第九节 函数模型及其应用
授课提示：对应学生用书第34页
[基础梳理]
1．几类常见的函数模型
函数模型
函数解析式
一次函数模型
f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)
反比例函数模型
f(x)＝＋b(k，b为常数且k≠0)
二次函数模型
f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
指数函数模型
f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a＞0且a≠1)
对数函数模型
f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a＞0且a≠1)
幂函数模型
f(x)＝axn＋b(a，b为常数，a≠0)
2.三种函数模型的性质
函数性质
y＝ax(a＞1)
y＝logax(a＞1)
y＝xn(n＞0)
在(0，＋∞)上的增减性
单调递增
单调递增
单调递增
增长速度
越来越快
越来越慢
相对平稳
图像的变化
随x的增大逐渐表现为与y轴平行
随x的增大逐渐表现为与x轴平行
随n值变化而各有不同
值的比较
存在一个x0，当x>x0时，有logax＜xn＜ax
解决实际应用问题的一般步骤
(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型．
(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型．
(3)求模：求解数学模型，得出数学结论．
(4)还原：将数学问题还原为实际问题的意义，以上过程用框图表示如下：
[四基自测]
1．(基础点：指数函数换型)某种产品的产量原来是a件，在今后m年内，计划使每年的产量比上一年增加p%，则该产品的产量y随年数x变化的函数解析式为( )
A．y＝a(1＋p%)x(0＜x＜m)
B．y＝a(1＋p%)x(0≤x≤m，x∈N)
C．y＝a(1＋xp%)(0＜x＜m)
D．y＝a(1＋xp%)(0≤x≤m，x∈N)
答案：B
2．(基础点：拟合函数模型)在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下列一组实验数据．现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是
( )
x
1.95
3.00
3.94
5.10
6.12
y
0.97
1.59
1.98
2.35
2.61
A.y＝2x
B．y＝log2x
C．y＝(x2－1)
D．y＝2.61cos
x
答案：B
3．(基础点：分段函数模型)某城市客运公司确定客票价格的方法是：如果行程不超过100
km，票价是0.5元/km，如果超过100
km，超过100
km的部分按
0.4元/km定价，则客运票价y(元)与行驶千米数x(km)之间的函数关系式是________．
答案：y＝
4．(基础点：二次函数模型)有一批材料可以建成200
m长的围墙，如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样的材料隔成三个面积相等的矩形(如图所示)，则围成的矩形最大面积为________．(围墙厚度不计)
答案：2
500
m2
授课提示：对应学生用书第35页
考点一 由函数图像刻画变化过程
挖掘 体会函数中变量的关系/
自主练透
[例]
(1)(2020·安阳模拟)如图是张大爷晨练时所走的离家距离(y)与行走时间(x)之间的函数关系图，若用黑点表示张大爷家的位置，则张大爷散步行走的路线可能是( )
[解析] 由图形可知，张大爷的行走路线是：开始一段时间离家越来越远，然后有一段时间离家的距离不变，然后离家越来越近，C符合．
[答案] C
(2)2018年6月，上海合作组织青岛峰会后，青岛成为国内外旅游的好去处，随着游客的增加，菜价上涨，某部门为尽快实现稳定菜价，提出四种绿色运输方案．据预测，这四种方案均能在规定的时间T内完成预测的运输任务
Q0，各种方案的运输总量Q与时间t的函数关系如图所示，在这四种方案中，运输效率(单位时间的运输量)逐步提高的是( )
[解析] 由运输效率(单位时间的运输量)逐步提高得曲线上的点的切线斜率应该逐渐增大．
[答案] B
[破题技法] 判断函数图像与实际问题中两变量变化过程相吻合的两种方法
(1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图像．
(2)验证法：当根据题意不易建立函数模型时，则根据实际问题中两变量的变化特点，结合图像的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案．
考点二 已知函数模型的实际问题
挖掘 函数模型的应用/
互动探究
[例] 为了贯彻落实习近平总书记提出的“决战决胜脱贫攻坚战”，某地开展了“万名干部下基层”，以实际行动践行初心使命，某工作队结合所驻村的自然条件，帮助村民投入200万元，搭建了甲、乙两个无公害蔬菜大棚，每个大棚至少要投入20万元，其中甲大棚种西红柿，乙大棚种黄瓜，根据以往的种菜经验，发现种西红柿的年收入P、种黄瓜的年收入Q与投入a(单位：万元)满足P＝80＋4，Q＝a＋120，设甲大棚的投入为x(单位：万元)，每年两个大棚的总收益为f(x)(单位：万元)．
(1)求f(50)的值；
(2)试问如何安排甲、乙两个大棚的投入，才能使总收益f(x)最大？
[解析] (1)由题意知甲大棚投入50万元，则乙大棚投入150万元，∴f(50)＝80＋4＋×150＋120＝277.5(万元)．
(2)f(x)＝80＋4＋(200－x)＋120＝－x＋4＋250，依题意得?20≤x≤180，
故f(x)＝－x＋4＋250(20≤x≤180)．
令t＝，则t∈[2，6]，
y＝－t2＋4t＋250＝－(t－8)2＋282，
当t＝8，
即x＝128时，f(x)取得最大值，f(x)max＝282.
∴甲大棚投入128万元，乙大棚投入72万元时，总收益最大，且最大总收益为282万元．
[破题技法] 对于已知函数模型解决问题
(1)将题目中已知函数变量转化为实际量理解．
(2)根据实际意义，求自变量x的取值范围(定义域)．
(3)根据函数模型，确定要解决的问题及方法．
(4)回答实际问题．
考点三 构建函数模型的实际问题
挖掘1 构建一次函数、二次函数、分段函数模型/
自主练透
[例1] (2020·西宁模拟)牧场中羊群的最大畜养量为m只，为保证羊群的生长空间，实际畜养量不能达到最大畜养量，必须留出适当的空闲量．已知羊群的年增长量y只和实际畜养量x只与空闲率的乘积成正比，比例系数为k(k>0)．
(1)写出y关于x的函数关系式，并指出这个函数的定义域；
(2)求羊群年增长量的最大值；
(3)当羊群的年增长量达到最大值时，求k的取值范围．
[解析] (1)根据题意，由于最大畜养量为m只，实际畜养量为x只，则畜养率为，故空闲率为1－，由此可得y＝kx(0
(2)对原二次函数配方，得y＝－(x2－mx)＝－＋.
即当x＝时，y取得最大值.
(3)由题意知为给羊群留有一定的生长空间，则有实际畜养量与年增长量的和小于最大畜养量，即0因为当x＝时，ymax＝，
所以0<＋又因为k>0，所以0挖掘2 构建y＝x＋(a>0)函数模型/
互动探究
[例2] (2020·烟台模拟)小王大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业．经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本为3万元，每生产x万件，需另投入流动成本为W(x)万元．在年产量不足8万件时，W(x)＝x2＋x(万元)；在年产量不小于8万件时，W(x)＝6x＋－38(万元)．每件产品售价为5元．通过市场分析，小王生产的商品能当年全部售完．
(1)写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(万件)的函数解析式；(注：年利润＝年销售收入－固定成本－流动成本)
(2)年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？
[解析] (1)因为每件产品售价为5元，则x万件产品的销售收入为5x万元，依题意得：当0L(x)＝5x－－3＝－x2＋4x－3，
当x≥8时，L(x)＝5x－－3＝35－，所以L(x)＝
(2)当0当x≥8时，L(x)＝35－≤35－2＝35－20＝15(万元)．
此时，当且仅当x＝，即x＝10时，L(x)取得最大值15万元．
因为9<15，所以当年产量为10万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大，最大利润为15万元．
挖掘3 构建指数、对数模型的实际问题/
互动探究
[例3] 候鸟每年都要随季节的变化而进行大规模地迁徙，研究某种鸟类的专家发现，该种鸟类的飞行速度v(单位：m/s)与其耗氧量Q之间的关系为：v＝a＋blog3(其中a，b是实数)．据统计，该种鸟类在静止的时候其耗氧量为30个单位，而其耗氧量为90个单位时，其飞行速度为1
m/s.
(1)求出a，b的值；
(2)若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2
m/s，则其耗氧量至少要多少个单位？
[解析] (1)由题意可知，当这种鸟类静止时，它的速度为0
m/s，此时耗氧量为30个单位，故有a＋blog3
＝0，
即a＋b＝0；当耗氧量为90个单位时，速度为1
m/s，故a＋blog3＝1，整理得a＋2b＝1.
解方程组得
(2)由(1)知，v＝a＋blog3＝－1＋log3.所以要使飞行速度不低于2
m/s，则有v≥2，即－1＋log3≥2，即log3≥3，解得Q≥270.
