2012高考新课标数学考点总动员 考点7 强化系统，精确计算，解析几何我们不再害怕

一.专题综述
解析几何初步的内容主要是直线与方程、圆与方程和空间直角坐标系，该部分内容是整个解析几何的基础，在解析几何的知识体系中占有重要位置，但由于在高中阶段平面解析几何的主要内容是圆锥曲线与方程，故在该部分高考考查的分值不多，在高考试卷中一般就是一个选择题或者填空题考查直线与方程、圆与方程的基本问题，偏向于考查直线与圆的综合，试题难度不大，对直线方程、圆的方程的深入考查则与圆锥曲线结合进行．根据近年来各地高考的情况，解析几何初步的考查是稳定的，预计2012年该部分的考查仍然是以选择题或者填空题考查直线与圆的基础知识和方法，而在解析几何解答题中考查该部分知识的应用．
圆锥曲线与方程是高考考查的核心内容之一，在高考中一般有1～2个选择题或者填空题，一个解答题．选择题或者填空题在于有针对性地考查椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程和简单几何性质及其应用，试题考查主要针对圆锥曲线本身，综合性较小，试题的难度一般不大；解答题中主要是以椭圆为基本依托，考查椭圆方程的求解、考查直线与曲线的位置关系，考查数形结合思想、函数与方程思想、等价转化思想、分类与整合思想等数学思想方法，这道解答题往往是试卷的压轴题之一．由于圆锥曲线与方程是传统的高中数学主干知识，在高考命题上已经比较成熟，考查的形式和试题的难度、类型已经较为稳定，预计2012年仍然是这种考查方式，不会发生大的变化．
二.考纲解读
1．直线与方程
①在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素．
②理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式．
③能根据斜率判定两条直线平行或垂直．
④根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)，体会斜截式与一次函数的关系．
⑤能用解方程组的方法求两直线的交点坐标．
⑥探索并掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离．
2．圆与方程
①回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程与一般方程．
②能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系．
③能用直线和圆的方程解决一些简单的问题．
3．在平面解析几何初步的学习过程中，体会用代数方法处理几何问题的思想．
4．空间直角坐标系
①通过具体情境，感受建立空间直角坐标系的必要性，了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标系刻画点的位置．
②通过表示特殊长方体(所有棱分别与坐标轴平行)顶点的坐标，探索并得出空间两点间的距离公式．
5. 圆锥曲线
(1)了解圆锥曲线的实际背景，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用．
(2)经历从具体情境中抽象出椭圆(理：椭圆、抛物线)模型的过程，掌握椭圆(理：椭圆、抛物线)的定义、标准方程及简单几何性质．
(3)了解抛物线、双曲线(理：双曲线)的定义、几何图形和标准方程，知道抛物线、双曲线(理：双曲线)的简单几何性质．
(4)通过圆锥曲线与方程的学习，进一步体会数形结合的思想．
(5)(文)了解圆锥曲线的简单应用．
(理)能用坐标法解决一些与圆锥曲线有关的简单几何问题(直线与圆锥曲线的位置关系)和实际问题．
(6)(理)结合已学过的曲线及其方程的实例，了解曲线与方程的对应关系，进一步感受数形结合的基本思想．
三.2012年高考命题趋向
四．高频考点解读
考点一 直线的相关问题
例1 [2011·浙江卷] 若直线x－2y＋5＝0与直线2x＋my－6＝0互相垂直，则实数m＝________.
【答案】1　
【解析】 ∵直线x－2y＋5＝0与直线2x＋my－6＝0，∴1×2－2×m＝0，即m＝1.
例2[2011·安徽卷] 在平面直角坐标系中，如果x与y都是整数，就称点(x，y)为整点，下列命题中正确的是________(写出所有正确命题的编号)．
①存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点；
②如果k与b都是无理数，则直线y＝kx＋b不经过任何整点；
③直线l经过无穷多个整点，当且仅当l经过两个不同的整点；
④直线y＝kx＋b经过无穷多个整点的充分必要条件是：k与b都是有理数；
⑤存在恰经过一个整点的直线．
【答案】①③⑤　
【解析】 ①正确，比如直线y＝x＋，不与坐标轴平行，且当x取整数时，y始终是一个无理数，即不经过任何整点；②错，直线y＝x－中k与b都是无理数，但直线经过整点(1,0)；③正确，当直线经过两个整点时，它经过无数多个整点；④错误，当k＝0，b＝时，直线y＝不通过任何整点；⑤正确，比如直线y＝x－只经过一个整点(1,0)．
【解题技巧点睛】在判断两条直线平行或垂直时,不要忘记考虑两条直线中有一条直线无斜率或两条直线都无斜率的情况.在不重合的直线l1与l2的斜率都存在的情况下才可以应用条件l1∥l2 k1=k2,l1⊥l2 k1k2=-1解决两直线的平行与垂直问题.在判定两直线是否垂直的问题上,除上述方法外,还可以用两直线l1和l2的方向向量v1=(a1,b1)和v2=(a2,b2)来判定,
即l1⊥l2 a1a2+b1b2=0.
