第八节 函数与方程
授课提示：对应学生用书第32页
[基础梳理]
1．函数的零点
(1)函数零点的定义
对于函数y＝f(x)，把使f(x)＝0的实数x叫作函数y＝f(x)的零点．
(2)函数零点的判定(零点存在性定理)
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图像是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)＜0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．
2．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图像与零点的关系
Δ＞0
Δ＝0
Δ＜0
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)
与x轴的交点
(x1，0)，(x2，0)
(x1，0)
无交点
零点个数
2
1
0
1．两个注意点
(1)函数的零点不是点，是方程f(x)＝0的实根．
(2)函数零点的存在性定理只能判断函数在某个区间上的变号零点，而不能判断函数的不变号零点，而且连续函数在一个区间的端点处函数值异号是这个函数在这个区间上存在零点的充分不必要条件．
2．三个结论
(1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点．
(2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号．
(3)连续不断的函数图像在零点两侧时，函数值可能变号，也可能不变号．
3．三个等价关系
方程f(x)＝0有实数根?函数y＝f(x)的图像与x轴有交点?函数y＝f(x)有零点．
[四基自测]
1．(基础点：零点个数)函数f(x)＝lg
x＋x－6的零点个数为( )
A．0
B．1
C．2
D．3
答案：B
2．(基础点：零点区间判断)函数f(x)＝ex－1＋4x－4的零点所在区间为( )
A．(－1，0)
B．(0，1)
C．(1，2)
D．(2，3)
答案：B
3．(易错点：分段函数的零点)设函数f(x)＝，g(x)＝f(x)＋x－1的零点为________．
答案：0或1
4．(基础点：求零点)函数f(x)＝2sin
x－sin
2x在[0，π]内的零点为________．
答案：0或π
授课提示：对应学生用书第33页
考点一 确定函数零点所在区间
挖掘 估算零点区间/
自主练透
[例] (1)设f(x)＝ln
x＋x－4，则f(x)的零点所在区间为( )
A．(0，1)
B．(1，2)
C．(2，3)
D．(3，4)
[解析] f(2)＝ln
2－2＜0，f(3)＝ln
3－1＞0，
在(2，3)内．
[答案] C
(2)设函数f(x)＝x－ln
x，则函数y＝f(x)( )
A．在区间，(1，e)内均有零点
B．在区间，(1，e)内均无零点
C．在区间内有零点，在区间(1，e)内无零点
D．在区间内无零点，在区间(1，e)内有零点
[解析] 令f(x)＝0得x＝ln
x．作出函数y＝x和y＝ln
x的图像，如图，
显然y＝f(x)在内无零点，在(1，e)内有零点．
[答案] D
[破题技法] 确定函数零点所在区间的方法
(1)解方程法：当对应方程f(x)＝0易解时，可先解方程，然后再看求得的根是否落在给定区间上．
(2)图像法：把方程转化为两个函数，看它的交点所在区间．
(3)利用函数零点的存在性定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图像是否连续，再看是否有f(a)·f(b)＜0.若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点．
(4)数形结合法：通过画函数图像，观察图像与x轴在给定区间上是否有交点来判断．
考点二 函数零点的个数
[例] (1)(2019·高考全国卷Ⅲ)函数f(x)＝2sin
x－sin
2x在[0，2π]的零点个数为( )
A．2
B．3
C．4
D．5
[解析] 令f(x)＝0，得2sin
x－sin
2x＝0，
即2sin
x－2sin
xcos
x＝0，
∴2sin
x(1－cos
x)＝0，∴sin
x＝0或cos
x＝1.
又x∈[0，2π]，
∴由sin
x＝0得x＝0，π或2π，由cos
x＝1得x＝0或2π.
故函数f(x)的零点为0，π，2π，共3个．
故选B.
[答案] B
(2)已知函数f(x)＝则函数y＝f[f(x)]＋1的零点的个数是( )
A．4
B．3
C．2
D．1
[解析] 由f[f(x)]＋1＝0得f[f(x)]＝－1，
由f(－2)＝f＝－1得f(x)＝－2或f(x)＝.
若f(x)＝－2，则x＝－3或x＝；
若f(x)＝，则x＝－或x＝.
综上可得函数y＝f[f(x)]＋1的零点的个数是4，故选A.
[答案] A
[破题技法] 函数零点个数的判断方法
方法
解读
适合题型
直接法
令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个不同的解就有几个零点
基本初等函数
图像法
画出函数f(x)的图像，函数f(x)的图像与x轴的交点个数即为函数f(x)的零点个数
分段函数、绝对值函数
转化法
将函数f(x)拆成两个常见函数h(x)和g(x)的差，从而f(x)＝0?h(x)－g(x)＝0?h(x)＝g(x)，则函数f(x)的零点个数即为函数y＝h(x)与函数y＝g(x)的图像的交点个数
复杂函数
已知函数f(x)＝－cos
x，则f(x)在[0，2π]上的零点个数为( )
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：(转化法)函数f(x)＝－cos
x＝0的零点个数为＝cos
x的根的个数，即函数h(x)＝与g(x)＝cos
x的图像的交点个数．如图所示，在区间[0，2π]上交点个数为3，故选C.
答案：C
考点三 函数零点的应用
挖掘1 已知函数零点或方程根的个数求参数/
互动探究
[例1] (1)已知函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－a有3个零点，则实数a的取值范围是( )
A.
B.
C．(－e2，－1)
D．(－∞，－1)
[解析] x＜0时，f(x)＝－(x＋1)ex，f′(x)＝－(2＋x)ex，由f′(x)＞0，得x＜－2，由f′(x)＜0，得x＞－2，
∴f(x)在(－∞，－2)上递增，在(－2，0)上递减，故f(x)max＝f(－2)＝，且x＜－1时，f(x)＞0，画出y＝f(x)的图像如图，由图知当0＜a＜时，y＝f(x)与y＝a的图像有三个交点，即g(x)有三个零点，所以实数a的取值范围是，故选A.
[答案] A
(2)(2017·高考全国卷Ⅲ)已知函数f(x)＝x2－2x＋a(ex－1＋e－x＋1)有唯一零点，则a＝( )
A．－
B.
C.
D．1
[解析] 由f(x)＝x2－2x＋a(ex－1＋e－x＋1)，得f(2－x)＝(2－x)2－2(2－x)＋a[e2－x－1＋e－(2－x)＋1]＝x2－4x＋4－4＋2x＋a(e1－x＋ex－1)＝x2－2x＋a(ex－1＋e－x＋1)，所以f(2－x)＝f(x)，即x＝1为f(x)图像的对称轴．由题意，f(x)有唯一零点，所以f(x)的零点只能为x＝1，即f(1)＝12－2×1＋a(e1－1＋e－1＋1)＝0，解得a＝.故选C.
[答案] C
[破题技法] 解决已知函数零点的存在情况求参数的取值范围问题时，应该根据零点的存在情况，利用函数零点的存在性定理、二次函数的判别式等得到关于参数的不等式(组)，然后求解即可．破解此类题的关键点：
(1)转化，把已知函数零点的存在情况转化为方程的解或两函数图像的交点的情况；
(2)列式，根据零点存在性定理或结合函数图像列式；
(3)下结论，求出参数的取值范围或根据图像得出参数的取值范围．
挖掘2 已知函数在某区间上有零点求参数/
互动探究
[例2] (1)(2020·安庆模拟)函数f(x)＝x2－ax＋1在区间上有零点，则实数a的取值范围是( )
A．(2，＋∞)
B．[2，＋∞)
C.
D．
[解析] 由x2－ax＋1＝0得a＝x＋，其中x∈.
∵函数y＝x＋在上为减函数，在(1，3)为增函数，∴ymin＝2，ymax＝.∴a∈.
[答案] D
(2)已知函数f(x)＝2ln
x，g(x)＝mx＋1，若f(x)与g(x)的图像上存在关于直线y＝1对称的点，则实数m的取值范围是________．
[解析] 由题意知f(x)与g(x)的图像上存在关于直线y＝1对称的点，若g(x)＝mx＋1的图像关于直线y＝1对称的图像的解析式为y＝－mx＋1，则直线y＝－mx＋1与y＝2ln
x的图像在上有交点，直线y＝－mx＋1过定点(0，1)，当直线y＝－mx＋1经过点时，得m＝3e，若直线y＝－mx＋1与y＝2ln
x的图像相切，设切点为(x1，y1)，则
解得
∴－≤m≤3e时，直线y＝－mx＋1与y＝2ln
x的图像在上有交点，即f(x)与g(x)的图像上存在关于直线y＝1对称的点，
故实数m的取值范围是[－2e，3e]．
[答案] [－2e，3e]
[破题技法] 已知根或零点的区间求参数，要根据区间建立不等关系，其关键点为：
(1)构造方程或函数(反解参数)；
(2)利用零点区间，求解函数的值域或不等式；
(3)确定参数范围．
挖掘3 函数零点实际意义/
互动探究
[例3] 如图①是某条公共汽车线路收支差额y与乘客量x的图像．
(1)试说明图①上点A、B的实际意义；
(2)由于目前本条线路亏损，根据图②提出扭亏为赢的建议．
[解析] (1)A是当x＝0(无乘客)亏损1个单位．
B是当x＝1.5时，y＝0收支持平(为函数的零点)．
(2)由图②知，函数图像向上平移；
函数零点变小，收支持平时，乘客数变小，
其建议可以是票价不变，降低运行成本，
如换新能源车，延长每趟车次发车的时间差等．
[破题技法] 函数的零点即函数图像与x轴交点的横坐标，此时函数值为0，代表一种平衡状态，以此为界，可研究赢亏问题．
PAGE第二节 函数的单调性与最值
授课提示：对应学生用书第13页
[基础梳理]
1．增函数、减函数
一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2.
(1)增函数：当x1＜x2时，都有f(x1)
(2)减函数：当x1＜x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数．
(增函数) (减函数)
2．单调性、单调区间的定义
若函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫作函数y＝f(x)的单调区间．
3．函数的最值
前提
设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足
条件
(1)对于任意x∈I，都有f(x)≤M(2)存在x∈I，使得f(x)＝M
(1)对于任意x∈I，都有f(x)≥M(2)存在x∈I，使得f(x)＝M
结论
M为最大值
M为最小值
1．两个防范
(1)单调区间只能用区间表示，不能用不等式表示．
(2)有多个单调区间应分别写，不能用符号“∪”联结，也不能用“或”联结，只能用“逗号”或“和”联结．
2．单调性的两种等价形式
(1)设任意x1，x2∈[a，b]且x1＜x2，那么＞0?f(x)在[a，b]上是增函数；＜0?f(x)在[a，b]上是减函数．
(2)(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0?f(x)在[a，b]上是增函数；(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＜0?f(x)在[a，b]上是减函数．
3．函数最值存在的两条结论
(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值．当函数在闭区间上单调时最值一定在端点取到．
(2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大(小)值．
(3)f(x)的最大值记为f(x)max，f(x)最小值记为f(x)min.
