2012届全国各省市高三上期数学联考试题重组专题题型一 三角函数（教师版）

2012届全国各省市高三上期数学联考试题重组专题
题型一 三角函数
【备 考 要 点】
三角函数是中学数学的主体内容,是高考的重点,也是高考的热点,其考点主要包括:同角三角关系式及诱导公式,三角函数的图象和性质,三角函数的化简求值,三角形中的三角函数,三角函数的最值及综合应用。一般设计一道或两道客观题,一道解答题,约占总分的13%,即20分左右.多数是中、低档题.
近几年高考已逐步抛弃了对复杂三角变换和特殊技巧的考查，而重点转移对三角函数的图象与性质的考查，对基础知识和基本技能的考查上来.在考查三角公式进行恒等变形的同时，也直接考查了三角函数的性质及图象的变换，降低了对三角函数恒等变形的要求，加强了对三角函数性质和图象的考查力度.
【2011高考题型】
1、三角函数的概念及同角关系式
此类题主要考查三角函数诱导公式及三角函数的符号规律.解此类题注意必要的分类讨论以及三角函数值符号的正确选取.
2、三角函数的化简求值
这类题主要考查三角函数的变换.解此类题应根据考题的特点灵活地正用、逆用，变形运用和、差、倍角公式和诱导公式，进行化简、求值.
5、三角应用题
此类题主要考查三角函数实际应用. 解决三角应用题的关键是认真阅读题目，正确理解题意，运用所学知识建立适当的三角模型，准确无误的计算等。
6、三角函数的最值及综合应用。
此类问题主要考查三角函数最值和与三角函数有关学科内综合问题，如与平面向量、不等式、数列、解析几何等相结合。多为解答题。而三角形中三角函数最值问题仍将是高考的热点。
三角函数的命题趋于稳定,2012年高考可能依然会保持原有的考试风格，尽管命题的背景上有所变化，但仍属基础题、中档题、常规题.实施新课标后，新一轮基础教育的改革增添了与现代生活和科学技术发展相适应的许多全新的内容，它们会吸引命题者关注的目光.
由于该专题内容基础，高考试题的难度不大，经过一轮复习的学生已经达到了高考的要求，二轮复习就是在此基础上进行的巩固和强化，在复习中注意如下几点：
(1)该专题具有基础性和工具性，虽然没有什么大的难点问题，但包含的内容非常广泛，概念、公式、定理很多，不少地方容易混淆，在复习时要根据知识网络对知识进行梳理，系统掌握其知识体系．
(2)抓住考查的主要题型进行训练，要特别注意如下几个题型：根据三角函数的图象求函数解析式或者求函数值，根据已知三角函数值求未知三角函数值，与几何图形结合在一起的平面向量数量积，解三角形中正弦定理、余弦定理、三角形面积公式的综合运用，解三角形的实际应用问题．
(3)注意数学思想方法的应用，该部分充分体现了数形结合思想、函数与方程思想、化归与转化思想(变换)，在复习中要有意识地使用这些数学思想方法，强化数学思想方法在指导解题中的应用
【2012 命题方向】
【原题】 (本小题满分l2分) 已知函数 ． （1）求函数的最小正周期及单调递增区间；（2）内角的对边长分别为，若求的值．
【试题出处】山东省烟台市2012届高三第一学期期末考试数学试题
【原题】（本小题满分13分）已知函数，.（Ⅰ）求的零点；（Ⅱ）求的最大值和最小值.