考点二 直线与圆的位置关系
例3[2011·湖南卷] 已知圆C：x2＋y2＝12，直线l：4x＋3y＝25.
(1)圆C的圆心到直线l的距离为________；
(2)圆C上任意一点A到直线l的距离小于2的概率为________．
【答案】(1)5　(2)
【解析】 (1)圆心到直线的距离为：d＝＝5;
(2)当圆C上的点到直线l的距离是2时有两个点为点B与点D，设过这两点的直线方程为4x＋3y＋c＝0，同时可得到的圆心到直线4x＋3y＋c＝0的距离为OC＝3，
又圆的半径为r＝2，可得∠BOD＝60°，由图 1－2可知点A在弧上移动，弧长l＝×c＝，圆周长c，故P(A)＝＝.
例4 [2011·课标全国卷] 在平面直角坐标系xOy中，曲线y＝x2－6x＋1与坐标轴的交点都在圆C上．
(1)求圆C的方程；
(2)若圆C与直线x－y＋a＝0交于A、B两点，且OA⊥OB，求a的值．
【解答】 (1)曲线y＝x2－6x＋1与y轴的交点为(0,1)，与x轴的交点为(3＋2，0)，(3－2，0)．
故可设C的圆心为(3，t)，则有32＋(t－1)2＝(2)2＋t2，解得t＝1.
则圆C的半径为＝3.
所以圆C的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝9.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，其坐标满足方程组
消去y，得到方程
2x2＋(2a－8)x＋a2－2a＋1＝0.
由已知可得，判别式Δ＝56－16a－4a2>0.从而
x1＋x2＝4－a，x1x2＝.①
由于OA⊥OB，可得x1x2＋y1y2＝0.
又y1＝x1＋a，y2＝x2＋a，所以
2x1x2＋a(x1＋x2)＋a2＝0.②
由①，②得a＝－1，满足Δ>0，故a＝－1.
【解题技巧点睛】求圆的方程要确定圆心的坐标(横坐标、纵坐标)和圆的半径，这实际上是三个独立的条件，只有根据已知把三个独立条件找出才可能通过解方程组的方法确定圆心坐标和圆的半径，其中列条件和解方程组都要注意其准确性．直线被圆所截得的弦长是直线与圆相交时产生的问题，是直线与圆的位置关系的一个衍生问题．解决的方法，一是根据平面几何知识结合坐标的方法，把弦长用圆的半径和圆心到直线的距离表示，即如果圆的半径是r，圆心到直线的距离是d，则圆被直线所截得的弦长l＝2；二是根据求一般的直线被二次曲线所截得的弦长的方法解决．
考点三 椭圆方程与几何性质
例5[2011·福建卷] 设圆锥曲线Γ的两个焦点分别为F1，F2.若曲线Γ上存在点P满足|PF1|∶|F1F2|∶|PF2|＝4∶3∶2，则曲线Γ的离心率等于(　　)
A.或 B.或2 C.或2 D.或
【答案】 A　
【解析】 设|F1F2|＝2c(c>0)，由已知|PF1|∶|F1F2|∶|PF2|＝4∶3∶2，得|PF1|＝c，|PF2|＝c，且|PF1|>|PF2|，
若圆锥曲线Γ为椭圆，则2a＝|PF1|＋|PF2|＝4c，离心率e＝＝；
若圆锥曲线Γ为双曲线，则2a＝|PF1|－|PF2|＝c，离心率e＝＝，故选A.
例6[2011·江西卷] 若椭圆＋＝1的焦点在x轴上，过点作圆x2＋y2＝1的切线，切点分别为A，B，直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是________．
【答案】 ＋＝1
【解析】 由题可知过点与圆x2＋y2＝1的圆心的直线方程为y＝x，由垂径定理可得kAB＝－2.显然过点的一条切线为直线x＝1，此时切点记为A(1,0)，即为椭圆的右焦点，故c＝1.由点斜式可得，直线AB的方程为y＝－2(x－1)，即AB：2x＋y－2＝0.
令x＝0得上顶点为(0,2)，∴b＝2，∴a2＝b2＋c2＝5，故得所求椭圆方程为＋＝1.
例7[2011·课标全国卷] 在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为.过F1的直线l交C于A，B两点，且△ABF2的周长为16，那么C的方程为________________．
【答案】＋＝1　
【解析】 设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)．因为离心率为，所以＝，
解得＝，即a2＝2b2.
又△ABF2的周长为＋＋＝＋＋＋＝(＋)＋(＋)＝2a＋2a＝4a，，所以4a＝16，a＝4，所以b＝2，所以椭圆方程为＋＝1.
