第九讲 数学高考的创新试题解题指导
第一节 需要抽象概括的创新试题
高考数学归纳抽象创新题的命题特点：加强创新意识的考查，有利于实现选拔功能；深化课改，促进能力立意命题的实践和发展. 其中新定义信息型创新题是近年高考出现频率最高的创新题之一，因其背景新颖，构思巧妙，能有效甄别考生的思维品质，因而倍受高考命题专家垂青.
题型一 定义新概念
【例1】设是一个数集，且至少含有两个数，若对任意、，都有、， 、（除数），则称是一个数域.例如有理数集是数域；数集也是数域.有下列命题：
①整数集是数域； ②若有理数集，则数集必为数域；
③数域必为无限集； ④存在无穷多个数域.
其中正确的命题的序号是 （把你认为正确的命题的序号填填上）
点拨：本题定义了新的概念：数域，审题非常关键，解题时可采用排除法，代入特殊的数值对选项进行排除筛选. 此题是以高等数学中“群、环、域”的知识考查高中数学中有关知识的问题，体现了高考数学与中学数学的和谐接轨，以高考数学知识为背景的问题，对已有的知识改造、重组创造“新知识”的问题，也成为高考试题的一大亮点.定义一个新概念，要求学生面对陌生情境，迅速提取有用信息，要善于挖掘概念的内涵与本质，并合理迁移运用已学的知识加以解决.这类问题较好地考查学生的转化能力、知识迁移能力以及学生探究性学习的潜能.
解析：对于整数集，当，时，,故①错；对于满足的集合，不是数域，②错；若是数域，则存在且，依定义，，，，,均是中元素，故中有无数元素，③正确；类似数集也是数域，④正确，故选③，④
易错点：审题不清，未能理解数域的定义所应满足的条件.
变式与引申
1.定义若平面点集中的任一个点，总存在正实数，使得集合
，称为一个开集．给出下列集合：
①；② ；
③；④ ．
其中是开集的是 ．（请写出所有符合条件的序号）
题型二 定义新数表
【例2】全体正整数排成一个三角形数阵：
1
2 3
4 5 6
7 8 9 10
11 12 13 14 15
* * * * * *
根据以上排列规律，数阵中第（）行的从左向右的第3个数是 .
点拨：由数阵找到（）行的最后一个数.
数表其实是数列的一种分拆，不同的分拆方式就会产生不同的数表，本题中的数阵是对正整数数列的一种重排，只要找出其排列规律便不难求得答案，本题以三角形数表为载体，考查了学生观察、归纳、猜想的思维能力.源于杨辉三角的数表蕴含着丰富的性质，数表型试题在各地高考试卷中屡见不鲜.
解析：该数阵的第1行有1个数，第2行有2个数，…，第行有个数，则第（）行的最后一个数为，则第行的第3个数为.
易错点：未能找到新的数阵的规律，解题无从入手.
变式与引申
2.将数列中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表：
* * * * *
记表中的第一列数构成的数列为，．为数列的前项和，且满足．
（Ⅰ）证明数列成等差数列，并求数列的通项公式；
（Ⅱ）上表中，若从第三行起，第一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，且公比为同一个正数．当时，求上表中第行所有项的和．
题型三 定义新数列
【例3】若数列满足（为正常数，），则称为“等方比数列”．甲：数列是等方比数列；乙：数列是等比数列，则
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
点拨： 本题主要考察等比数列的定义和创新定义的理解、转换.等比数列，则公比应唯一确定.
数列是高考重点考查的内容，围绕数列问题创设情境，设计出一些新颖的题目是近几年高考的一大亮点，如2010年上海卷的“对称数列”、2009年湖北卷的“等方比数列”、2008年江苏卷的“绝对差数列”、2007的北京卷的“等和数列”等，各种新数列精彩纷呈，此类试题形式新颖、内容深远、能力要求广泛、解法多样，能够较好地考查考生的学习能力、逻辑思维能力、应用能力和创新能力等.
解析：由等比数列的定义数列，若乙：是等比数列，公比为，即，则甲命题成立；反之，若甲：数列是等方比数列，即即公比不一定为， 则命题乙不成立，故选B.
易错点：是由，得到的是两个等比数列，而命题乙是指一个等比数列，忽略等比数列的确定性，容易错选C.
