函数与导数二轮复习建议
函数是高中数学的核心内容，因而在历年的江苏高考中，函数一直是考查的重点和热点．高考既注重单独考查函数的基础知识，也会突出考查函数与其它知识的综合应用；既考查具体函数的图象与性质，也考查函数思想方法的应用．
下表列出的是《考试说明》对函数部分具体考查要求及2008年~2011年四年江苏高考函数部分试题的具体分布．
知识点 要求 2008 2009 2010 2011
函数的概念与基本初等函数Ⅰ 函数的概念 B
函数的基本性质 B 20 5,11 2,11
指数与对数 B
指数函数的图象与性质 B 20 10
对数函数的图象与性质 B 11
幂函数 A
函数与方程 A
函数模型及其应用 B 17 17
导数及其应用 导数的概念 A
导数的几何意义 B 8 9 12
导数的运算 B
利用导数研究函数的单调性与极值 B 14 3 20 12,19
导数在实际生活中的应用 B （17） 14 （17）
基本题型一：函数性质的研究
例1（2011年江西理改）若f (x)＝eq \F(1,eq \R(,logeq \o(,\d\fo()\s\down4())(2x＋1)))，则f (x)的定义域为____________．
【解析】由eq \b\lc\{(\a\al(2x＋1＞0,logeq \o(,\d\fo()\s\down4())(2x＋1)＞0))，解得eq \b\lc\{(\a\al(x＞－,x＜0))，故－＜x＜0，答案为（－，0）．
说明：以函数定义域为载体，考查对数函数的图象与性质．
例2（2010年江苏）设函数f(x)＝x(ex＋ae－x)（x∈R）是偶函数，则实数a＝_______．
【解析】 由g(x)＝ex＋ae－x为奇函数，得g(0)＝0，解得a=－1；也可以由奇函数的定义解得．
说明：1．函数奇偶性的定义中应关注两点：①定义域关于数0对称是函数具有奇偶性的必要条件；②f(0)＝0是定义域包含0的函数f(x)是奇函数的必要条件．2．利用特殊与一般的关系解题是一种非常重要的方法．
变式：若函数f(x)＝（k为常数）在定义域上为奇函数，则k的值是_______．
答案：±1．
例3 设a(0＜a＜1)是给定的常数，f(x)是R上的奇函数，且在(0，＋∞)上是增函数，若f()＝0，f(logat)＞0，则t的取值范围是________．
【解析】 因为f(x)是R上的奇函数，且在(0，＋∞)上是增函数，故f(x)在区间(－∞，0)上也是增函数．画出函数f(x)的草图．
由图得－＜logat＜0或logat＞，解得t(0，) ∪(1，eq \f(,a))．
说明：1．单调性是函数的局部性质，奇偶性是函数的整体
性质，单调性和奇偶性常常结合到一起考查．
2．函数图象是函数性质的直观载体，“以形辅数”是数形结合思想的重要体现．
例4（2010年江苏卷）已知函数f(x)＝则满足不等式f(1－x2)＞f(2x)的x的范围是 ．
【解析】画出函数f(x)的图象，根据单调性，得，解得 x∈(－1，－1)．
说明：1．函数单调性是比较大小和解不等式的重要依据，如果把式f(1－x2)＞f(2x)具体化，需要分类，情形比较复杂，本题对能力要求较高．2．分段函数是高考常考的内容之一，解决相关问题时，应注意数形结合、分类讨论思想的运用．
变式：设偶函数f(x)＝loga|x－b|在(－∞，0)上单调递增，则f(a＋1)与f(b＋2)的大小关系为________________________．
答案：f(a＋1)＞f(b＋2)．
例5（2009年江苏）设a为实数，函数f(x)＝2x2＋(x－a)|x－a|．
（1）若f(0)≥1，求a的取值范围；（2）求f(x)的最小值；（3）设函数h(x)＝f(x)，x∈(a, +∞)，直接写出(不需给出演算步骤)不等式h(x)≥1的解集．【解析】（1）因为f(0)＝－a|－a|≥1，所以，－a＞0，即a＜0．由a2≥1，得a≤－1．
（2）记f(x)的最小值为g(a)，
f(x)＝2x2＋(x－a)|x－a|＝ eq \b\lc\{(\a\al(3(x－ )2＋，x＞a， ①,(x＋a)2－2a2， x≤a， ②))
（ⅰ）当a≥0时，f(－a)＝－2a2，由①②知f(x)≥－2a2，此时，g(a)＝－2a2．
（ⅱ）当a＜0时，f()＝a2．若x＞a，则由①知f(x)≥a2；若x≤a，则x＋a≤2a＜0，由②知f(x)≥2a2＞a2．此时，g(a)＝a2．
所以，g(a)＝ eq \b\lc\{(\a\al(－2a2，a≥0，, a2， a<0．))
（3）（ⅰ）当a∈(－∞，－ eq \f(,2)]∪[ eq \f(,2)，＋∞)时，解集为(a, ＋∞)；
（ⅱ）当a∈[－ eq \f(,2), eq \f(,2))时，解集为[ eq \f(a＋,3)，＋∞)；
（ⅲ）当a∈(－ eq \f(,2)，－ eq \f(,2))时，解集是(a, eq \f(a－,3)]∪[ eq \f(a＋,3)，＋∞)．
说明：1．江苏高考中经常考查含有绝对值的函数问题，解决绝对值问题的基本方法是去绝对值，按零点分类去绝对值、平方去绝对值是两种常用方法．
2．二次函数在区间上最值的讨论是对二次函数考查的一个热点问题，应熟练解决．将二次函数与分段函数结合起来，要求较高．（2）中之所以用0来区分，是因为①式中应比较与a的大小，②式中要比较－a与a的大小．
基本策略：
1．基本初等函数及其组合是函数性质考查的重要载体，因此应该对一些基本初等函数（如一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、反比例函数、耐克函数等）的图象与性质非常熟悉．掌握一些最基本的复合函数理论及图象变换的相关知识，能将比较复杂的函数化归为一些基本初等函数进行性质的研究．
2．应熟练掌握函数常见性质的判别和证明的基本方法和步骤．函数性质研究以函数单调性研究为重点和难点，函数单调性的判别常使用图象和导数，证明的常用方法是定义法和导数法；奇偶性的判别应注意两个必要条件的应用（例2），证明函数具有奇偶性，必需严格按照定义进行，说明函数不具有奇偶性，仅举出一个反例即可．要了解函数的奇偶性与单调性的联系．
3．对函数性质的考查，主要有两类问题，一类是判断函数是否具有某种性质，一类是根据函数具有的性质解决一些问题，如求值、判断零点的个数、解不等式等．
对于第二类问题，函数性质常常有两种呈现方式：（1）直接呈现；（2）隐含在具体函数之中（如例4）．有些时候，直接呈现函数性质时，可能有不同的表述形式．下面两个问题中两种不同的表述都是在呈现单调性．
题1 定义在R上函数f(x)，对定义域内任意的x都有f'(x)＜0成立，则f(－1)与f(－1)的大小关系是___________________．
题2 已知f(x)＝ax＋b，对定义域内任意的x1，x2(x1≠x2)均满足＜0，则实数a的取值范围为___________________．
有时还可能用类似于“f(x)＋x f'(x)＜0”的条件，给出了函数y＝x f(x)的单调性．
4．研究函数性质时，必需学会从“数”和“形”两个角度加以考虑，特别是“形”，掌握函数图象是学好函数性质的关键．
基本题型二：导数的运算及简单应用
例6（2009年江苏）在平面直角坐标系中，点P在曲线C：y＝x3－10x＋3上，且在第二象限内，已知曲线C在点P处的切线的斜率为2，则点P的坐标为 .
【解析】y ′＝3x2－10＝2，得x＝2，－2，又因为点P在第二象限内，．点P的坐标为（－2，15）．
说明：本题考查导数的几何意义，求曲线的切线包括求曲线在某点处的切线和经过某点处的切线，求曲线在某点处的切线问题又包括已知切点，求切线斜率和已知切线斜率，求切点．
例7（2009年江苏）函数f(x)＝x3―15x2―33x＋6单调减区间为 ．
【解析】 f′(x)＝3(x－11)(x+1)，由f′(x)＜0可知：函数f(x)的单调减区间为（－1，11）．
说明：确定具体函数的单调区间和已知函数单调性求参数取值范围问题是利用导数研究函数单调性的两种典型题型．这类问题的研究中要特别注意以下两个结论：导数在区间上恒大于零是函数在区间上单调递增的充分非必要条件；导数在区间上恒大于等于零是函数在区间上单调递增的必要非充分条件．
易错题：若函数f(x)＝x3＋x2＋mx＋1是R上的单调函数，则实数m的取值范围是____．
错解：（，＋∞），正解：[，＋∞）．
例8（2011年广东理）函数f (x)＝x3－3x2＋1在x＝ 处取得极小值．
【解析】f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)，∴f (x)的单调递增区间为(－∞，0)，(2，＋∞)，递减区间为(0，2)，∴f (x)在x＝2处取得极小值．
说明：求函数极值是导数应用的重要方面，闭区间上可导函数的最值只在区间端点或极值点处取得．用导数求极值，我们应该注意的结论是：f′(a)＝0是x＝a为f(x)极值点的必要非充分条件．
易错题：已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处有极值为10，则a＝______．
错解：4或－3，正解：4．
求函数极值的重要环节是检验导函数零点两侧导数符号的变化．
例9（2011年江苏）在平面直角坐标系xOy中，已知点P是函数f (x)＝ex（x＞0）的图象上的动点，该图象在P处的切线l交y轴于点M，过点P作l的垂线交y轴于点N，设线段MN的中点的纵坐标为t，则t的最大值是 ．
【解析】设P(x0，ex0)，则l：y－ex0＝ex0(x－x0)，∴M(0，(1－x0)ex0)，过点P的l的垂线的方程为y－ex0＝－e－x0(x－x0)，∴N(0，ex0＋x0e－x0)，
∴t(x0)＝[(1－x0)ex0＋ex0＋x0e－x0]＝ex0＋x0(e－x0－ex0)，t′(x0)＝(ex0＋e－x0)(1－x0)，所以，t(x0)在(0，1)上单调增，在(1，＋∞)上单调减，∴x0＝1，t(x0)max＝(e＋)．
说明：本题考查了导数的运算与几何意义、利用导数研究函数的单调性，进而确定函数的最值，综合性较高，运算过程较复杂，属难题．
例10（2010年江苏卷）将边长为1m的正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记S＝，则S的最小值是 ．
【解析】设剪成的小正三角形的边长为x，则S＝ eq \f(4(3－x)2,( 1－x2))（0＜x＜1），
方法一：S′(x)＝ eq \f(4,)×，令S′(x)＝0，得x＝，当x∈(0，)时，S′(x)＜0，所以函数S(x)递减；当x∈(，1)时，S′(x)＞0，所以函数S(x)递增；故当x＝时，S的最小值是 eq \f(32,3)．
方法二：令3－x＝t，由x(0，1)，得t(2，3)，(，)，则
S＝eq \f(4,)·＝eq \f(4,)·eq \f(4,－＋－1)．
故当＝，x＝时，S的最小值是 eq \f(32,3)．
说明：1．导数法是求函数求最值（或值域）的一种最重要方法，一定要熟练掌握．2．“”型(其中函数f(x)，g(x)一个为1次、一个为2次）的函数求最值问题在高考中的考查频率非常高，其一般方法除了导数法外，还可以利用复合函数求值域的方法（关键是：换元），将之化归为二次函数或耐克函数求解．
基本策略：
1．导数运算是导数应用的基础，应该熟练掌握，2011年江苏高考12题（例9）之所以让很多同学望而却步，一点重要原因就是导数运算较为复杂，特别涉及了函数y＝e－x的求导．
2．导数应用的几种常见题型为：求曲线的切线、求函数的单调区间、求函数的最值和值域．在二轮复习中应加强对各种题型的总结、梳理．例如：
用导数求曲线的切线方程一般解题步骤是：①设切点（已知切点，则直接用）；②由切点求切线的斜率，进而用点斜式写出切线方程；③由相关条件求出参数的值．
用导数求单调区间的步骤是：①求定义域；②解不等式f′(x)＞0（或f′(x)＜0）．③写出单调区间．
用导数求闭区间上函数的最值的一般步骤：①求导数的极值点；②列表，确定函数的单调性；③比较区间端点和极值点处函数的值的大小，从而确定函数最值．