所以若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2
m/s，则其耗氧量至少要270个单位．
挖掘4 拟合函数的选择/
互动探究
[例4] 某种特色水果每年的上市时间从4月1号开始仅能持续5个月的时间．上市初期价格呈现上涨态势，中期价格开始下降，后期价格在原有价格基础之上继续下跌．现有三种价格变化的模拟函数可供选择：①f(x)＝p·qx；②f(x)＝px2＋qx＋7；③f(x)＝logq(x＋p)．其中p，q均为常数且q＞1.(注：x表示上市时间，f(x)表示价格，记x＝0表示4月1号，x＝1表示5月1号，…，以此类推x∈[0，5])
(1)在上述三个价格模拟函数中，哪一个更能体现该种水果的价格变化态势，请你选择，并简要说明理由；
(2)对(1)中所选的函数f(x)，若f(2)＝11，f(3)＝10，记g(x)＝，经过多年的统计发现，当函数g(x)取得最大值时，拓展外销市场的效果最为明显，请预测明年拓展外销市场的时间是几月1号？
[解析] (1)根据题意，该种水果价格变化趋势是先单调递增后一直单调递减，基本符合开口向下的二次函数变化趋势，
故应该选择②f(x)＝px2＋qx＋7.
(2)由f(2)＝11，f(3)＝10解得f(x)＝－x2＋4x＋7.
g(x)＝＝－
＝－.
因为－≤－2，
当且仅当x＋1＝3即x＝2时等号成立．
所以明年拓展外销的时间应为6月1号．
[破题技法] 1.建立函数模型的技巧
(1)在实际问题中，若两个变量之间的关系是直线上升或直线下降或图像为直线(或其一部分)，一般构建一次函数模型，利用一次函数的图像与性质求解．
(2)实际问题中的如面积问题、利润问题、产量问题或其图像为抛物线(或抛物线的一部分)等，一般选用二次函数模型，根据已知条件确定二次函数解析式．结合二次函数的图像、最值求法、单调性、零点等知识将实际问题解决．
(3)实际问题中有些变量间的关系不能用同一个关系式给出，而是由几个不同的关系式构成，如出租车计价与路程之间的关系，应构建分段函数模型求解．
2．建立函数模型的步骤
―→―→―→.
PAGE第十二节 导数的综合应用
授课提示：对应学生用书第45页
[基础梳理]
1．利用导数证明不等式
若证明f(x)2．利用导数解决不等式的恒成立问题
利用导数研究不等式恒成立问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
3．利用导数研究函数的零点
用导数研究函数的零点，一方面用导数判断函数的单调性，借助零点存在性定理判断；另一方面，也可将零点问题转化为函数图像的交点问题，利用数形结合来解决．
1．研究函数图像的交点、方程的根、函数的零点，归根到底是研究函数的性质，如单调性、极值等．
2．给出了具体的函数关系式，只需研究这个函数的性质即可．
3．函数关系式中含有比例系数，根据已知数据求出比例系数得到函数关系式，再研究函数的性质．
4．没有给出函数关系，需要先建立函数关系，再研究函数的性质．
第一课时 导数与不等式问题
授课提示：对应学生用书第45页
考点一 不等式证明
[例] (2018·高考全国卷Ⅰ)已知函数?(x)＝aex－ln
x－1.
(1)设x＝2是?(x)的极值点，求a，并求?(x)的单调区间；
(2)证明：当a≥时，?(x)≥0.
[解析] (1)?(x)的定义域为(0，＋∞)，?′(x)＝aex－.
由题设知，?′(2)＝0，所以a＝.
从而?(x)＝ex－ln
x－1，?′(x)＝ex－.当0＜x＜2时，?′(x)＜0；当x＞2时，?′(x)＞0.
所以?(x)在(0，2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增．
(2)证明：当a≥时，?(x)≥－ln
x－1.设g(x)＝－ln
x－1，则g′(x)＝－.当0＜x＜1时，g′(x)＜0；当x＞1时，g′(x)＞0.
所以x＝1是g(x)的最小值点．
故当x＞0时，g(x)≥g(1)＝0.
因此，当a≥时，?(x)≥0.
[破题技法] 利用导数证明不等式f(x)＞g(x)的基本方法
(1)若f(x)与g(x)的最值易求出，可直接转化为证明f(x)min＞g(x)max；
(2)若f(x)与g(x)的最值不易求出，可构造函数h(x)＝f(x)－g(x)，然后根据函数h(x)的单调性或最值，证明h(x)＞0.
设函数f(x)＝，求证f(x)＜.
证明：f(x)＝(x＞0)，
∴f′(x)＝.
令f′(x)＝0，即1－2ln
x＝0，∴x＝e.
x∈(0，e)，f′(x)＞0，x∈(e，＋∞)，f′(x)＜0，
∴f(x)在(0，e)上为增函数，在(e，＋∞)为减函数，
∴f(x)max＝f(e)＝，
∴f(x)≤＜.
考点二 不等式恒成立问题
[例] 已知函数f(x)＝axex－(a＋1)(2x－1)．
(1)若a＝1，求函数f(x)的图像在点(0，f(0))处的切线方程；
(2)若当x＞0时，f(x)≥0恒成立，求实数a的取值范围．
[解析] (1)若a＝1，则f(x)＝xex－2(2x－1)，f′(x)＝xex＋ex－4，
当x＝0时，f(0)＝2，f′(0)＝－3，
所以所求切线方程为y＝－3x＋2.
(2)法一：f(x)＝axex－(a＋1)(2x－1)，f′(x)＝a(x＋1)ex－2(a＋1)，
由条件可得，f(1)≥0，解得a≥＞0，
令h(x)＝f′(x)＝a(x＋1)ex－2(a＋1)，
则h′(x)＝a(x＋2)ex，当x＞0时，h′(x)＞0，所以h(x)＝f′(x)单调递增，
而f′(0)＝－2－a＜0，f′(1)＝2ea－2a－2≥0，所以方程f′(x)＝0存在唯一根x0，x0∈(0，1]，使得函数f(x)在(0，x0)上单调递减，在(x0，＋∞)上单调递增，
所以函数f(x)在(0，＋∞)上的最小值为f(x0)＝ax0ex0－(a＋1)(2x0－1)，当x＞0时，要使f(x)≥0恒成立，只需f(x0)≥0即可，
又x0满足ex0＝，
得f(x0)＝eq
\f(（a＋1）（－2x＋x0＋1）,x0＋1)，
因为x0∈(0，1]，所以－2x＋x0＋1≥0，所以f(x0)≥0，所以f(x)≥0在(0，＋∞)上恒成立，
所以实数a的取值范围为[，＋∞)．
法二：由条件可得，f(1)≥0，解得a≥＞0，
当x＞0时，f(x)≥0恒成立，等价于xex≥(2x－1)对任意的x＞0恒成立，等价于当x＞0时，函数y1＝xex的图像总不在直线y2＝(2x－1)的下方．
令Q(x)＝xex(x＞0)，则Q′(x)＝(x＋1)·ex＞0，所以Q(x)＝xex(x＞0)单调递增；
令P(x)＝Q′(x)＝(x＋1)ex(x＞0)，则P′(x)＝(x＋2)ex＞0，
所以P(x)＝(x＋1)ex(x＞0)单调递增，所以Q(x)＝xex(x＞0)为凹函数，
又y2＝(2x－1)是过定点(，0)的直线系，当直线与曲线相切时，可设切点为T(x0，y0)(x0＞0)，
则
即
解得x0＝1，此时切线的斜率为Q′(1)＝2e，
则当x＞0时，要使f(x)≥0恒成立，只需≤2e即可，解得a≥.
故a的取值范围是[，＋∞)．
[破题技法] 不等式恒成立问题的求解策略
(1)已知不等式f(x，λ)≥0(λ为实参数)对任意的x∈D恒成立，求参数λ的取值范围．利用导数解决此类问题可以运用分离参数法，其一般步骤如下：
(2)如果无法分离参数，可以考虑对参数或自变量进行分类讨论求解，如果是二次不等式恒成立的问题，可以考虑二次项系数与判别式的方法(a＞0，Δ＜0或a＜0，Δ＜0)求解．
(3)不等式存在性问题的求解策略
“恒成立”与“存在性”问题的求解是“互补”关系，即f(x)≥g(a)对于x∈D恒成立，应求f(x)的最小值；若存在x∈D，使得f(x)≥g(a)成立，应求f(x)的最大值．在具体问题中究竟是求最大值还是最小值，可以先联想“恒成立”是求最大值还是最小值，这样也就可以解决相应的“存在性”问题是求最大值还是最小值．特别需要关注等号是否成立，以免细节出错．
已知函数f(x)＝(x≠0)．
(1)判断函数f(x)在区间上的单调性；
(2)若f(x)＜a在区间上恒成立，求实数a的最小值．
解析：(1)f′(x)＝，
令g(x)＝xcos
x－sin
x，x∈，
则g′(x)＝－xsin
x，
显然，当x∈时，
g′(x)＝－xsin
x＜0.
