第二节 命题及其关系、充分条件与必要条件
授课提示：对应学生用书第4页
[基础梳理]
1．四种命题
(1)四种命题及其相互关系
(2)互为逆否命题的真假判断：
互为逆否的两个命题同真或同假．
2．充分条件与必要条件的判断
若p?q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件
p是q的充分不必要条件
p?q且q
p
p是q的必要不充分条件
pq且q?p
p是q的充要条件
p?q
p是q的既不充分也不必要条件
pq且q
p
1．区别两个说法
(1)“A是B的充分不必要条件”中，A是条件，B是结论．
(2)“A的充分不必要条件是B”中，B是条件，A是结论．
2．充要条件的两个特征
(1)对称性：若p是q的充分条件，则q是p的必要条件．
(2)传递性：若p是q的充分(必要)条件，q是r的充分(必要)条件，则p是r的充分(必要)条件．
[四基自测]
1．(基础点：四种命题)命题“若x2＞y2，则x＞y”的逆否命题是( )
A．“若x＜y，则x2＜y2”
B．“若x≤y，则x2≤y2”
C．“若x＞y，则x2＞y2”
D．“若x≥y，则x2≥y2”
答案：B
2．(基础点：充分、必要条件)“(x－1)(x＋2)＝0”是“x＝1”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案：B
3．(易错点：命题与条件)“x≠y”是“x2≠y2”的( )
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案：B
4．(易错点：充要条件)设函数f(x)＝sin
x＋bcos
x(b为常数)“b＝0”是f(x)为奇函数的________条件．
答案：充要
授课提示：对应学生用书第5页
考点一 四种命题及其关系
挖掘1 四种命题的真假判断/
自主练透
[例1] (1)原命题为“若z1，z2互为共轭复数，则|z1|＝|z2|”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是( )
A．真，假，真
B．假，假，真
C．真，真，假
D．假，假，假
[解析] 易知原命题为真命题，所以逆否命题也为真，
设z1＝3＋4i，z2＝4＋3i，则有|z1|＝|z2|，但是z1与z2不是共轭复数，所以逆命题为假，同时否命题也为假．故选B.
[答案] B
(2)下列命题中为真命题的是( )
A．命题“若x＞y，则x＞|y|”的逆命题
B．命题“若x＞1，则x2＞1”的否命题
C．命题“若x＝1，则x2＋x－2＝0”的否命题
D．命题“若x2＞0，则x＞1”的逆否命题
[解析] A中逆命题为“若x＞|y|，则x＞y”，是真命题；
B中否命题为“若x≤1，则x2≤1”，是假命题；
C中否命题为“若x≠1，则x2＋x－2≠0”，是假命题；
D中原命题是假命题，从而其逆否命题也为假命题．
[答案] A
[破题技法] 四种命题真假性的关系
(1)两个命题互为逆否命题，它们具有相同的真假性；
(2)两个命题为互逆命题或互否命题时，它们的真假性没有关系．
挖掘2 判断命题的真假/
互动探究
[例2] 关于函数f(x)＝sin
|x|＋|sin
x|有下述结论：
①f(x)是偶函数；②若x∈(0，)，则f(x)为增函数；
③f(x)在[0，2π]上有3个零点，其中所有正确的结论是________．
[解析] ①由f(－x)＝f(x)，恒成立，①正确．
②当x∈(0，)时，f(x)＝2sin
x为增函数，②正确．
③当x∈(π，2π)时，|sin
x|＝－sin
x.
∴f(x)＝sin
x－sin
x＝0，有无数个零点，③错误．
[答案] ①②
[破题技法] 判断命题真假的方法
方法
解读
适合题型
直接法
判断一个命题为真命题，要给出严格的推理证明
简单命题判断
反例法
说明一个命题是假命题，只需举出一个反例即可
简单命题判断
转化法
转化为等价的逆否命题
复杂命题
考点二 充分条件、必要条件的判断
挖掘1 充分、必要、充要条件的简单判定/
自主练透
[例1] (1)(2019·高考全国卷Ⅱ)设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是( )
A．α内有无数条直线与β平行
B．α内有两条相交直线与β平行
C．α，β平行于同一条直线
D．α，β垂直于同一平面
[解析] 若α∥β，则α内有无数条直线与β平行，反之则不成立；若α，β平行于同一条直线，则α与β可以平行也可以相交；若α，β垂直于同一个平面，则α与β可以平行也可以相交，故A，C，D中条件均不是α∥β的充要条件．根据平面与平面平行的判定定理知，若一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行，则两平面平行，反之也成立．因此B中条件是α∥β的充要条件．故选B.
[答案] B
(2)(2018·高考天津卷)设x∈R，则“＜”是“x3＜1”的( )
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
[解析] 由＜得－＜x－＜，解得0＜x＜1.
