2012届全国各省市高三上期数学联考试题重组专题题型二 概率与统计（理）（教师版）

2012届全国各省市高三上期数学联考试题重组专题
题型二 概率与统计（理）
【备 考 要 点】
概率与统计以其独特的研究对象和研究方法，在中学数学中是相对独立的，但是，概率与统计试题的背景与日常生活最贴近，联系最为紧密，不管是从内容上，还是从思想方法上，都体现着应用的观念与意识，在展现分类讨论、化归思想与同时，培养学生解决问题的能力.在高考的考查中，基本上都是1道小题以及1道解答题，其中小题较容易，解答题逐渐取代了90年代兴起的应用题，其难度不大，但有一定的灵活性，对题目的背景和题意理解要求较高，考查概率的计算与离散随机变量的分布列及期望等等.理科重点考查随机变量的分布列与期望，互斥事件有一个发生的概率，相互独立事件同时发生的概率，独立重复事件的概率等，穿插考查合情推理能力和有关优化决策能力，难度可能有所提升，考生应有心理准备.
　
【2011高考题型】
高考对概率与统计内容的考查,往往以实际应用题出现,这既是这类问题的特点,也符合高考发展的方向.概率应用题侧重于分布列与期望. 应用题近几年的高考有以概率应用题替代传统应用题的趋势,2011年高考概率统计应用题多数省份出现在解答题前三题的位置，可见概率统计在高考中属于中档题。高中学习的《概率统计》是大学统计学的基础，起着承上启下的作用，是每年高考命题的热点.试题特点（1）概率统计试题的题量大致为2道，约占全卷总分的6％-10％，试题的难度为中等或中等偏易。（2）概率统计试题通常是通过对课本原题进行改编，通过对基础知识的重新组合、变式和拓展，从而加工为立意高、情境新、设问巧、并赋予时代气息、贴近学生实际的问题。这样的试题体现了数学试卷新的设计理念，尊重不同考生群体思维的差异，贴近考生的实际，体现了人文教育的精神。（3）概率统计试题主要考查基本概念和基本公式，对等可能性事件的概率、互斥事件的概率、独立事件的概率、事件在n次独立重复试验中恰发生k次的概率、离散型随机变量分布列和数学期望、方差、抽样方法等内容都进行了考查。
【2012 命题方向】
【原题】（本小题满分13分）盒中装有个零件，其中个是使用过的，另外个未经使用.（Ⅰ）从盒中每次随机抽取个零件，每次观察后都将零件放回盒中，求次抽取中恰有次抽到使用过的零件的概率；（Ⅱ）从盒中随机抽取个零件，使用后放回盒中，记此时盒中使用过的零件个数为，求的分布列和数学期望.
【解析】（Ⅰ）：记“从盒中随机抽取个零件，抽到的是使用过的零件”为事件，则. 2分
所以次抽取中恰有次抽到使用过的零件的概率. ……5分
（Ⅱ）：随机变量的所有取值为.…………7分
　　　； ；.…10分
所以，随机变量的分布列为:
…………11分
………………13分
【试题出处】北京市西城区2011 — 2012学年度第一学期期末试卷高三数学（理科）
【原题】(本题12分) 某企业招聘中，依次进行A科、B科考试，当A科合格时，才可考B科，且两科均有一次补考机会，两科都合格方通过。甲参加招聘，已知他每次考A科合格的概率均为，每次考B科合格的概率均为。假设他不放弃每次考试机会，且每次考试互不影响。(I)求甲恰好3次考试通过的概率；(II)记甲参加考试的次数为，求的分布列和期望.