即函数g(x)在区间上单调递减，且g(0)＝0，
从而g(x)在区间上恒小于零，所以f′(x)在区间上恒小于零，所以函数f(x)在区间上单调递减．
(2)不等式f(x)＜a，x∈恒成立，即sin
x－ax＜0恒成立．
令φ(x)＝sin
x－ax，x∈，
则φ′(x)＝cos
x－a，且φ(0)＝0.
当a≥1时，在区间上φ′(x)＜0，即函数φ(x)单调递减，
所以φ(x)＜φ(0)＝0，
即sin
x－ax＜0恒成立，
当0＜a＜1时，φ′(x)＝cos
x－a＝0在区间上存在唯一解x0，
当x∈(0，x0)时，φ′(x)＞0，
故φ(x)在区间(0，x0)上单调递增，且φ(0)＝0，
从而φ(x)在区间(0，x0)上大于零，这与sin
x－ax＜0恒成立相矛盾，
当a≤0时，在区间上φ′(x)＞0，
即函数φ(x)单调递增，且φ(0)＝0，得sin
x－ax＞0恒成立，这与sin
x－ax＜0恒成立相矛盾．
故实数a的最小值为1.
考点三 不等式存在性问题
[例] 设函数f(x)＝aln
x＋x2－bx(a≠1)，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率为0.
(1)求b；
(2)若存在x0≥1，使得f(x0)<，求a的取值范围．
[解析] (1)f′(x)＝＋(1－a)x－b，
由题设知f′(1)＝0，解得b＝1.
(2)f(x)的定义域为(0，＋∞)，
由(1)知，f(x)＝aln
x＋x2－x，
f′(x)＝＋(1－a)x－1＝(x－1)．
①若a≤，则≤1，故当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)在(1，＋∞)上单调递增，
所以，存在x0≥1，使得f(x0)<成立的充要条件为f(1)<，即－1<，解得－－1②若1，
故当x∈时，f′(x)<0，
当x∈时，f′(x)>0，
f(x)在上单调递减，在上单调递增．
所以，存在x0≥1，使得f(x0)<成立的充要条件为f<.
而f＝aln＋＋>，所以不合题意．
③若a>1，则f(1)＝－1＝<.
综上，a的取值范围是(－－1，－1)∪(1，＋∞)．
[破题技法] 不等式存在性问题，也是转化为函数最值问题，其关键点为：
(1)存在x使f(x)≥a成立?f(x)max≥a.
(2)存在x使f(x)≤b成立?f(x)min≤b.
(3)任意x1∈M，存在x2∈N，f(x1)>g(x2)?f(x1)min>g(x2)min.
(4)存在x1∈M，存在x2∈N，f(x1)>g(x2)?f(x1)max>g(x2)min.
(5)存在x1∈M，任意x2∈N，f(x1)>g(x2)?f(x1)max>g(x2)max.
已知函数f(x)＝ln
x＋－1.
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)设m∈R，对任意的a∈(－1，1)，总存在x0∈[1，e]，使得不等式ma－f(x0)＜0成立，求实数m的取值范围．
解析：(1)f′(x)＝－＝，x＞0.
令f′(x)＞0，得x＞1，因此函数f(x)的单调递增区间是(1，＋∞)．
令f′(x)＜0，得0＜x＜1，因此函数f(x)的单调递减区间是(0，1)．
(2)依题意，ma＜f(x)max.由(1)知，f(x)在x∈[1，e]上是增函数．
所以f(x)max＝f(e)＝ln
e＋－1＝.
所以ma＜，即ma－＜0对于任意的a∈(－1，1)恒成立．
所以解得－≤m≤.
所以m的取值范围是.
PAGE第十二节第二课时 导数与函数的零点问题
授课提示：对应学生用书第47页
考点一 利用导数判断函数的零点个数或区间
[例] 已知函数f(x)＝1＋x－＋－＋…＋，g(x)＝1－x＋－＋－…－，设函数F(x)＝f(x＋2)·g(x－3)，且函数F(x)的零点均在区间[a，b](a＜b，a，b∈Z)内，求b－a的最小值．
[解析] f′(x)＝1－x＋x2－x3＋…＋x2
018＝＞0，
所以f(x)在[a，b](a＜b，a，b∈Z)上为增函数，至多有一个零点．
f(－1)＝1＋(－1)－＋－…＋＝－－－…－＜0，
f(0)＝1＞0，所以f(x)的零点x满足－1＜x＜0，所以f(x＋2)的零点x1满足－1＜x1＋2＜0，则－3＜x1＜－2.
g′(x)＝－1＋x－x2＋x3－…－x2
018＝－＜0，
所以g(x)在[a，b](a＜b，a，b∈Z)上为减函数，至多有一个零点．
g(1)＝1－1＋－＋…＋－＞0，g(2)＜0，
所以g(x)的零点x满足1＜x＜2，所以g(x－3)的零点x2满足1＜x2－3＜2，所以4＜x2＜5，
故b－a的最小值为5－(－3)＝8.
[破题技法] 判断函数零点个数的方法
(1)直接解方程法，令f(x)＝0，如果能求出解，那么有几个解就有几个零点；(2)利用零点的存在性定理，定理的使用前提不仅要求函数图像在区间[a，b]上是连接不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还要注意结合函数的图像与性质才能确定函数有多少个零点；(3)数形结合法，将原问题转化为两个函数图像的交点个数问题．
(2019·高考全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝2sin
x－xcos
x－x，f′(x)为f(x)的导数．
(1)证明：f′(x)在区间(0，π)存在唯一零点；
(2)若x∈[0，π]时，f(x)≥ax，求a的取值范围．
解析：(1)证明：设g(x)＝f′(x)，则g(x)＝cos
x＋xsin
x－1，g′(x)＝xcos
x.
当x∈时，g′(x)>0；当x∈时，g′(x)<0，
所以g(x)在上单调递增，在上单调递减．
又g(0)＝0，g>0，g(π)＝－2，
故g(x)在(0，π)存在唯一零点．
所以f′(x)在区间(0，π)存在唯一零点．
(2)由题设知f(π)≥aπ，f(π)＝0，可得a≤0.
由(1)知，f′(x)在(0，π)只有一个零点，设为x0，且当x∈(0，x0)时，f′(x)>0；当x∈(x0，π)时，f′(x)<0，所以f(x)在(0，x0)上单调递增，在(x0，π)上单调递减．
又f(0)＝0，f(π)＝0，所以当x∈[0，π]时，f(x)≥0.
又当a≤0，x∈[0，π]时，ax≤0，故f(x)≥ax.
因此，a的取值范围是(－∞，0]．
考点二 由函数零点或方程的根求参数问题
[例] 已知函数f(x)＝ln
x－kx＋1(k为常数)，若f(x)有且只有一个零点，求k的取值组成的集合．
[解析] 易知f′(x)＝(x＞0)．
①k≤0时，f′(x)＞0，f(x)在(0，＋∞)上单调递增．
而f(ek－2)＝k－2－k·ek－2＋1＝k(1－ek－2)－1≤－1＜0，f(1)＝1－k＞0，故f(x)在(ek－2，1)上存在唯一零点，满足题意．
②k＞0时，令f′(x)＞0，得x＜，则f(x)在(0，)上单调递增；令f′(x)＜0，得x＞，则f(x)在(，＋∞)上单调递减．
若f()＝0，即k＝1，显然满足题意．
若f()＞0，即0＜k＜1，而f()＝＜0，又f()＝2ln－＋1＝2(ln－)＋1，令h(x)＝ln
x－x＋1(x＞0)，则h′(x)＝，令h′(x)＞0，得x＜1，故h(x)在(0，1)上单调递增；令h′(x)＜0，得x＞1，故h(x)在(1，＋∞)上单调递减．故有h(x)≤h(1)＝0，则h()＝ln
－＋1＜0，
即ln
－＜－1.
则f()＝2(ln
－)＋1＜－1＜0，故f(x)在(，)上有唯一零点，在(，)上有唯一零点，不符合题意．
易知f()＜0时不符合题意．
综上，k的取值组成的集合是{k|k≤0或k＝1}．
[破题技法] 已知函数(方程)零点的个数求参数的取值范围
(1)函数在定义域上单调，满足零点存在性定理．
(2)若函数不是严格单调函数，则结合图像求最小值或最大值．
(3)分离参数后，数形结合，讨论参数所在直线与函数图像交点的个数．
若函数f(x)＝ax－x2(a＞1)有三个不同的零点，求实数a的取值范围．
解析：令f(x)＝ax－x2＝0，可得ax＝x2.
