二次函数复习课件
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二 次 函 数 复 习
2、已知抛物线顶点坐标（m, k），通常设抛物线解析式为_______________
3、已知抛物线与x 轴的两个交点(x1,0)、 (x2,0),通常设解析式为_____________
1、已知抛物线上的三点，通常设解析式为________________
y=ax2+bx+c(a≠0)
y=a(x-m)2+k(a≠0)
y=a(x-x1)(x-x2) (a≠0)
一、求抛物线解析式常用的三种方法
一般式
顶点式
交点式或两根式
二、平移，配方
向左(向右)平移|m|个单位
向上(向下)平移|k|个单位
通过
配方
三、二次函数图象及画法
顶点坐标
与X轴的交点坐标
与Y轴的交点坐标及它关于对称轴的对称点
（ ， ）
(x1,0) (x2,0)
(0, c)
( , c)
（ ， ）
x1
x2
O
x
y
c
( , c)
四、开口方向、对称轴、顶点坐标
1.开口方向看a的值
2.求对称轴
直线x=-m
直线x=
3.求顶点坐标
（-m，k）
（ ， ）
2、 已知二次函数y=x2+bx+c的顶点坐标（1，-2），求b，c的值
3、 已知二次函数y=x2+4x+c的顶点坐标在x轴上，求c的值
4、 已知二次函数y=x2+4x+c的顶点坐标在直线y=2x+1上，求c的值
五、函数的增减性
当a>0,
1、在对称轴的左侧(x≤-m或 ),y随x的增大而减小
2、在对称轴的右侧(x≥-m或 ),y随x的增大而减大
a
b
2
-
六、判别a、b、c、b2-4ac，2a+b，a+b+c的符号
（1）a的符号：
由抛物线的开口方向确定
开口向上
a>0
开口向下
a<0
（2）C的符号：
由抛物线与y轴的交点位置确定.
交点在x轴上方
c>0
交点在x轴下方
c<0
经过坐标原点
c=0
（3）b的符号：
由对称轴的位置确定
对称轴在y轴左侧
a、b同号
对称轴在y轴右侧
a、b异号
对称轴是y轴
b=0
（4）b2-4ac的符号：
由抛物线与x轴的交点个数确定
与x轴有两个交点
b2-4ac>0
与x轴有一个交点
b2-4ac=0
与x轴无交点
b2-4ac<0
练一练：已知y=ax2+bx+c的图象如图所示,
a___0, b____0, c_____0, abc____0
b___2a, 2a-b_____0, 2a+b_______0
b2-4ac_____0
a+b+c_____0, a-b+c____0
4a-2b+c_____0
0
-1
1
-2
＜
＜
＜
＜
＞
＞
＞
＜
＞
＞
＞
七、如何求当x为何值时，y>0,y=0,y<0
0
x1
x2
x
y
当x=x1或x=x2时,y=0
当xx2时,y<0
当x10
x
y
x1
x2
O
x
y
x1
x2
当x=x1或x=x2时,y=0
当xx2时,y>0
当x1八、二次函数与一元二次方程的关系
二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点有三种情况:有两个交点,有一个交点,没有交点.当二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴有交点时,交点的横坐标就是当y=0时自变量x的值,即一元二次方程ax2+bx+c=0的根.
二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点 一元二次方程ax2+bx+c=0的根 一元二次方程ax2+bx+c=0根的判别式（b2-4ac）
有两个交点
有两个相异的实数根
b2-4ac > 0
有一个交点
有两个相等的实数根
b2-4ac = 0
没有交点
没有实数根
b2-4ac < 0
利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解
1、根据下列表格的对应值：
判断方程ax2+bx+c=0（a≠0,a、b、c为常数）一个解的范围是 （ ）
Ａ、3＜x＜3.23 Ｂ、3.23＜x＜3.24
Ｃ、3.24＜x＜3.25 Ｄ、3.25＜x＜3.26
x 3.23 3.24 3.25 3.26
y=ax2+bx+c -0.06 -0.02 0.03 0.09
例1.已知一抛物线的顶点坐标为(-1,2),且过点(1,-2),
求该抛物线的解析式.
例2.已知抛物线
(1)将函数化为 的形式.
