函数导数及其应用、

函数导数及其应用 专题测试
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。)
1．给出四个命题：
①函数是其定义域到值域的映射；②　f(x)＝＋是函数；③函数y＝2x(x∈N)的图象是一条直线；④　f(x)＝与g(x)＝x是同一个函数．
其中正确的有(　　)
A．1个　　　　　　　　　 B．2个
C．3个 D．4个
解析：由函数的定义知①正确．
∵满足　f(x)＝＋的x不存在，∴②不正确．
又∵y＝2x(x∈N)的图象是一条直线上的一群孤立的点，
∴③不正确．
又∵　f(x)与g(x)的定义域不同，∴④也不正确．
答案：A
2．(2011年青岛质检)下列四个函数中，在区间(0,1)上为减函数的是(　　)
A．y＝log2x B．y＝
C．y＝－()x D．y＝x
解析：y＝log2x，y＝x在定义域内都为增函数．
∵y＝()x单调递减，∴y＝－()x单调递增，所以选B.
答案：B
3．已知　f(x)＝使　f(x)≥－1成立的x的取值范围是(　　)
A．[－4,2) B．[－4,2]
C．(0,2] D．(－4,2]
解析：∵　f(x)≥－1，
∴或
∴－4≤x≤0或0答案：B
4．(2011年湖北八市三月调考)设f(x)＝，则f(－)＝(　　)
A. B．2
C. D．－
解析：f(－)＝f(－＋1)＝f(－)
＝f(－＋1)＝f()＝2＋1＝2＝2.
答案：B
5．(2011年福州质检)若曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，则(　　)
A．a＝－1，b＝1 B．a＝－1，b＝－1
C．a＝1，b＝－1 D．a＝1，b＝1
解析：y′＝2x＋a，令x＝0，y′＝a
x－y＋1＝0，y＝x＋1
∴a＝1
点(0，b)在直线x－y＋1＝0上，
∴0－b＋1＝0，∴b＝1.
答案：D
6．(2011年山西四校联考)已知a是函数f(x)＝2x－logx的零点，若0A．f(x0)＝0 B．f(x0)>0
C．f(x0)<0 D．f(x0)的符号不能确定
答案：C
7．(2012年辽宁省锦州市模拟)如图，阴影部分的面积是(　　)
A．2 B．2－
C. D.
解析：设阴影部分面积为S，
则S＝ [(3－x2)－2x]dx＝(3x－－x2)＝，故选C.
答案：C
8．(2010年济宁联考)若a>2，则函数　f(x)＝x3－ax2＋1在区间(0,2)上恰好有(　　)
A．0个零点 B．1个零点
C．2个零点 D．3个零点
解析：解答本题要结合二分法和函数的单调性判断．由已知得：f ′(x)＝x(x－2a)，由于a>2，故当02时f(0)f(2)＝－4a<0，故据二分法及单调性可知函数在区间(0,2)上有且只有一个零点．
答案：B
9．(2012年湛江调研)已知函数　f(x)＝在[1，＋∞)上为减函数，则实数a的取值范围是(　　)
A．0C．a≤e D．a≥e
解析：f ′(x)＝＝，因为　f(x)在[1，＋∞)上为减函数，故　f ′(x)≤0在[1，＋∞)上恒成立，即lna≥1－lnx在[1，＋∞)上恒成立．设φ(x)＝1－lnx，φ(x)max＝1，故lna≥1，a≥e，选D.
答案：D
10．(2011年黄山模拟)已知函数　f(x)的导函数　f ′(x)＝a(x＋1)(x－a)，若　f(x)在x＝a处取到极大值，则a的取值范围是(　　)
A．(－1,0) B．(2，＋∞)
C．(0,1) D．(－∞，－3)
解析：由　f(x)在x＝a处取得极大值可知，当x0，当x>a时，f ′(x)<0，即a(x＋1)(x－a)>0的解集为xa，通过对这两个不等式的解集讨论可知－1答案：A
11．(2011年黄山调研)某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系是y＝3000＋20x－0.1x2(0A．100台 B．120台
C．150台 D．180台
解析：设利润为　f(x)(万元)，则　f(x)＝25x－(3000＋20x－0.1x2)＝0.1x2＋5x－3000≥0，∴x≥150.
