计数原理与概率、

计数原理与概率 专题测试
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。)
1．将4个不同的电脑课件存入三个不同的文件夹，则不同的保存方法有(　　)
A．81种　　　　　　　　 B．64种
C．24种 D．4种
解析：可分四步完成，每存一个电脑课件作为一步，每步都有存入三个不同的文件夹这3种方法．因此，不同的保存方法有3×3×3×3＝34＝81种．
答案：A
2．已知(x－)5的展开式中，x的系数是40，则a的值为(　　)
A．2 B．－2
C．±2 D．±
解析：Tr＋1＝C5r(－1)rArx5－2r，令5－2r＝1，得r＝2，则C52·A2＝40，解得a＝±2.
答案：C
3．从45名男生和15名女生中按分层抽样的方法，选出16人参加迎接外宾活动，若这16人站成两排，每排各8人，则不同的排法总数为(　　)
A．C4512C154 B．C4510C156A1612A66
C．C4510C156 D．C4512C154A1616
解析：由分层抽样知识知，男生应抽12人，女生应抽4人，抽出16人的方法数为C4512C154；16人站成两排，每排各8人的方法数为A168A88＝A1616，所以不同的排法总数为C4512C154A1616.
答案：D
4．(2011年重庆一中第一次月考)一高三学生计划报名参加某7所高校中的4所学校的自主招生考试，其中仅甲、乙两所学校的考试时间相同，因此该学生不能同时报考这两所学校，那么该学生不同的报考方法有(　　)
A．20 B．25
C．30 D．35
解析：若选择甲校，有C53＝10(种)；若选择乙校，有C53＝10(种)；若甲、乙都不选，则有C54＝5种，共有25(种)，故选B.
答案：B
5．(2011年福建省诏安一中、长泰一中、龙海二中、平和一中、南靖一中五校联考)设a、b、m为整数(m>0)，若a和b被m除得的余数相同，则称a和b对模m同余．记为a≡b(mod m)．已知a＝1＋C201＋C202·2＋C203·22＋…＋C2020·219，b≡a(mod 10)，则b的值可以是(　　)
A．2011 B．2010
C．2008 D．2006
解析：∵1＋C201＋2C202＋22C203＋…＋219C2020
＝(2＋2C201＋22C202＋…＋220C2020)
＝C200＋(C200＋2C201＋22C202＋…＋220C2020)
＝＝
＝
＝
＝1＋10×5(C100108－C101107＋…＋2C108－1)
∴a被10整除的余数为1.
又b＝a(mod 10)，因此b的值应被10整除余1，故选A.
答案：A
6．(2011年佛山一模)已知某射击运动员，每次击中目标的概率都是0.8.现采用随机模拟的方法估计该运动员射击4次，至少击中3次的概率：先由计算器算出0到9之间取整数值的随机数，指定0,1，表示没有击中目标，2,3,4,5,6,7,8,9表示击中目标；因为射击4次，故以每4个随机数为一组，代表射击4次的结果．经随机模拟产生了20组随机数：
5727　0293　7140　9857　0347　4373　8636　9647　1417　4698　0371　6233　2616　8045　6011　3661　9597　7424　6710　4281
据此估计，该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为(　　)
A．0.85 B．0.8192
C．0.8 D．0.75
解析：由随机数表可以看出，20次射击中至少击中3次的有15次，故所求概率为P＝＝0.75.
答案：D
7．(2011年衡阳联考)设随机变量ξ服从正态分布N(0,1)，记Φ(x)＝P(ξ①Φ(0)＝0.5；②Φ(x)＝1－Φ(－x)；③P(|ξ|<2)＝2Φ(2)－1.则正确结论的序号是(　　)
A．①② B．①③
C．②③ D．①②③
解析：依题意，Φ(0)＝1－Φ(－0)，∴Φ(0)＝，①正确；Φ(x)＝P(ξ－x)＝1－Φ(－x)，②正确；P(|ξ|<2)＝P(－2<ξ<2)＝Φ(2)－Φ(－2)＝Φ(2)－1＋Φ(2)＝2Φ(2)－1，③正确．
答案：D
8．某学校有教职工100人，其中教师80人，职员20人．现从中随机抽取10人组成一个考察团外出学习考察，则这10人中恰有8名教师的概率为(　　)
A. B.
C. D.
解析：依题意得从100名教职工中随机抽取10人的选法种数是C10010种，其中所选的10人中恰有8名教师的选法种数是C808C202种，因此所求的概率等于，选C.
答案：C
9．(2011年安徽六校联考)某五所大学进行自主招生，同时向一所重点中学的五位学习成绩优秀，并在某些方面有特长的学生发出提前录取通知单．若这五名学生都愿意进这五所大学中的任意一所就读，则仅有两名学生录取到同一所大学(其余三人在其他学校各选一处不同大学)的概率是(　　)
A. B.
C. D.
解析：5名学生报考5所大学，事件的总数为55，其中两名学生录取到同一所大学的事件数为C51C52A43，故P＝＝.