【解题技巧点睛】离心率是圆锥曲线重要的几何性质，在圆锥曲线的基础类试题中占有较大的比重，是高考考查圆锥曲线的几何性质中的重要题目类型．关于椭圆、双曲线的离心率问题，主要有两类试题．一类是求解离心率的值，一类是求解离心率的取值范围．基本的解题思路是建立椭圆和双曲线中a，b，c的关系式，求值试题就是建立关于a，b，c的等式，求取值范围问题就是建立关于a，b，c的不等式．
考点四 双曲线方程与几何性质
例8[2011·天津卷] 已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左顶点与抛物线y2＝2px(p>0)的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(－2，－1)，则双曲线的焦距为(　　)
A．2 B．2 C．4 D．4
【答案】B　
【解析】 双曲线－＝1的渐近线为y＝±x，由双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(－2，－1)得－＝－2，即p＝4.又∵＋a＝4，∴a＝2，将(－2，－1)代入y＝x得b＝1，　
∴c＝＝＝，∴2c＝2.
例9[2011·辽宁卷] 已知点(2,3)在双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)上，C的焦距为4，则它的离心率为________．
【答案】2　
【解析】 法一：点(2,3)在双曲线C：－＝1上，则－＝1.又由于2c＝4，所以a2＋b2＝4.解方程组 得a＝1或a＝4.由于a法二：∵双曲线的焦距为4，∴双曲线的两焦点分别为F1(－2，0)，F2(2,0)，点(2,3)到两焦点的距离之差的绝对值为2，即2a＝2，∴a＝1，离心率e＝＝2.
例10[2011·山东卷] 已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线均和圆C：x2＋y2－6x＋5＝0相切，且双曲线的右焦点为圆C的圆心，则该双曲线的方程为(　　)
A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1
【答案】 A　
【解析】 圆方程化为标准方程为(x－3)2＋y2＝4，所以圆心C(3,0)，r＝2，所以双曲线焦点F(3,0)，即c＝3，渐近线为ay±bx＝0，由圆心到渐近线的距离为2得＝2，又a2＋b2＝9，所以|b|＝2，即b2＝4，a2＝c2－b2＝9－4＝5，所以所求双曲线方程为－＝1.
【解题技巧点睛】求圆锥曲线方程的基本方法之一就是待定系数法，就是根据已知条件得到圆锥曲线方程中系数的方程或者方程组，通过解方程或者方程组求得系数值．
考点五 抛物线方程与几何性质
例11[2011·课标全国卷] 已知直线l过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直，l与C交于A、B两点，|AB|＝12，P为C的准线上一点，则△ABP的面积为(　　)
A．18 B．24 C．36 D．48
【答案】C　
【解析】 设抛物线方程为y2＝2px(p>0)，则焦点F，A，B，
所以＝2p＝12，所以p＝6.又点P到AB边的距离为p＝6，
所以S△ABP＝×12×6＝36.
例12 [2011·福建卷] 如图1－4，直线l：y＝x＋b与抛物线C：x2＝4y相切于点A.
(1)求实数b的值；
(2)求以点A为圆心，且与抛物线C的准线相切的圆的方程．
【解答】 (1)由得x2－4x－4b＝0.(*)
因为直线l与抛物线C相切，
所以Δ＝(－4)2－4×(－4b)＝0.
解得b＝－1.
(2)由(1)可知b＝－1，故方程(*)即为x2－4x＋4＝0.
解得x＝2，代入x2＝4y，得y＝1，
故点A(2,1)．
因为圆A与抛物线C的准线相切，
所以圆A的半径r等于圆心A到抛物线的准线y＝－1的距离，即r＝|1－(－1)|＝2.
所以圆A的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4.
例13 [2011·江西卷] 已知过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，斜率为2的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1(1)求该抛物线的方程；
(2)O为坐标原点，C为抛物线上一点，若＝＋λ，求λ的值．
【解答】 (1)直线AB的方程是y＝2，与y2＝2px联立，从而有4x2－5px＋p2＝0，所以：x1＋x2＝.
由抛物线定义得：|AB|＝x1＋x2＋p＝9，
所以p＝4，从而抛物线方程是y2＝8x.
(2)由p＝4,4x2－5px＋p2＝0可简化为x2－5x＋4＝0，从而x1＝1，x2＝4，y1＝－2，y2＝4，
从而A(1，－2)，B(4,4)．
设＝(x3，y3)＝(1，－2)＋λ(4,4)＝(4λ＋1，4λ－2)，　
又y＝8x3，即[2(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)，即(2λ－1)2＝4λ＋1，
解得λ＝0或λ＝2.
考点六 直线与曲线的位置关系
例14[2011·江西卷] 若曲线C1：x2＋y2－2x＝0与曲线C2：y(y－mx－m)＝0有四个不同的交点，则实数m的取值范围是(　　)
A. B.∪
C. D.∪
【答案】B　
【解析】 配方得，曲线C1：(x－1)2＋y2＝1，即曲线C1为圆心在点C1(1,0)，半径为1的圆，曲线C2则表示两条直线：x轴与直线l：y＝m(x＋1)，
显然x轴与圆C1有两个交点，于是知直线l与圆C1相交，
∴圆心C1到直线l的距离d＝又当m＝0时，直线l：y＝0与x轴重合，此时只有两个交点，应舍去．
综上所述，m的取值范围是∪.故选B.
