2012高考新课标数学考点总动员 考点4 数形结合，灵活多变，畅游平面向量的世界

一.专题综述
平面向量融数、形于一体,具有几何与代数的“双重身份”,从而它成为了中学数学知识交汇和联系其他知识点的桥梁.平面向量的运用可以拓宽解题思路和解题方法.在高考试题中，其一主要考查平面向量的性质和运算法则，以及基本运算技能，考查考生掌握平面向量的和、差、数乘和内积的运算法则，理解其几何意义，并能正确的进行计算；其二是考查向量的坐标表示，向量的线性运算；其三是和其它数学知识结合在一起，如和曲线、数列等知识结合．向量的平行与垂直，向量的夹角及距离，向量的物理、几何意义，平面向量基本定理，向量数量积的运算、化简与解析几何、三角、不等式、数列等知识的结合，始终是命题的重点．
二．考纲解读
1.理解平面向量的概念和向量相等的含义．理解向量的几何表示．掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义．
2．掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义．了解向量线性运算的性质及其几何意义．
3.理解平面向量的基本定理及其意义．掌握平面向量的正交分解及其坐标表示．会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算．理解用坐标表示的平面向量共线的条件．
4.理解平面向量数量积的含义及其物理意义．了解平面向量的数量积与向量投影的关系．掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算．能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系．
5．会用向量方法解决某些简单的平面几何问题．
6．会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题．
三．2012年高考命题趋向
1.对向量的加减运算及实数与向量的积的考查向量的加减运算以及实数与向量的积是高考中常考查的问题,常以选择题的形式考查,特别是以平面几何为载体综合考查向量加减法的几何意义,以及实数与向量的积的问题经常出现在高考选择、填空题中,但是难度不大,为中、低档题.
2.对向量与其他知识相结合问题的考查平面向量与三角、解析几何等知识相交汇的问题是每年高考的必考内容,并且均出现在解答题中,所占分值较高.其中向量与三角相结合的问题较容易,属中、低档题;而向量与解析几何等知识的结合问题则有一定难度,为中、高档题.
3．在复习中要把知识点、训练目标有机结合．重点掌握相关概念、性质、运算公式、法则等．明确平面向量具有几何形式和代数形式的双重身份，能够把向量的非坐标公式和坐标公式进行有机结合，注意“数”与“形”的相互转换．在复习中要注意分层复习，既要复习基本概念、基本运算，又要能把向量知识和其它知识(如曲线、数列、函数、三角等)进行横向联系，以体现向量的工具性．
四．高频考点解读
考点一 向量的几何运算
例1 [2011·四川卷] 如图1－2，正六边形ABCDEF中，＋＋＝(　　)
图1－2
A．0 B. C. D.
【答案】D　
【解析】 ＋＋＝＋－＝－＝，所以选D.
【解题技巧点睛】当向量以几何图形的形式出现时，要把这个几何图形中的一个向量用其余的向量线性表示，就要根据向量加减法的法则进行，特别是减法法则很容易使用错误，向量(其中O为我们所需要的任何一个点)，这个法则就是终点向量减去起点向量．
考点三 向量平行与垂直
例4[2011·广东卷] 已知向量a＝(1,2)，b＝(1, 0)，c＝(3,4)．若λ为实数，(a＋λb)∥c，则λ＝(　　)
A. B. C．1 D．2
【答案】B　
【解析】 因为a＋λb＝(1,2)＋λ(1,0)＝(1＋λ，2)，又因为(a＋λb)∥c，
所以(1＋λ)×4－2×3＝0，解得λ＝.
例5[2011·课标全国卷] 已知a与b为两个不共线的单位向量，k为实数，若向量a＋b与向量ka－b垂直，则k＝________.
【答案】1　
【解析】 由题意，得(a＋b)·(ka－b)＝k2－a·b＋ka·b－2＝k＋(k－1)a·b－1＝(k－1)(1＋a·b)＝0，因为a与b不共线，所以a·b≠－1，所以k－1＝0，解得k＝1.
