2012届全国各省市高三上期数学联考试题重组专题题型六 数列（教师版）

2012届全国各省市高三上期数学联考试题重组专题
题型六 数列
【备 考 要 点】
数列是新课程的必修内容，从课程定位上说，其考查难度不应该太大，数列试题倾向考查基础是基本方向．从课标区的高考试题看，试卷中的数列试题最多是一道选择题或者填空题，一道解答题．由此我们可以预测2012年的高考中，数列试题会以考查基本问题为主，在数列的解答题中可能会出现与不等式的综合、与函数导数的综合等，但难度会得到控制．
1.数列是一种特殊的函数,学习时要善于利用函数的思想来解决。如通项公式、前n项和公式等2.运用方程的思想解等差(比)数列,是常见题型,解决此类问题需要抓住基本量、d(或q),掌握好设未知数、列出方程、解方程三个环节,常通过“设而不求,整体代入”来简化运算。3.分类讨论的思想在本章尤为突出.学习时考虑问题要全面,如等比数列求和要注意q=1和q≠1两种情况等等。4.等价转化是数学复习中常常运用的,数列也不例外 。如与的转化;将一些数列转化成等差(比)数列来解决等.复习时,要及时总结归纳。5.深刻理解等差(比)数列的定义,能正确使用定义和等差(比)数列的性质是学好本章的关键。6.解题要善于总结基本数学方法.如观察法、类比法、错位相减法、待定系数法、归纳法、数形结合法,养成良好的学习习惯,定能达到事半功倍的效果。7.数列应用题将是命题的热点,这类题关键在于 建模及数列的一些相关知识的应用。
【2011高考题型】
考情分析 从近几年高考来看，本讲高考命题具有以下特点：
1．几乎每年都有与数列有关的选择题、填空题和解答题．对于等差数列与等比数列的概念、性质、通项公式与前n项和等基础知识，主要以选择题、填空题的形式考查，难度属于中、低档．
2．考查两种数列或将非等差、等比数列模型经过配凑构造转化为等差、等比数列的综合题经常出现，要掌握好它们的公式和性质，做到熟练且灵活的应用．
3.每年高考都会有一道利用数列的递推关系求通项公式及前n项和，或利用数列的前n项和Sn与通项an之间的关系求前n项和的客观题或解答题，客观题难度为低、中档，解答题难度为中、高档
【2012 命题方向】
【原题】（本小题满分13分）已知数列是等差数列,，数列的前n项和是，且.（I）求数列的通项公式；（II）求证：数列是等比数列；
【解析】（1）由已知 解得
为公比的等比数列.………13分
【试题出处】昌平区2011－2012学年第一学期高三年级期末质量抽测数学试卷（文科）
【原题】(本小题满分13分)已知数列满足：，，数列满足,.(Ⅰ)求数列的通项； （Ⅱ）求证：数列为等比数列；并求数列的通项公式.
【解析】.(Ⅰ) 数列为等差数列……3分又所以
数列的通项…………6分
（Ⅱ）∵,∴.∴.所以数列是以为首项，为公比的等比数列…………10分…………13分
【试题出处】福建省三明市普通高中2011-2012学年第一学期联合命题考试高三数学试题
【原题】（本小题12分）已知数列的前n项和满足：（为常数，）（Ⅰ）求的通项公式；（Ⅱ）设，求数列{}的前项和。
【解析】（Ⅰ）当时，由，得
当时，由，得
两式相减得………3分若时，，若时，， 是等比数列． ∴， 综上：所求的通项为，（）………6分
（II）当时，当时
设则
两式相减得
若时 ，
若时
综上：………12分
【试题出处】江西省宜春市2012届高三上学期期末统考试卷数学(文)
【原题】(本小题满分10分) 已知等差数列{},为其前n项的和，=0，=6，n∈N* (I)求数列{}的通项公式； (II)若=3，求数列{}的前n项的和．
【解析】（Ⅰ）依题意……2分解得 ………5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知 ，，所以数列是首项为，公比为9的等比数列，…7分
.所以数列的前项的和.……10分
【试题出处】河北省石家庄市2012届高三上学期教学质量检测(一)数学试题
【原题】（本小题满分13分）一个数列中的数均为奇数时，称之为“奇数数列”． 我们给定以下法则来构造一个奇数数列｛an｝，对于任意正整数n，当n为奇数时，an=n；当n为偶数时，an=．
（1）试写出该数列的前6 项；（2）研究发现，该数列中的每一个奇数都会重复出现，那么第10个5是该数列的第几项？（3）求该数列的前2n项的和Tn．
【试题出处】株洲市2012届高三年级教学质量统一检测（一）数学试题（理科）
【原题】（本题满分12分）已知数列满足
(Ⅰ)求数列的通项；(Ⅱ)若求数列的前n项和
【解析】（Ⅰ） ………………(1)
………..(2)