[四基自测]
1．(基础点：一次函数的单调性)函数y＝(2m－1)x＋b在R上是减函数，则( )
A．m＞
B．m＜
C．m＞－
D．m＜－
答案：B
2．(易错点：单调区间)函数y＝的单调区间为( )
A．(－∞，1)∪(1，＋∞)
B．(－∞，1)
C．(1，＋∞)
D．(－∞，1)和(1，＋∞)
答案：D
3．(基础点：函数的最值)函数f(x)＝在[2，6]上的最大值和最小值分别是________．
答案：4，
4．(易错点：单调性)设f(x)为奇函数，当x≥0时，f(x)＝ex－1，则f(x)的单调性为________．
答案：在R上单调递增
授课提示：对应学生用书第14页
考点一 判断函数的单调性、求单调区间
挖掘1 无参数的函数的单调性/
互动探究
[例1] (1)函数f(x)＝ln
x－x的递增区间为________．
(2)函数f(x)＝lg
x2的单调递减区间是__________．
[解析] (1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，
又f′(x)＝－1＝＞0，∴0＜x＜1.
(2)法一：设t＝x2，∴y＝lg
t.
当x＞0时，t＝x2在(0，＋∞)上为增，y＝lg
t为增，
∴f(x)＝lg
x2在(0，＋∞)上为增；
当x<0时，t＝x2在(－∞，0)上为减，y＝lg
t为增．
∴f(x)＝lg
x2在(－∞，0)上为减．
法二：f(x)＝lg
x2为偶函数．
当x＞0时，f(x)＝2lg
x，在(0，＋∞)为增，
∴当x＜0时，f(x)为减函数．
[答案] (1)(0，1) (2)(－∞，0)
将本例(1)改为函数f(x)＝ln
x＋x，其递增区间为__________．
解析：法一：定义域为(0，＋∞)，
由f(x)＝ln
x＋x，得f′(x)＝＋1>0恒成立，∴f(x)在(0，＋∞)上为增函数，增区间为(0，＋∞)．
法二：设y1＝ln
x，y2＝x，在定义域(0，＋∞)上都为增函数，∴f(x)＝y1＋y2在(0，＋∞)上为增函数．
答案：(0，＋∞)
挖掘2 含参数的函数的单调性/
互动探究
[例2] 已知函数f(x)＝(a≠0)讨论f(x)的单调性．
[解析] 由f(x)＝＝
＝a＋.
定义域为{x|x≠1}，设x1＜x2，
f(x1)－f(x2)＝a＋－[a＋]＝.
若a＞0，当x1＜x2＜1时，x1－1＜0，x2－1＜0，x2－x1＞0，f(x1)－f(x2)＞0.
当1＜x1＜x2时，x1－1＞0，x2－1＞0，x2－x1＞0，
∴f(x1)－f(x2)＞0，
∴f(x)在(－∞，1)，(1，＋∞)上为减函数．
若a＜0时，当x1＜x2＜1时，f(x1)－f(x2)＜0，
当1＜x1＜x2时，f(x1)－f(x2)＜0
f(x)在(－∞，1)，(1，＋∞)上为增函数．
[破题技法] 1.研究函数的单调性，求单调区间，必须先求定义域，单调区间是定义域的子集．
2．对于单调区间间断的，不能用“∪”连接起来．
3．函数单调性的判断方法
方法
解读
适合题型指引
定义法
具体的方法步骤为：取值、作差、变形、定号、下结论
适用于所有函数，特别是抽象函数
复合法
“同增异减”
形如y＝f(g(x))的复合函数
导数法
解不等式f′(x)>0，函数f(x)在此不等式对应的区间上为增函数；函数f(x)在不等式f′(x)<0对应的区间上为减函数
适用于可求导的函数
图像法
在定义域内作出相应的图像，根据图形中的单调性写出相应的单调区间
适用于初等函数，易于作出图像的函数
性质法
运用函数单调性的有关结论直接判断函数的单调性
适合初等函数简单运算后得到的函数
若y＝f(x)在R上为增，探究y＝af(x)在R上(a≠0)的单调性．
解析：设x1＜x2，∵y＝f(x)在R上为增，
∴f(x1)－f(x2)＜0.
af(x1)－af(x2)＝a(f(x1)－f(x2))，
当a＞0时，af(x1)＜af(x2)，y＝af(x)在R上为增．
当a＜0时，af(x1)＞af(x2)，y＝af(x)在R上为减．
考点二 函数单调性的应用
挖掘1 比较大小/
互动探究
[例1] (2019·高考全国卷Ⅲ)设f(x)是定义域为R的偶函数，且在(0，＋∞)单调递减，则( )
A．f>f(2)>f(2)
B．f>f(2)>f(2)
C．f(2－)>f(2)>f
D．f(2－)>f(2)>f
[解析] 因为f(x)是定义域为R的偶函数，
所以f＝f(－log34)＝f(log34)．
又因为log34＞1＞2＞2＞0，且函数f(x)在(0，＋∞)单调递减，所以f(log34)＜f(2)＜f(2)．
故选C.
[答案] C
[破题技法] 比较f(a)与f(b)的大小，其关键点：
(1)确定函数y＝f(y)在区间上的单调性；
(2)将a与b转化到该单调区间；
(3)确定a与b的大小；
(4)利用单调性，比较f(a)与f(b)的大小．
函数y＝f(x)在[0，2]上单调递增，且函数f(x＋2)是偶函数，则下列结论成立的是( )
A．f(1)＜f()＜f()
B．f()＜f(1)＜f()
C．f()＜f()＜f(1)
D．f()＜f(1)＜f()
解析：∵函数y＝f(x)在[0，2]上单调递增，且函数f(x＋2)是偶函数，
∴函数y＝f(x)在[2，4]上单调递增，且在[0，4]上函数y＝f(x)满足f(2－x)＝f(2＋x)，∴f(1)＝f(3)，f()＜f(3)＜f()，
即f()＜f(1)＜f()．故选B.
答案：B
挖掘2 利用单调性解不等式/
互动探究
[例2] (2020·石家庄一模)设f(x)是定义在[－2b，3＋b]上的偶函数，且在[－2b，0]上为增函数，则f(x－1)≥f(3)的解集为( )
A．[－3，3]
B．[－2，4]
C．[－1，5]
D．[0，6]
[解析] 因为f(x)是定义在[－2b，3＋b]上的偶函数，
所以有－2b＋3＋b＝0，解得b＝3，
由函数f(x)在[－6，0]上为增函数，得f(x)在(0，6]上为减函数，故f(x－1)≥f(3)?f(|x－1|)≥f(3)?|x－1|≤3，故－2≤x≤4.选B.
[答案] B
[破题技法] 利用单调性解不等式
根据单调性求解形如F(f(x))>F(g(x))型的不等式其实质就是利用单调性脱去“F”符号，其关键点为：
(1)判断，判断f(x)、g(x)是否在F(x)的同一个单调区间内；
(2)脱“F”，利用单调性脱去“F”：若F(x)为增，则得到f(x)>g(x)，若F(x)为减，则得到f(x)(3)解“x”，解不等式f(x)>g(x)，(f(x)(4)结论，解得的x与定义域求交集．
挖掘3 利用单调性求最值或值域/
互动探究
[例3] (2020·上饶一模)函数f(x)＝－x＋在上的最大值是( )
A.
B．－
C．－2
D．2
[解析] 法一：易知y＝－x，y＝在上单调递减，∴函数f(x)在上单调递减，
∴f(x)max＝f(－2)＝.故选A.
法二：∵f(x)＝－x＋.
∴f′(x)＝－1－＝－＜0.
∴f(x)在上为减函数．
f(x)max＝f(－2)＝.
[答案] A
[破题技法] 利用函数的单调性
(1)单调函数的图像是一直上升或一直下降的，因此若单调函数在端点处有定义，则该函数在端点处取最值，即
若y＝f(x)在[a，b]上单调递增，则y最小＝f(a)，y最大＝f(b)；
若y＝f(x)在[a，b]上单调递减，则y最小＝f(b)，y最大＝f(a)．
(2)形如y＝ax＋b＋的函数，若ad＞0，则用单调性求值域；若ad＜0，则用换元法．
(3)形如y＝x＋(k＞0)的函数，若不能用基本不等式，则可考虑用函数的单调性，当x＞0时，函数y＝x＋(k＞0)的单调减区间为(0，)，单调增区间为(，＋∞)．一般地，把函数y＝x＋(k＞0，x＞0)叫作对勾函数，其图像的转折点为(，2)，至于x＜0的情况，可根据函数的奇偶性解决．
挖掘4 利用单调性求参数/
互动探究
[例4] 设函数f(x)＝ex＋ae－x(a为常数)是R上的增函数，则a的取值范围是________．
[解析] 当a＝0时，显然成立，
当a≠0，∵y1＝ex是R上的增函数，
y＝在R上是减函数，
要y＝是R上的增函数，∴a＜0，
此时y＝ex＋为增函数，故a≤0.
[答案] (－∞，0]
[破题技法] 利用单调性求参数的范围(或值)的方法
(1)视参数为已知数，依据函数的图像或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数；
(2)需注意若函数在区间[a，b]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的．
已知函数f(x)＝x2＋(x≠0，a∈R)，若f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数，则实数a的取值范围为( )
A．(－∞，16]
B．(－∞，4]
C．[4，＋∞)
D．[16，＋∞)
解析：对函数求导可得f′(x)＝2x－ax－2，
因为函数f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数，
所以f′(x)＝2x－ax－2≥0在[2，＋∞)上恒成立，即a≤2x3在[2，＋∞)上恒成立．令g(x)＝2x3，则函数g(x)在[2，＋∞)上是增函数，所以函数g(x)在[2，＋∞)上的最小值为g(2)＝16，所以a≤16.故选A.
答案：A
考点三 抽象函数的单调性
[例] 已知定义在R上的函数f(x)满足：
①f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋1，②当x＞0时，f(x)＞－1.
(1)求f(0)的值，并证明f(x)在R上是单调增函数．
(2)若f(1)＝1，解关于x的不等式f(x2＋2x)＋f(1－x)＞5.
[解析] (1)令x＝y＝0得f(0)＝－1.在R上任取x1＞x2，则x1－x2＞0，f(x1－x2)＞－1.
又f(x1)＝f((x1－x2)＋x2)＝f(x1－x2)＋f(x2)＋1＞f(x2)，所以，函数f(x)在R上是单调增函数．
(2)由f(1)＝1，得f(2)＝3，f(3)＝5.
由f(x2＋2x)＋f(1－x)＞5得f(x2＋x＋1)＞f(3)，
又函数f(x)在R上是增函数，
故x2＋x＋1＞3，解得x＜－2或x＞1，故原不等式的解集为{x|x＜－2或x＞1}．
[破题技法] 1.“f”只是体现了“y”与“x”间的一种对应法则．这个法则可表现为公式、图像、表格或不具体的其它形式，但它是必然存在的．
2．对于抽象函数单调性的判定(证明)，必须是根据单调性定义设元、作差、变形、判号、定论这五个步骤进行．体现的是逻辑推理的学科素养．
设函数y＝f(x)是定义在(0，＋∞)上的减函数，并且满足f(xy)＝f(x)＋f(y)，f＝1.
(1)求f(1)的值；
(2)若存在实数m，使得f(m)＝2，求m的值；
(3)若f(x－2)>2，求x的取值范围．
解析：(1)令x＝y＝1，则f(1)＝f(1)＋f(1)，所以f(1)＝0.
(2)因为f＝1，
所以f＝f＝f＋f＝2，所以m＝.