考点四 向量的数量积、夹角与模
例6[2011·广东卷] 若向量a，b，c满足a∥b且a⊥c，则c·(a＋2b)＝(　　)
A．4 B．3 C．2 D．0
【答案】D　
【解析】 因为a∥b且a⊥c，所以b⊥c，所以c·(a＋2b)＝c·a＋2b·c＝0.
例7[2011·湖南卷] 在边长为1的正三角形ABC中，设＝2，＝3，则·＝________.
【答案】－　
【解析】 由题知，D为BC中点，E为CE三等分点，以BC所在的直线为x轴，以AD所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系，可得A，D(0,0)，B，E，故＝，＝，所以·＝－×＝－.
例8[2011·江西卷] 已知|a|＝|b|＝2，(a＋2b)·(a－b)＝－2，则a与b的夹角为________．
【答案】
【解析】 设a与b的夹角为θ，由(a＋2b)(a－b)＝－2得
|a|2＋a·b－2|b|2＝4＋2×2×cosθ－2×4＝－2，解得cosθ＝，∴θ＝.
例9[2011·课标全国卷] 已知a与b均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题：
p1：|a＋b|＞1 θ∈；p2：|a＋b|＞1 θ∈
p3：|a－b|＞1 θ∈；p4：|a－b|＞1 θ∈.
其中的真命题是(　　)
A．p1，p4 B．p1，p3 C．p2，p3 D．p2，p4
【答案】A　
【解析】 因为>1 2＋2a·b＋2>1 a·b>－ cosθ＝cosθ>－ θ∈，所以p1为真命题，p2为假命题．又因为>1 2－2a·b＋2>1 a·b< cosθ＝cosθ< θ∈，所以p4为真命题，p3为假命题．
【解题技巧点睛】求向量的数量积的公式有两个:一是定义式a·b=|a||b|cos θ;二是坐标式a·b=x1x2+y1y2.定义式的特点是具有强烈的几何含义,需要明确两个向量的模及夹角,夹角的求解方法灵活多样,一般通过具体的图形可确定,因此采用数形结合思想是利用定义法求数量积的一个重要途径.坐标式的特点是具有明显的代数特征,解题时需要引入直角坐标系,明确向量的坐标进行求解,即向量问题“坐标化”,使得问题操作起来容易、方便.
考点五 向量的应用
例10[2011·山东卷] 设A1，A2，A3，A4是平面直角坐标系中两两不同的四点，若＝λ(λ∈R)，＝μ(μ∈R)，且＋＝2，则称A3，A4调和分割A1，A2，已知平面上的点C，D调和分割点A，B，则下面说法正确的是(　　)
A．C可能是线段AB的中点
B．D可能是线段AB的中点
C．C、D可能同时在线段AB上
D．C、D不可能同时在线段AB的延长线上
【答案】D　
【解析】 若C、D调和分割点A；B，则＝λ(λ∈R)，＝μ(μ∈R)，且＋＝2.
对于A：若C是线段AB的中点，则＝ λ＝ ＝0，故A选项错误；同理B选项错误；对于C：若C、A同时在线段AB上，则0<λ<1,0<μ<1 ＋>2，C选项错误；对于D：若C、D同时在线段AB的延长线上，则λ>1，μ>1 ＋<2，故C、D不可能同时在线段AB的延长线上，D选项正确．
例11[2011·福建卷] 已知O是坐标原点，点A(－1,1)，若点M(x，y)为平面区域上的一个动点，则·的取值范围是(　　)
A．[－1,0] B．[0,1] C．[0,2] D．[－1,2]
【答案】C　
【解析】 画出不等式组表示的平面区域(如图1－2)，
又·＝－x＋y，取目标函数z＝－x＋y，即y＝x＋z，作斜率为1的一组平行线，
当它经过点C(1,1)时，z有最小值，即zmin＝－1＋1＝0；
当它经过点B(0,2)时，z有最大值，即zmax＝－0＋2＝2.