变式与引申
3.对于每项均是正整数的数列，定义变换，将数列变换成数列．
对于每项均是非负整数的数列，定义变换，将数列各项从大到小排列，然后去掉所有为零的项，得到数列；
又定义．
设是每项均为正整数的有穷数列，令（）．
（Ⅰ）如果数列为5，3，2，写出数列；
（Ⅱ）对于每项均是正整数的有穷数列，证明；
（Ⅲ）证明：对于任意给定的每项均为正整数的有穷数列，存在正整数，当时，．
本节主要考查：数学归纳抽象创新题的求解要求认真理解题意，透过“现象”把握问题的本质，并将它抽象成数学如函数、数列问题，运用相应的数学知识求解．新定义问题的求解通常分三大步骤进行:(1)对新定义进行信息提取，确定化归方向；(2)对新定义所提取的信息进行加工，探究解决方法;(3)对定义中提取知识进行转换，有效地输出.其中对定义信息的提取和化归转化是求解的关键，也是一个难点.
点评：抽象是指舍弃事物非本质的属性，揭示其本质的属性；概括是指把仅仅属于某一类对象的共同属性区分出来的思维过程.抽象和概括是相互联系的，没有抽象就不可能有概括，而概括必须在抽象的基础上得出某一观点或作出某项结论.
抽象概括能力就是从具体的、生动的实例，在抽象概括的过程中，发现研究对象的本质；从给定的大量信息材料中，概括出一些结论，并能应用于解决问题或作出新的判断.
平时的数学学习中要切实加强自主探究能力和创新意识的培养，从而不断提高自身的数学素养，增强分析问题和解决问题的综合能力.如可以多订阅报刊杂志，从杂志中涉猎新题.有了新题还得用好新题，通过新题归纳解题的思维方法，激发学生的思维风暴；关注题型的纵横发展，注重多元性，拓展发散思维.另外，还要注意强化数学建模，提高实践能力，发展个性特长.重点抓好运用高中数学知识解决生活中的实际问题的能力的培养与训练，注重数学知识和技能应用的灵活性、综合性、发散性和迁移性.以提高数学阅读能力为起点，建立数学模型为核心，寻找或自行编制一些贴近生活的实际应用题，特别是概率与统计应用题.
习题9－1
1．(2011高考江西卷 ·理)如图9-1-1，一个直径为l的小圆沿着直径为2的大圆内壁的逆时针方
向滚动，M和N是小圆的一条固定直径的两个端点．那么，当小
圆这样滚过大圆内壁的一周，点M，N在大圆内所绘出的图形大
致是( )
2．设函数的定义域为,若存在常数,使对一切实数均成立,则称为“倍约束函数”.现给出下列函数:
①;
②;
③;
④;
⑤是定义在实数集R上的奇函数,且对一切,均有.
其中是“倍约束函数”的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3.如图9-1-2，坐标纸上的每个单元格的边长为1，由下往上的六个点：
1，2，3，4，5，6的横纵坐标分别对应数列的
前12项，如下表所示：
按如此规律下去，则_______ .
4．图9-1-3展示了一个由区间到实数集的映射过程：区间中的实数对应数轴上的点，如图9-1-3中的图①；将线段围成一个圆，使两端点、恰好重合，如图②；再将这个圆放在平面直角坐标系中，使其圆心在轴上，点的坐标为，如图③.图③中直线与轴交于点，则的象就是，记作.
图9-1-3
(Ⅰ)方程的解是 ;
(Ⅱ)下列说法中正确命题的序号是 .(填出所有正确命题的序号)
①；
②是奇函数;
③在定义域上单调递增; ④的图像关于点 对称．
需要构建模式的创新试题
高考数学应用题的命题方向,是引导学生自觉地置身于现实生活的大环境中,关心身边的数学问题,了解社会,关心社会,形成健全的人格.
题型一 构建指数函数模式的问题
【例1】有一个受到污染的湖泊，其湖水的容积为立方米，每天流出湖泊的水量都是立方米，现假设下雨和蒸发正好平衡，且污染物质与湖水能很好地混合，用表示某一时刻每立方米湖水所含污染物质的克数，我们称为在时刻时的湖水污染质量分数，已知目前污染源以每天克的污染物质污染湖水，湖水污染质量分数满足关系式： （），其中是湖水污染的初始质量分数.
（Ⅰ）当湖水污染质量分数为常数时，求湖水污染的初始质量分数；
（Ⅱ）求证：当时，湖泊的污染程度将越来越严重；
（Ⅲ）如果政府加大治污力度，使得湖泊的所有污染停止，那么需要经过多少天才能使湖水的污染水平下降到开始时污染水平的5%？
点拨：本题结合实际生活中湖泊水质的问题，得到湖水污染指数的函数关系式，通过分析函数的特征，得到污染质量分数的情况.
解析：（Ⅰ）∵为常数， 有， ∴
(Ⅱ) 我们易证得， 则
∵，，， ∴. 故湖水污染质量分数随时间变化而增加，污染越来越严重.
