弧长及扇形的面积
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(共30张PPT)
（1）已知⊙O的半径为R，1o的圆心角所对的弧长是多少？
A
B
O
R
（2）no的圆心角所对的弧长是多少？
1o的圆心角所对的弧长是
no的圆心角所对的弧长是
弧长公式
若⊙O的半径为R， no的圆心角所对的弧长l 是
练一练：
（1）1o的弧长是 。半径为10厘米
的圆中，60o的圆心角所对的弧长是 厘米
（2）如图，同心圆中，大圆半径OA、OB交小圆于C、D，且OC∶OA=1∶2，则弧CD与弧AB长度之比为（ ）
O
A
B
C
D
（A）1∶1 （B）1∶2
（C）2∶1 （D）1∶4
B
在一块空旷的草地上有一根柱子，柱子上栓着一条长3m的绳子，绳子的一端栓着一只狗。
（1）这只狗的最大活动区域有多大？
（2）如果这只狗只能绕柱子转过no的角，那么它的最大活动区域有多大？
9πm2
no
在(2)问里狗活动的区域是一个什么图形呢
一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫做扇形
扇形的周长是
2R+L
no
R
R
L
圆的面积是πR2,
那么1o圆心角所对的扇形的面积是
no圆心角所对的扇形的面积是
（2）如果这只狗只能绕柱子转过no的角，那么它的最大活动区域有多大？
弧长公式与扇形的面积公式之间的联系：
（1）当已知弧长L和半径R， 求扇形面积时，应选用
（2）当已知半径和圆心角的度数，求扇形面积时，应选用
例2:已知扇形AOB的半径为12cm,∠AOB=120o,求弧AB的长和扇形AOB的面积.
一个扇形的圆心角为90o，半径为2，
则弧长= ，扇形面积= .
2. 一个扇形的弧长为20πcm，面积是240πc㎡，则该扇形的圆心角为 .
已知扇形的圆心角为120o，半径为6，则扇形的弧长是 （ ）
A. 3π B.4π C.5π D.6π
π
π
150o
B
【例1】图中的粗线CD表示某条公路的一段，其中AmB是一
段圆弧，AC、BD是线段，且AC、BD分别与 相切于点A、
B，线段AB=180 m,∠ABD=150°.
(1)画出 的圆心O；
(2)求A到B这段弧形公路的长.
【思路点拨】(1)分别过A、B两点作AC、BD的垂线可得解.
(2)由已知条件,得出 所在圆的半径可得解.
弧长的计算
【自主解答】(1)如图，过A作AO⊥AC，过B作BO⊥BD，AO与
BO相交于O，O即为圆心.
说明：若不写作法，必须保留作图痕迹，其他作法略.
(2)∵AO、BO都是 的半径，O是其圆心，
∴∠OBA=∠OAB=150°-90°=60°.
∴△AOB为等边三角形.∴AO=BO=AB=180(m).
∴
∴A到B这段弧形公路的长为60π m.
1.钟表的轴心到分针针端的长为5 cm，那么经过40 min,分针针端转过的弧长是( )
【解析】选B.经过40 min，分针转过的角度为
∴转过的弧长为：
2.一个扇形的圆心角为90°，半径为2，则这个扇形的弧长为_______．(结果保留π)
【解析】根据弧长公式计算：
答案：π
3. 如图，某传送带的一个转动轮的半径为10 cm．
(1)转动轮转一周，传送带上的物品A被传送多少厘米？
(2)转动轮转1°，传送带上的物品A被传送多少厘米？
(3)转动轮转n°，传送带上的物品A被传送多少厘米？
【解析】 (1)转动轮转一周，传送带上的物品A被传送2π×10＝20π(厘米)；
(2)转动轮转1°，传送带上的物品A被传送
(3)转动轮转n°，传送带上的物品A被传送
扇形及与扇形有关的阴影面积
【例2】(8分)如图，在正方形ABCD中，AB=4，O为对角线BD的中点，分别以OB、OD为直径作⊙O1，⊙O2.
(1)求⊙O1的半径；
(2)求图中阴影部分的面积．
【解题导引】结合勾股定理求解圆的半径；阴影面积的计算，根据图形的对称性，可先计算其四分之一的面积(用扇形的面积减去三角形的面积).
【规范解答】(1)在正方形ABCD中，AB=AD=4，∠A=90°
∴⊙O1的半径为 …………………………………………3分
(2)连接O1E
∵BD为正方形ABCD的对角线,∴∠ABO=45°.
∵O1E=O1B,∴∠BEO1=∠EBO1=45°.
∴∠BO1E=90°……………………………5分
∴
根据图形的对称性得S1=S2=S3=S4
∴S阴影=4S1=2π-4……………………………………………8分
4.如图所示，以六边形的每个顶点为圆心，
1为半径画圆，则图中阴影部分的面积为_____.