∴ z的取值范围是[0,2]，即·的取值范围是[0,2]，故选C.
例12[2011·陕西卷] 叙述并证明余弦定理．
【解答】 余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦之积的两倍．或：在△ABC中，a，b，c为A，B，C的对边，有
a2＝b2＋c2－2bccosA，
b2＝c2＋a2－2cacosB，
c2＝a2＋b2－2abcosC.
证法一：如图1－9，
a2＝·
＝(－)·(－)
＝2－2·＋2
＝2－2||·||cosA＋2
＝b2－2bccosA＋c2，
即a2＝b2＋c2－2bccosA.
同理可证b2＝c2＋a2－2cacosB，
c2＝a2＋b2－2abcosC.
证法二：已知△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，以A为原点，AB所在直线为x轴建立直角坐标系(如图1－10)，
则C(bcosA，bsinA)，B(c,0)，
∴a2＝|BC|2＝(bcosA－c)2＋(bsinA)2
＝b2cos2A－2bccosA＋c2＋b2sin2A
＝b2＋c2－2bccosA.
同理可证b2＝c2＋a2－2cacosB，
c2＝a2＋b2－2abcosC.
【解题技巧点睛】平面向量的综合运用主要体现在三角函数和平面解析几何中．在三角函数问题中平面向量的知识主要是给出三角函数之间的一些关系，解题的关键还是三角函数问题，这类问题可以和三角函数中的一些题型相互对比；解析几何中向量知识只要是给出一些几何量的位置和数量关系，在解题中要善于根据向量知识分析解析几何中的几何量之间的关系，最后的解题还得落实到解析几何方面．
考点六 与向量相关的最值问题
例12[2011·全国卷] 设向量a，b，c满足|a|＝|b|＝1，a·b＝－，〈a－c，b－c〉＝60°，则|c|的最大值等于(　　)
A．2 B. C. D．1
【答案】A　
【解析】 设向量a，b，c的起点为O，终点分别为A，B，C，由已知条件得，∠AOB＝120°，∠ACB＝60°，则点C在△AOB的外接圆上，当OC经过圆心时，|c|最大，在△AOB中，求得AB＝，由正弦定理得△AOB外接圆的直径是＝2，的最大值是2，故选A.
例13[2011·辽宁卷] 若a，b，c均为单位向量，且a·b＝0，(a－c)·(b－c)≤0，则|a＋b－c|的最大值为(　　)
A.－1 B．1 C. D．2
【答案】 B　
【解析】 |a＋b－c|＝＝，由于a·b＝0，所以上式＝，又由于(a－c)·(b－c)≤0，得(a＋b)·c≥c2＝1，所以|a＋b－c|＝≤1，故选B.
例14[2011·天津卷] 已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，AD＝2，BC＝1，P是腰DC上的动点，则|＋3|的最小值为________．
【答案】5　
【解析】 建立如图1－6所示的坐标系，设DC＝h，则A(2,0)，B(1，h)．
设P(0，y)，(0≤y≤h)
则＝(2，－y)，＝(1，h－y)，
∴＝≥＝5.
例15[2011·浙江卷] 若平面向量α，β满足|α|＝1，|β|≤1，且以向量α，β为邻边的平行四边形的面积为，则α与β的夹角θ的取值范围是________．
【答案】
【解析】 由题意得：sinθ＝，∵＝1，≤1，∴sinθ＝≥.
又∵θ∈(0，π)，∴θ∈.
