直线与圆
高考要求
1．圆与方程
(1)掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程．
(2)能根据给定直线和圆的方程，判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断圆与圆的位置关系．
(3)能用直线和圆的方程解决一些简单的问题．
(4)初步了解用代数方法处理几何问题的思想．
考题回顾：
1．（2011年，安徽文4) 若直线过圆的圆心,则a的值为（ ）
A．1 B．1 C． 3 D．3
【答案】B
【解析】圆的方程可变形为，所以圆心为（－1,2），代入直线得．
2．（2011年，安徽理5）在极坐标系中，点到圆的圆心的距离为（ ）
A． 2 B． C． D．
【答案】D
【解析】极坐标化为直角坐标为，即．圆的极坐标方程可化为，化为直角坐标方程为，即，所以圆心坐标为（1,0），则由两点间距离公式．
3．（2010年，湖南文数14）若不同两点P,Q的坐标分别为（a，b），（3-b，3-a），则线段PQ的垂直平分线的斜率为_________，圆（x-2）2+（y-3）2=1关于直线对称的圆的方程为___________．
【答案】，
【解析】，所以；PQ的中点为，
所以的方程为，圆心为（2，3），关于的对称点为（0，1），所以所求圆的方程为．
4．（2010，广东理12）若圆心在轴上、半径为的圆位于轴左侧，且与直线相切，则圆的方程是 ．
【答案】
【解析】设圆心为，则，解得．
5．（2010年，天津文14）已知圆C的圆心是直线x-y+1=0与x轴的交点，且圆C与直线x+y+3=0相切．则圆C的方程为 ．
【答案】
【解析】令y=0得x=-1，所以直线x-y+1=0与x轴的交点为（-1，0），
因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即，所以圆C的方程为．
6．（2010江西理8）直线与圆相交于M,N两点，若，则k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】圆心的坐标为（3，2），且圆与y轴相切，当，圆心到直线的距离为1，由点到直线距离公式解得斜率为、0，所以选．
7．（2010年，山东文16）已知圆C过点（1,0），且圆心在x轴的正半轴上，直线l：被该圆所截得的弦长为，则圆C的标准方程为 ．
【答案】
【解析】设圆心为，则，所以，半径为2，所以圆的方程为．
8．（2010年，江苏9）在平面直角坐标系xOy中，已知圆上有且仅有四个点到直线12x-5y+c=0的距离为1，则实数c的取值范围是 ．
【答案】（-13，13）
【解析】圆半径为2，圆心（0，0）到直线12x-5y+c=0的距离小于1，，的取值范围是（-13，13）．
9．（2011年，广东理19）设圆C与两圆中的一个内切，另一个外切．
（1）求圆C的圆心轨迹L的方程；
（2）已知点M，且P为L上动点，求的最大值及此时点P的坐标．
【解析】（1）两圆半径都为2，设圆C的半径为R，两圆心为、，
由题意得或，
所以，
可知圆心C的轨迹是以为焦点的双曲线，设方程为，则
，所以轨迹L的方程为．
（２）∵，仅当时，取＂＝＂，
由知直线，联立并整理得解得或，此时
所以最大值等于2，此时．
例题讲解
例1．(安徽省马鞍山市2012届高三第一次教学质量检测理)以抛物线的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】抛物线的方程为，焦点为（0，1），所以所求圆的半径为1，圆的方程为
，即．
同类拓展：以圆C：的圆心C为圆心，且经过点A的圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】点C的坐标为，CA=5，所求圆的方程为．
例2．一圆经过两点A(4,2)、B(-1,3)，且在两坐标轴上的四个截距之和为2，求圆的方程．
【解析】设圆的方程为， 令x=0，；令y=0，；
设圆与坐标轴四个截距为、、、，则；
又A(4,2)、B(-1,3)在圆上，
所以，解得：，，．
所以所求圆的方程为．
同类拓展：求以O(0,0), A,B(0,4)为顶点的三角形OAB的外接圆的方程．
设圆的方程为，则，
解得，，，所以圆的方程为．
例3．设A（－c，0）、B（c，0）（c>0）为两定点，动点P到A点的距离与到B点的距离之比为定值，求P点的轨迹．
【解析】设动点P的坐标为（x，y），
由=m（m>0）得=m，
化简，得
（1－m2）x2+2c（1+m2）x+c2（1－m2）+（1－m2）y2=0
当m=1时，方程化为x=0，
当m≠1时，方程化为 =
所以当m=1时，点P的轨迹为y轴；
