第二节 参数方程
授课提示：对应学生用书第201页
[基础梳理]
1．曲线的参数方程
在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x，y都是某个变数t的函数并且对于t的每一个允许值，由这个方程组所确定的点M(x，y)都在这条曲线上，那么这个方程组就叫作这条曲线的参数方程，联系变数x，y的变数t叫作参变数，简称参数．
相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程F(x，y)＝0叫普通方程．
2．参数方程和普通方程的互化
(1)参数方程化普通方程：利用两个方程相加、减、乘、除或者代入法消去参数．
(2)普通方程化参数方程：如果x＝f(t)，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y＝g(t)，则得曲线的参数方程
3．直线、圆与椭圆的普通方程和参数方程
轨迹
普通方程
参数方程
直线
y－y0＝tan
α(x－x0)
(α≠，点斜式)
(t为参数)
圆
(x－a)2＋(y－b)2＝r2
(θ为参数)
椭圆
＋＝1(a＞b＞0)
(φ为参数)
1．参数方程化普通方程
(1)常用技巧：代入消元、加减消元、平方后加减消元等．
(2)常用公式：cos2θ＋sin2θ＝1，1＋tan2θ＝.
2．直线参数方程的标准形式的应用
过点M0(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程是
若M1，M2是l上的两点，其对应参数分别为t1，t2，则
(1)|M1M2|＝|t1－t2|.
(2)若线段M1M2的中点M所对应的参数为t，则t＝，中点M到定点M0的距离|MM0|＝|t|＝.
(3)若M0为线段M1M2的中点，则t1＋t2＝0.
[四基自测]
1．(基础点：直线与椭圆的参数方程)直线y＝x与曲线(α为参数)的交点个数为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
答案：C
2．(基础点：直线的参数方程)若直线的参数方程为(t为参数)，则直线的斜率为________．
答案：－3
3．(易错点：消参的等价性)曲线C的参数方程为(θ为参数)，则曲线C的普通方程为________．
答案：y＝－2x2(－1≤x≤1)
4．(基础点：椭圆的参数方程)椭圆(θ为参数)的离心率为________．
答案：
授课提示：对应学生用书第202页
考点一 参数方程与普通方程的互化
[例] 已知直线l的参数方程为(t为参数)，圆C的参数方程为(θ为参数)．
(1)求直线l和圆C的普通方程；
(2)若直线l与圆C有公共点，求实数a的取值范围．
[解析] (1)直线l的普通方程为2x－y－2a＝0，
圆C的普通方程为x2＋y2＝16.
(2)因为直线l与圆C有公共点，
故圆C的圆心到直线l的距离d＝≤4，
解得－2≤a≤2.
即实数a的取值范围为[－2，2]．
[破题技法] 将参数方程化为普通方程的方法
将参数方程化为普通方程，需要根据参数方程的结构特征，选取适当的消参方法．常见的消参方法有：代入消参法、加减消参法、平方消参法等，对于含三角函数的参数方程，常利用同角三角函数关系式消参(如sin2θ＋cos2θ＝1等)．
提醒：将参数方程化为普通方程时，要注意两种方程的等价性，防止增解．
如图，以过原点的直线的倾斜角θ为参数，求圆x2＋y2－x＝0的参数方程．
解析：圆的半径为，
记圆心为C，连接CP，
则∠PCx＝2θ，
故xP＝＋cos
2θ＝cos2
θ，
yP＝sin
2θ＝sin
θcos
θ.
所以圆的参数方程为(θ为参数)．
考点二 参数方程的应用
[例] (2019·高考全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(t为参数)．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2ρcos
θ＋ρsin
θ＋11＝0.
(1)求C和l的直角坐标方程；
(2)求C上的点到l距离的最小值．
[解析] (1)因为－1＜≤1，
且x2＋＝＋＝1，
所以C的直角坐标方程为x2＋＝1(x≠－1)，
l的直角坐标方程为2x＋y＋11＝0.
(2)由(1)可设C的参数方程为(α为参数，－π＜α＜π)．
C上的点到l的距离为
＝.
当α＝－时，4cos＋11取得最小值7，
故C上的点到l距离的最小值为.