(2)说出该函数图象可由抛物线 如何平移得到
(3)说出该函数的对称轴,顶点坐标,最值情况.
例2.已知二次函数
(1)当k为何值时，函数图象经过原点？
(2)当k在什么范围取值时，图象的顶点在第四象限？
1、已知二次函数y=ax2-5x+c的图象如图。
(1)、当x为何值时，y随x的增大而增大;
(2)、当x为何值时，y<0。
y
O
x
(3)、求它的解析式和顶点坐标；
练一练
综合创新:
1.已知抛物线y=ax2+bx+c与抛物线y=-x2-3x+7的
形状相同,顶点在直线x=1上,且顶点到x轴的距离
为5,请写出满足此条件的抛物线的解析式.
解: 抛物线y=ax2+bx+c与抛物线y=-x2-3x+7的形状
相同 a=1或-1
又 顶点在直线x=1上,且顶点到x轴的距离为5,
顶点为(1,5)或(1,-5)
所以其解析式为:
(1) y=(x-1)2+5 (2) y=(x-1)2-5
(3) y=-(x-1)2+5 (4) y=-(x-1)2-5
2.若a+b+c=0,a 0,把抛物线y=ax2+bx+c向下
平移4个单位,再向左平移5个单位所到的新
抛物线的顶点是(-2,0),求原抛物线的解析式.
分析:
(1)由a+b+c=0可知,原抛物线的图象经过(1,0)
(2) 新抛物线向右平移5个单位,
再向上平移4个单位即得原抛物线
答案:y=-x2+6x-5
练习1、已知抛物线y=ax2+bx-1的对称轴是x=1 ，
最高点在直线y=2x+4上。
(1) 求此抛物线的顶点坐标.
（2）求抛物线解析式.
（3）求抛物线与直线的交点坐标.
解：∵二次函数的对称轴是x=1
∴图象的顶点横坐标为1
又∵图象的最高点在直线y=2x+4上
∴当x=1时，y=6
∴顶点坐标为（ 1 ， 6）
问题2这位同学身高1.7 m,若在这次跳投中，球在头顶上方0.25 m处出手，问：球出手时，他跳离地面的高度是多少？
尝试成功
x
y
o
如图，有一次,我班某同学在距篮下4m处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离2.5m时，达到最大高度3.5m，然后准确落入篮圈。已知篮圈中心到地面的距离为3.05m.
3.05 m
2.5m
3.5m
问题1 建立如图所示的直角坐标系，求抛物线的解析式；
4 m
试一试
你知道吗？平时我们在跳绳时，绳甩到最高处的形状可近似的看为抛物线，如图所示，正在甩绳的甲、乙两名学生拿绳的手间距为4米，距地面均为1米，学生丙、丁分别站在距甲拿绳的手水平距离1米、2.5米处，绳子甩到最高处时，刚好通过他们的头顶，已知学生丙的身高是1.5米，请你算一算学生丁的身高。
1m
2.5m
4m
1m
甲
乙
丙
丁
x
y
o
(0,1)
(4,1)
(1,1.5)
练习：在矩形荒地ABCD中，AB=a，BC=b,（a>b > 0），今在四边上分别选取E、F、G、H四点，且AE=AH=CF=CG=x，建一个花园，如何设计，可使花园面积最大？
D
C
A
B
G
H
F
E
a
b
b
2、如图，在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆，围成中间隔有二道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为x米，面积为S平方米。
(1)求S与x的函数关系式及自变量的取值范围；
(2)当x取何值时所围成的花圃面积最大，最大值是多少？
(3)若墙的最大可用长度为8米，则求围成花圃的最大面积。
A
B
C
D
解：
(1) ∵ AB为x米、篱笆长为24米
∴ 花圃宽为（24－4x）米
(3) ∵墙的可用长度为8米
(2)当x＝ 时，S最大值＝ ＝36（平方米）
∴ S＝x（24－4x）
＝－4x2＋24 x （0∴ 0<24－4x ≤8 4≤x<6
∴当x＝4m时，S最大值＝32 平方米
3、某企业投资100万元引进一条产品加工生产线，若不计维修、保养费用，预计投产后每年可创利33万。该生产线投产后，从第1年到第x年的维修、保养费用累计为y(万元)，且y=ax2+bx,若第1年的维修、保养 费用为2万元，到第2年为6万元。
（1）求y的解析式；
（2）投产后，这个企业在第几年就能收回投资？
解:（1）由题意，x=1时，y=2；x=2时，y=2+4=6,分别代入y=ax2+bx,得a+b=2,4a+2b=6,
解得:a=1,b=1, ∴y=x2+x.