(1)当x＜0时，函数y＝ax与y＝x2的图像有一个交点；
(2)当x＞0时，两边同时取自然对数得xln
a＝2ln
x，
即ln
a＝，
由题意得函数y＝ln
a与g(x)＝的图像在(0，＋∞)上有两个不同的交点，g′(x)＝，令g′(x)＞0，解得0＜x＜e，则g(x)在(0，e)上单调递增，令g′(x)＜0，解得x＞e，则g(x)在(e，＋∞)上单调递减，则g(x)max＝g(e)＝，ln
a＜，
∴1＜a＜e时有两个交点；
又x＜0时，必有一个交点，
∴1＜a＜e时，函数f(x)＝ax－x2(a＞1)有三个不同的零点．
考点三 零点双变量问题
[例] 已知f(x)＝ex－ax有两个零点x1，x2，且x1＜x2，则下列不等关系正确的是( )
A．a＜e
B．x1＋x2＞2
C．x1·x2＞1
D．有极小值点x0且x1＋x2＞2x0
[解析] ①对于选项A，
(分离参数)若a＝0，不符合题意，故a≠0，令f(x)＝0，得＝.
设g(x)＝，则g′(x)＝(1－x)e－x，进而可得g(x)在(－∞，1)上是增函数，在(1，＋∞)上是减函数，所以g(x)在x＝1处取得极大值g(1)＝.由此可画出直线y＝与曲线y＝g(x)，如图所示，由图知，0＜＜，所以a＞e，故选项A错误．
②对于选项B，
(分离参数＋构造函数)由①可得g(x)在(－∞，1)上是增函数，在(1，＋∞)上是减函数，由g(x1)＝g(x2)及图可得0＜x1＜1＜x2，所以2－x2＜1.欲证x1＋x2＞2，即证x1＞2－x2.因为函数g(x)在(－∞，1)上是增函数，所以即证g(x1)＞g(2－x2)．
又g(x1)＝g(x2)，所以即证g(x2)＞g(2－x2)，即g(x2)－g(2－x2)＞0(x2＞1)．
设F(x)＝g(x)－g(2－x)＝－(x＞1)，
可得F′(x)＝(x－1)(ex－2－e－x)＞0(x＞1)．
所以函数F(x)在(1，＋∞)上是增函数，
所以F(x)＞F(1)＝0(x＞1)．
所以g(x2)＞g(2－x2)(x2＞1)，所以x1＋x2＞2，故选项B正确．
[答案] B
[破题技法] 求解零点双变量问题的常用策略：一是构造新函数；二是将原问题转化为极值点或拐点偏移问题．
设函数f(x)＝ex＋sin
x，g(x)＝x.若存在x1，x2∈[0，＋∞)使得f(x1)＝g(x2)成立，则x2－x1的最小值是________．
解析：设x2－x1＝t，由f(x1)＝g(x2)得x2＝2(ex1＋sin
x1)＝x1＋t，所以t＝2(ex1＋sin
x1)－x1，
所以x2－x1的最小值即函数F(x)＝2(ex＋sin
x)－x在[0，＋∞)上的最小值．
因为F′(x)＝2ex＋2cos
x－1(x≥0)，所以令φ(x)＝2ex＋2cos
x－1(x≥0)，
则φ′(x)＝2(ex－sin
x)＞0，所以函数F′(x)在[0，＋∞)上单调递增，
从而F′(x)≥F′(0)＝2＋2－1＝3＞0，所以F(x)在[0，＋∞)上单调递增，所以F(x)≥F(0)＝2，故x2－x1的最小值为2.
答案：2
PAGE第十节 变化率与导数、导数的运算
授课提示：对应学生用书第37页
[基础梳理]
1．导数的概念
(1)函数y＝f(x)在x＝x0处导数的定义
称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率＝
为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝＝．
(2)导数的几何意义
函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点P(x0，y0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)．
(3)函数f(x)的导函数称函数f′(x)＝为f(x)的导函数．
2．基本初等函数的导数公式
原函数
导函数
f(x)＝c(c为常数)
f′(x)＝0
f(x)＝xα(α∈Q
)
f′(x)＝αxα－1
f(x)＝sin
x
f′(x)＝cos__x
f(x)＝cos
x
f′(x)＝－sin__x
f(x)＝ax(a＞0，且a≠1)
f′(x)＝axln__a
f(x)＝ex
f′(x)＝ex
f(x)＝logax(a＞0，且a≠1)
f′(x)＝
f(x)＝ln
x
f′(x)＝
3.导数的运算法则
(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)．
(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)．
(3)′＝(g(x)≠0)．
1．求导其实质是一种数学运算即求导运算，有公式和法则，也有相应的适用范围或成立条件，要注意这一点，如(xn)′＝nxn－1中，n≠0且n∈Q
.′＝，要满足“＝”前后各代数式有意义，且导数都存在．
2．(1)f′(x0)代表函数f(x)在x＝x0处的导数值；(f(x0))′是函数值f(x0)的导数，而函数值f(x0)是一个常量，其导数一定为0，即(f(x0))′＝0.
(2)f′(x)是一个函数，与f′(x0)不同．
3．(1)“过”与“在”：曲线y＝f(x)“在点P(x0，y0)处的切线”与“过点P(x0，y0)的切线”的区别：前者P(x0，y0)为切点，而后者P(x0，y0)不一定为切点．
(2)“切点”与“公共点”：曲线的切线与曲线的公共点的个数不一定只有一个，而直线与二次曲线相切只有一个公共点．
[四基自测]
1．(基础点：求导数值)若f(x)＝x·ex，则f′(1)等于( )
A．0
B．e
C．2e
D．e2
答案：C
2．(易错点：导数的运算)已知f(x)＝x·ln
x，则f′(x)＝( )
A.
B．x＋1
C.＋x
D．ln
x＋1
答案：D
3．(基础点：求切线)函数f(x)＝x3在(0，0)处的切线为( )
A．不存在
B．x＝0
C．y＝0
D．y＝x
答案：C
4．(易错点：求切点)曲线y＝ex过点(0，0)的切线的斜率为________．
答案：e
授课提示：对应学生用书第38页
考点一 导数的计算
挖掘1 求导函数值/
自主练透
[例1] (1)设函数f(x)＝1－ex的图像与x轴交于P点(x0，y0)，则f′(x0)＝________．
[解析] 令1－ex0＝0，∴x0＝0，
而f′(x)＝－ex，∴f′(x0)＝f′(0)＝－e0＝－1.
[答案] －1
(2)若函数f(x)＝ln
x－f′(－1)x2＋3x－4，则f′(1)＝________．
[解析] ∵f′(x)＝－2f′(－1)x＋3，
∴f′(－1)＝－1＋2f′(－1)＋3，
解得f′(－1)＝－2，∴f′(1)＝1＋4＋3＝8.
[答案] 8
(3)若f(x)＝sin，则f′＝________．
[解析] ∵f(x)＝sin，
∴f′(x)＝cos，
∴f′＝cos＝－.
[答案] －
挖掘2 已知导数值求自变量/
互动探究
[例2] (1)已知函数f(x)＝x(2
020＋ln
x)且f′(x0)＝2
021，则x0＝( )
A．e2
B．1
C．ln
2
D．e
[解析] ∵f(x)＝x(2
020＋ln
x)＝2
020x＋xln
x，
∴f′(x)＝2
020＋ln
x＋x·＝2
021＋ln
x，
又f′(x0)＝2
021，∴ln
x0＝0，∴x0＝1.
[答案] B
(2)已知函数f(x)的导函数f′(x)，且满足f(x)＝2xf′(1)＋ln
x，若f′(x0)＝0，则x0＝________．
[解析] ∵f(x)＝2xf′(1)＋ln
x，
∴f′(x)＝[2xf′(1)]′＋(ln
x)′＝2f′(1)＋，
∴f′(1)＝2f′(1)＋1，即f′(1)＝－1.
∴f′(x0)＝－2＋，
∴－2＋＝0，∴x0＝.
[答案]
[破题技法] 1.求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错．
(1)连乘积形式：先展开化为多项式的形式，再求导；
(2)分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导；
(3)对数形式：先化为和、差的形式，再求导；
(4)根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导；
(5)三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导．
2．求导公式或求导法则中，要注意“＋”“－”的变化，如(cos
x)′＝－sin
x．区分f′(x)与f′(x0)．
3．复合函数的求导，要分清复合的层次．
考点二 导数的几何意义及应用
挖掘1 利用导数几何意义求切点、斜率、
切线/
互动探究
[例1] (1)(2018·高考全国卷Ⅰ)设函数?(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax，若?(x)为奇函数，则曲线y＝?(x)在点(0，0)处的切线方程为( )
A．y＝－2x
B．y＝－x
C．y＝2x
D．y＝x
[解析] 法一：∵?(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax，
∴?′(x)＝3x2＋2(a－1)x＋a.
又?(x)为奇函数，∴?(－x)＝－?(x)恒成立，即－x3＋(a－1)x2－ax＝－x3－(a－1)x2－ax恒成立，
∴a＝1，∴?′(x)＝3x2＋1，∴?′(0)＝1，
∴曲线y＝?(x)在点(0，0)处的切线方程为y＝x.
故选D.
法二：∵?(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax为奇函数，
∴?′(x)＝3x2＋2(a－1)x＋a为偶函数，
∴a＝1，即?′(x)＝3x2＋1，∴?′(0)＝1，
∴曲线y＝?(x)在点(0，0)处的切线方程为y＝x.