(3)因为f(x－2)>2＝f，
所以则2PAGE第六节 幂函数、二次函数
授课提示：对应学生用书第26页
[基础梳理]
1．幂函数
(1)定义：一般地，函数y＝xα叫作幂函数，其中底数x是自变量，α是常数．
(2)幂函数的图像比较：
2．二次函数
(1)解析式：
一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
顶点式：f(x)＝a(x－h)2＋k(a≠0)．
两根式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．
(2)图像与性质：
解析式
f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0)
f(x)＝ax2＋bx＋c(a＜0)
图像
定义域
(－∞，＋∞)
(－∞，＋∞)
值域
单调性
在x∈上单调递增在x∈上单调递减
在x∈上单调递增在x∈上单调递减
续表
解析式
f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0)
f(x)＝ax2＋bx＋c(a＜0)
奇偶性
当b＝0时为偶函数
顶点
对称性
图像关于直线x＝－成轴对称图形
3.巧记幂函数的图像
五个幂函数在第一象限内的图像的大致情况可以归纳为“正抛负双，大竖小横”，即α＞0(α≠1)时的图像是抛物线型(α＞1时的图像是竖直抛物线型，0＜α＜1时的图像是横卧抛物线型)，α＜0时的图像是双曲线型．
1．一个易混点
函数y＝ax2＋bx＋c，不能盲目认为是二次函数，要注意对a的讨论，a＞0，a＝0，a＜0.
2．两个条件：一元二次不等式恒成立的条件
(1)ax2＋bx＋c＞0(a≠0)恒成立的充要条件是
(2)ax2＋bx＋c＜0(a≠0)恒成立的充要条件是
3．幂函数y＝xα在第一象限的图像特征
(1)α＞1时，图像过(0，0)，(1，1)，下凸递增，例如y＝x3；
(2)0＜α＜1时，图像过(0，0)，(1，1)，上凸递增，例如y＝x；
(3)α＜0时，图像过(1，1)，下凸递减，且以两条坐标轴为渐近线，例如y＝x－1.
[四基自测]
1．(基础点：幂函数定义)已知幂函数f(x)＝k·xα的图像过点，则k＋α＝( )
A.
B．1
C.
D．2
答案：C
2．(易错点：幂函数的单调性)幂函数f(x)＝xα(α是有理数)的图像过点，则f(x)的一个单调递减区间是( )
A．[0，＋∞)
B．(0，＋∞)
C．(－∞，0]
D．(－∞，0)
答案：B
3．(易错点：二次函数的单调性)若f(x)＝x2＋bx＋c的递增区间为[－1，＋∞)，则b＝________．
答案：2
4．(基础点：分段函数的性质)设函数f(x)＝，则f(x)＞f(1)的x的取值范围为________．
答案：(－∞，0)
授课提示：对应学生用书第27页
考点一 幂函数的图像和性质
挖掘1 幂函数图像及应用/
互动探究
[例1] (1)幂函数y＝f(x)的图像过点(4，2)，则幂函数y＝f(x)的图像是( )
[解析] 设幂函数的解析式为y＝xα，
因为幂函数y＝f(x)的图像过点(4，2)，
所以2＝4α，解得α＝.
所以y＝，其定义域为[0，＋∞)，且是增函数，
当0＜x＜1时，其图像在直线y＝x的上方．
[答案] C
(2)(2019·高考天津卷)已知函数f(x)＝若关于x的方程f(x)＝－x＋a(a∈R)恰有两个互异的实数解，则a的取值范围为( )
A．[，]
B．(，]
C．(，]∪{1}
D．[，]∪{1}
[解析] 如图，分别画出两函数y＝f(x)和y＝－x＋a的图像．
①先研究当0≤x≤1时，直线y＝－x＋a与y＝2的图像只有一个交点的情况．
当直线y＝－x＋a过点B(1，2)时，
2＝－＋a，解得a＝.所以0≤a≤.
②再研究当x＞1时，直线y＝－x＋a与y＝的图像只有一个交点的情况．
(ⅰ)相切时，由y′＝－＝－，得x＝2，此时切点为(2，)，则a＝1.
(ⅱ)相交时，由图像可知直线y＝－x＋a从过点A向右上方移动时与y＝的图像只有一个交点，过点A(1，1)时，1＝－＋a，解得a＝.所以a≥.
结合图像可得，所求实数a的取值范围为[，]∪{1}．
故选D.
[答案] D
挖掘2 幂函数的性质/
互动探究
[例2] (1)若a＝，b＝，c＝，则下列正确的是( )
A．a＞b＞c
B．a＞c＞b
C．c＞a＞b
D．b＞c＞a
[解析] 因为y＝x在第一象限内为增函数，所以a＝＞c＝，因为y＝是减函数，所以c＝＞b＝，所以a＞c＞b.
[答案] B
(2)若log2x＝log3y＝log5z＜－1，则( )
A．2x＜3y＜5z
B．5z＜3y＜2x
C．3y＜2x＜5z
D．5z＜2x＜3y
[解析] 设log2x＝log3y＝log5z＝t，则t＜－1，x＝2t，y＝3t，z＝5t，因此2x＝2t＋1，3y＝3t＋1，5z＝5t＋1.又t＜－1，∴t＋1＜0，由幂函数y＝xt＋1的单调性可知5z＜3y＜2x.
[答案] B
[破题技法] 1.待定系统法求解析式，主要待定y＝xα中的“α”值．
2．利用幂函数的单调性比较幂值大小的技巧
在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，转化为同指数幂，再选择适当的函数，借助其单调性进行比较．若底数相同，指数不同可考虑指数函数；若底数不同指数相同，可考虑幂函数．
考点二 二次函数的图像与性质
挖掘1 二次函数的单调性/
互动探究
[例1] (1)函数f(x)＝ax2＋(a－3)x＋1在区间[－1，＋∞)上是递减的，则实数a的取值范围是( )
A．[－3，0)
B．(－∞，－3]
C．[－2，0]
D．[－3，0]
[解析] 当a＝0时，f(x)＝－3x＋1在[－1，＋∞)上递减，满足条件．
当a≠0时，f(x)的对称轴为x＝，
由f(x)在[－1，＋∞)上递减知
解得－3≤a<0.综上，a的取值范围为[－3，0]．
[答案] D
(2)若函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0)对于一切实数都有f(2＋x)＝f(2－x)，则( )
A．f(2)＜f(1)＜f(4)
B．f(1)＜f(2)＜f(4)
C．f(2)＜f(4)＜f(1)
D．f(4)＜f(2)＜f(1)
[解析] 因为函数f(x)＝ax2＋bx＋c对任意实数x都有f(2＋x)＝f(2－x)成立，
所以函数图像关于x＝2对称，当a＞0时，f(2)最小，
由2－1＜4－2，得f(1)＝f(3)＜f(4)，
所以f(2)＜f(1)＜f(4)．故选A.
[答案] A
[破题技法] 研究二次函数单调性的思路
(1)二次函数的单调性在其图像对称轴的两侧不同，因此研究二次函数的单调性时要依据其图像的对称轴进行分类讨论．
(2)若已知f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0)在区间A上单调递减(单调递增)，则A?，即区间A一定在函数对称轴的左侧(右侧)．
挖掘2 二次函数的最值/
互动探究
[例2] 已知函数f(x)＝－x2＋2ax＋1－a在x∈[0，1]时，有最大值2，则a的值为________．
[解析] 函数f(x)＝－x2＋2ax＋1－a＝－(x－a)2＋a2－a＋1，对称轴方程为x＝a.当a＜0时，f(x)max＝f(0)＝1－a，
所以1－a＝2，所以a＝－1.
当0≤a≤1时，f(x)max＝a2－a＋1，
所以a2－a＋1＝2，所以a2－a－1＝0，所以a＝(舍去)．
当a＞1时，f(x)max＝f(1)＝a，所以a＝2.综上可知，a＝－1或a＝2.
[答案] －1或2
[破题技法] 二次函数在(m，n]上的最值的讨论主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动．不论哪种类型，解决的关键是弄清楚对称轴与区间的关系．当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论．设f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0)，则二次函数在闭区间[m，n]上的最大、最小值有如下的分布情况：
m＜n＜－
m≤－≤n，即－∈[m，n]
－＜m＜n
图像
最值
f(x)max＝f(m)
f(x)min＝f(n)
f(x)max＝max{f(n)，f(m)}，f(x)min＝f
f(x)max＝f(n)，f(x)min＝f(m)
a＜0的情况，讨论类似．其实质是：无论开口向上或向下，都有两种结论：
(1)若－∈[m，n]，则f(x)max＝max
，
f(x)min＝min
；
(2)若－?[m，n]，则f(x)max＝max
{f(m)，f(n)}，f(x)min＝min{f(m)，f(n)}．
挖掘3 二次函数中恒成立问题/
互动探究
[例3] (2020·太原模拟)设函数f(x)＝ax2－2x＋2，对于满足1＜x＜4的一切x值都有f(x)＞0，则实数a的取值范围为________．
[解析] 法一：当a＞0时，
f(x)＝a＋2－，
由f(x)＞0，x∈(1，4)得：或
或
所以或或
所以a≥1或＜a＜1或?，即a＞，
当a＜0时，解得?；
当a＝0时，f(x)＝－2x＋2，f(1)＝0，f(4)＝－6，
所以不合题意．
综上可得，实数a的取值范围是a＞.
法二：由f(x)＞0，即ax2－2x＋2＞0，x∈(1，4)，
得a＞－＋在(1，4)上恒成立．
令g(x)＝－＋＝－2＋，
∈(，1)，g(x)max＝，
所以要f(x)＞0在(1，4)上恒成立，
只要a＞即可．
[答案]
[破题技法] 由不等式恒成立求参数的取值范围的思路及关键
(1)一般有两个解题思路：一是分离参数；二是不分离参数．
(2)两种思路都是将问题归结为求函数的最值，至于用哪种方法，关键是看参数是否已分离．这两个思路的依据是：a≥f(x)?a≥f(x)max，a≤f(x)?a≤f(x)min.
挖掘4 与二次函数有关的双变量问题/自主练透
[例4] 已知f(x)是定义在[－2，2]上的奇函数，当x∈(0，2]时，f(x)＝2x－1，函数g(x)＝x2－2x＋m.如果对任意x1∈[－2，2]，存在x2∈[－2，2]，使得f(x1)＝g(x2)，则实数m的取值范围是________．
[解析] 由题意，在[－2，2]上，易求得函数f(x)的值域为[－3，3]，函数g(x)的值域为[m－1，m＋8]，问题转化为[－3，3]?[m－1，m＋8]，解得m∈[－5，－2]．
[答案] [－5，－2]
将例2改为“已知函数f(x)＝－x2＋2x＋1－a”在[0，a]上的最大值记为g(a)，求g(a)并求其最大值．
解析：∵f(x)＝－(x－1)2＋2－a，关于x＝1对称
又∵x∈[0，a]
∴当a≤1时，x∈[0，a]上为增函数，
f(x)max＝g(a)＝－a2＋2a＋1－a
＝－a2＋a＋1，当a＞1时，则
f(x)max＝f(1)＝g(a)＝2－a，
∴g(a)＝
当
a≤1时，g(a)＝－(a－)2＋≤，当a＞1时，g(a)＝2－a＜1，
∴g(a)的最大值为.
PAGE第七节 函数的图像
授课提示：对应学生用书第29页
[基础梳理]
1．利用描点法作函数图像的基本步骤及流程
(1)基本步骤：列表、描点、连线．
(2)流程：
①确定函数的定义域；
②化简函数解析式；
③讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等)；
④列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)，描点，连线．
2．平移变换
y＝f(x)y＝f(x－a)；
y＝f(x)y＝f(x)＋b.