【解析】设扇形的圆心角分别为n1°、n2°、n3°、n4°、
n5°、n6°，则n1°+n2°+n3°+n4°+n5°+n6°=720°，所
以阴影部分的面积为
答案：2π
5.如图，两个同心圆被两条半径截得的 的长为6π cm，
的长为10π cm，又AC＝12 cm，求阴影部分ABDC的面积．
【解析】设OA＝R，OC＝R＋12，∠O＝n°，
根据已知条件有：
∴3(R+12)=5R，∴R=18.
∴OC=18+12=30.
∴
所以阴影部分ABDC的面积为96π cm2．
当所求阴影部分的面积的图形不是规则图形或无法直接求解时，可以通过平移、旋转或通过和、差转化为规则图形的和或差来解决.
1.(2011·潍坊中考)如图，半径为1的小圆在半径为9的大圆内滚动，且始终与大圆相切，则小圆扫过的阴影部分的面积为( )
(A)17π (B)32π
(C)49π (D)80π
【解析】选B.由题意知S阴影=π×92-π×(9-2)2
=81π-49π=32π.
2.已知一条弧的半径为9，弧长为8π,那么这条弧所对的圆
心角为( )
(A)200° (B)160° (C)120° (D)80°
【解析】选B.求圆心角的度数是弧长公式或扇形面积公式
的一种逆用，运用公式时要注意分析公式中的量与已知量
之间的对应关系，对于本题由弧长公式可得
∴n=160,∴这条弧所对的圆心角为160°.
3.如图，在直角三角形ABC中，∠ABC=90°，AC=2，
以点A为圆心，AB为半径画弧，交AC于点D，则阴影部分的
面积是________.
【解析】直角三角形ABC中，∠ABC=90°，
AC=2， 所以
由 得∠A=60°.
所以阴影部分的面积=S△ABC-S扇形ADB=
答案：
4.如图，把Rt△ACB的斜边AB放在定直线l上，按顺时针方向在l上转动两次，使它转到△A″B′C′的位置.设BC=1，∠A=30°,则顶点A运动到点A″的位置时.
(1)求点A经过的路线长是多少？
(2)点A所经过的路线与l所围成的面积是多少？(计算结果不取近似值)
【解析】(1)∵∠A=30°.
∴∠ABC=∠A′BC′=60°,AB=2，
∴∠ABA′=120°.
∴
∴A点经过的路线长为：
(2)S扇形BAA′=
S扇形C′A′A″=
S△A′BC′ =
∴点A经过的路线与l所围成的面积是
（1）已知⊙O的半径为R，1o的圆心角所对的弧长是多少？
A
B
O
R
（2）no的圆心角所对的弧长是多少？
1o的圆心角所对的弧长是
no的圆心角所对的弧长是
弧长公式
若⊙O的半径为R， no的圆心角所对的弧长l 是
练一练：
（1）1o的弧长是 。半径为10厘米
的圆中，60o的圆心角所对的弧长是 厘米
（2）如图，同心圆中，大圆半径OA、OB交小圆于C、D，且OC∶OA=1∶2，则弧CD与弧AB长度之比为（ ）
O
A
B
C
D
（A）1∶1 （B）1∶2
（C）2∶1 （D）1∶4
B
在一块空旷的草地上有一根柱子，柱子上栓着一条长3m的绳子，绳子的一端栓着一只狗。
（1）这只狗的最大活动区域有多大？
（2）如果这只狗只能绕柱子转过no的角，那么它的最大活动区域有多大？
9πm2
no
在(2)问里狗活动的区域是一个什么图形呢
一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫做扇形
扇形的周长是
2R+L
no
R
R
L
圆的面积是πR2,
那么1o圆心角所对的扇形的面积是
no圆心角所对的扇形的面积是
（2）如果这只狗只能绕柱子转过no的角，那么它的最大活动区域有多大？
弧长公式与扇形的面积公式之间的联系：
（1）当已知弧长L和半径R， 求扇形面积时，应选用
（2）当已知半径和圆心角的度数，求扇形面积时，应选用
例2:已知扇形AOB的半径为12cm,∠AOB=120o,求弧AB的长和扇形AOB的面积.
一个扇形的圆心角为90o，半径为2，
则弧长= ，扇形面积= .
2. 一个扇形的弧长为20πcm，面积是240πc㎡，则该扇形的圆心角为 .
已知扇形的圆心角为120o，半径为6，则扇形的弧长是 （ ）
A. 3π B.4π C.5π D.6π
π
π
150o
B
【例1】图中的粗线CD表示某条公路的一段，其中AmB是一
段圆弧，AC、BD是线段，且AC、BD分别与 相切于点A、
B，线段AB=180 m,∠ABD=150°.
(1)画出 的圆心O；
(2)求A到B这段弧形公路的长.
【思路点拨】(1)分别过A、B两点作AC、BD的垂线可得解.
(2)由已知条件,得出 所在圆的半径可得解.