【解析】法一：（Ⅰ）：令，得 ，……1分
得 ……4分因为，所以.…………5分
所以，当，或时，.……7分
即 或时，.综上，函数的零点为或.………9分
（Ⅱ）：由（Ⅰ）可知，当，即时，的最大值为；………11分
当，即时，的最小值为. ………………13分
【试题出处】北京市西城区2011— 2012学年度第一学期期末试卷
【原题】（本小题满分12分） 已知函数 （ I）求的单调递增区问；（Ⅱ）若对一切x∈[0，]均成立，求实数m的取值范围．
【解析】．
（Ⅰ）由，解得．
所以，的递增区间为． ………………………（5分）
（Ⅱ）由，得对一切均成立．
所以方程的解集为．……（1分）
解法二：，……（2分）
由，得，…………（1分）
，，…………（2分）
所以方程的解集为．…………（1分）
（2）由余弦定理，，
，……（2分）
所以，…………（1分）由题意，，所以．……（1分）
，，……（2分）
所以此时函数的值域为．…………（2分）
【试题出处】2011学年嘉定区高三年级第一次质量调研数学试卷
【原题】（本小题满分12分）设（其中），已知
且最小正周期为（1）求的值及的表达式；（2）设
的值
【试题出处】湖北省八校2012届高三第一次联考数学试题（文）
【原题】（本小题满分14分）已知向量，，函数．（1）求函数的解析式；（2）当时，求的单调递增区间；（3）说明的图象可以由的图象经过怎样的变换而得到．
【解析】（1）∵
……2分
∴1，………3分∴。……………4分
（2）由，解得，…6分
的图象向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），最后把所得各点的纵坐标伸长为原来的2倍（横坐标不变），得到的图象.14分（每一步变换2分）
【试题出处】广东省汕头市2012届高三上学期教学质量测评卷数学
【原题】（本小题满分12分）在中，，，分别是角A,B,C的对边，且.（Ⅰ）求角的值（Ⅱ）已知函数，将的图像向左平移个单位长度后得到函数的图像，求的单调增区间.
【解析】（1）由正弦定理得(2sinA+sinC)cosB+sinBcosC=0， 2分
即 2sinAcosB+sinCcosB+cosCsinB=0，　　得 2sinAcosB+sin(B+C)=0， 3分
因为 A+B+C=π，所以 sin(B+C)=sinA，得 2sinAcosB+sinA=0，
因为 sinA≠0，所以 cosB=， 5分 又B为三角形的内角，所以B=. 6分
（2）∵ B=, ∴ f(x)=2cos(2x-), 7分∴　g(x)=2cos［2(x+)-］=2cos(2x-)=2sin2x, 9分
由2k-≤2x≤2k+ (k∈Z),得k-≤x≤k+ (k∈Z),
故f(x)的单调增区间为［k-，k+］(k∈Z). 12分
【试题出处】黑龙江省绥化市2011-2012学年度高三年级质量检测数学理科试题
【原题】（本题满分12分）已知函数的图像与y轴的交点为他在y轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为和。(Ⅰ)求的解析式及值；(Ⅱ)若锐角满足求的值
【解析】（Ⅰ）由题意可得：，
得，所以，所以，又是最小的正数，；
（Ⅱ），
【试题出处】山东省德州市2012届高三上学期期末考试数学试题
【原题】（本小题共13分）已知函数．（Ⅰ）求函数的最小正周期和值域；（Ⅱ）若为第二象限角，且，求的值．
【解析】（Ⅰ）因为……1分 ，………2分
所以函数的周期为，值域为．……4分
（Ⅱ）因为 ，所以 ，即……5分
因为 ……8分
，………10分
又因为为第二象限角， 所以 ．…11分
解得：……11分. ……13分
【试题出处】昌平区2011－2012学年第一学期高三年级期末质量抽测
【原题】（本小题满分12分） 已知函数
（1）求函数的最小值和最小正周期；（2）已知内角A、B、C的对边分别为a、b、c且c=3,，若向量与共线，求实数a、b的值。
【解析】（1）
∴ 的最小值为，最小正周期为.…………5分
（2）∵ ， 即
∵ ，，∴ ，∴ ． ……7分
∵ 与共线，∴ ．由正弦定理 ， 得 ①…9分
由正弦定理得，，
，，，所以的取值范围为 ………14分
【试题出处】浙江省宁波市2012届高三第一学期期末考试数学（理）试卷
【原题】（本题满分12分）在△ABC中，已知AB＝，BC＝2（Ⅰ）若cosB＝－，求sinC的值；（Ⅱ）求角C的取值范围．
【解析】（Ⅰ）在△ABC中，由余弦定理知， AC2＝AB2＋BC2－2 ABBCcosB＝4＋3＋2×2×（－）＝9．所以AC＝3．（3分） 又因为sinB＝＝＝，…………（4分）
由正弦定理得＝． 所以sinC＝sinB＝…（6分）
（Ⅱ）在△ABC中，由余弦定理得，AB2＝AC2＋BC2－2 ACBCcosC，所以，3＝AC2＋4－4ACcosC，
即 AC2－4cosCAC＋1＝0…（8分）由题，关于AC的一元二次方程应该有解令△＝（4cosC）2－4≥0, 得cosC≥，或cosC≤－（舍去，因为AB＜AC）,所以，0＜C≤，即角C的取值范围是（0，）…12分）
【试题出处】鄂州市2011—2012学年度上学期期末考试
【原题】（本题满分13分）在锐角中，，，分别为内角，，所对的边，且满足．（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）若，且，，求的值．
【试题出处】北京市朝阳区2011-2012学年度高三年级第一学期期末统一考试
【原题】（本小题满分12分）已知函数，,将函数向左平移个单位后得函数，设三角形三个角、、的对边分别为、、.（Ⅰ）若，，，求、的值；（Ⅱ）若且，，求的取值范围.