由x3＜1得x＜1.当0＜x＜1时能得到x＜1一定成立；当x＜1时，0＜x＜1不一定成立．所以“＜”是“x3＜1”的充分而不必要条件．
[答案] A
(3)(2019·高考北京卷)设点A，B，C不共线，则“与的夹角为锐角”是“|＋|＞||”的( )
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
[解析] 因为点A，B，C不共线，由向量加法的三角形法则，可知＝－，所以|＋|＞||等价于|＋|＞|－|，因模为正，故不等号两边平方得AB2＋AC2＋2||·||cos
θ>AC2＋AB2－2||·||cos
θ(θ为与的夹角)，整理得4||·||cos
θ＞0，故cos
θ＞0，既θ为锐角．又以上推理过程可逆，所以“与的夹角为锐角”是“|＋|＞||”的充分必要条件．故选C.
[答案] C
[破题技法] 充要条件的三种判断方法
(1)定义法：根据p?q，q?p进行判断．
(2)集合法：根据p，q成立的对应的集合之间的包含关系进行判断．
(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化为其逆否命题进行判断．这个方法特别适合以否定形式给出的问题．
充分条件与必要条件的两种判断方法见下表：
条件
定义法
集合法：A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}
p是q的充分条件
p?q
A?B
p是q的必要条件
q?p
A?B
p是q的充要条件
p?q且q?p
A＝B
p是q的充分不必要条件
p?q且qp
A?B
p是q的必要不充分条件
p
q且q?p
A?B
p是q的既不充分也不必要条件
p
q且qp
AB且AB
挖掘2 充分、必要、充要条件的证明与探求/
互动探究
[例2] 证明：圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2过原点的充要条件是a2＋b2＝r2.
[证明] 充分性：若满足a2＋b2＝r2时，
则有(0－a)2＋(0－b)2＝r2，表示原点(0，0)到圆心(a，b)的距离为r，即原点(0，0)在圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上．
必要性：当圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2过(0，0)时．
有(0－a)2＋(0－b)2＝r2，即a2＋b2＝r2.
∴a2＋b2＝r2是圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2过原点的充要条件．
[破题技法] 充要条件的证明策略
(1)要证明p是q的充要条件，需要从充分性和必要性两个方向进行，即证明两个命题为真：“若p，则q”为真，且“若q，则p”为真．
(2)在证明的过程中也可以转化为集合的思想来证明，证明p与q的解集是相同的，证明前必须分清楚充分性和必要性，即搞清楚由哪些条件推证出哪些结论．
直线x－y－k＝0与圆(x－1)2＋y2＝2有两个不同交点的充要条件是________．
解析：直线x－y－k＝0与圆(x－1)2＋y2＝2有两个不同交点等价于＜，解之得－1＜k＜3.
答案：－1＜k＜3
考点三 充分条件、必要条件的应用
挖掘 根据条件关系求参数/
互动探究
[例] 已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若x∈P是x∈S的必要条件，则m的取值范围为________．
[解析] 由x2－8x－20≤0得－2≤x≤10，
所以P＝{x|－2≤x≤10}，
由x∈P是x∈S的必要条件，知S?P.
则所以0≤m≤3.
所以当0≤m≤3时，x∈P是x∈S的必要条件，即所求m的取值范围是[0，3]．
[答案] [0，3]
[破题技法] 充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上．解题时需注意：
(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解．
(2)要注意区间端点值的检验．尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象．
1．本例条件不变，问是否存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件？并说明理由．
解析：由例题知P＝{x|－2≤x≤10}．
若x∈P是x∈S的充要条件，则P＝S，
所以所以这样的m不存在．
2．本例条件不变，若非P是非S的必要不充分条件，求实数m的取值范围．
解析：由例题知P＝{x|－2≤x≤10}．
因为非P是非S的必要不充分条件，
所以P是S的充分不必要条件，
所以P?S且SP.