(1)-(2)得即又也适合上式
（Ⅱ）
【试题出处】山东省德州市2012届高三上学期期末考试数学试题
【原题】（本小题满分12分）数列的前项和记为,,点在直线上,．(Ⅰ)当实数为何值时,数列是等比数列？(Ⅱ)在(Ⅰ)的结论下,设,，是数列的前项和,求。
【解析】(Ⅰ)∵点在直线上∴...2分
， ∴......4分
∴当t=1时，数列是等比数列。.....6分
(Ⅱ) 在(Ⅰ)的结论下, ...........8分
，....9分， .....10分
.......12分
【试题出处】安徽省六校教育研究会2012届高三测试数学试题(文)
【原题】已知数列的前项和为，对任意，有．（1）求证：数列是等比数列，并求数列的通项公式；（2）求数列的前项和
【解析】（1）∵ 对任意n∈N*有，且，∴得= 2 1分
又由，得 ．当n≥2且n∈N* 时，
有，…………… 3分
即， ∴，由此表明是以+ 1 = 3为首项，3为公比的等比数列。
需验证n取1,2时也成立.∴，有．……… 5分
故数列的通项公式为． …… 6分
（2）n = n()= n ·－n，设数列 的前n项和为，
则 = …………… 8分
∴ 3 =，
两式相减，得－2 = =… 10分
∴ ，12分因此 【解析】（Ⅰ）因为,所以当时，
，即以为首项，为公比的等比数列． ∴；……4分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，
若为等比数列，则有，而，，
故，解得………7分
再将代入得成等比数列， 所以成立 ………8分
由于①…………………10分
（或做差更简单：因为，所以也成立)
②，故存在；所以符合①②,故为“嘉文”数列………12分
【试题出处】山东省青岛市2012届高三期末检测数学
【原题】(本题12分) )在数列中，，，，其中.(I)求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式；(II)设，数列的前项和为，是否存在正整数，使得对于恒成立，若存在，求出的最小值，若不存在，说明理由.
【解析】（Ⅰ）证明：
∴　数列是等差数列……3分
………… 4分
由得……… 6分
【解】（Ⅱ），
……9分依题意要使对于恒成立，只需，解得，所以m的最小值为1.… 12分
【试题出处】2012年北海市高中毕业班第一次质量检测理科数学
【原题】（本题满分14分）在数列中，为其前项和，满足．（I）若，求数列的通项公式；（II）若数列为公比不为1的等比数列，求
【解析】（1）当时，所以,即……3分所以当时，；当时，所以数列的通项公式为…6分
（II）当时，，
，，若，则，
从而为公比为1的等比数列，不合题意；……………8分
若，则，，
由题意得，，所以或．……10分
当时,，得,,不合题意；…12分
当时，，从而
因为 ， 为公比为3的等比数列,，所以，从而．…………14分
【试题出处】浙江省宁波市2012届高三第一学期期末考试数学（理）试卷
【原题】（本小题满分12分）已知数列是首项为，公比的等比数列．设，数列满足（1）求证：数列成等差数列；（2）求数列的前n项和（3）若对一切正整数n恒成立，求实数m的取值范围．
【解析】（1）由已知可得，，
为等差数列，其中.………3分
（2）
【试题出处】黄冈市2011年秋季高三年级期末考试数学试题（理）
【原题】（本小题12分）已知数列的前n项和满足：（为常数）.
（1）求的通项公式；（2）若时，证明：.
【解析】（1）当时∴，当时，由，
得相减得…3分
当时，…4分 当时，即是等比数列．
∴；…5分 综上：…6分
（2）若时，，………8分
设，
则 …10分
……12分
【试题出处】江西省宜春市2012届高三上学期期末统考试卷数学(理)试题
【原题】（本题满分14分）已知等比数列的前项和为（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设数列满足，为数列 的前项和，试比较 与 的大小，并证明你的结论．
【解析】（Ⅰ）由得:时，………2分
是等比数列，，得 …4分
（Ⅱ）由和得……………………6分
……10分
……11分当或时
有，所以当时有那么同理可得：
当时有，所以当时
有……13分综上：当时有；
当时有………14分
【试题出处】浙江省2011~2012学年度普通高中毕业班教学质量监测试题理科数学
【原题】（本题满分14分）设，圆：与轴正半轴的交点为，与曲线的交点为，直线与轴的交点为.（1）用表示和；（2）若数列满足：.①求常数的值使数列成等比数列；②比较与的大小.
