集合与常用逻辑用语、

集合与常用逻辑用语 专题测试
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。)
1．(2011年北京)已知集合A＝{x|x≠1，x∈R}，A∪B＝R，则集合B不可能是(　　)
A．{x|x>－2，x∈R}　　　　　 B．{x|x<－2，x∈R}
C．{x|x≠－2，x∈R} D．{0，－2,1}
解析：依题意知，要使A∪B＝R，则需1∈B，结合各选项知，集合B不可能是{x|x<－2，x∈R}，选B.
答案：B
2．(2011年湖北八校联考)“a＝－1”是“直线a2x－y＋6＝0与直线4x－(a－3)y＋9＝0互相垂直”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案：B
3．(2011年黄冈3月质检)已知全集I＝{1,2,3,4,5,6,7}，M＝{3,4,5}，N＝{1,3,6}，则集合{2,7}等于(　　)
A．( IM)∩( IN) B．( IM)∪( IN)
C．M∪N D．M∩N
解析：M∪N＝{1,3,4,5,6}， I(M∪N)＝{2,7}＝( IM)∩( IN)．
答案：A
4．“a2＋b2≠0”的含义为(　　)
A．a，b不全为0
B．a，b全不为0
C．a，b至少有一个为0
D．a不为0且b为0，或b不为0且a为0
解析：a2＋b2＝0 a＝0，b＝0，于是a2＋b2≠0，就是对a＝0，b＝0，即a，b都为0的否定，而“都”的否定为“不都是”或“不全是”，所以应该是“a，b不全为0”．
答案：A
5．设命题：p：若a>b，则<；q：若<0，则ab<0；给出以下3个复合命题：①p∧q；②p∨q③ p∧ q.其中真命题个数为(　　)
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
解析：p：若a>b，则<，是假命题；q：若<0，则ab<0，是真命题．所以 p是真命题， q是假命题；所以①p∧q是假命题，②p∨q是真命题，③ p∧ q是假命题．故选B.
答案：B
6．已知全集U＝A∪B中有m个元素，( UA)∪( UB)中有n个元素．若A∩B非空，则A∩B的元素个数为(　　)
A．mn B．m＋n
C．n－m D．m－n
解析：U＝A∪B中有m个元素，
∵( UA)∪( UB)＝ U(A∩B)中有n个元素，∴A∩B中有m－n个元素，故选D.
答案：D
7．命题“存在一个三角形，内角和不等于180°”的否定为(　　)
A．存在一个三角形，内角和等于180°
B．所有三角形，内角和都等于180°
C．所有三角形，内角和都不等于180°
D．很多三角形，内角和不等于180°
解析：该命题是一个“存在性命题”，于是“存在”否定为“所有”；“不等于”否定为“都等于”．
答案：B
8．已知条件p：(x＋1)2>4，条件q：x>a，且 p是 q的充分而不必要条件，则a的取值范围是(　　)
A．a≥1 B．a≤1
C．a≥－3 D．a≤－3
解析：由(x＋1)2>4得x>1或x<－3，∴p：x>1或x<－3.
∵ p是 q的充分而不必要条件，即p是q的必要不充分条件，∴pq，但q p.∴a≥1.
答案：A
9．(2011年湖北八市三月调考)设集合M＝{y|y＝2x，x<0}，N＝{y|y＝log2x,0A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：M＝{y|0答案：D
10．设※是集合A中元素的一种运算，如果对于任意的x，y∈A都有x※y∈A，则称运算※对集合A是封闭的，若M＝{x|x＝a＋b，a，b∈Z}，则对集合M不封闭的运算是(　　)
A．加法 B．减法
C．乘法 D．除法
解析：设x＝a＋b，y＝c＋d(a、b、c、d∈Z)，
则x＋y＝(a＋c)＋(b＋d)∈M，所以加法对集合M封闭；x－y＝(a－c)＋(b－d)∈M，
∴减法对集合M封闭．
xy＝(ac＋2bd)＋(ad＋bc)∈M，
∴乘法对集合M封闭．
＝＝
＝＋，
故除法对集合M不封闭，选D.
答案：D
11．(2010年广州模拟)如图所示，A，B是两非空集合，定义集合A#B为阴影部分表示的集合，若x，y∈R，A＝{x|y＝}，B＝{y|y＝2x，x>0}，则A#B＝(　　)
A．{x|0C．{x|0≤x≤1或x≥2} D．{x|0≤x≤1或x>2}
解析：由2x－x2≥0得0≤x≤2.
∴A＝{x|0≤x≤2}．
∵x>0，∴2x>1.∴B＝{y|y>1}，
∴A∩B＝{x|1∴A#B＝{x|0≤x≤1或x>2}．
答案：D
12．(2011年山西四校联考)下列命题
①命题“若x≠1，则x2－3x＋2≠0”的逆否命题是“若x2－3x＋2＝0，则x＝1”．
②命题P： x∈R，x2＋x＋1≠0，则綈P： x0∈R，x02＋x0＋1＝0.
③若p∨q为真命题，则p、q均为真命题．
④“x>2”是“x2－3x＋2>0”的充分不必要条件．
其中真命题的个数有(　　)
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
解析：①②④正确，③错：p∨q一真则真．
答案：C
二、填空题(本大题共4小题，每题5分，共20分．把答案填在题中横线上．)
13．(2010年江苏省苏州六校联合高三调研考试)已知全集U＝R，集合M＝{x|lgx<0}，N＝{x|()x≥}，则( UM)∩N＝________.
