小题压轴题专练39—双曲线（3）-2021届高三数学二轮复习

小题压轴题专练39—双曲线（3）
单选题
1．已知圆与轴的交点分别为双曲线的顶点和焦点，设，分别为双曲线的左、右焦点，为右支上任意一点，则的取值范围为　　
A．， B．， C．， D．，
解：令中的，解得或5，
则双曲线的，，
设，，
由双曲线的定义可得，
所以，
由，递增，可得，
则，
所以，
故选：．
2．已知双曲线，为坐标原点，，为双曲线上两动点，且，则面积的最小值为　　
A．20 B．15 C．30 D．25
解：设直线的方程为，，
且在第一象限内，
代入双曲线，可得，，
由，可将上面中的换为，
可得，，
所以面积
，
当且仅当，即时，上式取得等号，
所以面积的最小值为20．
故选：．
3．已知双曲线的右顶点为，抛物线的焦点为．若在双曲线的渐近线上存在一点，使得，则双曲线的离心率的取值范围是　　
A． B．， C． D．，
解：由题意知，，，
不妨设点在渐近线上，，
，
，，，即，
整理得，，
原问题可转化为关于的方程有根，
△，
，
又，，．
故选：．
4．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点作倾斜角为的直线交双曲线的右支于，两点，其中点在第一象限，且．若，则双曲线的离心率为　　
A．4 B． C． D．2
解：由双曲线的定义知，，
，
，即，
，
在△中，由余弦定理知，，
，
，
，
，解得或（舍，
双曲线的离心率为2．
故选：．
5．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过作圆的切线，切点为，延长交双曲线的左支于点．若，则双曲线的离心率的取值范围是　　
A． B．， C． D．
解：在中，，，，，
由双曲线的定义知，，
在△中，由余弦定理知，，
，
解得，
，
，，即，
，
离心率，．
故选：．
6．已知双曲线的右焦点为，过原点的直线与双曲线交于，两点，且，则的面积为　　
A．3 B． C． D．
解：设双曲线的左焦点为，连接，，
由双曲线的定义知，，，
由双曲线的对称性知，，
，即，
，，
在△中，由余弦定理知，，
，
，
的面积．
故选：．
7．已知椭圆与双曲线有相同的左焦点、右焦点，点是两曲线的一个交点，且．过作倾斜角为的直线交于，两点（点在轴的上方），且，则的值为　　
A． B． C． D．
解：设椭圆的方程为，
双曲线的方程为的焦点为，，，，
可得，
由，可得，
设，，则，，
且，
所以，
则，即，，
则椭圆的方程为，
过作倾斜角为的直线的方程为，
联立，可得，
解得，，
交点为，，，，
，，
所以．
故选：．
8．设，为双曲线的两个焦点，点是双曲线上一点，若右焦点，，且一条渐近线与圆相切，则△的最小内角的余弦值为　　
A． B． C． D．
解：双曲线的，即，
且是双曲线的一条渐近线，
又渐近线与圆相切，
所以圆心到渐近线的距离为1，即，
可得，解得，，
由，
不妨设为双曲线右支上的一点，
由双曲线的定义可得，
所以，，，
则△的最小内角为，
由余弦定理可得．
故选：．
多选题
9．已知，分别为双曲线的左、右焦点，的一条渐近线的方程为，且到的距离为，点为在第一象限上的点，点的坐标为，为的平分线，则下列正确的是　　
A．双曲线的方程为
B．
C．
D．点到轴的距离为
解：渐近线的方程为，，
到的距离为，，
，
双曲线的标准方程为，即选项正确；
，
，，
由角分线定理知，，即选项正确；
由双曲线的定义知，，
，，
在等腰△中，，
，
，
，即选项正确；
，
，即选项错误．
故选：．
10．已知双曲线方程为，为双曲线右支上任意一点，，为左、右焦点，△的内切圆圆心为，与轴切于点，线段的延长线与轴交于点，．则以下结论正确的有　　
A．为定值 B．的横坐标为定值
C．的范围是 D．半径的最大值为4
解：双曲线方程为的，，，
与轴切于点，与切于点，与切于点，
因为的横坐标与的横坐标相等，设，，
由切线长相等，可得，，，
由双曲线的定义可得，即有，
又，解得，可得，
则，都正确；
由内角平分线的性质定理可得，
即有，解得，故正确；
可设，，，△的内切圆的半径为，
则，①
又，
即为，
化为，
若，则，②
联立①②，可得方程组无解．
故错误．
故选：．
11．已知双曲线的一条渐近线方程为，则　　
A．，为的一个焦点
B．双曲线的离心率为
C．过点作直线与交于，两点，则满足的直线有且只有两条
D．设，，为上三点且，关于原点对称，则，斜率存在时其乘积为
解：双曲线的一条渐近线方程为，
可得，解得，
则双曲线的方程为，
可得，，，焦点为，故错误；
双曲线的离心率为，故正确；
过右焦点作直线与交于，两点，
若，均在右支上，可得，
而，可得这样的直线有两条；
若，分别在双曲线的左、右支上，可得，
而，可得这样的直线有两条，则满足的直线共有4条，故错误；
设，，，可得，，
两式相减可得，
即有，斜率存在时其乘积为，
故正确．
故选：．
12．设为坐标原点，，是双曲线的左、右焦点．在双曲线的右支上存在点满足，且线段的中点在轴上，则　　
A．双曲线的离心率为
B．双曲线的方程可以是
C．
D．△的面积为
解：如图，，，
为线段的中点，为的中点，，
，
由双曲线定义可得，，
设，则，，
，即，
又，，则，故正确；
，则，双曲线的渐近线方程为，
选项的渐近线方程为，故错误；
对于，为的中点，，
则，即，
即，①
而，两边平方并整理得，，②
联立①②可得，，，即，故正确；
，故错误．
故选：．
填空题
13．双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线与的左、右两支分别交于，两点，点在轴上，，平分，则的渐近线方程为　　．
解：根据题意，作出如下所示的图形，
由题可知，，由，△△，，
设，则，
由角分线定理可知，
平分，
，
，，，
由双曲线的定义知，，
，即①，
，
，，即是等边三角形，
，
在△中，由余弦定理知，
，即，
化简得，②，
由①②可得，，
则，
可得双曲线的渐近线方程为．
故答案为：．
14．已知，分别为双曲线的左、右焦点，过点作圆的切线交双曲线左支于点，且，则该双曲线的渐近线方程为　　．
解：设切点为，过作，垂足为，
由题意可得，，，
由为△的中位线，可得，
，
又，可得，，
，
又，
所以，
所以双曲线的渐近线方程为．
故答案为：．
15．已知点为双曲线的左焦点，为该双曲线渐近线在第一象限内的点，过原点作的垂线交于点，若恰为线段的中点，且的内切圆半径为，则该双曲线的离心率为　　．
解：设，，
由题意知，点在渐近线上，点在渐近线上，
，，，，
为线段的中点，且，
，解得，
，，，
的内切圆半径为，
，即，
化简得，，
离心率．
故答案为：．
16．已知双曲线的焦点为，，是双曲线上一点，且．若△的外接圆和内切圆的半径分别为，，且，则双曲线的离心率为　　．
解：由正弦定理知，，，，
设，，
由双曲线的定义知，，
由余弦定理知，，
，
，
①，
又△的面积，
，
②，
由①②得，，
整理得，，即，
解得或（舍去）．
故答案为：．