例15[2011·陕西卷] 设椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)过点(0,4)，离心率为.
(1)求C的方程；
(2)求过点(3,0)且斜率为的直线被C所截线段的中点坐标．
【解答】 (1)将(0,4)代入椭圆C的方程得＝1，∴b＝4.
又e＝＝得＝，即1－＝，∴a＝5，
∴C的方程为＋＝1.
(2)过点(3,0)且斜率为的直线方程为y＝(x－3)，
设直线与C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
将直线方程y＝(x－3)代入C的方程，得＋＝1，
即x2－3x－8＝0.
解得x1＝，x2＝，
∴AB的中点坐标＝＝，
＝＝(x1＋x2－6)＝－.
即中点为.
例16[2011·辽宁卷]
如图1－9，已知椭圆C1的中点在原点O，长轴左、右端点M，N在x轴上，椭圆C2的短轴为MN，且C1，C2的离心率都为e.直线l⊥MN，l与C1交于两点，与C2交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为A，B，C，D.
(1)设e＝，求|BC|与|AD|的比值；
(2)当e变化时，是否存在直线l，使得BO∥AN，并说明理由．
【解答】 (1)因为C1，C2的离心率相同，故依题意可设
C1：＋＝1，C2：＋＝1，(a＞b＞0)．
设直线l：x＝t(|t|＜a)，分别与C1，C2的方程联立，求得
A，B.
当e＝时，b＝a，分别用yA，yB表示A，B的纵坐标，可知
|BC|∶|AD|＝＝＝.
(2)t＝0时的l不符合题意．t≠0时，BO∥AN当且仅当BO的斜率kBO与AN的斜率kAN相等，即＝，
解得t＝－＝－·a.
因为|t|＜a，又0＜e＜1，所以＜1，解得＜e＜1.
所以当0＜e≤时，不存在直线l，使得BO∥AN；
当＜e＜1时，存在直线l，使得BO∥AN.
【解题技巧点睛】当直线与曲线相交时:涉及弦长问题,常用“根与系数的关系”设而不求计算弦长;涉及到求平行弦中点的轨迹、求过定点的弦中点的轨迹和求被定点平分的弦所在的直线方程问题,常用“差分法”设而不求,将动点的坐标、弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来,相互转化.其中,判别式大于零是检验所求参数的值是否有意义的依据.通过相切构造方程可以求值,通过相交、相离还可构造不等式来求参数的取值范围或检验某一个值是否有意义.
考点七 轨迹问题
例17[2011·陕西卷]
如图1－8，设P是圆x2＋y2＝25上的动点，点D是P在x轴上的投影，M为PD上一点，且|MD|＝|PD|.
(1)当P在圆上运动时，求点M的轨迹C的方程；
(2)求过点(3,0)且斜率为的直线被C所截线段的长度．
【解答】 (1)设M的坐标为(x，y)，P的坐标为(xP，yP)，
由已知得
∵P在圆上，∴x2＋2＝25，
即C的方程为＋＝1.
(2)过点(3,0)且斜率为的直线方程为y＝(x－3)，
设直线与C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
将直线方程y＝(x－3)代入C的方程，得＋＝1，即x2－3x－8＝0.
∴x1＝，x2＝.
∴线段AB的长度为
|AB|＝＝＝＝.
例18[2011·湖南卷] 已知平面内一动点P到点F(1,0)的距离与点P到y轴的距离的差等于1.
(1)求动点P的轨迹C的方程；
(2)过点F作两条斜率存在且互相垂直的直线l1，l2，设l1与轨迹C相交于点A，B，l2与轨迹C相交于点D，E，求·的最小值．
【解答】 设动点P的坐标为(x，y)，由题意有－|x|＝1.
化简得y2＝2x＋2|x|.
当x≥0时，y2＝4x；当x<0时，y＝0.
所以，动点P的轨迹C的方程为y2＝4x (x≥0)和y＝0(x<0)．
(2)由题意知，直线l1的斜率存在且不为0，设为k，
则l1的方程为y＝k(x－1)．
由得
k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1，x2是上述方程的两个实根，于是x1＋x2＝2＋，x1x2＝1.
因为l1⊥l2，所以l2的斜率为－.
设D(x3，y3)，E(x4，y4)，则同理可得
x3＋x4＝2＋4k2，x3x4＝1.
故·＝(＋)·(＋)
＝·＋·＋·＋·
＝||·||＋||·||
＝(x1＋1)(x2＋1)＋(x3＋1)(x4＋1)
＝x1x2＋(x1＋x2)＋1＋x3x4＋(x3＋x4)＋1
＝1＋＋1＋1＋(2＋4k2)＋1
＝8＋4≥8＋4×2＝16.
当且仅当k2＝，即k＝±1时，·取最小值16.