(Ⅲ)污染停止即，，设经过天能使湖水污染下降到初始污染水平5%，即
∴，∴，
故需要天才能使湖水的污染水平下降到开始时污染水平的5%.
易错点：审题不清，未能理解湖水污染指数的函数关系式中各个参数之间的关系，对于较为复杂解析式没能找到影响函数单调性的参数.
变式与引申
1.设D和D1是两个平面区域,且.在区域D内任取一点M，记“点M落在区域D1内”为事件A，则事件A发生的概率P(A)=.
在东西方向直线延伸的湖岸上有一港口A,一艘机艇以40km/h的速度从A港出发,30分钟后因故障而停在湖里.已知机艇出发后，先按东偏北某个方向直线前进,以后又改成正北，但不知最初的方向和何时改变方向,如果去营救,则营救到机艇的概率是 .
题型二 构建二次函数模式的问题
【例2】一个人以6米/秒的速度去追停在交通灯前的汽车，当他离汽车25米时，交通灯由红变绿，汽车以1米 / 秒2的加速度匀加速开走，那么（ ）
A．人可在7米内追上汽车 B．人可在10米内追上汽车
C．人追不上汽车,其间距离最近为5米 D．人追不上汽车,其间距离最近为7米
点拨：本题是一道加速行程问题, 需要运用物理现象建立数学模型，即汽车行程+25=人的行程，建立二次函数关系式．
解析：若经秒人刚好追上汽车，则，由，得
考虑距离差
故当时,有最小值7 , 即人与汽车最少相距7米, 故选D．
易错点：理解物理运动情境时出现了偏差，未能得到正确的二次函数关系式.
变式与引申
2. 给出下列一系列化合物的分子式: 、、则该系列化合物中,分子中含碳元素的质量分数最大可无限接近（ ）．
A． 95% B． 96% C． 97% D．98%
题型三 构建对勾函数模式的问题
【例3】某工厂拟建一座平面图（如图9-2-1所示）为矩形且面积为的三级污水处理池，如果池外周壁建造单价为每米400元，中间两条隔墙建造单价为每米248元，池底建造单价为每平方米80元（池壁厚度忽略不计，且池无盖）
(Ⅰ)写出总造价（元）与污水处理池长 ()的函数关系式；
(Ⅱ)若由于地形限制，长、宽都不能超过，求的定义域；
(Ⅲ)在条件(Ⅱ)下，污水处理池的长和宽各为多少时，污水处理池的总造价最低？并求出最低总造价.
点拨：本题给出一个实际问题的情景，如何设计污水处理池，使得造价最低.首先需要根据题意建立造价关于设计方案的函数模型，再根据条件求出函数的定义域，在求解函数的最值方面常见的方法是分析函数在定义域上的单调性，进而求最值.
解析：(Ⅰ)因污水处理水池的长为，则宽为，
总造价为：
(Ⅱ)由题设条件，解得，即函数定义域为
(Ⅲ)先研究函数在上的单调性，
对于任意的，不妨设
则
，，，即
又，，即
故函数在上是减函数，∴当时，取得最小值，
此时
综上，当污水处理池的长为，宽为时，总造价最低，最低为45000元
易错点：建立函数模型后未考虑函数定义域，对于对勾函数的单调性不熟悉.
【注】 对勾函数是一种类似于反比例函数的一般函数.所谓的对勾函数，是形如的函数，是一种教材上没有但考试老喜欢考的函数，所以更加要注意和学习.
我们发现学习过的均值不等式实际就是对勾函数的参数a，b同号时的特例，等号成立时能取到最值；当不能取到等号时就要用对勾函数的单调性来求函数的最值. 若a，b异号：
（1）a＞0，b＜0时，在定义域内是增函数，递增区间为（-∞，0）和（0，+∞）,
（2）a＜0，b＞0时，在定义域内是减函数，递减区间为（-∞，0）和（0，+∞）.
通过研究我们可以知道高中阶段的对勾函数的参数主要是a，b同号，求最值的应用，所以我们要熟悉对勾函数的图像、性质和单调性.
本题考查的是学生对于对勾函数单调性的理解，在区间上单调递减，在区间上单调递增，在上取得极小值，这一函数性质在不等式和导数中均有重要应用.学生可思考若不限制函数的定义域，此题的最优造价方案又将如何.