当m≠1时，点P的轨迹是以点（c，0）为圆心，||为半径的圆．
同类拓展：已知点P在圆上的运动，圆外一点Q（5，4），求线段PQ中点M的轨迹．
【解析】设点M的坐标是（x,y）,点P的坐标是，则
，，所以，，
因为点P在上运动，所以点P的坐标满足方程，即，
，即，
所以点M的轨迹是以（1，3）为圆心，为半径的圆．
例4．（2012年北京市丰台区高三期末）在平面直角坐标系xOy中，为坐标原点，以为圆心的圆与直线相切．（1）求圆的方程；（2）直线：与
圆交于，两点，在圆上是否存在一点，使得四边形 为菱形，若存在，
求出此时直线的斜率；若不存在，说明理由．
【解析】（1）设圆的半径为，因为直线与圆相切，
所以 ．
所以圆的方程为 ．
（2）法一：因为直线：与圆相交于，两点，
所以，解得或．
假设存在点，使得四边形为菱形，
则与互相垂直且平分，
所以原点到直线：的距离为．
所以，解得，
即，经验证满足条件．
所以存在点，使得四边形为菱形．
法二：记与交于点．因为直线斜率为，显然，所以直线方程为．
， 解得， 所以点坐标为，
因为点在圆上，所以，解得，
即，经验证满足条件．
所以存在点，使得四边形为菱形．
考点达标（一）
一、选择题
1．圆的圆心和半径分别是（ ）
A． ，3 B． ，
C． ，3 D． ，
【答案】D
【解析】由圆的标准方程可知．
2．圆心为C（-2，2），半径为2的圆的一般方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】将标准方程，展开整理即得．
3．表示一个圆，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由得．
4．已知圆的方程为，则该圆圆心在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【解析】，由得，圆心在第四象限．
5．(安徽省2011年“江南十校”高三联考)若点P（1，1）为圆的弦MN的中点，则弦MN所在直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】圆心C（3，0），，∴MN方程为，
即，故选D．
6． (安徽省2011年2月皖北高三大联考)方程所表示的曲线是 （ ）
A．一个点 B．一条直线 C．一条直线和一个圆 D．一个点和一条直线
【答案】C
【解析】方程可化为，所以或，所以曲线表示轴与圆．
二、填空题
7．为圆上的动点，则点到直线的距离的最小值为__________．
【答案】
【解析】最小值为圆心到直线的距离与半径的差，．
8．已知点，，则以线段AB为直径的圆的方程
为_____________________ ．
【答案】
【解析】圆心为，半径为，所求圆的方程为．
9． (安徽省合肥市2011年高三第一次教学质量检测)以椭圆的右焦点为圆心，并过椭圆的短轴端点的圆的方程为_____________．
【答案】
【解析】椭圆的右焦点为，所求圆的半径为，所以．
10．点()在圆的外部，则的取值范围是_____________．
【答案】或
【解析】圆的方程化为，由点在圆外得： ，解得：或．
三、解答题
11．求过点且圆心在直线上的圆的方程．
【解析】设圆心为，而圆心在线段的垂直平分线上，
即得圆心为，，
所以圆的方程为．
12．求经过点且与直线相切于点的圆的方程．
【解析】因为圆经过点A、B，所以圆心C在线段AB的中垂线上，由AB的中点（3，1），斜率为1知线段AB的中垂线方程为，即；
过B垂直于的直线方程为：，即．
由得C，又，
所以所求圆的方程为．
考点达标（二）
一、选择题
1．（北京五中2011届高三上学期期中考试试题理）若过定点且斜率为的直线与圆在第一象限内的部分有交点，则的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】圆与坐标轴的正半轴分别交于点（1，0）、（0，），所以的取值范围是．
2．将直线2x－y＋＝0沿x轴向左平移1个单位，所得直线与圆x2＋y2＋2x－4y＝0相切，则实数的值为________．
A．－3 B．－3或7 C．－1 D．－1或11
【答案】B
【解析】平移后的直线方程为，由得或．
3．若直线被圆所截得的弦长为，则实数的值为（ ）
A．或 B．或 C．或 D．或
【答案】 D
【解析】．
4．直线与圆交于两点，则（是原点）的面积为（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
【答案】D
【解析】弦长为，．
5．圆(x-3)2+(y-3)2=9上到直线3x+4y-11=0的距离等于1的点的个数为____________．
Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．3 D．4
【答案】C
【解析】圆心（3，3）到直线的距离为2，圆的半径为3，所以圆上满足条件的点有3个．
6．过点圆的切线,则切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】斜率不存在时直线满足题意；当斜率存在时，设切线方程为，即，由得，所以切线为．
二、填空题
7．在平面直角坐标系xOy中，已知圆上有且仅有四个点到直线12x－5y＋m＝0的距离为3，则实数m的取值范围是________．
【答案】
【解析】圆半径为6，圆心(2,2)到直线12x－5y＋m＝0的距离小于3，，所以实数m的取值范围是．
8．直线x－y+3=0被圆（x+2）2+（y－2）2=2截得的弦长等于_____________．
【答案】
【解析】圆心为，半径为，圆心到直线的距离为，所以弦长为．
9．对于任意实数，直线与圆的位置关系是___________．
【答案】相交
【解析】因为直线恒过，而点在圆内，所以过点（1，3）的直线与圆相交．
9．对于任意实数，直线与圆的位置关系是___________．
【答案】相切或相交
【解析】因为，所以相交或相切．另法：直线恒过，而在圆上．
10．已知圆的方程为，过点的直线与圆交于两点，若使最小，则直线的方程是________________．
【答案】
【解析】当时，最小，．
三、解答题
11．已知以点C(t∈R，t≠0)为圆心的圆与x轴交于点O、A，与y轴交于点O、B，其中O为原点．
(1)求证：△OAB的面积为定值；
(2)设直线y＝－2x＋4与圆C交于点M，N，若OM＝ON，求圆C的方程．
【解析】(1)证明：∵圆C过原点O，∴OC2＝t2＋，则圆C的方程是(x－t)2＋(y－)2＝t2＋，
令x＝0，得y1＝0，y2＝；令y＝0，得x1＝0，x2＝2t．
∴S△OAB＝OA·OB＝×||×|2t|＝4，即△OAB的面积为定值．
(2)∵OM＝ON，CM＝CN，∴OC垂直平分线段MN．∵kMN＝－2，∴kO C＝，
∴直线OC的方程是y＝x．∴＝t，解得：t＝2或t＝－2．
当t＝2时，圆心C的坐标为(2,1)，OC＝，此时圆心C到直线y＝－2x＋4的距离d＝<，圆C与直线y＝－2x＋4相交于两点．
当t＝－2时，圆心C的坐标为(－2，－1)，OC＝，此时圆心C到直线y＝－2x＋4的距离d＝>，圆C与直线y＝－2x＋4不相交，∴t＝－2不符合题意舍去．
∴圆C的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5．
12．草原某地，丛林的边界L是一条直线，兔子和狼分别位于A、B处(AC⊥L，B在AC上，AB＝BC＝a)，如图，现兔子欲沿AD(或AD′)以速度2v逃入丛林，D和D′在L上，且关于C点对称，同时狼沿线段BM(或BM′)以速度v拦截，M和M′分别在线段AD和AD′上，且|AM|＝|AM′|，若狼比兔子早或同时到达M(或M′)处，兔子就会被狼捕获．
(1) 求狼捕获到兔子的区域；
(2) 若兔子沿着θ＝∠CAD＝15°的方向逃入丛林，问：狼捕获兔子的最短路程是多少？
(3) 兔子要想逃生，角θ应满足什么条件？
【解析】(1) 以直线L为x轴，以点C为坐标原点建立直角坐标系，
则A(0,2a)，B(0，a)，设M(x，y)，
依题意有：≥，∴ AM≥2BM，
∴ x2＋(y－2a)2≥4[x2＋(y－a)2]，
化简得x2＋2≤2．
所以，狼捕获到兔子的区域是以点G为圆心、为半径的圆及其内部．
(2) 如右图，
设过A与BC成15°角的射线与圆G交于点E、F，
作BH⊥EF，垂足为H，
则狼捕获兔子的最短距离BH＝ABsin15°＝a，
(3) 如右图，过A作圆G的切线AT，T为切点
设直线AT的方程为y＝kx＋2a，
则圆心G到直线AT的距离d＝＝a，
解得k＝±．
所以，兔子要想逃生，角θ应大于30°．
本章易错易混知识
1．直线的倾斜角的取值范围为__________．
正解：当时，直线为，倾斜角为；
当时，直线的斜率为，倾斜角的范围为．
综上：倾斜角的范围为．
剖析：每一条直线都有倾斜角，当直线与轴垂直时倾斜角为，斜率不存在！另外还需注意直线倾斜角的范围为．
2．直线的倾斜角是（ ）
A． B． C． D．
正解：由题意得：，因为
所以，又在[0，π]内正切值为的角唯一，所以倾斜角为．
剖析：本题学生易认为倾斜角就是题中出现的角．
3．已知直线与平行，则实数的值为（ ）
A．－1或2 B．0或1 C．－1 D．2
正解：由得或，又时，两直线方程均可化为，此时两直线重合．所以．
