江苏2012届高考数学二轮复习教学案 （23份打包）

　函数与方程思想
考试说明指出：“高考把函数与方程的思想作为思想方法的重点来考查，使用填空题考查函数与方程思想的基本运算，而在解答题中，则从更深的层次，在知识网络的交汇处，从思想方法与相关能力相综合的角度进行深入考查．”
函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决．
方程的思想，就是分析数学问题中各个量及其关系，建立方程或方程组、不等式或不等式组或构造方程或方程组、不等式或不等式组，通过求方程或方程组、不等式或不等式组的解的情况，使问题得以解决．
函数和方程的思想简单地说，就是学会用函数和变量来思考，学会转化已知与未知的关系，对函数和方程思想的考查，主要是考查能不能用函数和方程思想指导解题，一般情况下，凡是涉及未知数问题都可能用到函数与方程的思想．
函数与方程的思想在解题应用中主要体现在两个方面：(1) 借助有关初等函数的图象性质，解有关求值、解(证)方程(等式)或不等式，讨论参数的取值范围等问题；(2) 通过建立函数式或构造中间函数把所要研究的问题转化为相应的函数模型，由所构造的函数的性质、结论得出问题的解．
由于函数在高中数学中的举足轻重的地位，因而函数与方程的思想一直是高考要考查的重点，对基本初等函数的图象及性质要牢固掌握，另外函数与方程的思想在解析几何、立体几何、数列等知识中的广泛应用也要重视．
1. 设集合A＝{－1,1,3}，B＝{a＋2，a2＋4}，A∩B＝{3}，则实数a＝________.
2.函数f(x)＝ax－a＋1存在零点x0，且x0∈[0,2]，则实数a的取值范围是________．
3.一个长方体共一顶点的三个面的面积分别为，，，则该长方体的外接球体积为________．
4.关于x的方程sin2x＋cosx＋a＝0有实根，则实数a的取值范围是________．
【例1】　若a，b为正数，且ab＝a＋b＋3，求a＋b的取值范围．
【例2】　设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)，且f(1)＝－.
(1) 求证：函数f(x)有两个零点；
(2) 设x1，x2是函数f(x)的两个零点，求|x1－x2|的取值范围；
(3) 求证：函数f(x)的零点x1，x2至少有一个在区间(0,2)内．
【例3】　如图，直线l：y＝x＋b与抛物线C：x2＝4y相切于点A.
(1) 求实数b的值；
(2) 求以点A为圆心，且与抛物线C的准线相切的圆的方程．
【例4】　已知函数f(x)＝x|x2－3|，x∈[0，m]，其中m∈R，且m>0
(1) 若m<1，求证：函数f(x)是增函数；
(2) 如果函数f(x)的值域是[0,2]，试求m的取值范围；
(3) 如果函数f(x)的值域是[0，λm2]，试求实数λ的最小值．
1. (2011·北京)已知函数f(x)＝若关于x的方程f(x)＝k有两个不同的实根，则实数k的取值范围是________．
2.(2011·广东)等差数列{an}前9项的和等于前4项的和．若a1＝1，ak＋a4＝0，则k＝________.
3.(2009·福建)若曲线f(x)＝ax3＋lnx存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是________．
4.(2010·天津)设函数f(x)＝x－，对任意x∈[1，＋∞)，f(mx)＋mf(x)<0恒成立，则实数m的取值范围是________．
5.(2011·辽宁) 设函数f(x)＝x＋ax2＋blnx，曲线y＝f(x)过点P(1,0)，且在P点处的切线斜率为2.
(1) 求a，b的值；
(2) 证明：f(x)≤2x－2.
6.(2011·全国)在平面直角坐标系xOy中，曲线y＝x2－6x＋1与坐标轴的交点都在圆C上．
(1) 求圆C的方程；
(2) 若圆C与直线x－y＋a＝0交于A，B两点，且OA⊥OB，求a的值．
(2009·广东)(本小题满分14分)已知二次函数y＝g(x)的导函数的图象与直线y＝2x平行，且y＝g(x)在x＝－1处取得最小值m－1(m≠0)．设函数f(x)＝.
(1) 若曲线y＝f(x)上的点P到点Q(0,2)的距离的最小值为，求m的值
(2) k(k∈R)如何取值时，函数y＝f(x)－kx存在零点，并求出零点．
解：(1) 设g(x)＝ax2＋bx＋c，则g′(x)＝2ax＋b；
又g′(x)的图象与直线y＝2x平行，∴ 2a＝2，a＝1.(1分)
又g(x)在x＝－1取极小值，－＝－1，b＝2，
∴ g(－1)＝a－b＋c＝1－2＋c＝m－1，c＝m；(2分)
f(x)＝＝x＋＋2，设P(x0，y0)，
则|PQ|2＝x＋(y0－2)2＝x＋2＝2x＋＋2m≥2＋2m，(4分)
当且仅当2x02＝时，|PQ|2取最小值，即|PQ|取最小值.
