2012届全国各省市高三上期数学联考试题重组专题题型四 函数与导数（理）（教师版）

2012届全国各省市高三上期数学联考试题重组专题
题型四 函数与导数（理）
【备 考 要 点】
在解答题中通常考查函数与导数、不等式的综合运用。其主要表现在: 1.通过选择题和填空题,全面考查函数的基本概念,性质和图象。2.在解答题的考查中,与函数有关的试题常常是以综合题的形式出现。3.从数学具有高度抽象性的特点出发,没有忽视对抽象函数的考查。4.一些省市对函数应用题的考查是与导数的应用结合起来考查的。 5.涌现了一些函数新题型。6.函数与方程的思想的作用不仅涉及与函数有关的试题,而且对于数列,不等式,解析几何等也需要用函数与方程思想作指导。7.多项式求导(结合不等式求参数取值范围),和求斜率(切线方程结合函数求最值)问题。8.求极值, 函数单调性,应用题,与三角函数或向量结合，预计2012年基本上还是这个考查趋势，具体为：(1)以选择题或者填空题的形式考查集合的基本关系和基本运算，考查中涉及函数的定义域、不等式的解、方程的解等问题，要特别注意一些新定义试题． (2)以选择题或者填空题的方式考查逻辑用语的知识，其中重点是充要条件的判断和含有一个量词的命题的否定． (3)以选择题或者填空题的方式考查基本初等函数及其应用，重点是函数定义域、值域，函数的单调性和奇偶性的应用，指数函数、对数函数、幂函数的图象和性质的应用，函数的零点判断，简单的函数建模，导数的几何意义的应用，定积分的计算及其简单应用．(4)以解答题的方式考查导数在函数问题中的综合应用，重点是使用导数的方法研究函数的单调性和极值以及能够转化为研究函数的单调性、极值、最值问题的不等式和方程等问题，考查函数建模和利用导数解模．
【2011高考题型】
函数与导数是高考数学的重点内容之一,函数的观点和思想方法贯穿整个高中数学的全过程,在近几年的高考中, 函数类试题在试题中所占分值一般为22---35分.一般为2个选择题或2个填空题,1个解答题 ,而且常考常新。
在选择题和填空题中通常考查反函数、函数的定义域、值域、函数的单调性、奇偶性、周期性、函数的图象、导数的概念、导数的应用以及从函数的性质研究抽象函数。从近几年高考来看，本讲高考命题有以下特点：1．从内容上看，考查导数有三个层次：(1)导数的概念、求导公式与法则、导数的几何意义；(2)导数的简单应用，包括求函数极值、求函数的单调区间、证明函数的单调性等；(3)导数的综合考查，包括导数的应用题以及导数与函数、不等式等的综合题．
2．从特点上看，高考对导数的考查有时单独考查，有时在知识交汇处考查，常常将导数与函数、不等式、方程、数列、解析几何等结合在一起考查．
3．从形式上看，考查导数的试题有选择题、填空题、解答题，有时三种题型会同时出现．
【2012 命题方向】
【原题】（本题满分14分） 已知函数．（1）当时，求满足的的取值范围； （2）若的定义域为R，又是奇函数，求的解析式，判断其在R上的单调性并加以证明．
【解析】（1）由题意，，化简得……（2分）
解得…………（4分）所以……（6分，如果是其它答案得5分）
（2）已知定义域为R，所以，………（7分）
又，…（8分）所以；……（9分）
对任意
可知………（12分）
因为，所以，所以因此在R上递减．…（14分）
【试题出处】上海市宝山区2012届高三上学期期末质量监测数学试题
【原题】（本小题满分18分）设函数是定义域为的奇函数．
（1）求值；（2）若，试判断函数单调性并求使不等式恒成立的的取值范围；（3）若，且，在上的最小值为，求的值.
