不等式、

不等式 专题测试
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。)
1．(2011年黄冈3月质检)已知I为实数集，M＝{x|x2－2x<0}，N＝{x|y＝}，则M∩( IN)＝(　　)
A．{x|0C．{x|x<1} D．Φ
解析：M＝{x|0答案：A
2．当x∈R＋时，下列函数中，最小值为2的是(　　)
A．y＝x2－2x＋4 B．y＝x＋
C．y＝＋ D．y＝x＋
答案：D
3．a，b为正实数且a，b的等差中项为A；，的等差中项为；a，b的等比中项为G(G<0)，则(　　)
A．G≤H≤A B．H≤G≤A
C．G≤A≤H D．H≤A≤G
解析：由题意知A＝，H＝，G＝易知≥≥，
∴A≥G≥H.
答案：B
4．(2011年青岛高三质检)若a>0，b>0，且a＋b＝4，则下列不等式恒成立的是(　　)
A.> B.＋≤1
C.≥2 D．a2＋b2≥8
解析：a＋b＝4≥2，≤2，ab≤4
∴≥，故C错，A错
＋＝＝≥1，故B错．
(a＋b)2＝a2＋b2＋2ab≤2(a2＋b2)
∴a2＋b2≥8，故选D.
答案：D
5．(2012年嘉兴模拟)已知a，b为实数，则“a>b>1”是“<”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：由a>b>1 a－1>b－1>0 <.
当a＝0，b＝2时，<，
∴< / a>b>1.故选A.
答案：A
6．(2011年重庆模拟)已知f(x)＝logax，(a>0且a≠1)，且当x<0时，ax>1，则f(1－)>1的解集是(　　)
A．(，＋∞) B．(1，)
C．(－∞，) D．(1，)
解析：∵x<0时，ax>1，
∴0f(1－)>1 loga(1－)>logaa 1－a<<1 1答案：D
7．(2011年厦门市质量检测)若实数x，y满足，则S＝2x＋y－1的最大值为(　　)
A．6 B．4
C．3 D．2
解析：可行域为如图所示的阴影部分，当最优解为A(2,3)时Smax＝6.
答案：A
8．(2011年福州质检)设x，y满足约束条件，则(x＋1)2＋y2的最大值为(　　)
A．80 B．4
C．25 D.
解析：(x＋1)2＋y2＝[]2代表区域内的点到(－1,0)的距离的平方，　
∴(x＋1)2＋y2的最大值为80，故选A.
答案：A
9．(2011年皖南八校第二次联考)如果实数x，y满足目标函数z＝kx＋y的最大值为12，最小值为3，那么实数k的值为(　　)
A．2 B．－2
C. D．不存在
解析：A(1,1)，C(1，)，B(5,2)
可行域为图中阴影部分，z＝kx＋y的最小值为3，最大值为12，
则k>0.故当最优解为(1,1)时，zmin＝k＋1＝3，
∴k＝2.故选A.
答案：A
11．(2010年四川高考)设a>b>c>0，则2a2＋＋－11ac＋25c2的最小值是(　　)
A．2 B．4
C．2 D．5
解析：因为a>b>c>0,2a2＋＋－11ac＋25c2＝a2＋＋(a－5c)2＝a2＋＋(a－5c)2≥a2＋＋(a－5c)2＝a2＋＋(a－5c)2≥4.
当且仅当a＝＝2b＝5c时取等号．
答案：B
11．(2011年东北育才学校一模)已知y＝f(x)是偶函数，当x>0时，f(x)＝(x－1)2；若当x∈[－2，－]时，n≤f(x)≤m恒成立，则m－n的最小值为(　　)
A．1 B.
C. D.
解析：由f(x)＝(x－1)2，x∈[，2]，
得f(x)max＝f(2)＝(2－1)2＝1，f(x)min＝f(1)＝0.
因该函数是偶函数，
所以当x∈[－2，－]时，0≤f(x)≤1恒成立，
则m－n的最小值为1.