（2）设g＝33x-100-x2-x,则
g=-x2+32x-100=-(x-16)2+156.
由于当1≤x≤16时，g随x的增大而增大，故当x=4时，即第4年可收回投资。
问题4：某商场将进价40元一个的某种商品按50元一个售出时，能卖出500个，已知这种商品每个涨价一元，销量减少10个，为赚得最大利润，售价定为多少？最大利润是多少？
分析：利润=（每件商品所获利润）× （销售件数）
设每个涨价x元， 那么
（3）销售量可以表示为
（1）销售价可以表示为
（50+x）元（x≥ 0，且为整数）
(500-10x) 个
（2）一个商品所获利润可以表示为
（50+x-40）元
（4）共获利润可以表示为
(50+x-40)(500-10x)元
温馨提示：同桌交对，互相帮助！
知识拓展：
心理学家研究发现：一般情况下，学生的注意力随着教师讲课时间的变化而变化，讲课开始时，学生的注意力y随时间t的变化规律有如下关系式：
（1）讲课开始后第5分钟时与讲课开始后第25分钟时比较，何时学生的注意力更集中？
（2）讲课开始后多少分钟，学生的注意力最集中？能持续多少分钟？
（3）一道数学难题，需要讲解24分钟，为了效果较好，要求学生的注意力最低达到180，那么经过适当安排，老师能否在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目？
已知二次函数 y=0.5x +bx+c 的图象经过点A(c，-2)， 求证：这个二次函数图象的对称轴是直线 x＝3。
题目中的黑色部分是一段被墨水污染了无法辨认的文字。
（1）根据已知和结论中现有的信息，你能否求出题中的二次函数解析式？若能，请写出求解过程，并画出二次函数的图象。若不能，请说明理由。
（2）请你根据已有的信息，在原题中的黑色部分添加一个适当的条件，把原题补充完整。
国家基础教育课程改革青海省潢中县实验区2004年升中试题
二 次 函 数 复 习
2、已知抛物线顶点坐标（m, k），通常设抛物线解析式为_______________
3、已知抛物线与x 轴的两个交点(x1,0)、 (x2,0),通常设解析式为_____________
1、已知抛物线上的三点，通常设解析式为________________
y=ax2+bx+c(a≠0)
y=a(x-m)2+k(a≠0)
y=a(x-x1)(x-x2) (a≠0)
一、求抛物线解析式常用的三种方法
一般式
顶点式
交点式或两根式
二、平移，配方
向左(向右)平移|m|个单位
向上(向下)平移|k|个单位
通过
配方
三、二次函数图象及画法
顶点坐标
与X轴的交点坐标
与Y轴的交点坐标及它关于对称轴的对称点
（ ， ）
(x1,0) (x2,0)
(0, c)
( , c)
（ ， ）
x1
x2
O
x
y
c
( , c)
四、开口方向、对称轴、顶点坐标
1.开口方向看a的值
2.求对称轴
直线x=-m
直线x=
3.求顶点坐标
（-m，k）
（ ， ）
2、 已知二次函数y=x2+bx+c的顶点坐标（1，-2），求b，c的值
3、 已知二次函数y=x2+4x+c的顶点坐标在x轴上，求c的值
4、 已知二次函数y=x2+4x+c的顶点坐标在直线y=2x+1上，求c的值
五、函数的增减性
当a>0,
1、在对称轴的左侧(x≤-m或 ),y随x的增大而减小
2、在对称轴的右侧(x≥-m或 ),y随x的增大而减大
a
b
2
-
六、判别a、b、c、b2-4ac，2a+b，a+b+c的符号
（1）a的符号：
由抛物线的开口方向确定
开口向上
a>0
开口向下
a<0
（2）C的符号：
由抛物线与y轴的交点位置确定.