【解析】(1)∵f(x)是定义域为R的奇函数，∴f(0)＝0，…… 2分
∴1-（k－1）＝0，∴k＝2，…… 4分
（2）……6分
单调递减，单调递增，故f(x)在R上单调递减。……7分
令h(t)＝t2－2mt＋2＝(t－m)2＋2－m2　(t≥)………15分
若m≥，当t＝m时，h(t)min＝2－m2＝－2，∴m＝2………… 16分
若m<，当t＝时，h(t)min＝－3m＝－2，解得m＝>，舍去…17分综上可知m＝2.…18分
【试题出处】2011学年长宁区第一学期高三数学质量抽测试卷（理）
【原题】(本小题满分16分) 对于函数,若存在实数对(),使得等式对定义域中的每一个都成立,则称函数是“()型函数”.(1)判断函数是否为“()型函数”，并说明理由；(2)已知函数是“(1,4)型函数”, 当时,都有成立,且当时,,若,试求的取值范围.
【解析】(1)函数是“()型函数”……2分
因为由,得,所以存在这样的实数对,如……6分
(2) 由题意得,,所以当时, ,其中,
而时,,且其对称轴方程为,
当,即时,在上的值域为,即,则在上的值域为,由题意得,此时无解……………11分
当,即时,的值域为,即,所以则在 上的值域为,则由题意得且,
解得……13分
当,即时,的值域为,即,则在上的值域为=,
则,解得.综上所述,所求的取值范围是…16分
【试题出处】南京市、盐城市2012届高三年级第一次模拟考试数学试题
【原题】（本小题满分12分）若是函数的两个极值点．（Ⅰ）若，求函数的解析式；（Ⅱ）若，求的最大值.
【解析】（Ⅰ）∵，∴
依题意有和1是方程的两根∴ 解得，
∴．（经检验，适合）……5分
（Ⅱ）∵,依题意，是方程的两个根，∵且，∴．∴．．．．７分
∵∴．．．．．．８分 设，则．
由得，由得．即函数在区间上是增函数，在区间上是减函数，．．．10分 ∴当时，有极大值为，∴在上的最大值是，∴的最大值为．………12分
【试题出处】山东省青岛市2012届高三期末检测数学 (理科)
【原题】（本小题共13分）已知函数，其中．（Ⅰ）求证：函数在区间上是增函数；（Ⅱ）若函数在处取得最大值，求的取值范围．
【解析】（Ⅰ）．因为且，所以．
所以函数在区间上是增函数．…………6分
（Ⅱ）由题意.
则. …8分
令，即. ①
由于 ，可设方程①的两个根为，，由①得，
由于所以，不妨设，．
当时，为极小值，所以在区间上，在或处取得最大值；
当≥时，由于在区间上是单调递减函数，所以最大值为，
综上，函数只能在或处取得最大值． …………10分
又已知在处取得最大值，所以≥，即≥，解得≤，又因为，
所以（］．……13分
【试题出处】北京市东城区2011-2012学年度高三数第一学期期末教学统一检测数学（理科）
【原题】（本小题满分14分）已知函数是的一个极值点.（1）求函数的单调区间；（2）若当时，恒成立，求的取值范围.
【解析】（1）∵且是的一个极值点
∴， ------2分∴-----4分
由得或，∴函数的单调增区间为，；---6分
由得，∴函数的单调减区间为， --------8分
（2）由（1）知，函数在上单调递减，在上单调递增
∴当时，函数取得最小值，=，----------10分
时，恒成立等价于--------12分
即。-----14分
【试题出处】广东省揭阳市2012届高三学业水平考试数学（理）试题
【原题】（本小题满分13分）已知函数（）. （I）当时，求函数的单调区间；（II）若不等式对恒成立,求a的取值范围.