变式与引申
3. 要建一间地面面积为20，墙高为的长方形储藏室，在四面墙中有一面安装一扇门（门的面积和墙面的面积按一定的比例设计）.已知含门一面的平均造价为300元，其余三面的造价为200元，屋顶的造价为250元.问怎样设计储藏室地面矩形的长与宽，能使总价最低，最低造价是多少？
本节主要考查：
近年高考应用题的背景: 安徽省是添加剂的搭配方案问题,北京市是公司招聘员工的考试方案问题,广东省是运动员射击问题,湖北省、辽宁省是数学竞赛问题,湖南省是小型煤矿进行安全检查问题,江西省是商场举行抽奖促销活动问题,重庆市是乘客上下电梯问题,浙江是摸球问题,真正做到了“贴近生活、背景公平、控制难度”的命题原则.随着学习能力、理性思维能力、创新意识逐步纳入高考考查的轨道，关心社会热点的结合新增内容的新颖的原创应用试题会大量出现.
点评：所谓应用意识就是能综合应用所学数学知识、思想和方法解决问题，包括解决在相关学科、生产、生活中简单的数学问题；能理解对问题陈述的材料，并对所提供的信息资料进行归纳、整理和分类，将实际问题抽象为数学问题，建立数学模型；应用相关的数学方法解决问题并加以验证，并能用数学语言正确地表达和说明.应用的主要过程是依据现实的生活背景，提炼相关的数量关系，将现实问题转化为数学问题，构造数学模型，并加以解决.
情境创新问题，题型新颖，形式多样，融综合性、应用性、开放性、创新性于一体．要求认真理解题意，透过“现象”把握问题的本质，并将它抽象成数学(如函数、数列、概率、不等式、三角等)问题，运用相应的数学知识求解．
习题9－2
1．定义: 则称为集合A的n阶拆分,则满足条件的A的2009阶拆分有 组.(用最简计算式作答)
2．已知函数(x≥1)的图像是C1，函数y = g (x)的图像C2与C1关于直线y = x对称；
(Ⅰ)求函数y = g (x) 的解析式及定义域M；
(Ⅱ)对于函数y = h(x)，如果存在一个正的常数a，使得定义域A内的任意两个不等的值x1，x2都有：｜h(x1)－h(x2)｜≤a｜x1－x2｜成立，则称函数y = h(x) 为A上的利普希兹Ⅰ类函数．试证明：y＝g (x)是M上的利普希兹Ⅰ类函数；
(Ⅲ)设A、B是曲线C2上任意不同两点，证明：直线AB与直线y＝x必相交．
3．某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为元，并且每件产品需向总公司交元（）的管理费，预计当每件产品的售价为元（）时，一年的销售量为万件，
（Ⅰ）求该分公司一年的利润（万元）与每件产品的售价的函数关系式；
（Ⅱ）当每件产品的售价为多少元时，该分公司一年的利润最大，并求出的最大值.
4．如图9-2-3，某新建小区有一片边长为1(单位：百米)的正方形剩余地块，中间部分是一片池塘，池塘的边缘曲线段为函数的图像，另外的边缘是平行于正方形两边的直线段．为了美化该地块，计划修一条穿越该地块的直路（宽度不计），直路与曲线段相切（切点记为），并把该地块分为两部分．记点到边距离为，表示该地块在直路 左下部分的面积．
（1）求的解析式；
（2）求面积的最大值．
5．某人玩硬币走跳棋的游戏，已知硬币出现正、反面的概率都是．棋盘上标有第0站、第1站、第2站、……、第100站．一枚棋子开始在第0站，棋手每掷一次硬币，棋子向前跳动一次，若掷出正面，棋子向前跳一站；若掷出反面，则棋子向前跳两站，直到棋子跳到第99站(胜利大本营)或第100站(失败大本营)时，该游戏结束．设棋子跳到第站的概率为；
(Ⅰ)求，，；(Ⅱ)求证:；(Ⅲ)求玩该游戏获胜的概率．
研究性问题的创新试题
研究性学习作为一种适应新形势需要的学习方法，其核心是自主学习，有助于激发学生创造动机，提高动手实践能力，树立科学思想，培养创新精神.因此，在近几年高考命题中都有所体现.而要解决高考中的研究性学习问题，就要针对提出的数学问题，充分研究问题的条件和结论之间的联系，运用解决问题和分析问题的数学能力，发现解题依据，从中寻求最佳解题方法.
题型一 知识类比问题
【例1】在中有余弦定理：. 拓展到空间，类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱的3个侧面面积与其中两个侧面所成二面角之间的关系式，并予以证明.
点拨：根据类比猜想得出. 其中为侧面为与所成的二面角的平面角.
本题考查由平面三角形的余弦定理到空间斜三棱柱的拓展推广，因为类比是数学发现的重要源泉，因此平时的教学与复习中更要注意类比等思想方法的学习.