【解题技巧点睛】平面向量中的最值和范围问题，是一个热点问题，也是难点问题，这类试题的基本类型是根据给出的条件求某个量的最值、范围，如一个向量模的最值、两个向量夹角的范围等．最值和范围问题都是在变动的情况下，某个量在一个特殊情况上取得极端值，也就是在动态的情况下确定一个静态的情况，使得这个情况下某个量具有特殊的性质(如最大、最小、其余情况下都比这个量大等)．在数学上解决这类问题的一般思路是建立求解目标的函数关系，通过函数的值域解决问题，这个思想在平面向量的最值、范围问题中也是适用的，但平面向量兼具“数”与“形”的双重身份，解决平面向量最值、范围问题的另一个基本思想是数形结合．
针对训练
一．选择题
1.【湖北省孝感市2011—2012学年度高中三年级第一次统一考试】
设向量为 （ ）
A．60° B．30° C．75° D．45°
答案：D
.解析：
2.【2012届江西省重点中学协作体高三第一次联考】已知，若，则实数的值是(　　)
A. -17 B. C. D.
答案：B
解析： 由已知得，，又因为两向量平行，所以，计算可得实数的值是。
3.【湖北省孝感市2011—2012学年度高中三年级第一次统一考试】
已知非零向量满足，向量的夹角为60°，且，则向量与的夹角为 （ ）
A.600 B. 30° C. 120° D. 150°
答案：D
解析：.
设的夹角为
则
4.【2012海淀区高三年级第一学期期末试题】
如图，正方形中，点是的中点，点是的一个三等分点.那么
（A） （B）
（C） （D）
答案：D
解析： 在中，有因E为DC的中点，故
因点F为BC的一个三分点，故
故选D.
5.【唐山市2011—2012学年度高三年级第一学期期末考试】在边长为1的正三角形ABC中，，，则的最大值为（ ）
A． B．
C． D．
答案：D
解析：如图所示，建立直角坐标系，则
，因
函数取得最大值故答案为C.
6.【2012届江西省重点中学协作体高三第一次联考】在中，若对任意，有，则一定是（ ）
A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．不能确定
答案A
解析：如图所示，设,
则D为BC所在的直线上动点，又恒成立，
故在三角形ACD中，唯有才能满足不等式恒成立，故答案为A。
7.【2012年长春市高中毕业班第一次调研测试】在△中，是边中点，角的对边分别是，若，则△的形状为
A.直角三角形 B.钝角三角形
C.等边三角形 D.等腰三角形但不是等边三角形.
答案：C　
解析：由题意知，
∴，∴，
又、不共线，∴，∴
8.【安徽省示范高中2012届高三第二次联考】
已知则的取值范围是( ）
（Ａ）　　 （Ｂ） （Ｃ） （Ｄ）
答案：B
解析：因为，由向量的三角形不等式及得：，即的取值范围是。
9.（2012届景德镇市高三第一次质检）下列命题：①若向量与向量共线，向量与向量共线，则向量与向量共线；②若向量与向量共线，则存在唯一实数，使；③若三点不共线，是平面外一点，且，则点一定在平面上，且在的内部。上述命题中的真命题个数为
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】①②若考虑零向量均不成立；对于③，由得，因此是的重心.
10、【2012年上海市普通高等学校春季招生考试】
设为所在平面上一点，若实数满足
则“”是“为的边所在直线上”的（ ）
（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件
（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件
答案：C
解析： 若中有两个成立，此时为三角形的顶点；若其中一个为零，例如，三点共线，总是可知“”是“为的边所在直线上”的充分不必要条件，显然，反之也成立，故答案为C。
11.【浙江省2012年高三调研理科数学测试卷】
主题(9) 如图，在圆O中，若弦AB＝3，弦AC＝5，则·的值是
(A) －8 (B) －1 (C) 1 (D) 8
答案D
解析： 取BC中点D，则OD⊥BC,
所以
12.【山东实验中学2012届高三第一次诊断性考试数学（理科）】 的外接圆的圆心为O，半径为1，若，且，则向量在向量方向上的射影的数量为（ ）
(A).(B).(C). 3 (D).
