江苏省南京市2012届高三数学二轮复习讲座7——附加题归类分析及应对策略

附加题归类分析及应对策略
一、附加题的两点共识
1．数学附加题的40分与I卷的160分对理科同学同等重要．
2．数学附加题得很高的分数不容易，但要得到基本分还是不困难的．原因：
（1）考试说明要求附加题部分易、中、难题的占分比例控制在5:4:1左右，即中低档题占总分的90％左右．
（2）考试时间仅有30分钟，因此运算量与思维量都会控制．
（3）准确定位，合理取舍．
二、各模块归类分析及应对策略
附加题的知识内容比较多，根据江苏高考说明，考查选修系列2中的内容，主要有：曲线方程与抛物线，空间向量与立体几何，复合函数的导数，数学归纳法，排列组合与二项式定理，离散型随机变量的分布列、期望与方差，以及选修4系列中的《4-1几何证明选讲》，《4-2矩阵与变换》，《4-4坐标系与参数方程》，《4-5不等式选讲》．
四年高考考查内容
2008年 2009年 2010年 2011年
矩阵与变换 曲线与变换 逆矩阵 矩阵与矩阵、矩阵与列向量的乘法 矩阵与矩阵、矩阵与列向量的乘法
坐标系与参数方程 椭圆的参数方程的应用 参数方程化普通方程 极坐标方程化直角坐标方程 参数方程化普通方程
22题 向量的夹角 直线与抛物线 概率 二面角的计算
23题 组合恒等式证明 概率与不等式 数学归纳法 组合计数
（一）矩阵与变换
考点一：二阶矩阵与平面列向量的乘法、二阶矩阵的乘法．
例1（南京市2008－2009学年度第一学期期末调研）在直角坐标系中，已知△ABC的顶点坐标为A(0，0)，B(－1，2)，C(0，3)．求△ABC在矩阵作用下变换所得到的图形的面积．
答案：S△A′B′C′＝．
变化1：（2010年江苏高考）在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0，0)，B(－2，0)，C(－2，1)．设k为非零实数，矩阵M＝，N＝，点A、B、C在矩阵MN对应的变换下得到点分别为A1、B1、C1，△A1B1C1的面积是△ABC面积的2倍，求k的值．
答案：2或－2．
变化2：（2011年江苏高考）已知矩阵A＝，向量＝，求向量，使得A2＝．
答案：＝．
应对策略：熟练掌握二阶矩阵与列向量的运算的运算法则，注意不能将列向量写在二阶矩阵左边；使用待定系数法过程中务必注意解方程或方程组的准确性，检验是一个好习惯．
考点二：二阶矩阵与平面变换
例2在平面直角坐标系xOy中，设椭圆4x2＋y2＝1在矩阵A＝对应的变换作用下得到曲线F，求F的方程．
答案：x2＋y2＝1．
变化1：（南京市2009－2010学年度第一学期期末调研测）求直线2x＋y－1＝0在矩阵作用下变换得到的直线的方程．
答案：4x – 3y – 2 ＝ 0．
说明：直线变换为直线，直接用两点变换相对简单．
应对策略：除了某些情形下使用点的变换代替曲线的变换外，应熟练掌握这类问题一般处理步骤．例如已知曲线C的方程，求变换后的曲线C1的方程的过程分三步：1．利用矩阵与列向量乘法将目标曲线C1上的任意一点（x，y）的坐标用源曲线上的对应点(x′，y′)的坐标表示；2．用x，y反表示x′，y′；3．将x′，y′带回曲线C的方程，得到x，y的等式，该等式即所求曲线C1的方程．
变化2：（南京市2010届第三次模拟）如果曲线x2＋4xy＋3y2＝1在矩阵的作用下变换得到曲线x2－y2＝1，求a＋b的值．
答案：2．
说明：也可以通过特殊点的变换得到a，b的方程组．
变化3：已知△ABC，A(－1，0)，B(3，0)，C(2，1)，对它先作关于x轴的反射变换，再将所得图形绕原点逆时针旋转90°．
（1）分别求两次变换所对应的矩阵M1，M2；
（2）求点C在两次连续的变换作用下所得到的点的坐标．
答案：（1）M1＝，M2＝；
（2）(1，2)．
说明：可以依次计算两次变换下的对应点，也可以利用矩阵乘法将连续两次变换等效为一次变换，应注意该变换对应的矩阵应该是第二次变换对应的矩阵左乘第一次变换对应的矩阵，在本题中即M2 M1，矩阵乘法是不满足交换律的．
考点三： 逆矩阵
例3（2009年江苏高考）求矩阵A＝的逆矩阵．
答案：A－1＝ ．
