小题压轴题专练40—双曲线（4）-2021届高三数学二轮复习

小题压轴题专练40—双曲线（4）
单选题
1．已知双曲线的左焦点为，、为双曲线的左、右顶点，渐近线上的一点满足，且，则双曲线的离心率为　　
A． B． C． D．
解：由题意可得，，，，
设在渐近线上，且在第一象限内，由，解得，，即，
所以，，，
在中，由余弦定理可得，
可得，即，
所以．
故选：．
2．点是双曲线的右焦点，、分别为的右顶点、虚轴的上端点，若，则双曲线的离心率是　　
A． B． C． D．
解：如图，
，，
由，得，
，
，即，可得，
，解得，
故选：．
3．已知是有一内角为的直角三角形，若圆锥曲线以、为焦点，并经过点，则圆锥曲线的离心率不可能是　　
A． B． C． D．
解：①如果，设，，则，，
若圆锥曲线为椭圆，则；
若圆锥曲线为双曲线，则；
②如果，设，，则，，
若圆锥曲线为椭圆，则；
若圆锥曲线为双曲线，则；
③如果，设，，则，，
若圆锥曲线为椭圆，则；
若圆锥曲线为双曲线，则；
④如果，设，，则，，
若圆锥曲线为椭圆，则；
若圆锥曲线为双曲线，则；
所以该圆锥曲线的离心率不可以是．
故选：．
4．如图，已知双曲线的左、右焦点分别为，，以为直径的圆与双曲线的渐近线在第一象限的交点为，线段与另一条渐近线交于点，且的面积是面积的2倍，则该双曲线的离心率为　　
A． B． C． D．
解：设，，直线的方程为，①
以为直径的圆的方程为，②
由①②解得，，
直线的方程为，与渐近线方程，
解得，，
由的面积是面积的2倍，
可得到直线的距离为到直线的距离的2倍，
即有，
化为，即为，
所以．
故选：．
5．已知双曲线的左焦点为，左、右顶点分别为，，点，是双曲线上关于轴对称的两点，且直线经过点．如果是线段上靠近点的三等分点，在轴的正半轴上，且，，三点共线，，，三点共线，则双曲线的离心率为　　
A．5 B． C． D．6
解：设，，，
点，是双曲线上关于轴对称的两点，且直线经过点，可得轴，
令，可得，解得，
可设，，
由是线段上靠近点的三等分点，可得，
由在轴的正半轴上，可设，
由，，三点共线，可得，
即为，①
由，，三点共线，可得，
即为，②
由①②可得，
即为，即，
所以．
故选：．
6．已知，是双曲线的两个焦点，过的直线与圆切于点，且与双曲线右支交于点，是线段的中点，若，则双曲线的方程为　　
A． B．
C． D．
解：由题意可得，即，①
连接，在直角三角形中，可得，
又，可得，
则，，
又在直角三角形中，，
所以，
由为△的中位线，可得，
由双曲线的定义可得，即，②
由①②解得，，
所以双曲线的方程为．
故选：．
7．已知抛物线与双曲线有共同的焦点，为坐标原点，在轴上方且在双曲线上，则的最小值为　　
A． B． C． D．
解：抛物线即为，则，故焦点坐标，
抛物线与双曲线有共同的焦点，
，解得，
则双曲线的方程为，
设点的坐标为，，且，
，，，
其对称轴为，
故在，单调递增，
，
故选：．
8．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点且倾斜角为的直线1与双曲线的左、右支分别交于点，，且，则该双曲线的离心率为　　
A． B． C． D．
解：过作于点，设，
因为直线的倾斜角为，
所以在直角三角形中，，，
由双曲线的定义可得，所以，
同理可得，所以，
即，
所以，因此，
在直角三角形中，，
所以，所以，
则．
故选：．
多选题
9．已知双曲线，、分别为双曲线的左，右顶点，、为左、右焦点，，且，，成等比数列，点是双曲线的右支上异于点的任意一点，记，的斜率分别为，，则下列说法正确的是　　
A．当轴时，
B．双曲线的离心率
C．为定值
D．若为△的内心，满足，则
解：因为，，成等比数列，所以，
中，轴时，的坐标为：即，
所以，所以，所以不正确；
中，因为，所以可得，可得，又，
解得：，所以正确；
，设，，则，所以，
由题意可得，，所以，
由，可得，所以正确；
中因为，所以，
可得，所以正确；
故选：．
10．已知点是双曲线的右支上一点，、是双曲线的左、右焦点，△的面积为20，则下列说法正确的有　　
A．点的横坐标为 B．△的周长为