交点在x轴上方
c>0
交点在x轴下方
c<0
经过坐标原点
c=0
（3）b的符号：
由对称轴的位置确定
对称轴在y轴左侧
a、b同号
对称轴在y轴右侧
a、b异号
对称轴是y轴
b=0
（4）b2-4ac的符号：
由抛物线与x轴的交点个数确定
与x轴有两个交点
b2-4ac>0
与x轴有一个交点
b2-4ac=0
与x轴无交点
b2-4ac<0
练一练：已知y=ax2+bx+c的图象如图所示,
a___0, b____0, c_____0, abc____0
b___2a, 2a-b_____0, 2a+b_______0
b2-4ac_____0
a+b+c_____0, a-b+c____0
4a-2b+c_____0
0
-1
1
-2
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七、如何求当x为何值时，y>0,y=0,y<0
0
x1
x2
x
y
当x=x1或x=x2时,y=0
当x
当x1
x
y
x1
x2
O
x
y
x1
x2
当x=x1或x=x2时,y=0
当x
当x1
二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点有三种情况:有两个交点,有一个交点,没有交点.当二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴有交点时,交点的横坐标就是当y=0时自变量x的值,即一元二次方程ax2+bx+c=0的根.
二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点 一元二次方程ax2+bx+c=0的根 一元二次方程ax2+bx+c=0根的判别式（b2-4ac）
有两个交点
有两个相异的实数根
b2-4ac > 0
有一个交点
有两个相等的实数根
b2-4ac = 0
没有交点
没有实数根
b2-4ac < 0
利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解
1、根据下列表格的对应值：
判断方程ax2+bx+c=0（a≠0,a、b、c为常数）一个解的范围是 （ ）
Ａ、3＜x＜3.23 Ｂ、3.23＜x＜3.24
Ｃ、3.24＜x＜3.25 Ｄ、3.25＜x＜3.26
x 3.23 3.24 3.25 3.26
y=ax2+bx+c -0.06 -0.02 0.03 0.09
例1.已知一抛物线的顶点坐标为(-1,2),且过点(1,-2),
求该抛物线的解析式.
例2.已知抛物线
(1)将函数化为 的形式.
(2)说出该函数图象可由抛物线 如何平移得到
(3)说出该函数的对称轴,顶点坐标,最值情况.
例2.已知二次函数
(1)当k为何值时，函数图象经过原点？
(2)当k在什么范围取值时，图象的顶点在第四象限？
1、已知二次函数y=ax2-5x+c的图象如图。
(1)、当x为何值时，y随x的增大而增大;
(2)、当x为何值时，y<0。
y
O
x
(3)、求它的解析式和顶点坐标；
练一练
综合创新:
1.已知抛物线y=ax2+bx+c与抛物线y=-x2-3x+7的
形状相同,顶点在直线x=1上,且顶点到x轴的距离
为5,请写出满足此条件的抛物线的解析式.
解: 抛物线y=ax2+bx+c与抛物线y=-x2-3x+7的形状
相同 a=1或-1
又 顶点在直线x=1上,且顶点到x轴的距离为5,
顶点为(1,5)或(1,-5)
所以其解析式为:
(1) y=(x-1)2+5 (2) y=(x-1)2-5
(3) y=-(x-1)2+5 (4) y=-(x-1)2-5
2.若a+b+c=0,a 0,把抛物线y=ax2+bx+c向下
平移4个单位,再向左平移5个单位所到的新
抛物线的顶点是(-2,0),求原抛物线的解析式.
分析:
(1)由a+b+c=0可知,原抛物线的图象经过(1,0)
(2) 新抛物线向右平移5个单位,
再向上平移4个单位即得原抛物线
答案:y=-x2+6x-5
练习1、已知抛物线y=ax2+bx-1的对称轴是x=1 ，
最高点在直线y=2x+4上。
(1) 求此抛物线的顶点坐标.
（2）求抛物线解析式.
（3）求抛物线与直线的交点坐标.
解：∵二次函数的对称轴是x=1
∴图象的顶点横坐标为1
又∵图象的最高点在直线y=2x+4上
∴当x=1时，y=6
∴顶点坐标为（ 1 ， 6）
问题2这位同学身高1.7 m,若在这次跳投中，球在头顶上方0.25 m处出手，问：球出手时，他跳离地面的高度是多少？
尝试成功
x
y
o
如图，有一次,我班某同学在距篮下4m处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离2.5m时，达到最大高度3.5m，然后准确落入篮圈。已知篮圈中心到地面的距离为3.05m.