[破题技法] 1.应用直线参数方程的注意点
在使用直线参数方程的几何意义时，要注意参数前面的系数应该是该直线倾斜角的正、余弦值，否则参数不具备该几何含义．
2．圆和圆锥曲线参数方程的应用
有关圆或圆锥曲线上的动点距离的最大值、最小值以及取值范围的问题，通常利用它们的参数方程转化为三角函数的最大值、最小值求解，掌握参数方程与普通方程互化的规律是解此类题的关键．
(2020·广东揭阳二模)以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρ2cos
2θ＝a2(a∈R，a为常数)，过点P(2，1)，倾斜角为30°的直线l的参数方程满足x＝2＋t(t为参数)．
(1)求曲线C的普通方程和直线l的参数方程；
(2)若直线l与曲线C相交于A、B两点(点P在A、B之间)，且|PA|·|PB|＝2，求a和||PA|－|PB||的值．
[解析] (1)由ρ2cos
2θ＝a2得ρ2(cos2θ－sin2θ)＝a2，
又x＝ρcos
θ，y＝ρsin
θ，得x2－y2＝a2，
∴曲线C的普通方程为x2－y2＝a2.
∵过点(2，1)，倾斜角为30°的直线l的普通方程为y＝(x－2)＋1，由x＝2＋t得y＝1＋t，
∴直线l的参数方程为(t为参数)．
(2)将代入x2－y2＝a2，得t2＋2(2－1)t＋2(3－a2)＝0①，
依题意知Δ＝[2(2－1)]2－8(3－a2)＞0，
则方程①的根t1、t2就是交点A、B对应的参数，t1·t2＝2(3－a2)，
由参数t的几何意义知|PA|·|PB|＝|t1|·|t2|＝|t1·t2|，得|t1·t2|＝2，
∵点P在A、B之间，∴t1·t2＜0，
∴t1·t2＝－2，即2(3－a2)＝－2，
解得a2＝4(满足Δ＞0)，∴a＝±2.
∵||PA|－|PB||＝||t1|－|t2||＝|t1＋t2|，
又t1＋t2＝－2(2－1)，
∴||PA|－|PB||＝4－2.
考点三 极坐标方程与参数方程的综合应用
[例] 在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(φ为参数)，以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝4sin
θ.
(1)求曲线C1的普通方程和C2的直角坐标方程；
(2)已知曲线C3的极坐标方程为θ＝α(0＜α＜π，ρ∈R)，点A是曲线C3与C1的交点，点B是曲线C3与C2的交点，A，B均异于原点O，且|AB|＝4，求α的值．
[解析] (1)由(φ为参数)消去参数φ可得C1的普通方程为(x－2)2＋y2＝4.
∵ρ＝4sin
θ，∴ρ2＝4ρsin
θ，
由得曲线C2的直角坐标方程为x2＋(y－2)2＝4.
(2)由(1)得曲线C1的普通方程为(x－2)2＋y2＝4，其极坐标方程为ρ＝4cos
θ，
由题意设A(ρ1，α)，B(ρ2，α)，则|AB|＝|ρ1－ρ2|＝4|sin
α－cos
α|＝4＝4，
∴sin＝±1，∴α－＝＋kπ(k∈Z)．
∵0＜α＜π，∴α＝.
[破题技法] 参数方程与极坐标方程综合问题的解题策略
(1)涉及参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解．当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程．
(2)数形结合的应用，即充分利用参数方程中参数的几何意义，或者利用ρ和θ的几何意义，直接求解，能达到化繁为简的解题目的．
(2020·湖南郴州二模)已知极坐标系中，点M，曲线C的极坐标方程为ρ2＝，点N在曲线C上运动，以极点为坐标原点，极轴为x轴的非负半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为(t为参数)．
(1)求直线l的普通方程与曲线C的参数方程；
(2)求线段MN的中点P到直线l的距离的最小值．
解析：(1)∵直线l的参数方程为(t为参数)，
∴消去参数t得直线l的普通方程为x－y－6＝0.
曲线C的极坐标方程化为ρ2＋2ρ2sin2θ－12＝0，
∴曲线C的直角坐标方程为x2＋3y2－12＝0，即＋＝1.
∴曲线C的参数方程为(α为参数)．
(2)设N(2cos
α，2sin
α)(0≤α＜2π)，点M的极坐标化成直角坐标为(4，4)，则P(cos
α＋2，sin
α＋2)，
∴点P到直线l的距离d＝
＝≥2，
当cos＝1时，等号成立．
∴点P到l的距离的最小值为2.