故选D.
[答案] D
(2)(2019·高考全国卷Ⅰ)曲线y＝3(x2＋x)ex在点(0，0)处的切线方程为________．
[解析] y′＝3(2x＋1)ex＋3(x2＋x)ex＝ex(3x2＋9x＋3)，
∴斜率k＝e0×3＝3，∴切线方程为y＝3x.
[答案] y＝3x
(3)若直线l与曲线C满足下列两个条件：(Ⅰ)直线l在点P(x0，y0)处与曲线C相切；(Ⅱ)曲线C在点P附近位于直线l的两侧．则称直线l在点P处“切过”曲线C.下列命题正确的是________(写出所有正确命题的序号)：
①直线l：y＝0在点P(0，0)处“切过”曲线C：y＝x3；
②直线l：x＝－1在点P(－1，0)处“切过”曲线C：y＝(x＋1)2
③直线l：y＝x在点P(0，0)处“切过”曲线C：y＝sin
x；
④直线l：y＝x在点P(0，0)处“切过”曲线C：y＝tan
x；
⑤直线l：y＝x－1在点P(1，0)处“切过”曲线C：y＝ln
x.
[解析] 对于①，由y＝x3，得y′＝3x2，则y′|x＝0＝0，直线y＝0是过点P(0，0)的曲线C的切线，又当x＞0时，y＞0，当x＜0时，y＜0，满足曲线C在P(0，0)附近位于直线y＝0两侧，∴命题①正确；对于②，由y＝(x＋1)2，得y′＝2(x＋1)，则y′|x＝－1＝0，而直线l：x＝－1斜率不存在，在点P(－1，0)处不与曲线C相切，
∴命题②错误；对于③，由y＝sin
x，得y′＝cos
x，则y′|x＝0＝1，直线y＝sin
x是过点P(0，0)的曲线C的切线，又x∈(－，0)时，x＜sin
x，x∈(0，)时，x＞sin
x，满足曲线C在P(0，0)附近位于直线y＝x两侧，∴命题③正确；对于④，由y＝tan
x，得y′＝，则y′|x＝0＝1，直线y＝x是过点P(0，0)的曲线的切线，又x∈(－，0)时，tan
x＜x，x∈(0，)时，tan
x＞x，满足曲线C在P(0，0)附近位于直线y＝x两侧，∴命题④正确；对于⑤，由y＝ln
x，得y′＝，则y′|x＝1＝1，曲线在P(1，0)处的切线为y＝x－1，设g(x)＝x－1－ln
x，得g′(x)＝1－，当x∈(0，1)时，g′(x)＜0，当x∈(1，＋∞)时，g′(x)＞0，∴g(x)在(0，＋∞)上的极小值也是最小值为g(1)＝0，∴直线y＝x－1恒在曲线y＝ln
x的上方，不满足曲线C在点P附近位于直线l的两侧，命题⑤错误，故答案为①③④.
[答案] ①③④
[破题技法] 求曲线的切线方程，注意已知点是否为切点，其关键点为：
(1)当点P(x0，y0)是切点时，切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)．
(2)当点P(x0，y0)不是切点时，可分以下几步完成：
第一步：设出切点坐标P′(x1，f(x1))；
第二步：写出过P′(x1，f(x1))的切线方程，为y－f(x1)＝f′(x1)(x－x1)；
第三步：将点P(x0，y0)代入切线方程求出x1；
第四步：将x1的值代入方程y－f(x1)＝f′(x1)(x－x1)可得过点P(x0，y0)的切线方程．
挖掘2 根据导数的几何意义求解析式中的参数/
互动探究
[例2] (1)(2019·高考全国卷Ⅲ)已知曲线y＝aex＋xln
x在点(1，ae)处的切线方程为y＝2x＋b，则( )
A．a＝e，b＝－1
B．a＝e，b＝1
C．a＝e－1，b＝1
D．a＝e－1，b＝－1
[解析] y′＝aex＋ln
x＋1，k＝y′|x＝1＝ae＋1，
∴切线方程为y－ae＝(ae＋1)(x－1)，
即y＝(ae＋1)x－1.
又∵切线方程为y＝2x＋b，
∴即a＝e－1，b＝－1.故选D.
[答案] D
(2)(2018·高考全国卷Ⅲ)曲线y＝(ax＋1)ex在点(0，1)处的切线的斜率为－2，则a＝________．
[解析] ∵y′＝(ax＋a＋1)ex，∴当x＝0时，y′＝a＋1，
∴a＋1＝－2，得a＝－3.
[答案] －3
(3)若曲线C1：y＝x2与曲线C2：y＝(a＞0)存在公共切线，则a的取值范围为( )
A．(0，1)
B．(1，]
C．[，2]
D．[，＋∞)
[解析] 易知曲线y＝x2在点(m，m2)处的切线斜率为2m，曲线y＝在点(n，)处的切线的斜率为，故2m＝，由斜率公式得2m＝，即m＝2n－2，则4n－4＝有解，即y＝4x－4，y＝的图像有交点即可，两图像相切时有a＝，所以a≥，故选D.
[答案] D
[破题技法] 有关切线问题求参数
对于此类问题，首先明确参数存在何处．其关键点为：
(1)利用切点，求f′(x0)，利用斜率建立关系k＝f′(x0)．
(2)利用切点的双重性，既在切线上又在曲线上建立关系．
(3)联立方程组求解．
PAGE第十一节 导数在研究函数中的应用
第十一节第一课时 导数与函数的单调性
授课提示：对应学生用书第41页
[基础梳理]
函数的单调性与导数的关系
函数y＝f(x)在某个区间内可导：
(1)若f′(x)＞0，则f(x)在这个区间内单调递增；
(2)若f′(x)＜0，则f(x)在这个区间内单调递减；
(3)若f′(x)＝0，则f(x)在这个区间内是常数函数．
导数与函数单调性的关系
(1)f′(x)＞0(或f′(x)＜0)是f(x)在(a，b)内单调递增(或递减)的充分不必要条件；
(2)若f′(x)＝0不恒成立，则f′(x)≥0(或f′(x)≤0)是可导函数f(x)在(a，b)内单调递增(或递减)的充要条件．
[四基自测]
1．(易错点：混淆f(x)的图像)如图所示是函数f(x)的导函数f′(x)的图像，则下列判断中正确的是( )
A．函数f(x)在区间(－3，0)上是减函数
B．函数f(x)在区间(－3，2)上是减函数
C．函数f(x)在区间(0，2)上是减函数
D．函数f(x)在区间(－3，2)上是单调函数
答案：A
2．(易错点：忽视定义域)函数f(x)＝x－ln
x的单调递减区间为( )
A．(0，1)
B．(0，＋∞)
C．(1，＋∞)
D．(－∞，0)∪(1，＋∞)
答案：A
3．(基础点：求单调区间)函数f(x)＝cos
x＋xsin
x，x∈(0，π)的递增区间为________．
答案：(0，)
4．(基础点：导数的应用)函数f(x)＝x3＋ax在R上为增函数，则a的取值范围为________．
答案：[0，＋∞)
授课提示：对应学生用书第41页
考点一 用导数讨论函数的单调性，求单调区间
挖掘1 用导数判断简单函数的单调性/
自主练透
[例1] (1)(2020·邯郸模拟)已知函数f(x)＝x2－5x＋2ln
x，则函数f(x)的单调递增区间是( )
A．(0，)和(1，＋∞)
B．(0，1)和(2，＋∞)
C．(0，)和(2，＋∞)
D．(1，2)
[解析] 函数f(x)＝x2－5x＋2ln
x的定义域是(0，＋∞)，令f′(x)＝2x－5＋＝＝＞0，解得0＜x＜或x＞2，故函数f(x)的单调递增区间是(0，)和(2，＋∞)．
[答案] C
(2)设函数f(x)＝x(ex－1)－x2，则f(x)的单调递增区间是________，单调递减区间是________．
[解析] ∵f(x)＝x(ex－1)－x2，
∴f′(x)＝ex－1＋xex－x＝(ex－1)(x＋1)．
当x∈(－∞，－1)时，f′(x)＞0.
当x∈[－1，0]时，f′(x)≤0.
当x∈(0，＋∞)时，f′(x)＞0.
故f(x)在(－∞，－1)，(0，＋∞)上单调递增，在[－1，0]上单调递减．
[答案] (－∞，－1)，(0，＋∞) [－1，0]
[破题技法] 根据导数与函数单调性的关系，通过导函数f′(x)的零点得到函数的单调区间，破解此类题的关键点：
(1)求定义域，利用使函数有意义的条件求解函数的定义域；
(2)求导数，根据基本初等函数的导数以及求导法则求出函数f(x)的导函数f′(x)；
(3)讨论导函数的符号，不等式f′(x)>0的解集就是函数f(x)的单调递增区间，不等式f′(x)<0的解集就是函数f(x)的单调递减区间．
挖掘2 讨论含参数的函数的单调性/
互动探究
[例2] (1)(2019·高考全国卷Ⅲ节选)已知函数f(x)＝2x3－ax2＋b，讨论f(x)的单调性；
[解析] f′(x)＝6x2－2ax＝2x(3x－a)．
令f′(x)＝0，得x＝0或x＝.