说明：方法一，根据A A－1＝E，利用待定系数法求解；方法二：直接利用公式计算．
应对策略：待定系数法，运算量比较大，直接利用公式计算简便，但公式不能出错，另外为了防止缺少解题过程之嫌，最好将公式书写一遍．
变化1：已知 B＝ ，求二阶矩阵B．
答案：B＝．
变化2：已知在一个二阶矩阵M对应变换的作用下，点A(1，2)变成了点A′(7，10)，点B(2，0)变成了点B′(2，4)，求矩阵M的逆矩阵M－1．
答案：M－1＝eq \b\bc\[(\a\al\vs4(－2 , 1 －)) ．
说明：可以先求矩阵M，再求M－1，也可以直接利用逆变换直接求M－1．
变化3：（2011年3月苏、锡、常、镇四市教学情况调查）已知直角坐标平面xOy上的一个变换是先绕原点逆时针旋转45°，再作关于x轴反射变换，求这个变换的逆变换的矩阵．
答案： eq \b\bc\[(\a\al( eq \F(,2) －eq \F(,2),－eq \F(,2) －eq \F(,2)))．
说明： (M2M1)－1＝M1－1 M2－1．
考点4：特征值与特征向量
例4已知矩阵A＝，向量＝．
（1）求A的特征值1、2和特征向量1、2； （2）计算A5的值．
答案：（1）1＝2，1＝；1＝3，2＝；（2）．
说明：（2）中出现错误的一种原因是忽视了特征值与特征向量的对应性．
应对策略：一、记忆特征多项式，和这类问题的求解步骤；二、理解特征值与特征向量理论．
理论： ＝，即方程组有不全为0的解，即＝0．
变化1：（盐城市2011届第二次模拟）已知矩阵M＝的一个特征值为3，求其另一个特征值．
答案：－1．
变化2：（南通市2011届第二次模拟）已知二阶矩阵A＝，矩阵A属于特征值1＝－1的一个特征向量为1＝，属于特征值2＝4的一个特征向量为2＝．求矩阵A．
答案：A＝．
教材中的几种常见变换矩阵一般不要求记忆，但如果能识别一下矩阵，可以简化一些运算，上述选题中有不少这样的问题．
以下内容最好能记忆：
1．旋转变换矩阵．记忆三部分特征：第一列平方和是1，且类似单位圆的参数方程；主对角线上两数相等，副对角线上两数互为相反数．
2．二阶矩阵M＝的逆矩阵为M－1＝eq \b\bc\[(\a\al\vs4( , ))＝．其中是矩阵M主对角线上两数交换，副对角线上两数变为相反数得到．
3．矩阵特征多项式f()＝．
（二）坐标系与参数方程
考点1：极坐标化为与直角坐标
例1（2010年高考题）在极坐标系中，已知圆ρ=2cosθ与直线3ρcosθ＋4ρsinθ＋a＝0相切，求实数a的值．
答案：a＝2，或a＝－8．
例2（盐城市2011届第二次模拟）若两条曲线的极坐标方程分别为＝1与＝2cos(＋)，它们相交于A、B两点，求线段AB的长．
答案：．
应对策略：1．熟练掌握极坐标方程化为与直角坐标方程的公式不能出现类似于ρcosθ＝y的错误，应注意一些不能套用公式转化的特殊情形．
变化1：（南京市、盐城市2010-2011学年度第三次调研）极坐标系中，已知圆C：＝2cos和直线l：＝(R)相交于A、B两点，求线段AB的长．
答案：2．
2．应了解点的极坐标的形式和意义．
变化2：在极坐标系中，O为极点，已知两点M、N的极坐标分别为(4，π)，(，π)．求△OMN的面积．
答案：＋．
变化3：（南通市2011届高三第三次调研测试）在极坐标系中，求经过三点O(0，0)，A(2，)，B(2，)的圆的极坐标方程．
答案：＝2cos(－)．
说明：方法一：先求出圆的直角坐标方程，再转化为极坐标方程；
方法二：直接利用图形得极坐标方程．
3．极坐标转化为直角坐标后，往往就是研究直线与圆以及圆与圆的问题，我们应熟悉相关的位置关系的判别，以及一些距离或长度的计算．
考点2：参数方程转化普通方程
例3（2009年高考题）已知曲线C的参数方程为eq \b\lc\{(\a\al(x＝－eq \F(1,)，,y＝3(t＋)))(t为参数，t＞0)．求曲线C的普通方程．
答案：3x2－y＋6＝0．
应对策略：掌握一些消元的常见方法，一般有以下几种①代入消元法；②加减消元法；③利用代数恒等式或三角恒等式．消元后要注意字母的取值范围是否发生变化．
考点3：参数方程的应用
例4（2008年江苏高考）在平面直角坐标系xOy中，点P(x，y)是椭圆＋y2＝1上的一个动点，求S＝x＋y的最大值．