【解析】（Ⅰ）1分
,所以因为,所以【试题出处】山东省青岛市2012届高三期末检测数学
【原题】（15分）已知向量，，函数．
（1）求函数的最小正周期；（2）若，，是的内角，，的对边，，，且是函数在上的最大值，求：角，角及边的大小．
【解析】（1），
…………5分
（2），，的最大值为3．
，为三角形内角，…………9分
又，得，，………………12分
由，得，………15分
【试题出处】上海市虹口区2012届高三上学期期终教学质量监控测试数学试卷
【原题】（本小题满分13分） 设函数，其中向量（Ⅱ）由f(A) = 2，得， 在△ABC中，
，解得 ……8分
又，解得c = 2.△ABC中，由余弦定理得：
， ∴a = .…10分
由，得…13分
【试题出处】2012届厦门市高三上期末质量检查数学模拟试题
【原题】（本小题满分12分）如图，在平面直角坐标系中，锐角和钝角的终边分别与单位圆交于，两点．⑴如果、两点的纵坐标分别为、，求和；
⑵在⑴的条件下，求的值；
⑶已知点，求函数的值域．
【解析】（1）根据三角函数的定义，得，．
又是锐角，所以 ( 4分)
（2）由（1）知．因为是钝角，所以．
所以． ( 8分)
（3）由题意可知，，．
所以，
因为，所以，
从而，因此函数的值域为． ( 12分)
【试题出处】2012年长春市高中毕业班第一次调研测试数学试题卷
【原题】（本小题满分12分）在某海岸A处，发现北偏东方向，距离A处n mile的B处有一艘走私船在A处北偏西的方向，距离A处n mile的C处的缉私船奉命以n mile/h的速度追截走私船. 此时，走私船正以5 n mile/h的速度从B处按照北偏东方向逃窜，问缉私船至少经过多长时间可以追上走私船，并指出缉私船航行方向.
【解析】设缉私船至少经过t h 可以在D点追上走私船，则， （1分）
在△ABC中，由余弦定理得，,∴ （3分）由正弦定理得，，∴， （5分）∴点B在C的正东方向上， （7分）
又在△DBC中，由正弦定理得,
∴ ，∴ （9分）
∴，∴，即，∴， （11分） 又故缉私船至少经过h可以追上走私船，缉私船的航行方向为北偏东.（12分）
【试题出处】吉林市普通中学2011—2012学年度高中毕业班上学期期末教学质量检测数学(理科)
【方法总结】
三角函数的命题趋于稳定,但近年考查得似乎有些简单，因此2012年高考可能会保持原有的考试风格，但三角函数解答题在复习时应着重备考向量与三角的整合以及解三角形与三角公式整合的题型。尽管命题的背景有变化，但总的来说仍属基础题、中档题和常规题.
1.三角函数的图象和性质是考查的重点也是难点.因为三角函数的图象和性质是学生将来学习高等数学和应用技术学科的基础,又是解决实际生产问题的工具，而且近年来高考降低了对三角变换的考查要求,势必会加大对三角函数图象与性质的考查力度，从而使三角函数的图象和性质成为高考的一个热点，是三角解答题的主要题型，具有一定的灵活性和综合性.周期及对称问题以及三角函数单调性仍是高考的重点.
2.三角函数的化简和求值是常考题型.它往往出现在小题中，或者是作为解答题中的一小问，其中必然渗透着简单的三角恒等变换和三角函数的性质.着重考查三角函数的基础知识、基本技能和基本方法.
A
C
B
·
·