要让学生理解例7、例8说明中提到的几个充分必要条件．
3．求函数最值（或值域）的基本方法是导数法和复合函数法（化归为基本初等函数），但两种方法的本质都是在用单调性求最值，因此要重点解决导数在研究函数单调性中的应用．
利用导数研究函数单调性还有一个优势是能描绘出函数图象的大致的变化趋势，在很多问题中，作出函数的草图，往往效果事半功倍．
基本题型三：函数知识综合应用
例11已知函数f(x)＝alnx－bx2图象上一点P(2，f(2))处的切线方程为y＝－3x＋2ln2＋2．
（1）求a，b的值；
（2）若方程f(x)＋m＝0在[，e]内有两个不相等的实数根，求m的取值范围（其中e为自然对数的底数，e=2.71828…）．
【解析】（1）f′(x)＝－2bx，f′(2)＝－4b，f(2)＝aln2－4b，
∴－4b＝－3，且aln2－4b＝－6＋2ln2＋2．解得a＝2，b＝1．
（2）f(x)＝2lnx－x2，f′(x)＝－2x＝．令f′(x)＝0，得x＝1，或x＝－1（舍去）．
x （，1） 1 （1，e） e
f′(x) ＋ 0 －
f(x) －2－ ↗ －1 ↘ 2－e2
方程f(x)＋m＝0，即－m＝f(x)，则f(x)＋m＝0在[，e]内有两个不相等的实数根的充要条件是曲线y＝－m与y＝f(x)的图象有两个不同的交点．
∵2－e2＜－2－，∴－2－≤－m＜－1，∴m的取值范围是(1，2＋]．
说明：解（2）的思路是：①将方程f(x)＋m＝0变形为－m＝f(x)，把方程有解问题转化为研究函数图象有交点问题；②再将图象有交点问题化归为函数y＝f(x)的取值范围问题．
用函数方法解决方程问题，是函数应用的一个热点，2011年北京理科卷中就出现了这样一类问题：
（2011年北京理13）已知函数f (x)＝eq \b\lc\{(\a\al(， x≥2,(x－1)3，x＜2))，若关于x的方程f (x)＝k有两个不同的实根，则实数k的取值范围是 ．
答案： (0，1)．
例12已知函数f(x)＝ax3－x2＋1(xR)，其中a＞0．
（1）若a＝1，求曲线y＝f(x)在点（2，f(2)）处的切线方程；
（2）若在区间[－，]上，f(x)＞0恒成立，求a的取值范围．
【解析】（1）当a＝1时，f(x)＝x3－x2＋1，f(2)＝3；f' (x)＝3x2－3x， f' (2)＝6．
所以曲线y＝f(x) 在点（2，f(2)）处的切线方程y－3＝6(x－2)，即6x－y－9＝0．
（2）
方法一：f' (x)＝3ax2－3x＝3x(ax－1)，令f' (x)＝0，解得x＝0或x＝．
以下分两种情况讨论：
若0＜a≤2，则≥，当x变化时，f' (x)，f(x)的变化情况如下表：
x （－，0） 0 （0，）
f' (x) ＋ 0 －
f(x) ↗ 极大值 ↘
当x[－，]上，f(x)＞0等价于eq \b\lc\{(\a\al(f(－)＞0，, f()＞0))，即eq \b\lc\{(\a\al(＞0，, ＞0．))解不等式组得－5＜a＜5．因此0＜a≤2．
若a＞2，则0＜＜，当x变化时，f' (x)，f(x)的变化情况如下表：
x （－，0） 0 （0，） （，）
f' (x) ＋ 0 － 0 ＋
f(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
当x[－，]上，f(x)＞0等价于eq \b\lc\{(\a\al(f(－)＞0，, f()＞0))，即eq \b\lc\{(\a\al(＞0，,1－＞0．))解不等式组得＜a＜5，或a＜－．因此2＜a＜5．
综合①和②，可知a的取值范围为(0，5)．
方法二：f(x)＞0即ax3－x2＋1＞0，即ax3＞x2－1．
当0＜x≤时，即a＞eq \f(x2－1,x3)＝－；
当－≤x＜0时，a＜－．
令g(t)＝t－t3，t(－∞，－2]∪[2，＋∞)．
则g' (t)＝－3t2．
列表得
x （－∞，－2） －2 2 （2，＋∞)
f' (x) － －
f(x) ↘ 5 －5 ↘
在区间[－，]上，f(x)＞0恒成立，则
x[－，0)时，a＜－恒成立，由上表得－≥5，∴a＜5．
x(0，]时， a＞－恒成立，由上表得－≤－5，∴a＞－5，．
当x＝0时，即0＞－1，恒成立，aR．
综上，根据已知条件a＞0，则a的取值范围为(0，5)．
说明：研究不等式f(x)＞0在区间A上恒成立，求其中参数a的取值范围问题，一般有两种方法：
第一种方法，直接转化为研究带参数的动态函数y＝f(x)在区间A上的最小值．由于函数y＝f(x)带有参数，它在区间A上的单调性会由于参数a的不同而变化，因此需要分类讨论．由于函数y＝f(x)的单调性和其导函数在区间A上的零点个数有关，问题最后都归结为就函数y＝f' (x) 在区间A上的零点个数进行分类讨论．问题（2）中的方法一就是遵循这一思路．
第二种方法，是将不等式f(x)＞0作变形，将参数a和变量x进行分离，将不等式转化为h(a)＞g(x)(或h(a)＜g(x))，利用极值原理，将问题转化为研究函数y＝g(x)在区间A上的最大值（或最小值）的问题．问题（2）中的方法二就是这一思路．由于y＝g(x)不含参数，其在区间A上的单调性是确定的，就不需要分类讨论．但要注意的是，有时候由于函数y＝g(x)形式比较复杂，研究起来也不一定方便．
用函数方法研究本等式问题是函数应用的另一个重要方面．由不等式恒成立，求参数取值范围问题成为各地考试函数压轴题的一个主要命题点．江苏2008年第14题和本题非常类似．
（2008年江苏）f(x)＝ax3―3x＋1对于x∈[－1，1]总有f(x)≥0成立，则a＝ ．
答案：4．
例13（2010年江苏）设f(x)是定义在区间(1，＋∞)上的函数，其导函数为f′(x)．如果存在实数a和函数h(x)，其中h(x)对任意的x∈(1，＋∞)都有h(x)＞0，使得f′(x)=h(x)(x2―ax＋1)，则称函数f(x)具有性质P(a)．
（1）设函数f(x)＝lnx＋(x＞1)，其中b为实数．
(i)求证：函数f(x)具有性质P(b)； (ii)求函数f(x)的单调区间．
（2）已知函数g(x)具有性质P(2)．给定x1，x2∈(1，＋∞)，设m为实数，α＝mx1＋(1－m)x2，β＝(1－m)x1＋mx2，且α＞1，β＞1，若|g(α)－g(β)|＜|g(x1)－g(x2)|，求的取值范围．
【解析】（1）(i) f′(x)＝－＝，∵x＞1时，h(x)＝＞0恒成立，∴函数f(x)具有性质P(b)；
(ii)当b≤2时，由于x＞1，令φ(x)＝x2－bx＋1≥x2－2x＋1＝(x－1)2≥0，所以f′(x)＞0，故此时f(x)在区间(1，＋∞)上递增；
当b＞2时，φ(x)图像开口向上，对称轴x＝＞1，方程φ(x)＝0的两根分别为
x1＝ eq \f(b－,2)，x2＝ eq \f(b＋,2)，其中 eq \f(b＋,2)＞1，0＜ eq \f(b－,2)＜1， 所以当x∈（1， eq \f(b＋,2)）时，φ′(x) ＜0，f′(x)＜0，所以，此时f(x)在区间(1， eq \f(b＋,2))上递减；同理，得f（x）在区间( eq \f(b＋,2)，＋∞)上递增．
综上所述，当b≤2时， f(x)在区间(1，＋∞)上递增；
当b＞2时， f(x)在(1， eq \f(b＋,2))上递减； f(x)在( eq \f(b＋,2)，＋∞)上递增．
（2）由题设知，g(x)的导函数g′(x)＝h(x)(x2－2x＋1)，其中函数h(x)＞0对于任意的x∈(1，＋∞)都成立．所以，当x＞1时，g′(x)= h(x)(x－1)2＞0，从而g(x)在区间(1，＋∞)上单调递增．
①当m∈(0，1)时，有α＝mx1＋(1－m)x2＞ mx1＋(1－m)x1＝x1，α＝mx1＋(1－m)x2＜mx2＋(1－m)x2＝x2，得α∈(x1，x2)，同理可得β∈(x1，x2)，所以由g(x)的单调性知g(α)，g(β)∈(g(x1)，g(x2))，从而有|g(α)－g(β)|＜|g(x1)－g(x2)|，符合题设．
②当m≤0时，α＝mx1＋(1－m)x2＞ m x2＋(1－m)x2＝x2，β＝(1－m) x1＋mx2≤(1－m)x1＋mx1＝x1，于是由α＞1，β＞1及g(x)的单调性知g(β)≤g(x1)＜g(x2)≤g(α)，|g(α)－g(β)|≥|g(x1)－g(x2)|，与题设不符,舍去．
③当m≥1时，同理可得α＜x1，β＞x2，得|g(α)－g(β)|≥|g(x1)－g(x2)|，与题设不符，舍去．
综合①、②、③得， 的取值范围是(0，1)．
说明：（1）(ii) 求函数f(x)的单调区间不是不等式恒成立问题，而是在区间(1，＋∞)研究不等式x2－bx＋1＞0的解集，但问题最后依然是化归为讨论二次函数y＝x2－bx＋1在区间的零点个数问题，其中b＞2时就x1，x2范围的判别是难点（可用韦达定理辅助研究）．不在定义域范围内考虑单调区间是这类问题最常见的错误．
（2）的综合性很强，问题的实质是利用函数单调性，将函数值的大小关系转化为讨论自变量的大小．
例14（2011年江苏）已知a，b是实数，函数f(x)＝x3＋ax，g(x)＝x2＋bx, f′(x)和g′(x)分别是f(x)和g(x)的导函数，若f′(x)g′(x)≥0在区间I上恒成立，则称f(x)和g(x)在区间I上单调性一致．
(1)设a＞0，若f(x)和g(x)在区间[－1，＋∞)上单调性一致，求b的取值范围；
(2)设a＜0且a≠b，若f(x)和g(x)在以a，b为端点的开区间上单调性一致，求|a－b|的最大值．
【解答】 f′(x)＝3x2＋a，g′(x)＝2x＋b.
（1）由题意知f′(x)g′(x)≥0在[－1，＋∞)上恒成立．因为a＞0，故3x2＋a＞0，进而2x＋b≥0，即b≥－2x在区间[－1，＋∞)上恒成立，所以b≥2.因此b的取值范围是[2，＋∞)．
（2）
方法一：①当b＜a＜0时，因为函数f(x)和g(x)在(b，a)上单调性一致，所以，任意x(b，a)，f′(x)g′(x)≥0恒成立，即任意x(b，a)，(3x2＋a)(2x＋b)≥0恒成立．
因为任意x(b，a)，2x＋b＜2a＋b＜0，所以任意x(b，a)，a≤－3x2恒成立，
所以b＜a≤－3b2．
设z＝a－b，考虑点(b，a)的可行域，函数y＝－3x2的斜率为1的切线的切点设为(x0，y0)．
则－6x0＝1，x0＝－，y0＝－，zmax＝－－(－)＝，所以|a－b|max＝．
②当a＜b＜0时，因为函数f(x)和g(x)在(a，b)上单调性一致，所以，任意x(a，b)，f′(x)g′(x)≥0恒成立，即意x(a，b)，(3x2＋a)(2x＋b)≥0恒成立．
因为任意x(a，b)，2x＋b＜3b＜0，所以任意x(a，b)，a≤－3x2，
所以a≤－3a2，∴－≤a≤0，(b－a) max＜，所以|a－b|max＜．
③当a＜0＜b时，因为f(x)和g(x)在(a，b)上单调性一致，所以，任意x(a，b)，f′(x)g′(x)≥0恒成立，即意x(a，b)，(3x2＋a)(2x＋b)≥0恒成立．
因为(3×02＋a)(2×0＋b)＝ab＜0，不符合题意，舍去．
④当a＜0＝b时，由题意，任意x(a，0)，3x2＋a≤0，3a2＋a≤0，所以－≤a≤0，|a－b|max＝b－a＝．
综上可知，|a－b|max＝．
方法二：令f′(x)＝0，解得x＝±.
若b＞0，由a＜0得0∈(a，b)．又因为f′(0)g′(0)＝ab＜0，所以函数f(x)和g(x)在(a，b)上不是单调性一致的．因此b≤0.
现设b≤0.当x∈(－∞，0)时，g′(x)＜0；当x∈(－∞，－eq \r(,－))时，f′(x)＞0，因此当x∈(－∞，－eq \r(,－))时，f′(x)g′(x)＜0.
故由题设得a≥－，且b≥－，从而－≤a＜0，于是－≤b≤0，因此|a－b|≤，且当a＝－，b＝0时等号成立．又当a＝－，b＝0时，f′(x)g′(x)＝6x(x2－)，从而当x∈(－，0)时f′(x)g′(x)＞0，故函数f(x)和g(x)在(－，0)上单调性一致．因此|a－b|的最大值为.
