2012高考新课标数学考点总动员 考点5 掌握类型，巧妙构造，解决棘手的数列的问题

一.专题综述
数列是新课程的必修内容，从课程定位上说，其考查难度不应该太大，数列试题倾向考查基础是基本方向．从课标区的高考试题看，试卷中的数列试题最多是一道选择题或者填空题，一道解答题．由此我们可以预测2012年的高考中，数列试题会以考查基本问题为主，在数列的解答题中可能会出现与不等式的综合、与函数导数的综合等，但难度会得到控制．
二．考纲解读
三.2012年高考命题趋向
1.等差数列作为最基本的数列模型之一，一直是高考重点考查的对象．难度属中低档的题目较多，但也有难度偏大的题目．其中，选择题、填空题突出“小、巧、活”，主要以通项公式、前n项和公式为载体，结合等差数列的性质考查分类讨论、化归与方程等思想，要注重通性、通法；解答题“大而全”，注重题目的综合与新颖，突出对逻辑思维能力的考查．预测2012年高考仍将以等差数列的定义、通项公式和前n项和公式为主要考点，重点考查学生的运算能力与逻辑推理能力．
2.等比数列的定义、性质、通项公式及前n项和公式是高考的热点，题型既有选择题、填空题，又有解答题，难度中等偏高．客观题突出“小而巧”，考查学生对基础知识的掌握程度；主观题考查较为全面，在考查基本运算、基本概念的基础上，又注重考查函数与方程、等价转化、分类讨论等思想方法．预测2012年高考，等比数列的定义、性质、通项公式及前n项和公式仍将是考查的重点，特别是等比数列的性质更要引起重视．
3、等差数列与等比数列交汇、数列与解析几何、不等式交汇是考查的热点，题型以解答题为主，难度偏高，主要考查学生分析问题和解决问题的能力．预测2012年高考，等差数列与等比数列的交汇、数列与解析几何、不等式的交汇仍将是高考的主要考点，重点考查运算能力和逻辑推理能力．
四．高频考点解读
考点一 等差数列的性质和应用
例1[2011·广东卷] 等差数列{an}前9项的和等于前4项的和．若a1＝1，ak＋a4＝0，则k＝________.
【答案】10　
【解析】 由S9＝S4，所以a5＋a6＋a7＋a8＋a9＝0，即5a7＝0，所以a7＝0，
由a7＝a1＋6d得d＝－，又ak＋a4＝0，
即a1＋(k－1)＋a1＋3×＝0，
即(k－1)×＝－，所以k－1＝9，所以k＝10.
例2 [2011·湖南卷] 设Sn是等差数列{an}(n∈N*)的前n项和，且a1＝1，a4＝7，则S5＝________.
【答案】25　
【解析】 设数列{an}的公差为d，因为a1＝1，a4＝7，所以a4＝a1＋3d d＝2，故S5＝5a1＋10d＝25.
例3 [2011·福建卷] 已知等差数列{an}中，a1＝1，a3＝－3.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若数列{an}的前k项和Sk＝－35，求k的值．
【解答】 (1)设等差数列{an}的公差为d，则an＝a1＋(n－1)d.
由a1＝1，a3＝－3，可得1＋2d＝－3.解得d＝－2.
从而，an＝1＋(n－1)×(－2)＝3－2n.
(2)由(1)可知an＝3－2n.
所以Sn＝＝2n－n2.
进而由Sk＝－35可得2k－k2＝－35.
即k2－2k－35＝0，解得k＝7或k＝－5.
又k∈N*，故k＝7为所求．
【解题技巧点睛】利用等差、等比数列的通项公式和前n项和公式,由五个量a1,d(q),n,an,Sn中的三个量可求其余两个量,即“知三求二”,体现了方程思想.解答等差、等比数列的有关问题时,“基本量”(等差数列中的首项a1和公差d或等比数列中的首项a1和公比q)法是常用方法.
考点二 等比数列的性质和应用
例4 [2011·北京卷] 在等比数列{an}中，若a1＝，a4＝－4，则公比q＝________；|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝________.