答案：D
10．(2012年山东泰安模拟)如图，设D是图中边长为4的正方形区域，E是D内函数y＝x2图象下方的点构成的区域，在D中随机取一点，则该点在E中的概率为(　　)
A. B.
C. D.
解析：函数y＝x2与x＝0，x＝2及x轴围成的面积为S1＝∫20x2dx＝，
故图中阴影部分面积为S＝2S1＝.
所以P(E)＝＝
答案：C
11．(2011年福建省诏安、长泰、龙海、平和、南靖五校模拟)某市组织一次高三调研考试，考试后统计的数学成绩服从正态分布，其密度函数为　f(x)＝e－(x∈R)，则下列命题不正确的是(　　)
A．该市这次考试的数学平均成绩为80分
B．分数在120分以上的人数与分数在60分以下的人数相同
C．分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同
D．该市这次考试的数学成绩标准差为10
解析：由概率密度函数解析式可知μ＝80，σ＝10，因此A、D正确，又正态分布曲线关于x＝μ＝80对称，故C对，B错
答案：B
12．(2011年山东潍坊模拟)某市进行一次高三教学质量抽样检测，考试后统计的所有考生的数学成绩服从正态分布．已知数学成绩平均分为90分，60分以下的人数占10%，则数学成绩在90分至120分之间的考生人数所占百分比约为(　　)
A．10% B．20%
C．30% D．40%
解析：由于数学成绩平均分为90，即正态分布曲线关于x＝μ＝90对称，由P(ξ<60)＝0.1知P(ξ>120)＝0.1，故P(90≤ξ≤120)＝＝0.4.
答案：D
二、填空题(本大题共4小题，每题5分，共20分．把答案填在题中横线上．)
13．(2011年浙江金华模拟)若(x＋1)n＝xn＋…＋ax3＋bx2＋…＋1，且a＝3b，则n＝________.
解析：因为a＝Cn3，b＝Cn2，
故由a＝3b可知Cn3＝3Cn2，
解方程得n＝11.
答案：11
14．某表演艺术团团长决定从武功超群的10名男弟子，6名女弟子中挑选3名按先后顺序出场进行剑术表演，若要求选出的人中既有男弟子又有女弟子，则不同的表演方案共有________种．(用数字作答)
解析：N＝(C163－C103－C63)·A33＝2520.
答案：2520
15．(2011年湖南十二校联考)在平面直角坐标系xOy中，设D是由不等式|x|＋|y|≤1表示的区域，E是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向E中随机投一点，则所投点落在D中的概率是________．
解析：|x|＋|y|≤1，，，，
P＝＝.
答案：
16．对有n(n≥4)个元素的总体{1,2，…，n}进行抽样，先将总体分成两个子总体{1,2，…，m}和{m＋1，m＋2，…，n}(m是给定的正整数，且2≤m≤n－2)，再从每个子总体中各随机抽取2个元素组成样本．用Pij表示元素i和j同时出现在样本中的概率，则P1n＝________；所有Pij(1≤i解析：P1n＝
＝＝；第二个空可分三种情况：①当i，j∈{1,2，…，m}时，Pij的和为＝1；②当i，j∈{m＋1，m＋2，…，n}时，Pij的和为1；③当i∈{1,2，…，m}，j∈{m＋1，m＋2，…，n}时，Pij的和为m(n－m)×＝4.
所以所有Pij的和为1＋1＋4＝6.
答案：　6
三、解答题(本大题共6小题，共70分，17题10分，18～22题，每题12分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)
17．已知(2＋)n展开式中的第四、第五、第六项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大的项的系数．
解：由于第四、第五、第六项的二项式系数成等差数列可得
Cn4＋Cn6＝2Cn5建立关于n的方程得
＋
＝2·，
化简得n2－21n＋98＝0，解得n＝14或7，当n＝14时，二项式系数最大的项是T8，其系数为C147·27·()7＝3432；当n＝7时，二项式系数最大的项是T4和T5，T4的系数为C73·24()3＝70，T5的系数为C74·23()4＝.
