选修4-2矩阵与变换二轮专题复习(2012)

矩阵与变换
高考要求：A级考点有：矩阵的概念与常见的平面变换；B级考点有：二阶矩阵与平面向量、变换的复合与矩阵的乘法、二阶逆逆矩阵、二阶矩阵的特征值与特征向量、二阶矩阵的简单应用．
典型例题：
例1．（1）（2012，江苏南京三中，月考）已知a，b是实数，如果矩阵M＝所对应的变换将直线x－y＝1变换成x＋2y＝1，求a，b的值．
设点是直线x－y＝1上的任意一点，在矩阵M的作用下变成点，
则，所以，因为点在直线x＋2y＝1上，
所以，所以，所以．
（2）（2012，江苏省南京市四校联考）设M＝，N＝，试求曲线y＝sinx在矩阵MN变换下的曲线方程．
解析：MN=,
设是曲线上的任意一点，在矩阵MN变换下对应的点为．
则，所以即
代入得：，即．
即曲线在矩阵MN变换下的曲线方程为．
例2．
.
例3．（1）（2012届南通市数学学科基地密卷(二)）已知矩阵，若矩阵A属于特征值1的一个特征向量为α1＝，属于特征值5的一个特征向量为α2=．求矩阵A，并写出A的逆矩阵．
解析：由矩阵A属于特征值1的一个特征向量为α1＝可得，＝，
即；
由矩阵A属于特征值5的一个特征向量为α2＝，可得＝5，
即，
解得即A＝，
A的逆矩阵是 ．
（2）（徐州市2011-2012学年度高三质量检测）若点A（２，２）在矩阵对应变换的作用下得到的点为B（－２，２），求矩阵M的逆矩阵．
解析：由题意知， ，即 ，
所以 解得所以．………………5分
由，解得. …………………………………10分
另解：矩阵的行列式，所以.
例4．（1）（2012，江苏常州一中期中）设矩阵，若矩阵的属于特征值1的一个特征向量为，属于特征值2的一个特征向量为，求实数的值．
解析：由题意得
化简得所以
（2）（2012届南通市数学学科基地密卷(一)）求矩阵M=的特征值及其对应的特征向量.
解析：矩阵M的特征多项式为=.
令得矩阵M的特征值为－1和3 .
当
所以矩阵M的属于特征值－1的一个特征向量为.
当
所以矩阵M的属于特征值3的一个特征向量为.
例5．（2011-2012惠安高级中学高三第三次月考)已知二阶矩阵．
（Ⅰ）求矩阵的逆矩阵；
（Ⅱ）设向量，求．
解析：（Ⅰ）；（Ⅱ）特征值 ，特征向量，
所以，所以．
高考题赏析：
2．
本小题主要考查矩阵与交换等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，满分7分．
高考模拟题赏析：
．
4．（南通市2011届高三第二次调研）已知二阶矩阵A，矩阵A属于特征值的一个特征向量为，属于特征值的一个特征向量为．求矩阵A．
解析：由特征值、特征向量定义可知，A，
即，得 ………………5分
同理可得 解得．因此矩阵A． …………10分
大显身手：
1．在平面直角坐标系xOy中，设椭圆4x2＋y2＝1在矩阵A＝对应的变换下得到曲线F，求曲线F的方程．
解析：设P(x0，y0)是椭圆上任意一点，点P在矩阵A对应的变换下变为点P′(x0′，
y0′)，
则＝，即，所以，
又因为点P在椭圆上，故4x＋y＝1，所以所求的曲线方程为x2＋y2＝1．
2．已知△ABC，A(－1，0)，B(3，0)，C(2，1)，对它先作关于x轴的反射变换，再将所得图形绕原点逆时针旋转90°．
（1）分别求两次变换所对应的矩阵M1，M2；
（2）求点C在两次连续的变换作用下所得到的点的坐标．
解析：（1）M1＝，M2＝；
（2）因为M＝M2 M1＝ ＝ ，所以M ＝ ＝ ．
故点C在两次连续的变换作用下所得到的点的坐标是(1，2)．
3．已知矩阵，它的两个特征值为求（1）的值；（2）属于的一个特征向量．
设，则
．
4．已知矩阵A＝，若矩阵A属于特征值6的一个特征向量为α1＝，属于特征值1的一个特征向量为α2＝．求矩阵A，并写出A的逆矩阵．
解析：由矩阵A属于特征值6的一个特征向量为α1＝可得， ＝6，
即c＋d＝6；
由矩阵A属于特征值1的一个特征向量为α2＝，可得 ＝，
即3c－2d＝－2，
解得即A＝，
A逆矩阵是eq \b\bc\[(\a\al\vs4( －, － ))．