【答案】 －2　2n－1－　
【解析】 由a4＝a1q3＝q3＝－4，可得q＝－2；因此，数列{|an|}是首项为，公比为2的等比数列，所以|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝＝2n－1－.
例5 [2011·课标全国卷] 已知等比数列{an}中，a1＝，公比q＝.
(1)Sn为{an}的前n项和，证明：Sn＝；
(2)设bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an，求数列{bn}的通项公式．
【解答】 (1)因为an＝×n－1＝，
Sn＝＝，所以Sn＝.
(2)bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an＝－(1＋2＋…＋n)
＝－.
【答案】D　
【解析】 由a＝a3·a9，d＝－2，得(a1－12)2＝(a1－4)(a1－16)，解之得a1＝20，∴S10＝10×20＋(－2)＝110.
例7[2011·浙江卷] 已知公差不为0的等差数列{an}的首项a1为a(a∈R)，且，，成等比数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)对n∈N*，试比较＋＋…＋与的大小．
【解答】设等差数列{an}的公差为d，由题意可知2＝·，
即(a1＋d)2＝a1(a1＋3d)，从而a1d＝d2.
因为d≠0，所以d＝a1＝a，
故通项公式an＝na.
(2)记Tn＝＋＋…＋.因为a2n＝2na，
所以Tn＝＝·＝.
从而，当a＞0时，Tn＜，当a＜0时，Tn＞.
【解题技巧点睛】(1)等差数列与等比数列相结合的综合问题是高考考查的重点，特别是等差、等比数列的通项公式，前n项和公式以及等差中项、等比中项问题是历年命题的热点．
(2)利用等比数列前n项和公式时注意公比q的取值．同时对两种数列的性质，要熟悉它们的推导过程，利用好性质，可降低题目的难度，解题时有时还需利用条件联立方程求解．
考点四 求数列的通项公式
例8 [2011·江西卷] 已知两个等比数列{an}，{bn}，满足a1＝a(a>0)，b1－a1＝1，b2－a2＝2，b3－a3＝3.
(1)若a＝1，求数列{an}的通项公式；
(2)若数列{an}唯一，求a的值．
【解答】 (1)设{an}的公比为q，则b1＝1＋a＝2，b2＝2＋aq＝2＋q，b3＝3＋aq2＝3＋q2，
由b1，b2，b3成等比数列得(2＋q)2＝2(3＋q2)，
即q2－4q＋2＝0，解得q1＝2＋，q2＝2－，
所以{an}的通项公式为an＝(2＋)n－1或an＝(2－)n－1.
(2)设{an}的公比为q，则由(2＋aq)2＝(1＋a)(3＋aq2)，得aq2－4aq＋3a－1＝0，(*)
由a＞0得Δ＝4a2＋4a＞0，故方程(*)有两个不同的实根，
由{an}唯一，知方程(*)必有一根为0，代入(*)得a＝.
例9 [2011·安徽卷] 在数1和100之间插入n个实数，使得这n＋2个数构成递增的等比数列，将这n＋2个数的乘积记作Tn，再令an＝lgTn，n≥1.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝tanan·tanan＋1，求数列{bn}的前n项和Sn.
【解题技巧点睛】求数列的通项公式的方法：
1、利用转化，解决递推公式为与的关系式：数列{}的前项和与通项的关系：.通过纽带：，根据题目求解特点，消掉一个.然后再进行构造成等差或者等比数列进行求解.如需消掉，利用已知递推式，把n换成（n+1）得到递推式，两式相减即可.若消掉，只需把带入递推式即可.
不论哪种形式，需要注意公式成立的条件
由递推关系求数列的通项公式
2.利用“累加法”和“累乘法”求通项公式：此解法来源与等差数列和等比数列求通项的方法，递推关系为用累加法；递推关系为用累乘法.解题时需要分析给定的递推式，使之变形为结构，然后求解.要特别注意累加或累乘时，应该为个式子，不要误认为个.