解析：∵M＝{x|lgx<0}＝{x|0N＝{x|()x≥＝()}＝{x|x≤}，
UM＝{x|x≥1或x≤0}，
( UM)∩N＝{x|x≤0}．
答案：(－∞，0]
14．(2010年山东烟台适应性考试)命题p： x∈R，f(x)≥m，则命题p的否定 p是________．
答案： x0∈R，f(x0)15．已知条件p：|x＋1|>2，条件q：5x－6>x2，则非p是非q的________条件．
解析：∵p：x<－3或x>1，∴ p：－3≤x≤1.
∵q：2答案：充分不必要
16．(2010年上海高考)从集合U＝{a，b，c，d}的子集中选出4个不同的子集，需同时满足以下两个条件：
(1) ，U都要选出；
(2)对选出的任意两个子集A和B，必有A B或B A.那么共有________种不同的选法．
解析：设四个子集为A、B、C、D并且A B C D
则A　　B　　C　　D
1 2 4　选法4×3＝12
1 3 4　选法4×3＝12
2 3 4　选法6×2＝12
其中1,2,3,4表示子集中元素个数．
∴总的选法为12＋12＋12＝36种．
答案：36
三、解答题(本大题共6小题，共70分，17题10分，18～22题，每题12分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)
17．(2010年南京江苏模拟题)设A＝{x|x2＋4x＝0}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0}．
(1)若A∩B＝B，求a的值；
(2)若A∪B＝B，求a的值．
解：由已知A＝{x|x2＋4x＝0}，得A＝{－4,0}．
(1)B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0}．∵A∩B＝B，∴B A.
①若0∈B，则a2－1＝0，解得a＝±1.
当a＝1时，B＝A；当a＝－1时，B＝{0}．
②若－4∈B，则a2－8a＋7＝0，解得a＝7或a＝1.
当a＝7时，B＝{－12，－4}，B A.
③若B＝ ，则Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)<0，解得a<－1.
由①②③得a＝1，或a≤－1.
(2)∵A∪B＝B，∴A B.
∵A＝{－4,0}，B至多有两个元素，∴A＝B，由(1)知，a＝1.
18．写出下列命题的否定：
(1)所有自然数的平方是正数；
(2)任何实数x都是方程5x－12＝0的根；
(3)对于任意实数x，存在实数y，使x＋y>0；
(4)有些质数是奇数．
解析：(1) x∈N，使得x2≤0.
(2) x∈R,5x－12≠0.
(3)对于任意实数x、y，有x＋y≤0.
(4)所有质数都不是奇数．
19．(2010年汕头模拟)已知集合A＝{x|2－a≤x≤2＋a}，B＝{x|x2－5x＋4≥0}，
(1)当a＝3时，求A∩B，A∪( UB)；
(2)若A∩B＝ ，求实数a的取值范围．
解析：(1)当a＝3时，A＝{x|－1≤x≤5}，
B＝{x|x2－5x＋4≥0}＝{x|x≤1或x≥4}．
UB＝{x|1A∩B＝{x|－1≤x≤1或4≤x≤5}，
A∪( UB)＝{x|－1≤x≤5}．
(2)当a<0时，A＝ ，显然A∩B＝ ，
当a≥0时，A≠ ，A＝{x|2－a≤x≤2＋a}，
B＝{x|x2－5x＋4≥0}＝{x|x≤1或x≥4}．
由A∩B＝ ，得，
解得0≤a<1.
故实数a的取值范围是(－∞，1)．
20．已知函数f(x)＝4sin2(＋x)－2cos2x－1，且给定条件p：“≤x≤”，
(1)求　f(x)的最大值及最小值；
(2)若又给条件q：“|f(x)－m|<2”，且p是q的充分条件，求实数m的取值范围．
解析：(1)∵f(x)＝2[1－cos(＋2x)]－2cos2x－1
＝2sin2x－2cos2x＋1＝4sin(2x－)＋1.
又∵≤x≤，∴≤2x－≤，
即3≤4sin(2x－)＋1≤5，
∴f(x)max＝5，f(x)min＝3.
(2)∵|f(x)－m|<2，∴m－2又∵p是q的充分条件，
∴，解得321．已知数列{an}的前n项和Sn＝pn＋q(p≠0，且p≠1)，求证：数列{an}为等比数列的充要条件为q＝－1.
证明：充分性：当q＝－1时，a1＝S1＝p＋q＝p－1.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝pn－1(p－1)．当n＝1时也成立．
于是＝＝p(n∈N＋)，即数列{an}为等比数列．
必要性：当n＝1时，a1＝S1＝p＋q.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝pn－1(p－1)．
∵p≠0，p≠1，∴＝＝p.
∵{an}为等比数列，∴＝＝p，＝p，
即p－1＝p＋q.∴q＝－1.
综上所述，q＝－1是数列{an}为等比数列的充要条件．
22．(2010年铁岭模拟)命题p：实数x满足x2－4ax＋3a2<0，其中a<0，命题q：实数x满足x2－x－6≤0或x2＋2x－8>0，且 p是 q的必要不充分条件，求a的取值范围．
解析：设A＝{x|x2－4ax＋3a2<0，a<0}
＝{x|3aB＝{x|x2－x－6≤0或x2＋2x－8>0}
＝{x|x2－x－6≤0}∪{x|x2＋2x－8>0}
＝{x|－2≤x≤3}∪{x|x<－4或x>2}
＝{x|x<－4或x≥－2}．
因为 p是 q的必要不充分条件，
所以 q p，且 p q，
而 RB＝{x|－4≤x<－2}，
RA＝{x|x≤3a或x≥a}，
则或，
即－≤a<0或a≤－4.