江苏省南京市2012届高三数学二轮复习讲座2——三角函数二轮复习建议

三角函数二轮复习建议
三角函数内容主要有三块；一是三角函数的化简与求值；二是三角函数的图象和性质；三是解三角形．近四年江苏高考中基本上是一至两个小题、一个大题，大都是容易题和中等题，是必须要得分的内容．特别是近两年，三角函数的小题出现在第9题至第13题这一学生拿分的关键段，更应引起我们足够的重视！
2008-2011年江苏高考数学三角函数考查情况：
年份 小题 大题
2008 第1题 性质；5分 15两角和差（定义背景）； 14分
2009 第4题 图象、性质；5分 15两角和差、同角求值（向量背景）； 14分
2010 第10题 图象、同角求值；5分第13题 解三角形 ；5分 17应用题：解三角形、两角和差、基本不等式； 14分
2011 第7题 两角和差、求值；5分第9题 图象、性质；5分 15解三角形、两角和差； 14分
基本题型一：三角函数的定义、图象和性质
如图，O为坐标原点，点A，B，C均在⊙O上，
点A，点B在第二象限，点C(1,0)．
(1)设∠COA＝θ，求sin2θ的值；
(2)若△AOB为等边三角形，求点B的坐标．
说明：三角函数定义的运用在2008年高考题中出现在三角函数解答题，三角函数的定义主要是由角终边上的点坐标得到三角函数值，再进行三角化简和求值．
基本策略：
三角函数的定义建立了角的终边上点的坐标与三角函数之间的关系．从而实现两者相互转化。利用三角函数定义可以将角终边上的点坐标转化为相关角的三角函数，再进行三角化简和求值．
解题时要注意α角的始边必须与x轴正半轴重合，且角的终边与单位圆相交所得点的坐标才为(cosα，sinα)．
例2．（1） [2011·江苏卷] 函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ为常数，A>0，ω>0)的部分图象如图所示，则f(0)的值是________．
（2） [2010·江苏卷] 定义在区间上的函数y＝6cosx的图象与y＝5tanx的图象的交点为P，过点P作PP1⊥x轴于点P1，直线PP1与y＝sinx的图象交于点P2，则线段P1P2的长为______．
例2（1）图 例2（2）图
说明：这两小题都为江苏高考题，利用图像考查性质以及求值，已经连续考查三年，需重视。
例3．（1）若函数f(x)＝sinωx(ω>0)在区间上单调递增，在区间上单调递减，
则ω＝________．
（2）设函数f(x)＝cosωx(ω>0)，将y＝f(x)的图象向右平移个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则ω的最小值等于________．
说明：此类题型的考查要求虽然不高，不要深挖，但在二轮复习中还要涉及一点．
基本策略：
1．三角函数图像与性质的问题呈现的形式有三种：①正面呈现，给出三角函数解析式，研究它的性质；②给出函数的一部分性质，研究解析式及其它性质，如例3；③以图象形式呈现，给出函数y＝Asin(wx＋)的一部分图象，如例2．
2．根据三角函数的图象求解函数的解析式时，要注意从图象提供的信息确定三角函数的性质，如最小正周期、最值，首先确定函数解析式中的部分系数，再根据函数图象上的特殊点的坐标适合函数的解析式确定解析式中剩余的字母的值，同时要注意解析式中各个字母的范围．
3．在进行图象变换时，必须注意ω对平移单位的影响，即由y＝Asinωx变化到y＝Asin(ωx＋φ)时，平移量应是；但对y＝Asin(ωx＋φ)进行伸缩变换时，要注意φ是不变的．
4．解答三角函数的图象与性质类的试题，变换是其中的核心，把三角函数的解析式通过变换，化为正弦型、余弦型、正切型函数，然后再根据正弦函数、余弦函数和正切函数的性质进行研究．
基本题型二：三角函数的化简与求值
例4．已知sin＝，则sin＋sin2(－x)的值为________．
说明： 本题是由必修4 课本习题改编， 根据所给角的关系，只需要用诱导公式解决角和角的关系即可，不需要用到二倍角公式以及和差角公式，所以三角化简求值的问题，首先应该考虑角与角的关系．
例5．已知0<α<<β<π，tan＝，cos(β－α)＝.