答案：2．
变化1：（南京市2010届第二次模拟）在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)，椭圆C的参数方程为(θ为参数)，试在椭圆C上求一点P，使得点P到直线l的距离最小．
答案：(，eq \f(,2))．
应对策略：掌握用角参数表示椭圆上动点的方法，并掌握三角函数y＝asinx＋bcosx求最值的方法．
（三）概率
基本题型：附加题概率考查两个方面问题：
（1）随机事件的概率的计算，考查互斥事件、对立事件、相互独立事件的概率；
（2）离散型随机变量分布列及其数学期望、方差计算．
基本策略:
1．解好概率问题的关键是理解题意，审题务必仔细．把复杂事件说明确是解题第一步；
例1（2010年江苏高考）某工厂生产甲、乙两种产品，甲产品的一等品率为80%，二等品率为20%；乙产品的一等品率为90%，二等品率为10%．生产1件甲产品，若是一等品则获得利润4万元，若是二等品则亏损1万元；生产1件乙产品，若是一等品则获得利润6万元，若是二等品则亏损2万元．设生产各种产品相互独立．
（1）记X(单位：万元)为生产1件甲产品和1件乙产品可获得的总利润，求X的分布列；
（2）求生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率．
答案：（1）
X 10 5 2 －3
P 0.72 0.18 0.08 0.02
（2）0.8192．
2．复杂问题简单化的方法有两种：一是将复杂事件分拆为几个简单的互斥事件，二是转化为其对立事件．分拆事件时一定要做到“不重不漏”．特别应注意“至多”、“至少”、“恰有”等词语．
例2将甲、乙两所大学共6名大学生志愿者随机平均分配到某地从事A，B，C三个岗位服务，且A岗位至少有一名甲大学志愿者的概率是．
（1）求6名志愿者中来自甲大学的是几人；
（2）求A岗位恰好甲、乙两所大学各一人的概率；
（3）设随机变量ζ为在B岗位服务的甲大学志愿者的人数，求ζ分布列及期望．
答案：（1）2；（2）；
（3）
ζ 0 1 2
P
E(ζ)＝．
例3（南京市2008届高三摸底考试）甲投篮命中的概率为0.5，每次投篮之间没有影响．甲连续投篮若干次，直到投中2次时停止，且最多投5次．
（1）记甲投篮的次数为X，求随机变量X的概率分布；
（2）求随机变量X的数学期望E(X)和方差V(X)．（本题结果用最简分数表示）
解（1）
X 2 3 4 5
P
（2）E(X)＝，V(X)＝．
说明：求P(X＝5)是该题的难点，回避难点的方法是求其对立事件P(X≤4)的概率，但这样做必须保证前几个概率都正确．
3．概率中常犯的错误不仅表现为复杂事件分拆过程中“重”或“漏”（表现为基本事件的不互斥或不对立），独立事件与独立重复事件混同（表现为漏乘相应的组合数），也表现为对古典概型模型本质理解不透彻．
例4盒子中装着有标数字1，2，3，4，5的上卡片各2张，从盒子中任取3张卡片，按3张卡片上最大数字的8倍计分，每张卡片被取出的可能性都相等，用表示取出的3张卡片上的最大数字，求：
（1）取出的3张卡片上的数字互不相同的概率；
（2）随机变量的概率分布和数学期望；
（3）计分不小于20分的概率．
答案：（1）；
（2）
2 3 4 5
P
E()＝．
（3）．
说明：解答（1）时的一种典型错误是认为“取得两张1和一张2”及“取得一张1一张2一张3”是等可能的基本事件．
解答（2）中P（＝2）时的一种典型错误是认为事件“取出的3张卡片中最大数字为2”仅含两个基本事件：“取得两张1和一张2”和“取得两张2和一张1”．
例5（2011届高三学情调研）袋中装着标有数字1，2，3，4的卡片各1张，甲从袋中任取2张卡片(每张卡片被取出的可能性都相等)，并记下卡面数字和为X，然后把卡片放回，叫做一次操作．
（1）求在一次操作中随机变量X的概率分布和数学期望E(X)；
（2）甲进行四次操作，求至少有两次X不大于E(X)的概率．
答案：（1）
X 3 4 5 6 7
P
E(X)＝5．
（2）．
