2012二轮备考小专题：求函数值域的7类题型和16种方法

2012二轮备考小专题：求函数值域的7类题型和16种方法
一、函数值域基本知识
1．定义：在函数中，与自变量x的值对应的因变量y的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域（或函数值的集合）。
2．确定函数的值域的原则
①当函数用表格给出时，函数的值域是指表格中实数y的集合；
②当函数用图象给出时，函数的值域是指图象在y轴上的投影所覆盖的实数y的集合；
③当函数用解析式给出时，函数的值域由函数的定义域及其对应法则唯一确定；
④当函数由实际问题给出时，函数的值域由问题的实际意义确定。
二、常见函数的值域，这是求其他复杂函数值域的基础。
函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采用什么方法球函数的值域均应考虑其定义域。
一般地，常见函数的值域：
1.一次函数的值域为R.
2.二次函数，当时的值域为，当时的值域为.，
3.反比例函数的值域为.
4.指数函数的值域为.
5.对数函数的值域为R.
6.正，余弦函数的值域为，正，余切函数的值域为R.
三、求解函数值域的7种题型
题型一：一次函数的值域（最值）
1、一次函数： 当其定义域为，其值域为；
2、一次函数在区间上的最值，只需分别求出，并比较它们的大小即可。若区间的形式为或等时，需结合函数图像来确定函数的值域。
题型二：二次函数的值域（最值）
1、二次函数， 当其 定义域为时，其值域为
2、二次函数在区间上的值域(最值)
首先判定其对称轴与区间的位置关系
（1）若,则当时，是函数的最小值，最大值为中较大者；当时，是函数的最大值，最大值为中较小者。
（2）若,只需比较的大小即可决定函数的最大（小）值。
特别提醒：
①若给定区间不是闭区间，则可能得不到最大（小）值；
②若给定的区间形式是等时，要结合图像来确函数的值域；
③当顶点横坐标是字母时，则应根据其对应区间特别是区间两端点的位置关系进行讨论。
例1：已知 的定义域为，则的定义域为 。
例2：已知，且，则的值域为 。
题型三：一次分式函数的值域
1、反比例函数的定义域为，值域为
2、形如：的值域：
（1）若定义域为时，其值域为
（2）若时，我们把原函数变形为，然后利用（即的有界性），便可求出函数的值域。
例3：函数的值域为 ；若时，其值域为 。
例4：当时，函数的值域 。 （2）已知，且，则的值域为 。
例5：函数的值域为 ；若，其值域为 。
题型四：二次分式函数的值域
一般情况下，都可以用判别式法求其值域。但要注意以下三个问题： ①检验二次项系数为零时，方程是否有解，若无解或是函数无意义，都应从值域中去掉该值；②闭区间的边界值也要考查达到该值时的是否存在；③分子、分母必须是既约分式。
例6：；
例7：；
例8：；
例9：求函数的值域
解：由原函数变形、整理可得：
求原函数在区间上的值域，即求使上述方程在有实数解时系数的取值范围
当时，解得： 也就是说，是原函数值域中的一个值 ……①
当时，上述方程要在区间上有解，
即要满足或 解得： ……②
综合①②得：原函数的值域为：
题型五：形如的值域 这类题型都可以通过换元转化成二次函数在某区间上求值域问题，然后求其值域。
例10： 求函数在时的值域
题型六：分段函数的值域：
一般分别求出每一分段上函数的值域，然后将各个分段上的值域进行合并即可。如果各个分段上的函数图像都可以在同一坐标系上画出，从图像上便可很容易地得到函数的值域。
例11：
例12：
题型七：复合函数的值域
对于求复合函数的值域的方法是：首先求出该函数的定义域，然后在定义域的范围内由内层函数的值域逐层向外递推。
例13：
例14：
四、函数值域求解的十六种求法
（1）直接法（俗名分析观察法）：
有的函数结构并不复杂，可以通过基本函数的值域及不等式的性质观察出函数的值域。即从自变量的范围出发，推出的取值范围。或由函数的定义域结合图象，或直观观察，准确判断函数值域的方法。注意此法关键是定义域。
例1：已知函数，，求函数的值域。
例2：求函数的值域。
例3：求函数的值域。
例4：求函数的值域。
