2022高考数学统考一轮复习选修4_5不等式选讲教师文档教案文北师大版

选修4－5　不等式选讲
授课提示：对应学生用书第204页
[基础梳理]
1．绝对值三角不等式
(1)定理1：如果a，b是实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立；
(2)定理2：如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立．
2．绝对值不等式的解集
(1)含绝对值的不等式|x|a的解集：
不等式
a>0
a＝0
a<0
|x|{x|－a?
?
|x|>a
{x|x>a或x<－a}
{x∈R|x≠0}
R
(2)|ax＋b|≤c、|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法：
①|ax＋b|≤c?－c≤ax＋b≤c；
②|ax＋b|≥c?ax＋b≥c或ax＋b≤－c．
3．基本不等式
定理1：如果a，b∈R，那么a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立．
定理2：如果a，b>0，那么≥，当且仅当a＝b时，等号成立，即两个正数的算术平均不小于(即大于或等于)它们的几何平均．
定理3：如果a，b，c全为正实数，那么≥，当且仅当a＝b＝c时，等号成立．
4．柯西不等式
设a，b，c，d均为实数，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，等号当且仅当ad＝bc时成立．
1．一组重要关系
|a＋b|与|a|－|b|，|a－b|与|a|－|b|，|a|＋|b|之间的关系：
(1)|a＋b|≥|a|－|b|，当且仅当a＞－b＞0时，等号成立．
(2)|a|－|b|≤|a－b|≤|a|＋|b|，当且仅当|a|≥|b|且ab≥0时，左边等号成立，当且仅当ab≤0时，右边等号成立．
2．两个等价关系
(1)|x|＜a?－a＜x＜a(a＞0)．
(2)|x|＞a?x＜－a或x＞a(a＞0)．
3．一个关键
解绝对值不等式的关键是去掉绝对值符号．
4．一个口诀
解含绝对值的不等式的基本思路可概括为十二字口诀“找零点，分区间，逐个解，并起来．”
[四基自测]
1．(基础点：解绝对值不等式)不等式|x－1|<1的解集为(　　)
A．(1，2)　　　　　　
B．(0，2)
C．(－1，1)
D．(0，1)
答案：B
2．(基础点：绝对值不等式的等价转化)不等式|x＋1|>|x－1|的解集为________．
答案：(0，＋∞)
3．(基础点：绝对值不等式的意义)若关于x的不等式|ax－2|＜3的解集为，则a＝________．
答案：－3
授课提示：对应学生用书第204页
考点一　解绝对值不等式
[例]　(2019·高考全国卷Ⅱ)已知f(x)＝|x－a|x＋|x－2|(x－a)．
(1)当a＝1时，求不等式f(x)<0的解集；
(2)若x∈(－∞，1)时，f(x)<0，求a的取值范围．
[解析]　(1)当a＝1时，f(x)＝|x－1|x＋|x－2|(x－1)．当x＜1时，f(x)＝－2(x－1)2＜0；
当x≥1时，f(x)≥0.
所以，不等式f(x)＜0的解集为(－∞，1)．
(2)因为f(a)＝0，所以a≥1.
当a≥1，x∈(－∞，1)时，f(x)＝(a－x)x＋(2－x)(x－a)＝2(a－x)(x－1)＜0，所以，a的取值范围是[1，＋∞)．
[破题技法]　含绝对值不等式的解法
方法
解读
适合题型
公式法
利用公式|x|0)和|x|>a?x>a或x<－a(a>0)直接求解不等式
|f(x)|>g(x)或|f(x)|平方法
利用不等式两边平方的技巧，去掉绝对值，需保证不等式两边同正或同负
|f(x)|≥|g(x)|?f2(x)≥g2(x)
零点分段法
含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分区间法脱去绝对值符号，将其转化为与之等价的不含绝对值符号的不等式(组)求解
|f(x)|±|g(x)|≥a，|f(x)|±|g(x)|≤a
图像法
在直角坐标系中作出不等式两边所对应的两个函数的图像，利用函数图像求解或通过移项构造一个函数
如|f(x)|＋|g(x)|≥a可构造y＝|f(x)|＋|g(x)|－a或y＝|f(x)|＋|g(x)|与y＝a
几何意义法
|x－a|＋|x－b|>m(a>0，b>0，m>0)表示数轴上点x到a的距离与到b的距离之和大于m
形如|x－a|±|x－b|>m的形式
(2018·高考全国卷Ⅱ)设函数?(x)＝5－|x＋a|－|x－2|.
