数”，使我们通过对方程的研究来认识曲线的性质. 求动点轨迹方程的常用方法有：直接法、定义法、几何法、代入转移法、参数法、交轨法等.解题时，注意求轨迹的步骤：建系、设点、列式、化简、确定点的范围.