解析： 作斜三棱柱的直截面DEF，则为面与面所成角，在中有余弦定理：
，
同乘以，得：
即
易错点：本题考查的是立体几何中的余弦定理，学生容易将平面几何余弦定理中边长之间的关系直接生搬硬套在立体几何中.
变式与引申
1.已知椭圆具有性质：若、是椭圆上关于原点对称的两个点，点是椭圆上任意一点，当直线、的斜率都存在，并记为、时，那么与之积是与点P的位置无关的定值.试对双曲线写出具有类似特性的性质，并加以证明.
题型二 条件探索性问题
例2 已知首项为的数列满足,其中：为常数.
(Ⅰ)若对任意的，有对任意的都成立，求的值；
(Ⅱ)当时，若，数列是递增数列还是递减数列？请说明理由；
(Ⅲ)当确定后，数列由其首项确定，当时，通过对数列的探究，写出“是有穷数列”的一个真命题（不必证明）
说明：对于第(Ⅲ)小题，将根据写出真命题所体现的思维层次和对问题探究的完整性，给予不同的评分.
点拨：本题作为高考的压轴题，考察学生对数列中递推公式的理解和应用，因此可从递推公式入手，求出关于通项的方程，求出参数，第(Ⅱ)小题可应用证明数列单调性的定义法，直接比较与的大小，第(Ⅲ)小题属于开放探索型题型，要求学生写出使得结论成立的条件，此时关键在于求出与结论等价的充分必要条件.
条件开放的数学问题，可用执果索因的演绎法或由特殊到一般的归纳法，也可以从结论出发，利用给定的条件，逆向推理直到终结点便是所探索的条件．
解析：(Ⅰ)由于，则，
当时，由于的任意性，得，则
(Ⅱ)数列是递减数列，由于，，则，恒成立.
又由于，，因此数列是单调递减数列.
(Ⅲ)真命题：
数列满足，若，则数列是有穷数列；
数列满足，若，，则数列是有穷数列；
数列满足，则数列是有穷数列的充要条件是存在，使得；
数列满足，则数列是有穷数列且项数为的充要条件是
，
易错点：求解递推公式时，推导与之间的关系式出错.另外，判断并证明数列单调性中，没有利用一般的归纳法得到，给接下来的证明带来困难.
变式与引申
2.给定集合，映射满足：
①当时，；
②任取若，则有.
则称映射： 是一个“优映射”.例如：用表1表示的映射：是一个
“优映射”.
表1 表2
1
2
3
2
3
1
1
2
3
4
3
(Ⅰ)已知表2表示的映射： 是一个优映射，请把表2补充完整（只需填出一个满足条件的映射）；
(Ⅱ)若映射：是“优映射”，且方程的解恰有6个，则这样的“优映射”的个数是_____.
题型三 结论探索型问题
例3 如图9－3－1，在直棱柱ABCD—A1B1C1D1中．
(Ⅰ)当A1CB1D1时，试确定底面四边形ABCD的形状；
(Ⅱ)如果底面ABCD是正方形，E是C1D1的中点，是否存在实数，当时，DECA1．若存在，求出实数的范围；若不存在，说明理由．
点拨：(Ⅰ)根据条件，可以考虑四边形的特殊性，采用逆推法；（2）在ABCD是正方形的情况下，可以建立空间直角坐标系，利用向量运算的确定性来转化开放运动的不定条件，方便问题的解决．
解析：(Ⅰ)根据条件与结论分析，如果A1CB1D1，则BD一定垂直平面AA1C，只要满足条件ACBD
就能推出结论，因此对四边形ABCD的形状可以是正方形、菱形、筝形．
(Ⅱ)以A为原点建立如图9－4所示的空间直角坐标系，设底面边长AB=，AA1=，则
因为，如果有DECA1，则
此时，故不存在满足条件的实数．
易错点：空间点的坐标易写错，向量运算不正确.
变式与引申
3.设动点的坐标为，向量，，且.
(Ⅰ)求动点的轨迹的方程；
(Ⅱ)过点作直线与曲线交于两点，若（为坐标原点），是否存在直线，使得四边形为矩形？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.
题型四 综合探究能力问题
例4对于函数，若存在，使成立，则称为的不动点.已知函数 .
（Ⅰ）当，时，求函数的不动点；
（Ⅱ）若对任意实数，函数恒有两个相异的不动点，求的取值范围；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若图像上，两点的横坐标是函数的不动点，且，两点关于直线对称，求的最小值.
点拨：理解不动点的概念，求出不动点的充要条件.