(1)求sinα的值；(2)求β的值．
变式： 若将条件改为：“0<β<α<，cosα＝，cos(α－β)＝”，如何求解？
说明：本题考查：（1）同角三角函数的基本关系和二倍角公式的应用；(2)基本变量角的选择，角的选择是三角变换的重要方面，如β＝(α＋β)－α，2α＝(α＋β)＋(α－β)等等．（3）关注角的范围对三角函数值的重要影响，此也为易错点，后面例8有类似问题。
例6．已知a＝(sinx,1)，b＝(1，cosx)，且函数f(x)＝a·b，f′(x)是f(x)的导函数．
(1)求函数F(x)＝f(x)f′(x)＋f2(x)的最大值和最小正周期；
(2)若f(x)＝2f′(x)，求的值．
说明：向量背景下的三角函数的研究主要方式是所给向量的坐标用三角函数表示，以向量的数量积构造三角函数，并且进一步对所得三角函数进行研究．其中向量仅仅在其中起到的是给命题带“帽子”的作用．
基本策略：
三角函数的化简，特别是两角和与差的正弦、余弦、正切公式应用，是每年高考的必考内容，而且是重要考查对象。08-11年都有考到，预计12仍会做为重点考查。它不仅仅在三角函数的求值、性质研究中运用，在三角形的研究和向量运算中也有运用，所以三角函数的化简是研究三角函数的基础，复习时注意积累三角函数化简的技巧．
1．三角化简和求值问题需要先建立已知角和所求角之间的关系，然后分析式子的结构和三角函数的名称，设计简化方向．
2．三角函数式的化简原则一是统一角，二是统一函数名，三是考虑升降次数；三角函数化简的方法主要是弦切互化，异名化同名，异角化同角。
3．三角函数式化简的要求：①能求出值的应求出值；②尽量使三角函数种数最少；③尽量使项数最少；④尽量使分母不含三角函数；⑤尽量使被开方数不含三角函数．
4．三角化简和求值中要关注的细节就是角的范围，特别是用平方关系求三角函数值的时候．
5．注意“1”的代换是三角恒等变换常用的技巧．
6．在近四年高考的考查中，同角三角函数关系与诱导公式没有两角和与差的公式考查力度大，基本上考查不多，但作为三角化简的基本功还是要掌握其公式的特征的．
基本题型三：解三角形
例7．若△ABC的面积为，BC=2，C=60°，则边AB的长度等于_____________.
说明：本题是2011年福建省高考题．这种与解三角形联系的三角函数求值问题在高考中也是一种常见题型，其关键是要弄清图中各种量（边、角）之间的关系，合理选择正弦定理、余弦定理、三角形面积公式、三角恒等变换进行求解．事实上，本题不一定使用正、余弦定理．
例8．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c且a＝1，c＝.
(1)若C＝，求A； (2)若A＝，求b.
错解 　
(1)在△ABC中，＝，∴sin A＝＝，∴A＝ 或 .
(2)由 ＝ 得 sin C＝＝，∴C＝，由 C＝ 知B＝，∴b＝＝2.
第(1)问产生了增解.第(2)问失了一个解b＝1.
失分原因与防范措施
在第（1）问中，没有注意到aA，所以C可以是锐角，也可以是钝角.在解决此类问题时应注意两点：①三角形内角和为π.②比较两边的大小关系.
说明：三角形中要注意正余弦定理以及三角形边长和角之间关系的运用，其中角的范围是这类问题在处理时务必要注意的细节．判断解的情况的基本依据是三角形中大边对大角．
例9．设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知a＝1，b＝2，cosC＝.
(1)求△ABC的周长；
(2)求cos(A－C)的值．
说明：本题主要考查三角函数的基本公式和解三角形的基础知识，同时考查基本运算能力．解三角形主要应用正弦定理和余弦定理．正弦定理解决的是已知三角形两边和其中一边的对角或者三角中的两内角及一边，余弦定理解决的是已知三角形两边及其夹角或者已知三角形三边的两类问题．在解题中只要分析清楚了三角形中的已知元素，就可以选用这两个定理中的一个求解三角形中的未知元素．比如本题第(1)问选择余弦定理，而第(2)问选择正弦定理是解决问题的关键．
例10．[2011·江苏卷] 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.
(1)若sin＝2cosA, 求A的值；
(2)若cosA＝，b＝3c，求sinC的值．
说明：本题主要考查三角函数的基本关系式、两角和的正弦公式、解三角形，考查运算求解能力
基本策略：
1．条件中给出了三角形中的边角关系，应利用正弦定理或余弦定理将条件统一到边或统一到角．
2．当已知三角形的两边和其中一个边的对角求解第三边时，可以使用正弦定理，也可以使用余弦定理，使用余弦定理就是根据余弦定理本身是一个方程，这个方程联系着三角形的三个边和其中的一个内角，在这类试题中要注意方程思想的运用；一个含有三角形三边的平方和、差和两边之积的方程，相当于在余弦定理中把其中的一个内角的余弦数值化了，就相当于知道了其中一个内角的余弦值．余弦定理的一个重要功能是可以根据三角形三边的比例关系求出三角形的内角．
3．正弦定理揭示了三角形三边和其对角正弦的比例关系，余弦定理揭示了三角形的三边和其中一个内角的余弦之间的关系．正弦定理可以把各边的比值和各个内角正弦的比值之间相互转化，余弦定理只要知道了三角形三边之间的比例关系即可求出其中的内角．
在二轮复习过程中，对于三角函数的复习应突出以下重点：
1．三角函数的图象、周期性、单调性、奇偶性等性质以及图像的对称性，充分体现数形结合的思想．
2．三角函数与代数、几何、向量的综合联系，尤其是以图形为背景的一类数学问题．
3．三角恒等变换的核心是根据角之间的关系，选择适当的三角公式，特别多关注两角和与差的公式的应用，在求值时还应强调三角函数值的符号由角的范围确定．
4．上述一些例题仅供参考，教学中应适当增加一些相似题、变式题，同时还需选择一定量的练习加以巩固．
5．本单元二轮专题和课时建议：
专题 内容说明 课时
第一课时 三角函数的图像与性质 三角函数的值域、奇偶性、单调性、周期性，图像的对称性与变换 1-2
第二课时 三角函数的化简与求值 诱导公式，同角三角函数关系、两角和与差的三角函数，二倍角公式、辅助角变形 2-3
第三课时 解三角形（含三角应用题） 正余弦定理的应用，三角函数与向量等知识的综合应用． 2-3