若a＞0，则当x∈(－∞，0)∪时，f′(x)＞0；
当x∈时，f′(x)＜0.
故f(x)在(－∞，0)，单调递增，在单调递减．
若a＝0，则f(x)在(－∞，＋∞)单调递增．
若a<0，则当x∈∪(0，＋∞)时，f′(x)>0；
当x∈时，f′(x)<0.
故f(x)在，(0，＋∞)单调递增，在单调递减．
(2)(2018·高考全国卷Ⅰ节选)已知函数f(x)＝－x＋aln
x，讨论f(x)的单调性．
[解析] ?(x)的定义域为(0，＋∞)，
?′(x)＝－－1＋＝－.
①若a≤2，则?′(x)≤0，当且仅当a＝2，x＝1时，
?′(x)＝0，
所以?(x)在(0，＋∞)上单调递减．
②若a＞2，令?′(x)＝0，得
x＝或x＝.
当x∈∪时，
?′(x)＜0；
当x∈时，
?′(x)＞0.
所以?(x)在，上单调递减，在上单调递增．
[破题技法] 对于含参数的函数的单调性要注意对参数的讨论．
考点二 导数在函数单调性中的应用
挖掘1 导数与解函数不等式、比较大小/
互动探究
[例1] (1)已知函数f(x)是定义在R上的可导函数，f′(x)为其导函数，若对于任意实数x，有f(x)－f′(x)＞0，则( )
A．ef(2
018)＞f(2
019)
B．ef(2
018)＜f(2
019)
C．ef(2
018)＝f(2
019)
D．ef(2
018)与f(2
019)大小不能确定
[解析] 令g(x)＝，则g′(x)＝＝，因为f(x)－f′(x)＞0，所以g′(x)＜0，所以函数g(x)在R上单调递减，所以g(2
018)＞g(2
019)，即＞，所以ef(2
018)＞f(2
019)，故选A.
[答案] A
(2)定义在R上的连续函数f(x)满足f(x)＋f(－x)＝x2，且x＜0时，f′(x)＜x恒成立，则不等式f(x)－f(1－x)≥x－的解集为( )
A.
B.
C.
D．(－∞，0)
[解析] 令g(x)＝f(x)－x2，
则g(x)＋g(－x)＝0?g(x)为奇函数，又x＜0时，g′(x)＝f′(x)－x＜0?g(x)在(－∞，0)上递减，则g(x)在(－∞，＋∞)上递减，
由f(x)－f(1－x)≥x－知f(x)－x2≥f(1－x)－(1－x)2，
即g(x)≥g(1－x)，从而x≤1－x?x≤，所以所求不等式的解集为.故选A.
[答案] A
[破题技法] 1.含有“f′(x)”的不等关系，其隐含条件是挖掘某函数的单调性，通过对不等关系变形，发现函数．
2．常见的构造函数思路
(1)已知f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)型：联想构造函数F(x)＝f(x)g(x)．
(2)已知“f′(x)g(x)－f(x)g′(x)”型：联想构造函数F(x)＝.
(3)已知“f(x)＋f′(x)”型：联想构造函数F(x)＝exf(x)．
(4)已知“f′(x)ln
x＋”型：联想构造函数F(x)＝f(x)ln
x.
挖掘2 已知函数单调性求参数/
互动探究
[例2] 设函数f(x)＝ex－ax2，若f(x)在(0，＋∞)单调递增，求a的取值范围．
[解析] ∵f(x)＝ex－ax2，x∈(0，＋∞)，
∴f′(x)＝ex－2ax.
要使f(x)在(0，＋∞)上单调递增，
则f′(x)＝ex－2ax≥0恒成立，
即a≤在(0，＋∞)恒成立．
设h(x)＝，∴h′(x)＝，
∴x∈(0，1)时，h′(x)＜0，x∈(1，＋∞)时，h′(x)＞0，
∴h(x)在(0，1)为减，在(1，＋∞)为增，
∴h(x)min＝h(1)＝，
∴a≤.
[破题技法] 由函数的单调性求参数的取值范围的方法
(1)可导函数在区间(a，b)上单调，实际上就是在该区间上f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立，得到关于参数的不等式，从而转化为求函数的最值问题，求出参数的取值范围．
(2)可导函数在区间(a，b)上存在单调区间，实际上就是f′(x)＞0(或f′(x)＜0)在该区间上存在解集，从而转化为不等式问题，求出参数的取值范围．
(3)若已知f(x)在区间I上的单调性，区间I上含有参数时，可先求出f(x)的单调区间，令I是其单调区间的子集，从而求出参数的取值范围．
1．已知函数f(x)＝2cos
x·(m－sin
x)－3x在(－∞，＋∞)上单调递减，则实数m的取值范围是( )
A．[－1，1]
B．[－1，]
C．[－，]
D．(－，)
解析：因为函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减，所以f′(x)＝－2msin
x＋4sin2x－5≤0在(－∞，＋∞)上恒成立，
令sin
x＝t(－1≤t≤1)，则g(t)＝4t2－2mt－5≤0在[－1，1]上恒成立，所以解得－≤m≤.故选C.
答案：C
2．已知函数f(x)＝x3－ax－1.
(1)若f(x)在R上为增函数，求实数a的取值范围；
(2)若f(x)在区间(1，＋∞)上单调递增，求a的取值范围；
(3)若f(x)在区间(－1，1)上单调递减，试求a的取值范围．
解析：(1)因为f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，
所以f′(x)＝3x2－a≥0在(－∞，＋∞)上恒成立，
即a≤3x2对x∈R恒成立．
因为3x2≥0，所以只需a≤0.
又因为a＝0时，f′(x)＝3x2≥0，f(x)＝x3－1在R上是增函数，所以a≤0，即实数a的取值范围为(－∞，0]．
(2)因为f′(x)＝3x2－a，且f(x)在区间(1，＋∞)上单调递增，所以f′(x)≥0在(1，＋∞)上恒成立，即3x2－a≥0在(1，＋∞)上恒成立，所以a≤3x2在(1，＋∞)上恒成立，所以a≤3，即a的取值范围为(－∞，3]．
(3)由f′(x)＝3x2－a≤0在(－1，1)上恒成立，得a≥3x2在(－1，1)上恒成立．因为－1＜x＜1，所以3x2＜3，所以a≥3，即当a的取值范围为[3，＋∞)时，f(x)在(－1，1)上单调递减．
PAGE第十一节第二课时 导数与函数的极值、最值
授课提示：对应学生用书第43页
[基础梳理]
1．函数的极值与导数的关系
(1)函数的极小值与极小值点：
若函数f(x)在点x＝a处的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则点a叫作函数的极小值点，f(a)叫作函数的极小值．
(2)函数的极大值与极大值点：
若函数f(x)在点x＝b处的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0，而且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则点b叫作函数的极大值点，f(b)叫作函数的极大值．
2．函数的最值与导数的关系
(1)函数f(x)在[a，b]上有最值的条件：
如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图像是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．
(2)求y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值的步骤：
①求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值．
②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
1．注意两种条件
(1)f′(x)＞0在(a，b)上成立，是f(x)在(a，b)上单调递增的充分不必要条件．
(2)对于可导函数f(x)，f′(x0)＝0是函数f(x)在x＝x0处有极值的必要不充分条件．
2．分清极值与最值的关系
(1)极值与最值的关系：极值只能在定义域内取得(不包括端点)，最值却可以在端点处取得，有极值的不一定有最值，有最值的也未必有极值；极值有可能成为最值，非常数可导函数最值只要不在端点处取，则必定在极值处取．
(2)若函数f(x)的图像连续，则f(x)在[a，b]内一定有最值．
(3)若函数f(x)在[a，b]内是单调函数，则f(x)一定在区间端点处取得最值．
(4)若函数f(x)在开区间(a，b)内只有一个极值点，则相应的极值一定是函数的最值．
[四基自测]
1．(基础点：极值与导数的关系)函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图像如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内有极小值点( )
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
答案：A
2．(基础点：闭区间上的函数的最值)函数f(x)＝＋x2－3x－4在[0，2]上的最小值是( )
A．－
B．－
C．－4
D．－
答案：A
3．(易错点：极小值点)已知a为函数f(x)＝x3－12x的极小值点，则a＝________．
答案：2
4．(基础点：极值与最值关系)函数y＝xex的最小值是________．
答案：－
授课提示：对应学生用书第43页
考点一 求函数的极值或极值点
挖掘 极值的存在性问题/互动探究
[例] (2019·高考全国卷Ⅱ)已知函数f(x)＝(x－1)ln
x－x－1.证明：
(1)f(x)存在唯一的极值点；
(2)f(x)＝0有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数．
[证明] (1)f(x)的定义域为(0，＋∞)．
f′(x)＝＋ln
x－1＝ln
x－.