本题以高等数学中不动点的概念为背景，考察学生能综合灵活运用所学数学知识，思想方法.对新概念、新知识、新信息、新情景、新问题进行分析、探索、创造性的解决问题的能力.
解析：（Ⅰ），因为为不动点，因此有所以或，所以和为的不动点.
（Ⅱ）因为恒有两个不动点，，
即，由题设恒成立，即对任意，
恒成立，所以有，所以.
（Ⅲ）由，得，由题设即，
设，的中点为，则，因为，所以，所以有，因为，当且仅当即时，有最小值.
易错点：学生未能理解不动点的概念，仅仅简单地从字面上理解，未能转化为数学语言，这也要求我们在训练学生思维能力方面重要的是把握对概念的理解.
变式与引申
4. 设是定义在上的函数，若存在，使得在上单调递增，在上单调递减，则称为上的单峰函数，为峰点，包含峰点的区间为含峰区间．
（I）证明：对任意的，，，若，则为含峰区间；若，则为含峰区间；
（II）对给定的（），证明：存在，满足，使得由（I）所确定的含峰区间的长度不大于（区间长度等于区间的右端点与左端点之差）
本节主要考查：高考数学命题中的研究性创新问题主要有学习能力型、结论探索型、解题策略研究型、综合探究能力型等几种类型. 研究性创新问题因其思维含量高、知识覆盖面广、综合性强，这类创新题在高考中频频亮相.
点评：所谓创新意识就是能发现问题、提出问题，综合与灵活地应用所学的数学知识、思想方法，选择有效的方法和手段分析信息，进行独立的思考、探索和研究，提出解决问题的思路，创造性地解决问题. 创新意识是理性思维的高层次表现.对数学问题的“观察、猜测、抽象、概括、证明”，是发现问题和解决问题的重要途径，对数学知识的迁移、组合、融会的程度越高，显示出的创新意识也就越强.
高考中的研究性学习问题，就要针对提出的数学问题，充分研究问题的条件和结论之间的联系，运用数学综合能力，发现解题依据，从中寻求最佳解题方法. 如类比是将解题方法、式子结构、运算法则、问题结论等或引申、或推广、或迁移，由已知探索未知，由旧知探索新知；善于从若干特殊现象中总结出一般规律.
高考中对创新意识的考查是对高层次理性思维的考查.在考试中创设新颖的问题情境，构造有一定深度和广度的数学问题时，往往注重问题的多样化，体现思维的发散性；精心设计考查数学主体内容、体现数学素质的试题；也会有反映数、形运动变化的试题以及研究型、探索型、开放型等类型的试题.这种试题往往以压轴题的形式出现.
习题9－3
1．已知 的两个焦点，是椭圆上一点，且，请将题目中所空缺的一个可能条件填入_________处.
2.设等差数列的前项和为，则，，，成等差数列.类比以上结论有：设等比数列的前项积为，则， ， ，成等比数列.
3．对于在区间上有意义的两个函数与，如果对任意的，均有，则称与在上是接近的，否则称与在上是非接近的，现有两个函数与，给定区间.
（Ⅰ）若与在给定区间上都有意义，求的取值范围;
(Ⅱ)讨论与在给定区间上是否是接近的.
4．如图9－3－2，矩形ABCD所在平面外的一点P，Q为BC的中点，PA平面ABCD，M是PD上的一动点，且PA=AB=2，AD=4 ．
（1）当等于多少时？二面角M—AQ—D为600；
（2）N为线段AQ上的动点，设，是否
存在正实数，使得．如果存在，请求
出对应的实数；如果不存在，说明理由.
5．过椭圆上的动点P引圆的两条切线PA、PB，A、B为切点，直线AB与X轴、Y轴分别交于M、N.
（1）问代数式的值是否与P点的运动相关？并证明你的结论；
（2）是否存在点P使得？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，说明理由.
6．已知函数具有性质:
（I）当固定,记求的表达式（k=0,1,2,…,n）;
（II） 对证明.
第九讲 数学高考的创新试题解题指导（理科）
第一节 需要抽象概括的创新试题
变式与引申
1. ②④
提示：本题将大学拓扑学的基本概念引入
下面画图，进行判断：
对于①，如图9-1-1.
图9-1-1
显然不存在一个面集点集，该集合不符合题目要求.
对于②，如图9-1-2
图9-1-2
显然存在面集面集，该集合符合题目要求.
对于③, 如图9-1-3
图9-1-3
在边界上的，怎么取也难以得到符合题目要求的圆，所以该集合不符合.