（2）配方法：
二次函数或可转化为二次函数的函数常用此方法来还求解，但在转化的过程中要注意等价性，特别是不能改变定义域。对于形如或类的函数的值域问题，均可使用配方法。
例1．求函数的值域。
分析与解答：因为，即，，于是：
，。
例2．求函数在区间的值域。
分析与解答：由配方得：，
当时，函数是单调减函数，所以；
当时，函数是单调增函数，所以。
所以函数在区间的值域是。
（3）最值法：
对于闭区间上的连续函数，利用函数的最大值、最小值，求函数的值域的方法。
例1 求函数y=3-2x-x2 的值域。
解：由3-2x-x2≥0，解出定义域为［-3，1］。 函数y在［-3，1］内是连续的，在定义域内由3-2x-x2 的最大值为4，最小值为0。
　　∴函数的值域是［0,2］
例2：求函数，的值域。
例3：求函数的值域。
（4）反函数法（逆求或反求法）：
利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系，通过求反函数的定义域，得到原函数的值域。即通过反解，用来表示，再由的取值范围，通过解不等式，得出的取值范围。对于形如的值域，用函数和它的反函数定义域和值域关系，通过求反函数的定义域从而得到原函数的值域。
例1：求函数的值域。
解：由解得，
∵，∴，∴
∴函数的值域为。
（5）分离常数法：
分子、分母是一次函数得有理函数，可用分离常数法，此类问题一般也可以利用反函数法。小结：已知分式函数，如果在其自然定义域（代数式自身对变量的要求）内，值域为；如果是条件定义域（对自变量有附加条件），采用部分分式法将原函数化为，用复合函数法来求值域。
例1：求函数的值域。
解：∵，
∵，∴，
∴函数的值域为。
（6）换元法（代数/三角）：
对于解析式中含有根式或者函数解析式较复杂的这类函数，可以考虑运用代数或三角代换，将所给函数化成值域简单的熟悉的容易确定的基本函数，从而求得原函数的值域。当根式里是一次式时，用代数换元；当根式里是二次式时，用三角换元。
对形如的函数，令；形如的函数，令；形如含的结构的函数，可利用三角代换，令，或令.
例1：求函数的值域。
解：令（），则，
∴
∵当，即时，，无最小值。
∴函数的值域为。
例2．求函数的值域。
分析与解答：令，则。
，
当时，，值域为
例3．求函数的值域。
分析与解答：由=，令，
因为，，则=，
于是，，
，所以。
（7）判别式法：
把函数转化成关于的二次方程；通过方程有实数根，判别式，从而求得原函数的值域。对形如（、不同时为零）的函数的值域，通常转化成关于x的二次方程，由于方程有实根，即从而求得y的范围，即值域。值得注意的是，要对方程的二次项系数进行讨论。
注意：主要适用于定义在R上的分式函数，但定义在某区间上时，则需要另行讨论。
例1：求函数的值域。
解：由变形得，
当时，此方程无解；
当时，∵，∴，
解得，又，∴
∴函数的值域为
（8）函数单调性法：
确定函数在定义域（或某个定义域的子集）上的单调性，求出函数的值域。例如，.当利用不等式法等号不能成立时，可考虑利用函数的单调性解题。
例1：求函数的值域。
解：∵当增大时，随的增大而减少，随的增大而增大，
∴函数在定义域上是增函数。
∴，
∴函数的值域为。
例2．求函数在区间上的值域。
分析与解答：任取，且，则
，因为，所以：，
当时，，则；
当时，，则；而当时，
于是：函数在区间上的值域为。
构造相关函数，利用函数的单调性求值域。
例3：求函数的值域。
分析与解答：因为，而与在定义域内的单调性不一致。现构造相关函数，易知在定义域内单调增。，，，，
又，所以：，。
（9）基本不等式法
利用基本不等式求函数值域, 其题型特征解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值。
利用基本不等式，用此法求函数值域时，要注意条件“一正，二定，三相等”.如利用求某些函数值域（或最值）时应满足三个条件①;②为定值；③取等号成立的条件.三个条件缺一不可。此外，有时需要合理地添项和拆项和两边平方等技巧, 添项和拆项的原则是要使最终的乘积结果中不含自变量,比如求函数的值域。
例1 求函数的值域.