答案：A
12．(2011年浙江台州一模)对于函数f(x)，在使f(x)≤M恒成立的所有常数M中，我们把M中的最小值称为函数f(x)的“上确界”．已知函数f(x)＝＋a(x∈[－2,2])是奇函数，则f(x)的上确界为(　　)
A．2 B.
C．1 D.
解析：因为函数f(x)是奇函数，
所以f(0)＝1＋a＝0，解得a＝－1.
于是f(x)＝－1＝.
当0当且仅当x＝，即x＝1时等号成立，即M的最小值为1.
答案：C
二、填空题(本大题共4小题，每题5分，共20分．把答案填在题中横线上．)
13．(2011年河西区模拟)设f(x)＝，则不等式f(x)>1的解集为________．
解析：由 0由 x<－1
∴不等式的解集为(－∞，－1)∪(0,1)．
答案：(－∞，－1)∪(0,1)
14．(2011年黄冈3月质检)若实数x，y满足且z＝2x＋y的最小值为3，则实数b的值为________．
解析：　
z＝＝3，b＝.
答案：
15．(2011年河西区模拟)函数y＝loga(x＋3)－1(a>0，且a≠1)的图象恒过定点A，若点A在直线mx＋ny＋1＝0上，其中mn>0，则＋的最小值为________．
解析：A(－2，－1)．∴2m＋n＝1，
又∵mn>0，∴m>0，n>0.
∴＋＝(2m＋n)(＋)＝4＋＋
≥4＋2＝8.∴(＋)min＝8.
答案：8
16．(2011年广雅中学、佛山一中、汕头金中2月联考)已知线段 AB的两个端点分别为A(0,1)，B(1,0)，P(x，y)为线段 AB上不与端点重合的一个动点，则(x＋)(y＋)的最小值为________．
解析：线段AB的方程为：x＋y＝1
(x＋)(y＋)＝xy＋＋2
xy＝x(1－x)＝－x2＋x
＝－(x2－x＋)＋
＝－(x－)2＋≤
原式＝xy＋＋2在(0，]单调递减
原式≥＋4＋2＝.
答案：
三、解答题(本大题共6小题，共70分，17题11分，18～22题，每题12分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)
17．已知关于x的不等式<0的解集为M.
(1)当a＝4时，求集合M；
(2)若3∈M且5 M，求实数a的取值范围．
解：(1)a＝4时，不等式化为<0，
解得M＝(－∞，－2)∪(，2)．
(2)a≠25时，由得
∴a∈[1，]∪(9,25)；
当a＝25时，不等式为<0 M＝(－∞，－5)∪(，5)．
满足3∈M且5 M，∴a＝25满足条件．
综上所述，得a的取值范围是[1，)∪(9,25]．
18．已知a>0，b>0，c>0且a，b，c不全相等．
求证：＋＋>a＋b＋c.
证明：证法一：(分析法)要证＋＋>a＋b＋c，只要证>a＋b＋c.
∵a，b，c>0，
只要证(bc)2＋(ac)2＋(ab)2>abc(a＋b＋c)，
由公式知(bc)2＋(ac)2≥2abc2，
(ac)2＋(ab)2≥2a2bc，(bc)2＋(ab)2≥2ab2c.
∵a，b，c不全相等，上面各式中至少有一个等号不成立，三式相加得：
2[(bc)2＋(ac)2＋(ab)2]>2abc2＋2a2bc＋2ab2c，
即(bc)2＋(ac)2＋(ab)2>abc(a＋b＋c)成立．
∴＋＋>a＋b＋c成立．
证法二：(综合法)∵a>0，b>0，c>0，
∴＋≥2＝2c，
＋≥2＝2b，＋≥2＝2a，
又∵a，b，c不全相等，∴上面三式不能全取等号，
三式相加得＋＋>a＋b＋c.