说明：（2）的方法一，是常规的分类讨论，想法比较容易，(3x2＋a)(2x＋b)≥0恒成立的讨论比较困难，该过程没有直接利用例12的两种方法，因为含有两个参数，而且区间含有参数，直接讨论有困难，方法一中通过限制参数的范围，将含两参数的三次不等式恒成立问题转化为单参数的二次不等式恒成立问题，对不能转化的范围，利用特殊值的方法进行否定．（2）的方法二则是先依据特殊与一般的关系，缩小参量的取值范围，简化不必要的讨论，先得到|a－b|≤，再说明可以取得，从而说明|a－b|的最大值为．两种方法难度都比较大，但其处理问题的方法，值得我们好好反思．
基本策略：
1．利用函数方法研究方程与不等式问题是函数综合应用的重要方面，应引起足够重视；
2．方程恒有解问题，往往可以转化为两条曲线（其中一条曲线可能为垂直于坐标轴的直线）的交点问题．利用导数研究函数单调性，进而绘制函数图象，对问题的解决大大有益．
3．不等式恒成立问题，往往转化为函数的最值问题，研究的函数可能是含参数的动态函数，也可以是作参变量分离后的定函数．含参数的动态函数的最值需要对其单调性进行分类讨论．在很多问题中，这种讨论最终总是转化为二次函数在区间上零点个数的讨论．
在用函数方法处理不等式问题时，还应该注意两种问题的区别，问题一：对任意xA，a≤f(x)恒成立；问题二：存在xA，a≤f(x)成立．
4．和不等式恒成立，不等式能成立，方程恒有解问题一样，近年来高考出现的一些新定义的问题，也出现过一些新的说法，它们都不直接表述为对函数的研究，但最终都是转化为对函数性质的研究，2010年和2011年高考都是如此．再如：
题1 已知两个函数f(x)＝8x2＋16x－k，g(x)＝2x3＋5x2＋4x，
（1）对任意的x[－3，3]都有f(x)≤g(x)，则实数k的取值范围是_________．
（2）对任意的x1，x2[－3，3]都有f(x1)≤g(x2)，则实数k的取值范围是_________．
答案：（1）[45，＋∞)；（2）[141，＋∞)；
题2（2011年湖南文改）已知函数f (x)＝ex－1，g(x)＝－x2＋4x－3，若有f (a)＝g(b)，则b的取值范围为_________．
答案：（2－，2＋）．
5．对于含参数的函数问题，在解题过程中要能够准确地进行分类讨论．江苏高考函数解答题中经常出现多个变量的问题，这一点应该引起我们足够的重视．分类讨论时，如果能注意应用一些特殊值或必要条件，缩小参量的取值范围，往往能让问题得以简化．
本单元二轮专题和课时建议：
专 题 内 容 说 明
第一课时 函数图象与性质 函数基本性质（含指、对函数图象和性质）
第二课时 导数的概念及其简单运用 曲线的切线、求导法则、单调性、值域
第三课时 二次函数、二次方程、二次不等式 以“三个二次”为载体复习函数与方程、函数与不等式的相关知识
第四－五课时 函数综合运用 函数知识与方程、数列、不等式等知识的综合运用附加题归类分析及应对策略
一、附加题的两点共识
1．数学附加题的40分与I卷的160分对理科同学同等重要．
2．数学附加题得很高的分数不容易，但要得到基本分还是不困难的．原因：
（1）考试说明要求附加题部分易、中、难题的占分比例控制在5:4:1左右，即中低档题占总分的90％左右．
（2）考试时间仅有30分钟，因此运算量与思维量都会控制．
（3）准确定位，合理取舍．
二、各模块归类分析及应对策略
附加题的知识内容比较多，根据江苏高考说明，考查选修系列2中的内容，主要有：曲线方程与抛物线，空间向量与立体几何，复合函数的导数，数学归纳法，排列组合与二项式定理，离散型随机变量的分布列、期望与方差，以及选修4系列中的《4-1几何证明选讲》，《4-2矩阵与变换》，《4-4坐标系与参数方程》，《4-5不等式选讲》．
四年高考考查内容
2008年 2009年 2010年 2011年
矩阵与变换 曲线与变换 逆矩阵 矩阵与矩阵、矩阵与列向量的乘法 矩阵与矩阵、矩阵与列向量的乘法
坐标系与参数方程 椭圆的参数方程的应用 参数方程化普通方程 极坐标方程化直角坐标方程 参数方程化普通方程
22题 向量的夹角 直线与抛物线 概率 二面角的计算
23题 组合恒等式证明 概率与不等式 数学归纳法 组合计数
（一）矩阵与变换
考点一：二阶矩阵与平面列向量的乘法、二阶矩阵的乘法．
例1（南京市2008－2009学年度第一学期期末调研）在直角坐标系中，已知△ABC的顶点坐标为A(0，0)，B(－1，2)，C(0，3)．求△ABC在矩阵作用下变换所得到的图形的面积．
答案：S△A′B′C′＝．
变化1：（2010年江苏高考）在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0，0)，B(－2，0)，C(－2，1)．设k为非零实数，矩阵M＝，N＝，点A、B、C在矩阵MN对应的变换下得到点分别为A1、B1、C1，△A1B1C1的面积是△ABC面积的2倍，求k的值．
答案：2或－2．
变化2：（2011年江苏高考）已知矩阵A＝，向量＝，求向量，使得A2＝．
答案：＝．
应对策略：熟练掌握二阶矩阵与列向量的运算的运算法则，注意不能将列向量写在二阶矩阵左边；使用待定系数法过程中务必注意解方程或方程组的准确性，检验是一个好习惯．
考点二：二阶矩阵与平面变换
例2在平面直角坐标系xOy中，设椭圆4x2＋y2＝1在矩阵A＝对应的变换作用下得到曲线F，求F的方程．
答案：x2＋y2＝1．
变化1：（南京市2009－2010学年度第一学期期末调研测）求直线2x＋y－1＝0在矩阵作用下变换得到的直线的方程．
答案：4x – 3y – 2 ＝ 0．
说明：直线变换为直线，直接用两点变换相对简单．
应对策略：除了某些情形下使用点的变换代替曲线的变换外，应熟练掌握这类问题一般处理步骤．例如已知曲线C的方程，求变换后的曲线C1的方程的过程分三步：1．利用矩阵与列向量乘法将目标曲线C1上的任意一点（x，y）的坐标用源曲线上的对应点(x′，y′)的坐标表示；2．用x，y反表示x′，y′；3．将x′，y′带回曲线C的方程，得到x，y的等式，该等式即所求曲线C1的方程．
变化2：（南京市2010届第三次模拟）如果曲线x2＋4xy＋3y2＝1在矩阵的作用下变换得到曲线x2－y2＝1，求a＋b的值．
答案：2．
说明：也可以通过特殊点的变换得到a，b的方程组．
变化3：已知△ABC，A(－1，0)，B(3，0)，C(2，1)，对它先作关于x轴的反射变换，再将所得图形绕原点逆时针旋转90°．
（1）分别求两次变换所对应的矩阵M1，M2；
（2）求点C在两次连续的变换作用下所得到的点的坐标．
答案：（1）M1＝，M2＝；
（2）(1，2)．
说明：可以依次计算两次变换下的对应点，也可以利用矩阵乘法将连续两次变换等效为一次变换，应注意该变换对应的矩阵应该是第二次变换对应的矩阵左乘第一次变换对应的矩阵，在本题中即M2 M1，矩阵乘法是不满足交换律的．
考点三： 逆矩阵
例3（2009年江苏高考）求矩阵A＝的逆矩阵．
答案：A－1＝ ．
说明：方法一，根据A A－1＝E，利用待定系数法求解；方法二：直接利用公式计算．
应对策略：待定系数法，运算量比较大，直接利用公式计算简便，但公式不能出错，另外为了防止缺少解题过程之嫌，最好将公式书写一遍．
变化1：已知 B＝ ，求二阶矩阵B．
答案：B＝．
变化2：已知在一个二阶矩阵M对应变换的作用下，点A(1，2)变成了点A′(7，10)，点B(2，0)变成了点B′(2，4)，求矩阵M的逆矩阵M－1．
答案：M－1＝eq \b\bc\[(\a\al\vs4(－2 , 1 －)) ．
说明：可以先求矩阵M，再求M－1，也可以直接利用逆变换直接求M－1．
变化3：（2011年3月苏、锡、常、镇四市教学情况调查）已知直角坐标平面xOy上的一个变换是先绕原点逆时针旋转45°，再作关于x轴反射变换，求这个变换的逆变换的矩阵．
答案： eq \b\bc\[(\a\al( eq \F(,2) －eq \F(,2),－eq \F(,2) －eq \F(,2)))．
说明： (M2M1)－1＝M1－1 M2－1．
考点4：特征值与特征向量
例4已知矩阵A＝，向量＝．
（1）求A的特征值1、2和特征向量1、2； （2）计算A5的值．
答案：（1）1＝2，1＝；1＝3，2＝；（2）．
说明：（2）中出现错误的一种原因是忽视了特征值与特征向量的对应性．
应对策略：一、记忆特征多项式，和这类问题的求解步骤；二、理解特征值与特征向量理论．
理论： ＝，即方程组有不全为0的解，即＝0．
变化1：（盐城市2011届第二次模拟）已知矩阵M＝的一个特征值为3，求其另一个特征值．
答案：－1．
变化2：（南通市2011届第二次模拟）已知二阶矩阵A＝，矩阵A属于特征值1＝－1的一个特征向量为1＝，属于特征值2＝4的一个特征向量为2＝．求矩阵A．
答案：A＝．
教材中的几种常见变换矩阵一般不要求记忆，但如果能识别一下矩阵，可以简化一些运算，上述选题中有不少这样的问题．
以下内容最好能记忆：
1．旋转变换矩阵．记忆三部分特征：第一列平方和是1，且类似单位圆的参数方程；主对角线上两数相等，副对角线上两数互为相反数．
2．二阶矩阵M＝的逆矩阵为M－1＝eq \b\bc\[(\a\al\vs4( , ))＝．其中是矩阵M主对角线上两数交换，副对角线上两数变为相反数得到．
3．矩阵特征多项式f()＝．
（二）坐标系与参数方程
考点1：极坐标化为与直角坐标
例1（2010年高考题）在极坐标系中，已知圆ρ=2cosθ与直线3ρcosθ＋4ρsinθ＋a＝0相切，求实数a的值．
答案：a＝2，或a＝－8．
例2（盐城市2011届第二次模拟）若两条曲线的极坐标方程分别为＝1与＝2cos(＋)，它们相交于A、B两点，求线段AB的长．
答案：．
应对策略：1．熟练掌握极坐标方程化为与直角坐标方程的公式不能出现类似于ρcosθ＝y的错误，应注意一些不能套用公式转化的特殊情形．
变化1：（南京市、盐城市2010-2011学年度第三次调研）极坐标系中，已知圆C：＝2cos和直线l：＝(R)相交于A、B两点，求线段AB的长．
答案：2．
2．应了解点的极坐标的形式和意义．
变化2：在极坐标系中，O为极点，已知两点M、N的极坐标分别为(4，π)，(，π)．求△OMN的面积．
答案：＋．
变化3：（南通市2011届高三第三次调研测试）在极坐标系中，求经过三点O(0，0)，A(2，)，B(2，)的圆的极坐标方程．
答案：＝2cos(－)．
说明：方法一：先求出圆的直角坐标方程，再转化为极坐标方程；
方法二：直接利用图形得极坐标方程．
3．极坐标转化为直角坐标后，往往就是研究直线与圆以及圆与圆的问题，我们应熟悉相关的位置关系的判别，以及一些距离或长度的计算．
考点2：参数方程转化普通方程
例3（2009年高考题）已知曲线C的参数方程为eq \b\lc\{(\a\al(x＝－eq \F(1,)，,y＝3(t＋)))(t为参数，t＞0)．求曲线C的普通方程．
答案：3x2－y＋6＝0．
应对策略：掌握一些消元的常见方法，一般有以下几种①代入消元法；②加减消元法；③利用代数恒等式或三角恒等式．消元后要注意字母的取值范围是否发生变化．
考点3：参数方程的应用
例4（2008年江苏高考）在平面直角坐标系xOy中，点P(x，y)是椭圆＋y2＝1上的一个动点，求S＝x＋y的最大值．
答案：2．
变化1：（南京市2010届第二次模拟）在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)，椭圆C的参数方程为(θ为参数)，试在椭圆C上求一点P，使得点P到直线l的距离最小．
答案：(，eq \f(,2))．
应对策略：掌握用角参数表示椭圆上动点的方法，并掌握三角函数y＝asinx＋bcosx求最值的方法．
（三）概率
基本题型：附加题概率考查两个方面问题：
（1）随机事件的概率的计算，考查互斥事件、对立事件、相互独立事件的概率；
（2）离散型随机变量分布列及其数学期望、方差计算．
基本策略:
1．解好概率问题的关键是理解题意，审题务必仔细．把复杂事件说明确是解题第一步；
例1（2010年江苏高考）某工厂生产甲、乙两种产品，甲产品的一等品率为80%，二等品率为20%；乙产品的一等品率为90%，二等品率为10%．生产1件甲产品，若是一等品则获得利润4万元，若是二等品则亏损1万元；生产1件乙产品，若是一等品则获得利润6万元，若是二等品则亏损2万元．设生产各种产品相互独立．
（1）记X(单位：万元)为生产1件甲产品和1件乙产品可获得的总利润，求X的分布列；
（2）求生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率．
答案：（1）
X 10 5 2 －3
P 0.72 0.18 0.08 0.02
（2）0.8192．
2．复杂问题简单化的方法有两种：一是将复杂事件分拆为几个简单的互斥事件，二是转化为其对立事件．分拆事件时一定要做到“不重不漏”．特别应注意“至多”、“至少”、“恰有”等词语．
例2将甲、乙两所大学共6名大学生志愿者随机平均分配到某地从事A，B，C三个岗位服务，且A岗位至少有一名甲大学志愿者的概率是．
（1）求6名志愿者中来自甲大学的是几人；
（2）求A岗位恰好甲、乙两所大学各一人的概率；
（3）设随机变量ζ为在B岗位服务的甲大学志愿者的人数，求ζ分布列及期望．
答案：（1）2；（2）；
（3）
ζ 0 1 2
P
E(ζ)＝．
例3（南京市2008届高三摸底考试）甲投篮命中的概率为0.5，每次投篮之间没有影响．甲连续投篮若干次，直到投中2次时停止，且最多投5次．
（1）记甲投篮的次数为X，求随机变量X的概率分布；
（2）求随机变量X的数学期望E(X)和方差V(X)．（本题结果用最简分数表示）
解（1）
X 2 3 4 5
P
（2）E(X)＝，V(X)＝．
说明：求P(X＝5)是该题的难点，回避难点的方法是求其对立事件P(X≤4)的概率，但这样做必须保证前几个概率都正确．
3．概率中常犯的错误不仅表现为复杂事件分拆过程中“重”或“漏”（表现为基本事件的不互斥或不对立），独立事件与独立重复事件混同（表现为漏乘相应的组合数），也表现为对古典概型模型本质理解不透彻．
例4盒子中装着有标数字1，2，3，4，5的上卡片各2张，从盒子中任取3张卡片，按3张卡片上最大数字的8倍计分，每张卡片被取出的可能性都相等，用表示取出的3张卡片上的最大数字，求：
（1）取出的3张卡片上的数字互不相同的概率；
（2）随机变量的概率分布和数学期望；
（3）计分不小于20分的概率．
答案：（1）；
（2）
2 3 4 5
P
E()＝．
（3）．
说明：解答（1）时的一种典型错误是认为“取得两张1和一张2”及“取得一张1一张2一张3”是等可能的基本事件．
解答（2）中P（＝2）时的一种典型错误是认为事件“取出的3张卡片中最大数字为2”仅含两个基本事件：“取得两张1和一张2”和“取得两张2和一张1”．
例5（2011届高三学情调研）袋中装着标有数字1，2，3，4的卡片各1张，甲从袋中任取2张卡片(每张卡片被取出的可能性都相等)，并记下卡面数字和为X，然后把卡片放回，叫做一次操作．
（1）求在一次操作中随机变量X的概率分布和数学期望E(X)；