例19[2011·天津卷] 在平面直角坐标系xOy中，点P(a，b)(a>b>0)为动点，F1，F2分别为椭圆＋＝1的左、右焦点．已知△F1PF2为等腰三角形．
(1)求椭圆的离心率e；
(2)设直线PF2与椭圆相交于A，B两点，M是直线PF2上的点，满足·＝－2，求点M的轨迹方程．
【解答】 (1)设F1(－c,0)，F2(c,0)(c>0)．由题意，可得|PF2|＝|F1F2|，
即＝2c.整理得22＋－1＝0.
得＝－1(舍)，或＝.所以e＝.
(2)由(1)知a＝2c，b＝c.可得椭圆方程为3x2＋4y2＝12c2，直线PF2方程为y＝(x－c)．
A，B两点的坐标满足方程组
消去y并整理，得5x2－8cx＝0.解得x1＝0，x2＝c，
得方程组的解
不妨设A，B(0，－c)．
设点M的坐标为(x，y)，则＝，＝.
由y＝(x－c)，得c＝x－y.
于是＝，＝(x，x)．由·＝－2，
即·x＋·x＝－2，
化简得18x2－16xy－15＝0.
将y＝代入c＝x－y，得c＝>0.所以x>0.
因此，点M的轨迹方程是18x2－16xy－15＝0(x>0)．
【解题技巧点睛】求曲线轨迹方程是高考的常考题型.考查轨迹方程的求法以及利用曲线的轨迹方程研究曲线几何性质,一般用直接法、定义法、相关点代入法等求曲线的轨迹方程.轨迹问题的考查往往与函数、方程、向量、平面几何等知识相融合,着重考查分析问题、解决问题的能力,对逻辑思维能力、运算能力有较高的要求. 如果题目中有明显的等量关系,或者能够利用平面几何推出等量关系,可用直接法;如果能够确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义,则可用定义法;如果轨迹的动点P依赖另一动点Q,而Q又在某已知曲线上,则可通过列方程组用代入法求出轨迹方程;另外当动点的关系不易找到,而动点又依赖于某个参数,则可利用参数法求轨迹方程,常用的参数有变角、变斜率等.
考点八 圆锥曲线的综合问题
例20[2011·山东卷] 设M(x0，y0)为抛物线C：x2＝8y上一点，F为抛物线C的焦点，以F为圆心、|FM|为半径的圆和抛物线C的准线相交，则y0的取值范围是(　　)
A．(0,2) B．[0,2] C．(2，＋∞) D．[2，＋∞)
【答案】C
【解析】 根据x2＝8y，所以F(0,2)，准线y＝－2，所以F到准线的距离为4，当以F为圆心、以|FM|为半径的圆与准线相切时，|MF|＝4，即M到准线的距离为4，此时y0＝2，所以显然当以F为圆心，以为半径的圆和抛物线C的准线相交时，y0∈(2，＋∞)．
例20[2011·湖南卷] 如图1－9，椭圆C1：＋＝1(a>b>0)的离心率为，x轴被曲线C2：y＝x2－b截得的线段长等于C1的长半轴长．
(1)求C1，C2的方程；
(2)设C2与y轴的交点为M，过坐标原点O的直线l与C2相交于点A，B，直线MA，MB分别与C1相交于点D，E.
①证明：MD⊥ME；
②记△MAB，△MDE的面积分别为S1，S2.问：是否存在直线l，使得＝？请说明理由．
【解答】 (1)由题意知，e＝＝，从而a＝2b.又2＝a，解得a＝2，b＝1.
故C1，C2的方程分别为＋y2＝1，y＝x2－1.
(2)①由题意知，直线l的斜率存在，设为k，则直线l的方程为y＝kx.
由得x2－kx－1＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1，x2是上述方程的两个实根，
于是x1＋x2＝k，x1x2＝－1.
又点M的坐标为(0，－1)，所以
kMA·kMB＝·＝
＝
＝＝－1.
故MA⊥MB，即MD⊥ME.
②设直线MA的斜率为k1，则直线MA的方程为
y＝k1x－1，由解得
或
则点A的坐标为(k1，k－1)．
又直线MB的斜率为－，同理可得点B的坐标为.
于是S1＝|MA|·|MB|＝·|k1|··＝.
由得(1＋4k)x2－8k1x＝0.
解得或
则点D的坐标为.
又直线ME的斜率为－，同理可得点E的坐标为.
于是S2＝|MD|·|ME|＝.
因此＝.
由题意知，＝，
解得k＝4，或k＝.
又由点A，B的坐标可知，k＝＝k1－，
所以k＝±.
故满足条件的直线l存在，且有两条，其方程分别为y＝x和y＝－x.
例21[2011·山东卷] 已知动直线l与椭圆C：＋＝1交于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两不同点，且△OPQ的面积S△OPQ＝，其中O为坐标原点．
(1)证明：x＋x和y＋y均为定值；
(2)设线段PQ的中点为M，求|OM|·|PQ|的最大值；
(3)椭圆C上是否存在三点D，E，G，使得S△ODE＝S△ODG＝S△OEG＝？若存在，判断△DEG的形状；若不存在，请说明理由．
【解答】 (1)(ⅰ)当直线l的斜率不存在时，P，Q两点关于x轴对称，
所以x2＝x1，y2＝－y1，
因为P(x1，y1)在椭圆上，
所以＋＝1.①
又因为S△OPQ＝，
所以|x1|·|y1|＝，②
由①、②得|x1|＝，|y1|＝1，
此时x＋x＝3，y＋y＝2.