【解析】设甲“第一次考A科成绩合格”为事件，“ A科补考后成绩合格”为事件，
“第一次考B科成绩合格”为事件，“B科补考后成绩合格”为事件。………… 1分
（Ⅰ）甲参加3次考试通过的概率为： …6分
（Ⅱ）由题意知，可能取得的值为：2，3，4
…………………………………………7分
…………8分
………………… 9分
2 3 4
P
分布列（如右表）………………………………………………………10分
故………………12分
【试题出处】2012年北海市高中毕业班第一次质量检测理科数学
【原题】（本小题满分12分）某校从高二年级4个班中选出18名学生参加全国数学联赛，学生来源人数如下表：
班别 高二（1）班 高二（2）班 高二（3）班 高二（4）班
人数 4 6 3 5
（I）从这18名学生中随机选出两名，求两人来自同一个班的概率；（Ⅱ）若要求从18位同学中选出两位同学介绍学习经验，设其中来自高二（1）班的人数为，求随机变量的分布列及数学期望E．
【解析】（Ⅰ）“从这18名同学中随机选出两名，两人来自于同一个班”记作事件A，
则． ………………………………（5分）
（Ⅱ）的所有可能取值为0，1，2． ∵，，，∴的分布列为：
0 1 2
P
∴． ………………………………（13分）
【试题出处】湖北省武昌区2012届高三年级元月调研测试（数学理）
【原题】（本小题满分13分）为加强大学生实践、创新能力和团队精神的培养，促进高等教育教学改革，教育部门主办了全国大学生智能汽车竞赛. 该竞赛分为预赛和决赛两个阶段，参加决赛的队伍按照抽签方式决定出场顺序.通过预赛，选拔出甲、乙等五支队伍参加决赛.（Ⅰ）求决赛中甲、乙两支队伍恰好排在前两位的概率；（Ⅱ）若决赛中甲队和乙队之间间隔的队伍数记为，求的分布列和数学期望.
【解析】（Ⅰ）设“甲、乙两支队伍恰好排在前两位”为事件，则. …4分
所以 甲、乙两支队伍恰好排在前两位的概率为.…5分
（Ⅱ）随机变量的可能取值为. ……6分
，，
，.…………10分
随机变量的分布列为：
因为 ，所以 随机变量的数学期望为.…13分
【试题出处】海淀区高三年级第一学期期末试题数学（理科）
【原题】（本小题满分12分）我市某大学组建了A、B、C、D、E五个不同的社团组织，为培养学生的兴趣爱好，要求每个学生必须参加且只能参加一个社团，假定某寝室的甲、乙、丙三名学生对这五个社团的选择是等可能的。（1）求甲、乙、丙三名学生中至少有两人参加同一社团的概率； （2）设随机变量为甲、乙、丙这三个学生参加A或B社团的人数，求的分布列与数学期望。
∴的分布列为
∴的数学期望（万元）． 12分
【试题出处】湖北省襄阳市2012届高三12月统一调研考试（数学理）
【原题】（本小题满分12分）张师傅驾车从公司开往火车站，途径4个交通岗，这4个交通岗将公司到火车站分成5个时段，每个时段的驾车时间都是3分钟，如果遇到红灯要停留1分钟。假设他在各交通岗遇到红灯是相互独立的，并且概率都是 （1）求张师傅此行程时间不小于16分钟的概率；（2）记张师傅此行程所需时间为Y分钟，求Y的分布列和均值。
【解析】（Ⅰ）如果不遇到红灯，全程需要15分钟，否则至少需要16分钟．
张师傅此行程时间不小于16分钟的概率P＝1－(1－)4＝． …4分
（Ⅱ）设此行程遇到红灯的次数为X，则X～B(4，)，P(X＝k)＝C()k()4－k，k＝0，1，2，3，4．
依题意，Y＝15＋X，则Y的分布列为
Y 15 16 17 18 19
P …10分
Y的均值E(Y)＝E(X＋15)＝E(X)＋15＝4×＋15＝． …12分
【试题出处】唐山市2012届高三上学期期末考试数学试题（理）
【原题】（本小题满分12分）第30届夏季奥运会将于2012年7月27日在伦敦举行，当地某学校招募了8名男志愿者和12名女志愿者。将这20名志愿者的身高编成如下茎叶图（单位：cm）：若身高在180cm以上（包括180cm）定义为“高个子”，身高在180cm以下（不包括180cm）定义为“非高个子”,且只有“女高个子”才能担任“礼仪小姐”。（I）如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中抽取5人，再从这5人中选2人，那么至少有一人是“高个子”的概率是多少？（Ⅱ）若从所有“高个子”中选3名志愿者，用X表示所选志愿者中能担任“礼仪小姐”的人数，试写出X的分布列，并求X的数学期望。
【解析】（Ⅰ）根据茎叶图，有“高个子”8人，“非高个子”12人，用分层抽样的方法，每个人被抽中的概率是， 所以选中的“高个子”有人，“非高个子”有人．…3分
用事件表示“至少有一名“高个子”被选中”，则它的对立事件表示“没有一名“高个子”被选中”，　则 ．因此，至少有一人是“高个子”的概率是．…………6分
（Ⅱ）依题意，所选志愿者中能担任“礼仪小姐”的人数X的取值分别为．
　，　，　，
　因此，X的分布列如下：
X
…………10分
所以X的数学期望 …………12分
【试题出处】郑州2012高三第一次质量预测（数学理）
【原题】（本小题满分14分）甲、乙两运动员进行射击训练，已知他们击中目标的环数都稳定在7、8、9、10环，且每次射击成绩互不影响，射击环数的频率分布表如下：
甲运动员 乙运动员
射击环数 频数 频率
7 10 0.1
8 10 0.1
9 0.45
10 35
合计 100 1
射击环数 频数 频率
7 8 0.1
8 12 0.15
9
10 0.35
合计 80 1
　　　　　
若将频率视为概率，回答下列问题：（1）求表中，，的值及甲运动员击中10环的概率；（2）求甲运动员在3次射击中至少有一次击中9环以上(含9环)的概率．（3）若甲运动员射击2次，乙运动员射击1次，表示这3次射击中击中9环以上(含9环)的次数，求的分布列及.