C．大于 D．△的内切圆半径为
解：设△的内心为，连接，，，
双曲线的，，，
不妨设，，，
由△的面积为20，可得，即，
由，可得，故正确；
由，，且，，
可得，，
则，
则，故不正确；
由，
则△的周长为，故正确；
设△的内切圆半径为，
可得，
可得，解得，故不正确．
故选：．
11．黄金分割是一种数学上的比例，是自然的数美．黄金分割具有严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值．应用时一般取0.618．北京新机场，自然也留下了黄金数的足迹．人们还发现，一些名画、雕塑、摄影作品的主题，大多在画面的0.618处．艺术家们认为弦乐器的琴马放在琴弦的0.618处，能使琴声更加柔和甜美．设离心率为黄金比的倒数的双曲线称为黄金双曲线．若，，分别是实半轴、虚半轴、半焦距的长，则对黄金双曲线，有　　
A．当焦点在轴时，其标准方程为：
B．若双曲线的弦的中点为，则
C．双曲线中，，成等比数列
D．双曲线的右顶点，点和左焦点构成是直角三角形
解：对于：若为黄金双曲线，则离心率为，
又因为，
所以，
所以黄金双曲线的方程为，故正确；
对于：由上可知，黄金双曲线的方程为，
设，，，，线段的中点，
则，，
两式相减得，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以，故错误；
对于：由上可知，
，
所以，
故双曲线中，，成等比数列，故正确；
对于，，
所以，
故，故正确．
故选：．
12．已知，是双曲线的两个焦点，半焦距为，过其中一个焦点与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点，且点在以线段为直径的圆内，则下列说法正确的是　　
A．过与双曲线的实轴垂直的直线与双曲线交于点和，则线段长为
B．
C．
D．双曲线离心率的取值范围是
解：根据题意可得，，
对于：过与双曲线的实轴垂直的直线为，
联立，解得，
所以，，，，
所以，故正确，
对于，：过点与渐近线平行的直线为，
联立可得，解得，
所以点的坐标为，，故正确，错误；
对于：因为点在以线段为直径的圆内，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以双曲线的离心率范围为，故正确，
故选：．
填空题
13．已知，分别是双曲线的左、右焦点，直线为双曲线的一条渐近线，关于直线的对称点在以为圆心，以半焦距为半径的圆上，则双曲线的离心率为　　．
解：直线为双曲线的一条渐近线，设直线为，
设，，
设关于直线的对称点为，
所以，，
解得，，
即，，
因为是以为圆心，以半焦距为半径的圆上的一点，
所以，
整理可得，
即，
，
故答案为：2．
14．在平面直角坐标系中，椭圆，双曲线，、分别为，上的动点、都不在坐标轴上），且，则的值为　　．
解：由题意，直线、均不与坐标轴重合，
双曲线的渐近线方程为，
设直线的方程为，由，
可得直线的方程为，
联立，得，
，
联立，得，
，
．
故答案为：．
15．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线交的右支于，两点，且，的周长等于焦距的3倍，若，则的离心率的取值范围是　　．
解：设，由，可得，
令，，由双曲线的定义可得，，则，
又的周长等于焦距的3倍，即有，所以，
可得，，
若，则，
即，化为，
则，
故离心率的取值范围是，．
故答案为：，．
16．已知双曲线的离心率为2，且双曲线与椭圆有相同的焦点．点在双曲线上，过点分别作双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为，，则的最小值为　　．
解：由题意可得，则．．
故双曲线的方程为．
其渐近线方程为．
设点，，过点分别作双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为，，
设，，则，，
故．
因为点在双曲线上．所以．则．
因为渐近线的倾斜角为．
所以，故．
在中，由余弦定理可得，
当且仅当时等号成立，则，即的最小值为．
故答案为：．