3．伸缩变换
y＝f(x)y＝f(ax)．
y＝f(x)y＝Af(x)．
4．对称变换
y＝f(x)y＝－f(x)；
y＝f(x)y＝f(－x)；
y＝f(x)y＝－f(－x)．
5．翻折变换
y＝f(x)y＝f(|x|)；
y＝f(x)y＝|f(x)|．
1．一个原则
在解决函数图像的变换问题时，要遵循“只能对函数关系式中的x，y变换”的原则．
2．函数对称的重要结论
(1)函数y＝f(x)与y＝f(2a－x)的图像关于直线x＝a对称．
(2)若函数y＝f(x)对定义域内任意自变量x满足：f(a＋x)＝f(a－x)，则函数y＝f(x)的图像关于直线x＝a对称．
(3)函数y＝f(x)与y＝2b－f(2a－x)的图像关于点(a，b)中心对称．
(4)在函数y＝f(x)中，将x换为－x，解析式不变，则此函数图像关于y轴对称．
将y换成－y，解析式不变，则此函数图像关于x轴对称．
若将x换成－x，y换成－y，解析式不变，则此函数图像关于(0，0)对称．
若将x换成y，解析式不变，则函数图像关于y＝x对称．
[四基自测]
1．(基础点：用图像表示函数)小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间后，为了赶时间加快速度行驶．与以上事件吻合的最好的图像是( )
答案：C
2．(基础点：图像的作法)下列图像是函数y＝的图像的是( )
答案：C
3．(易错点：函数值与自变量的对应关系)函数r＝f(p)的图像如图所示，若只有唯一的p值与r对应，则r的取值范围为________．
答案：(3，5]∪(0，2)
4．(基础点：利用图像求参数)某函数y＝f(x)的图像如图，与直线y＝a有两个交点时a的取值范围为________．
答案：{a|－2≤a＜2或a＝3}
授课提示：对应学生用书第30页
考点一 作函数的图像
挖掘 作已知函数解析式的图像/自主练透
[例] 作出下列函数的图像：
(1)y＝|x－2|·(x＋1)；
(2)y＝；
(3)y＝|log2(x＋1)|.
[解析] (1)先化简，再作图．
y＝图像如图实线所示．
(2)因为y＝＝1＋，先作出y＝的图像，将其图像向右平移1个单位，再向上平移1个单位，即得y＝的图像，如图所示．
(3)利用函数y＝log2x的图像进行平移和翻折变换，图像如图实线所示．
[破题技法] 1.作函数图像，首先确定函数的定义域，对应关系及值域．
2．作函数图像的方法
方法
解读
适合题型
直接法
当函数表达式(或变形后的表达式)是熟悉的基本函数时，就可根据这些函数的特征描出图像的关键点直接作出
基本初等函数、“对号”函数
转化法
含有绝对值符号的函数，可脱掉绝对值符号，转化为分段函数来画图像
绝对值函数
图像变换法
若函数图像可由某个基本函数的图像经过平移、翻折、对称得到，可利用图像变换作出．对不能直接找到熟悉函数的要先变形，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响
能够准确找到基本函数
考点二 函数图像的识别
挖掘1 巧用特殊点识别函数图像/
互动探究
[例1] 若方程f(x)－2＝0在(－∞，0)内有解，则y＝f(x)的图像是( )
[解析] 由f(x)－2＝0，得f(x)＝2，则在区间(－∞，0)内，存在点满足f(x)＝2.
对于A，当f(x)＝2时，x＝0，不满足条件．
对于B，当f(x)＝2时，无解．
对于C，当f(x)＝2时，x＞0，不满足条件．选D.
[答案] D
挖掘2 巧用函数性质识别图像/
互动探究
[例2] (1)(2018·高考全国卷Ⅲ)函数y＝－x4＋x2＋2的图像大致为( )
[解析] 法一：?′(x)＝－4x3＋2x，则?′(x)＞0的解集为∪，?(x)单调递增；?′(x)＜0的解集为∪，?(x)单调递减．故选D.
法二：当x＝1时，y＝2，所以排除A，B选项．当x＝0时，y＝2，而当x＝时，y＝－＋＋2＝2＞2，所以排除C选项．故选D.
[答案] D
(2)(2019·高考全国卷Ⅲ)函数y＝在[－6，6]的图像大致为( )
[解析] ∵y＝f(x)＝，x∈[－6，6]，
∴f(－x)＝＝－＝－f(x)，
∴f(x)是奇函数，排除选项C.
当x＝4时，y＝＝∈(7，8)，排除选项A，D.故选B.
[答案] B
(3)函数y＝的部分图像大致为( )
[解析] 由题意，令函数f(x)＝，其定义域为{x|x≠2kπ，k∈Z}，又f(－x)＝＝＝－f(x)，所以f(x)＝为奇函数，其图像关于原点对称，故排除B；因为f＝＝0，f＝＝<0，所以排除A；f(π)＝＝0，排除D.故选C.
[答案] C
[破题技法] 1.曲线反映的是两个变量间的对应变化关系，要理清因变量随自变量如何变化．
2．合理选用多种方法：特殊点法、函数性质法、图像变换法等，找出各个图像的差异与破绽，进行检验排除而得答案．
(1)找特殊点，根据已知函数的解析式，找出函数图像所经过的定点坐标．
(2)看变换，将题设条件所给出的函数解析式通过适当的化简或变形，再与基本初等函数对应，得出此函数是由哪个基本初等函数通过怎样的变换而得到的；
(3)性质检验法就是根据函数解析式分析函数的相关性质(如定义域、值域、单调性、奇偶性等)排除干扰项，从而确定正确选项的方法．破解此类题的关键点．
考点三 函数图像的应用
挖掘1 由图像研究函数解析式或性质/
互动探究
[例1] (1)已知函数f(x)＝，则下列结论正确的是( )
A．函数f(x)的图像关于点(1，2)对称
B．函数f(x)在(－∞，1)上是增函数
C．函数f(x)的图像上至少存在两点A，B，使得直线AB∥x轴
D．函数f(x)的图像关于直线x＝1对称
[解析] 法一：因为f(x)＝＝＋2，所以函数f(x)在(－∞，1)上是减函数，排除B；画出函数f(x)的大致图像如图所示，结合图像排除C、D.故选A.
法二：因为f(x)＋f(2－x)＝＋＝＋＝4，所以函数f(x)的图像关于点(1，2)对称，故选A.
[答案] A
(2)已知函数f(x)的部分图像如图所示，则f(x)的解析式可以是( )
A．f(x)＝
B．f(x)＝
C．f(x)＝
D．f(x)＝
[解析] 由函数的图像关于原点对称，可知所求的函数是奇函数，由于f(x)＝为偶函数，故排除B；对于选项A，当x→＋∞时，f(x)→－∞，与函数图像不符，故排除A；对于选项C，f(π)＝＝＞0，与函数图像不符，故排除C.选D.
[答案] D
[破题技法] 借助图像研究函数性质；横轴表示自变量的取值，即定义域．纵轴表示函数值的取值即值域，从左向右的变化代表函数单调性的变化．
挖掘2 利用图像求参数或变量的取值
范围/
互动探究
[例2] (1)设x1，x2，x3均为实数，且()x1＝log2(x1＋1)，()x2＝log3x2，()x3＝log2x3，则( )
A．x1＜x3＜x2
B．x3＜x2＜x1
C．x3＜x1＜x2
D．x2＜x1＜x3
[解析] x1，x2，x3分别是函数y＝()x与y＝log2(x＋1)，y＝log3x，y＝log2x图像交点的横坐标，作出函数y＝()x，y＝log2(x＋1)，y＝log3x，y＝log2x的图像如图所示，由图可得x1＜x3＜x2，故选A.
[答案] A
(2)已知不等式x－1＜|m－2x|在[0，2]上恒成立，且函数f(x)＝ex－mx在(3，＋∞)上单调递增，则实数m的取值范围为( )
A．(－∞，2)∪(5，＋∞)
B．(－∞，1)∪(5，e3]
C．(－∞，2)∪(5，e2]
D．(－∞，2)∪(5，e3]
[解析] 不等式x－1＜|m－2x|在x∈[0，2]上恒成立?(x－1)＜在x∈[0，2]上恒成立，
令g(x)＝，h(x)＝(x－1)，画出g(x)和h(x)的图像，如图．
由图可知，＜1或＞，
即m∈(－∞，2)∪(5，＋∞)；
又f(x)＝ex－mx在(3，＋∞)上单调递增，故f′(x)＝ex－m≥0在(3，＋∞)上恒成立，
∴m≤e3，
综上，m∈(－∞，2)∪(5，e3]．故选D.
[答案] D
[破题技法] 利用图像求参数问题
要采取“以静制动”的方法，先固定某个函数图像或某个位置，来制约另一个函数图像或者点的位置，在运动变化过程中求出参数的取值．
挖掘3 求函数的零点(个数)或方程的根/
互动探究
[例3] (2020·日照模拟)已知f(x)＝则函数y＝2f2(x)－3f(x)＋1的零点个数是________．
[解析] 方程2f2(x)－3f(x)＋1＝0的解为f(x)＝或1.作出y＝f(x)的图像，由图像知零点的个数为5.
[答案] 5
[破题技法] 研究交点或零点问题
将函数F(x)＝f(x)－g(x)的零点转化为两个函数，图像交点的横坐标，y＝f(x)与y＝g(x)判定这两个函数的交点的情况，要注意两个函数图像的相对位置．
PAGE第三节 函数的奇偶性与周期性
授课提示：对应学生用书第16页
[基础梳理]
1．函数的奇偶性
奇偶性
条件
图像特点
偶函数
对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)
关于y轴对称
奇函数
对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)
关于原点对称
2.周期性
(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．
(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫作f(x)的最小正周期．
1．奇、偶函数的一个必要不充分条件
奇、偶函数定义域的特点是关于原点对称．函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要不充分条件．
2．奇偶性的两个等价定义在定义域内恒有若f(－x)＋f(x)＝0或＝－1(f(x)≠0)，则f(x)为奇函数，
若f(－x)－f(x)＝0或＝1(f(x)≠0)，则f(x)为偶函数．
3．奇偶性的六个重要结论
(1)如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0.
(2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(－x)＝f(|x|)．
(3)既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即f(x)＝0，x∈D，其中定义域D是关于原点对称的非空数集．
(4)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个关于原点对称的区间上具有相反的单调性．
(5)偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值，取最值时的自变量互为相反数；奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数．
(6)设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．
4．函数周期性常用的结论
对f(x)定义域内任一自变量的值x，
(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a≠0)．
(2)若f(x＋a)＝，则T＝2a(a≠0)．
(3)若f(x＋a)＝－，则T＝2a(a≠0)．
5．函数对称性问题的结论
(1)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，即f(a－x)＝f(a＋x)，则函数y＝f(x)的图像关于直线x＝a对称；
(2)若对于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，则y＝f(x)的图像关于直线x＝a对称；
(3)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，即f(－x＋b)＋f(x＋b)＝0，则函数y＝f(x)关于点(b，0)中心对称．
[四基自测]
1．(基础点：函数奇偶性判断)下列函数中，既是奇函数又是增函数的为( )
A．y＝x＋1
B．y＝－x3
C．y＝
D．y＝x|x|
答案：D
2．(基础点：奇函数定义)设f(x)为奇函数，且当x≥0时，f(x)＝ex－1，则f(－1)＝________．
答案：1－e
3．(易错点：奇函数)(2018·高考全国卷Ⅰ改编)设函数f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax为奇函数，则a＝________．
答案：1
4．(基础点：奇函数图像对称性)函数f(x)＝的对称中心为________．
答案：(0，0)
授课提示：对应学生用书第17页
考点一 函数奇偶性的判断
挖掘1 判断具体函数的奇偶性/
自主练透
[例1] (1)已知函数f(x)＝3x－，则f(x)( )
A．是偶函数，且在R上是增函数
B．是奇函数，且在R上是增函数
C．是偶函数，且在R上是减函数
D．是奇函数，且在R上是减函数
[解析] x∈R，f(－x)＝3－x－3x＝－f(x)，f(x)为奇函数，又因y1＝3x为增函数，y2＝－为增函数，故y＝3x－为增函数，故选B.