剖析：本题学生容易错选A，只考虑两直线的斜率相等，而忽略了斜率存在的两直线平行的等价条件是斜率相等且纵截距不等．
4．求过点且与点和距离相等的直线的方程．
正解一：设直线的方程为，即．
由题意知，
即，∴．
∴直线的方程为，即；
当直线的斜率不存在时，直线方程为，也适合题意．
故所求直线的方程为或．
正解二：当//时，有，直线的方程为，
即．
当过中点时，中点为，∴直线的方程为．
故所求直线的方程为或．
剖析：本题按解法一容易漏掉斜率不存在时的直线；按解法二时求解时往往只想到平行，而漏掉过中点时．过已知一点求直线方程，通常会设点斜式方程，但要注意斜率不存在的情况．
5．过点作直线使它在轴上截距是它在轴上的截距的2倍，求直线的方程．
正解：设在轴上的截距为，（1）当时，的方程为，又过点，所以，直线方程为；（2）当时，横纵截距均为0，此时直线过原点，方程为．
剖析：本题易漏解．直线的截距式方程适用于截距均存在且不为零，而过原点不垂直于坐标轴的直线横纵截距均为零，不能为截距式表示．
6．过点P（3，1）可作两直线与圆相切，则的取值范围．
正解：根据题意得且，
解得：或．
剖析：方程表示圆的条件是．本题学生容易忽略题中方程必须是圆的方程，漏掉考虑条件，只考虑点在圆外，从而得到错解或．
6．若曲线与直线+3有两个不同的公共点，则实数 k 的取值范围是（ ）
A B C D
正解：曲线方程可化为，即表示圆位于轴及轴上方部分，方程+3表示过点（2，0），斜率为k 的直线，画出图象，由图可知当直线在PA与PC之间时（不包括PC）满足题意，PC的斜率为，，所以k 的取值范围是．
剖析：本题学生在将曲线转化为时不考虑纵坐标的范围，导致出错．
7．过点(3，3)且与圆(x—1)2+y2=4相切的直线方程是___________．
正解：斜率不存在时，x=3满足题意；斜率存在时，设切线方程为，
即，由得，所以切线方程为．
综上所求的切线方程为x=3或．
剖析：学生容易遗漏斜率不存在的情形导致漏解．求过一点的直线方程时往往采用待定系数法，设点斜式方程时一定要考虑斜率是否存在，分类讨论求解．
8．若圆C：与圆M：相切，则正数r的取值范围为___________．
正解：两圆的圆心分别为C、M，CM=13，当两圆外切时，；两圆内切时，．所以或．
剖析：本题学生只会想到两圆相外切，忽略两圆内切情形．
直线与圆模拟题
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选题中，只有一项是符合题目要求的．
1． 已知过点A(－2，m)，B(m，4)的直线与直线2x＋y－1＝0平行，则实数m的值是_____．
A．10 B．2 C．0 D．－8
【答案】D
【解析】k＝＝－2，得m＝－8．
2．过点(－2，－1)且在两坐标轴上的截距相等的直线方程是__________．
A．x＋y＋3＝0 B．x＋y－3＝0
C．x－2y＝0或x＋y＋3＝0 D．x＋2y＝0或x＋y＋3＝0
【答案】C
【解析】① 直线过坐标原点时，在两坐标轴上的截距都为0，方程为x－2y＝0；
② 直线不过坐标原点时，设方程为＝1，∵ 直线过点（－2，－1），∴ ＝1，得a＝－3，此时直线方程为x＋y＋3＝0．
3．若曲线x2＋y2＋2x－6y＋1＝0上相异两点P、Q关于直线kx＋2y－4＝0对称，则k的值为（ ）
A．1 B．－1 C． D．2
【答案】D
【解析】曲线方程可化为(x＋1)2＋(y－3)2＝9，
由题设知直线过圆心，即k×(－1)＋2×3－4＝0，∴k＝2．
4．直线l与圆x2＋y2＋2x－4y＋a＝0(a＜3)相交于A、B两点，若弦AB的中点为(－2,3)，则直线l的方程为 ( )
A．x－y＋5＝0 B．x＋y－1＝0
C．x－y－5＝0 D．x＋y－3＝0
【答案】A
【解析】由圆的一般方程可得圆心C(－1,2)，由圆的性质易知C(－1,2)，P(－2,3)的连线与弦AB垂直，故有kAB×kCP＝－1?kAB＝1，故直线AB的方程为：y－3＝x＋2整理得：x－y＋5＝0．
5．（安徽省六校教育研究会2012届高三联考（理科）直线和把圆分成四个部分，则与满足的关系为 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】直线与的交点不在圆内，即．
6．若实数x、y满足，则的最小值是____________．
A．9 B．3 C．23 D．13
【答案】B
【解析】点P（x，y）在圆C：上，是点P到原点的距离，原点在圆外，所以圆C上的点到原点距离的最小值为，即3．
7．（2011年，大连检测）从点P(m,3)向圆C：引切线，则切线长的最小值为（ ）
A．2 B． C． D．5
【答案】A
【解析】圆心C，半径为1，切线长为，最小值为．