4．特别要注意的：（1）答题的基本规范：①交待一些基本事件；②写出基本事件发生的概率；③求其它事件发生的概率、写出概率分布列等；④答．（2）养成利用eq \o(i=1,\d\fo1()\s\up6 ())Pi＝1检验计算是否正确的习惯．
（四）空间向量与立体几何
考点1：空间向量的坐标运算
例1（2008年江苏高考）如图，设动点P在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1的对角线BD1上，记＝λ，当∠APC为钝角时，求λ的取值范围．
答案：（，1）．
应对策略：1．掌握平面向量相关的坐标运算，并类比到空间中．
2．建立合适坐标系（右手系），并能准确书写点的坐标（第一种
方法是直接观察；第二种方法是利用共线向量的关系；第三种方
法是将点投影到坐标平面内）和向量坐标．
考点2：空间向量的应用
1．判别线面位置关系；
2．计算异面直线所成角，直线与平面所成角，二面角．
例2（2011年江苏高考） 如图，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2，AB＝1，点N是BC的中点，点M在CC1上，设二面角A1－DN－M的大小为．
（1）当＝90°时，求AM的长；
（2）当cos＝eq \f(,6)时，求CM的长．
答案：（1）；（2）．
例3如图，已知三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱与底面垂直，
AA1＝AB＝AC＝1，AB⊥AC，M是CC1的中点，N是BC
的中点，点P在直线A1B1上，且满足＝．
（1）当取何值时，直线PN与平面ABC所成的角最大？
（2）若平面PMN与平面ABC所成的二面角为45°，试确
定点P的位置．
答案：（1）；（2）点P在B1A1的延长线上，且A1P＝．
应对策略：1．求平面的法向量是重要的基本功，有现成垂线的时候一定要利用，一般利用垂直于平面内的两条互相垂直的直线来求解法向量．法向量求解过程中一定要注意方程组求解的准确性，并使法向量的形式尽可能简单．
2．要掌握以下关系：异面直线所成角的余弦等于两条异面直线方向向量夹角余弦的绝对值；线面所成角的正弦等于平面的法向量与直线方向向量夹角余弦的绝对值；二面角平面角余弦与二面角两平面法向量夹角的余弦绝对值相等,其正负可以通过观察二面角是锐角还是钝角进行确定．
（五）圆锥曲线与方程
考点1：曲线方程．
考点2：直线与抛物线．
例1（2009年江苏高考）在平面直接坐标系xOy中，抛物线C的顶点在原点，经过点A
(2，2)，其焦点F在x轴上．
（1）求抛物线C的标准方程；
（2）求过点F，且与直线OA垂直的直线方程；
（3）设过点M(m，0)(m＞0)的直线交抛物线C于D，E两点，ME＝2DM，记D和E两点间的距离为f (m)，求f (m)关于m的表达式．
答案：（1）y2＝2x；（2）x＋y－＝0；（3）f (m)＝ (m＞0)．
例2在平面直角坐标系xOy中，动点P到直线x＝－2的距离比它到点F(1，0)的距离大1．
（1）求动点P的轨迹C；
（2）直线l 过点（1，0）且与曲线C交于A，B两点，若△AOB的面积为eq \F(4,)，求直线l的斜率．
答案：（1）y2＝4x；（2）±．
三、二轮专题和课时建议：
专题 内容说明（核心）
第1课时 矩阵与变换 矩阵的运算；矩阵与变换；逆矩阵；特征值与特征向量． 采取专题与考试、讲评相结合的方法，最终形成完整的知识结构，突出重点专题，控制难度，提高解题速度和运算的准确性
第2课时 参数方程与坐标系 极坐标与直角坐标互化、参数方程与普通方程的互化；圆、椭圆的参数方程应用．
第3课时 排列组合 两个计数原理、排列组合
第4~5课时 概率及概率分布 互斥事件、独立事件、独立重复试验，概率分布及期望、方差
第6课时 二项式定理 二项式展开，系数与二项式系数
第7课时 空间向量与立体几何 空间向量的坐标运算，三种角的计算
第8课时 圆锥曲线与方程 轨迹方程；抛物线的标准方程及几何性质；直线与抛物线
第9课时 数学归纳法 数学归纳法原理及简单应用
x
B
A
O
P
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
P
P
M
C
B
A
N
N