对于④，如图9-1-4
图9-1-4
显然存在面集面集，该集合符合题目要求.所以综合上面的分析有答案为②④
2.（Ⅰ）证明：由已知，当时，，又，所以，
即，所以，又．
所以数列是首项为，公差为的等差数列．
由上可知，即．
所以当时，．因此
（Ⅱ）解：设上表中从第三行起，每行的公比都为，且．
因为，所以表中第1行至第12行共含有数列的前78项，
故在表中第31行第三列，因此．又，所以．
记表中第行所有项的和为，则
3. 解：（Ⅰ） ：，：，：；：，
：．
（Ⅱ）设每项均是正整数的有穷数列为，则为，，，，，
则．
又，
所以
，
故．
（Ⅲ）设是每项均为非负整数的数列．
当存在，使得时，交换数列的第项与第项得到数列，
则．
当存在，使得时，若记数列为，
则．所以．
从而对于任意给定的数列，由可知．
又由（Ⅱ）可知，所以．
即对于，要么有，要么有．
因为是大于2的整数，所以经过有限步后，必有．
即存在正整数，当时，．
习题9-1
1．A
2. C
提示：①显然存在符合题目要求,所以它是“倍约束函数”;
②当时, ,此时不可能存在符合题目要求,所以不是“倍约束函数”
③此时不可能存在符合题目要求,所以不是“倍约束函数”
④且经过分析可以确定其图象大致如图9-1-5:
图9-1-5
可以肯定存在符合题目要求,所以是“倍约束函数”
⑤是奇函数,过原点,所以不成立. 又曲线上的任意两点连线的斜率小于2,故存在符合题目要求.
所以①④⑤均符合题目要求,选择C.
3. 1005
提示：依题得，则
4. (Ⅰ)； (Ⅱ) ③④
提示：(Ⅰ) 则；
(Ⅱ) 当时，,此时，故，所以①错；
的定义域为不关于原点对称，所以②错；
显然随着的增大, 也增大;所以在定义域上单调递增，所以③对.
又由于整个过程是对称的,所以④对，所以经过分析可以得到答案为③④
点评：本题落脚非常新颖,但是其实设题很容易,只要把握住审题加分析(当然分析并没有定势的思维,而是要具体问题具体分析.
需要构建模式的创新试题
变式与引申
1.
提示：本题需要分析和处理问题的能力. 设,∠QOx=
根据函数关系有 即
设该条直线为l，可以知道该直线表示的是截距为20斜率为的直线,其中
又由的几何意义可以知道：它表示的是(0,1)和(,)直线的斜率，知－1<<0
再结合图取交集后便可以得到答案应该是如图习题9-2-1所示的弓形，弓形面积：
所以概率为
图9-2-1
2. B
提示：观察系列化合物分子式的下标易知：C和H的下标分别是公差为4和2的等差数列．由等差数列的通项公式使可得他的通式为由于这个系列化合物中含碳元素、氢元素的个数递增，且原子量分别是12和1 ，故分子中碳元素的质量分数满足：
．
3.解：设地面矩形在门正下方的一边长为 ，则另一边的长为，设总造价为元，则，
因为 ，当且仅当 （即时 取“=”，所以，当时有最小的值此时.
答：当储藏室地面矩形在门正下方的一边长为，另一边长为时，能使总造价最低造价为17000元.
习题9-2
1．
提示：观察规律：
两个圆相交最多有3个区域；三个圆相交最多有7个区域
四个圆相交最多有13个区域；五个圆相交最多有21个区域，如图9-2-2
…
图9-2-2
n个圆相交最多有个区域所以A的n阶拆分有组
将n=2009代入有A的2009阶拆分有组.
2．解：(Ⅰ) 由(x≥1)，得 y≥0且，
∴ (x≥0)，即，M＝{x｜x≥0}．
(Ⅱ) 对任意x1，x2∈M，且x1≠x2，则，
∴ g (x)是M上的利普希兹Ⅰ类函数，其中．
(Ⅲ) 设A(x1，y1)，B(x2，y2)是曲线C2上不同两点，则x1，x2∈M，且x1≠x2．
由(Ⅱ)知，
∴直线AB的斜率kAB≠1，∴直线AB与直线y＝x必相交．
3．解：本题命题意图是考查函数的解析式的求法、利用导数求最值、导数的应用等知识，考查运用数学知识分析和解决实际问题的能力．
(Ⅰ)分公司一年的利润（万元）与售价的函数关系式为：
．
（Ⅱ），
令得或（不合题意，舍去）．
，． 在两侧的值由正变负．
故（1）当，即时，．
（2）当即时，
，
所以
答：若，则当每件售价为9元时，分公司一年的利润最大，最大值（万元）；若，则当每件售价为元时，分公司一年的利润最大，最大值（万元）．
点评：准确进行导数运算，掌握运用导数判断函数单调性及求函数极值、最值的方法是解决此题的关键.