(ⅱ)当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx＋m，
由题意知m≠0，将其代入＋＝1得
(2＋3k2)x2＋6kmx＋3(m2－2)＝0，
其中Δ＝36k2m2－12(2＋3k2)(m2－2)>0，
即3k2＋2>m2，(★)
又x1＋x2＝－，x1x2＝，
所以|PQ|＝·
＝·.
因为点O到直线l的距离为d＝，
所以S△OPQ＝|PQ|·d
＝··
＝.
又S△OPQ＝，
整理得3k2＋2＝2m2，且符合(★)式．
此时x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2＝
2－2×＝3，
y＋y＝(3－x)＋(3－x)＝4－(x＋x)＝2.
综上所述，x＋x＝3，y＋y＝2，结论成立．
(2)解法一：①当直线l的斜率不存在时，
由(1)知|OM|＝|x1|＝，|PQ|＝2|y1|＝2，
因此|OM|·|PQ|＝×2＝.
②当直线l的斜率存在时，由ⅰ知：
＝－，
＝k＋m＝－＋m＝＝，
|OM|2＝2＋2＝＋＝＝.
|PQ|2＝(1＋k2)＝＝2.
所以|OM|2·|PQ|2＝××2×
＝≤2＝.
所以|OM|·|PQ|≤，当且仅当3－＝2＋，即m＝±时，等号成立．
综合①②得|OM|·|PQ|的最大值为.
解法二：
因为4|OM|2＋|PQ|2＝(x1＋x2)2＋(y1＋y2)2＋(x2－x1)2＋(y2－y1)2＝2[(x＋x)＋(y＋y)]＝10.
所以2|OM|·|PQ|≤＝＝ 5.
即|OM|·|PQ|≤，当且仅当2|OM|＝|PQ|＝时等号成立．
因此|OM|·|PQ|的最大值为.
(3)椭圆C上不存在三点D，E，G，使得S△ODE＝S△ODG＝S△OEG＝.
证明：假设存在D(u，v)，E(x1，y1)，G(x2，y2)满足S△ODE＝S△ODG＝S△OEG＝.
由(1)得u2＋x＝3，u2＋x＝3，x＋x＝3，v2＋y＝2，v2＋y＝2，y＋y＝2.
解得u2＝x＝x＝；v2＝y＝y＝1.
因此u，x1，x2只能从±中选取，v，y1，y2只能从±1中选取．
因此D、E、G只能在这四点中选取三个不同点，
而这三点的两两连线中必有一条过原点，
与S△ODE＝S△ODG＝S△OEG＝矛盾，
所以椭圆C上不存在满足条件的三点D、E、G.
例22【2011新课标全国】在平面直角坐标系中，已知点，点在直线上，点满足，··，点的轨迹为曲线．
(Ⅰ) 求的方程；
(Ⅱ) 为上的动点，为在点处的切线，求点到距离的最小值．
【解题技巧点睛】
1.定点、定值问题必然是在变化中所表现出来的不变的量，那么就可以用变化的量表示问题的直线方程、数量积、比例关系等，这些直线方程、数量积、比例关系不受变化的量所影响的一个点、一个值，就是要求的定点、定值．化解这类问题难点的关键就是引进变的参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量．
2.解决圆锥曲线中最值、范围问题的基本思想是建立目标函数和建立不等关系，根据目标函数和不等式求最值、范围，因此这类问题的难点，就是如何建立目标函数和不等关系．建立目标函数或不等关系的关键是选用一个合适变量，其原则是这个变量能够表达要解决的问题，这个变量可以是直线的斜率、直线的截距、点的坐标等，要根据问题的实际情况灵活处理．
针对训练
一．选择题
1. （2012届微山一中高三10月考试题）
过点，且在y轴上的截距是在x轴上的截距的2倍的直线方程是 （ ）
A． B．或
C． D．或
【答案】B
【解析】考查直线方程的截距式以及截距是0的易漏点,当直线过原点时方程为,不过原点时,可设出其截距式为再由过点即可解出.
2.【2012年上海市普通高等学校春季招生考试】
已知函数则（ ）
（A）与顶点相同 （B）与长轴长相同
（C）与短轴长相同 （D）与焦距相同
【答案】D
【解析】
综上可知两个曲线的焦距相等。
3.【河北省唐山市2012届高三上学期摸底考试数学】
已知点为圆上一点，且点到直线距离的最小值为，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由点到直线的距离公式求得圆心到直线的距离，所以，解得
4.【湖北省孝感市2011—2012学年度高中三年级第一次统一考试】
已知抛物线y2=8x的焦点与双曲线的一个焦点重合，则该双曲线的离心率为
A. B. C. D.3
【答案】B
【解析】由题意可知抛物线的焦点为双曲线的一个焦点为右焦点且为，因两点重合故有即且则双曲线的离心率为
5.【河北省唐山市2012届高三上学期摸底考试数学】
已知双曲线的渐近线为，焦点坐标为（-4，0），（4，0），则双曲线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意可设双曲线方程为，利用已知条件可得：
双曲线方程为故选A.