（2）甲进行四次操作，求至少有两次X不大于E(X)的概率．
答案：（1）
X 3 4 5 6 7
P
E(X)＝5．
（2）．
4．特别要注意的：（1）答题的基本规范：①交待一些基本事件；②写出基本事件发生的概率；③求其它事件发生的概率、写出概率分布列等；④答．（2）养成利用eq \o(i=1,\d\fo1()\s\up6 ())Pi＝1检验计算是否正确的习惯．
（四）空间向量与立体几何
考点1：空间向量的坐标运算
例1（2008年江苏高考）如图，设动点P在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1的对角线BD1上，记＝λ，当∠APC为钝角时，求λ的取值范围．
答案：（，1）．
应对策略：1．掌握平面向量相关的坐标运算，并类比到空间中．
2．建立合适坐标系（右手系），并能准确书写点的坐标（第一种
方法是直接观察；第二种方法是利用共线向量的关系；第三种方
法是将点投影到坐标平面内）和向量坐标．
考点2：空间向量的应用
1．判别线面位置关系；
2．计算异面直线所成角，直线与平面所成角，二面角．
例2（2011年江苏高考） 如图，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2，AB＝1，点N是BC的中点，点M在CC1上，设二面角A1－DN－M的大小为．
（1）当＝90°时，求AM的长；
（2）当cos＝eq \f(,6)时，求CM的长．
答案：（1）；（2）．
例3如图，已知三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱与底面垂直，
AA1＝AB＝AC＝1，AB⊥AC，M是CC1的中点，N是BC
的中点，点P在直线A1B1上，且满足＝．
（1）当取何值时，直线PN与平面ABC所成的角最大？
（2）若平面PMN与平面ABC所成的二面角为45°，试确
定点P的位置．
答案：（1）；（2）点P在B1A1的延长线上，且A1P＝．
应对策略：1．求平面的法向量是重要的基本功，有现成垂线的时候一定要利用，一般利用垂直于平面内的两条互相垂直的直线来求解法向量．法向量求解过程中一定要注意方程组求解的准确性，并使法向量的形式尽可能简单．
2．要掌握以下关系：异面直线所成角的余弦等于两条异面直线方向向量夹角余弦的绝对值；线面所成角的正弦等于平面的法向量与直线方向向量夹角余弦的绝对值；二面角平面角余弦与二面角两平面法向量夹角的余弦绝对值相等,其正负可以通过观察二面角是锐角还是钝角进行确定．
（五）圆锥曲线与方程
考点1：曲线方程．
考点2：直线与抛物线．
例1（2009年江苏高考）在平面直接坐标系xOy中，抛物线C的顶点在原点，经过点A
(2，2)，其焦点F在x轴上．
（1）求抛物线C的标准方程；
（2）求过点F，且与直线OA垂直的直线方程；
（3）设过点M(m，0)(m＞0)的直线交抛物线C于D，E两点，ME＝2DM，记D和E两点间的距离为f (m)，求f (m)关于m的表达式．
答案：（1）y2＝2x；（2）x＋y－＝0；（3）f (m)＝ (m＞0)．
例2在平面直角坐标系xOy中，动点P到直线x＝－2的距离比它到点F(1，0)的距离大1．
（1）求动点P的轨迹C；
（2）直线l 过点（1，0）且与曲线C交于A，B两点，若△AOB的面积为eq \F(4,)，求直线l的斜率．
答案：（1）y2＝4x；（2）±．
三、二轮专题和课时建议：
专题 内容说明（核心）
第1课时 矩阵与变换 矩阵的运算；矩阵与变换；逆矩阵；特征值与特征向量． 采取专题与考试、讲评相结合的方法，最终形成完整的知识结构，突出重点专题，控制难度，提高解题速度和运算的准确性
第2课时 参数方程与坐标系 极坐标与直角坐标互化、参数方程与普通方程的互化；圆、椭圆的参数方程应用．
第3课时 排列组合 两个计数原理、排列组合
第4~5课时 概率及概率分布 互斥事件、独立事件、独立重复试验，概率分布及期望、方差
第6课时 二项式定理 二项式展开，系数与二项式系数
第7课时 空间向量与立体几何 空间向量的坐标运算，三种角的计算
第8课时 圆锥曲线与方程 轨迹方程；抛物线的标准方程及几何性质；直线与抛物线
第9课时 数学归纳法 数学归纳法原理及简单应用
x
B
A
O
P
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
P
P
M
C
B
A
N
N三角函数二轮复习建议
三角函数内容主要有三块；一是三角函数的化简与求值；二是三角函数的图象和性质；三是解三角形．近四年江苏高考中基本上是一至两个小题、一个大题，大都是容易题和中等题，是必须要得分的内容．特别是近两年，三角函数的小题出现在第9题至第13题这一学生拿分的关键段，更应引起我们足够的重视！
2008-2011年江苏高考数学三角函数考查情况：
年份 小题 大题
2008 第1题 性质；5分 15两角和差（定义背景）； 14分
2009 第4题 图象、性质；5分 15两角和差、同角求值（向量背景）； 14分
2010 第10题 图象、同角求值；5分第13题 解三角形 ；5分 17应用题：解三角形、两角和差、基本不等式； 14分
2011 第7题 两角和差、求值；5分第9题 图象、性质；5分 15解三角形、两角和差； 14分
基本题型一：三角函数的定义、图象和性质
如图，O为坐标原点，点A，B，C均在⊙O上，
点A，点B在第二象限，点C(1,0)．
(1)设∠COA＝θ，求sin2θ的值；
(2)若△AOB为等边三角形，求点B的坐标．
说明：三角函数定义的运用在2008年高考题中出现在三角函数解答题，三角函数的定义主要是由角终边上的点坐标得到三角函数值，再进行三角化简和求值．
基本策略：
三角函数的定义建立了角的终边上点的坐标与三角函数之间的关系．从而实现两者相互转化。利用三角函数定义可以将角终边上的点坐标转化为相关角的三角函数，再进行三角化简和求值．
解题时要注意α角的始边必须与x轴正半轴重合，且角的终边与单位圆相交所得点的坐标才为(cosα，sinα)．
例2．（1） [2011·江苏卷] 函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ为常数，A>0，ω>0)的部分图象如图所示，则f(0)的值是________．
（2） [2010·江苏卷] 定义在区间上的函数y＝6cosx的图象与y＝5tanx的图象的交点为P，过点P作PP1⊥x轴于点P1，直线PP1与y＝sinx的图象交于点P2，则线段P1P2的长为______．
例2（1）图 例2（2）图
说明：这两小题都为江苏高考题，利用图像考查性质以及求值，已经连续考查三年，需重视。
例3．（1）若函数f(x)＝sinωx(ω>0)在区间上单调递增，在区间上单调递减，
则ω＝________．
（2）设函数f(x)＝cosωx(ω>0)，将y＝f(x)的图象向右平移个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则ω的最小值等于________．
说明：此类题型的考查要求虽然不高，不要深挖，但在二轮复习中还要涉及一点．
基本策略：
1．三角函数图像与性质的问题呈现的形式有三种：①正面呈现，给出三角函数解析式，研究它的性质；②给出函数的一部分性质，研究解析式及其它性质，如例3；③以图象形式呈现，给出函数y＝Asin(wx＋)的一部分图象，如例2．
2．根据三角函数的图象求解函数的解析式时，要注意从图象提供的信息确定三角函数的性质，如最小正周期、最值，首先确定函数解析式中的部分系数，再根据函数图象上的特殊点的坐标适合函数的解析式确定解析式中剩余的字母的值，同时要注意解析式中各个字母的范围．
3．在进行图象变换时，必须注意ω对平移单位的影响，即由y＝Asinωx变化到y＝Asin(ωx＋φ)时，平移量应是；但对y＝Asin(ωx＋φ)进行伸缩变换时，要注意φ是不变的．
4．解答三角函数的图象与性质类的试题，变换是其中的核心，把三角函数的解析式通过变换，化为正弦型、余弦型、正切型函数，然后再根据正弦函数、余弦函数和正切函数的性质进行研究．
基本题型二：三角函数的化简与求值
例4．已知sin＝，则sin＋sin2(－x)的值为________．
说明： 本题是由必修4 课本习题改编， 根据所给角的关系，只需要用诱导公式解决角和角的关系即可，不需要用到二倍角公式以及和差角公式，所以三角化简求值的问题，首先应该考虑角与角的关系．
例5．已知0<α<<β<π，tan＝，cos(β－α)＝.
(1)求sinα的值；(2)求β的值．
变式： 若将条件改为：“0<β<α<，cosα＝，cos(α－β)＝”，如何求解？
说明：本题考查：（1）同角三角函数的基本关系和二倍角公式的应用；(2)基本变量角的选择，角的选择是三角变换的重要方面，如β＝(α＋β)－α，2α＝(α＋β)＋(α－β)等等．（3）关注角的范围对三角函数值的重要影响，此也为易错点，后面例8有类似问题。
例6．已知a＝(sinx,1)，b＝(1，cosx)，且函数f(x)＝a·b，f′(x)是f(x)的导函数．
(1)求函数F(x)＝f(x)f′(x)＋f2(x)的最大值和最小正周期；
(2)若f(x)＝2f′(x)，求的值．
说明：向量背景下的三角函数的研究主要方式是所给向量的坐标用三角函数表示，以向量的数量积构造三角函数，并且进一步对所得三角函数进行研究．其中向量仅仅在其中起到的是给命题带“帽子”的作用．
基本策略：
三角函数的化简，特别是两角和与差的正弦、余弦、正切公式应用，是每年高考的必考内容，而且是重要考查对象。08-11年都有考到，预计12仍会做为重点考查。它不仅仅在三角函数的求值、性质研究中运用，在三角形的研究和向量运算中也有运用，所以三角函数的化简是研究三角函数的基础，复习时注意积累三角函数化简的技巧．
1．三角化简和求值问题需要先建立已知角和所求角之间的关系，然后分析式子的结构和三角函数的名称，设计简化方向．
2．三角函数式的化简原则一是统一角，二是统一函数名，三是考虑升降次数；三角函数化简的方法主要是弦切互化，异名化同名，异角化同角。
3．三角函数式化简的要求：①能求出值的应求出值；②尽量使三角函数种数最少；③尽量使项数最少；④尽量使分母不含三角函数；⑤尽量使被开方数不含三角函数．
4．三角化简和求值中要关注的细节就是角的范围，特别是用平方关系求三角函数值的时候．
5．注意“1”的代换是三角恒等变换常用的技巧．
6．在近四年高考的考查中，同角三角函数关系与诱导公式没有两角和与差的公式考查力度大，基本上考查不多，但作为三角化简的基本功还是要掌握其公式的特征的．
基本题型三：解三角形
例7．若△ABC的面积为，BC=2，C=60°，则边AB的长度等于_____________.
说明：本题是2011年福建省高考题．这种与解三角形联系的三角函数求值问题在高考中也是一种常见题型，其关键是要弄清图中各种量（边、角）之间的关系，合理选择正弦定理、余弦定理、三角形面积公式、三角恒等变换进行求解．事实上，本题不一定使用正、余弦定理．
例8．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c且a＝1，c＝.
(1)若C＝，求A； (2)若A＝，求b.
错解
(1)在△ABC中，＝，∴sin A＝＝，∴A＝ 或 .
(2)由 ＝ 得 sin C＝＝，∴C＝，由 C＝ 知B＝，∴b＝＝2.
第(1)问产生了增解.第(2)问失了一个解b＝1.
失分原因与防范措施
在第（1）问中，没有注意到aA，所以C可以是锐角，也可以是钝角.在解决此类问题时应注意两点：①三角形内角和为π.②比较两边的大小关系.
说明：三角形中要注意正余弦定理以及三角形边长和角之间关系的运用，其中角的范围是这类问题在处理时务必要注意的细节．判断解的情况的基本依据是三角形中大边对大角．
例9．设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知a＝1，b＝2，cosC＝.
(1)求△ABC的周长；
(2)求cos(A－C)的值．
说明：本题主要考查三角函数的基本公式和解三角形的基础知识，同时考查基本运算能力．解三角形主要应用正弦定理和余弦定理．正弦定理解决的是已知三角形两边和其中一边的对角或者三角中的两内角及一边，余弦定理解决的是已知三角形两边及其夹角或者已知三角形三边的两类问题．在解题中只要分析清楚了三角形中的已知元素，就可以选用这两个定理中的一个求解三角形中的未知元素．比如本题第(1)问选择余弦定理，而第(2)问选择正弦定理是解决问题的关键．
例10．[2011·江苏卷] 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.
(1)若sin＝2cosA, 求A的值；
(2)若cosA＝，b＝3c，求sinC的值．
说明：本题主要考查三角函数的基本关系式、两角和的正弦公式、解三角形，考查运算求解能力
基本策略：
1．条件中给出了三角形中的边角关系，应利用正弦定理或余弦定理将条件统一到边或统一到角．
2．当已知三角形的两边和其中一个边的对角求解第三边时，可以使用正弦定理，也可以使用余弦定理，使用余弦定理就是根据余弦定理本身是一个方程，这个方程联系着三角形的三个边和其中的一个内角，在这类试题中要注意方程思想的运用；一个含有三角形三边的平方和、差和两边之积的方程，相当于在余弦定理中把其中的一个内角的余弦数值化了，就相当于知道了其中一个内角的余弦值．余弦定理的一个重要功能是可以根据三角形三边的比例关系求出三角形的内角．
3．正弦定理揭示了三角形三边和其对角正弦的比例关系，余弦定理揭示了三角形的三边和其中一个内角的余弦之间的关系．正弦定理可以把各边的比值和各个内角正弦的比值之间相互转化，余弦定理只要知道了三角形三边之间的比例关系即可求出其中的内角．
在二轮复习过程中，对于三角函数的复习应突出以下重点：
1．三角函数的图象、周期性、单调性、奇偶性等性质以及图像的对称性，充分体现数形结合的思想．
2．三角函数与代数、几何、向量的综合联系，尤其是以图形为背景的一类数学问题．
3．三角恒等变换的核心是根据角之间的关系，选择适当的三角公式，特别多关注两角和与差的公式的应用，在求值时还应强调三角函数值的符号由角的范围确定．
4．上述一些例题仅供参考，教学中应适当增加一些相似题、变式题，同时还需选择一定量的练习加以巩固．
5．本单元二轮专题和课时建议：
专题 内容说明 课时
第一课时 三角函数的图像与性质 三角函数的值域、奇偶性、单调性、周期性，图像的对称性与变换 1-2
第二课时 三角函数的化简与求值 诱导公式，同角三角函数关系、两角和与差的三角函数，二倍角公式、辅助角变形 2-3
第三课时 解三角形（含三角应用题） 正余弦定理的应用，三角函数与向量等知识的综合应用． 2-3应用题归类分析及应对策略
一、试题特点
2011全国35套(不包括江苏)试卷的应用题中，只有考查湖北、湖南理考查了分段函数，湖南文考查了数列应用题，山东考查了函数与导数，上海浙江没有应用题（含概率），其余省市都是考查了概率与统计.