8．（2012年北京市东城区高三期末理）在平面直角坐标系内，若曲线：
上所有的点均在第二象限内，则实数的取值范围为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】方程化为，表示圆心为，半径为2的圆，
则，所以．
9．（2012届微山一中高三10月考试题）过点，且在y轴上的截距是在x轴上的截距的2倍的直线方程是 （ ）
A． B．或
C． D．或
【答案】B
【解析】考查直线方程的截距式以及截距是0的易漏点,当直线过原点时方程为,不过原点时,可设出其截距式为再由过点即可解出．
10．（2011年，山东）已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线均和圆C：x2＋y2－6x＋5＝0相切，且双曲线的右焦点为圆C的圆心，则该双曲线的方程为( )
A．－＝1 B．－＝1 C．－＝1 D．－＝1
【答案】 A
【解析】 圆方程化为标准方程为(x－3)2＋y2＝4，所以圆心C(3,0)，r＝2，所以双曲线焦点F(3,0)，即c＝3，渐近线为ay±bx＝0，由圆心到渐近线的距离为2得＝2，又a2＋b2＝9，所以|b|＝2，即b2＝4，a2＝c2－b2＝9－4＝5，所以所求双曲线方程为－＝1．
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．
11．（2012届桐城十中高三第四次月考）过点的直线将圆分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线的斜率___________．
【答案】
【解析】圆心为C（2，0），点P，当直线与直线CP垂直时劣弧所对的圆心角最小，，所以直线的斜率．
12．过点P(1,2)总可以作两条直线与圆相切，则实数的取值范围___________．
【答案】
【解析】依题意点P在圆外，所以且，
解得或．
13．如果满足，那么的取值范围是_____________ ．
【答案】[0，10]
【解析】令，直线与圆有公共点时即，所以．
14．（2012届浙江省部分重点中学高三第二学期2月联考）设直线与圆相交于，两点，且弦的长为，则实数的值是_______ ．
【答案】
【解析】圆心到直线的距离为，则，
解得．
15．（2011年，湖南）已知圆C：x2＋y2＝12，直线l：4x＋3y＝25．
(1)圆C的圆心到直线l的距离为__________；
(2)圆C上任意一点A到直线l的距离小于2的概率为__________．
【答案】(1)5 (2)
【解析】 (1)圆心到直线的距离为：d＝＝5；
(2)当圆C上的点到直线l的距离是2时有两个点为点B与点D，设过这两点的直线方程为4x＋3y＋c＝0，同时可得到圆心到直线4x＋3y＋c＝0的距离为OC＝3，
又圆的半径为r＝2，所以∠BOD＝60°，
记“圆C上任意一点A到直线l的距离小于2”为事件A，由图可知点A在弧BD上移动时事件A发生，P(A)＝．
三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16．已知P是直线上的动点，PA、PB是圆的两条切线，A、B是切点，C是圆心，求四边形PACB面积的最小值．
【解析】点P在直线上，所以设，C点坐标为(1,1)
=2=四边形PACB的面积最小，而|PC|=，所以|PC|最小为3，所以最小为．
17．(2011·开封模拟)如图所示，已知圆O：x2＋y2＝4，直线m：kx－y＋1＝0．
(1)求证：直线m与圆O有两个相异交点； (2)设直线m与圆O的两个交点为A、B，求△AOB面积S的最大值．
【解析】 (1)证明 直线m：kx－y＋1＝0可化为y－1＝kx，
故该直线恒过点(0,1)，而(0,1)在圆O：x2＋y2＝4内部，
所以直线m与圆O恒有两个不同交点．
(2)圆心O到直线m的距离为
d＝，而圆O的半径r＝2，
故弦AB的长为|AB|＝2＝2，
故△AOB面积S＝|AB|×d＝×2×d2
＝＝．
而d2＝，因为1＋k2≥1，所以d2＝∈(0,1]，
显然当d2∈(0,1]时，S单调递增，
所以当d2＝1，即k＝0时，S取得最大值，
此时直线m的方程为y－1＝0．
18．已知圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝2，P点坐标为(2，－1)，过点P作圆C的切线，切点为A、B．
（1）求直线PA、PB的方程；
（2）求过P点的圆的切线长；
（3）求直线 AB 的方程．
【解析】（1）如图所示，设过P点的圆的切线方程为，
即
∵圆心（1，2）到直线的距离为．
即
∴
∴
∴所求的切线方程为或，
即或；