所以[－2，10]?[1－m，1＋m]．
所以或
所以m≥9，则m的取值范围是[9，＋∞)．
PAGE第三节 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
授课提示：对应学生用书第7页
[基础梳理]
1．命题p且q，p或q，非p的真假判断
p
q
p且q
p或q
非p
真
真
真
真
假
真
假
假
真
假
假
真
假
真
真
假
假
假
假
真
2.全称量词与全称命题
(1)“所有”“每一个”“任何”“任意”“一切”都是在指定范围内，表示整体或全部的含义，这样的词叫作全称量词．
(2)含有全称量词的命题，叫作全称命题．
3．存在量词与特称命题
(1)“有些”“有一个”“存在”都有表示个别或一部分的含义，这样的词叫作存在量词．
(2)含有存在量词的命题叫作特称命题．
1．判定全称命题为真，需证明对任意x∈M，p(x)恒成立；判定全称命题为假，我们只需找到一个x∈M，使p(x)不成立即可．
2．判定特称命题为真，只需找到一个x∈M，使p(x)成立即可；判定特称命题为假，需证明对任意x∈M，p(x)均不成立．
4．全称命题与特称命题的否定
(1)要说明一个全称命题是错误的，只需找出一个反例就可以了，实际上是要说明这个全称命题的否定是正确的．全称命题的否定是特称命题．
(2)要说明一个特称命题“存在一些对象满足某一性质”是错误的，就要说明所有的对象都不满足这一性质．实际上是要说明这个特称命题的否定是正确的，特称命题的否定是全称命题．
1．一种关系
逻辑联结词与集合的关系：“或、且、非”三个逻辑联结词，对应着集合运算中的“并、交、补”，因此，常常借助集合的“并、交、补”的意义来解答由“或、且、非”三个联结词构成的命题问题．
2．两类否定
(1)非(p且q)?(非p)或(非q)．
(2)非(p或q)?(非p)且(非q)．
3．三句口决
p且q全真为真，p或q有真即真，非p与p真假相反．
[四基自测]
1．(基础点：复合命题真假)已知p：2是偶数，q：2是质数，则命题非p，非q，p或q，p且q中真命题的个数为( )
A．1
B．2
C．3
D．4
答案：B
2．(基础点：特称命题的否定)设命题p：存在n∈N，n2＞2n，则非p为( )
A．任意n∈N，n2＞2n
B．存在n∈N，n2≤2n
C．任意n∈N，n2≤2n
D．存在n∈N，n2＝2n
答案：C
3．(基础点：全称命题的否定)若命题p：任意x∈R，x2＋2x＋2≤0，其非p为( )
A．任意x∈R，x2＋2x＋2＞0
B．存在x∈R，x2＋2x＋2＞0
C．任意x∈R，x2＋2x＋2≥0
D．存在x∈R，x2＋2x＋2≤0
答案：B
4．(易错点：含有量词命题的真假)给出下列命题：
①任意x∈N，x3＞x2；
②所有可以被5整除的整数，末位数字都是0；
③存在x∈R，x2－x＋1≤0；
④存在一个四边形，它的对角线互相垂直．
则以上命题的否定中，真命题的序号为________．
答案：①②③
授课提示：对应学生用书第8页
考点一 含有逻辑联结词的命题真假
挖掘1 判断复合命题的真假/
自主练透
[例1] (1)设有下面四个命题
p1：若复数z满足∈R，则z∈R；
p2：若复数z满足z2∈R，则z∈R；
p3：若复数z1，z2满足z1z2∈R，则z1＝2；
p4：若复数z∈R，则∈R.
其中的真命题为( )
A．p1，p3
B．p1，p4
C．p2，p3
D．p2，p4
[解析] 设复数z＝a＋bi(a，b∈R)，对于p1，∵＝＝∈R，∴b＝0，∴z∈R，∴p1是真命题；对于p2，∵z2＝(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi∈R，∴ab＝0，∴a＝0或b＝0，∴p2不是真命题；对于p3，设z1＝x＋yi(x，y∈R)，z2＝c＋di(c，d∈R)，则z1z2＝(x＋yi)(c＋di)＝cx－dy＋(dx＋cy)i∈R，∴dx＋cy＝0，取z1＝1＋2i，z2＝－1＋2i，z1≠2，∴p3不是真命题；对于p4，∵z＝a＋bi∈R，∴b＝0，∴＝a－bi＝a∈R，∴p4是真命题．故选B.
[答案] B
(2)(2020·太原模拟)已知命题p：存在x∈R，x2－x＋1≥0；命题q：若a＜b，则＞，则下列命题中为真命题的是( )
A．p且q
B．p且(非q)
C．(非p)且q
D．(非p)且(非q)
[解析] x2－x＋1＝(x－)2＋≥＞0，所以存在x∈R，使x2－x＋1≥0成立，故p为真命题，非p为假命题，又易知命题q为假命题，所以非q为真命题，由复合命题真假判断的真值表知p且(非q)为真命题，故选B.
[答案] B
[破题技法] 复合命题的真假判断
方法
解读
适合题型
直接法
(1)确定这个命题的结构及组成这个命题的每个简单命题；(2)判断每个简单命题的真假；(3)根据真值表判断原命题的真假
能够顺利分解为简单命题
转化法
根据原命题与逆否命题的等价性，判断原命题的逆否命题的真假性
原命题的真假性不易判断
[拓展] 含逻辑联结词命题真假的等价关系
(1)p或q真?p，q至少一个真?(非p)且(非q)假．
(2)p或q假?p，q均假?(非p)且(非q)真．
(3)p且q真?p，q均真?(非p)或(非q)假．
(4)p且q假?p，q至少一个假?(非p)或(非q)真．
(5)非p真?p假；非p假?p真．
挖掘2 利用复合命题真假求参数/
互动探究
[例2] (2020·湖北武汉模拟)已知命题p：关于x的方程x2－ax＋4＝0有实根；命题q：关于x的函数y＝2x2＋ax＋4在[3，＋∞)上是增函数．若p或q是真命题，则实数a的取值范围是________．
[解析] 若命题p是真命题，则Δ＝a2－16≥0，即a≤－4或a≥4；若命题q是真命题，则－≤3，即a≥－12.