【答案】A
【解析】由已知可以知道，的外接圆的圆心在线段BC的中点O处，因此是直角三角形。且，又因为
因此答案为A
二．填空题
13.【北京市朝阳区2011-2012学年度高三年级第一学期期中统一考试】
在中，已知 ，，则=__；，则=__ _．
答案： ；或
解析：因，所以
14.【2012届江西省重点中学协作体高三第一次联考】已知，且关于
的函数在R上有极值，则与的夹角范围为_______.
答案
解析：，因为函数在R上有极值，所以，得，解得，又因为，所以，因为向量夹角的范围是，所以向量的夹角范围是。
15.【唐山市2011—2012学年度高三年级第一学期期末考试】
已知向量，且，则的最小值为
答案：
解析：因为，所以，代入得，所以当时，取得最小值
16.【2011杭师大附中高三年级第一次月考卷】
已知平面向量（）满足且的夹角为120°，则的最小值是
答案：
解析：
三.解答题
17【河北省正定中学2011—2012学年度高三上学期第二次月考（数学理）】
的三个内角所对的边分别为，向量，，且．
（Ⅰ）求的大小；
（Ⅱ）现在给出下列三个条件：①；②；③，试从中再选
择两个条件以确定，求出所确定的的面积．
解析：(I)因为，所以……………2分
即：，所以…………4分
因为，所以
所以……………………………………6分
(Ⅱ)方案一:选择①②，可确定，
因为
由余弦定理，得：
整理得：……………10分
所以……………………12分
方案二:选择①③，可确定，
因为
又
由正弦定理……………10分
所以……………12分
（注意;选择②③不能确定三角形）
18.【2012届江西省重点中学协作体高三第一次联考】
已知向量 , 分别为△ABC的三边所对的角.
（Ⅰ）求角C的大小;
（Ⅱ）若sinA, sinC, sinB成等比数列, 且, 求c的值
解析： (Ⅰ) ∵ , ,
∴ 即
∴ ，又C为三角形的内角， ∴ ………………6分
(Ⅱ) ∵成等比数列， ∴
又,即 , ∴
∴ 即 ………………12分
19【安徽省示范高中2012届高三第二次联考】
已知函数．
(Ⅰ) 求函数的最小值和最小正周期；
（Ⅱ）已知内角的对边分别为，且，若向量与共线，求的值．
解：(Ⅰ)
∴ 的最小值为，最小正周期为. ………………………………5分
（Ⅱ）∵ ， 即
∵ ，，∴ ，∴ ． ……7分
∵ 与共线，∴ ．
由正弦定理 ， 得 ①…………………………………9分
∵ ，由余弦定理，得， ②……………………11分
解方程组①②，得． …………………………………………13分
20.【惠州市2012届高三第二次调研考试】已知点是圆上任意一点，点与点关于原点对称。线段的中垂线分别与交于两点．
（1）求点的轨迹的方程；
（2）斜率为的直线与曲线交于两点,若（为坐标原点），试求直线在轴上截距的取值范围．
解：（1）由题意得，圆的半径为，且 ……… 1分
从而 ………… 3分
∴ 点M的轨迹是以为焦点的椭圆, ………… 5分
其中长轴,得到,焦距，
则短半轴
椭圆方程为: ………… 6分
（2）设直线l的方程为,由
可得
则,即 ① ………… 8分
设,则
由可得,即 …………10分
整理可得 …………12分
即
化简可得,代入①整理可得,
故直线在y轴上截距的取值范围是． …………14分
21.（2011杭师大附中高三年级第一次月考卷）设的三个内角所对的边分别为，且满足．
（Ⅰ）求角的大小；
（Ⅱ）若，试求的最小值．
解：（Ⅰ）因为，
所以，
即，则所以，即，所以
（Ⅱ）因为，所以，即
当且仅当时取等号，此时最大值为4
所以=，即的最小值为