【解析】（1）由题意可得x＝100(10＋10＋35)＝45，y＝1－(0.1＋0.1＋0.45)＝0.35，
因为乙运动员的射击环数为9时的频率为1－(0.1＋0.15＋0.35)＝0.4，所以z＝0.4×80＝32，
由上可得表中x处填45，y处填0.35，z处填32. ……3分
设“甲运动员击中10环”为事件A，则，即甲运动员击中10环的概率为0.35. …………5分
（2）设甲运动员击中9环为事件，击中10环为事件，则甲运动员在一次射击中击中9环以上(含9环)的概率为，
故甲运动员在3次射击中至少有一次击中9环以上 (含9环) 的概率
………8分
（3）的可能取值是0,1,2,3，则
，
……12分所以的分布列是
0 1 2 3
P 0.01 0.11 0.4 0.48
E＝0×0.01＋1×0.11＋2×0.4＋3×0.48＝2.35. …………14分
【试题出处】惠州市2012届高三第三次调研考试数学(理科)
【原题】（本小题满分12分） 某旅行社组织了一个有36名游客的旅游团到安徽风景名胜地旅游，其中是省外游客，其余是省内游客，在省外游客中有玩过黄山，在省内游客中有玩过黄山。 （1）在该团中随机采访3名游客，求恰有1名 省外游客玩过黄山且省内游客玩过黄山少于2人的概率；（2）在该团的省内游客中随机采访3名游客，设其中省内游客玩过黄山的人数为随机变量，求的分布列及数学期望
【解析】（Ⅰ）由题意得，省外游客有27人，其中9人玩过黄山；省内游客有9人，其中6人玩过黄山.设事件为“在该团中随机采访3名游客，恰有1省外游客玩过黄山且省内游客玩过黄山少于2人”.事件为“采访该团3人中，1名省外游客玩过黄山，0名省内游客玩过黄山”；事件为“采访该团3人中，1名省外游客玩过黄山，1名省内游客玩过黄山”. 则
所以在该团中随机采访3人，恰有1名省外游客人玩过黄山且省内游客玩过黄山少于2人”的概率是.……6分
【试题出处】安徽省宿州市2012届高三第一次教学质量检测数学试题（理）
【原题】（本题满分13分）佛山某学校的场室统一使用“佛山照明”的一种灯管，已知这种灯管使用寿命（单位：月）服从正态分布，且使用寿命不少于个月的概率为，使用寿命不少于个月的概率为.（1）求这种灯管的平均使用寿命；（2）假设一间功能室一次性换上支这种新灯管，使用个月时进行一次检查，将已经损坏的灯管换下（中途不更换），求至少两支灯管需要更换的概率.
【解析】（1）∵，，，∴，显然……3分由正态分布密度函数的对称性可知，，
即每支这种灯管的平均使用寿命是个月；………5分
（2）每支灯管使用个月时已经损坏的概率为………6分
假设使用个月时该功能室需要更换的灯管数量为支，则，……10分
故至少两支灯管需要更换的概率（写成也可以）……13分
【试题出处】2012年佛山市普通高中高三教学质量检测（一）理科数学试题
【原题】某校为全面推进新课程改革，在高一年级开设了研究性学习课程，某班学生在一次研究活动课程中，一个小组进行一种验证性实验，已知该种实验每次实验成功的概率为（1）求该小组做了5次这种实验至少有2次成功的概率。（2）如果在若干次实验中累计有两次成功就停止实验，否则将继续下次实验，但实验的总次数不超过5次，求该小组所做实验的次数的概率分布列和数学期望。
【解析】（Ⅰ）记“该小组做了5次实验至少有2次成功”为事件A，“只成功一次”为事件A1，“一次都不成功”为事件A2，则：P(A)＝1－P(A1＋A2)＝1－P(A1)－P(A2)＝．
故该小组做了5次这种实验至少有2次成功的概率为．6分
（Ⅱ）的可能取值为2，3，4，5.