因为p或q是真命题，所以a∈R，
即a的取值范围是(－∞，＋∞)．
[答案] (－∞，＋∞)
[破题技法] 根据复合命题的真假求参数范围的步骤
(1)先求出每个简单命题是真命题时参数的取值范围；
(2)再根据复合命题的真假确定各个简单命题的真假情况(有时不一定只有一种情况)；
(3)最后由(2)的结论求出满足条件的参数取值范围．
1．在例2条件下，若p且q为真命题，求实数a的取值范围．
解析：∵p且q为真命题，
∴p和q均为真命题，
∴
∴a的取值范围为[－12，－4]∪[4，＋∞)．
2．在例2条件下，若p或q为真命题，p且q为假命题，求实数a的取值范围．
解析：由p或q为真命题，p且q是假命题知，命题p和q一真一假．若p真q假，则a＜－12；若p假q真，则－4＜a＜4.故a的取值范围是(－∞，－12)∪(－4，4)．
考点二 全称命题、特称命题
挖掘1 全称命题、特称命题的真假判断/
自主练透
[例1] (1)下列命题中的假命题是( )
A．任意x∈R，x2≥0
B．任意x∈R，2x－1＞0
C．存在x∈R，lg
x＜1
D．存在x∈R，sin
x＋cos
x＝2
[解析] 对于sin
x＋cos
x＝sin(x＋)≤＜2，
D为假命题．
[答案] D
(2)已知命题p：存在x∈R，x2－x＋1≥0；命题q：若a2
A．p且q
B．p且(非q)
C．(非p)且q
D．(非p)且(非q)
[解析] ∵方程x2－x＋1＝0的根的判别式Δ＝(－1)2－4＝－3<0，又对于二次函数y＝x2－x＋1，其图像开口向上，∴x2－x＋1>0恒成立，∴p为真命题．对于命题q，取a＝2，b＝－3，22<(－3)2，而2>－3，∴q为假命题，非q为真命题．因此p且(非q)为真命题．选B.
[答案] B
[破题技法] 全称命题与特称命题真假的判断方法
命题名称
真假
判断方法一
判断方法二
全称命题
真
所有对象使命题真
否定为假
假
存在一个对象使命题假
否定为真
特称命题
真
存在一个对象使命题真
否定为假
假
所有对象使命题假
否定为真
挖掘2 全称命题、特称命题的否定/互动探究
[例2] (1)命题“任意x∈[0，＋∞)，x3＋x≥0”的否定是( )
A．任意x∈(－∞，0)，x3＋x＜0
B．任意x∈(－∞，0)，x3＋x≥0
C．存在x∈[0，＋∞)，x3＋x＜0
D．存在x∈[0，＋∞)，x3＋x≥0
[答案] C
(2)命题“存在x∈(0，＋∞)，ln
x＝x－1”的否定是( )
A．任意x∈(0，＋∞)，ln
x≠x－1
B．任意x?(0，＋∞)，ln
x＝x－1
C．存在x∈(0，＋∞)，ln
x≠x－1
D．存在x?(0，＋∞)，ln
x＝x－1
[解析] 该命题的否定是将存在量词改为全称量词，等号改为不等号即可，故选A.
[答案] A
[破题技法] 全称命题与特称命题的否定
(1)改写量词：确定命题所含量词的类型，省去量词的要结合命题的含义加上量词，再对量词进行改写．
(2)否定结论：对原命题的结论进行否定．
考点三 根据量词的意义求参数
挖掘1 “任意”恒成立问题/
互动探究
[例1] (1)对于任意实数x，不等式(a－2)x2－2(a－2)x－4＜0恒成立，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，2)
B．(－∞，2]
C．(－2，2]
D．(－2，2)
[解析] 当a＝2时，有－4＜0，对任意x∈R恒成立．
当a≠2时，有
解得
∴－2＜a＜2.
综上可得－2＜a≤2.故选C.
[答案] C
(2)已知函数f(x)＝－mx(e为自然对数的底数)，若f(x)＞0在(0，＋∞)上恒成立，则实数m的取值范围是( )
A．(－∞，2)
B．(－∞，e)
C．(－∞，)
D．(，＋∞)
[解析] ∵f(x)＝－mx＞0在(0，＋∞)上恒成立，
∴m＜在(0，＋∞)上恒成立，令g(x)＝，x＞0，
∴g′(x)＝＝，
当0＜x＜2时，g′(x)＜0，g(x)单调递减；
当x＞2时，g′(x)＞0，g(x)单调递增．
则当x＝2时，g(x)取得最小值，且最小值为g(2)＝，
∴m＜.
则实数m的取值范围是(－∞，)．故选C.
[答案] C
[破题技法] 对于含量词的命题中求参数的取值范围的问题，可根据命题的含义，利用函数值域(或最值)解决．
挖掘2 “存在”有解问题/
互动探究
[例2] 若命题“存在x∈R，使得x2＋(a－1)x＋1＜0”是真命题，则实数a的取值范围是________．
[解析] 由题意得Δ＝(a－1)2－4＞0，∴a＞3或a＜－1.
