导数各大方法复习-研究切线，单调性，含参讨论，参数分离法，函数放缩法（含解析）

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导数综合复习与能力提升
一，切线方程相关题型
【切线方程的计算】
①找出切点，若切点不存在可以设切点是（x0，y0）
②切点处的切线斜率K= 此时直线方程为y-y0= （x-x0）
③切点坐标满足原函数，即y0=
根据上述原理，列出方程即可
例1.已知曲线y＝.
(1)求曲线在点P(1,1)处的切线方程；
(2)求曲线过点Q(1,0)处的切线方程；
(3)求满足斜率为－的曲线的切线方程．
答案：y＝－x＋2，y＝－4x＋4，y＝－x＋或y＝－x－；
[解析]　∵y＝，∴y′＝－.
(1)显然P(1,1)是曲线上的点．所以P为切点，所求切线斜率为函数y＝在P(1,1)点导数．
即k＝f′(1)＝－1.
所以曲线在P(1,1)处的切线方程为
y－1＝－(x－1)，即为y＝－x＋2.
(2)显然Q(1,0)不在曲线y＝上．
则可设过该点的切线的切点为A，
那么该切线斜率为k＝f′(a)＝.
则切线方程为y－＝－(x－a)．①
将Q(1,0)坐标代入方程：0－＝(1－a)．
解得a＝，代回方程①整理可得：
切线方程为y＝－4x＋4.
(3)设切点坐标为A，则切线斜率为k＝－＝－，解得a＝±，那么A，A′.代入点斜式方程得y－＝－(x－)或y＋＝－(x＋)．整理得切线方程为y＝－x＋或y＝－x－.
例2.已知函数的图象过点P（0，2），且在点M（－1，f（－1））处的切线方程为．求函数y=f(x)的解析式；
答案：；
解：由f(x)的图象经过P（0，2），知d=2， 所以
由在M(-1,f(-1))处的切线方程是，知
故所求的解析式是
【利用切线方程解决复杂问题的思维】
例3.已知函数=,若不等式≥0对x∈（0，+∞）恒成立，则求b的范围 b≤
例4.已知函数=,若不等式≥0对x∈（0，+∞）恒成立，则的最小值等于
[答案] 提示：先求导，然后利用切线进行分析，然后得出a关于b的式子，
再构造新的函数分析单调性
2，研究函数单调性
【利用导数求函数的单调性，最值，极值】
例5.函数f（x）=x3－3x+1在闭区间［－3，0］上的单调性，最大值，最小值分别是
[答案]（-∞，-1）+，（-1，1）-，（1，+∞）+，3，－17
【含参导数求函数的单调性，最值，极值】
例6.若函数在上是增函数，则实数的取值范围是 （ ）
A． B． C． D．
答案：A
例7.已知函数，.若函数在其定义域上为增函数，求的取值范围；
[答案]函数的定义域为，
，.
方程的判别式.
①当，即时，，
此时，对都成立,
故函数在定义域上是增函数.
②当，即或时，要使函数在定义域上为增函数，
只需对都成立.
设,则，得.
故.
综合①②得的取值范围为；
【含参函数分类讨论单调性，最值，极值】
例8.已知函数．求函数的单调区间；
解：（Ι）由知：
当时，函数的单调增区间是，单调减区间是；
当时，函数的单调增区间是，单调减区间是；
例9.已知函数.讨论函数的单调性；
解析：f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝＋2ax＝.
当a≥0时，f′(x)＞0，故f(x)在(0，＋∞)上单调递增．
当a≤－1时，f′(x)＜0，故f(x)在(0，＋∞)上单调递减．
当－1＜a＜0时，令f′(x)＝0，解得x＝，
则当时，f′(x)＞0；当时，；
故在上单调递增，在上单调递减．
例10.已知，函数．求在区间上的最小值．
【答案】因为，所以．
令，得． ……………………………………………8分
①若，则，在区间上单调递增，此时函数无最小值．
②若，当时，，函数在区间上单调递减，
当时，，函数在区间上单调递增，
所以当时，函数取得最小值．………………………………10分
③若，则当时，，函数在区间上单调递减，
所以当时，函数取得最小值．…………………………………12分
综上可知，当时，函数在区间上无最小值；
当时，函数在区间上的最小值为；
当时，函数在区间上的最小值为．……………13分
【零点分析问题-常规解法（构造函数分析法）】
例11.函数的图象与函数的图象有三个不相同的交点，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D．
答案：D；
【解析】由题意得三个不相同的零点，又，因此从而，选D.
例12.设，函数，. 当时，写出函数零点个数，并说明理由；
答案：解析：（Ⅰ）证明：结论：函数不存在零点.
当时，，求导得，
令，解得.
当变化时，与的变化如下表所示：




0
↗
↘
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
则当时，函数有最大值.
所以函数的最大值为，
所以函数不存在零点.
【恒成立问题与存在性问题思维】
例13.设函数，求m的取值范围：
①若对任意，关于的不等式恒成立，则 ；
②若存在，使得不等式成立，则 ；
③若对任意及任意，不等式恒成立，则 ；
④若对任意，存在，使得不等式成立，则 ；
⑤若存在及，使得不等式成立，则 .
⑥若存在及，使得成立，则 .
⑦若任意，存在，使得成立，则 .
⑧若存在，任意，使得成立，则 .
【解析】试题分析：①对任意，关于的不等式恒成立, 即,恒成立,令,,只需即；②若存在，使得不等式成立,由①可知只需,即；③若对任意及任意，不等式恒成立,即,即,所以；④若对任意，存在，使得不等式成立,则,即,所以；⑤若存在及，使得不等式成立，则,即,所以.
【导数应用之参数分离法】
例14.已知函数.证明：当时，
解：当时，. 设，则.
当时，；当时，. 所以是的最小值点.
故当时，.
因此，当时，.
【导数应用之隐零点法】
例15.已知函数，证明函数对于x∈（0，+∞）时≥-4恒成立。
【答案】求出隐零点，范围是（1，2），带入函数求值即可
【导数应用之函数放缩法】
当要求证明时，可以先证明恒成立，再证明恒成立，即可得到这一充要恒等式，反之同理，此时即可实现放缩的目的。
记住几种常见的放缩公式：，（采用切线放缩的原理，使用时可以用换元发和移项等，如，即）
注意：使用时要先证明一下
例16.证明函数 ≤0恒成立
【答案】证明
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