【解析】(1) 与圆交于点,则,………2分
由题可知，点的坐标为，从而直线的方程为,………3分
由点在直线上得: , ………4分
将，代入化简得: .…6分
(2)由得：，……7分
又，故， ……8分
①，
令得：…9分
由等式对任意成立得：，解得：或故当时，数列成公比为的等比数列；当时，数列成公比为2的等比数列。……11分
②由①知：，当时，；当时，12分
事实上,令,则,故是增函数,即:,即14分
【试题出处】2012年佛山市普通高中高三教学质量检测（一）文科数学试题
,…9分
(3)先证:当时,.
事实上, 不等式
后一个不等式显然成立,而前一个不等式.
故当时, 不等式成立.
,……11分(等号仅在n=1时成立)求和得: ……14分
【试题出处】2012年佛山市普通高中高三教学质量检测（一）数学试题（理科）
【原题】（本小题满分14分）如果一个数列的各项都是实数，且从第二项起，每一项与它的前一项的平方差是同一个常数，则称该数列为等方差数列，这个常数叫这个数列的公方差．（Ⅰ）若数列既是等方差数列，又是等差数列，求证：该数列是常数列；（Ⅱ）已知数列是首项为，公方差为的等方差数列，数列的前项和为，且满足．若不等式对恒成立，求的取值范围．
【解析】（1）：依题
又为等差数列，设公差为，则
故是常数列. 4分
（2）由是首项为2，公方差为2的等方差数列.即为首项为4，公差为2的的等差数列， 6分由得
① ②
10分不等式即
也即，即恒成立
由于时，；时，；假设时，，
那么，由归纳法原理知：时，，所以，故的取值范围为 14分
【试题出处】安徽省六校教育研究会2012届高三联考数学（理科）试题
【原题】定义：若数列满足，则称数列为“平方数列”。已知数列中，，点在函数的图像上，其中为正整数。（1）证明：数列是“平方数列”，且数列为等比数列。（2）设（1）中“平方数列”的前项之积为，即，求数列的通项及关于的表达式。（3）对于（2）中的，记，求数列的前项之和，并求使的的最小值。
（3）＝，…10分
∴…12分
由得,.
当时，，当时，，∴的最小值为2011．
【试题出处】惠州市2012届高三第三次调研考试数学试题（理科）
【原题】（本小题满分13分）已知数列是等差数列,，数列的前n项和是，且.（I）求数列的通项公式；（II）求证：数列是等比数列；（III）记，求证：.
【解析】（1）由已知 解得 …………4分
（2）由于，①令=1，得 解得，当时，②
①－②得 ， 又,
∴数列是以为首项，为公比的等比数列.……………9分
（3）由（2）可得……9分 ……10分
，故 ………13分
【试题出处】昌平区2011－2012学年第一学期高三年级期末质量抽测数学试卷（理科）
【原题】（本题满分14分）数列，（）由下列条件确定：①；②当时，与满足：当时，,；当时，，.（Ⅰ）若，，写出，并求数列的通项公式；
（Ⅱ）在数列中，若(,且)，试用表示；（Ⅲ）在（Ⅰ）的条件下，设数列满足，，(其中为给定的不小于2的整数)，求证：当时，恒有.
【解析】（Ⅰ）解：因为，所以,.
因为,所以,.
因为,所以,.
所以.……… 2分
由此猜想，当时,，则，.… 3分
下面用数学归纳法证明：
①当时，已证成立. ②假设当（，且）猜想成立， 即，，. 当时，由， 得，则，. 综上所述，猜想成立.
所以.故.……… 6分
（Ⅱ）解：当时，假设，根据已知条件则有，
与矛盾，因此不成立，… 7分
所以有，从而有，所以.当时，，,
所以; …………………… 8分
当时，总有成立. 又，
所以数列()是首项为，公比为的等比数列, ，,又因为，所以…10分
（Ⅲ）证明：由题意得 .
因为，所以.所以数列是单调递增数列.…… 11分
因此要证,只须证.
由，则<，即.…… 12分
因此
.所以.故当,恒有.………14分
【试题出处】北京市朝阳区2011-2012学年度高三年级第一学期期末统一考试数学试卷
【原题】（本小题共13分）若有穷数列{an}满足：（1）首项a1=1，末项am=k，（2）an+1= an+1或an+1=2an ，(n=1，2，…，m-1)，则称数列{an}为k的m阶数列．（Ⅰ）请写出一个10的6阶数列；（Ⅱ）设数列{bn}是各项为自然数的递增数列，若，且，求m的最小值．
【解析】（Ⅰ）1，2，3，4，5，10或1，2，4，8，9，10． ………2分
（Ⅱ）由已知在数列{an}中 an+1= an+1或an+1=2an，
当为偶数时，，或．因为 ，
所以在数列{an}中 中i的个数不多于中j的个数，
要使项数m最小，只需 ．…5分
当am为奇数时，必然有 ，是偶数，可继续重复上面的操作．
所以要使项数m最小，只需遇到偶数除以2，遇到奇数则减1．
因为，且，
只需除以次2，得到为奇数；减1，得到为偶数，
再除以次2，得到；再减1，得到为偶数，…………，最后得到为偶数，除以次2，得到1，即为．
所以=………13分
（若用其他方法解题，请酌情给分）
【试题出处】丰台区2011—2012学年度第一学期期末练习高三数学（理科）
【原题】（本小题满分13分）已知数列.如果数列满足，，其中，则称为的“衍生数列”.（Ⅰ）若数列的“衍生数列”是，求；（Ⅱ）若为偶数，且的“衍生数列”是，证明：的“衍生数列”是；（Ⅲ）若为奇数，且的“衍生数列”是，的“衍生数列”是，….依次将数列，，，…的第项取出，构成数列.证明：是等差数列.