[答案] (－∞，－1)∪(3，＋∞)
[破题技法] 单变量对“任意”恒成立，“存在”成立问题
(1)任意x∈[m，n]，a＞f(x)恒成立?a＞f(x)max，
a＜f(x)恒成立?a＜f(x)min.
(2)存在x0∈[m，n]，使a＞f(x)成立?a＞f(x)min，
a＜f(x)成立?a＜f(x)max.
(2020·长沙模拟)已知命题“任意x∈R，ax2＋4x＋1＞0”是假命题，则实数a的取值范围是( )
A．(4，＋∞)
B．(0，4)
C．(－∞，4]
D．[0，4)
解析：任意x∈R，ax2＋4x＋1＞0，恒成立，
当a＝0时，显然不成立，
当时，a＞4，
故原命题为假：其解集为(－∞，4]．
故选C.
答案：C
PAGE第一节 集合的概念及其运算
授课提示：对应学生用书第1页
[基础梳理]
1．集合的相关概念
(1)集合元素的三个特性：确定性、无序性、互异性．
(2)元素与集合的两种关系：属于，记为∈，不属于，记为?．
(3)集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法．
(4)五个特定的集合：
集合
自然数集
正整数集
整数集
有理数集
实数集
符号
N
N＋或N
Z
Q
R
2.集合间的基本关系
表示关系
文字语言
符号语言
相等
集合A与集合B中的所有元素相同
A?B且B?A?A＝B
子集
A中任意一个元素均为B中的元素
A?B或B?A
真子集
A中任意一个元素均为B中的元素，且B中至少有一个元素不是A中的元素
A?B或B?A
空集
空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集
??A??B(B≠?)
3.集合的基本运算
并集
交集
补集
图形表示
符号表示
A∪B＝{x|x∈A或x∈B}
A∩B＝{x|x∈A且x∈B}
?UA＝{x|x∈U且x?A}
1．集合的运算性质
(1)并集的性质：A∪?＝A；A∪A＝A；
A∪B＝B∪A；A∪B＝A?B?A.
(2)交集的性质：A∩?＝?；A∩A＝A；
A∩B＝B∩A；A∩B＝A?A?B.
(3)补集的性质：A∪(?UA)＝U；A∩(?UA)＝?；?U(?UA)＝A；?U(A∩B)＝(?UA)∪(?UB)；?U(A∪B)＝(?UA)∩(?UB)．
2．集合的子集个数
若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，非空子集有2n－1个，真子集有2n－1个．
3．两个防范
(1)空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，应时刻关注对空集的讨论，防止漏解．
(2)在解决含参数的集合问题时，要检验集合中元素的互异性．
[四基自测]
1．(基础点：元素与集合的关系)若集合A＝{x∈N|x≤}，a＝2，则下面结论中正确的是( )
A．{a}?A
B．a?A
C．{a}∈A
D．a?A
答案：D
2．(基础点：补集运算)已知集合A＝{x|x2－16＜0}，则?RA＝( )
A．{x|x≥±4}
B．{x|－4＜x＜4}
C．{x|－4≤x≤4}
D．{x|x≥4}∪{x|x≤－4}
答案：D
3．(易错点：定义不透)已知集合A＝{0，1，2}，集合B满足A∪B＝{0，1，2}，则集合B有________个．
答案：8
4．(易错点：交集运算)已知集合M＝{x∈N|－4答案：{0，1}
授课提示：对应学生用书第2页
考点一 集合的概念
挖掘1 求集合元素的个数/
自主练透
[例1] (1)(2018·高考全国卷Ⅱ)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤3，x∈Z，y∈Z}，则A中元素的个数为( )
A．9
B．8
C．5
D．4
[解析] 将满足x2＋y2≤3的整数x，y全部列举出来，即(－1，－1)，(－1，0)，(－1，1)，(0，－1)，(0，0)，(0，1)，(1，－1)，(1，0)，(1，1)，共有9个．
故选A.
[答案] A
(2)设集合A＝{1，2，3}，B＝{4，5}，M＝{x|x＝a＋b，a∈A，b∈B}，则M中元素的个数为( )
A．3
B．4
C．5
D．6
[解析] a∈{1，2，3}，b∈{4，5}，则M＝{5，6，7，8}，即M中元素的个数为4，故选B.