答案：C
12．(2010年全国新课标卷)已知函数　f(x)＝若a，b，c互不相等，且f(a)＝f(b)＝f(c)，则abc的取值范围是(　　)
A．(1,10) B．(5,6)
C．(10,12) D．(20,24)
解析：∵　f(x)＝，因此可以画出其图象，如图．
设f(a)＝f(b)＝f(c)＝k.则由图象可知y＝k与y＝f(x)的图象有三个互不相同的交点时，k∈(0,1)，
即f(a)＝|lga|＝－lga＝lg＝k，即a＝.
f(b)＝lgb＝k，即b＝10k.
∴ab＝×10k＝1.
f(c)＝－＋6＝k，∴c＝12－2k.
又∵k∈(0,1)，∴c∈(10,12)，
∴abc∈(10,12)，故选择C.
答案：C
二、填空题(本大题共4小题，每题5分，共20分．把答案填在题中横线上．)
13．(2011年江苏省苏州六校联合高三调研考试)　f(x)＝xn2－3n(n∈Z)是偶函数，且y＝　f(x)在(0，＋∞)上是减函数，则n＝________.
解析：因为　f(x)在(0，＋∞)上是减函数，所以n2－3n<0，即0答案：1或2
14. dx的值为__________．
解析：由定积分的意义可知，
dx表示由y＝，x＝－2，x＝2和x轴所围成的图形的面积，即圆x2＋y2＝4的面积的一半．
答案：2π
15．设函数　f(x)＝ax3－3x＋1(x∈R)，若对于任意x∈[－1,1]，都有　f(x)≥0成立，则实数a的值为________．
解析：若x＝0，则不论a取何值，　f(x)≥0显然成立；
当x>0，即x∈(0,1]时，　f(x)＝ax3－3x＋1≥0可化为a≥－.
设g(x)＝－，则g′(x)＝，
所以g(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减，
因此g(x)max＝g＝4，从而a≥4.
当x<0，即x∈[－1,0)时，同理a≤－.
g(x)在区间[－1,0)上单调递增，
∴g(x)min＝g(－1)＝4，从而a≤4，
综上可知a＝4.
答案：4
16．定义在R上的偶函数　f(x)，满足　f(x＋1)＝－　f(x)，且　f(x)在[－1,0]上是增函数，下列五个关于　f(x)的命题中：①　f(x)是周期函数；②　f(x)的图象关于x＝1对称；③　f(x)在[0,1]上是增函数；④　f(x)在[1,2]上是减函数；⑤f(2)＝f(0)．
其中正确命题的序号是________．(请把所有正确命题的序号全部写出)
解析：对①，由f(x＋1)＝－　f(x)得f(x＋2)＝f((x＋1)＋1)＝－f(x＋1)＝－(－　f(x))＝　f(x)，所以　f(x)是一个周期为2的函数，故①正确；
对②，由　f(x)的周期为2可得，f(x－1)＝f(x＋1)，由　f(x)为偶函数，得f(x－1)＝f(1－x)，
所以f(1－x)＝f(1＋x)，即函数　f(x)的图象关于x＝1对称，故②正确；
对③，由　f(x)在[－1,0]上是增函数，而且　f(x)为偶函数，所以　f(x)在[0,1]上是减函数，故③错误；
对④，由函数　f(x)的周期为2可得　f(x)在[1,2]上是增函数，故④错误；
对⑤，由②可得f(2)＝f(0)，故⑤正确．
综合上述，正确的命题有①②⑤.