2010全国36套(不包括江苏)试卷的应用题中，只有陕西(理)、福建(文、理)考查了解三角形，其余省市都是考查了概率与统计.
2009全国36套(不包括江苏)试卷应用题中，只有湖北(文) 考查了基本不等式（函数），福建（理）、辽宁、宁夏考查了解三角形, 上海考查函数，其余都是概率与统计.
2011年－2003年江苏高考应用题类型：
2011 包装盒问题（几何背景：实则为几何问题代数化）
2010 测量问题：几何背景：解直角三角形与基本不等式 填空题14 函数与导数的应用
2009 利润问题：基本不等式 销售背景：
2008 几何最值（费马点）问题：函数与导数（几何背景：几何问题代数化）
2007 概率
2006 体积最值问题：函数与导数（几何背景：几何问题代数化）
2005 概率
2004 线性规划
2003 概率
数学应用题的发展趋势：越来越去生活化，数学化，实际建模的要求越来越低.
江苏高考的应用题，06（蒙古包体积问题）、08（费马点距离问题）、10（解三角形测量问题）、11（包装盒体积问题）年都是几何背景，只有09年是销售问题（买进与卖出）.其中08（费马点距离问题）、10（解三角形测量问题）、11（包装盒体积问题）题目给出自变量，06（蒙古包体积问题）、09（销售问题买进与卖出）需要学生自己变量.
数学应用性问题是江苏历年高考命题的主要题型之一，也是考生失分较多的一种题型.解答这类问题有一个宏观的解题程序表：
步骤1：将一个实际问题转化为一个数学问题，进行数学化设计.
步骤2：将一个数学问题化归为一个常规问题，进行标准化设计.
步骤3：求解常规数学问题或是解方程、或是证明(求解)不等式、或是函数求极值、或是几何求值、几何论证、或是解三角形等等.很多情况下，步骤之间没有明显的界线，是环环相扣、一气呵成.
但仅仅有这个表或者告诉学生这个解题程序，学生是不会解题的，因为能否很好得完成步骤1反映了学生的数学素养，能否很好得完成步骤2反映了学生的数学技能，数学技能可以通过一定的训练形成，但数学素养不是几节课或是几天课就能形成的，它需要长期的有意识的培养才能较好地形成.学生不能完成步骤1，那完成后面的步骤就无从谈起.因此我们在平常的教学中，应时刻关注学生素养的培养，同时还要把这个宏观的解题程序表细致化，使得应用题的解法具有较好的可操作性.
仔细分析江苏高考应用题，除去概率题目外，其它的题目不论是函数、不等式、线性规划、三角，还是几何问题，都有一个共同的特征，那就是变量. 函数与导数问题是单变元问题，线性规划是双变元问题，高中阶段的基本不等式问题是双变元问题，但由于两变元之间往往有一定的联系，所以其本质是单变元问题.因此要很好地解决应用性问题，心中首先应有强烈的变量意识，对学生来讲能从变元角度思考问题，就等于抓住了解应用性问题的“牛鼻子”，若能再适当了解一些应用性问题的常见背景，那么解决应用性问题就更是如虎添翼了.所以在应用问题的复习教学中，应紧紧把握变元这条主线，这应该是应用题复习教学的重点，例题选择侧重于不同背景的问题，对于同一问题注重变式（背景变换）教学，以利于学生能更好得弄清各变元之间的关系，这应该是应用题复习教学的难点.
“抓重点，变元思想是主线；破难点，变式教学是关键.”
具体教学操作举例如下：
教学路线图：
从给定变元→选择变元；
从给定模式→背景变换（变式教学）；
从单一主元→多参变元.
例、有一块边长为4的正方形钢板，现将其切割、焊接成一个长方体形无盖容器（切、焊损耗忽略不计）．有人应用数学知识作了如下设计：如图（a），在钢板的四个角处各切去一个小正方形，剩余部分围成一个长方体，该长方体的高为小正方形边长，如图（b）.
（1）请你求出这种切割、焊接而成的长方体的最大容积V1.
变换背景（变式教学）
变式1:由于上述设计存在缺陷（材料有所浪费），请你重新设计切焊方法，使材料浪费减少，而且所得长方体容器的容积V2＞V1
解法1：由题中的三个重要信息，①切割、焊接；②材料浪费减少；③V2＞V1（教学中在此要强调审题的重要性：审题要慢、要品）.只需把方法1中省余的材料裁成细条接在上面的长方体的上沿即可.
解法2：为了制作简单，利于操作，只需如图分割钢板，
则V2＝2×3×1=6> V1=
解法3：如图分割钢板再焊接，也满足要求.
则V2＝（2）2× eq \f(,2) = 4 > V1=
变式2 现制作一个底面为正方形的长方体型无盖容器，请你重新设计切焊方法，使得所制作的长方体容器的容积最大.(徐州期末）
解：设容器的底面正方形边长为a，容器的高为h，下底面和四个侧面的面积和为S＝16，则由题意知a2+4ah=S,故h=
则V= a2h= a2=a· (S- a2) = (Sa – a3) (a>0)
∴V/ =0得a1=(负值舍去)
当a＜ a1时，V是a的增函数；当a＞a1时，V是a的减函数.
∴ 当a =时有最大容积，最大容积为＝≈6.16.
上面的变式实质是在条件a2+4ah=S为定值时，求V= a2h最大值.学生可把多变元化为一元函数问题用导数求解；也可采用双变元，利用基本不等式求最值，问题变为在约束条件a2+4ah=S下，求a2(2ah)(2ah)的最大值.
变式3 若要把制作长方体容器改为制作圆柱型无盖容器，请你重新设计切焊方法，使得所制作的长方体容器的容积最大.问题变为在约束条件πr2+2πrh=S下，求V＝πr2h的最大值，解法同上.
理论可求，实际操作会非常繁琐(如何制作圆？)
请学生谈谈对上述解法的感受.
如图的所示的制作方法应是实际操作中的较好的选择，体积接近最大值，又操作简单.
从数学的角度来看，长、宽、高分别为1，2，3，大小是整数值又比较接近.
对于较好的班级可以增加以下变式：
变式4 请你重新设计切焊方法，使得所制作的无盖长方体容器的容积最大.
解：设容器的底面边长分别为a,b，容器的高为h，下底面和四个侧面的面积和为S＝16，则由题意知
ab +2(a+b)h=S，求V＝abh的最大值.
二、基本题型与基本策略：
基本题型一：
例1. (南京盐城2012届一模)．17．(本小题满分14分)
在综合实践活动中,因制作一个工艺品的需要,某小组设计了如图所示的一个门(该图为轴对称图形),其中矩形的三边、、由长6分米的材料弯折而成,边的长为分米()；曲线拟从以下两种曲线中选择一种:曲线是一段余弦曲线(在如图所示的平面直角坐标系中,其解析式为),此时记门的最高点到边的距离为；曲线是一段抛物线,其焦点到准线的距离为,此时记门的最高点到边的距离为.
(1)试分别求出函数、的表达式；
(2)要使得点到边的距离最大,应选用哪一种曲线 此时,最大值是多少
从阅卷情况看，得分并不理想，函数关系都给出了，为什么还解不好啊？是哪个环节出问题了，题目懂了吗？计算参过关吗？需要好好思考，怎样把这类问题搞定！
例2．（2008江苏高考17）（本题满分14分）某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD的顶点A，B及CD的中点P处，已知AB＝20km，CB＝10km，为了处理三家工厂的污水，现要在矩形ABCD的区域上（含边界），且A，B与等距离的一点O处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道AO，BO，OP，设排污管道的总长为ykm.
（1）按下列要求写出函数关系式：
①设∠BAD=θ(rad)，将y表示成的θ函数关系式
②设OP=x(km)，将y表示成x的函数关系式
（2）请你选用（1）中的一个函数关系式，确定污水处理厂
的位置，使三条排污管道总长度最短。
例3．全国高考西红柿种植问题（题目略）
基本策略：这一类应用题特点是命题者已经选好主变元，降低了应试的难度，第一问只要考生弄清多变元中主变元（自变量）与各变元的之间关系从而得到等量关系即可，难点定位在第二问（完成步骤2），主要考查学生的数学技能.对于这样的应用题，老师在讲解时往往一带而过，不注重挖掘、提炼其中解题程序和方法，其实这样的问题完全可以让学生解后反思，教师事先设计的问题可以集中在让学生提炼分析问题的中变量及各变量之间的关系，比如在例1（或例3）中，可提出这样的问题：
问题中共有几个变量（时间、价格、销量、销售额）？
随着时间的变化价格（或销量）如何变化？
销售额如何计算？
对于例2，可以让学生对照选择不同的自变量（函数关系）对第二问中解题的影响：
选择函数关系式y=+10tanθ+10 (0<θ<)会碰到什么困难？如何解决？
选择函数关系式为y=x+(0也可以让学生实际运算对照两种解法所碰到的困难，增加学生的对哪是“好”变元的感性认识，让学生谈谈他的选择，为什么那样选择？你选的变元到底好在哪里？你能总结出“好”变元（自变量）的选择原则吗？
基本题型二：
例4．(南京2011届一模）节选)如图，在半径为30cm的半圆形（O为圆心）铝皮上截取一块矩形材料ABCD，其中点A，B在直径上，点C，D在圆周上．若将所截得的矩形铝皮ABCD卷成一个以AD为母线的圆柱形罐子的侧面（不计剪裁和拼接损耗），应怎样截取，才能使做出的圆柱形罐子体积最大？并求最大体积．
例5．（2006江苏高考）请您设计一个帐篷，它下部的形状是高为1m的正六棱柱，上部形状是侧棱长为3m的正六棱锥(如右图所示)，试问当帐篷的顶点O到底面中心O/的距离为多少时，帐篷的体积最大？
基本策略：这一类应用题特点是以几何为背景，都是变化着的几何背景，都有变化的量影响着几何图形（体）的形状，从而面(体)积也是变化的，要求学生能从变化中求出最值.
对于这类问题，老师可以引导学生从下列角度入手：
问题1：是什么在影响着几何体形状的变化？主动点（幕后的黑手）是谁？
问题2：如何把这种“影响”用一个变量来体现？
问题3：可以用选好的变量来算出的几何体体积吗？
问题4：你选择的变量是“好”变量吗？
例6．（2011届南通二模）如图，实线部分的月牙形公园是由圆P上的一段优弧和圆Q上的一段劣弧围成，圆P和圆Q的半径都是2km，点P在圆Q上，现要在公园内建一块顶点都在圆P上的多边形活动场地．
（1）如图甲，要建的活动场地为△RST，求场地的最大面积；
（2）如图乙，要建的活动场地为等腰梯形ABCD，求场地的最大面积．
变化着的几何背景，变元在哪儿？
想明白了，怎样表述？
【解】（1）如右图，过S作SH⊥RT于H，
S△RST=……………………2分
由题意，△RST在月牙形公园里，
RT与圆Q只能相切或相离； ……………………4分
RT左边的部分是一个大小不超过半圆的弓形，
则有RT≤4，SH≤2，
当且仅当RT切圆Q于P时（如下左图），上面两个不等式中等号同时成立．
此时，场地面积的最大值为S△RST==4（km2）． ……………………6分
（2）同(1)的分析，要使得场地面积最大，AD左边的部分是一个大小不超过半圆的弓形，
AD必须切圆Q于P，再设∠BPA=，则有
．………8分
令，则
． ………………… 11分
若，，
又时，，时，， …………………14分
函数在处取到极大值也是最大值，
故时，场地面积取得最大值为（km2）． …………………16分
基本题型三：
例7．（2009江苏高考19 (本小题满分16分) ）按照某学者的理论，假设一个人生产某产品的单件成本为a元，如果他卖出该产品的单价为m元，则他的满意度为；如果他买进该产品的单价为n元，则他的满意度为. 如果一个人对两种交易（卖出或买进）的满意度分别为h1和h2，则他对这两种交易的综合满意度为.现假设甲生产A,B两种产品的单件成本分别为12元和5元，乙生产A,B两种产品的单件成本分别为3元和20元. 设产品A,B的单价分别为mA元和mB元，甲买进A与卖出B的综合满意度为h甲，乙卖出A与买进B的综合满意度为h乙.
(1) 求h甲和h乙关于mA，mB的表达式；当mA＝mB时，求证：h甲＝h乙；
(2) 设mA＝mB 当mA，mB分别为多少时，甲、乙两人的综合满意度均最大？最大的综合满意度为多少？
(3) 记(2)中最大的综合满意度为h0，试问能否适当选取mA，mB的值，使得h甲≥h乙和h乙≥h0同时成立，但等号不同时成立？试说明理由.