（2）在Rt△PCA中，
∴过P点的圆C的切线长为；
（3）由得
由 得B（0，1）
∴直线AB的方程是．
19．（2011年，课标全国）在平面直角坐标系xOy中，曲线y＝x2－6x＋1与坐标轴的交点都在圆C上．
(1)求圆C的方程；
(2)若圆C与直线x－y＋a＝0交于A、B两点，且OA⊥OB，求a的值．
【解析】(1)曲线y＝x2－6x＋1与y轴的交点为(0,1)，与x轴的交点为(3＋2，0)，(3－2，0)．
故可设C的圆心为(3，t)，则有32＋(t－1)2＝(2)2＋t2，解得t＝1．
则圆C的半径为＝3．
所以圆C的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝9．
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，其坐标满足方程组
消去y，得到方程
2x2＋(2a－8)x＋a2－2a＋1＝0．
由已知可得，判别式Δ＝56－16a－4a2>0．从而
x1＋x2＝4－a，x1x2＝．①
由于OA⊥OB，可得x1x2＋y1y2＝0．
又y1＝x1＋a，y2＝x2＋a，所以
2x1x2＋a(x1＋x2)＋a2＝0．②
由①，②得a＝－1，满足Δ>0，故a＝－1．
20．已知：过点A(0,1)且斜率为k的直线l与圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1相交于M、N两点．
(1)求实数k的取值范围；
(2)求证：为定值．
【解析】 (1)法一：∵直线l过点A(0,1)且斜率为k，
∴直线l的方程为y＝kx＋1．
将其代入圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1，
得(1＋k2)x2－4(1＋k)x＋7＝0，
由题意：Δ＝[－4(1＋k)]2－4×(1＋k2)×7＞0，
得＜k＜．
法二：同法一得直线方程为y＝kx＋1，
即kx－y＋1＝0．
又圆心到直线距离d＝＝，
∴d＝＜1，
解得＜k＜．
(2)证明：设过A点的圆的切线为AT，T为切点．
则|AT|2＝|AM|·|AN|，
|AT|2＝(0－2)2＋(1－3)2－1＝7，
∴＝7．
根据向量的运算：=＝7为定值．
21．（2012届浙江省三校高三数学联考）已知抛物线的顶点是椭圆的中心，焦点与该椭圆的右焦点重合．
(1)求抛物线的方程;
(2)已知动直线过点,交抛物线于、两点．
若直线的斜率为1,求的长;
是否存在垂直于轴的直线被以为直径的圆所截得的弦长恒为定值？如果存在，求出的方程；如果不存在，说明理由．
21． 解： (1)由题意,可设抛物线方程为．
由,得．
抛物线的焦点为,．
抛物线D的方程为．
(2)设,．
直线的方程为：,
联立,整理得:
=．
(ⅱ) 设存在直线满足题意,则圆心,过作直线的垂线,垂足为,设直线与圆的一个交点为．可得:
即=
=
==
当时, ,此时直线被以为直径的圆所截得的弦长恒为定值．
因此存在直线满足题意．
直线与圆
高考要求：
(1)在平面直角坐标系中，结合具体图形，掌握确定直线位置的几何要素．
(2)理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式．
(3)能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直．
(4)掌握确定直线位置关系的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系．
(5)能用解方程组的方法求两相交直线的交点坐标．
(6)掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两平行直线间的距离．
考题回顾：
1．（2010年，安徽4)过点（1，0）且与直线x-2y-2=0平行的直线方程是（ ）
A．x-2y-1=0 B．x-2y+1=0 C．2x+y-2=0 D．x+2y-1=0
【答案】A
【解析】设直线方程为，又经过，故，所求方程为．
【方法技巧】因为所求直线与与直线x-2y-2=0平行，所以设平行直线系方程为，代入此直线所过的点的坐标，得参数值，进而得直线方程．也可以用验证法，判断四个选项中方程哪一个过点（1，0）且与直线x-2y-2=0平行．
2．（2010，北京文11）若点p（m，3）到直线的距离为4，且点p在不等式＜3表示的平面区域内，则m= ．
【命题思路】本题考查点到直线的距离公式、解不等式以及不等式表示平面区域等基础知识，容易题．
【答案】-3
【解析】由题意得，所以或，代入不等式知．