答案：①②⑤
三、解答题(本大题共6小题，共70分，17题10分，18～22题，每题12分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)
17．(2011年东莞模拟)已知　g(x)＝－x2－3，　f(x)是二次函数，当x∈[－1,2]时，　f(x)的最小值为1，且　f(x)＋g(x)为奇函数，求函数　f(x)的表达式．
解析：设　f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
则f(x)＋g(x)＝(a－1)x2＋bx＋c－3，
又　f(x)＋g(x)为奇函数，
∴a＝1，c＝3.
∴　f(x)＝x2＋bx＋3，对称轴x＝－.
当－≥2，即b≤－4时，　f(x)在[－1,2]上为减函数，
∴　f(x)的最小值为f(2)＝4＋2b＋3＝1.
∴b＝－3.∴此时无解，
当－1<－<2，即－4　f(x)min＝f＝3－＝1，
∴b＝2(舍)或b＝－2，此时　f(x)＝x2－2x＋3，
当－≤－1，即b≥2时，　f(x)在[－1,2]上为增函数，
∴　f(x)的最小值为f(－1)＝4－b＝1.
∴b＝3.∴　f(x)＝x2＋3x＋3.
综上所述，　f(x)＝x2－2x＋3，
或　f(x)＝x2＋3x＋3.
18．(2011年江南十校联考)已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx在x＝±1处取得极值，且在x＝0处的切线的斜率为－3.
(1)求f(x)的解析式；
(2)若过点A(2，m)可作曲线y＝f(x)的三条切线，求实数m的取值范围．
解：(1)f′(x)＝3ax2＋2bx＋c
依题意
又f′(0)＝－3
∴c＝－3　∴a＝1　∴f(x)＝x3－3x
(2)设切点为(x0，x03－3x0)，
∵f′(x)＝3x2－3，∴f′(x0)＝3x02－3
∴切线方程为y－(x03－3x0)＝(3x02－3)(x－x0)
又切线过点A(2，m)
∴m－(x03－3x0)＝(3x02－3)(2－x0)
∴m＝－2x03＋6x02－6
令g(x)＝－2x3＋6x2－6
则g′(x)＝－6x2＋12x＝－6x(x－2)
由g′(x)＝0得x＝0或x＝2
∴g(x)在(－∞，0)单调递减，(0,2)单调递增，(2，＋∞)单调递减．
∴g(x)极小值＝g(0)＝－6，g(x)极大值＝g(2)＝2
画出草图知，当－6所以m的取值范围是(－6,2)．
19．(2011年东北三校联考)已知函数f(x)＝x3－ex2＋mx＋1(m∈R)，g(x)＝.
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)对任意x1，x2∈R＋，若g(x1)解：(1)f′(x)＝x2－2ex＋m，令Δ＝4(e2－m)
(ⅰ)当m≥e2时，f′(x)≥0
∴f(x)在R上递增
(ⅱ)当m0
令f′(x)>0 xe＋
∴f(x)在(－∞，e－)和(e＋，＋∞)递增
令f′(x)<0 e－∴f(x)在(e－，e＋)递减
(2)∵g′(x)＝
令g′(x)＝＝0时，x＝e
∴g(x)在(0，e)递增，(e，＋∞)递减
∴g(x)max＝g(e)＝
又∵f′(x)＝(x－e)2＋m－e2
∴当x>0时，f(x)min＝m－e2
∴ x1，x2∈R＋，g(x1)∴e2＋.
20．(2010年安徽高考)设a为实数，函数　f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R.
(1)求　f(x)的单调区间与极值；
(2)求证：当a>ln2－1且x>0时，ex>x2－2ax＋1.
解析：(1)解：由　f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R知　f ′(x)＝ex－2，x∈R.
令f ′(x)＝0，得x＝ln2.
于是当x变化时，f ′(x)，　f(x)的变化情况如下表：
x (－∞，ln2) ln2 (ln2，＋∞)
f ′(x) － 0 ＋
　f(x) 单调递减? 2(1－ln2＋a) 单调递增?