[答案] B
[破题技法] 与集合中的元素有关的问题的求解策略
(1)确定集合中的元素是什么．
(2)看这些元素满足什么限制条件．
(3)注意元素的三个特性，特别是互异性．
挖掘2 利用元素特性求参数/
互动探究
[例2] 设集合A＝{x|(x－a)2<1}，且2∈A，3?A，则实数a的取值范围为________．
[解析] 由题意得解得
结合数轴得1[答案] (1，2]
[破题技法] 1.利用集合元素的限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数时，要注意检验集合是否满足元素的互异性．
2．集合中元素的互异性常常容易忽略，求解问题时要特别注意．
1．将例1(1)改为已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|y＝x}，则A∩B中元素的个数为( )
A．3
B．2
C．1
D．0
解析：A表示圆x2＋y2＝1上的点的集合，B表示直线y＝x上的点的集合，直线y＝x与圆x2＋y2＝1有两个交点，所以A∩B中元素的个数为2.
答案：B
2．将例2改为集合{x|x2＋ax＝0}有两个元素0和1.则a的值为________．
解析：0和1为方程x2＋ax＝0的两根．
∴0＋1＝－a，∴a＝－1.
答案：－1
考点二 集合间的基本关系
挖掘1 判断集合间的关系/
自主练透
[例1] 已知集合M＝，集合N＝，则( )
A．M∩N＝?
B．M?N
C．N?M
D．M∪N＝N
[解析] 由题意可知，
M＝
＝，
N＝，所以M?N，故选B.
[答案] B
[破题技法] 求集合间关系的常用方法技巧
方法
解读
适合题型
列举法
利用列举法，根据题中限定条件把集合元素表示出来，然后比较集合元素的异同，从而找出集合之间的关系
集合为有限集
转化法
从元素的结构特点入手，结合通分、化简、变形等技巧，使元素结构一致，然后在同一个数轴上表示出两个集合，比较不等式端点之间的大小关系，从而确定集合与集合之间的关系
集合为无限集
挖掘2 利用集合关系求参数/
互动探究
[例2] (1)已知集合A＝{x|x2－2x－3≤0，x∈N＋}，则集合A的真子集的个数为( )
A．7
B．8
C．15
D．16
[解析] A＝{x|(x－3)(x＋1)≤0，x∈N＋}＝{1，2，3}，
真子集个数为23－1＝7，故选A.
[答案] A
(2)已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若B?A，则实数m的取值范围为________．
[解析] 因为B?A，所以①若B＝?，则2m－1＜m＋1，此时m＜2.
②若B≠?，则解得2≤m≤3.
由①、②可得，符合题意的实数m的取值范围为m≤3.
[答案] (－∞，3]
[破题技法] 1.空集是任何集合的子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑空集的情况，否则会造成漏解．
2．已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题．
若将例2(2)中的集合A改为A＝{x|x＜－2或x＞5}，如何求解？
解析：因为B?A，
所以①当B＝?时，即2m－1＜m＋1时，
m＜2，符合题意．
②当B≠?时，
或
解得或即m＞4.
综上可知，实数m的取值范围为(－∞，2)∪(4，＋∞)．
考点三 集合的运算
挖掘1 集合的基本运算/
自主练透
[例1] (1)(2019·高考全国卷Ⅰ)
已知集合M＝{x|－4A．{x|－4B．{x|－4C．{x|－2D．{x|2[解析] 由x2－x－6＜0，得(x－3)(x＋2)＜0，解得－2＜x＜3，即N＝{x|－2＜x＜3}，∴M∩N＝{x|－2＜x＜2}．故选C.
[答案] C
(2)(2019·高考全国卷Ⅰ)已知集合U＝{1，2，3，4，5，6，7}，A＝{2，3，4，5}，B＝{2，3，6，7}，则B∩?UA＝( )
A．{1，6}
B．{1，7}
C．{6，7}
D．{1，6，7}
[解析] ∵U＝{1，2，3，4，5，6，7}，A＝{2，3，4，5}，∴?UA＝{1，6，7}．又B＝{2，3，6，7}，∴B∩?UA＝{6，7}．
故选C.
[答案] C
[破题技法] 解决集合的基本运算问题一般应注意以下几点：
(1)看元素组成．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提．
(2)对集合化简．有些集合是可以化简的，如果先化简再研究其关系并进行运算，可使问题变得简单明了，易于解决．
(3)注意数形结合思想的应用．集合运算常用的数形结合形式有数轴和Venn图．
挖掘2 利用集合运算求参数/
互动探究
[例2] (1)已知A＝{1，2，3，4}，B＝{a＋1，2a}．若A∩B＝{4}，则a＝( )
A．3
B．2
C．2或3
D．3或1
[解析] ∵A∩B＝{4}，∴a＋1＝4或2a＝4，若a＋1＝4，则a＝3，此时B＝{4，6}，符合题意；若2a＝4，则a＝2，此时B＝{3，4}，不符合题意，综上，a＝3，故选A.
[答案] A
(2)(2020·广州模拟)已知x∈R，集合A＝{0，1，2，4，5}，集合B＝{x－2，x，x＋2}，若A∩B＝{0，2}，则x＝( )
A．－2
B．0
C．1
D．2
[解析] 因为A＝{0，1，2，4，5}，B＝{x－2，x，x＋2}，且A∩B＝{0，2}，
所以，或当x＝2时，B＝{0，2，4}，A∩B＝{0，2，4}(舍)；
当x＝0时，B＝{－2，0，2}，A∩B＝{0，2}．
综上，x＝0.故选B.