6．【2012届景德镇市高三第一次质检】已知点、为双曲线 的左、右焦点，为右支上一点，点到右准线的距离为，若、、依次成等差数列，则此双曲线的离心率的取值范围是
A．， B．， C．， D．，
【答案】C
【解析】由得
， 而，
所以，
7.【2012北京海淀区高三年级第一学期期末试题】
点到图形上每一个点的距离的最小值称为点到图形的距离，那么平面内到定圆的距离与到定点的距离相等的点的轨迹不可能是 （ ）
（A）圆 （B）椭圆
（C）双曲线的一支 （D）直线
【答案】D
【解析】 如图，A点为定圆的圆心，动点M为定圆半径AP的中点，
故AM=MP，此时M的轨迹为以A圆心,半径为AM的圆。
如图，以F1为定圆的圆心，F1P为其半径，在F1P截得
|MP|=|MA|，
由椭圆的定义可知，M的轨迹是以F1、A为焦点，
以为焦距，以为长轴的椭圆。
如图，以F1为定圆的圆心，F1P为其半径，
过P点延长使得|MP|=|MA|，则有
由双曲线的定义可知，M的轨迹是以F1、A为
焦点的双曲线的右支。
若M落在以A为端点在x轴上的射线上，也满足条件
，此时轨迹为一条射线，不是直线。故答案为D。
8.【2012年长春市高中毕业班第一次调研测试】
设、分别为具有公共焦点、的椭圆和双曲线的离心率，是两曲线的一个公共点，且满足,则的值为
A. B.2 C. D.1
【答案】A
【解析】设，不妨设.由知，∠,则,∴，，
∴，∴.
二．填空题
9.【惠州市2012届高三第二次调研考试】若直线与圆有两个不同的公共点，则实数的取值范围为 ．
【解析】圆心到直线的距离.
10.【2012北京海淀区高三年级第一学期期末试题】
抛物线过点，则点到此抛物线的焦点的距离为 .
【答案】
【解析】由已知可得：由抛物线的定义可知A点到焦点距离为A到准线的距离：
11.【河北省唐山市2012届高三上学期期末考试数学】
椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作轴的垂线与椭圆的一个
交点为P，若，则椭圆的离心率 。
【答案】
【解析】根据题意可知，的直角边为椭圆通经的一半又代入整理得：
20．
12.【浙江省2012年高三调研理科数学测试卷】
若点P在曲线C1：上，点Q在曲线C2：(x－5)2＋y2＝1上，点R在
曲线C3：(x＋5)2＋y2＝1上，则 | PQ |－| PR | 的最大值是 ．
【答案】10
【解析】如图所示，
点在双曲线上， | PQ |－| PR | 的最大值是10.
13.【河北省唐山市2012届高三上学期摸底考试数学】
已知椭圆与双曲线有相同的焦点、，点是与的一个公共点，是一个以为底的等腰三角形，，的离心率为，则的离心率为
【答案】3
【解析】因为是一个以为底的等腰三角形，，的离心率为，所以，所以中的，所以的离心率.
14.【2012届无锡一中高三第一学期期初试卷】如图所示，直线与双曲线
的渐近线交于,两点，记，任取双曲线上的点P，
若，则实数和满足的一个等式是_____________．
【答案】
【解析】该题综合考查直线与圆锥曲线的位置关系,向量线性表示及坐标运算.可求出,设,则
三．解答题
15.【浙江省2012年高三调研理科数学测试卷】
如图，椭圆C: x2＋3y2＝3b2 (b＞0).
(Ⅰ) 求椭圆C的离心率；
(Ⅱ) 若b＝1，A，B是椭圆C上两点，且 | AB | ＝，求△AOB面积的最大值.