故　f(x)的单调递减区间是(－∞，ln2)，单调递增区间是(ln2，＋∞)，
　f(x)在x＝ln2处取得极小值，极小值为f(ln2)＝eln2－2ln2＋2a＝2(1－ln2＋a)．
(2)证明：设g(x)＝ex－x2＋2ax－1，x∈R.
于是g′(x)＝ex－2x＋2a，x∈R.
由(1)知当a>ln2－1时，g′(x)最小值为g′(ln2)＝2(1－ln2＋a)>0.于是对任意x∈R，都有g′(x)>0，
所以g(x)在R内单调递增．
于是当a>ln2－1时，对任意x∈(0，＋∞)，都有g(x)>g(0)．
而g(0)＝0，从而对任意x∈(0，＋∞)，g(x)>0，
即ex－x2＋2ax－1>0，故ex>x2－2ax＋1.
21．(2010年临沂模拟)某化妆品生产企业为了占有更多的市场份额，拟在2010年度进行一系列促销活动，经过市场调查和测算，化妆品的年销量x万件与年促销费t万元之间满足3－x与t＋1成反比例，如果不搞促销活动，化妆品的年销量只能是1万件，已知2010年生产化妆品的设备折旧、维修等固定费用为3万元，每生产1万件化妆品需要再投入32万元的生产费用，若将每件化妆品的售价定为“其生产成本的150%”与“平均每件促销费的一半”之和，则当年生产的化妆品正好能销完．假设2010年生产的化妆品正好销完，
(1)将2010年的利润y(万元)表示为促销费t(万元)的函数；
(2)该企业2010年的促销费投入多少万元时，企业的年利润最大？
解析：(1)由题意，得3－x＝，
将t＝0，x＝1代入，得k＝2，∴x＝3－.
当年生产x万件时，年生产成本＝年生产费用＋固定费用＝32x＋3＝32(3－)＋3，当销售x万件时，年销售收入＝150%·[32(3－)＋3]＋t.
由题意，生产x万件化妆品正好销完，
所以年利润＝年销售收入－年生产成本－年促销费，
即y＝(t≥0)．
(2)∵y＝50－(＋)≤50－2＝42(万元)，
当且仅当＝，
即t＝7时，ymax＝42，
∴当促销费定在7万元时，企业的年利润最大．
22．(2010年陕西高考改编)已知函数　f(x)＝，g(x)＝alnx，a∈R.
(1)若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)相交，且在交点处有共同的切线，求a的值和该切线方程；
(2)设函数h(x)＝　f(x)－g(x)，当h(x)存在最小值时，求其最小值φ(a)的解析式；
解：(1)f ′(x)＝，g′(x)＝(x>0)，
由已知得解得a＝，x＝e2，
∴两条曲线交点的坐标为(e2，e)，
切线的斜率为k＝f ′(e2)＝.
∴切线的方程为y－e＝(x－e2)．
(2)由条件知h(x)＝－2lnx(x>0)，
∴h′(x)＝－＝.
①当a>0时，令h′(x)＝0，解得x＝4a2，
∴当0当x>4a2时，h′(x)>0，h(x)在(4a2，＋∞)上递增．
∴x＝4a2是h(x)在(0，＋∞)上的惟一极值点，且是极小值点，从而也是h(x)的最小值点．
∴最小值φ(a)＝h(4a2)＝2a－aln4a2＝2a(1－ln2a)．
②当a≤0时，h′(x)＝>0，h(x)在(0，＋∞)上递增，无最小值．故h(x)的最小值φ(a)的解析式为φ(a)＝2a(1－ln2a)(a>0)．
(3)由(2)知φ′(a)＝－2ln2a，对任意的a>0，b>0，
＝－＝－ln4ab，①
φ′()＝－2ln(2·)＝－ln(a＋b)2≤－ln4ab，②
φ′()＝－2ln(2·)≥－2ln＝－ln4ab，③
故由①②③得φ′()≤≤φ′()．