3.利用待定系数法，构造等差、等比数列求通项公式：求数列通项公式方法灵活多样，特别是对于给定的递推关系求通项公式，观察、分析、推理能力要求较高.通常可对递推式变换，转化成特殊数列（等差或等比数列）来求解，这种方法体现了数学中化未知为已知的化归思想，而运用待定系数法变换递推式中的常数就是一种重要的转化方法.
考点五 等差等比数列的定义以及应用
例10 [2011·江西卷] (1)已知两个等比数列{an}，{bn}，满足a1＝a(a>0)，b1－a1＝1，b2－a2＝2，b3－a3＝3，若数列{an}唯一，求a的值；
(2)是否存在两个等比数列{an}，{bn}，使得b1－a1，b2－a2，b3－a3，b4－a4成公差不为0的等差数列？若存在，求{an}，{bn}的通项公式；若不存在，说明理由．
【解答】 (1)设{an}的公比为q，则b1＝1＋a，b2＝2＋aq，b3＝3＋aq2，
由b1，b2，b3成等比数列得(2＋aq)2＝(1＋a)(3＋aq2)，
即aq2－4aq＋3a－1＝0.
由a>0得Δ＝4a2＋4a>0，故方程有两个不同的实根，
再由{an}唯一，知方程必有一根为0，
将q＝0代入方程得a＝.
例11 [2011·天津卷] 已知数列{an}与{bn}满足bn＋1an＋bnan＋1＝(－2)n＋1，bn＝，n∈N*，且a1＝2.
(1)求a2，a3的值；
(2)设cn＝a2n＋1－a2n－1，n∈N*，证明{cn}是等比数列；
(3)设Sn为{an}的前n项和，证明＋＋…＋＋≤n－(n∈N*)．
【解答】 (1)由bn＝，n∈N，
可得bn＝
又bn＋1an＋bnan＋1＝(－2)n＋1，
当n＝1时，a1＋2a2＝－1，由a1＝2，可得a2＝－；
当n＝2时，2a2＋a3＝5，可得a3＝8.
(2)证明：对任意n∈N*，
a2n－1＋2a2n＝－22n－1＋1，①
2a2n＋a2n＋1＝22n＋1.②
②－①，得a2n＋1－a2n－1＝3×22n－1，即cn＝3×22n－1.
于是＝4.
所以{cn}是等比数列．
(3)证明：a1＝2，由(2)知，当k∈N*且k≥2时，
a2k－1＝a1＋(a3－a1)＋(a5－a3)＋(a7－a5)＋…＋(a2k－1－a2k－3)
＝2＋3(2＋23＋25＋…＋22k－3)＝2＋3×＝22k－1，
故对任意k∈N*，a2k－1＝22k－1.
由①得22k－1＋2a2k＝－22k－1＋1，
所以a2k＝－22k－1，k∈N*.
因此，S2k＝(a1＋a2)＋(a3＋a4)＋…＋(a2k－1＋a2k)＝.
于是，S2k－1＝S2k－a2k＝＋22k－1.
故＋＝＋＝－＝1－－.
所以，对任意n∈N*，
＋＋…＋＋
＝＋＋…＋
＝＋＋…＋1－－
＝n－－－…－＋≤n－＝n－.
【解题技巧点睛】
判断某个数列是否为等差(或等比)数列,常用方法有两种:一种是由定义判断,二是看任意相邻三项是否满足等差中项(或等比中项)公式.注意只要其中的一项不符合,就不能为等差(或等比)数列.而想判断某个数列不是等差(或等比)数列,只需看前三项即可.
考点六 数列的前n项和
例12 [2011·安徽卷] 若数列{an}的通项公式是an＝(－1)n(3n－2)，则a1＋a2＋…＋a10＝(　　)
A．15 B．12 C．－12 D．－15
【答案】A　
【解析】 a1＋a2＋…＋a10＝－1＋4－7＋10＋…＋(－1)10·(3×10－2)＝(－1＋4)＋(－7＋10)＋…＋[(－1)9·(3×9－2)＋(－1)10·(3×10－2)]＝3×5＝15.