解: , 当且仅当时成立. 故函数的值域为.
此法可以灵活运用, 对于分母为一次多项式的二次分式, 当然可以运用判别式法求得其值域, 但是若能变通地运用此法, 可以省去判别式法中介二次不等式的过程.
例2：求函数的值域：.
解：
当且仅当时，即时等号成立，
，所以元函数的值域为.
例3. 求函数的值域。
解：原函数变形为：
当且仅当
即当时，等号成立
故原函数的值域为：
例4. 求函数的值域。
解：
当且仅当，即当时，等号成立。
由可得：
故原函数的值域为：
（10）函数有界性法：
利用某些函数有界性求得原函数的值域。对于对形如，由于正余弦函数都是有界函数，值域为[-1，1]，利用这个性质可求得其值域。
例1：求函数的值域。
解：由函数的解析式可以知道，函数的定义域为，对函数进行变形可得
，
∵，∴（，），
∴，∴，
∴函数的值域为
形如可解出Yr 范围,从而求出其值域或最值。
例2．求函数的值域
解： 由得
例3：求函数的值域。
例4：求函数的值域。
（11）数型结合法：
如果所给函数有较明显的几何意义（如两点间距离，直线的斜率、截距等）或当一个函数的图象易于作出时，可借助几何图形的直观性来求函数的值域，如由可联想到两点与连线的斜率或距离。
例1：求函数y=|x+1|+|x-2|的值域。
解法1：将函数化为分段函数形式：，画出它的图象，由图象可知，函数的值域是{y|y3}。
解法2（几何法或图象法）：∵函数y=|x+1|+|x-2|表示数轴上的动点x到两定点-1，2的距离之和，∴易见y的最小值是3，∴函数的值域是[3，+]。如图
）
例2．求函数的值域。
　　点拨：将原函数变形，构造平面图形，由几何知识，确定出函数的值域。
　　解：原函数变形为
作一个长为4、宽为3的矩形ABCD，再切割成12个单位正方形。设HK=,则EK=2,KF=2,AK=,KC=。
　　由三角形三边关系知，AK+KC≥AC=5。当A、K、C三点共线时取等号。
∴原函数的知域为｛y|y≥5｝。
例3．求函数的值域。
解析：令，，则，，，原问题转化为：当直线与圆在直角坐标系的第一象限有公共点时，求直线的截距的取值范围。
由图1知：当经过点时，；
当直线与圆相切时，。
所以，值域为
例4. 求函数的值域。
解：将函数变形为
上式可看成定点A（3，2）到点P（x，0）的距离与定点到点的距离之差。即
由图可知：（1）当点P在x轴上且不是直线AB与x轴的交点时，如点，则构成，根据三角形两边之差小于第三边，有
即
（2）当点P恰好为直线AB与x轴的交点时，有
综上所述，可知函数的值域为
注：求两距离之和时，通常需要将函数式变形，使A、B两点在x轴的两侧，而求两距离之差时，则要使A，B两点在x轴的同侧。
（12）复合函数法：
对函数，先求的值域充当的定义域，从而求出的值域的方法。
例1、求函数 的值域
（复合函数法）设 ，
则
例2：求函数的值域。
（13）非负数法
根据函数解析式的结构特征，结合非负数的性质，可求出相关函数的值域。
例1、(1)求函数的值域。 (2)求函数的值域。
解析：(1)，
故 所求函数的值域为 。
(2)，原函数可化为 ，即 ， 当时，， ，，解得
又 ， 所以 ，
故 所求函数的值域为 。
（不等式性质法）
例2：求下列函数的值域：
（1）y=； （2）y=； （3）y=
（4）y=10-； （2）y=； （3）y=
（14）导数法
若函数在内可导, 可以利用导数求得在内的极值, 然后再计算在,点的极限值. 从而求得的值域.