基本策略：根据09江苏高考命题组的说明，这是一道在函数概念、函数最值及基本不等式的交汇处命制的自编题，重在考查学生运用函数知识解决实际问题的能力以及数学建模的能力.试题背景贴近生活实际，只要学生具有较强的数学阅读能力，建模并不困难，着重考查学生的数学素质，属难题.预测难度系数为0.21，预测均分为3.3.对于变量多，等量关系复杂的问题，要让学生理清各变量之间的关系，最好的方法是列表，在教学中可引导学生从下列角度思考问题：
题中有哪些变量？变量之间有怎样的变化关系？你能列一个表格来表示各变量之间的关系吗？
列表：
甲 生产成本 卖出单价 卖出满意度 买入单价 买进满意度 综合满意度h甲
A 12 mA＝mB ＝eq \F(12, mB +12) eq \R(,eq \F(12, mB +12)·)
B 5 mB
乙 生产成本 卖出单价 卖出满意度 买入单价 买进满意度 综合满意度h乙
A 3 mA＝mB ＝eq \F(mB, mB +3) eq \R(,eq \F(mB, mB +3)·)
B 20 mB
列表手段，思路清晰自然，学生很快就可以理顺复杂的变量关系，不仅具有很好的可操作性，而且变量关系一目了然，“好”变元暴露无遗，大大降低了步骤1（实际问题数学化）的难度，使得学生能顺利通过应用问题最难的一关：阅读关，也为学生完成后面的问题打下了良好的基础.
基本题型四：(解析几何、三角、数列、概率、统计….)
例8．（南京模考与数列有关的问题）某企业2003年的纯利润为500 万元，因设备老化等原因，企业的生产能力逐年下降，若不进行技术改造，预计从今年起每年比上一年纯利润减少20万元。今年初该企业一次性投资600万元进行技术改造，预计在未扣除技术改造资金的情况下，第n年(今年为第一年)的利润为500(1+)万元(n为正整数)。
(Ⅰ)设从今年起的前n年，该企业不进行技术的改造的累计纯利润为An万元，进行技术改造后的累计纯利润为Bn万元(须扣除技术改造资金)，求An、Bn的表达式；
(Ⅱ)以上述预测，从今年起该企业至少经过多少年，进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润？
说明：数列的应用题虽然不像函数应用题地位重要，但也不要轻视，它毕竟也是课本上的内容，其实数列应用问题不过就是等差或等比的问题，这两个类问题都可以归结为利润问题，单利是等差，复得是等比，因此在二轮的复习过程中，也可以就单利与复利问题入手总结出数列应用题的这两类问题，上面的例题既有等差问题也有等比的问题.
例9．（南京模考与三角有关的问题）如图，港口B在港口O正东方向120海里处，小岛C在港口O北偏东60方向、港口B北偏西30方向上．一艘科学考察船从港口O出发，沿北偏东30的OA方向以20海里/小时的速度驶离港口O，一艘快艇从港口B出发，以60海里/小时的速度驶向小岛C，在C岛装运补给物资后给考察船送去．现两船同时出发，补给物资的装船时间要1小时，问快艇驶离港口B后最少要经过多少小时才能和考察船相遇？
例10．（2009宁夏海南卷文）
如图，为了解某海域海底构造，在海平面内一条直线上的A，B，C三点进行测量，已知AB＝50m，BC＝120m，于A处测得水深AD=80m，于B处测得水深BE=200m，于C处测得水深CF＝110m，求∠DEF的余弦值.
例11．（2007山东理20）如图，甲船以每小时30海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的北偏西1050方向的B1处，此时两船相距20海里，当甲船航行20分钟到达A2处时，乙船航行到甲船的北偏西1200方向的B2处，此时两船相距10海里，问乙船每小时航行多少海里？
说明：解三角形是一大类应用问题，上面的例题中△DEF中没有已知元素，需要学生自己找到三角形可解的条件，通过分割把非三角形变为可解的三角形，虽然问题不复杂，但要求学生要有良好的解三角形的素养，要有判断一个三角形是否可解的能力，要求什么？怎样才能可解？条件到哪儿去找？
例12．（南京模考概率问题）某学校的篮球队、羽毛球队、乒乓球队各有10名队员，某些队员不止参加了一支球队，具体情况如图所示，现从中随机抽取一名队员，求：
（1）该队员只属于一支球队的概率；
（2）该队员最多属于两支球队的概率．
例13．（南京06模考与解析几何有关的问题）某校兴趣小组运用计算机对轮船由海上驶入内陆海湾进行了一次模拟试验．如图，内陆海湾的入口处有暗礁，图中阴影所示的区域为暗礁区, 其中线段AA1，B1B，CC1，D1D关于坐标轴或原点对称，线段B1B的方程为y=x，x∈[a,b]，过O有一条航道．
有一艘正在海面上航行的轮船准备进入内陆海湾，在点M(-eq \F(,2)a,0)处测得该船发出的汽笛声的时刻总比在点N(eq \F(,2)a,0)处晚1 s（设海面上声速为a m/s）.若该船沿着当前的航线航行．（不考虑船的体积）
(Ⅰ)问兴趣小组观察到轮船的当前的航线所在的曲线方程是什么
(Ⅱ)这艘船能否由海上安全驶入内陆海湾？请说明理由．
基本策略：以上各问题与实际生活联系并不是很紧密，问题的数学特征明显，完成步骤1（实际问题数学化）不会很困难，学生只要从变量的角度入手，分析问题中呈现的各变量，复杂问题通过列表理顺各变量之间的关系，恰当选择出“好”变量，就能很快把实际问题数学化，对于数学技能熟练的学生，也能迅速把数学标准化问题转化为常规问题.因此从变量的角度入手，抓出“好”变元，通过列表显化变量关系是非常有效的通用的应用题解题手段.当然要解好应用题仅仅靠从变量的入手思考是远远不够的，更重要的是学生的综合能力的提高，包括学生数学技能的不断提高，这个提高是一个螺旋上升的过程，也是一个综合过程，我们在教学中不可操之过急，要有一个长期的教学主线.有些学生通过苦练数学技能或技巧也能有效促进应用题解题能力的形成，“只有想得妙，才能解得好”，对于一部分优秀学生有技巧较强的解法，我们在教学中要做到合理引导，主张通性通法，不排斥巧思妙想，但老师应了解这些解法，研究这些想法，不断丰富我们对问题的认识.
限于时间和篇幅，本讲仅仅就应用问题如何进行数学化设计进行了通用方法的探讨，希望能抛砖引玉，对各位老师的教学有一点帮助，欢迎提出宝贵意见.
三、二轮专题与课时建议：
专题 内容说明
第一课时 简单的应用题 侧重于“好” 变元明显的应用题，着重于学生提练方法，初步掌握思考问题的角度，形成“好”变元的选择标准 以小题训练为主，重在提练方法
第二课时 复杂的应用题 侧重于与实际生活联系密切及变量关系的应用题，着重于学生应用“好”变元的选择标准去选择主变元，提高学生分析及解决问题的能力. 精选典型例题，讲准讲透
第三课时 其它类型应用题 巩固学生的数学解题技能，拓宽学生的认知面，提高学生解决应用题的能力和速度. 控制难度，注重覆盖面
第17题
A
D
C
B
O
x
y
A
B
C
D
O
D
A
C
B
Q
P
N
M
R
S
M
N
P
Q
T
东
北
O
C
B
A
D
东
北
O
C
B
A
北
乙
甲
北
乙
甲
5
羽毛球
篮球
2
1
2
3
4
乒乓球
3解析几何二轮复习建议
一、高考地位与考查要求：
解析几何的本质是用坐标法研究问题，即用代数方法研究图形的几何性质．通过坐标系，把点和坐标、曲线和方程等联系起来，沟通了几何与代数之间的联系，体现了数形结合的重要数学思想．由于解析几何既能够突出数学基础知识和基本技能的考查，也能体现数学基本能力，如推理论证、运算求解等能力的综合考查，因此成为每年高考的重要考查内容．经统计，2011年全国各地高考18套试题的必做题中（每套试题含文理卷各1份），解析几何的小题文科卷共有29道，理科卷共有28道，解答题文科卷与理科卷都有18道，部分试题还含有“坐标系与参数方程”的选做题，由此可见解析几何在高考中的重要地位．
当然，解析几何在江苏高考中的地位已随着新课改较以前有所变化，考查的方向与其它地区也有所不同．2012年江苏省高考《考试说明》具体考查要求如下：
内 容 要 求
A B C
平面解析几何初步 直线的斜率与倾斜角 √
直线方程 √
直线的平行关系与垂直关系 √
两条直线的交点 √
两点间的距离，点到直线的距离 √
圆的标准方程与一般方程 √
直线与圆、圆与圆的位置关系 √
空间直角坐标系 √
圆锥曲线与方程 中心在坐标原点的椭圆的标准方程与几何性质 √
中心在坐标原点的双曲线的标准方程与几何性质 √
顶点在坐标原点的抛物线的标准方程与几何性质 √
圆锥曲线与方程（附加题部分） 曲线与方程 √
顶点在坐标原点的抛物线的标准方程与几何性质 √
坐标系与参数方程（附加题部分） 坐标系的有关概念 √
简单图形的极坐标方程 √
极坐标方程与直角坐标方程的互化 √
参数方程 √
直线、圆及椭圆的参数方程 √
参数方程与普通方程的互化 √
参数方程的简单应用 √
不难发现，必做题部分含A级点3个，B级点6个，C级点2个；附加题部分含A级点2个，B级点7个．结合考查要求分析2012年对解析几何的考查，填空题可能还会以考查基础知识为主，曲线的基本量、方程与位置关系等知识是重点内容；解答题与近几年高考一样，除了兼顾基础知识与基本技能外，一般会突出对综合运用能力的考查，定点、定值问题与最值、范围问题应该是热点．另外，在理科附加题中极坐标方程与直角坐标方程的互化、参数方程与普通方程的互化无疑也是主要考查内容．
二、基本题型与基本策略：
基本题型一：求曲线的基本量
例1．（2011湖北卷文）过点(－1，－2)的直线l被圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0截得的弦长为，则直线l的斜率为 ．
说明：本题主要考查直线与圆的相关基本量，如斜率、半径和弦长等．
例2．（2011辽宁卷理）已知点(2，3)在双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)上，C的焦距为4，则它的离心率为 ．
说明：本题主要考查双曲线的焦距与离心率等基本量的运算．
例3．（2011江苏卷）如图，在平面直角坐标系xOy中，M，N分别是椭圆＋＝1的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P，A两点，其中点P在第一象限．过P作x轴的垂线，垂足为C．连结AC，并延长交椭圆于点B．设直线PA的斜率为k．
（1）若直线PA平分线段MN，求k的值；
（2）当k＝2时，求点P到直线AB的距离d．
说明：本题主要考查椭圆与直线中的相关基本量，如顶点、斜率、点到直线的距离等，考查运算求解能力．
基本策略：直线的基本量有倾斜角、斜率与截距等；圆的基本量主要是圆心与半径；圆锥曲线的基本量主要有轴长、焦距、准线、渐近线与离心率等．在已知曲线方程求基本量时，首先要将方程化为标准方程，找准参数的值，记准基本量的计算公式；在已知图形中求基本量时，要明确各个量的几何意义，抓住图形特征建构方程或不等式进行求解．
基本题型二：求曲线的方程
例4．（2011辽宁卷文）已知圆C经过A(5，1)，B(1，3)两点，圆心在x轴上，则C的方程为 ．
说明：本题主要考查求圆的方程．
例5．（2011新课标全国卷理）在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为 eq \f(,2)．过F1的直线l交C于A，B两点，且△ABF2的周长为16，那么C的方程为 ．
说明：本题主要考查椭圆的定义、基本量以及求椭圆的方程．
例6．（2011南京市一模）在直角坐标系xOy中，中心在原点O，焦点在x轴上的椭圆C上的点(2，1)到两焦点的距离之和为4．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过椭圆C的右焦点F作直线l与椭圆C分别交于A，B两点，其中点A在x轴下方，且＝3．求过O，A，B三点的圆的方程．
说明：本题主要考查求椭圆与圆的方程，考查运算求解能力．
基本策略：用坐标法研究曲线，实际上要解决两大问题，其一就是要赋予曲线以方程．求曲线的方程，即是将曲线上的点所满足的几何条件转化为点的坐标所满足的代数条件，基本方法有直接法与待定系数法．用直接法求方程，要注意准确求解基本量；用待定系数法求方程，要注意方程形式的选择和解方程组时代数变形的等价转化．
基本题型三：研究曲线的位置关系
例7．（2010江苏卷）在平面直角坐标系xOy中，已知圆x2＋y2＝4上有且只有四个点到直线12x－5y＋c＝0的距离为1，则实数c的取值范围是 ．
说明：本题主要考查直线与圆的位置关系．
例8．（2012南京市一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A为椭圆＋＝1的右顶点，点D(1，0)，点P，B在椭圆上，＝．
（1）求直线BD的方程；
（2）求直线BD被过P，A，B三点的圆C截得的弦长；
（3）是否存在分别以PB，PA为弦的两个相外切的等圆？若存在，求出这两个圆的方程；若不存在，请说明理由．
说明：本题主要考查直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系，考查运算求解与推理论证能力．
例9．（2011江苏卷）同例3．
（3）对任意的k＞0，求证：PA⊥PB．
说明：本题主要考查直线的垂直关系以及直线与椭圆的相交位置关系，考查运算求解与推理论证能力．
基本策略：曲线的位置关系主要包括直线与直线、直线与圆、圆与圆以及简单的直线与圆锥曲线的位置关系．这里的问题一是位置关系的判断，二是特定位置关系下基本量的求解，如交点坐标、弦长等．一般而言，涉及到直线、圆的位置关系常用几何法，即通过几何基本量进行运算，而涉及到圆锥曲线的位置关系常用代数法，即需联立方程组进行求解．
基本题型四：研究曲线的性质
例10．（2010江苏卷）在平面直角坐标系xOy中，如图，已知椭圆＋＝1的左、右顶点为A，B，右焦点为F．设过点T(t，m)的直线TA，TB与此椭圆分别交于点M(x1，y1)，N(x2，y2)，其中m＞0，y1＞0，y2＜0．
（1）设动点P满足PF2－PB2＝4，求点P的轨迹；
（2）设x1＝2，x2＝，求点T的坐标；
（3）设t＝9，求证：直线MN必过x轴上的一定点（其坐标与m无关）．
说明：本题主要考查求简单曲线的方程，直线与椭圆的综合问题，考查运算求解与推理论证能力．
例11．（2011苏北四市一模），如图，椭圆＋＝1(a＞b＞0)过点P(1，)，其左、右焦点分别为F1，F2，离心率e＝，M，N是椭圆右准线上的两个动点，且·＝0．
（1）求椭圆的方程；
（2）求MN的最小值；
（3）以MN为直径的圆C是否过定点？请证明你的结论．
说明：本题主要考查圆与椭圆的方程及综合问题，考查运算求解与推理论证能力．
基本策略：用坐标法研究曲线的问题，其二就是利用方程研究曲线的性质．曲线的性质包括曲线的对称性、变量的取值范围以及某些曲线具有的特殊性质，如定点、定值、最值等一些不变性．解决定点、定值问题主要有两类方法，一是先通过特殊位置得出定点或定值，然后证明在一般情况下也成立；二是把所要证明为定点或定值的量表示为另外几个变量的函数或方程，然后通过化简变形，证明结果与变量无关．解决最值、范围问题主要通过寻找所求量的不等式或不等式组并加以求解，或通过构造所求量的函数，然后研究此函数的值域即可．
基本题型五：坐标系与参数方程（附加题）
例12．（2010江苏卷）在极坐标系中，已知圆ρ＝2cosθ与直线3ρcosθ＋4ρsinθ＋a＝0相切，求实数a的值．
说明：本题主要考查极坐标方程与直角坐标方程的互化．
例13．（2011江苏卷）在平面直角坐标系xOy中，求过椭圆（φ为参数）的右焦点，且与直线（t为参数）平行的直线的普通方程．
说明：本题主要考查参数方程与普通方程的互化．
基本策略：选修“坐标系与参数方程”的核心是两类互化，即极坐标方程与直角坐标方程的互化、参数方程与普通方程的互化，特别是将极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程．通过互化，将问题化归为直角坐标系下的普通方程是常见处理方法．此外，还需熟悉几类简单曲线的极坐标方程以及直线、圆与椭圆的参数方程，并会简单应用圆、椭圆的参数方程解决一些最值、范围问题．
三、二轮专题与课时建议：
专题 内容说明
第一课时 曲线的基本量 直线、圆与圆锥曲线的相关基本量 以小题为主
第二课时 曲线的方程 直线与圆的几种方程形式，圆锥曲线的标准方程 小题、大题均有
第三课时第四课时 曲线的位置关系（1）（2） 直线与直线、直线与圆、圆与圆以及简单的直线与圆锥曲线的位置关系 小题、大题均有
第五课时第六课时 曲线的性质（1）（2） 主要是定点、定值问题与最值、范围问题 以大题为主
第七课时 坐标系与参数方程 极坐标方程与直角坐标方程的互化、参数方程与普通方程的互化 以大题为主（理）
x
y
O
M
A
N
B
P
C
x
y
O
A
B
P
D
x
y
O
A
B
F
x
y
O
F1
F2
N
M数列二轮复习建议
一、高考地位与考查要求
（一）数列地位
数列是刻画离散现象的数学模型，数列知识对进一步理解函数的概念和体会数学的应用价值具有重要的意义，是高中代数的重要内容之一.在高考中承载着对高中数学抽象概括能力、运算能力、建模能力、类比与化归能力等多种数学能力的考察.因此，在历届高考中，数列作为必考题，其难度属于中、高档难度.