[答案] B
[破题技法] 根据集合运算结果求参数，主要有以下两种形式：
(1)用列举法表示的集合，直接依据交、并、补的定义求解，重点注意公共元素；
(2)由描述法表示的集合，一般先要对集合化简，再依据数轴确定集合的运算情况，特别要注意端点值的情况．
1．已知集合A＝{x∈R|x2＋x－6＝0}，B＝{x∈R|ax－1＝0}，若B?A，则实数a的值为( )
A.或－
B．－或
C.或－或0
D．－或或0
答案：D
2．已知集合A＝{x|x2－x－12≤0}，B＝{x|2m－1A．[－1，2)
B．[－1，3]
C．[2，＋∞)
D．[－1，＋∞)
解析：由x2－x－12≤0，得(x＋3)(x－4)≤0，
即－3≤x≤4，所以A＝{x|－3≤x≤4}．
又A∩B＝B，所以B?A.
①当B＝?时，有m＋1≤2m－1，解得m≥2；
②当B≠?时，有
解得－1≤m＜2.
综上，m的取值范围为[－1，＋∞)．
答案：D
考点四 集合的创新问题
挖掘1 集合思想与方法的应用/
互动探究
[例1] (1)(2019·高考全国卷Ⅲ)《西游记》
《三国演义》
《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著．某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为( )
A．0.5
B．0.6
C．0.7
D．0.8
[解析] 法一：设调查的100位学生中阅读过《西游记》的学生人数为x，则x＋80－60＝90，解得x＝70，
所以该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为＝0.7.
故选C.
法二：用Venn图表示调查的100位学生中阅读过《西游记》和《红楼梦》的人数之间的关系如图：
易知调查的100位学生中阅读过《西游记》的学生人数为70，所以该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为＝0.7.故选C.
[答案] C
(2)某店统计了两天的售出商品的情况．第一天售出19种商品，第二天售出了13种商品．这两天都售出的商品有3种．
①第一天售出，但第二天未售出的商品有________种；
②这两天共售出________种商品．
[解析] 如图，设第一天售出的商品为集合A，则A中有19个元素，第二天售出的商品为集合B，则B中有13个元素，则A∩B中共有3个元素．
①第一天售出，第二天未售出的共有19－3＝16种．
②这两天共售出的种数为19＋13－3＝29种．
[答案] ①16 ②29
[破题技法] 将文字语言转换为符号语言，即集合语言，借助于图形语言，即Venn图解决实际问题．
挖掘2 集合的新定义/
互动探究
[例2] (2020·中原名校联考)当两个集合中一个集合为另一个集合的子集时，称这两个集合构成“全食”，当两个集合有公共元素，但互不为对方子集时，称这两个集合构成“偏食”．对于集合A＝{－1，，1}，B＝{x|ax2＝1，a≥0}，若A与B构成“全食”或构成“偏食”，则a的取值集合为________．
[解析] 当a＝0时，B为空集，满足B?A，此时A与B构成“全食”；当a＞0时，B＝{，－}，由题意知＝1或＝，解得a＝1或a＝4.故a的取值集合为{0，1，4}．
[答案] {0，1，4}
[破题技法] 解决集合新定义问题的着手点
(1)正确理解新定义：耐心阅读，分析含义，准确提取信息是解决这类问题的前提，剥去新定义、新法则、新运算的外表，利用所学的集合性质等知识将陌生的集合转化为我们熟悉的集合，是解决这类问题的突破口．
(2)合理利用集合性质：运用集合的性质(如元素的性质、集合的运算性质等)是破解新定义型集合问题的关键．在解题时要善于从题设条件给出的数式中发现可以使用集合性质的一些因素，并合理利用．
(3)对于选择题，可结合选项，通过验证、排除、对比、特值法等进行求解或排除错误选项，当不满足新定义的要求时，只需通过举反例来说明，以达到快速判断结果的目的．
定义一种新的集合运算△：A△B＝{x|x∈A，且x?B}．若集合A＝{x|x2－4x＋3＜0}，B＝{x|2≤x≤4}，则按运算△，B△A等于( )
A．{x|3＜x≤4}
B．{x|3≤x≤4}
C．{x|3＜x＜4}
D．{x|2≤x≤4}
解析：A＝{x|1＜x＜3}，B＝{x|2≤x≤4}，由题意知，B△A＝{x|x∈B，且x?A}＝{x|3≤x≤4}．
答案：B
课时规范练 单独成册：对应学生用书第227页
A组——基础对点练
1．已知集合A＝{x∈N|0≤x≤4}，则下列说法正确的是( )
A．0?A
B．1?A
C.?A
D．3∈A
解析：集合A＝{x∈N|0≤x≤4}，∴0∈A，1∈A，?A，3∈A，故选D.