则；，，
．（每对一个得1 分）10分
∴的分布列为：
2 3 4 5
P
∴Eξ=． 12分
【试题出处】资阳市2011——2012学年度高中三年级第一次高考模拟考试数学（理科）
【原题】（本小题满分12分）某产品按行业生产标准分成个等级，等级系数依次为，其中为标准，为标准，产品的等级系数越大表明产品的质量越好，已知某厂执行标准生产该产品，且该厂的产品都符合相应的执行标准. （Ⅰ）从该厂生产的产品中随机抽取件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下：
3 5 3 3 8 5 5 6 3 4
6 3 4 7 5 3 4 8 5 3
8 3 4 3 4 4 7 5 6 7
该行业规定产品的等级系数的为一等品，等级系数的为二等品，等级系数的为三等品，试分别估计该厂生产的产品的一等品率、二等品率和三等品率；
（2）已知该厂生产一件该产品的利润y（单位：元）与产品的等级系数的关系式为：
，从该厂生产的产品中任取一件，其利润记为，用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求的分布列和数学期望．
【解析】（Ⅰ）由样本数据知，30件产品中等级系数有6件，即一等品有6件，二等品有9件，三等品有15件-3分∴样本中一等品的频率为，故估计该厂生产的产品的一等品率为--4分
二等品的频率为，故估计该厂生产的产品的二等品率为；-----5分
三等品的频率为，故估计该厂生产的产品的三等品的频率为． -------6分
（2）∵的可能取值为：1,2,4用样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，由（1）
可得,,--8分∴可得的分布列如右：--------10分
1 2 4
0.5 0.3 0.2
其数学期望(元) ------12分
【试题出处】广东省揭阳市2011—2012学年度高三学业水平考试数学理试题
【原题】（本小题满分12分）某高中社团进行社会实践，对岁的人群随机抽取人进行了一次是否开通“微博”的调查，若开通“微博”的为“时尚族”，否则称为“非时尚族”。通过调查分别得到如图1所示统计表和如图2所示各年龄段人数频率分布直方图：
尚族”中采用分层抽样法抽取18人参加网络时尚达人大赛，其中选取3人作为领队，记选取的3名领队中年龄在岁得人数为,求的分布列和数学期望
【解析】（1）第二组的频率为1-(0.04+0.04+0.03+0.02+0.01)×5=0.3，
所以第二组的人数为1000×0.3=300， p==0.65, 4分
第四组的频率为 0.03×5=0.15，第四组的人数为1000×0.15=150，所以a=150×0.4=60．5分
（2）因为［40,45)岁与［45, 50)岁年龄段的“时尚族”的比值为60∶30=2∶1，
所以采用分层抽样法抽取18人，［40,45)岁中有12人，［45,50)岁中有6人． 6分
随机变量X服从超几何分布．P(X=0)= =,P(X=1)= =,
P(X=2)= =,P(X=3)= =所以随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3
P
10分
∴ 数学期望 E(X)=0×+1×+2×+3×=2
（或者E(X)= =2 ）． 12分
【试题出处】黑龙江省绥化市2011-2012学年度高三年级质量检测数学理科试题
【原题】(满分13分)某人进行射击训练，击中目标的概率是，且各次射击的结果互不影响.（Ⅰ）假设该人射击5次，求恰有2次击中目标的概率；（Ⅱ）假设该人每射击5发子弹为一组，一旦命中就停止，并进入下一组练习，否则一直打完5发子弹才能进入下一组练习，求：① 在完成连续两组练习后，恰好共使用了4发子弹的概率；② 一组练习中所使用子弹数的分布列，并求的期望.
【解析】（I）设射击5次，恰有2次击中目标的事件为.