江苏《考试说明》中的考查要求
内容 要求
A B C
数 列 数列有关概念 √
等差数列 √
等比数列 √
（二）考查动向
在2011年全国18套高考试卷中，考查数列基本量和基本性质的有天津、上海、全国、湖南、重庆、北京、广东、福建（解答题）、辽宁（解答题）、全国新课标（解答题）、山东理（解答题）， 考查数列递推的有四川、江西、安徽、江苏（解答题）、安徽（解答题）、广东（解答题），考查数列综合问题有四川、福建、湖北、江苏、北京（解答题）、湖北（解答题）、全国（解答题）、上海（解答题）、四川（解答题）、天津（解答题）、浙江（解答题）、湖南（解答题）、陕西（解答题）.
江苏08-11数列高考题考查方向：
08 填空题：第10题，关于等差数列的数阵求下标号（实际求n）；解答题：倒数第2题(考试说明上的始终不变的题).
09 填空题：第10题，关于等比数列求q；解答题：第17题(关于等差数列求基本量和求n).
10 填空题：第8题，与切线结合的等比数列求和；解答题：倒数第2题(等差数列求基本量及与不等式的综合问题).
11 填空题：第13题，等差、等比与不等式的综合；解答题：最后一题(等差数列求基本量及递推问题).
分析近两年数列高考题出现的频率和位次，发现数列在江苏高考中始终不变的是一小一大，小题为中难度题，解答题几乎都为难题，考查内容都是关于等比及等差数列的问题，小题几乎都涉及到等比数列，大题几乎都为等差数列，而且09、10和11都围绕同一个数列an=2n-1来展开设计，值得深思.这些分析说明，江苏高考数列题目与考试说明上的C级要求是一致的，即系统地掌握知识的内在联系，并能解决综合性较强的或较为困难的问题，因此数列是江苏数学高考的一个重要的内容.高考题型一般有三种：
1、关于等差、等比数列的基本量问题，一般是求项、求和，较高的要求是求项数n(如2009第17题)；
2、通过递推或探索来判断数列及其性质的问题，常用的方法有累加、累乘法；
3、等差、等比数列与方程、不等式或简单的整数问题的综合(一般不与函数综合).
如果数列问题出现在最后一两题，则是综合性很强的问题，大多以数列为考查平台，综合运用函数、方程、不等式、简单数论等知识，通过运用递推、函数与方程、归纳与猜想、等价转化、分类整合等各种数学思想方法，考查学生灵活运用数学知识分析问题、解决问题的能力和数学探索创新的能力.
二、基本题型与基本策略
基本题型一：运用基本量思想解决等差、等比数列的求项、求和问题
例1.（1）（2011辽宁理17） 已知等差数列{an}满足a2=0，a6+a8=-10.
①求数列{ an }的通项公式；②求数列的前n项和．
说明：这是一道典型的运用基本量思想求数列和的问题，根据a2=0，a6+a8=-10，可以列出关于的方程两个二元一次方程方程，通过加减消元或带入消元接出的值；同时注意到个方程数列项下标特征，根据等差数列的性质a6+a8=2a7=-10，得到a7=-5，从而d=( a7- a2)=-1.
变式：（2010全国卷Ⅰ理科数学4）已知各项均为正数的等比数列中，=5，=10，则
说明：表面看这是一道可以用基本量思想解决的问题，但在实际操作过程中发现，使用基本量列出方程组计算量较大，要得到结果还需借助指数幂的运算性质，易出错.如果仔细观察已知条件与所求结论的关系，不难发现，，，运用等比数列的性质可以很快得到选择恰当的方法有时可以大大简化我们的计算，为考试赢得宝贵的时间，而恰当方法的选择，借助于我们认真审题和知识的融会贯通.
（2）等差数列 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )中，且成等比数列，求数列前20项的和．
说明：这也是一道典型的运用基本量思想求数列和的问题，同时也是一道简单地将等差数列和等比数列组合在一起的问题，通过和成等比数列可以直接列出两个关于基本量的方程组：，此方程组是由一个二元一次与一个二元二次方程组合而成，宜采先化简再带入消元法的方法求解，第二个方程可化简为，学生特别容易将d直接消去，导致漏解的错误.最终结果=200或330.此种题型方法常规，思路明确，计算量适中，属容易题.
例2.（2011全国新课标理17） 已知等比数列的各项均为正数，且．
①求数列的通项公式；②设，求数列的前n项和．
说明：①设数列{an}的公比为q，由得所以．由条件可知q>0，故．
由得2a1+3a1q=1，所以．故数列{an}的通项式为an =．②略.
例3. (江苏2010、19、（本小题满分16分）)设各项均为正数的数列的前n项和为，已知，数列是公差为的等差数列。①求数列的通项公式（用表示）；②略.
说明：解决这个问题的关键是学生要弄清楚哪个数列是等差数列，是，不是，所以问题求解应围绕着等差数列展开，因为＝＋(n-1)d，所以Sn=[＋(n-1)d]2，基本量应是和，由题意是已知量，故只需求出，把题目条件转换为即，代入Sn=[＋(n-1)d]2得，，化简，得：，
，当时，，适合情形.故所求.第一问对南京的大部分学生是有难度的，但是作为数列的第一问又是必须要掌握的.
基本策略：等差、等比数列是两类最基本的数列，它们的通项公式、前n项和的公式中均含有两个基本量，因此数通过基本量思想求解等差等比的通项和前n项和是高考考查的重点也是热点.在运用基本量思想解决问题时，要注意以下两个方面：
1、基本两思想在解决问题时比较程序化，认真审题选择恰当的方法是关键，有两个性质有时可以简化我们的计算（在等差数列中，若则在等比数列中若则）；
2、在计算过程中注意观察表达式的特征，灵活地运用计算方法．在等差数列求和的问题中，首先是确定通项，选择恰当的求和公式，在等比数列求和中要注意q =1的情况单独讨论.
3、应不断强化学生头脑中的等差及等比数列的意识，认真分析题目中的条件，看清“谁”是等差或等比数列，那么解题中就应紧紧抓住这个数列不放.
基本题型二：与递推有关的数列问题
例4. （2011四川理8）数列的首项为，为等差数列且．若则，，则_______.
说明：由已知知由叠加法
一般地，使用累加法求通项的递推形式为，使用累乘法求通项的递推形式为，使用错位相减法求和的通项公式为.
例5. (江苏2010、8)函数y=x2(x>0)的图像在点(ak,ak2)处的切线与x轴交点的横坐标为ak+1,k为正整数，a1=16，则a1+a3+a5=________.
说明：此题不难，但题目很长，等差还是等比要通过层层运算才能确定，需要学生具备较好的运算能力，
由题意，在点(ak,ak2)处的切线方程为：当时，解得，所以又a1=16，所以数列{an}为等比数列，.对于这样不难但运算很长的题目，也是南京不少学生的薄弱环节，平时在教学中要告诫学生，要静下心来认真运算，那怕慢一点，也要确保正确.
例6. （2011江苏20）设Ｍ为部分正整数组成的集合，数列，前n项和为，已知对任意整数kM，当整数都成立
设①设的值；②设的通项公式.
说明：①由题设知，当，在表达式中同时出现an，S n，但题目是求a5，所以采用的方法是运用公式，将表达式转化为都关于an的式子，然后再进行求解. 所以
， 从而所以数列{an}是等差数列.
所以的值为8. ②略.
基本策略：一般数列的求项求和问题大多以递推通项为背景，通过常见的公式、累加、累乘、构造等方法对递推公式进行变形，最终转化为我们熟知的等差、等比数列的定义式进行求解，有时候在构造过程中我们会用到多种构造方法，但最后的目的还是将未知的数列转化为我们已知的数列进行求解. 公式要求每一个学生都掌握并会运用，其它类型的递推，由于类型较多，根据江苏教学要求及历年高考中考查的问题，一般要求不高，复习时建议不同层次的学校根据学生特点进行复习，几种基本的递推模型人人掌握，对于变形巧妙，难度较大的问题，讲解时可预设台阶或视学生情况选讲.
基本题型三：数列的综合问题（与不等式、方程等知识的综合）
例7. 数列是等比数列，＝8，设（），如果数列的前7项和是它的前n项和组成的数列的最大值，且，求的公比q的取值范围．
说明：这是一道较为简单的数列与函数、不等式结合的问题，解题步骤如下：
因为{}为等比数列，设公比为q,由
则，
∴{}为首项是3，公差为的等差数列；由最大，且
∴ ∴
∴且 ∴
∴ ∴ 即
从解题的过程可以看出此题运用到对数运算性质、简单对数不等式的解法，数列在题中作为问题的载体，仅用到基本的等差等比通项知识.
例8. (江苏2009、10)设是公比为的等比数列，令若数列有连续四项在集合中，则 .
说明：基础不好的学生会不知所措，找不到下手的地方，若学生能抓住等比数列不放，则问题转化为数列有连续四项在集合中，到此，学生可逐一作商寻找，也可利用性质，注意到五个数中有三正两负，根据等比数列的性质，等比数列的项只能是正负相间，又故数列的连续四项应为18，－24，36，－54. 本题的命题意图本题主要考查等比数列的基本概念，对于公比为负的等比数列的基本结构要有比较清晰的理解；可以直接计算求解，也可利用等比数列的性质求解.考查学生灵活运用知识的能力.本题属难题. 由于不同层次的学生会选用优劣不一的方法，解题效率上会有差异，决定了本题具有较好的区分度.
例9．(江苏2011、13)设，其中成公比为q的等比数列，成公差为1的等差数列，则q的最小值是________.
说明：有等差又有等比，基本量在哪儿，注意到已知d=1，所以a2为等差的基本量，先用基本量表示已知条件得，再注意到结论为求q的最小值，所以a2+1、a2+2应尽可能的小，故a2＝a1＝1，可得，所以，，，.
这是一道与不等式结合的数列综合题，要想快速求解需要学生有较好的数学素养，甚至解题过程还需要直觉的成份，显然死记硬背式的学习对解决这样的问题是行不通的的，因此在数列教学中，我们更要关注学生对数列的深入理解，以及数学素养的教育.