例13[2011·辽宁卷] 已知等差数列{an}满足a2＝0，a6＋a8＝－10.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求数列的前n项和．
【解答】 (1)设等差数列{an}的公差为d，由已知条件可得解得
故数列{an}的通项公式为an＝2－n.
(2)设数列的前n项和为Sn，即Sn＝a1＋＋…＋，故S1＝1，
例13 [2011·课标全国卷] 等比数列{an}的各项均为正数，且2a1＋3a2＝1，a＝9a2a6.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an，求数列的前n项和．
【解答】 (1)设数列{an}的公比为q，由a＝9a2a6得a＝9a，所以q2＝.
由条件可知q＞0，故q＝.
由2a1＋3a2＝1得2a1＋3a1q＝1，所以a1＝.
故数列{an}的通项公式为an＝.
(2)bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an
＝－(1＋2＋…＋n)
＝－.
故＝－＝－2，
＋＋…＋＝－2＋＋…＋＝－.
所以数列的前n项和为－.
【解题技巧点睛】在数列求和问题中，通法 是“特征联想法”：就是抓住数列的通项公式的特征，再去联想常用数列的求和方法.通项公式作为数列的灵魂，只有抓住它的特征，才能对号入座，得到求和方法.
（1）：，数列的通项公式能够分解成几部分，一般用“分组求和法”.
（2）：，数列的通项公式能够分解成等差数列和等比数列的乘积，一般用“错位相减法”.
（3）：，数列的通项公式是一个分式结构，一般采用“裂项相消法”.
（4）：，数列的通项公式是一个组合数和等差数列通项公式组成，一般采用“倒序相加法”.
考点七 数列的综合问题
例14[2011·福建卷] 商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格，即根据商品的最低销售限价a，最高销售限价b(b>a)以及实数x(0【答案】　
例16 [2011·浙江卷] 已知公差不为0的等差数列{an}的首项a1为a(a∈R)．设数列的前n项和为Sn，且，，成等比数列．
(1)求数列{an}的通项公式及Sn；
(2)记An＝＋＋＋…＋，Bn＝＋＋＋…＋.当n≥2时，试比较An与Bn的大小．
【解答】 (1)设等差数列{an}的公差为d，由2＝·，
得(a1＋d)2＝a1(a1＋3d)．因为d≠0，所以d＝a1＝a，
所以an＝na，Sn＝.
(2)因为＝，所以
An＝＋＋＋…＋＝.
因为a2n－1＝2n－1a，所以
Bn＝＋＋＋…＋＝·.
当n≥2时，2n＝C＋C＋C＋…＋C＞n＋1，
即1－＜1－，
所以，当a＞0时，An＜Bn；当a＜0时，An＞Bn.
【解题技巧点睛】1.数列的渗透力很强，它和函数、方程、三角形、不等式等知识相互联系，优化组合，无形中加大了综合的力度．解决此类题目，必须对蕴藏在数列概念和方法中的数学思想有所了解，深刻领悟它在解题中的重大作用，常用的数学思想方法有：“函数与方程”、“数形结合”、“分类讨论”、“等价转换”等．
2.与数列有关的不等式证明有哪些方法：与数列有关的不等式的命题常用的方法有：比较法(作差作商) 、放缩法、利用函数的单调性、数学归纳法证明，其中利用不等式放缩证明是一个热点，常常出现在高考的压轴题中，是历年命题的热点.利用放缩法解决“数列+不等式”问题通常有两条途径：一是先放缩再求和，二是先求和再放缩.
考点六 数列的实际应用
例17 [2011·陕西卷] 植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米，开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，这个最小值为________(米)．
【答案】2000　
【解析】 树苗放在10或11号坑，则其余的十九人一次走过的路程为90,80,70,60，…，80,90,100，则和为s＝×2＝2000，若放在11号坑，结果一样．
例18 [2011·湖南卷] 某企业在第1年初购买一台价值为120万元的设备M，M的价值在使用过程中逐年减少，从第2年到第6年，每年初M的价值比上年初减少10万元；从第7年开始，每年初M的价值为上年初的75%.