[答案] B
(2)函数f(x)＝lg(x＋1)＋lg(x－1)的奇偶性是( )
A．奇函数
B．偶函数
C．非奇非偶函数
D．既奇又偶函数
[解析] 由，知x＞1，定义域不关于原点对称，故f(x)为非奇非偶函数．
[答案] C
(3)函数f(x)＝＋，则f(x)为( )
A．奇函数
B．偶函数
C．既是奇函数，又是偶函数
D．非奇非偶函数
[解析] 由得x＝±1，∴f(x)的定义域为{－1，1}．
又f(1)＋f(－1)＝0，f(1)－f(－1)＝0，故f(x)既是奇函数，又是偶函数，故选C.
[答案] C
[破题技法] 1.函数y＝f(x)具有奇偶性，首先其定义域必须关于原点对称，这样f(x)与f(－x)才有意义．
2．对一个函数而言，其奇偶性结果为：是偶函数，是奇函数，既是奇函数又是偶函数，是非奇非偶函数，必具其一．
挖掘2 判断非具体函数的奇偶性/
互动探究
[例2] (1)已知y＝f(x)满足f(x＋1)＋f(－x＋1)＝2，则以下四个选项一定正确的是( )
A．f(x－1)＋1是偶函数
B．f(－x＋1)－1是奇函数
C．f(x＋1)＋1是偶函数
D．f(x＋1)－1是奇函数
[解析] 根据题中条件可知函数f(x)的图像关于点(1，1)中心对称，故f(x＋1)的图像关于点(0，1)中心对称，则f(x＋1)－1的图像关于点(0，0)中心对称，所以f(x＋1)－1是奇函数．故选D.
[答案] D
(2)设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是( )
A．f(x)g(x)是偶函数
B．|f(x)|g(x)是奇函数
C．f(x)|g(x)|是奇函数
D．|f(x)g(x)|是奇函数
[解析] 由题意可知f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，对于选项A，f(－x)·g(－x)＝－f(x)·g(x)，所以f(x)g(x)是奇函数，故A项错误；对于选项B，|f(－x)|g(－x)＝|－f(x)|g(x)＝|f(x)|g(x)，所以|f(x)|·g(x)是偶函数，故B项错误；对于选项C，f(－x)|g(－x)|＝－f(x)|g(x)|，所以f(x)·|g(x)|是奇函数，故C项正确；对于选项D，|f(－x)g(－x)|＝|－f(x)g(x)|＝|f(x)g(x)|，所以|f(x)g(x)|是偶函数，故D项错误，选C.
[答案] C
[破题技法] 判定奇偶性的方法
(1)定义法：
确定函数的奇偶性时，必须先判定函数定义域是否关于原点对称．若对称，再化简解析式后验证f(－x)＝±f(x)或其等价形式f(－x)±f(x)＝0是否成立．
(2)图像法：
(3)性质法：利用奇偶性的运算关系．
考点二 函数的周期性及应用
挖掘 利用周期求值/
互动探究
[例] (1)(2018·高考全国卷Ⅱ)已知?(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足?(1－x)＝?(1＋x)．若?(1)＝2，则?(1)＋?(2)＋?(3)＋…＋?(50)＝( )
A．－50
B．0
C．2
D．50
[解析] ∵?(x)是奇函数，∴?(－x)＝－?(x)，
∴?(1－x)＝－?(x－1)．由?(1－x)＝?(1＋x)，
∴－?(x－1)＝?(x＋1)，∴?(x＋2)＝－?(x)，
∴?(x＋4)＝－?(x＋2)＝－[－?(x)]＝?(x)，
∴函数?(x)是周期为4的周期函数．
由?(x)为奇函数得?(0)＝0.
又∵?(1－x)＝?(1＋x)，
∴?(x)的图像关于直线x＝1对称，
∴?(2)＝?(0)＝0，∴?(－2)＝0.
又?(1)＝2，∴?(－1)＝－2，
∴?(1)＋?(2)＋?(3)＋?(4)＝?(1)＋?(2)＋?(－1)＋?(0)＝2＋0－2＋0＝0，
∴?(1)＋?(2)＋?(3)＋?(4)＋…＋?(49)＋?(50)＝0×12＋?(49)＋?(50)＝?(1)＋?(2)＝2＋0＝2.
故选C.
[答案] C
(2)已知函数y＝f(x)，满足y＝f(－x)和y＝f(x＋2)是偶函数，且f(1)＝，设F(x)＝f(x)＋f(－x)，则F(3)＝( )
A.
B．
C．π
D．
[解析] y＝f(－x)为偶函数，则y＝f(x)为偶函数，
关于x＝0对称，
y＝f(x＋2)为偶函数，关于x＝2对称，
∴T＝4，
∴F(x)＝f(x)＋f(－x)＝2f(x)，
∴F(3)＝2f(3)．
而f(3)＝f(4－1)＝f(－1)＝f(1)＝，
∴F(3)＝.故选B.
[答案] B
[破题技法] 1.若函数的最小正周期为T，在图像上表现为每隔T单位，图像相同，只是位置不同，在函数值上表现为f(x＋T)＝f(x)．
2．求函数周期的方法
方法
解读
适合题型
定义法
具体步骤为：对于函数y＝f(x)，如果能够找到一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么T就是函数y＝f(x)的周期
非零常数T容易确定的函数
递推法
采用递推的思路进行，再结合定义确定周期．如：若f(x＋a)＝－f(x)，则f(x＋2a)＝f[(x＋a)＋a]＝－f(x＋a)＝f(x)，所以2a为f(x)的一个周期
含有f(x＋a)与f(x)的关系式
换元法
通过换元思路将表达式化简为定义式的结构，如：若f(x＋a)＝f(x－a)，令x－a＝t，则x＝t＋a，则f(t＋2a)＝f(t＋a＋a)＝f(t＋a－a)＝f(t)，所以2a为f(x)的一个周期
f(bx±a)＝f(bx±c)型关系式
考点三 函数性质的综合应用
挖掘1 利用性质求解析式/
互动探究
[例1] (1)(2019·高考全国卷Ⅱ)设f(x)为奇函数，且当x≥0时，f(x)＝ex－1，则当x<0时，f(x)＝( )
A．e－x－1
B．e－x＋1
C．－e－x－1
D．－e－x＋1
[解析] 当x<0时，－x>0，
∵当x≥0时，f(x)＝ex－1，∴f(－x)＝e－x－1.
又∵f(x)为奇函数，∴f(x)＝－f(－x)＝－e－x＋1.
故选D.
[答案] D
(2)设f(x)是定义在R上以2为周期的偶函数，当x∈[0，1]时，f(x)＝log2(x＋1)，则函数f(x)在[1，2]上的解析式是________．
[解析] 令x∈[－1，0]，则－x∈[0，1]，结合题意可得f(x)＝f(－x)＝log2(－x＋1)，
令x∈[1，2]，则x－2∈[－1，0]，故f(x)＝log2[－(x－2)＋1]＝log2(3－x)．
故函数f(x)在[1，2]上的解析式是f(x)＝log2(3－x)．
[答案] f(x)＝log2(3－x)
挖掘2 求函数值/
互动探究
[例2] (1)对任意的实数x都有f(x＋2)－f(x)＝2f(1)，若y＝f(x－1)的图像关于x＝1对称，且f(0)＝2，则f(2
019)＋f(2
020)＝( )
A．0
B．2
C．3
D．4
[解析] y＝f(x－1)的图像关于x＝1对称，则函数y＝f(x)的图像关于x＝0对称，∴函数f(x)是偶函数，对于f(x＋2)－f(x)＝2f(1)，令x＝－1，则f(－1＋2)－f(－1)＝2f(1)，则f(1)－f(1)＝2f(1)＝0，即f(1)＝0，则f(x＋2)－f(x)＝2f(1)＝0，即f(x＋2)＝f(x)，则函数f(x)的周期是2，又f(0)＝2，则f(2
019)＋f(2
020)＝f(1)＋f(0)＝0＋2＝2，故选B.
[答案] B
(2)已知函数f(x)＝x3＋sin
x＋1(x∈R)，若f(a)＝2，则f(－a)的值为( )
A．3
B．0
C．－1
D．－2
[解析] 设F(x)＝f(x)－1＝x3＋sin
x，显然F(x)为奇函数，又F(a)＝f(a)－1＝1，所以F(－a)＝f(－a)－1＝－1，所以f(－a)＝0.故选B.
[答案] B
挖掘3 求参数/
互动探究
[例3] (1)设函数f(x)＝ex＋ae－x(a为常数)．若f(x)为奇函数，则a＝________．
[解析] ∵f(x)为奇函数，
∴f(－x)＝－f(x)，e－x＋aex＝－ex－ae－x，∴(1＋a)e－x＋(1＋a)ex＝0，∴a＝－1.
[答案] －1
(2)(2019·高考全国卷Ⅱ)已知f(x)是奇函数，且当x<0时，f(x)＝－eax.若f(ln
2)＝8，则a＝________．
[解析] 设x＞0，则－x＜0.
∵当x＜0时，f(x)＝－eax，∴f(－x)＝－e－ax.
∵f(x)是奇函数，
∴f(x)＝－f(－x)＝e－ax，
∴f(ln
2)＝e－aln
2＝(eln
2)－a＝2－a.
又∵f(ln
2)＝8，∴2－a＝8，∴a＝－3.
[答案] －3
(3)若函数f(x)＝xln(x＋)为偶函数，则a＝__________．
[解析] 由题意得f(x)＝xln(x＋)＝f(－x)＝－xln(－x)，所以＋x＝，解得a＝1.
[答案] 1
挖掘4 解不等式、比较大小/
互动探究
[例4] (1)(2017·高考全国卷Ⅰ)函数f(x)在(－∞，＋∞)单调递减，且为奇函数．若f(1)＝－1，则满足－1≤f(x－2)≤1的x的取值范围是( )
A．[－2，2]
B．[－1，1]
C．[0，4]
D．[1，3]
[解析] ∵函数f(x)在(－∞，＋∞)单调递减，且f(1)＝－1，∴f(－1)＝－f(1)＝1，由－1≤f(x－2)≤1，
得－1≤x－2≤1，∴1≤x≤3，故选D.
[答案] D
(2)已知函数f(x)＝|x|(10x－10－x)，不等式f(1－2x)＋f(3)＞0的解集为( )
A．(－∞，2)
B．(2，＋∞)
C．(－∞，1)
D．(1，＋∞)
[解析] ∵f(－x)＝|－x|(10－x－10x)＝－f(x)，
∴f(x)为奇函数，
当x＞0时，f(x)＝x(10x－10－x)为增函数，
∴f(x)在R上是递增函数，故f(1－2x)＋f(3)＞0?f(1－2x)＞－f(3)＝f(－3)，所以1－2x＞－3，解得x＜2，故选A.
