江苏省南京市2012届高三数学二轮复习讲座5——解析几何二轮复习建议

解析几何二轮复习建议
一、高考地位与考查要求：
解析几何的本质是用坐标法研究问题，即用代数方法研究图形的几何性质．通过坐标系，把点和坐标、曲线和方程等联系起来，沟通了几何与代数之间的联系，体现了数形结合的重要数学思想．由于解析几何既能够突出数学基础知识和基本技能的考查，也能体现数学基本能力，如推理论证、运算求解等能力的综合考查，因此成为每年高考的重要考查内容．经统计，2011年全国各地高考18套试题的必做题中（每套试题含文理卷各1份），解析几何的小题文科卷共有29道，理科卷共有28道，解答题文科卷与理科卷都有18道，部分试题还含有“坐标系与参数方程”的选做题，由此可见解析几何在高考中的重要地位．
当然，解析几何在江苏高考中的地位已随着新课改较以前有所变化，考查的方向与其它地区也有所不同．2012年江苏省高考《考试说明》具体考查要求如下：
内 容 要 求
A B C
平面解析几何初步 直线的斜率与倾斜角 √
直线方程 √
直线的平行关系与垂直关系 √
两条直线的交点 √
两点间的距离，点到直线的距离 √
圆的标准方程与一般方程 √
直线与圆、圆与圆的位置关系 √
空间直角坐标系 √
圆锥曲线与方程 中心在坐标原点的椭圆的标准方程与几何性质 √
中心在坐标原点的双曲线的标准方程与几何性质 √
顶点在坐标原点的抛物线的标准方程与几何性质 √
圆锥曲线与方程（附加题部分） 曲线与方程 √
顶点在坐标原点的抛物线的标准方程与几何性质 √
坐标系与参数方程（附加题部分） 坐标系的有关概念 √
简单图形的极坐标方程 √
极坐标方程与直角坐标方程的互化 √
参数方程 √
直线、圆及椭圆的参数方程 √
参数方程与普通方程的互化 √
参数方程的简单应用 √
不难发现，必做题部分含A级点3个，B级点6个，C级点2个；附加题部分含A级点2个，B级点7个．结合考查要求分析2012年对解析几何的考查，填空题可能还会以考查基础知识为主，曲线的基本量、方程与位置关系等知识是重点内容；解答题与近几年高考一样，除了兼顾基础知识与基本技能外，一般会突出对综合运用能力的考查，定点、定值问题与最值、范围问题应该是热点．另外，在理科附加题中极坐标方程与直角坐标方程的互化、参数方程与普通方程的互化无疑也是主要考查内容．
二、基本题型与基本策略：
基本题型一：求曲线的基本量
例1．（2011湖北卷文）过点(－1，－2)的直线l被圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0截得的弦长为，则直线l的斜率为 ．
说明：本题主要考查直线与圆的相关基本量，如斜率、半径和弦长等．
例2．（2011辽宁卷理）已知点(2，3)在双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)上，C的焦距为4，则它的离心率为 ．
说明：本题主要考查双曲线的焦距与离心率等基本量的运算．
例3．（2011江苏卷）如图，在平面直角坐标系xOy中，M，N分别是椭圆＋＝1的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P，A两点，其中点P在第一象限．过P作x轴的垂线，垂足为C．连结AC，并延长交椭圆于点B．设直线PA的斜率为k．
（1）若直线PA平分线段MN，求k的值；
（2）当k＝2时，求点P到直线AB的距离d．
说明：本题主要考查椭圆与直线中的相关基本量，如顶点、斜率、点到直线的距离等，考查运算求解能力．
基本策略：直线的基本量有倾斜角、斜率与截距等；圆的基本量主要是圆心与半径；圆锥曲线的基本量主要有轴长、焦距、准线、渐近线与离心率等．在已知曲线方程求基本量时，首先要将方程化为标准方程，找准参数的值，记准基本量的计算公式；在已知图形中求基本量时，要明确各个量的几何意义，抓住图形特征建构方程或不等式进行求解．
基本题型二：求曲线的方程
例4．（2011辽宁卷文）已知圆C经过A(5，1)，B(1，3)两点，圆心在x轴上，则C的方程为 ．
说明：本题主要考查求圆的方程．
例5．（2011新课标全国卷理）在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为 eq \f(,2)．过F1的直线l交C于A，B两点，且△ABF2的周长为16，那么C的方程为 ．
说明：本题主要考查椭圆的定义、基本量以及求椭圆的方程．
例6．（2011南京市一模）在直角坐标系xOy中，中心在原点O，焦点在x轴上的椭圆C上的点(2，1)到两焦点的距离之和为4．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过椭圆C的右焦点F作直线l与椭圆C分别交于A，B两点，其中点A在x轴下方，且＝3．求过O，A，B三点的圆的方程．
说明：本题主要考查求椭圆与圆的方程，考查运算求解能力．