PAGE选修4－4 坐标系与参数方程
选修4－4第一节 坐标系
授课提示：对应学生用书第198页
[基础梳理]
1．坐标系
(1)坐标变换
设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：的作用下，点P(x，y)对应到点(λx，μy)，称φ为坐标系中的伸缩变换．
(2)极坐标系
在平面内取一个定点O，叫作极点；自极点O引一条射线Ox，叫作极轴；再选一个长度单位，一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．
设M是平面内任意一点，极点O与点M的距离|OM|叫作点M的极径，记为ρ；以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角xOM叫作点M的极角，记为θ，有序数对(ρ，θ)叫作点M的极坐标，记为M(ρ，θ)．
2．直角坐标与极坐标的互化
把直角坐标系的原点作为极点，x轴非负半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位．设M是平面内的任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x，y)和(ρ，θ)，则
3．常用简单曲线的极坐标方程
曲线
图形
极坐标方程
圆心在极点，半径为r的圆
ρ＝r
圆心为(r，0)，半径为r的圆
ρ＝2rcos
θ
圆心为，半径为r的圆
ρ＝2rsin
θ(0≤θ<π)
过极点，倾斜角为α的直线
θ＝α(ρ∈R)
或θ＝π＋α(ρ∈R)
过点(a，0)，与极轴垂直的直线
ρcos
θ＝a
过点，与极轴平行的直线
ρsin
θ＝a
1．明辨两个坐标
伸缩变换关系式点(x，y)在原曲线上，点(x′，y′)在变换后的曲线上，因此点(x，y)的坐标满足原来的曲线方程，点(x′，y′)的坐标满足变换后的曲线方程．
2．极坐标方程与直角坐标方程互化
(1)公式代入：直角坐标方程化为极坐标方程公式x＝ρcos
θ及y＝ρsin
θ直接代入并化简．
(2)整体代换：极坐标方程化为直角坐标方程，变形构造形如ρcos
θ，ρsin
θ，ρ2的形式，进行整体代换．
[四基自测]
1．(基础点：点的直角坐标化为极坐标)点P的直角坐标为(1，－)，则点P的极坐标为______．
答案：(2，－)
2．(基础点：圆的极坐标方程)在极坐标系中，圆心在且过极点的圆的方程为________．
答案：ρ＝－2
cos
θ
3．(易错点：圆的极坐标方程的圆心和半径)已知圆C的极坐标方程为ρ2＋2ρsin－4＝0，则圆C的半径为________．
答案：
授课提示：对应学生用书第199页
考点一 伸缩变换
[例] (1)在同一平面直角坐标系中经过伸缩变换后，曲线C变为曲线2x′2＋8y′2＝1，求曲线C的方程．
[解析] 把代入曲线2x′2＋8y′2＝1，可得2(5x)2＋8(3y)2＝1，化为50x2＋72y2＝1，即为曲线C的方程．
(2)在同一直角坐标系中，求满足下列图形的伸缩变换：由曲线4x2＋9y2＝36变成曲线x′2＋y′2＝1.
[解析] 法一：设变换为φ：可将其代入x′2＋y′2＝1，得λ2x2＋μ2y2＝1.
将4x2＋9y2＝36变形为＋＝1，
比较系数得λ＝，μ＝.所以
故将椭圆4x2＋9y2＝36上的所有点的横坐标变为原来的，纵坐标变为原来的，可得到圆x′2＋y′2＝1.
法二：利用配凑法将4x2＋9y2＝36化为＋＝1，与x′2＋y′2＝1对应项比较即可得
故将椭圆4x2＋9y2＝36上的所有点的横坐标变为原来的，纵坐标变为原来的，可得到圆x′2＋y′2＝1.
[破题技法] 1.平面上的曲线y＝f(x)在变换φ：的作用下的变换方程的求法是将
代入y＝f(x)，得＝f，整理之后得到y′＝h(x′)，即为所求变换之后的方程．
2．应用伸缩变换时，要分清变换前的点的坐标(x，y)与变换后的坐标(x′，y′)．
1．(2020·池州模拟)求曲线x2＋y2＝1经过φ：变换后得到的新曲线的方程．
解析：曲线x2＋y2＝1经过φ：变换后，即将代入圆的方程，
可得＋＝1，
即所求新曲线方程为：＋＝1.