【解析】对函数求导得:……2分
(Ⅰ)当时, 令解得 或，解得所以, 单调增区间为和,单调减区间为 (-2 ,1)…5分
(Ⅱ) 令,即,解得或 6分当时,列表得：
x 1
+ 0 － 0 +
↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
……………8分
对于时，因为,所以，∴>0 … 10 分
对于时，由表可知函数在时取得最小值
所以，当时， … 11分
由题意，不等式对恒成立，所以得，解得…13分
当，即时，因为，所以，所以函数在上单调递增.… 6分
当，即时，令，则（），
所以. 因此，当时，，当时，.所以函数的单调递增区间为，函数的单调递减区间为. 10分
（Ⅲ）当时，函数在上单调递增，则的最小值为，满足题意.… 11分
当时，由（Ⅱ）知函数的单调递增区间为，函数的单调递减区间为，则的最小值为，而，不合题意.所以的取值范围是13分
【试题出处】北京市朝阳区2011-2012学年度高三年级第一学期期末统一考试数学试卷（理工类）
【原题】（本小题满分12分）设函数（Ⅰ）当时，过原点的直线与函数的图象相切于点P，求点P的坐标；（Ⅱ）当时，求函数的单调区间；（Ⅲ）当时，设函数，若对于]，[0，1]使≥成立，求实数b的取值范围.（是自然对数的底，）
【解析】函数的定义域为， （2分）
（Ⅰ）设点，当时，，则，，∴ （3分）解得，故点P 的坐标为 （4分）
（Ⅱ）
∵ ∴ （5分）
∴当，或时，当时，
故当时，函数的单调递增区间为；单调递减区间为，（7分）
（Ⅲ）当时，由（Ⅱ）可知函数在上是减函数，在上为增函数，在上为减函数，且，
∵，又，∴，
∴，故函数在上的最小值为（9分）
若对于，使 ≥成立在上的最小值不大于
在上的最小值（*）（10分）又，
①当时，在上为增函数，与（*）矛盾
②当时，，由及得，
③当时，在上为减函数，，此时
综上，的取值范围是 （12分）
【试题出处】吉林市普通中学2011—2012学年度高中毕业班上学期期末教学质量检测数学(理科)
【原题】（本题满分14分）已知函数（Ⅰ）求函数的单调区间；（Ⅱ）若不等式在区间上恒成立，求实数k的取值范围；（Ⅲ）求证：
【解析】（Ⅰ），故其定义域为令>0,得
令<0,得故函数的单调递增区间为单调递减区间为
（Ⅱ）令又令解得
当x在内变化时，，变化如下表
x
) + 0 -
↗ ↘
由表知，当时函数有最大值，且最大值为所以，
（Ⅲ）由（Ⅱ）知
又
即
【试题出处】山东省德州市2012届高三上学期期末考试数学试题（理科）
【原题】（本小题满分12分）已知函数（1）若是单调函数，求的取值范围；（2）若有两个极值点，证明：
【解析】（Ⅰ）＝－lnx－ax2＋x， ＝－－2ax＋1＝－．2分
令Δ＝1－8a当a≥时，Δ≤0，≤0，在(0，＋∞)单调递减． …4分
当0＜a＜时，Δ＞0，方程2ax2－x＋1＝0有两个不相等的正根x1，x2，
不妨设x1＜x2，则当x∈(0，x1)∪(x2，＋∞)时，＜0，当x∈(x1，x2)时，＞0，
这时不是单调函数．综上，a的取值范围是[，＋∞)． …6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当且仅当a∈(0，)时，有极小值点x1和极大值点x2，
且x1＋x2＝，x1x2＝．＝－lnx1－ax＋x1－lnx2－ax＋x2＝－(lnx1＋lnx2)－(x1－1)－(x2－1)＋(x1＋x2)＝－ln(x1x2)＋(x1＋x2)＋1＝ln(2a)＋＋1．…9分
令g(a)＝ln(2a)＋＋1，a∈(0，]，则当a∈(0，)时，g(a)＝－＝＜0，g(a)在(0，)单调递减，所以g(a)＞g()＝3－2ln2，即． …12分