[答案] A
(3)已知定义在R上的奇函数满足f(x＋4)＝－f(x)，且在区间[0，2]上是增函数，则( )
A．f(－25)＜f(11)＜f(80)
B．f(80)＜f(11)＜f(－25)
C．f(11)＜f(80)＜f(－25)
D．f(－25)＜f(80)＜f(11)
[解析] ∵f(x＋4)＝－f(x)，
∴f(x＋8)＝－f(x＋4)，
∴f(x＋8)＝f(x)，
∴f(x)的周期为8，
∴f(－25)＝f(－1)，f(80)＝f(0)，
f(11)＝f(3)＝f(－1＋4)＝－f(－1)＝f(1)，
又∵奇函数f(x)在区间[0，2]上是增函数，
∴f(x)在区间[－2，2]上是增函数，
∴f(－25)＜f(80)＜f(11)，故选D.
[答案] D
[破题技法] 1.奇函数在对称区间上单调性相同；偶函数在对称区间上单调性相反．
2．对于函数性质结合的题目，函数的周期性有时需要通过函数的奇偶性得到，函数的奇偶性体现的是一种对称关系，而函数的单调性体现的是函数值随自变量变化而变化的规律．因此在解题时，往往需要借助函数的奇偶性和周期性来确定另一区间上的单调性，即实现区间的转换，再利用单调性解决相关问题．
将例4(2)的函数变为f(x)＝10x＋10－x，求不等式f(1－2x)－f(3)＞0的解集．
解析：f(x)＝10x＋10－x，f(x)为偶函数，
当x∈(0，＋∞)，f(x)为增函数，
原不等式f(1－2x)＞f(3)，
得|1－2x|＞3，得1－2x＞3或1－2x＜－3，
∴x＞2或x＜－1.
PAGE第四节 指数与指数函数
授课提示：对应学生用书第20页
[基础梳理]
1．根式
(1)根式的概念
①若xn＝a，则x叫作a的n次方根，其中n＞1且n∈N＋.式子叫作根式，这里n叫作根指数，a叫作被开方数．
②a的n次方根的表示：
xn＝a?x＝
(2)根式的性质
①()n＝a(n∈N＋)．
②＝
2．有理数指数幂
(1)幂的有关概念：
①正分数指数幂：a＝(a＞0，m，n∈N＋，且n＞1)；
②负分数指数幂：a＝＝(a＞0，m，n∈N＋，且n＞1)；
③0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂无意义．
(2)有理数指数幂的运算性质：
①aras＝ar＋s(a＞0，r，s∈Q)；
②(ar)s＝ars(a＞0，r，s∈Q)；
③(ab)r＝arbr(a＞0，b＞0，r∈Q)．
3．指数函数的图像及性质
函数
y＝ax(a＞0，且a≠1)
图像
0＜a＜1
a＞1
图像特征
在x轴上方，过定点(0，1)
当x逐渐增大时，图像逐渐下降
当x逐渐增大时，图像逐渐上升
性质
定义域
R
值域
(0，＋∞)
单调性
减
增
函数值变化规律
当x＝0时，y＝1
当x＜0时，y＞1；当x＞0时，0＜y＜1
当x＜0时，0＜y＜1；当x＞0时，y＞1
1．一个关注点
开方化简，要看n的奇偶性．
2．指数函数图像和性质的注意点
(1)指数函数y＝ax(a＞0，a≠1)的图像和性质与a的取值有关，应分a＞1与0＜a＜1来研究．
(2)画指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的图像，应抓住三个关键点：(1，a)，(0，1)，.
3．指数函数的图像与底数大小的比较
如图是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图像，底数a，b，c，d与1之间的大小关系为c＞d＞1＞a＞b.
规律：在y轴右(左)侧图像越高(低)，其底数越大．
4．指数函数图像的对称规律
函数y＝ax的图像与y＝a－x的图像关于y轴对称，y＝ax的图像与y＝－ax的图像关于x轴对称，y＝ax的图像与y＝－a－x的图像关于坐标原点对称．
[四基自测]
1．(基础点：有理数指数幂运算)化简[(－2)6]－(－1)0的结果为( )
A．－9
B．7
C．－10
D．9
答案：B
2．(基础点：指数函数图像)函数f(x)＝1－ex的图像大致是( )
答案：A
3．(基础点：指数函数解析式)若函数f(x)＝ax(a＞0，且a≠1)的图像经过点A，则f(－1)＝________．
答案：
4．(易错点：指数函数性质)函数y＝(ax＋1)ex过定点________．
答案：(0，1)
授课提示：对应学生用书第21页
考点一 实数指数幂的化简与求值
[例] (1)化简(x＜0，y＜0)的结果为( )
A．2x2y
B．2xy
C．4x2y
D．－2x2y
[解析] ＝(16x8y4)＝[24(－x)8·(－y)4]＝24··(－x)8··(－y)4·＝2(－x)2(－y)＝－2x2y.
[答案] D
(2)＋2－2·－(0.01)0.5.
[解析] 原式＝1＋×－＝1＋×－＝1＋－＝.
[破题技法] 指数幂运算的一般原则
(1)有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算．
(2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数．
(3)底数是负数，先确定符号；底数是小数，先化成分数；底数是带分数的，先化成假分数．
(4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式来表示，运用指数幂的运算性质来解答．
将本例(1)中的“x＜0，y＜0”去掉后，如何化简该式．
解析：＝2|x2y|＝.
考点二 指数函数的图像及应用
挖掘1 由解析式辨识图像/
自主练透
[例1] (1)(2020·河北武邑中学调研)函数y＝e－|x－1|的大致图像是( )
[解析] 当x＝1时，y＝1，排除C、D.
当x＞1时，y＝e－(x－1)为减函数，排除A.
故选B.
[答案] B
(2)函数f(x)＝1－e|x|的图像大致是( )
[解析] f(x)＝1－e|x|是偶函数，图像关于y轴对称，
又e|x|≥1，所以f(x)的值域为(－∞，0]，
因此排除B、C、D，只有A满足．
[答案] A
(3)(2020·浙江镇海中学检测)不论a为何值，函数y＝(a－1)2x－恒过定点，则这个定点的坐标是( )
A．(1，－)
B．(1，)
C．(－1，－)
D．(－1，)
[解析] y＝(a－1)2x－＝a(2x－)－2x，令2x－＝0，得x＝－1，故函数y＝(a－1)2x－恒过定点(－1，－)．
[答案] C
[破题技法] 对于y＝ax(a＞0，a≠1)
当a∈(0，1)且a逐渐变大时，图像右端(第一象限逐渐变“高”)，图像逐渐接近y＝1，当a＝1时，图像就是直线y＝1.
当a∈(1，＋∞)时，a逐渐变大，在第一象限内图像逐渐接近于y轴．
总之，图像过定点(0，1)，在第一象限内，逆时针方向看，底数逐渐变大．
挖掘2 利用图像研究问题/
互动探究
[例2] (1)函数f(x)＝ax－b的图像如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是( )
A．a＞1，b<0
B．a>1，b>0
C．00
D．0[解析] 由f(x)＝ax－b的图像可以观察出，函数f(x)＝ax－b在定义域上单调递减，所以0＜a＜1.
函数f(x)＝ax－b的图像是在f(x)＝ax的图像的基础上向左平移得到的，所以b＜0，故选D.
[答案] D
(2)(2020·衡水模拟)若曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b的取值范围是________．
[解析] 曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b的图像如图所示，由图可知：如果|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b应满足的条件是b∈[－1，1]．
[答案] [－1，1]
[破题技法] 与指数函数有关图像问题的求解方法
(1)已知函数解析式判断其图像，一般是取特殊点，判断选项中的图像是否过这些点，若不满足则排除．
(2)对于有关指数型函数的图像问题，一般是从最基本的指数函数的图像入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．
在例2(2)中，将曲线变为y＝|2x－1|，与直线y＝b有且只有一个公共点，则b的取值范围是________．
解析：y＝|2x－1|其图像如图所示，
要使y＝b与曲线只有一个公共点必须b≥1或b＝0，当b＝0或b≥1时，y＝b与曲线只有一个公共点．
答案：{0}∪[1，＋∞)
考点三 指数函数的性质及应用
挖掘1 指数型函数的定义域、值域/
互动探究
[例1] (1)函数y＝的值域是( )
A．(－∞，4)
B．(0，＋∞)
C．(0，4]
D．[4，＋∞)
[解析] 设t＝x2＋2x－1，则y＝.因为t＝(x＋1)2－2≥－2，y＝为关于t的减函数，所以0＜y＝≤＝4，故所求函数的值域为(0，4]．
[答案] C
(2)函数y＝－＋1在x∈[－3，2]上的值域是________．
[解析] 因为x∈[－3，2]，若令t＝，则t∈.
则y＝t2－t＋1＝＋.
当t＝时，ymin＝；当t＝8时，ymax＝57.
所以所求函数值域为.
[答案]
1．将本例(1)变为y＝2，其值域如何？
答案：[，＋∞)
2．将本例(1)变为y＝a，其值域如何？
答案：当0＜a＜1，值域为；
当a＞1时，值域为
挖掘2 比较指数幂的大小/
互动探究
[例2] (1)已知f(x)＝2x－2－x，a＝，b＝，c＝log2，则f(a)，f(b)，f(c)的大小关系为( )
A．f(b)B．f(c)C．f(c)D．f(b)[解析] 易知f(x)＝2x－2－x在R上为增函数，又a＝＝>＝b>0，c＝log2<0，则a>b>c，所以f(c)[答案] B
(2)设函数f(x)＝x2－a与g(x)＝ax(a＞1且a≠2)在区间(0，＋∞)上具有不同的单调性，则M＝(a－1)0.2与N＝的大小关系是( )
A．M＝N
B．M≤N
C．M＜N
D．M
＞N
[解析] 因为f(x)＝x2－a与g(x)＝ax(a＞1且a≠2)在区间(0，＋∞)上具有不同的单调性，所以a＞2，所以M＝(a－1)0.2＞1，N＝＜1，所以M＞N，故选D.
[答案] D
挖掘3 有关指数型的不等式求解/
互动探究
[例3] (1)函数f(x)＝，满足f(f(a))＝2f(a)a的取值范围是( )
A．a≥－
B．≤a＜1
C．0≤a＜1
D．a≥1
[解析] ∵f(x)＝，
若f(f(a))＝2f(a)，则f(a)≥1，
当a＜1时，3a－2≥1，∴3a≥3，∴a≥1矛盾，
当a≥1时，2a≥1，显然成立，故选D.
[答案] D
(2)不等式2＜4的解集为________．
[解析] 不等式2＜4可转化为2＜22，利用指数函数y＝2x的性质可得，x2－x＜2，解得－1＜x＜2，故所求解集为{x|－1＜x＜2}．
[答案] {x|－1＜x＜2}
[破题技法] 1.形如ax＞ab的不等式，借助于函数y＝ax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a＞1与0＜a＜1两种情况讨论．
2．形如ax＞b的不等式，注意将b转化为以a为底数的指数幂的形式，再借助于函数y＝ax的单调性求解．
3．解决此类问题应利用指数函数的单调性，要特别注意底数a的取值范围，并在必要时进行分类讨论．
4．利用复合函数判断形如y＝af(x)的单调性，它的单调区间与f(x)的单调区间有关．
5．对于函数y＝af(x)和复合函数y＝f(ax)的定义域、值域常利用换元法，其关键点：
(1)函数y＝af(x)的定义域与f(x)的定义域相同．
f(ax)的定义域：使ax在f(x)的定义域内，解指数不等式．
(2)y＝af(x)的值域：先确定f(x)的值域，再根据指数函数的单调性确定y＝af(x)的值域．
(3)y＝f(ax)的值域：先确定ax的值域、再利用f(x)的性质确定y＝f(ax)的值域．
解不等式4x＋2x＋1－8≥0.