2．求正弦曲线y＝sin
x按：φ：变换后的函数解析式．
解析：设点P(x，y)为正弦曲线y＝sin
x上的任意一点，
在变换φ：的作用下，点P(x，y)对应到点P′(x′，y′)．
即代入y＝sin
x得2y′＝sin
3x′，
所以y′＝sin
3x′，即y＝sin
3x为所求．
考点二 求曲线的极坐标方程
[例] (2019·高考全国卷Ⅱ)在极坐标系中，O为极点，点M(ρ0，θ0)(ρ0>0)在曲线C：ρ＝4sin
θ上，直线l过点A(4，0)且与OM垂直，垂足为P.
(1)当θ0＝时，求ρ0及l的极坐标方程；
(2)当M在C上运动且P在线段OM上时，求P点轨迹的极坐标方程．
[解析] (1)因为M(ρ0，θ0)在曲线C上，
当θ0＝时，ρ0＝4sin
＝2.
由已知得|OP|＝|OA|cos
＝2.
设Q(ρ，θ)为l上除P外的任意一点．
在Rt△OPQ中，ρcos＝|OP|＝2.
经检验，点P在曲线ρcos＝2上，所以，l的极坐标方程为ρcos＝2.
(2)设P(ρ，θ)，在Rt△OAP中，
|OP|＝|OA|cos
θ＝4cos
θ，即ρ＝4cos
θ.
因为P在线段OM上，且AP⊥OM，
所以θ的取值范围是.
所以，P点轨迹的极坐标方程为ρ＝4cos
θ，θ∈.
[破题技法] 1.将θ0＝代入ρ＝4sin
θ求得ρ0.由ρ0可求得|OP|，从而求得l的极坐标方程．
2．设点P(ρ，θ)，用ρ，θ表示出Rt△AOP中的边角关系，从而求出P点轨迹的极坐标方程．
(2019·高考全国卷Ⅲ)如图，在极坐标系Ox中，A(2，0)，B，C，D(2，π)，弧，，所在
圆的圆心分别是(1，0)，，(1，π)，曲线M1是弧，曲线M2是弧，曲线M3是弧.
(1)分别写出M1，M2，M3的极坐标方程；
(2)曲线M由M1，M2，M3构成，若点P在M上，且|OP|＝，求P的极坐标．
解析：(1)由题设可得，弧，，所在圆的极坐标方程分别为ρ＝2cos
θ，ρ＝2sin
θ，ρ＝－2cos
θ.
所以M1的极坐标方程为ρ＝2cos
θ，M2的极坐标方程为ρ＝2sin
θ，M3的极坐标方程为ρ＝－2cos
θ.
(2)设P(ρ，θ)，由题设及(1)知
若0≤θ≤，则2cos
θ＝，解得θ＝；
若≤θ≤，则2sin
θ＝，解得θ＝或θ＝；
若≤θ≤π，则－2cos
θ＝，解得θ＝.
综上，P的极坐标为或或或.
考点三 极坐标与直角坐标的互化
[例] (2018·高考全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为y＝k|x|＋2.以坐标原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ2＋2ρcos
θ－3＝0.
(1)求C2的直角坐标方程；
(2)若C1与C2有且仅有三个公共点，求C1的方程．
[解析] (1)由x＝ρcos
θ，y＝ρsin
θ得C2的直角坐标方程为(x＋1)2＋y2＝4.
(2)由(1)知C2是圆心为A(－1，0)，半径为2的圆．
由题设知，C1是过点B(0，2)且关于y轴对称的两条射线．记y轴右边的射线为l1，y轴左边的射线为l2.
由于点B在圆C2的外面，故C1与C2有且仅有三个公共点等价于l1与C2只有一个公共点且l2与C2有两个公共点，或l2与C2只有一个公共点且l1与C2有两个公共点．
当l1与C2只有一个公共点时，点A到l1所在直线的距离为2，所以＝2，故k＝－或k＝0.
经检验，当k＝0时，l1与C2没有公共点；
当k＝－时，l1与C2只有一个公共点，l2与C2有两个公共点．
当l2与C2只有一个公共点时，点A到l2所在直线的距离为2，所以＝2，故k＝0或k＝.