(1)求第n年初M的价值an的表达式；
(2)设An＝.若An大于80万元，则M继续使用，否则须在第n年初对M更新．证明：须在第9年初对M更新．
【解答】 (1)当n≤6时，数列{an}是首项为120，公差为－10的等差数列．
an＝120－10(n－1)＝130－10n；当n≥6时，数列{an}是以a6为首项，公比为的等比数列，又a6＝70，所以an＝70×n－6.
因此，第n年初，M的价值an的表达式为
an＝
(2)设Sn表示数列{an}的前n项和，由等差及等比数列的求和公式得
当1≤n≤6时，Sn＝120n－5n(n－1)，
An＝120－5(n－1)＝125－5n；
当n≥7时，由于S6＝570，故
Sn＝S6＋(a7＋a8＋…＋an)＝570＋70××4×＝780－210×n－6，
An＝，
因为{an}是递减数列，所以 {An}是递减数列．又
A8＝＝82>80，
A9＝＝76<80，
所以须在第9年初对M更新．
【解题技巧点睛】解数列应用题，要充分运用观察、归纳、猜想等手段，建立等差数列、等比数列、递推数列等模型．(比较典型的问题是存款的利息计算问题，通常的储蓄问题与等差数列有关，而复利计算则与等比数列有关．)
针对训练
一．选择题
1.【湖北省孝感市2011—2012学年度高中三年级第一次统一考试】
在等差数列= （ ）
A． B． C．1 D．—1
答案：A
3.【河北省唐山市2012届高三上学期摸底考试数学】
等差数列的前项和，（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：由已知，得解得，
所以.
4.（2012届西南大学附属中学第二次月考）
在等差数列，则数列前9项之和等于（ ）
A． 24 B．48 C．72 D．108
【答案】D
【解析】因为
5.（2012届微山一中高三10月考试题）
已知为等差数列的前n项的和，，，则的值为 （ ）
A． 6 B．7 C．8 D．9
答案: D
解析: 由条件可转化为解得:
6.【银川一中2012届高三年级第四次月考】
已知等比数列的公比为正数，且，则=( )
A． B． C． D．2
答案：B
解析：
7.【北京市朝阳区2011-2012学年度高三年级第一学期期中统一考试】
在各项均为正数的数列中，对任意都有．若，则等于 （ ）
A．256 B．510 C．512 D． 1024
答案：C
解析：令
8.【2012届山东实验中学第一次诊断考试】已知{an}为等差数列，其公差为-2，且a7是a3与a9的等比中项，Sn为{an}的前n项和，n∈N*，则S10的值为（ ）
(A). -110 (B). -90
(C). 90 (D). 110
【答案】D
【解析】解：a7是a3与a9的等比中项，公差为-2，所以a72=a3 a9，所以a72=（a7+8）（a7-4），所以a7=8，所以a1=20，所以S10= 10×20+10×9/2×(-2)=110。故选D
二、填空题
9.【河北省唐山市2012届高三上学期摸底考试数学】
已知数列的前项和为，,数列的前项和为
10【浙江省名校新高考研究联盟2012届第一次联考】
已知等比数列的公比为2，前项和为．记数列的前项和为，且满足，则= 　 ．
答案：3
解析：，所以，故=3．
11.【浙江省2012年高三调研理科数学测试卷】
设Sn是数列{an}的前n项和，已知a1＝1，an＝－SnSn－1 (n≥2)，则Sn＝ ．
答案：
解析：
12.【2012年上海市普通高等学校春季招生考试】
已知等差数列的首项及公差均为正数，令当是数列的最大项时， .
答案：1006
解析： 因等差数列的首项及公差均为正数，不妨设，则
故当时取得最大值，故
三．解答题
13.【唐山市2011—2012学年度高三年级第一学期期末考试】
在等比数列中，
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列的前项和为，求
14.【2012年长春市高中毕业班第一次调研测试】
已知数列满足，.