解析：原不等式为(2x)2＋2×2x－8≥0，
∴(2x－2)(2x＋4)≥0，∵2x＞0恒成立，
∴2x－2≥0，∴x≥1，解集为[1，＋∞)．
PAGE第五节 对数与对数函数
授课提示：对应学生用书第23页
[基础梳理]
1．对数的概念
如果ax＝N(a＞0，且a≠1)，那么x叫作以a为底N的对数，记作x＝logaN．
2．对数的性质与运算法则
(1)对数的性质
①loga1＝0；②logaa＝1．
(2)对数恒等式
alogaN＝N．(其中a＞0且a≠1)
(3)对数的换底公式
logbN＝(a，b均大于零且不等于1，N＞0)．
(4)对数的运算法则
如果a＞0且a≠1，M＞0，N＞0，那么
①loga(MN)＝logaM＋logaN；
②loga＝logaM－logaN；
③logaMn＝nlogaM(n∈R)．
3．对数函数的定义、图像与性质
定义
函数y＝logax(a＞0，且a≠1)叫作对数函数
图像
a＞1
0＜a＜1
性质
定义域：(0，＋∞)
值域：(－∞，＋∞)
当x＝1时，y＝0，即过定点(1，0)
当0＜x＜1时，y＜0；当x＞1时，y＞0
当0＜x＜1时，y＞0；当x＞1时，y＜0
在(0，＋∞)上为增函数
在(0，＋∞)上为减函数
4.反函数
指数函数y＝ax(a＞0且a≠1)与对数函数y＝logax(a＞0且a≠1)互为反函数，它们的图像关于直线y＝x对称．
1．换底公式的三个重要结论
(1)logab＝；
(2)logambn＝logab；
(3)logab·logbc·logcd＝logad.
2．对数函数的图像与底数大小的比较
如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图像交点的横坐标为相应的底数．
故0＜c＜d＜1＜a＜b.
由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大．
[四基自测]
1．(基础点：对数运算)lg
2＋lg
5＝( )
A．10
B．1
C．lg
7
D．lg
2
lg
5
答案：B
2．(基础点：对数函数的图像)y＝ln|x|的图像为( )
答案：B
3．(基础点：对数函数性质)a＝log23.4，b＝log82，c＝log0.32.7由大到小的排列顺序为________．
答案：a＞b＞c
4．(易错点：对数函数单调区间与定义域)函数y＝2ln(x＋1)的递增区间为________．
答案：(－1，＋∞)
授课提示：对应学生用书第24页
考点一 对数式的化简与求值
挖掘1 直接利用对数性质计算/
自主练透
[例1] (1)(2020·洛阳市尖子生联考)已知定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝－f(x)，f(x＋1)＝f(1－x)，且当x∈[0，1]时，f(x)＝log2(x＋1)，则f(31)＝( )
A．0
B．1
C．－1
D．2
[解析] 由f(x＋1)＝f(1－x)及f(－x)＝－f(x)，得f(x＋2)＝f[(x＋1)＋1]＝f[1－(x＋1)]＝f(－x)＝－f(x)，则f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝－f(x＋2)＝f(x)，∴函数f(x)是以4为周期的周期函数，∴f(31)＝f(4×8－1)＝f(－1)＝－f(1)＝－log2(1＋1)＝－1，故选C.
[答案] C
(2)(2018·高考全国卷Ⅲ)已知函数?(x)＝ln(－x)＋1，?(a)＝4，则?(－a)＝________．
[解析] ∵?(x)＋?(－x)＝ln(－x)＋1＋ln(＋x)＋1＝ln(1＋x2－x2)＋2＝2，
∴?(a)＋?(－a)＝2，∴?(－a)＝－2.
[答案] －2
(3)lg
＋lg
＝________．
[答案] 1
挖掘2 利用指数与对数的转化求值/
互动探究
[例2] (1)设x，y，z为正数，且2x＝3y＝5z，则( )
A．2x<3y<5z
B．5z<2x<3y
C．3y<5z<2x
D．3y<2x<5z
[解析] 设2x＝3y＝5z＝k>1，∴x＝log2k，y＝log3k，z＝log5k.∵2x－3y＝2log2k－3log3k＝－＝＝＝>0，
∴2x>3y；∵3y－5z＝3log3k－5log5k＝－＝＝＝<0，
∴3y<5z；∵2x－5z＝2log2k－5log5k＝－＝＝＝<0，
∴5z>2x.∴5z>2x>3y，故选D.
[答案] D
(2)(2019·高考北京卷)在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m2－m1＝
lg
，其中星等为mk的星的亮度为Ek(k＝1，2)．已知太阳的星等是－26.7，天狼星的星等是－1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为( )
A．1010.1
B．10.1
C．lg
10.1
D．10－10.1
[解析] 由题意知，m1＝－26.7，
m2＝－1.45，代入所给公式得
－1.45－(－26.7)＝lg
，
所以lg＝10.1，
所以＝1010.1.
故选A.
[答案] A
[破题技法] 对数的运算方法，主要有两种方法：
一是对数式转化为指数式；
二是利用对数运算法则，进行变形：
(1)拆：首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数运算性质化简合并，正确使用幂的运算法则．
(2)合：将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算，正确使用对数的运算法则．
(3)注意指数式与对数式的相互转化关系．
将例2(1)变为：设2a＝5b＝m，且＋＝2，则m＝________．
解析：a＝log2m，b＝log5m.
∴＋＝＋＝logm2＋logm5＝logm10.
∴logm10＝2，∴m2＝10，∴m＝.
答案：
考点二 对数函数的图像及应用
挖掘1 辨认对数型图像/
自主练透
[例1] (1)(2018·高考全国卷Ⅲ)下列函数中，其图像与函数y＝ln
x的图像关于直线x＝1对称的是( )
A．y＝ln(1－x)
B．y＝ln(2－x)
C．y＝ln(1＋x)
D．y＝ln(2＋x)
[解析] 函数y＝?(x)的图像与函数y＝?(a－x)的图像关于直线x＝对称，令a＝2可得与函数y＝ln
x的图像关于直线x＝1对称的是函数y＝ln(2－x)的图像．故选B.
[答案] B
(2)(2019·高考浙江卷)在同一直角坐标系中，函数
y＝，y＝loga(a>0，且a≠1)的图像可能是( )
[解析] 当0于是函数y＝的图像过定点(0，1)，在R上单调递增，
函数y＝loga的图像过定点，在上单调递减．
因此，选项D中的两个图像符合．
当a>1时，函数y＝ax的图像过定点(0，1)，在R上单调递增，
于是函数y＝的图像过定点(0，1)，在R上单调递减，函数y＝loga的图像过定点，在上单调递增．
显然A、B、C三个选项都不符合．故选D.
[答案] D
挖掘2 利用对数型图像求参数/
互动探究
[例2] 当0＜x≤时，4x＜logax，则a的取值范围是( )
A. B.
C．(1，)
D．(，2)
[解析] 由题意得，当0＜a＜1时，要使得4x＜logax，即当0＜x≤时，函数y＝4x的图像在函数y＝logax图像的下方．
又当x＝时，4＝2，即函数y＝4x的图像过点，把点代入函数y＝logax，得a＝，若函数y＝4x的图像在函数y＝logax图像的下方，则需＜a＜1(如图所示)．
当a＞1时，不符合题意，舍去．
所以实数a的取值范围是.
[答案] B
[破题技法] 1.(1)y＝logx＝－logax，故与y＝logax的图像关于x轴对称．
(2)在第一象限，顺时针方向看对数的底逐渐变大．
2．应用对数型函数的图像可求解的问题
(1)对一些可通过平移、对称变换作出其图像的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想．
(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图像问题，利用数形结合法求解．求参数时往往使其中一个函数图像“动起来”，找变化的边界位置，得参数范围．
与绝对值相联系的函数图像．
①y＝|logax|(a>1)的图像如图(1)．
②y＝loga|x|(a>1)的图像如图(2)．
③y＝|loga|x||(a>1)的图像如图(3)．
将例2变为：若不等式x2－logax＜0对x∈恒成立，求实数a的取值范围．
解析：显然0＜a＜1，当y＝logax过点时，
即loga＝，∴a＝，如图，显然满足x2－logax＜0，令y＝logax绕(1，0)顺时针转动时，满足x2－logax＜0，∴≤a＜1.
考点三 对数函数的性质及其应用
挖掘1 与对数大小有关的问题/
互动探究
[例1] (1)a＞b的充分不必要条件是( )
A．ln(a－b)＞0
B．3a＜3b
C．a3－b3＞0
D．|a|＞|b|
[解析] A．∵ln(a－b)＞0，∴a－b＞1＞0，∴a＞b.
但a＞b时a－b＞1，故a＞bln(a－b)＞0.
C．a3－b3＞0?a3＞b3?a＞b.
B、D是既不充分也不必要．故选A.
[答案] A
(2)已知π为圆周率，e为自然对数的底数，则( )
A．πe＜3e
B．3e－2π＜3πe－2
C．logπe＞log3e
D．πlog3e＞3logπe
[解析] 对于选项A，函数y＝xe在(0，＋∞)上单调递增，所以πe＞3e，故选项A错误．对于选项B，3e－2π＜3πe－2，两边同时除以3π可得3e－3＜πe－3，由函数y＝xe－3在(0，＋∞)上单调递减可得选项B错误．对于选项C，由logπe＞log3e可得＞，所以ln
π＜ln
3，而函数y＝ln
x在(0，＋∞)上单调递增，故选项C错误．对于选项D，由πlog3
e＞3log
π
e可得＞，所以πln
π＞3ln
3，所以ππ＞33，故选项D正确．故选D.
[答案] D
[破题技法] 1.(1)形如函数y＝logaf(x)求定义域，要在a＞0，a≠1的前提下，使f(x)＞0.
(2)判断y＝logaf(x)型的奇偶性要结合对数的运算：logaf(x)＋logaf(－x)及logaf(x)－logaf(－x)，其单调性利用复合函数y＝logan，n＝f(x)的单调性的法则．
2．比较对数式大小的类型及相应的方法
(1)若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行判断；若底数为同一字母，则需对底数进行分类讨论．
(2)若底数不同，真数相同，则可以先用换底公式化为同底后，再进行比较．
(3)若底数与真数都不同，则常借助1，0等中间量进行比较．
挖掘2 与对数有关的不等式/
互动探究
[例2] (1)已知函数f(x)＝loga(8－ax)(a＞0，a≠1)，若f(x)＞1在区间[1，2]上恒成立，则实数a的取值范围为________．
[解析] 当a＞1时，f(x)＝loga(8－ax)在[1，2]上是减函数，由f(x)＞1恒成立，则f(x)min＝loga(8－2a)＞1，解得1＜a＜.若0＜a＜1时，f(x)在x∈[1，2]上是增函数，由f(x)＞1恒成立，则f(x)min＝loga(8－a)＞1，
∴0＜8－a＜a，∴4＜a＜8无解．
综上a的范围为(1，)．
[答案]
(2)解不等式2loga(x－4)＞loga(x－2)．
[解析] 当a＞1时，原不等式等价于解得，x＞6；
当0＜a＜1时，原不等式等价于
解得，4＜x＜6.