经检验，当k＝0时，l1与C2没有公共点；
当k＝时，l2与C2没有公共点．
综上，所求C1的方程为y＝－|x|＋2.
[破题技法] 极坐标方程与普通方程的互化技巧
(1)将极坐标方程两边同乘ρ或同时平方，将极坐标方程构造成含有ρcos
θ，ρsin
θ，ρ2的形式，然后利用公式代入化简得到普通方程．
(2)巧借两角和差公式，转化ρsin(θ±α)或ρcos(θ±α)的结构形式，进而利用互化公式得到普通方程．
(3)将直角坐标方程中的x转化为ρcos
θ，将y换成ρsin
θ，即可得到其极坐标方程．
在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(t为参数，a>0)．在以坐标原点为极点，x轴非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ＝4cos
θ.
(1)说明C1是哪一种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；
(2)直线C3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tan
α0＝2，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a.
解析：(1)消去参数t得到C1的普通方程x2＋(y－1)2＝a2.C1是以(0，1)为圆心，a为半径的圆．
将x＝ρcos
θ，y＝ρsin
θ代入C1的普通方程中，得到C1的极坐标方程为ρ2－2ρsin
θ＋1－a2＝0.
(2)曲线C1，C2的公共点的极坐标满足方程组
若ρ≠0，由方程组得16cos2
θ－8sin
θcos
θ＋1－a2＝0，
由已知tan
θ＝2，可得16cos2
θ－8sin
θcos
θ＝0，
从而1－a2＝0，解得a＝－1(舍去)或a＝1.
a＝1时，极点也为C1，C2的公共点，在C3上．
所以a＝1.
考点四 极坐标方程的应用
[例] 在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρcos
θ＝4.
(1)M为曲线C1上的动点，点P在线段OM上，且满足|OM|·|OP|＝16，求点P的轨迹C2的直角坐标方程；
(2)设点A的极坐标为，点B在曲线C2上，求△OAB面积的最大值．
[解析] (1)设P的极坐标为(ρ，θ)(ρ>0)，M的极坐标为(ρ1，θ)(ρ1>0)．
由题设知|OP|＝ρ，|OM|＝ρ1＝.
由|OM|·|OP|＝16得C2的极坐标方程为ρ＝4cos
θ(ρ>0)．因此C2的直角坐标方程为(x－2)2＋y2＝4(x≠0)．
(2)设点B的极坐标为(ρB，α)(ρB>0)．
由题设知|OA|＝2，ρB＝4cos
α，于是△OAB的面积
S＝|OA|·ρB·sin∠AOB＝4cos
α·|sin|＝2|sin－|≤2＋.
当α＝－时，S取得最大值2＋.
所以△OAB面积的最大值为2＋.
[破题技法] 1.涉及圆的极坐标方程的解决方法
方法一：先把涉及的直线或圆的极坐标方程化为直角坐标方程，再根据直角坐标系中的相关知识进行求解；
方法二：直接利用极坐标的相关知识进行求解，其关键是将已知条件表示成ρ和θ之间的关系．这一过程需要用到解三角形的知识，并需要掌握直线和圆的极坐标方程．
2．判断位置关系和求最值问题的方法
(1)已知极坐标方程讨论位置关系时，可以先化为直角坐标方程，化陌生为熟悉再进行解答．
(2)已知极坐标方程解答最值问题时，通常可转化为三角函数模型求最值问题，比直角坐标系中求最值的运算量小．
(2020·山西太原模拟)点P是曲线C1：(x－2)2＋y2＝4上的动点，以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，以极点O为中心，将点P逆时针旋转90°得到点Q，设点Q的轨迹为曲线C2.
(1)求曲线C1，C2的极坐标方程；
(2)射线θ＝(ρ＞0)与曲线C1，C2分别交于A，B两点，定点M(2，0)，求△MAB的面积．
解析：(1)由曲线C1的直角坐标方程(x－2)2＋y2＝4可得曲线C1的极坐标方程为ρ＝4cos
θ.
设Q(ρ，θ)，则P，
则有ρ＝4cos＝4sin
θ.
所以曲线C2的极坐标方程为ρ＝4sin
θ.
(2)M到射线θ＝(ρ＞0)的距离d＝2sin＝，
|AB|＝ρB－ρA＝4＝2(－1)，
则S△MAB＝|AB|×d＝×2(－1)×＝3－.
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