⑴求数列的通项公式；
⑵若数列满足，求数列的通项公式.
解：（1），，
而，故数列是首项为2，公比为2的等比数列，
，因此． 　　　　　　　　　　　　 ( 5分)
（2）∵，∴，( 7分)
∴，
即，①
当时，，②
①－②得，．　　　　　　　　（10分）
可验证也满足此式，因此． 　　　　　　　　　　（12分）
15.【2012年上海市普通高等学校春季招生考试】
已知数列满足
设是公差为3的等差数列.当时，求的值；
设求正整数使得对一切，均有
设当时，求数列的通项公式.
解析：
当由以上各式相加可得：
当
16【北京市朝阳区2011-2012学年度高三年级第一学期期中统一考试】
设数列的前项和为，且.
（Ⅰ）求，，；
（Ⅱ）求证：数列是等比数列；
（Ⅲ）求数列的前项和.
（Ⅲ）由(Ⅱ) 得：，即.
则. ……………8分
设数列的前项和为,
则，
所以，
所以，
即. ……………11分
所以数列的前项和=，
整理得，. ……………13分
17【浙江省2012年高三调研理科数学测试卷】
设等差数列{an}的首项a1为a，前n项和为Sn．
(Ⅰ) 若S1，S2，S4成等比数列，求数列{an}的通项公式；
(Ⅱ) 证明：n∈N*, Sn，Sn＋1，Sn＋2不构成等比数列．
解析：(Ⅰ) 解：设等差数列{an}的公差为d，则Sn＝na＋，
S1＝a，S2＝2a＋d，S4＝4a＋6d．由于S1，S2，S4成等比数列，因此
＝S1S4，即得d (2a－d)＝0．所以，d＝0或2a．
(1) 当d＝0时，an＝a；
(2) 当d＝2a时，an＝(2n－1)a． …………6分
(Ⅱ) 证明：采用反证法．不失一般性，不妨设对某个m∈N*，Sm，Sm＋1，Sm＋2构成等比数列，即．因此
a2＋mad＋m(m＋1)d2＝0， ①
(1) 当d＝0时，则a＝0，此时Sm＝Sm＋1＝Sm＋2＝0，与等比数列的定义矛盾；
(2) 当d≠0时，要使数列{an}的首项a存在，必有①中的Δ≥0．
然而
Δ＝(md)2－2m(m＋1)d2＝－(2m＋m2)d2＜0，矛盾．
综上所述，对任意正整数n，Sn，Sn＋1，Sn＋2都不构成等比数列． …………14分
18【惠州市2012届高三第二次调研考试数学试题】
已知数列满足，且，为的前项和.
（1）求证：数列是等比数列，并求的通项公式；
（2）如果对于任意，不等式恒成立，求实数的取值范围.
解：（1）对任意,都有，所以
则成等比数列,首项为，公比为…………2分
所以，…………4分
（2）因为
所以…………7分
因为不等式，
化简得对任意恒成立 ……………8分
设，则
当,,为单调递减数列，
当,,为单调递增数列 …………11分
,所以, 时, 取得最大值…………13分
所以, 要使对任意恒成立，…………14分
19【浙江省名校新高考研究联盟2012届第一次联考】
已知等差数列的公差不为零，且，成等比数列．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）若数列满足，求数列的前项和．
（1）解：在等差数列中，设公差为，
，， ……2分
化简得， ……4分
……7分
（2）解： 　　 ①
②
②-①得： ， ……10分
当时， ……12分
……14分
20【北京市东城区2011-2012学年度高三数第一学期期末教学统一检测】
在等差数列中，，其前项和为，等比数列的各项均为正数，，公比为，且， ．
（Ⅰ）求与；
（Ⅱ）证明：≤．
解：（Ⅰ）设的公差为，
因为所以
解得 或（舍），．
故 ，． ……………6分