基本策略：用坐标法研究曲线，实际上要解决两大问题，其一就是要赋予曲线以方程．求曲线的方程，即是将曲线上的点所满足的几何条件转化为点的坐标所满足的代数条件，基本方法有直接法与待定系数法．用直接法求方程，要注意准确求解基本量；用待定系数法求方程，要注意方程形式的选择和解方程组时代数变形的等价转化．
基本题型三：研究曲线的位置关系
例7．（2010江苏卷）在平面直角坐标系xOy中，已知圆x2＋y2＝4上有且只有四个点到直线12x－5y＋c＝0的距离为1，则实数c的取值范围是 ．
说明：本题主要考查直线与圆的位置关系．
例8．（2012南京市一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A为椭圆＋＝1的右顶点，点D(1，0)，点P，B在椭圆上，＝．
（1）求直线BD的方程；
（2）求直线BD被过P，A，B三点的圆C截得的弦长；
（3）是否存在分别以PB，PA为弦的两个相外切的等圆？若存在，求出这两个圆的方程；若不存在，请说明理由．
说明：本题主要考查直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系，考查运算求解与推理论证能力．
例9．（2011江苏卷）同例3．
（3）对任意的k＞0，求证：PA⊥PB．
说明：本题主要考查直线的垂直关系以及直线与椭圆的相交位置关系，考查运算求解与推理论证能力．
基本策略：曲线的位置关系主要包括直线与直线、直线与圆、圆与圆以及简单的直线与圆锥曲线的位置关系．这里的问题一是位置关系的判断，二是特定位置关系下基本量的求解，如交点坐标、弦长等．一般而言，涉及到直线、圆的位置关系常用几何法，即通过几何基本量进行运算，而涉及到圆锥曲线的位置关系常用代数法，即需联立方程组进行求解．
基本题型四：研究曲线的性质
例10．（2010江苏卷）在平面直角坐标系xOy中，如图，已知椭圆＋＝1的左、右顶点为A，B，右焦点为F．设过点T(t，m)的直线TA，TB与此椭圆分别交于点M(x1，y1)，N(x2，y2)，其中m＞0，y1＞0，y2＜0．
（1）设动点P满足PF2－PB2＝4，求点P的轨迹；
（2）设x1＝2，x2＝，求点T的坐标；
（3）设t＝9，求证：直线MN必过x轴上的一定点（其坐标与m无关）．
说明：本题主要考查求简单曲线的方程，直线与椭圆的综合问题，考查运算求解与推理论证能力．
例11．（2011苏北四市一模），如图，椭圆＋＝1(a＞b＞0)过点P(1，)，其左、右焦点分别为F1，F2，离心率e＝，M，N是椭圆右准线上的两个动点，且·＝0．
（1）求椭圆的方程；
（2）求MN的最小值；
（3）以MN为直径的圆C是否过定点？请证明你的结论．
说明：本题主要考查圆与椭圆的方程及综合问题，考查运算求解与推理论证能力．
基本策略：用坐标法研究曲线的问题，其二就是利用方程研究曲线的性质．曲线的性质包括曲线的对称性、变量的取值范围以及某些曲线具有的特殊性质，如定点、定值、最值等一些不变性．解决定点、定值问题主要有两类方法，一是先通过特殊位置得出定点或定值，然后证明在一般情况下也成立；二是把所要证明为定点或定值的量表示为另外几个变量的函数或方程，然后通过化简变形，证明结果与变量无关．解决最值、范围问题主要通过寻找所求量的不等式或不等式组并加以求解，或通过构造所求量的函数，然后研究此函数的值域即可．
基本题型五：坐标系与参数方程（附加题）
例12．（2010江苏卷）在极坐标系中，已知圆ρ＝2cosθ与直线3ρcosθ＋4ρsinθ＋a＝0相切，求实数a的值．
说明：本题主要考查极坐标方程与直角坐标方程的互化．
例13．（2011江苏卷）在平面直角坐标系xOy中，求过椭圆（φ为参数）的右焦点，且与直线（t为参数）平行的直线的普通方程．
说明：本题主要考查参数方程与普通方程的互化．
基本策略：选修“坐标系与参数方程”的核心是两类互化，即极坐标方程与直角坐标方程的互化、参数方程与普通方程的互化，特别是将极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程．通过互化，将问题化归为直角坐标系下的普通方程是常见处理方法．此外，还需熟悉几类简单曲线的极坐标方程以及直线、圆与椭圆的参数方程，并会简单应用圆、椭圆的参数方程解决一些最值、范围问题．
三、二轮专题与课时建议：
专题 内容说明
第一课时 曲线的基本量 直线、圆与圆锥曲线的相关基本量 以小题为主
第二课时 曲线的方程 直线与圆的几种方程形式，圆锥曲线的标准方程 小题、大题均有
第三课时第四课时 曲线的位置关系（1）（2） 直线与直线、直线与圆、圆与圆以及简单的直线与圆锥曲线的位置关系 小题、大题均有
第五课时第六课时 曲线的性质（1）（2） 主要是定点、定值问题与最值、范围问题 以大题为主
第七课时 坐标系与参数方程 极坐标方程与直角坐标方程的互化、参数方程与普通方程的互化 以大题为主（理）
x
y
O
M
A
N
B
P
C
x
y
O
A
B
P
D
x
y
O
A
B
F
x
y
O
F1
F2
N
M