18．用0,1,2,3,4这五个数字，可以组成多少个满足下列条件的没有重复的五位数．
(1)被4整除；
(2)比21034大的偶数；
(3)左起第二、四位是奇数的偶数．
解：(1)被4整除的数，其特征应是末两位数是4的倍数，可分两类：当末两位数是20,40,04时，其排列数为3A33＝18个，当末两位数是12,24,32时，其排列数为3·A21A22＝12个，故满足条件的五位数共有
3A33＋3A21A22＝30个．
(2)解法一：可分五类，当末位数是0，而首位数是2时，
有A21A22＋A22＝6个；
当末位数字是0，而首位数字是3或4时，
有A21A33＝12个；
当末位数字是2，而首位数字是3或4时，有A21A33＝12个；当末位数字是4，而首位数字是2时，有A22＋A11＝3个；当末位数字是4，而首位数字是3时，有A33＝6个．
故有(A21A22＋A22)＋A21A33＋A21A33＋A22＋A11＋A33＝39个．
解法二：不大于21034的偶数可分为三类：
万位数字为1的偶数，有A31A33＝18个；
万位数字为2，而千位数字是0的偶数，有A21个；
还有21034本身．
而由0,1,2,3,4组成的五位偶数有
A44＋A21A33A53＝60个．
故满足条件的五位偶数共有60－A31A33－A21－1＝39个．
(3)解法一：可分两类，0是末位数，有A22A22＝4个，2或4是末位数，有A22A21＝4个．故共有A22A22＋A22A21＝8个．
解法二：第二、四位从奇数1,3中取，有A22；首位从2,4中取，有A21个；余下的排在剩下的两位，有A22个，
故共有A22A21A22＝8个．
19．(2011年福州质检)“石头、剪刀、布”是一种广泛流传于我国民间的古老游戏，其规则是：用三种不同的手势分别表示石头、剪刀、布；两个玩家同时出示各自手势1次记为1次游戏，“石头”胜“剪刀”，“剪刀”胜“布”，“布”胜“石头”；双方出示的手势相同时，不分胜负．现假设玩家甲、乙双方在游戏时出示三种手势是等可能的．
(1)写出玩家甲、乙双方在1次游戏中出示手势的所有可能结果；
(2)求出在1次游戏中玩家甲不输于玩家乙的概率．
解：(1)玩家甲、乙双方在1次游戏中出示手势的所有可能结果是：(石头，石头)；(石头，剪刀)；(石头，布)；(剪刀，石头)；(剪刀，剪刀)；(剪刀，布)；(布，石头)；(布，剪刀)；(布，布)．
(2)由(1)知，基本事件共有9个，玩家甲不输于玩家乙的基本事件分别是：(石头，石头)；(石头，剪刀)；(剪刀，剪刀)；(剪刀，布)；(布，石头)；(布，布)，共有6个．所以，在1次游戏中玩家甲不输于玩家乙的概率P＝＝.
20．(2011年东北三校第一次联考)某学校为了了解学生的日平均睡眠时间(单位：h)，随机选择了n名同学进行调查．下表是这n名同学的日睡眠时间的频率分布表.
序号(i) 分组(睡眠时间) 频数(人数) 频率
1 [4,5) 6 0.12
2 [5,6) 0.20
3 [6,7) a
4 [7,8) b
5 [8,9) 0.08
(1)求n的值；若a＝20，将表中数据补全，并画出频率分布直方图；
(2)统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值(例如区间[4,5)的中点值是4.5)作为代表．若据此计算的上述数据的平均值为6.52，求a，b的值，并由此估计该学校学生的日平均睡眠时间在7小时以上的概率．
解：(1)由频率分布表可得n＝＝50.
补全数据如下表：
序号(i) 分组(睡眠时间) 频数(人数) 频率
1 [4,5) 6 0.12
2 [5,6) 10 0.20
3 [6,7) 20 0.40
4 [7,8) 10 0.20
5 [8,9) 4 0.08
频率分布直方图如下：
(2)由题意
解得a＝15，b＝15.
设“该学校学生的日平均睡眠时间在7小时以上”为事件A，
则P(A)＝P(x≥7)＝＝0.38.
答：该学校学生的日平均睡眠时间在7小时以上的概率约为0.38.
21．(2010年重庆高考)在甲、乙等6个单位参加的一次“唱读讲传”演出活动中，每个单位的节目集中安排在一起，若采用抽签的方式随机确定各单位的演出顺序(序号为1,2，…，6)，求：
(1)甲、乙两单位的演出序号至少有一个为奇数的概率；
(2)甲、乙两单位之间的演出单位个数ξ的分布列与期望．
解析：(1)设A表示“甲、乙的演出序号至少有一个为奇数”，则表示“甲、乙的序号均为偶数”，由等可能性事件的概率计算公式得
P(A)＝1－P()＝1－＝1－＝.
(2)ξ的所有可能值为0,1,2,3,4，且P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝，P(ξ＝3)＝＝，P(ξ＝4)＝＝.
从而知ξ有分布列
ξ 0 1 2 3 4
P
所以，Eξ＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝.
22．(2010年浙江高考)如图，一个小球从M处投入，通过管道自上而下落到A或B或C.已知小球从每个叉口落入左右两个管道的可能性是相等的．
某商家按上述投球方式进行促销活动，若投入的小球落到A，B，C，则分别设为1,2,3等奖．
(1)已知获得1,2,3等奖的折扣率分别为50%,70%,90%.记随机变量ξ为获得k(k＝1,2,3)等奖的折扣率，求随机变量ξ的分布列及期望Eξ；
(2)若有3人次(投入1球为1人次)参加促销活动，记随机变量η为获得1等奖或2等奖的人次，求P(η＝2)．
解：(1)由题意得ξ的分布列为
ξ 50% 70% 90%
P
则Eξ＝×50%＋×70%＋×90%＝.
(2)由(1)可知，获得1等奖或2等奖的概率为＋＝.
由题意得η～B(3，)，则P(η＝2)＝C32()2(1－)＝.