【试题出处】唐山市2012届高三上学期期末考试数学试题（理）
【原题】(本题满分12分)已知函数的图像为曲线C，函数的图像为直线（Ⅰ）当，时，求的最大值。(Ⅱ)设直线与曲线C的交点横坐标分别为，，且，求证：。
【解析】（1）∵ a=2,b= -3, ∴ F(x)=-x+3,F′(x)= -1=令F′(x)=0，则x=1, 2分
当x∈(0,1)时，F′（x）＞0,F(x)单调递增， 当x∈(1,+∞)时，F′(x)＜0，F（x）单调递减，
∴ F(x)max=F(1)=2. 5分
（2）不妨设x1＜x2，要证(x1+x2)g(x1+x2)＞2， 只需证(x1+x2)［a(x1+x2)+b］＞2，只需证a(x1+x2)+b＞，证a(x22-x12)+b(x2-x1)＞,证ax22+bx2-(ax12+bx1)＞, 7分
H(x)＞H(x1)=0，即H(x)=(x+x1)ln-2(x-x1)＞0, 所以(x1+x2)g(x1+x2)＞0.………12分
【试题出处】黑龙江省绥化市2011-2012学年度高三年级质量检测数学理科试题
【原题】（本题满分15分）设函数，且为的极值点． (Ⅰ) 若为的极大值点，求的单调区间（用表示）； (Ⅱ)若恰有1解，求实数的取值范围．
【解析】因为为的极值点，所以所以且，……3分
（I）因为为的极大值点，所以当时，；当时，；当时，所以的递增区间为，；递减区间为……6分
（II）若，则在上递减，在上递增恰有1解,则，即,所以；……9分若，则，
因为，则
，从而恰有一解；……12分
若，则
，从而恰有一解；所以所求的范围为．…15分
【试题出处】浙江省宁波市2012届高三第一学期期末考试数学（理）试卷
【原题】(本题12分)已知函数.(I)若在处取和极值， ①求、的值；②存在，使得不等式成立，求的最小值；(II)当时，若在上是单调函数，求的取值范围.（参考数据）
【解析】（Ⅰ）①，定义域为∴ …1分
∵ 在处取得极值， ∴
即，所求值均为………3分
②在存在，使得不等式成立，则只需…… 4分
由
∴ 当时，，函数单调递减；当时，，函数 单调递增；当时，，函数单调递减，∴ 在处有极小值…………6分
而又，
因,
∴ ，故 。…………7分
（Ⅱ）当 a = b 时，当时，则在上单调递增；8分
当时，∵ ，则在上单调递增；当时，设，只需，从而得，此时在上单调递减；…… 11分综上可得，…12分
【试题出处】2012年北海市高中毕业班第一次质量检测理科数学
【原题】（本小题满分1６分）已知函数，其中ｅ是自然数的底数，。
当时，解不等式；若在［－１，１］上是单调增函数，求的取值范围；当时，求整数ｋ的所有值，使方程在［ｋ，ｋ＋１］上有解。
【解析】⑴因为，所以不等式即为，又因为，所以不等式可化为，所以不等式的解集为．………4分
⑵，①当时，，在上恒成立，当且仅当时取等号，故符合要求；……6分
②当时，令，因为，
所以有两个不相等的实数根，，不妨设，因此有极大值又有极小值．
若，因为，所以在内有极值点，
故在上不单调．………8分若，可知，
因为的图象开口向下，要使在上单调，因为，
必须满足即所以.综上可知，的取值范围是．……10分
⑶当时, 方程即为，由于，所以不是方程的解，所以原方程等价于，令，因为对于恒成立，所以在和内是单调增函数，…13分又，，，，所以方程有且只有两个实数根，且分别在区间和上，所以整数的所有值为…16分
【试题出处】江苏省苏北四市（徐、连、宿、淮）2012届高三元月调研测试（数学）
【原题】已知函数（1）当a=2时，求函数f（x）的图像在x=1处的切线的方程；（2）若函数上有两个不等的实数根，求实数m的取值范围；（3）若函数f（x）的图像与x轴交于不同的点求证：（其中实数p，q满足）