例1： 求函数在内的值域.
分析:显然在可导，且. 由得的极值点为.
. .
所以, 函数的值域为.
（15）“平方开方法”
求函数值域的方法有很多种，如：“配方法”、“单调性法”、“换元法”、“判别式法”以及“平方开方法”等等.每一种方法都适用于求某一类具有共同特征的函数的值域.本文将指出适合采用“平方开方法”的函数有哪些共同的特征以及“平方开方法”的运算步骤，并给出四道典型的例题.
1.适合函数特征
设（）是待求值域的函数，若它能采用“平方开方法”，则它通常具有如下三个特征：
（1）的值总是非负，即对于任意的，恒成立；
（2）具有两个函数加和的形式，即（）；
（3）的平方可以写成一个常数与一个新函数加和的形式，即
（，为常数），
其中，新函数（）的值域比较容易求得.
2.运算步骤
若函数（）具备了上述的三个特征，则可以将先平方、再开方，从而得到（，为常数）.然后，利用的值域便可轻易地求出的值域.例如，则显然.
3.应用四例
能够应用“平方开方法”求值域的函数不胜枚举,这里仅以其中四道典型的例题来演示此法在解决具体问题时的技巧.
例1 求函数（，）的值域.
解：首先，当时，；
其次，是函数与的和；
最后，
可见，函数满足了采用“平方开方法”的三个特征.于是，对平方、开方得（）.这里，（）.对根号下面的二次函数采用“配方法”，即可求得的值域为.于是，的值域为.
例2 求函数（，，）的值域.
解：显然，该题就是例1的推广，且此题的也满足了采用“平方开方法”的三个特征.于是，对平方、开方得（）.这里，（）.对根号下面的二次函数采用“配方法”，即可求得的值域仍为.于是，的值域也仍为.
例3 求函数（）的值域.
解：参照例1的验证步骤，显然，此题的也满足了采用“平方开方法”的三个特征.于是，对平方、开方得（）.这里，（）.易知，的值域为.于是，的值域为.
例4 求函数（）的值域.
解：参照例1的验证步骤，显然，此题的也满足了采用“平方开方法”的三个特征.于是，对平方、开方得（）.这里，（）.易知，的值域为.于是，的值域为.
例5 求函数 的值域
解：（平方法）函数定义域为：
平方法）函数定义域为：
（16）一一映射法
原理：因为在定义域上x与y是一一对应的。故两个变量中，若知道一个变量范围，就可以求另一个变量范围。
例1. 求函数的值域。
解：∵定义域为
由得
故或
解得
故函数的值域为
（17）其他方法
其实，求解函数值域的方法，只不过是从解题过程中，对关键环节或典型步骤的一种称呼。实际上，其解法也远非上面总结的16种方法，还有倒数法等。此外我们还要明白：多种方法的配合使用，以及一题采用多种方法，在不断积累过程中，体会不同方法的长短，和练就根据实际问题选择较为简捷方法的能力。
例1. 求函数的值域。
解：令，则
（1）当时，，当且仅当t=1，即时取等号，所以
（2）当t=0时，y=0。
综上所述，函数的值域为：
注：先换元，后用不等式法

例2. 求函数的值域。
解：
令，则
∴当时，
当时，
此时都存在，故函数的值域为
注：此题先用换元法，后用配方法，然后再运用的有界性。
例3.求函数 的值域
解：（图象法）如图，值域为
例4.求函数 的值域
解（复合函数法）：令，则
由指数函数的单调性知，原函数的值域为
例5.求函数的值域
解（三角代换法）： 设
小结：
（1）若题目中含有，则可设
（2）若题目中含有
则可设，其中
（3）若题目中含有，则可设，其中
（4）若题目中含有，则可设，其中
（5）若题目中含有，则可设。其中
例6、求函数 的值域
解法一：（逆求法）
解法二：（复合函数法）设 ，
则
解法三：（判别式法）原函数可化为
时 不成立
时，
综合1）、2）值域