证法三：(作差比较法)＋＋－a－b－c
＝
＝·>0(a，b，c不全相等)，
即＋＋－a－b－c>0，
∴＋＋>a＋b＋c.
19．A、B两地分别生产同一规格产品12千吨、8千吨，而D、E、F三地分别需要8千吨、6千吨、6千吨，每千吨的运价如下表．怎样确定调运方案，使总的运费为最小？
运价(万元/千吨) 到D 到E 到F
从A 4 5 6
从B 5 2 4
解：设从A到D运x千吨，则从B到D运(8－x)千吨；从A到E运y千吨，则从B到E运(6－y)千吨；
从A到F运(12－x－y)千吨，从B到F运(x＋y－6)千吨，则线性约束条件为
线性目标函数为z＝4x＋5y＋6(12－x－y)＋5(8－x)＋2(6－y)＋4(x＋y－6)＝－3x＋y＋110，
作出可行域，可观察出目标函数在(8,0)点取到最小值，即从A到D运8千吨，从B到E运6千吨，从A到F运4千吨，从B到F运2千吨，可使总的运费最少．
20．(2011年泉州中学模拟)西北西康羊皮手套公司准备投入适当的广告费，对生产的羊皮手套进行促销．在1年内，据测算年销售量S(万双)与广告费x(万元)之间的函数关系为S＝3－(x>0)，已知羊皮手套的固定投入为3万元，每生产1万元羊皮手套仍需再投入16万元．(年销售收入＝年生产成本的150%＋年广告费的50%)
(1)试将羊皮手套的年利润L(万元)表示为年广告费x(万元)的函数；
(2)当年广告费投入为多少万元时，此公司的年利润最大，最大利润为多少？(年利润＝年销售收入－年广告费)
解：(1)由题意知，羊皮手套的年成本为(16S＋3)万元，
年销售收入为(16S＋3)×150%＋x·50%，
年利润L＝(16S＋3)×150%＋x·50%－(16S＋3)－x，
即L＝(16S＋3－x)，又S＝3－，
得L＝(x>0)．
(2)由L＝＝－(＋)
≤－2＝21.5.
当且仅当＝，即x＝4时，L有最大值为21.5，
因此，当年广告费投入为4万元时，此公司的年利润最大，最大利润为21.5万元．
21．已知二次函数f(x)＝ax2＋x，若对任意x1、x2∈R，恒有2f()≤f(x1)＋f(x2)成立，不等式f(x)<0的解集为A.
(1)求集合A；
(2)设集合B＝{x||x＋4|解：(1)对任意x1、x2∈R，
由f(x1)＋f(x2)－2f()
＝a(x1－x2)2≥0成立，
要使上式恒成立，所以a≥0.
由f(x)＝ax2＋x是二次函数知a≠0，故a>0.
所以f(x)＝ax2＋x＝ax(x＋)<0.
解得A＝(－，0)．
(2)B＝{x||x＋4|因为集合B是集合A的子集，
所以a－4≤0，且－a－4≥－.
解得－2－≤a≤－2＋.又a>0，
∴a的取值范围为022．(2011年山东泰安一模)定义在[－1,1]上的奇函数，已知当x∈[－1,0]时的解析式f(x)＝－(a∈R)．
(1)写出f(x)在[0,1]上的解析式；
(2)求f(x)在[0,1]上的最大值．
解：(1)设x∈[0,1]，
则－x∈[－1,0]，f(－x)＝－＝4x－a·2x，
∴f(x)＝－f(－x)＝a·2x－4x，x∈[0,1]．
(2)∵f(x)＝a·2x－4x，x∈[0,1]，
令t＝2x，t∈[1,2]，
∴g(t)＝a·t－t2＝－(t－)2＋.
当≤1，即a≤2时，g(t)max＝g(1)＝a－1；
当1<<2，即2当≥2，即a≥4时，g(t)max＝g(2)＝2a－4.
综上，当a≤2时，f(x)的最大值为a－1；
当2当a≥4时，f(x)的最大值为2a－4.