3.05 m
2.5m
3.5m
问题1 建立如图所示的直角坐标系，求抛物线的解析式；
4 m
试一试
你知道吗？平时我们在跳绳时，绳甩到最高处的形状可近似的看为抛物线，如图所示，正在甩绳的甲、乙两名学生拿绳的手间距为4米，距地面均为1米，学生丙、丁分别站在距甲拿绳的手水平距离1米、2.5米处，绳子甩到最高处时，刚好通过他们的头顶，已知学生丙的身高是1.5米，请你算一算学生丁的身高。
1m
2.5m
4m
1m
甲
乙
丙
丁
x
y
o
(0,1)
(4,1)
(1,1.5)
练习：在矩形荒地ABCD中，AB=a，BC=b,（a>b > 0），今在四边上分别选取E、F、G、H四点，且AE=AH=CF=CG=x，建一个花园，如何设计，可使花园面积最大？
D
C
A
B
G
H
F
E
a
b
b
2、如图，在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆，围成中间隔有二道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为x米，面积为S平方米。
(1)求S与x的函数关系式及自变量的取值范围；
(2)当x取何值时所围成的花圃面积最大，最大值是多少？
(3)若墙的最大可用长度为8米，则求围成花圃的最大面积。
A
B
C
D
解：
(1) ∵ AB为x米、篱笆长为24米
∴ 花圃宽为（24－4x）米
(3) ∵墙的可用长度为8米
(2)当x＝ 时，S最大值＝ ＝36（平方米）
∴ S＝x（24－4x）
＝－4x2＋24 x （0
∴当x＝4m时，S最大值＝32 平方米
3、某企业投资100万元引进一条产品加工生产线，若不计维修、保养费用，预计投产后每年可创利33万。该生产线投产后，从第1年到第x年的维修、保养费用累计为y(万元)，且y=ax2+bx,若第1年的维修、保养 费用为2万元，到第2年为6万元。
（1）求y的解析式；
（2）投产后，这个企业在第几年就能收回投资？
解:（1）由题意，x=1时，y=2；x=2时，y=2+4=6,分别代入y=ax2+bx,得a+b=2,4a+2b=6,
解得:a=1,b=1, ∴y=x2+x.
（2）设g＝33x-100-x2-x,则
g=-x2+32x-100=-(x-16)2+156.
由于当1≤x≤16时，g随x的增大而增大，故当x=4时，即第4年可收回投资。
问题4：某商场将进价40元一个的某种商品按50元一个售出时，能卖出500个，已知这种商品每个涨价一元，销量减少10个，为赚得最大利润，售价定为多少？最大利润是多少？
分析：利润=（每件商品所获利润）× （销售件数）
设每个涨价x元， 那么
（3）销售量可以表示为
（1）销售价可以表示为
（50+x）元（x≥ 0，且为整数）
(500-10x) 个
（2）一个商品所获利润可以表示为
（50+x-40）元
（4）共获利润可以表示为
(50+x-40)(500-10x)元
温馨提示：同桌交对，互相帮助！
知识拓展：
心理学家研究发现：一般情况下，学生的注意力随着教师讲课时间的变化而变化，讲课开始时，学生的注意力y随时间t的变化规律有如下关系式：
（1）讲课开始后第5分钟时与讲课开始后第25分钟时比较，何时学生的注意力更集中？
（2）讲课开始后多少分钟，学生的注意力最集中？能持续多少分钟？
（3）一道数学难题，需要讲解24分钟，为了效果较好，要求学生的注意力最低达到180，那么经过适当安排，老师能否在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目？
已知二次函数 y=0.5x +bx+c 的图象经过点A(c，-2)， 求证：这个二次函数图象的对称轴是直线 x＝3。
题目中的黑色部分是一段被墨水污染了无法辨认的文字。
（1）根据已知和结论中现有的信息，你能否求出题中的二次函数解析式？若能，请写出求解过程，并画出二次函数的图象。若不能，请说明理由。
（2）请你根据已有的信息，在原题中的黑色部分添加一个适当的条件，把原题补充完整。
国家基础教育课程改革青海省潢中县实验区2004年升中试题