答案：D
2．已知全集U＝{1，2，3，4，5}，M＝{3，4，5}，N＝{2，3}，则集合(?UN)∩M＝( )
A．{2}
B．{1，3}
C．{2，5}
D．{4，5}
解析：全集U＝{1，2，3，4，5}，M＝{3，4，5}，N＝{2，3}，则集合?UN＝{1，4，5}，集合(?UN)∩M＝{4，5}，故选D.
答案：D
3．已知集合A＝{0，2}，B＝{－2，－1，0，1，2}，则A∩B＝( )
A．{0，2}
B．{1，2}
C．{0}
D．{－2，－1，0，1，2}
解析：A∩B＝{0，2}∩{－2，－1，0，1，2}＝{0，2}．
故选A.
答案：A
4．已知集合A＝{x|x－1≥0}，B＝{0，1，2}，则A∩B＝( )
A．{0}
B．{1}
C．{1，2}
D．{0，1，2}
解析：∵A＝{x|x－1≥0}＝{x|x≥1}，
∴A∩B＝{1，2}．
故选C.
答案：C
5．设集合A＝{1，2，3，4}，B＝{－1，0，2，3}，C＝{x∈R|－1≤x＜2}，则(A∪B)∩C＝( )
A．{－1，1}
B．{0，1}
C．{－1，0，1}
D．{2，3，4}
答案：C
6．若集合M＝{x||x|≤1}，N＝{y|y＝x2，|x|≤1}，则( )
A．M＝N
B．M?N
C．M∩N＝?
D．N?M
解析：因为M＝{x||x|≤1}，所以M＝{x|－1≤x≤1}，因为N＝{y|y＝x2，|x|≤1}，所以N＝{y|0≤y≤1}，所以N?M，故选D.
答案：D
7．已知全集U＝R，若集合M＝{x|－3＜x＜3}，N＝{x|2x＋1－1≥0}，则(?UM)∩N＝( )
A．[3，＋∞)
B．(－1，3)
C．[－1，3)
D．(3，＋∞)
解析：N＝{x|2x＋1－1≥0}＝{x|2x＋1≥1}＝{x|x＋1≥0}＝{x|x≥－1}，∵M＝{x|－3＜x＜3}，
∴?UM＝{x|x≥3或x≤－3}，
则(?UM)∩N＝{x|x≥3}，故选A.
答案：A
8．已知集合A＝，B＝{y|y＝lg
x，x∈A}，则A∪B＝( )
A．{1}
B．?
C.
[0，10]
D．(0，10]
解析：集合A＝＝{x|1＜x≤10}，B＝{y|y＝lg
x，x∈A}＝{y|0＜y≤1}，∴A∪B＝{x|0＜x≤10}＝(0，10]，故选D.
答案：D
9．已知集合A＝{－1，2，3，6}，B＝{x|－2＜x＜3}，则A∩B＝________．
答案：{－1，2}
10．已知集合U＝{1，2，3，4}，A＝{1，3}，B＝{1，3，4}，则A∪(?UB)＝________．
解析：?UB＝{2}，∴A∪?UB＝{1，2，3}．
答案：{1，2，3}
B组——素养提升练
11．已知全集U＝A∪B＝{x∈Z|0≤x≤6}，A∩(?UB)＝{1，3，5}，则B＝( )
A．{2，4，6}
B．{1，3，5}
C．{0，2，4，6}
D．{x∈Z|0≤x≤6}
解析：∵全集U＝A∪B＝{x∈Z|0≤x≤6}＝{0，1，2，3，4，5，6}，A∩(?UB)＝{1，3，5}，∴B＝{0，2，4，6}，故选C.
答案：C
12．设集合A＝，B＝{(x，y)|y＝3x}，则A∩B的子集的个数是( )
A．4
B．3
C．2
D．1
解析：∵集合A＝.∴A中的元素为椭圆＋＝1上的点，A∩B中的元素为椭圆和指数函数y＝3x图像的交点，如图，可知其有两个不同交点，记为A1，A2，则A∩B的子集应为?，{A1}，{A2}，{A1，A2}，共4个，故选A.
答案：A
13．已知集合A＝{0，1，2}，B＝{1，m}．若A∩B＝B，则实数m的值是( )
A．0
B．2
C．0或2
D．0或1或2
解析：∵A∩B＝B，∴B?A，∴m＝0或m＝2.
答案：C
14．(2020·惠州模拟)已知集合A＝{0，1}，B＝{z|z＝x＋y，x∈A，y∈A}，则集合B的子集的个数为( )
A．3
B．4
C．7
D．8
解析：由题意知，B＝{0，1，2}，则集合B的子集的个数为23＝8.故选D.
答案：D
15．设集合A＝{3，m}，B＝{3m，3}，且A＝B，则实数m的值是________．
答案：0
16．已知集合A＝{1，2，3，4}，集合B＝{x|x≤a，a∈R}，A∪B＝(－∞，5]，则a的值是________．
答案：5
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