【解析】（Ⅰ）当时，，，切点坐标为，切线的斜率，则切线方程为，即．2分
（Ⅱ）方程即为，令，则，因为，故时，．当时，；
当时，．故函数在处取得极大值，4分又，，，则故函数在上的最小值是．6分
方程在上有两个不相等的实数根，则有
解得，故实数m的取值范围是． 8分
（Ⅲ）∵函数的图象与x轴交于两个不同的点，，的两个根为，，则两式相减得，，，则
（∵）
．（*）10分
∵，，则，又，∴，
【试题出处】资阳市2011——2012学年度高中三年级第一次高考模拟考试数学（理科）
【原题】（本小题满分14分）已知函数 （1）求函数的单调区间； （2）若恒成立，试确定实数k的取值范围；（3）证明：①上恒成立②
【解析】（1）函数………（1分）
当时，则上是增函数……（2分）
当时，若时有 ………（3分）
若时有则上是增函数，
在上是减函数………（5分）
（2）法一：由（I）知，时递增，而不成立，故（7分）又由（I）知，要使恒成立，
则即可。 由……（9分）
法二（分离变量法）：
…（9分）
（3）①证明；由（2）知，当时有恒成立，且上是减函数，，恒成立，即上恒成立 。……（11分）
②证明：令，则，即，从而，
成立…（14分）
【试题出处】中山市高三级2011—2012学年度第一学期期末统一考试数学试卷（理科）
【原题】（本小题满分14分） 已知函数 （I）若函数在其定义域内为增函数，求实数a的取值范围；（II）设存在两个零点m，n且，证明： 函数处的切线不可能平行于x轴。
【解析】（Ⅰ）．
由已知，得对一切恒成立．，即对一切恒成立．，．的取值范围为…（5分）
（Ⅱ）．
由已知得，．
，即．
假设结论不成立，即，则，．
又，
．．
【解析】（1） 故在递减 …3分
（2） 记 ………5分
再令 在上递增。
，从而 故在上也单调递增
………8分
（3）方法1： 由（2）知：恒成立，即
令 则 ………10分
，， ……
叠加得：
13分
方法2：用数学归纳法证明（略）。
【试题出处】株洲市2012届高三教学质量统一检测理科数学试题
【原题】（本小题满分15分）已知函数的图象在点（为自然对数的底数）处的切线斜率为3．（1）求实数的值；（2）若，且对任意恒成立，求证k的最大值为3；（3）当时，证明．
【解析】（1）解：因为，所以．
因为函数的图像在点处的切线斜率为3，所以，即． 所以． ......3分
（2）由（1）知，，所以对任意恒成立，即对任意恒成立．令， 则，
令， 则，
所以函数在上单调递增． 。。。。6分
因为，
所以方程在上存在唯一实根，且满足．
且
当，即，当，即，
所以函数在上单调递减，在上单调递增．。。。。。。9分
所以．
所以． 故整数的最大值是3． 。。。。。。11分
（3）证明1：由（2）知，是上的增函数，
所以当时，．
即．
整理，得．
因为， 所以．
即． 即． 所以．。。15分
证明2：构造函数，则．
因为，所以．
所以函数在上单调递增．因为， 所以．
所以．
即．即． 即．所以．
【试题出处】温州市十校联合体2011学年第一学期高三期末联考数学试卷（理科）
【方 法 总 结】
1．无限接近的极限思想是建立导数概念、用导数定义求函数的导数的基本思想，丢掉极限思想就无法理解导数的概念．2．熟练记忆基本求导公式和函数的求导法则，是正确进行导数运算的基础．
3．掌握导数运算在判断函数的单调性、求函数的极大(小)值中的应用，尤其要重视导数运算在解决实际问题中的最值问题时所起的作用．
4．函数的性质与导数
(1)在区间(a，b)内，如果＞0，那么函数在区间(a，b)上单调递增．在区间(a，b)内，如果＜0，那么函数在区间(a，b)上单调递减．
(2)求极值的步骤
①求；②求＝0的根；③判定根两侧导数的符号；④下结论．
(3)求函数在区间[a，b]上的最大值与最小值的步骤