解法四：（三角代换法）设，则
原函数的值域为
小结：
已知分式函数 ，如果在其自然定义域内可采用判别式法求值域；如果是条件定义域，用判别式法求出的值域要注意取舍，或者可以化为的形式，采用部分分式法，进而用基本不等式法求出函数的最大最小值；如果不满足用基本不等式的条件，转化为利用函数的单调性去解。
注：此题先用换元法，后用配方法，然后再运用的有界性。
总之，在具体求某个函数的值域时，首先要仔细、认真观察其题型特征，然后再选择恰当的方法，一般优先考虑直接法，函数单调性法和基本不等式法，然后才考虑用其他各种特殊方法。
五、与函数值域有关的综合题
例1设计一幅宣传画，要求画面面积为4840 cm2,画面的宽与高的比为λ(λ<1),画面的上、下各留8 cm的空白，左右各留5 cm空白，怎样确定画面的高与宽尺寸，才能使宣传画所用纸张面积最小？
如果要求λ∈［］，那么λ为何值时，能使宣传画所用纸张面积最小？
解 设画面高为x cm,宽为λx cm,则λx2=4840,设纸张面积为S cm2,
则S=(x+16)(λx+10)=λx2+(16λ+10)x+160,
将x=代入上式得 S=5000+44 (8+),
当8=,即λ=<1)时S取得最小值
此时高 x==88 cm,　宽 λx=×88=55 cm
如果λ∈［］，可设≤λ1<λ2≤,
则由S的表达式得
又≥,故8－>0,
∴S(λ1)－S(λ2)<0,∴S(λ)在区间［］内单调递增 ?
从而对于λ∈［］,当λ=时，S(λ)取得最小值
答 画面高为88 cm,宽为55 cm时，所用纸张面积最小 如果要求λ∈［］,当λ=时，所用纸张面积最小
例2已知函数f(x)=,x∈［1,+∞
(1)当a=时，求函数f(x)的最小值
(2)若对任意x∈［1,+∞,f(x)>0恒成立，试求实数a的取值范围
解 (1) 当a=时，f(x)=x++2
∵f(x)在区间［1，+∞上为增函数，
∴f(x)在区间［1，+∞上的最小值为f(1)=
(2)解法一 在区间［1，+∞上，
f(x)= >0恒成立x2+2x+a>0恒成立
设y=x2+2x+a,x∈［1,+∞
∵y=x2+2x+a=(x+1)2+a－1递增，
∴当x=1时，ymin=3+a,当且仅当ymin=3+a>0时，函数f(x)>0恒成立，
故a>－3 ?
解法二 f(x)=x++2,x∈［1,+∞
当a≥0时，函数f(x)的值恒为正；
当a<0时，函数f(x)递增，故当x=1时，f(x)min=3+a,
当且仅当f(x)min=3+a>0时，函数f(x)>0恒成立，故a>－3
例3设m是实数，记M={m|m>1},f(x)=log3(x2－4mx+4m2+m+)
(1)证明 当m∈M时，f(x)对所有实数都有意义；反之，若f(x)对所有实数x都有意义，则m∈M
(2)当m∈M时，求函数f(x)的最小值
(3)求证 对每个m∈M,函数f(x)的最小值都不小于1
　(1)证明 先将f(x)变形 f(x)=log3［(x－2m)2+m+］,
当m∈M时，m>1,∴(x－m)2+m+>0恒成立，
故f(x)的定义域为R
反之，若f(x)对所有实数x都有意义，则只须x2－4mx+4m2+m+>0,令Δ＜0,即16m2－4(4m2+m+)＜0,解得m>1,故m∈M
(2)解 设u=x2－4mx+4m2+m+,
∵y=log3u是增函数，∴当u最小时，f(x)最小 ?
而u=(x－2m)2+m+,
显然，当x=m时，u取最小值为m+,
此时f(2m)=log3(m+)为最小值
(3)证明 当m∈M时，m+=(m－1)+ +1≥3,
当且仅当m=2时等号成立
∴log3(m+)≥log33=1