因为y＝ln
x在(0，＋∞)上单调递增，y＝在(0，＋∞)上单调递减，
所以f′(x)在(0，＋∞)上单调递增．
又f′(1)＝－1<0，f′(2)＝ln
2－＝>0，
故存在唯一x0∈(1，2)，使得f′(x0)＝0.
又当x当x>x0时，f′(x)>0，f(x)单调递增，
因此，f(x)存在唯一的极值点．
(2)由(1)知f(x0)0，
所以f(x)＝0在(x0，＋∞)内存在唯一根x＝α.
由α>x0>1得<1又f＝ln－－1＝＝0，
故是f(x)＝0在(0，x0)的唯一根．
综上，f(x)＝0有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数．
[破题技法] 1.利用导数研究函数极值的一般步骤
(1)确定函数定义域；
(2)求导数f′(x)及f′(x)＝0的根；
(3)根据方程f′(x)＝0的根将函数定义域分成若干区间，列出表格，检查导函数f′(x)零点左右f′(x)的值的符号，如果左正右负，那么y＝f(x)在这个根处取极大值，如果左负右正，那么y＝f(x)在这个根处取极小值．如果左右不改变符号，那么f(x)在这个根处无极值．
2．判断极值点的个数
首先确定导数的零点的个数，再根据极值的定义，确定零点是否为极值点．
已知函数f(x)＝x3－ax2，a∈R.
(1)当a＝2时，求曲线y＝f(x)在点(3，f(3))处的切线方程；
(2)设函数g(x)＝f(x)＋(x－a)cos
x－sin
x，讨论g(x)的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值．
解析：(1)由题意f′(x)＝x2－ax，
所以当a＝2时，f(3)＝0，f′(x)＝x2－2x，
所以f′(3)＝3，
因此曲线y＝f(x)在点(3，f(3))处的切线方程是y＝3(x－3)，即3x－y－9＝0.
(2)因为g(x)＝f(x)＋(x－a)cos
x－sin
x，
所以g′(x)＝f′(x)＋cos
x－(x－a)sin
x－cos
x
＝x(x－a)－(x－a)sin
x
＝(x－a)(x－sin
x)，
令h(x)＝x－sin
x，
则h′(x)＝1－cos
x≥0，
所以h(x)在R上单调递增．
因为h(0)＝0，
所以当x＞0时，h(x)＞0；
当x＜0时，h(x)＜0.
①当a＜0时，g′(x)与g(x)的函数关系为
x
(－∞，a)
a
(a，0)
0
(0，＋∞)
g′(x)
＋
0
－
0
＋
g(x)
?
极大
?
极小
?
所以当x＝a时，g(x)有极大值为g(a)＝－a3－sin
a.
当x＝0时，g(x)有极小值g(0)＝－a.
②当a＝0时，g′(x)＝x(x－sin
x)．
当x∈(－∞，＋∞)时，g′(x)≥0，g(x)单调递增，所以g(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，g(x)无极大值也无极小值．
③当a＞0时，g′(x)与g(x)的函数关系为：
x
(－∞，0)
0
(0，a)
a
(a，＋∞)
g′(x)
＋
0
－
0
＋
g(x)
?
极大
?
极小
?
所以当x＝0时g(x)取到极大值，极大值是g(0)＝－a；
当x＝a时g(x)取到极小值，极小值是g(a)＝－a3－sin
a.
综上所述，
当a＜0时，函数g(x)在(－∞，a)和(0，＋∞)上单调递增，在(a，0)上单调递减，函数既有极大值，又有极小值，极大值是g(a)＝－a3－sin
a，极小值是g(0)＝－a；
当a＝0时，函数g(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，无极值；
当a＞0时，函数g(x)在(－∞，0)和(a，＋∞)上单调递增，在(0，a)上单调递减，函数既有极大值，又有极小值，极大值是g(0)＝－a，极小值是g(a)＝－a3－sin
a.
考点二 利用导数求函数的最值问题
挖掘 含参数的函数的最值/
互动探究
[例] (2019·高考全国卷Ⅲ)已知函数f(x)＝2x3－ax2＋2.
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)当0[解析] (1)f′(x)＝6x2－2ax＝2x(3x－a)．
令f′(x)＝0，得x＝0或x＝.
若a>0，则当x∈(－∞，0)∪时，f′(x)>0，
当x∈时，f′(x)<0，
故f(x)在(－∞，0)，单调递增，在单调递减；
若a＝0，f(x)在(－∞，＋∞)单调递增；
若a<0，则当x∈∪(0，＋∞)时，f′(x)>0，当x∈时，f′(x)<0，故f(x)在，(0，＋∞)单调递增，在单调递减．
(2)当0于是m＝－＋2，M＝
所以M－m＝
当0所以M－m的取值范围是.
当2≤a<3时，单调递增，
所以M－m的取值范围是.
综上，M－m的取值范围是.
[破题技法] 1.求函数f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤
(1)求函数在(a，b)内的极值；
(2)求函数在区间端点的函数值f(a)，f(b)；
(3)将函数f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．
2．若f(x)在(a，b)内只有一个极值，则该极值为最值．
设函数f(x)＝(x－1)ex－kx2(k∈R)．
(1)当k＝1时，求函数f(x)的单调区间；
(2)当k＝1时，求f(x)在[0，2]上的最值．
解析：(1)当k＝1时，f(x)＝(x－1)ex－x2，
f′(x)＝ex＋(x－1)ex－2x＝x(ex－2)．
由f′(x)＝0，解得x1＝0，x2＝ln
2＞0.
由f′(x)＞0，得x＜0或x＞ln
2.
由f′(x)＜0，得0＜x＜ln
2.
所以函数f(x)的单调增区间为(－∞，0)和(ln
2，＋∞)，
单调减区间为(0，ln
2)．
(2)由(1)可知x＝0和x＝ln
2是f(x)的极值点，
且0∈[0，2]，ln
2∈[0，2]，
f(0)＝－1，f(ln
2)＝(ln
2－1)·eln
2－(ln
2)2＝2(ln
2－1)－(ln
2)2，
由(1)可知f(0)＝f(1)＝－1，
在(ln
2，＋∞)上f(x)为增函数，
∴f(2)＞f(1)＞f(ln
2)，
∴f(x)的最大值为f(2)＝e2－4.
f(x)的最小值为f(ln
2)＝2ln
2－2－(ln
2)2.
考点三 利用极值、最值求参数
挖掘 已知最值求参数/
互动探究
[例] (2019·高考全国卷Ⅲ)已知函数f(x)＝2x3－ax2＋b.
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)是否存在a，b，使得f(x)在区间[0，1]的最小值为－1且最大值为1？若存在，求出a，b的所有值；若不存在，说明理由．
[解析] (1)f′(x)＝6x2－2ax＝2x(3x－a)．
令f′(x)＝0，得x＝0或x＝.
若a＞0，则当x∈(－∞，0)∪时，f′(x)＞0；
当x∈时，f′(x)＜0.
故f(x)在(－∞，0)，单调递增，在单调递减．
若a＝0，则f(x)在(－∞，＋∞)单调递增．
若a<0，则当x∈∪(0，＋∞)时，f′(x)>0；
当x∈时，f′(x)<0.
故f(x)在，(0，＋∞)单调递增，在单调递减．
(2)满足题设条件的a，b存在．
①当a≤0时，由(1)知，f(x)在[0，1]单调递增，所以f(x)在区间[0，1]的最小值为f(0)＝b，最大值为f(1)＝2－a＋b.此时a，b满足题设条件当且仅当b＝－1，2－a＋b＝1，即a＝0，b＝－1.
②当a≥3时，由(1)知，f(x)在[0，1]单调递减，所以f(x)在区间[0，1]的最大值为f(0)＝b，最小值为f(1)＝2－a＋b.此时a，b满足题设条件当且仅当2－a＋b＝－1，b＝1，即a＝4，b＝1.
③当0＜a＜3时，由(1)知，f(x)在[0，1]的最小值为f＝－＋b，最大值为b或2－a＋b.
若－＋b＝－1，b＝1，则a＝3，与0＜a＜3矛盾．
若－＋b＝－1，2－a＋b＝1，则a＝3或a＝－3或a＝0，与0＜a＜3矛盾．
综上，当a＝0，b＝－1或a＝4，b＝1时，f(x)在[0，1]的最小值为－1，最大值为1.
[破题技法] 1.已知函数极值点x0，求解析式中的参数，常利用f′(x0)＝0列方程求参数，求出参数后还要检验所求参数值是否满足x0的极值点特征．
2．函数y＝f(x)在区间(a，b)上存在极值点，则转化为函数y＝f′(x)在区间(a，b)内存在变号零点．
3．若已知最值时，需清楚最值何时取到．
已知函数f(x)＝.