3．（2011年，安徽理）在平面直角坐标系中，如果与都是整数，就称点为整点，下列命题中正确的是_____________（写出所有正确命题的编号）．
①存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点
②如果与都是无理数，则直线不经过任何整点
③直线经过无穷多个整点，当且仅当经过两个不同的整点
④直线经过无穷多个整点的充分必要条件是：与都是有理数
⑤存在恰经过一个整点的直线
【答案】①③⑤
【解析】令满足①，故①正确；若，过整点（－1,0），所以②错误；设是过原点的直线，若此直线过两个整点，则有，，两式相减得，则点也在直线上，通过这种方法可以得到直线经过无穷多个整点，通过上下平移得对于也成立，所以③正确；与都是有理数,直线不一定经过整点，④错误；直线恰过一个整点，⑤正确．
4．（2010年，北京理19）在平面直角坐标系xOy中，点B与点A（-1,1）关于原点O对称，P是动点，且直线AP与BP的斜率之积等于．
(Ⅰ)求动点P的轨迹方程；
(Ⅱ)设直线AP和BP分别与直线x=3交于点M,N，问：是否存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
【解析】（1）因点B与（-1,1）关于原点对称，得B点坐标为（1，-1）．
设P点坐标为，则，由题意得，
化简得：．
即P点轨迹为：
（2）因AM与BN交于点P，可得，
又，
若，则有， 即
设P点坐标为，则有：
解得：，又因，解得．
故存在点P使得与的面积相等，此时P点坐标为或
5． (2011，安徽文17)设直线l1：y＝k1x＋1，l2：y＝k2x－1，其中实数k1，k2满足k1k2＋2＝0．
(1)证明：l1与l2相交；
(2)证明：l1与l2的交点在椭圆2x2＋y2＝1上．
【命题思路】本题通过给出两直线的斜截式方程及斜率关系式考查两直线的位置关系、求两直线的交点坐标以及考查推理与证明．
【解析】 (1)假设l1与l2不相交，则l1与l2平行，有k1＝k2，代入k1k2＋2＝0，得k＋2＝0，这与k1为实数的事实相矛盾，从而k1≠k2，即l1与l2相交．
(2)解法一 由方程组解得交点P的坐标为，
而2x2＋y2＝22＋2
＝＝＝1．
此即表明交点P(x，y)在椭圆2x2＋y2＝1上．
解法二）交点P的坐标(x，y)满足
故知x≠0．
从而
代入k1k2＋2＝0，得·＋2＝0．
整理后，得2x2＋y2＝1，所以交点P在椭圆2x2＋y2＝1上．
例题讲解
例1．若直线x＋ay＋3＝0与直线ax＋4y＋6＝0平行，则a＝________．
（2）已知两条直线y＝ax－2和y＝(a＋2)x＋1互相垂直，则a等于________．
【答案】（1）－2；（2）－1
【解析】（1）由两条直线平行可知∴a＝－2．
（2）因为两条直线互相垂直，∴a(a＋2)＝－1，∴a＝－1．
同类拓展：（1）已知两条直线若，则___ _．
（2）已知两条直线与互相垂直，则___ _．
【答案】（1）2；（2）．
【解析】（1）由两条直线平行可知且不重合，所以；
（2）由两条直线垂直得，所以．
例2．求满足下列条件的直线方程：(1)经过点 M(-4， 3)且与直线4x+6y+15=0平行；(2) 过点P(1,2)作直线l，使直线l与点M(2,3)和点N(4，－5)距离相等．
【答案】(1)2x+3y-1=0；（2）3x＋2y－7＝0或4x＋y－6＝0．
【解析】(1) 因为4x+6y+15=0的斜率为，所求直线为，即； (2)直线l为与MN平行或经过MN的中点的直线，当l与MN平行时，斜率为－4，故直线方程为y－2＝－4(x－1)，即4x＋y－6＝0；当l经过MN的中点时，MN的中点为(3，－1)，直线l的斜率为－，故直线方程为y－2＝－(x－1)，即3x＋2y－7＝0．
同类拓展：求满足下列条件的直线方程：（1）经过点N(1004，2013)且与直线x+2y-5=0垂直；(2)经过点P (-2，3)且在两坐标轴上截距相等．
【答案】(1)2x-y+5=0；(2)x+y-1=0或3x+2y=0．
【解析】（1）直线x+2y-5=0的斜率为，所求直线方程为，即2x-y+5=0；（2）若截距都为，则方程设为，过点(-2，3)，所以，直线方程为x+y-1=0；若过原点，设方程为，则，直线方程为3x+2y=0．所以所求的直线方程为x+y-1=0或3x+2y=0．
例3．在直线l：3x－y－1＝0上分别求点P和Q，使得：
(1)P到A(4,1)和B(0,4)的距离之差最大；
(2)Q到A(4,1)和C(3,4)的距离之和最小．
【解析】(1)如图所示，设点B关于l的对称点B′的坐标为(a，b)，
则kBB′·kl＝－1，
即3·＝－1．
∴a＋3b－12＝0．①