由 ①、② 可知，对于任意正整数，有. ………………7分
设数列的“衍生数列”为，则由以上结论可知
，其中.
由于为偶数，所以，
所以 ，其中.
因此，数列即是数列. ………………9分
证法二：
因为 ，
，
，
……
，
由于为偶数，将上述个等式中的第这个式子都乘以，相加得
即，. ………………7分
由于，，
根据“衍生数列”的定义知，数列是的“衍生数列”. ………………9分
（Ⅲ）证法一：
证明：设数列,,中后者是前者的“衍生数列”.欲证成等差数列，只需证明成等差数列，即只要证明即可. ……10分
由（Ⅱ）中结论可知 ，
，
所以，，即成等差数列，
所以是等差数列. ………………13分
证法二：因为 ，
所以 .
所以欲证成等差数列，只需证明成等差数列即可. ………………10分
对于数列及其“衍生数列”，
因为 ，，，……，
由于为奇数，将上述个等式中的第这个式子都乘以，
相加得即.设数列的“衍生数列”为，
因为 ，，所以 ， 即成等差数列.
同理可证，也成等差数列.即 是等差数列.所以 成等差数列.………13分
【试题出处】北京市西城区2011 — 2012学年度第一学期期末试卷高三数学（理科）
【原题】对数列和，若对任意正整数，恒有，则称数列是数列的“下界数列”.（1）设数列，请写出一个公比不为的等比数列，使数列是数列的“下界数列”；（2）设数列，求证数列是数列的“下界数列”；（3）设数列，，构造
，求使对恒成立的最小值.
【解析】（1）等，答案不唯一；…4分
（2），当时最小值为9,；…6分，则,因此，时，最大值为6，…9分所以，，数列是数列的“下界数列”；… 10分
（3），…11分
，…12分不等式为，，， 设，则，15分
当时，单调递增，时，取得最小值，因此…17分的最小值为……18分
【试题出处】2011学年长宁区第一学期高三数学质量抽测试卷（理）
【原题】已知函数,若成等差数列. (1)求数列的通项公式； (2)设是不等式整数解的个数，求； (3)记数列的前n项和为，是否存在正数，对任意正整数，使恒成立？若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由.
【解析】（1）由题可知（2分）得．……（4分）
（2）原式化简：
………（8分）
【原题】（本小题满分12分）已知正项数列满足：（1）求的范围，使得恒成立；（2）若，证明（3）若，证明：
【解析】:（Ⅰ）由，得由，即
所以或（舍）所以时，………3分
（Ⅱ）证：若，得 现假设（）
构造函数，易知在上单调增
所以
即由以上归纳可知……………6分
（Ⅲ）由得
所以……8分
构造函数，在上单调递增
所以
………12分
【试题出处】重庆市2012届高三上学期期末考试数学试题（理）
【方 法 总 结】
1. 数列中与的关系一直是高考的热点，求数列的通项公式是最为常见的题目，要切实注意与的关系.关于递推公式，在《考试说明》中的考试要求是：“了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项”。但实际上，从近两年各地高考试题来看，是加大了对“递推公式”的考查。
2. 探索性问题在数列中考查较多，试题没有给出结论，需要考生猜出或自己找出结论，然后给以证明.探索性问题对分析问题解决问题的能力有较高的要求.
3. 等差、等比数列的基本知识必考.这类考题既有选择题，填空题，又有解答题；有容易题、中等题，也有难题。
4. 求和问题也是常见的试题，等差数列、等比数列及可以转化为等差、等比数列求和问题应掌握，还应该掌握一些特殊数列的求和.
5. 将数列应用题转化为等差、等比数列问题也是高考中的重点和热点，从本章在高考中所在的分值来看，一年比一年多，而且多注重能力的考查.
6. 有关数列与函数、数列与不等式、数列与概率等问题既是考查的重点，也是考查的难点。今后在这方面还会体现的更突出。