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)设g(x)＝xf(x)－ax＋1，若g(x)在(0，＋∞)上存在极值点，求实数a的取值范围．
解析：(1)f(x)＝，x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，
所以f′(x)＝.
当f′(x)＝0时，x＝1.
f′(x)与f(x)随x的变化情况如下表：
x
(－∞，0)
(0，1)
1
(1，＋∞)
f′(x)
－
－
0
＋
f(x)
?
?
极小值
?
故f(x)的增区间为(1，＋∞)，减区间为(－∞，0)和(0，1)．
(2)g(x)＝ex－ax＋1，x∈(0，＋∞)，
所以g′(x)＝ex－a，
当a≤1时，g′(x)＝ex－a＞0，
即g(x)在(0，＋∞)上递增，此时g(x)在(0，＋∞)上无极值点．
当a＞1时，令g′(x)＝ex－a＝0，得x＝ln
a；
令g′(x)＝ex－a＞0，得x∈(ln
a，＋∞)；
令g′(x)＝ex－a＜0，得x∈(0，ln
a)．
故g(x)在(0，ln
a)上递减，在(ln
a，＋∞)上递增，
所以g(x)在(0，＋∞)有极小值无极大值，
且极小值点为x＝ln
a.
故实数a的取值范围是a＞1.
PAGE第二章素养专题(一) 有关x与ex、ln
x的组合函数
授课提示：对应学生用书第48页
在函数的综合问题中，常以x与ex，ln
x组合的函数为基础来命题，将基本初等函数的概念、图像与性质糅合在一起，发挥导数的工具作用，应用导数研究函数性质、证明相关不等式(或比较大小)、求参数的取值范围(或最值)．着眼于知识点的巧妙组合，注重对函数与方程、转化与化归、分类讨论和数形结合等思想的灵活运用，突出对数学思维能力和数学核心素养的考查．
法1 有关x与ln
x的组合函数综合题
1．熟悉函数f(x)＝h(x)ln
x(h(x)＝ax2＋bx＋c(a，b不能同时为0))的图像特征，做到对如图①②中两个特殊的函数的图像“有形可寻”．
2．熟悉函数f(x)＝(h(x)＝ax2＋bx＋c(a，b不能同时为0)，h(x)≠0)的图像特征，做到对如图①②中两个特殊的函数的图像“有形可寻”．
[例1] 设函数f(x)＝xln
x－＋a－x(a∈R)．
(1)若函数f(x)有两个不同的极值点，求实数a的取值范围；
(2)若a＝2，k∈N，g(x)＝2－2x－x2，且当x＞2时不等式k(x－2)＋g(x)＜f(x)恒成立，试求k的最大值．
[思路点拨] (1)将原问题转化为两个函数图像的交点问题，利用数形结合思想进行求解；(2)将不等式恒成立问题转化为函数的最值问题进行求解．
[解析] (1)由题意知，函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝ln
x＋1－ax－1＝ln
x－ax，令f′(x)＝0，可得ln
x－ax＝0，a＝，
令h(x)＝(x＞0)，则由题可知直线y＝a与函数h(x)的图像有两个不同的交点，
h′(x)＝，令h′(x)＝0，得x＝e，可知h(x)在(0，e)上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减，h(x)max＝h(e)＝，当x→0时，h(x)→－∞，当x→＋∞时，h(x)→0，故实数a的取值范围为(0，)．
(2)当a＝2时，f(x)＝xln
x－x2＋2－x，k(x－2)＋g(x)＜f(x)，即k(x－2)＋2－2x－x2＜xln
x－x2＋2－x，整理得k(x－2)＜xln
x＋x，
因为x＞2，所以k＜，设F(x)＝(x＞2)，则F′(x)＝，
令m(x)＝x－4－2ln
x(x＞2)，则m′(x)＝1－＞0，所以m(x)在(2，＋∞)上单调递增，m(8)＝4－2ln
8＜4－2ln
e2＝4－4＝0，m(10)＝6－2ln
10＞6－2ln
e3＝6－6＝0，所以函数m(x)在(8，10)上有唯一的零点x0，
即x0－4－2ln
x0＝0，故当2＜x＜x0时，m(x)＜0，即F′(x)＜0，当x＞x0时，F′(x)＞0，所以F(x)min＝F(x0)＝＝＝，所以k＜，
因为x0∈(8，10)，
所以∈(4，5)，故k的最大值为4.
[思维剖析] 1.极值点问题通常可转化为零点问题，且需要检验零点两侧导函数值的符号是否相反，若已知极值点求参数的取值范围，一定要对结果进行验证．解答任意性(恒成立)、存在性(有解)问题时通常有分离参变量、分拆函数等求解方法，可根据式子的结构特征，进行选择和调整，一般可转化为最值问题进行求解．
2．对于有关x与ln
x的组合函数为背景的试题，要求学生理解导数公式和导数的运算法则等基础知识，能够灵活利用导数研究函数的单调性，能够恰当地构造函数，并根据区间的不同进行分析、讨论，寻求合理的证明和解不等式的策略．
法2 有关x与ex的组合函数综合题
1．熟悉函数f(x)＝h(x)eg(x)(g(x)为一次函数，h(x)＝ax2＋bx＋c(a，b不能同时为0))的图像特征，做到如图①②中两个特殊的函数的图像“有形可寻”．
2．熟悉函数f(x)＝(h(x)＝ax2＋bx＋c(a，b不能同时为0)，h(x)≠0)的图像特征，做到如图①②中两个特殊的函数的图像“有形可寻”．
[例2] 已知函数f(x)＝a(x－1)，g(x)＝(ax－1)ex，a∈R.
(1)证明：存在唯一实数a，使得直线y＝f(x)和曲线y＝g(x)相切；
(2)若不等式f(x)＞g(x)有且只有两个整数解，求a的取值范围．
[思路点拨] (1)设切点的坐标为(x0，y0)，然后由切点既在直线上又在曲线上得到关于x0的方程，再构造函数，从而通过求导研究新函数的单调性使问题得证；(2)首先将问题转化为a(x－)＜1，然后令m(x)＝x－，再通过求导研究函数m(x)的单调性，求得最小值，从而分a≤0，0＜a＜1，a≥1三种情况来讨论，进而求得a的取值范围．
[解析] (1)证明：设直线y＝f(x)和曲线y＝g(x)的切点的坐标为(x0，y0)，则y0＝a(x0－1)＝(ax0－1)ex0，得a(x0ex0－x0＋1)＝ex0， ①
又直线y＝f(x)和曲线y＝g(x)相切，所以a＝g′(x0)＝(a＋ax0－1)ex0，整理得a(x0ex0＋ex0－1)＝ex0， ②
结合①②得x0ex0－x0＋1＝x0ex0＋ex0－1，即ex0＋x0－2＝0，令h(x)＝ex＋x－2，则h′(x)＝ex＋1＞0，所以h(x)单调递增．
又h(0)＝－1＜0，h(1)＝e－1＞0，所以存在唯一实数x0，使得ex0＋x0－2＝0，
且x0∈(0，1)，所以存在唯一实数a，使①②两式成立，故存在唯一实数a，使得直线y＝f(x)与曲线y＝g(x)相切．
(2)令f(x)＞g(x)，即a(x－1)＞(ax－1)ex，所以axex－ax＋a＜ex，所以a(x－)＜1，令m(x)＝x－，则m′(x)＝，由(1)可得m(x)在(－∞，x0)上单调递减，在(x0，＋∞)上单调递增，且x0∈(0，1)，故当x≤0时，m(x)≥m(0)＝1，当x≥1时，m(x)≥m(1)＝1，当x∈Z时，m(x)≥1.
当a≤0时，am(x)＜1恒成立，此时有无数个整数解，舍去；
当0＜a＜1时，m(x)＜，又＞1，m(0)＝m(1)＝1，所以两个整数解分别为0，1，即解得a≥，即a∈[，1)，
当a≥1时，m(x)＜，
因为≤1，m(x)在x∈Z时大于或等于1，所以m(x)＜无整数解，舍去．
综上，a的取值范围为[，1)．
[思维剖析] 1.涉及函数的零点的个数问题、方程解的个数问题、函数图像的交点个数问题时，一般先通过导数研究函数的单调性，最大值，最小值等，再借助函数的大致图像判断零点，方程的根，函数图像的交点的情况，归根到底还是研究函数的性质，如单调性、极值等．
2．在求解有关x与ex的组合函数综合题时要把握三点：(1)灵活运用复合函数的求导法则，由外向内，层层求导；(2)把相关问题转化为熟悉易解的函数模型来处理；(3)函数最值不易求解时，可重新组合、分拆，构建新函数，通过分类讨论新函数的单调性求最值．
3．以形助数、数形沟通，实现数形结合，形象直观地得出结论，体现了直观想象等数学核心素养．
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