所以当a＞1时，不等式的解集为(6，＋∞)；
当0＜a＜1时，不等式的解集为(4，6)．
[破题技法] 1.求形如y＝logaf(x)的单调区间，首先求定义域：f(x)＞0，同时结合复合函数“同增异减”的法则．
2．解对数不等式的类型及方法
(1)形如logax＞logab的不等式，借助y＝logax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a＞1与0＜a＜1两种情况讨论．
(2)形如logax＞b的不等式，需先将b化为以a为底的对数式的形式．
设函数f(x)＝若f(a)＞f(－a)，则实数a的取值范围是( )
A．(－1，0)∪(0，1)
B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
C．(－1，0)∪(1，＋∞)
D．(－∞，－1)∪(0，1)
解析：由题意可得
或解得a＞1或－1＜a＜0.
答案：C
PAGE第一节 函数及其表示
授课提示：对应学生用书第10页
[基础梳理]
1．函数的概念
(1)设A，B都是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A.
(2)函数的三要素
函数由定义域、对应关系和值域三个要素构成，对函数y＝f(x)，x∈A，其中
①定义域：自变量x的取值范围；
②值域：函数值的集合{f(x)|x∈A}．
2．函数的表示法
表示函数的常用方法有：解析法、列表法、图像法．
3．分段函数
若函数在定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．
1．两种对应关系
f：A→B表示从A到B的一个函数，即从A到B的元素是一对一或多对一，值域为B的子集．
2．两个关注点
(1)分段函数是一个函数．
(2)分段函数的定义域、值域是各段定义域、值域的并集．
3．函数的三要素与相等函数
函数的三要素为定义域、对应法则和值域，而值域是由定义域和对应法则确定的，故如果两个函数的定义域、对应法则分别相同，这两个函数为相等函数．
[四基自测]
1．(基础点：函数的定义域)函数f(x)＝＋的定义域为( )
A．[0，2)
B．(2，＋∞)
C．[0，2)∪(2，＋∞)
D．(－∞，2)∪(2，＋∞)
答案：C
2．(基础点：待定系数法求解析式)若f(x)＝x2＋bx＋c且f(1)＝0，f(3)＝0，则f(x)＝________．
答案：x2－4x＋3
3．(基础点：求函数值)已知函数f(x)＝log2(x2＋a)．若f(3)＝1，则a＝________．
解析：∵f(x)＝log2(x2＋a)且f(3)＝1，∴1＝log2(9＋a)，∴9＋a＝2，∴a＝－7.
答案：－7
4．(基础点：分段函数)已知函数f(x)＝，则f(f())＝________．
答案：
授课提示：对应学生用书第10页
考点一 求函数的定义域
挖掘1 求给定函数解析式的定义域/
自主练透
[例1] (1)函数f(x)＝＋lg(3－x)的定义域是( )
A．(3，＋∞)
B．(2，3)
C．[2，3)
D．(2，＋∞)
[解析] 由题意得解得2＜x＜3，故选B.
[答案] B
(2)(2020·九江七校联考)函数y＝的定义域是( )
A．(－1，3)
B．(－1，3]
C．(－1，0)∪(0，3)
D．(－1，0)∪(0，3]
[解析] 由题意得?－1＜x≤3且x≠0.故选D.
[答案] D
[破题技法] 已知函数的具体解析式求定义域的方法
(1)若f(x)是由一些基本初等函数通过四则运算构成的，则它的定义域为各基本初等函数的定义域的交集．
(2)复合函数的定义域：先由外层函数的定义域确定内层函数的值域，从而确定对应的内层函数自变量的取值范围，还需要确定内层函数的定义域，两者取交集即可．
挖掘2 抽象函数的定义域/
互动探究
[例2] (1)若函数y＝f(x)的定义域是[0，3]，则函数g(x)＝的定义域是( )
A．[0，1)
B．[0，1]
C．[0，1)∪(1，9]
D．(0，1)
[解析] 依题意得即0≤x＜1，因此函数g(x)的定义域是[0，1)，故选A.
[答案] A
(2)若函数f(2x＋1)的定义域为[－1，1]，则函数f(x2－1)的定义域为________．
[解析] 因为f(2x＋1)的定义域为[－1，1]，即－1≤x≤1，
所以－1≤2x＋1≤3，
对函数f(x2－1)而言，－1≤x2－1≤3，
解得－2≤x≤2.
[答案] [－2，2]
[破题技法] 1.若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f(g(x))的定义域可由不等式a≤g(x)≤b求出．
2．若已知函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]上的值域．
提醒：(1)定义域的形式是集合或者区间；
(2)混淆f(2x＋1)与f(x)与f(x2－1)中的x的意义．
1．若例2(1)的条件不变，求g(x)＝的定义域．
解析：，
∴，
定义域为[0，1)∪(1，]．
2．若例2(2)条件不变，求f(x)的定义域．
解析：由－1≤x≤1，得－1≤2x＋1≤3，
∴f(x)的定义域为[－1，3]．
考点二 求函数的解析式
挖掘1 待定系数法求解析式/
互动探究
[例1] 已知f(x)是一次函数，且f[f(x)]＝4x＋3，则f(x)的解析式为________________．
[解析] 由题意设f(x)＝ax＋b(a≠0)，则f[f(x)]＝f(ax＋b)＝a(ax＋b)＋b＝a2x＋ab＋b＝4x＋3，∴解得或故所求解析式为f(x)＝－2x－3或f(x)＝2x＋1.
[答案] f(x)＝－2x－3或f(x)＝2x＋1
[破题技法]
方法
解读
适合题型
待定系数法
先设出含有待定系数的解析式，再利用恒等式的性质，或将已知条件代入，建立方程(组)，通过解方程(组)求出相应的待定系数，从而得到所求函数的解析式
已知所求曲线的种类和函数解析式的具体形式
挖掘2 配凑、换元法求解析式/
自主练透
[例2] 已知f(＋1)＝x＋2，则f(x)的解析式为________．
[解析] 法一：设t＝＋1(t≥1)，则x＝(t－1)2，∴f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－2t＋1＋2t－2＝t2－1，∴f(x)＝x2－1(x≥1)．
法二：∵x＋2＝()2＋2＋1－1＝(＋1)2－1，
∴f(＋1)＝(＋1)2－1，
∴f(x)＝x2－1(x≥1)．
[答案] f(x)＝x2－1(x≥1)
[破题技法]
方法
解读
适合题型
配凑法
由已知条件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的表达式
形如y＝f(g(x))的函数解析式
换元法
对于形如y＝f(g(x))的函数解析式，可令t＝g(x)，从中求出x＝φ(t)，然后代入表达式求出f(t)，得到关于t的解析式，再将t换成x，得到f(x)的解析式，此时自变量x的定义域就是t＝g(x)的值域
形如y＝f(g(x))的函数解析式
挖掘3 方程组法求解析式/
互动探究
[例3] 已知函数f(x)满足f(x)＝2f＋x，求f(x)的解析式．
[解析] 由f(x)＝2f＋x①，得f＝2f(x)＋②，①＋②×2得f(x)＝x＋4f(x)＋，
则f(x)＝－－x.
[破题技法]
方法
解读
适合题型
解方程组法
已知f(x)与f(g(x))满足的关系式，要求f(x)时，可用φ(x)代替两边的所有x，得到关于f(x)及f(φ(x))的方程组，解之即可得出f(x)
已知关于f(x)与f或f(x)与f(－x)的表达式
已知函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且f(x)＝2f·－1，则f(x)＝________．
解析：在f(x)＝2f－1中，用代替x，
得f＝2f(x)－1，
将f＝－1，
代入f(x)＝2f－1中，可求得f(x)＝＋.
答案：＋
考点三 分段函数及应用
挖掘1 已知自变量求函数值/
自主练透
[例1] (2020·合肥一模)已知函数f(x)＝则f[f(1)]＝( )
A．－
B．2
C．4
D．11
[解析] ∵函数f(x)＝
∴f(1)＝12＋2＝3，∴f[f(1)]＝f(3)＝3＋＝4.故选C.
[答案] C
挖掘2 给定函数值求自变量/
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[例2] (1)已知f(x)＝若f(a)＝，则a＝__________．
[解析] 若a≥0，由f(a)＝得，a＝，
解得a＝；
若a<0，则|sin
a|＝，a∈，
解得a＝－.综上可知，a＝或－.
[答案] 或－
(2)已知函数f(x)＝且f(a)＝－3，则f(6－a)＝________．
[解析] 当a≤1时，f(a)＝2a－2＝－3无解；
当a＞1时，由f(a)＝－log2(a＋1)＝－3，得a＋1＝8，
解得a＝7，
所以f(6－a)＝f(－1)＝2－1－2＝－.
[答案] －
挖掘3 分段函数与不等式问题/
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[例3] (2018·高考全国卷Ⅰ)设函数f(x)＝则满足f(x＋1)＜f(2x)的x的取值范围是( )
A．(－∞，－1]
B．(0，＋∞)
C．(－1，0)
D．(－∞，0)
[解析] ①当即x≤－1时，?(x＋1)＜?(2x)即为2－(x＋1)＜2－2x，
即－(x＋1)＜－2x，解得x＜1.
因此不等式的解集为(－∞，－1]．
②当时，不等式组无解．
③当即－1＜x≤0时，?(x＋1)＜?(2x)即1＜2－2x，解得x＜0.因此不等式的解集为(－1，0)．
④当即x＞0时，?(x＋1)＝1，?(2x)＝1，不合题意．
综上，不等式?(x＋1)＜?(2x)的解集为(－∞，0)．
故选D.
[答案] D
挖掘4 分段函数与方程问题/
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[例4] (2018·高考全国卷Ⅰ)已知函数?(x)＝g(x)＝?(x)＋x＋a.若g(x)存在2个零点，则a的取值范围是( )
A．[－1，0)
B．[0，＋∞)
C．[－1，＋∞)
D．[1，＋∞)
[解析] 令h(x)＝－x－a，
则g(x)＝?(x)－h(x)．
在同一坐标系中画出y＝?(x)，y＝h(x)图像的示意图，如图所示．若g(x)存在2个零点，则y＝?(x)的图像与y＝h(x)的图像有2个交点，平移y＝h(x)的图像，可知当直线y＝－x－a过点(0，1)时，有2个交点，此时1＝－0－a，a＝－1.当y＝－x－a在y＝－x＋1上方，即a＜－1时，仅有1个交点，不符合题意．
当y＝－x－a在y＝－x＋1下方，即a＞－1时，有2个交点，符合题意．
综上，a的取值范围为[－1，＋∞)．故选C.
[答案] C
[破题技法] 1.根据分段函数解析式求函数值．首先确定自变量的值属于哪个区间，其次选定相应的解析式代入求解．
2．已知函数值或函数的取值范围求自变量的值或范围时，应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或范围是否符合相应段的自变量的取值范围．
提醒：当分段函数的自变量范围不确定时，应分类讨论．
将例3改为f(x)＝，满足f(x＋1)＞f(2x)的x的范围为________．
解析：由题意得，
得－＜x＜0.
答案：(－，0)
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