解析：(Ⅰ)：由x2＋3y2＝3b2 得 ，
所以e＝＝＝＝． …………5分
(Ⅱ)解：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，△ABO的面积为S．
如果AB⊥x轴，由对称性不妨记A的坐标为(，)，此时S＝＝；
如果AB不垂直于x轴，设直线AB的方程为y＝kx＋m，
由 得x2＋3(kx＋m) 2＝3，
即 (1＋3k2)x2＋6kmx＋3m2－3＝0，又Δ＝36k2m2－4(1＋3k2) (3m2－3)＞0，
所以 x1＋x2＝－，x1 x2＝，
(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4 x1 x2＝， ①
由 | AB |＝及 | AB |＝得
(x1－x2)2＝， ②
结合①，②得m2＝(1＋3k2)－．又原点O到直线AB的距离为，
所以S＝，
因此 S2＝＝[－]＝[－(－2)2＋１]
＝－(－2)2＋≤，
故S≤．当且仅当＝2，即k＝±1时上式取等号．又＞，故S max＝．
16.【惠州市2012届高三第二次调研考试】已知点是圆上任意一点，点与点关于原点对称。线段的中垂线分别与交于两点．
（1）求点的轨迹的方程；
（2）斜率为的直线与曲线交于两点,若（为坐标原点），试求直线在轴上截距的取值范围．
解：（1）由题意得，圆的半径为，且 ……… 1分
从而 ………… 3分
∴ 点M的轨迹是以为焦点的椭圆, ………… 5分
其中长轴,得到,焦距，
则短半轴
椭圆方程为: ………… 6分
（2）设直线l的方程为,由
可得
则,即 ① ………… 8分
设,则
由可得,即 …………10分
整理可得 …………12分
即
化简可得,代入①整理可得,
故直线在y轴上截距的取值范围是． …………14分
17.【河北省唐山市2012届高三上学期摸底考试数学】
已知抛物线的焦点为F，过点F作直线与抛物线交于A，B两点，抛物线的准线与轴交于点C。
（1）证明：；
（2）求的最大值，并求取得最大值时线段AB的长。
解：（Ⅰ）由题设知，F(，0)，C(－，0)，
设A(x 1，y1)，B(x2，y2)，直线l方程为x＝my＋，
代入抛物线方程y2＝2px，得y2－2pmy－p2＝0．
y1＋y2＝2pm，y1y2＝－p2． …4分
不妨设y1＞0，y2＜0，则
tan∠ACF＝＝＝＝＝，
tan∠BCF＝－＝－，
∴tan∠ACF＝tan∠BCF，所以∠ACF＝∠BCF． …8分
（Ⅱ）如（Ⅰ）所设y1＞0，tan∠ACF＝≤＝1，当且仅当y1＝p时取等号，
此时∠ACF取最大值，∠ACB＝2∠ACF取最大值，
并且A(，p)，B(，－p)，|AB|＝2p． …12分
18.【2012年长春市高中毕业班第一次调研测试】
已知点，，动点的轨迹曲线满足，，过点的直线交曲线于、两点.
(1)求的值，并写出曲线的方程；
(2)求△面积的最大值.
解：(1)设，在△中，，，根据余弦定理得. （2分）
即.
.
而，所以.
所以.　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （4分）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
又，
因此点的轨迹是以、为焦点的椭圆（点在轴上也符合题意），
，.
所以曲线的方程为. 　 （6分）
(2)设直线的方程为.
由，消去x并整理得. ①
显然方程①的,设,,则
由韦达定理得，. （9分）
所以.
令，则，.
由于函数在上是增函数.
所以，当，即时取等号.
所以，即的最大值为3.
所以△面积的最大值为3，此时直线的方程为. （12分）
19.【2012北京海淀区高三年级第一学期期末试题】
已知焦点在轴上的椭圆过点，且离心率为,为椭圆的左顶点.
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）已知过点的直线与椭圆交于，两点.
（ⅰ）若直线垂直于轴，求的大小;
（ⅱ）若直线与轴不垂直，是否存在直线使得为等腰三角形？如果存在，求出直线的方程；如果不存在，请说明理由.
解：（Ⅰ）设椭圆的标准方程为，且.
由题意可知：，. ………………………………………2分
所以.
所以，椭圆的标准方程为. ……………………………………3分
（Ⅱ）由（Ⅰ）得.设.
（ⅰ）当直线垂直于轴时，直线的方程为.
由 解得：或
即（不妨设点在轴上方）.
………………………………………5分
则直线的斜率，直线的斜率.
因为 ，
所以 .
所以 . ………………………………………6分
（ⅱ）当直线与轴不垂直时，由题意可设直线的方程为.
由消去得：.
因为 点在椭圆的内部，显然.
………………………………………8分
因为 ，，，
所以
.
所以 .
所以 为直角三角形. ………………………………………11分
所以 点的纵坐标.
所以
.
所以 与不垂直，矛盾.
所以 当直线与轴不垂直时，不存在直线使得为等腰三角形.
………………………………………13分
20.【河北省唐山市2012届高三上学期摸底考试数学】
已知椭圆，经过点，离心率为，过点作倾斜角互补的两条直线分别与椭圆交于异于的另外两点、.
（I）求椭圆的方程；
（II）能否为直角？证明你的结论；
（III）证明：直线的斜率为定值，并求这个定值.
解析：（I）由题设，得 （1）
且 （2）
由（1）（2）解得，
椭圆的方程为……………………………………………………3分
（II）设直线的斜率为，则直线的斜率为，
假设为直角，则
若，则直线的方程为，
与椭圆方程联立，得，
该方程有两个相等的实数根，不合题意；
同理，若也不合题意.
故不能为直角.…………………………………………………………6分
（III）记、，
设直线的方程为，与椭圆方程联立，得
，
是方程的两根，则.
设直线的方程为，
同理得……………………………………………………9分
因，
故
因此直线的斜率为定值………………………………………………………12分
F1
A
P
M