(1)当a＝1时，求不等式?(x)≥0的解集；
(2)若?(x)≤1，求a的取值范围．
解析：(1)当a＝1时，?(x)＝
可得?(x)≥0的解集为{x|－2≤x≤3}．
(2)?(x)≤1等价于|x＋a|＋|x－2|≥4.
而|x＋a|＋|x－2|≥|a＋2|，且当x＝2时等号成立．
故?(x)≤1等价于|a＋2|≥4.
由|a＋2|≥4可得a≤－6或a≥2.
所以a的取值范围是(－∞，－6]∪[2，＋∞)．
考点二　绝对值不等式的性质
[例]　(2020·大庆模拟)设函数f(x)＝|2x－1|－|x＋4|.
(1)解不等式：f(x)>0；
(2)若f(x)＋3|x＋4|≥|a－1|对一切实数x均成立，求a的取值范围．
[解析]　(1)原不等式即为|2x－1|－|x＋4|>0，
当x≤－4时，不等式化为1－2x＋x＋4>0，解得x<5，
即不等式组的解集是{x|x≤－4}．
当－40，解得x<－1，即不等式组的解集是{x|－4当x≥时，不等式化为2x－1－x－4>0，解得x>5，即不等式组的解集是{x|x>5}．
综上，原不等式的解集为{x|x<－1或x>5}．
(2)∵f(x)＋3|x＋4|＝|2x－1|＋2|x＋4|＝|1－2x|＋|2x＋8|≥|(1－2x)＋(2x＋8)|＝9.
∴由题意可知|a－1|≤9，解得－8≤a≤10，
故所求a的取值范围是{a|－8≤a≤10}．
[破题技法]　巧用“||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|”求最值
(1)求|a|－|b|的范围：若a±b为常数M，可利用||a|－|b||≤|a±b|?－|M|≤|a|－|b|≤|M|确定范围．
(2)求|a|＋|b|的最小值：若a±b为常数M，可利用|a|＋|b|≥|a±b|＝|M|，从而确定其最小值．
设函数f(x)＝|x＋1|.
(1)若f(x)＋2x＞2，求实数x的取值范围；
(2)设g(x)＝f(x)＋f(ax)(a＞1)，若g(x)的最小值为，求a的值．
解析：(1)f(x)＋2x＞2即|x＋1|＞2－2x?或?x＞，∴实数x的取值范围是.
(2)∵a＞1，∴－1＜－＜0，
∴g(x)＝
易知函数g(x)在上单调递减，在上单调递增，
∴g(x)min＝g＝1－.
∴1－＝，解得a＝2.
考点三　不等式的证明
[例]　(2019·高考全国卷Ⅰ)已知a，b，c为正数，且满足abc＝1.证明：
(1)＋＋≤a2＋b2＋c2；
(2)(a＋b)3＋(b＋c)3＋(c＋a)3≥24.
证明：(1)因为a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac，又abc＝1，
故有a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca＝＝＋＋.
当且仅当a＝b＝c＝1时，等号成立．
所以＋＋≤a2＋b2＋c2.
(2)因为a，b，c为正数且abc＝1，
故有(a＋b)3＋(b＋c)3＋(c＋a)3
≥3＝3(a＋b)(b＋c)(c＋a)
≥3×(2)×(2)×(2)＝24.
当且仅当a＝b＝c＝1时，等号成立．
所以(a＋b)3＋(b＋c)3＋(c＋a)3≥24.
[破题技法]　证明不等式的方法与技巧
(1)当已知与所求之间的关系较明显，从已知或不等式性质入手进行转换，可得到所求时，利用综合法．
(2)如果已知条件与待证明的结论直接联系不明显，可考虑用分析法；如果待证明的命题以“至少”“至多”等方式给出或为否定性命题、唯一性命题，则考虑用反证法．
(3)在必要的情况下，可能还需要使用换元法、构造法等技巧简化对问题的表述和证明．尤其是对含绝对值不等式的求解或证明，其简化的基本思路是化去绝对值号，转化为常见的不等式(组)求解．多以绝对值的几何意义或“找零点、分区间、逐个解、并起来”为简化策略．绝对值三角不等式，则往往作为不等式放缩的依据．
已知实数a，b，c满足a>0，b>0，c>0，且abc＝1.
(1)证明：(1＋a)(1＋b)(1＋c)≥8；
(2)证明：＋＋≤＋＋.
证明：(1)1＋a≥2，1＋b≥2，1＋c≥2，相乘得：
(1＋a)(1＋b)(1＋c)≥8＝8.
(2)＋＋＝ab＋bc＋ac，
ab＋bc≥2＝2，
ab＋ac≥2＝2，
bc＋ac≥2＝2，
相加得＋＋≤＋＋.
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