又由于线段BB′的中点坐标为在直线l上，∴3×－－1＝0，
即3a－b－6＝0．②
解①②得a＝3，b＝3，∴B′(3,3)．
于是AB′的方程为＝，即2x＋y－9＝0．
解得即l与AB′的交点坐标为P(2,5)．
(2)如图所示，设C关于l的对称点为C′，求出C′的坐标为．
∴AC′所在直线的方程为19x＋17y－93＝0，
AC′和l交点坐标为，
故Q点坐标为．
同类拓展：如图，已知A(4,0)、B(0,4)，从点P(2,0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，求光线所经过的路程．
【解析】分别求点P关于直线x＋y＝4及y轴的对称点分别为P1(4,2)、P2(－2，0)，由物理知识知，光线所经路程即为P1P2＝2．
考点达标
一、选择题
1．下列命题正确的个数为（ ）
①每条直线都有唯一一个倾斜角与之对应,也有唯一一个斜率与之对应;②倾斜角的范围是,且当倾斜角增大时,斜率也增大；③过两点A(1,2),B(m,-5)的直线可以用两点式表示；④直线Ax+By+C=0(A,B不同时为零),当A,B,C中有一个为零时,这个方程不能化为截距式．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【解析】①当直线与轴垂直时，斜率不存在；②当倾斜角是锐角时，斜率是正值；当倾斜角是钝角时，斜率是负值；③当m为1时不可以用两点式．
2．若直线l经过点(a－2，－1)和(－a－2,1)且与斜率为－的直线垂直，则实数a的值为（ ）
A． B． C． D．－
【答案】D
【解析】l的斜率为，所以．
3．两平行直线l1、l2分别过点P(－1, －2)、Q(2，2)，它们分别绕P、Q旋转，但始终保持平行，则l1、l2之间的距离的取值范围是( )
A．(0，＋∞) B．[0,5]
C．(0,5] D．[0，]
【答案】C
【解析】两直线间的最大距离是分别过点P、Q且与PQ垂直，此时距离为5；因为平行，所以它们间的距离大于零．
4．若函数y＝ax＋8与y＝－x＋b的图象关于直线y＝x对称，则a＋b＝（ ）
A．－2 B．2 C． D．4
【答案】B
【解析】直线y＝ax＋8关于y＝x对称的直线方程为x＝ay＋8，所以x＝ay＋8与y＝－x＋b为同一直线，故得，所以a＋b＝2．
5．两条直线mx+y－n=0和x+my+1=0互相平行的条件是（ ）
A ．m=1 B．m=±1 C． D．
【答案】D
【解析】因为平行，所以，，又两直线不重合，所以D正确．
6．直线与直线的位置关系是（ ）
A平行 B 相交但不垂直 C 相交垂直 D 视的取值而定
【答案】C
【解析】由于，所以两直线垂直．
二、填空题
7．已知点P(3,2)与点Q(1,4)关于直线l对称，则直线l的方程为______________．
【答案】x－y＋1＝0
【解析】kPQ＝＝－1，PQ的中点为(，)，即(2,3)，
∴kl＝1，∴直线l的方程为y－3＝(x－2)，即x－y＋1＝0．
8．与直线间的距离为1的直线方程为______________．
【答案】或
【解析】设所求直线方程为，则，
解得或，所以直线方程为或．
9．已知点在直线上，则使取最小值时的点M的坐标为____________．
【答案】（3，4）
【解析】的最小值为原点到直线的距离，所以点M为过原点垂直于的直线与的交点，由得，所以点M的坐标为（3，4）．
10．若三条直线l1：x＋y＝7，l2：3x－y＝5，l3：2x－y＋c＝0不能围成三角形，则c的值为________．
【答案】－2
【解析】由l1，l2，l3的方程可知l1，l2，l3不平行，由解得交点(3,4)，代入l3的方程得c＝－2．
三、解答题
11．已知直线过点（1,2），且与x，y轴正半轴分别交于点A、B．
（1）求△AOB面积为4时的方程；
（2）求在两轴上截距之和为时的方程．
解：设Ａ(a,0)，B(0,b)，∴a,b>0，∴的方程为，
∵点（1,2）在直线上，∴，∴
∵b>0，∴a>1 ．
(1) S△AOB== =4，∴a=2，这时b=4，∴当a=2，b=4时，S△AOB为4，
此时直线的方程为，即2x+y-4=0．
（2），∴，这时，
∴在两轴上截距之和为3+2时，直线的方程为y=-x+2+．
12．直线y＝2x是△ABC中∠C的角平分线所在的直线，若A、B的坐标分别为A(－4,2)，B(3,1)，求点C的坐标，并判断△ABC的形状．
解：设A(－4,2)关于直线y＝2x对称的点A′的坐标是(m，n)
由解得即A′的坐标是(4，－2)，
由B、A′得BC所在的直线方程为3x＋y－10＝0，由解得C点坐标是(2,4)，又∵kAC＝，kBC＝－3，∴AC⊥BC，即△ABC是直角三角形．