4. 解：（1）因为，所以，所以过点的切线方程为，即，
令，得，令，得.所以切线与轴交点，切线与轴交点.
①当即时，切线左下方的区域为一直角三角形，所以.
②当 即时，切线左下方的区域为一直角梯形，，
③当即时,切线左下方的区域为一直角梯形,.
综上
(2)当时, ，
当时, ，所以．
5．解：(Ⅰ)依题意得：，，．
(Ⅱ)依题意，棋子跳到第站()有两种可能：第一种，棋子先到第站，又掷出反面，其概率为；第二种，棋子先到第站，又掷出正面，其概率为，
∴
∴
即
(Ⅲ) 由(Ⅱ)可知数列{}(1≤n≤99)是首项为， 公比为的等比数列， 于是有
因此，玩该游戏获胜的概率为．
点评：本题以实际问题为背景，建立一个伯努利概率模型，通过研究第站和第站以及站的关系建立数列的递推公式，利用累加法求解概率.
研究性问题的创新试题
变式与引申
1.解：类似的性质为：若、是双曲线上关于原点对称的两个点，点是双曲线上任意一点，当直线、的斜率都存在，并记为、时，那么与之积是与点的位置无关的定值.
证明：设点、的坐标为（）、（），则（）.
因为点（）在已知双曲线上，所以，同理.
则（定值）.
2.解：(Ⅰ)
或
(Ⅱ) 1890
3. 解：(Ⅰ)因，故，
所以动点M的轨迹是到定点的距离之和为8的椭圆.则曲线C的方程是.
(Ⅱ)直线过点，若直线的斜率不存在，又直线过点，则的方程为，与椭圆的两个交点为椭圆的顶点.
由，知P与O重合，与为四边形矛盾.
故直线的斜率存在，设其方程为，
由得，恒成立
由根与系数的关系得，.
因，故四边形为平行四边形
若存在直线使四边形为矩形，则，，整理化简得，
此方程无解，与斜率存在矛盾.故不存在直线直线，使得四边形为矩形.
4.解：（I）证明：设为的峰点,则由单峰函数定义可知，
在上单调递增,在上单调递减．
当时,假设,则从而
这与矛盾,所以,即是含峰区间．
当时,假设,则,从而
这与矛盾,所以,即是含峰区间．
（II）证明：由（I）的结论可知：
当时,含峰区间的长度为
当时,含峰区间的长度为
对于上述两种情况,由题意得
由①得,即
又因为,所以
将②代入①得
由①和③解得
所以这时含峰区间的长度,即存在使得所确定的含峰区间的长度不大于
习题9-3
1．
提示：此题所空缺条件一般是应满足什么条件.首先确定焦点所在的坐标轴.假设焦点在轴上,
由题意有则从而
与题设矛盾,知椭圆的焦点在轴上. 于是
有,亦即 综上应有.
2.
提示：对于等比数列，通过类比，有等比数列的前项积为，则，，成等比数列.
3．解：（Ⅰ）依题意，
(Ⅱ)令得
① 又在的右侧，在上为减函数，从而
，
于是①成立的充要条件是，解此不等式组得.
故当时，与在上是接近的，当时，与在区间上是非接近的.
4．解：解法一：如图9-3-1
（Ⅰ）过M向AD作垂线交AD于G，从G向AQ作垂线交AQ于H，连接MH．如果二面角M—AQ—D
为600，则. 设，则
由三角形的相似性得：
(Ⅱ)假设存在这样的满足条件，连接GN、MN，由几何关系得：
因此
所以函数关系为
变形得
因此函数的值域为，当时，.
解法二：如图习题9-3-2，以点A为原点，建立如图所示的坐标系.
（Ⅰ）依题意有，设平面AQM的法向量为，
平面ABCD的法向量为.
因为
因此令可得：
所以
(Ⅱ)假设存在这样的，则由条件可得：
因此
以下同解法1.
5．解：（Ⅰ）设椭圆上的动点，则切点弦AB所在的直线方程为：
令；令
因此与点P的运动无关.
(Ⅱ)假设存在点使得，即，又因为
且，所以四边形OAPB是正方形，
得到.
当时，即时，不存在这样的点P满足条件；
当时，即，存在这样两点；
当时，即，存在这样的四点.
6．解：（Ⅰ）因为 ,
所以 ，
即 因为n为定值, 所以数列是以为首项,为公比的等比数列,可得．
(Ⅱ)因为,要证,只需证, 事实上因为, 而
所以，原命题成立．