例10. （1）设 …，是各项均不为零的n (n≥4) 项等差数列，且公差d≠0，若将此数列删去某一项后得到的数列（按原来的顺序）是等比数列．
（i）当时，求的数值；（ii）求的所有可能值．
（2）求证：存在一个各项及公差均不为零的 () 项等差数列, 任意删去其中的k项（1≤k≤n－3），都不能使剩下的项（按原来的顺序）构成等比数列．
说明：本题以等差数列、等比数列为平台，主要考查学生的探索与推理能力．本题属难题．
首先证明一个“基本事实”：
一个等差数列中，若有连续三项成等比数列，则这个数列的公差d0＝0．
事实上，设这个数列中的连续三项a－d0，a，a＋d0成等比数列，则a2＝( a－d0)( a＋d0)，
由此得＝a2－d02，故d0＝0．
（1）（i）当n＝4时，由于数列的公差d≠0，故由“基本事实”推知，删去的项只可能为a2或a3．
①若删去，则由成等比数列，得．
因d≠0，故由上式得，即．此时数列为－4d，－3d，－2d，－d，满足题设．
②若删去，则由成等比数列，得．
因d≠0，故由上式得，即．此时数列为d，2d，3d，4d，满足题设．
综上可知的值为－4或1．
(ii) 当n≥6时，则从满足题设的数列…，中删去任意一项后得到的数列，必有原数列中的连续三项，从而这三项既成等差数列又成等比数列，故由“基本事实”知，数列…，的公差必为0，这与题设矛盾．所以满足题设的数列的项数n≤5．又因题设n≥4，故n＝4或5．
当n＝4时，由（i）中的讨论知存在满足题设的数列．
当n＝5时，若存在满足题设的数列，则由“基本事实”知，删去的项只能是，从而成等比数列，故，及．
分别化简上述两个等式，得及，故，矛盾．因此, 不存在满足题设的项数为5的等差数列．综上可知n只能为4．
（2）我们证明：当一个等差数列 …， (n≥4) 的首项b1与公差d’之比值为无理数时，此等差数列满足题设要求．
证明如下：
假设任意删去等差数列 …， (n≥4)中的k（1≤k≤n－3）项后，得到的新数列（按原来的顺序）构成等比数列，则可令此新数列中的连续三项为（0≤m1＜m2＜m3≤n－1），于是有，
化简得 . （*）
由知，与同时为零或同时不为零．
若＝0，且＝0，则有，即，得，从而，矛盾．
因此，与都不为零，故由（*）得 ．（**）
因为均为非负整数，所以（**）式右边是有理数，而是一个无理数，所以（**）不成立．
因此, 当一个等差数列 …， (n≥4) 的首项b1与公差d’之比值为无理数时，任意删去此等差数列中的k项（1≤k≤n－3），得到的新数列（按原来的顺序）都不能构成等比数列．
基本策略：数列与函数、不等式都是高中数学重要内容，一些常见的解题技巧和思想方法在数列与函数、不等式的综合问题中都得到了比较充分的体现．以其知识交汇处为主干，构筑成知识网络型代数推理题，在高考中出现的频率高、难度大．学生遇到此类问题一般具有为难情绪，因此，建议复习时从入口低的问题入手，让学生找到解决此类问题的基本途径，建议能力稍弱的学生遇到此类问题不必强求.
三、本单元二轮专题和课时建议
专题 内容说明 注意事项
第一课时 等差等比数列基本量问题 重点侧重于基本量思想的运用，结合等差等比数列的基本性质 注重培养学生的运算能力，以填空题训练为主
第二课时 递推数列的求通项与求和 重点侧重于几个常见的递推模型及几个常用的求和方法，如分组求和法，裂项法，错位相减法 培养学生表达式的变形与转化和字母运算的能力，以解答题训练为主
第三课时 数列与方程、不等式的综合运用（一） 简单的运用函数、不等式等知识求解数列的表达式、单调性、比较大小等问题 知识的迁移与综合运用能力，以综合性解答题训练为主
第四课时 数列与方程、不等式的综合运用（二） 数列与函数、不等式的综合运用，适当加大难度（根据学生情况选讲）
第五课时 探索型、开放型问题 多种题型呈现：数阵、周期数列、存在性问题等 知识与方法的灵活运用，填空题与解答题均可出现立体几何二轮复习建议
《课程标准》中的“立体几何初步”主要是培养和发展学生的空间想象能力与几何直观能力，《考试说明》也明确指出要“重视数学基本能力和综合能力的考查”，“数学基本能力主要包括空间想象，抽象概括，推理论证，计算求解，数据处理这几方面的能力”，因此，立体几何历年都是高考重点内容之一．2011年各地高考，多数是一大一小两道立体几何题，有的是一大两小，江苏卷是正题和附加题各一道大题．最近五年江苏高考中的立体几何题的基本情况如下表：
填空题 解答题 附加题
2011年 无 16．条件：四棱锥，面面垂直，中点．结论：(1)线面平行；(2) 面面垂直． 22．条件：正四棱柱，二面角．结论：(1)求线段AM长；(2) 求线段CM长．
2010年 无 16．条件：四棱锥(底面是直角梯形)，线面垂直．结论：(1)线线垂直；(2)点到面的距离． 无
2009年 8．类比正三角形面积判断正四面体体积．12．线面关系四个命题正确命题序号． 16．条件：直三棱柱，线线垂直，中点．结论：(1)线面平行；(2) 面面垂直． 无
2008年 无 16．条件：四面体，线线垂直，中点．结论：(1)线面平行；(2) 面面垂直． 22．P是正方体的对角线BD1上一点，记=λ．当∠APC为钝角时，求λ的取值范围．
2007年 4．线面关系四个命题正确命题的序号(选择题)．14．正三棱锥底面顶点到侧面的距离． 18．条件：正方体．结论：(1)四点共面；(2)线面垂直；(3)求二面角正切值．
小题主要考查空间概念，空间想象能力，点线面位置关系判断等，难度中等(偶有中等偏上)；大题除07年外，都是2问，是以一个多面体为载体，重点考查平行与垂直的证明，难度中等，或中等偏下．但是，学生考试情况并没有想象的那么好，比较突出的问题有：空间想象能力不强，不能正确地分析图形中基本元素及其关系；推理论证能力不强(比如：有的学生判定定理与性质定理不熟悉，有的学生平面几何应用水平低，有的学生不知道正方体、直棱柱等几何体中哪些结论可以作为推理的依据哪些要经过证明)；书写不规范等．
2012年，我们应该做好应对一个填空题一个解答题的准备，二轮复习中既要巩固基本题型和基本方法，又要提高空间想象能力和推理论证能力，有条件的要适当训练非标准图形的识别、平面图形的翻折等，适当改变解答题问的形式(落脚点还是平行与垂直)，提高应变能力．在理科附加题中，要更加熟练地运用空间向量证明平行与垂直、计算空间的角，包括规范地建立空间直角坐标系，分清向量夹角与异面直线所成角、线面角、二面角．
基本题型一：空间几何体的认识及表面积与体积的计算（填空题）
例1．已知正四棱锥的底面边长是6，高为，这个正四棱锥的侧面积是 ．
说明：本题主要考查正四棱锥的结构特征、空间几何体侧面积的计算方法，属容易题．
例2．已知矩形ABCD的顶点都在半径为4的球O的球面上，且AB＝6，BC＝，则棱锥O—ABCD的体积为 ．
说明：本题主要考查球的几何特征以及相应的运算．球与其它几何体的组合问题，对空间想象能力要求较高，解决的关键是确定球心．
基本策略：涉及柱、锥、台、球及其简单组合体的侧面积和体积的计算问题，要在正确理解概念的基础上，画出符合题意的图形或辅助线(面)，分析几何体的结构特征，选择合适的计算公式，另外要重视空间问题平面化的思想和割补法、等积转换法的运用．
基本题型二：空间中点线面位置关系的判断（填空题）
例3．设α和β为不重合的两个平面，给出下列命题：（1）若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α平行于β；（2）若α外一条直线l与α内的一条直线平行，则l和α平行；（3）设α和β相交于直线l，若α内有一条直线垂直于l，则α和β垂直；（4）直线l与α垂直的充分必要条件是l与α内的两条直线垂直．上面命题中，真命题的序号是 ．（写出所有真命题的序号）
说明：这类题为高考常考题型，其实质为多项选择题．主要考查空间中线面之间的位置关系，要求熟悉有关公理、定理及推论，并具备较好的空间想象能力，做到不漏选、多选、错选，有一定难度．
例4．α、β为两个互相垂直的平面，a、b为一对异面直线，下列四个条件中是a⊥b的充分条件的有 ．
a//α，bβ；②a⊥α，b//β；③a⊥α，b⊥β；
④a//α，b//β且a与α的距离等于b与β的距离．
说明：与例3一样，本题主要考查空间线面之间的位置关系，特别是判断平行与垂直的常用方法．
基本策略：正确转换符号语言、图形语言与文字语言；构造并利用具体模型(比如长方体)，直观感知，操作确认；熟练运用4条公理、3条推论和10条定理来判断空间位置关系，通过证明或举反例来确定命题的真假．注意不要把平面几何结论简单类比到空间．
基本题型三：线线、线面、面面平行与垂直的证明（解答题）
例5．如图，在正三棱柱ABC—A1B1C1中，点D在边BC上，AD⊥C1D．
求证：AD⊥平面BB1C1C；
(2)如果E是边B1C1的中点，求证：A1E∥平面ADC1．
说明：这是《必修2》62页第17题，考查正三棱柱中的线面垂直和线面平行，实际上，还可以证明平面A1EB∥平面ADC1，平面ADC1⊥平面BB1C1C等．
09年江苏卷第16题：
如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，E、F分别是A1B、A1C的中点，点D在B1C1上，A1D⊥B1C．
求证：（1）EF∥平面ABC；
（2）平面A1FD⊥平面BB1C1C．
例6．如图，四棱锥PABCD的底面是矩形，且AB＝，E、F分别是棱AB、PC的中点．
求证：EF∥平面PAD；
（2）若点P在平面ABCD内的正投影O在直线AC上，求证：平面PAC⊥平面PDE．
说明：第（1）问方法较多，比较容易想到的有： ①取PD中点，构造平行四边形，证明线线平行；
②延长CE与DA相交，利用三角形中位性质证明线线平行；
③取CD中点，证明面面平行．
第（2）问中有关平面几何结论，一定要按照初中平面几何的要求，严格论证，不跳步．
例7．如图，四边形ABCD为矩形，AD⊥平面ABE，AE＝EB＝BC＝2，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE．
（1）求证：AE⊥BE；
（2）求三棱锥D－AEC的体积；
（3）设M在线段AB上，且满足AM＝2MB，试在线段CE上确定一点N，使得MN∥平面DAE．
说明：以多面体为载体，考查线线、线面、面面平行与垂直的判定与性质，是高考的常见题型．此类题既可以考查几何体的概念和性质，又能考查空间的线面关系，还有可以结合一些简单的运算，比较全面地考查学生的能力．本题中非常规放置的几何体及探究式的第3问，增加了难度．
基本策略：证明或探究空间中线线、线面、面面平行与垂直的位置关系，一要熟练掌握所有判定定理与性质定理，梳理好几种位置关系的常见证明方法，如证明线面平行，既可以构造线线平行，也可以构造面面平行．而证明线线平行常用的是三角形中位线性质，或构造平行四边形；二要用分析与综合相结合的方法来寻找证明的思路；三要注意表述规范，推理严谨，避免使用一些虽然正确但不能作为推理依据的结论．有条件时，可以适当涉及一些简单的计算，或是添加探究性的小问，或是在图形上作一点变化，但一定要控制难度，且最终的落脚点一定是平行与垂直．
11年三模第16题：
如图，在矩形ABCD中，AD＝2，AB＝4，E、F分别是边AB、AD的中点，现将△ADE沿DE折起，得四棱锥ABCDE．
求证：EF∥平面ABC；
若平面ADE⊥平面BCDE，求四面体FDCE的体积．
基本题型四：运用空间向量证明与计算（理科附加题）
例8．如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD平面ABCD，且PD＝DC，E是PC的中点，F是PB上一点，且EFPB．
(1) 求证：PA∥平面EDB；
(2) 求证：PB⊥平面EFD；
(3) 求二面角CPBD的余弦值大小．
说明：立体几何所讨论的问题主要有两类：一类是位置关系，判断线线、线面、面面平行或垂直关系；另一类是度量关系，求长度和角度．运用向量的方法是讨论这两类问题的通性通法．在本例中，可以利用几何体中的两两垂直的三条直线合理建立空间直角坐标系，用坐标表示有关向量，运用“算”的方法证明空间中的平行与垂直、计算二面角大小，也可以不建系，选三个不共线的向量组成基底，用来表示其它向量，再用“算”的方法证明平行与垂直、计算二面角大小．
例9．如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝，AF＝1．
（1）求二面角A—DF—B的大小；
（2）在线段AC上找一点P，使PF与AD所成的角为600．
说明：本类题主要考查寻找三条两两垂直的三条直线合理建立空间直角坐标系，通过向量计算解决空间中的夹角问题（包括线线角、线面角与二面角）的能力，是高考的常见题型．
基本策略：空间向量的基础知识可以类比于《必修4》中平面向量的相关知识进行整理与记忆；通过建立适当的坐标系，用向量来表示点，刻画直线和平面的“方向”；理解用向量判定空间位置关系、求角的原理，并掌握一般解题步骤，其中，线线角、线面角与二面角是本类题型中的重点考查对象，应加强训练．此外，在计算平面的法向量、探究点的位置等问题中，要善于运用“待定系数法”合理设出坐标，寻找满足条件的方程（组）来解决问题．
二轮专题与课时建议：
专题 内容说明
第一课时 空间几何体及其表面积与体积 多面体与旋转体、直观图、表面积和体积以小题训练为主，有条件时，训练一点展开与折叠
第二课时 空间中点线面之间的位置关系 点、线、面之间的位置关系，线线、线面、面面平行与垂直的定义、判定和性质，平行与垂直的证明与探究以大题训练为主（强调书写规范），有条件时，采用板演和面批的方法，有针对地解决问题
第三课时 空间向量与立体几何 空间向量的概念及运算、应用（判定平行与垂直、计算空间的角）以大题训练为主，抓满分率
A
B
C
A1
B1
C1
E
F
D
B
E
A
F
D
C