弧长的计算
【自主解答】(1)如图，过A作AO⊥AC，过B作BO⊥BD，AO与
BO相交于O，O即为圆心.
说明：若不写作法，必须保留作图痕迹，其他作法略.
(2)∵AO、BO都是 的半径，O是其圆心，
∴∠OBA=∠OAB=150°-90°=60°.
∴△AOB为等边三角形.∴AO=BO=AB=180(m).
∴
∴A到B这段弧形公路的长为60π m.
1.钟表的轴心到分针针端的长为5 cm，那么经过40 min,分针针端转过的弧长是( )
【解析】选B.经过40 min，分针转过的角度为
∴转过的弧长为：
2.一个扇形的圆心角为90°，半径为2，则这个扇形的弧长为_______．(结果保留π)
【解析】根据弧长公式计算：
答案：π
3. 如图，某传送带的一个转动轮的半径为10 cm．
(1)转动轮转一周，传送带上的物品A被传送多少厘米？
(2)转动轮转1°，传送带上的物品A被传送多少厘米？
(3)转动轮转n°，传送带上的物品A被传送多少厘米？
【解析】 (1)转动轮转一周，传送带上的物品A被传送2π×10＝20π(厘米)；
(2)转动轮转1°，传送带上的物品A被传送
(3)转动轮转n°，传送带上的物品A被传送
扇形及与扇形有关的阴影面积
【例2】(8分)如图，在正方形ABCD中，AB=4，O为对角线BD的中点，分别以OB、OD为直径作⊙O1，⊙O2.
(1)求⊙O1的半径；
(2)求图中阴影部分的面积．
【解题导引】结合勾股定理求解圆的半径；阴影面积的计算，根据图形的对称性，可先计算其四分之一的面积(用扇形的面积减去三角形的面积).
【规范解答】(1)在正方形ABCD中，AB=AD=4，∠A=90°
∴⊙O1的半径为 …………………………………………3分
(2)连接O1E
∵BD为正方形ABCD的对角线,∴∠ABO=45°.
∵O1E=O1B,∴∠BEO1=∠EBO1=45°.
∴∠BO1E=90°……………………………5分
∴
根据图形的对称性得S1=S2=S3=S4
∴S阴影=4S1=2π-4……………………………………………8分
4.如图所示，以六边形的每个顶点为圆心，
1为半径画圆，则图中阴影部分的面积为_____.
【解析】设扇形的圆心角分别为n1°、n2°、n3°、n4°、
n5°、n6°，则n1°+n2°+n3°+n4°+n5°+n6°=720°，所
以阴影部分的面积为
答案：2π
5.如图，两个同心圆被两条半径截得的 的长为6π cm，
的长为10π cm，又AC＝12 cm，求阴影部分ABDC的面积．
【解析】设OA＝R，OC＝R＋12，∠O＝n°，
根据已知条件有：
∴3(R+12)=5R，∴R=18.
∴OC=18+12=30.
∴
所以阴影部分ABDC的面积为96π cm2．
当所求阴影部分的面积的图形不是规则图形或无法直接求解时，可以通过平移、旋转或通过和、差转化为规则图形的和或差来解决.
1.(2011·潍坊中考)如图，半径为1的小圆在半径为9的大圆内滚动，且始终与大圆相切，则小圆扫过的阴影部分的面积为( )
(A)17π (B)32π
(C)49π (D)80π
【解析】选B.由题意知S阴影=π×92-π×(9-2)2
=81π-49π=32π.
2.已知一条弧的半径为9，弧长为8π,那么这条弧所对的圆
心角为( )
(A)200° (B)160° (C)120° (D)80°
【解析】选B.求圆心角的度数是弧长公式或扇形面积公式
的一种逆用，运用公式时要注意分析公式中的量与已知量
之间的对应关系，对于本题由弧长公式可得
∴n=160,∴这条弧所对的圆心角为160°.
3.如图，在直角三角形ABC中，∠ABC=90°，AC=2，
以点A为圆心，AB为半径画弧，交AC于点D，则阴影部分的
面积是________.
【解析】直角三角形ABC中，∠ABC=90°，
AC=2， 所以
由 得∠A=60°.
所以阴影部分的面积=S△ABC-S扇形ADB=
答案：
4.如图，把Rt△ACB的斜边AB放在定直线l上，按顺时针方向在l上转动两次，使它转到△A″B′C′的位置.设BC=1，∠A=30°,则顶点A运动到点A″的位置时.
(1)求点A经过的路线长是多少？
(2)点A所经过的路线与l所围成的面积是多少？(计算结果不取近似值)
【解析】(1)∵∠A=30°.
∴∠ABC=∠A′BC′=60°,AB=2，
∴∠ABA′=120°.
∴
∴A点经过的路线长为：
(2)S扇形BAA′=
S扇形C′A′A″=
S△A′BC′ =
∴点A经过的路线与l所围成的面积是