……4分
（Ⅱ）①完成两组练习后，恰好共耗用4发子弹的事件为,则
. ……8分
②可能取值为1，2，3，4，5. …… 9分
; ，
， ……11分
1 2 3 4 5
0.8 0.16 0.032 0.0064 0.0016
. ……13分
【试题出处】北京市昌平区2011－2012学年第一学期高三年级期末质量抽测（数学理）
【原题】（本题满分13分）如图，一个圆形游戏转盘被分成6个均匀的扇形区域．用力旋转转盘，转盘停止转动时，箭头A所指区域的数字就是每次游戏所得的分数（箭头指向两个区域的边界时重新转动），且箭头A指向每个区域的可能性都是相等的．在一次家庭抽奖的活动中，要求每个家庭派一位儿童和一位成人先后分别转动一次游戏转盘，得分情况记为（假设儿童和成人的得分互不影响，且每个家庭只能参加一次活动）．（Ⅰ）求某个家庭得分为的概率？（Ⅱ）若游戏规定：一个家庭的得分为参与游戏的两人得分之和，且得分大于等于8的家庭可以获得一份奖品．请问某个家庭获奖的概率为多少？
（Ⅲ）若共有5个家庭参加家庭抽奖活动．在（Ⅱ）的条件下，记获奖的家庭数为，求的分布列及数学期望．
【解析】（Ⅰ）记事件A：某个家庭得分情况为． ．
所以某个家庭得分情况为的概率为．…… 4分
（Ⅱ）记事件B：某个家庭在游戏中获奖，则符合获奖条件的得分包括 共3类情况．所以． 所以某个家庭获奖的概率为．……… 8分
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，每个家庭获奖的概率都是，所以．
， ，
，，
，. …… 11分
所以分布列为：
0 1 2 3 4 5
所以．
所以的数学期望为．……………………………… 13分
【试题出处】北京市朝阳区2011-2012学年度高三年级第一学期期末统一考试数学试卷（理工类）
【原题】（本小题共13分）某市医疗保险实行定点医疗制度，按照“就近就医、方便管理”的原则，参加保险人员可自主选择四家医疗保险定点医院和一家社区医院作为本人就诊的医疗机构．若甲、乙、丙、丁4名参加保险人员所在地区附近有A，B，C三家社区医院，并且他们的选择是相互独立的．（Ⅰ）求甲、乙两人都选择A社区医院的概率；（Ⅱ）求甲、乙两人不选择同一家社区医院的概率；（Ⅲ）设4名参加保险人员中选择A社区医院的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．
【解析】（Ⅰ）设“甲、乙两人都选择A社区医院”为事件，那么…………1分
……3分所以甲、乙两人都选择A社区医院的概率为．……………4分
（Ⅱ）设“甲、乙两人选择同一个社区医院”为事件，那么……5分，7分所以甲、乙两人不选择同一个社区医院的概率是．……8分
（Ⅲ）（方法一）随机变量ξ可能取的值为0，1，2，3，4．那么……9分
； ；
； ；
． （错三个没分）
所以ξ的分布列为
0 1 2 3 4
…………12分
． ………13分
（方法二）依题意, …………10分
所以ξ的分布列为，．即
0 1 2 3 4
…………12分
所以 ．………13分
【试题出处】丰台区2011—2012学年度第一学期期末练习高三数学（理科）
【方 法 总 结】
1．主要内容是离散型随机变量的分布列、期望与方差，抽样方法，总体分布的估计，正态分布和线性回归。
　　2．离散型随机变量的分布列
(1)设离散型随机变量ξ可能取的值为x1，x2，…，xi，…，ξ取每一个值xi的概率为P(ξ＝xi)＝pi，则称下表：
ξ x1 x2 x3 … xi …
P p1 p2 p3 … pi …
为离散型随机变量ξ的分布列．
(2)离散型随机变量ξ的分布列具有两个性质：①pi≥0，②p1＋p2＋…＋pi＋…＝1(i＝1,2,3，…)．
　　3．常见的离散型随机变量的分布
(1)两点分布 分布列为(其中0ξ 0 1
P 1－p p
(2)二项分布
在n次独立重复试验中，事件A发生的次数ξ是一个随机变量，其所有可能取的值为0,1,2,3，…，n，并且P(ξ＝k)＝Cpkqn－k(其中k＝0,1,2，…，n，q＝1－p)．显然P(ξ＝k)≥0(k＝0,1,2，…，n)，pkqn－k＝1.称这样的随机变量ξ服从参数n和p的二项分布，记为ξ～B(n，p)．
　　4．随机变量的数学期望和方差
　　（1）离散型随机变量的数学期望：…；反映随机变量取值的平均水平。
　　（2）离散型随机变量的方差：……；反映随机变量取值的稳定与波动，集中与离散的程度。
（3）基本性质：；。
　　5．二项分布和正态分布
　　（1）记ε是n次独立重复试验某事件发生的次数，则ε～B（n，p）；
　　其概率…。期望Eε=np，方差Dε=npq。
　　（2）正态分布密度函数：　　期望Eε=μ，方差。
1 1.5 2
P 0.4 0.4 0.2