当m>0时，2m＋2m＝2，∴ m＝－1(6分)
当m<0时，－2m＋2m＝2，∴ m＝－－1(7分)
(2) 由y＝f(x)－kx＝(1－k)x＋＋2＝0，
得(1－k)x2＋2x＋m＝0.　(*)
当k＝1时，方程(*)有一解x＝－，函数y＝f(x)－kx有一零点x＝－；(8分)
当k≠1时，方程(*)有二解?Δ＝4－4m(1－k)>0，若m>0，k>1－，
函数y＝f(x)－kx有两个零点x＝＝；(10分)
若m<0，k<1－，函数y＝f(x)－kx有两个零点，x＝＝；(12分)
当k≠1时，方程(*)有一解?Δ＝4－4m(1－k)＝0，k＝1－， 函数y＝f(x)－kx有一个零点，x＝.(14分)
第19讲　函数与方程思想
1. 在等差数列{an}中，已知a5＝10，a12＝31，则通项an＝__________.
【答案】　3n－5　解析：显然公差不为零，故通项为n的一次函数，设an＝an＋b，a，b为常数，由题意得?∴ an＝3n－5.
2. 设函数f(x)＝x2－1，对任意x∈，f－4m2f(x)≤f(x－1)＋4f(m)恒成立，则实数m的取值范围是____________．
【答案】　∪　
解析：(解法1)不等式化为f(x－1)＋4f(m)－f＋4m2f(x)≥0，
即(x－1)2－1＋4m2－4－＋1＋4m2x2－4m2≥0，
整理得x2－2x－3≥0，
因为x2＞0，所以1－＋4m2≥，设g(x)＝，x∈.
于是题目化为1－＋4m2≥g(x)，对任意x∈恒成立的问题．
为此需求g(x)＝，x∈的最大值．设u＝，则0＜u≤.
函数g(x)＝h(u)＝3u2＋2u在区间上是增函数，因而在u＝处取得最大值．
h＝3×＋＝，所以1－＋4m2≥g(x)max＝，
整理得12m4－5m2－3≥0，即(4m2－3)(3m2＋1)≥0，
所以4m2－3≥0，解得m≤－或m≥，
因此实数m的取值范围是m∈∪.
(解法2)(前面同解法1)原题化为1－＋4m2≥g(x)，对任意x∈恒成立的问题．
为此需求g(x)＝，x∈的最大值．
设t＝2x＋3，则t∈[6，＋∞)．g(x)＝h(t)＝＝.
因为函数t＋在(3，＋∞)上是增函数，所以当t＝6时，t＋取得最小值6＋.
从而h(t)有最大值＝.所以1－＋4m2≥gmax(x)＝，整理得12m4－5m2－3≥0，即(4m2－3)(3m2＋1)≥0，
所以4m2－3≥0，解得m≤－或m≥，
因此实数m的取值范围是m∈∪.
(解法3)不等式化为f(x－1)＋4f(m)－f＋4m2f(x)≥0，即
(x－1)2－1＋4m2－4－＋1＋4m2x2－4m2≥0，整理得x2－2x－3≥0，令F(x)＝x2－2x－3.
由于F(0)＝－3＜0，则其判别式Δ＞0，因此F(x)的最小值不可能在函数图象的顶点得到，
所以为使F(x)≥0对任意x∈恒成立，必须使F为最小值，
即实数m应满足
解得m2≥，因此实数m的取值范围是
m∈∪.
基础训练
1. 1　解析：a＋2＝3，a＝1，a2＋4＞3，不用讨论．
2. a≤－1或a≥1　解析：f(0)·f(2)≤0，(a＋1)(a－1)≥0.
3. π　解析：设长方体的长、宽、高分别为x，y，z，?
2r＝＝，V＝πr3＝π.
4. 　解析：a＝－sin2x－cosx＝2－，最小值为－，最大值为1.
例题选讲
例1　点拨：本题解法很多，关键要学会转化．
解：(解法1)将ab＝a＋b＋3看成是含两个未知数的方程，可以用一个字母去表示另一个字母，再代入到a＋b中，转化为一元函数．
b＝，a＋b＝a＋＝2＋(a－1)＋，由b∈R＋得a＞1，∴ a＋b＝2＋(a－1)＋≥2＋2＝6，当且仅当a－1＝即a＝3时取等号，故a＋b的取值范围是[6，＋∞)．
(解法2) 直接利用基本不等式ab≤2，构造不等式，然后解不等式即可．
ab＝a＋b＋3≤2，(a＋b)2－4(a＋b)－12≥0，(a＋b－6)(a＋b＋2)≥0.
从而得a＋b≥6.(当且仅当a＝b＝3时取等号)
变式训练　若a，b为正数，且ab＝a＋b＋3，求ab的取值范围．
【答案】　ab≥9.
例2　点拨：结合二次函数、二次方程间的关系，利用二次方程根的分布、根与系数关系、零点存在性定理解决．
(1) 证明：∵ f(1)＝a＋b＋c＝－，∴ 3a＋2b＋2c＝0.
∴ c＝－a－b.
∴ f(x)＝ax2＋bx－a－b，
判别式Δ＝b2－4a＝b2＋6a2＋4ab＝(2a＋b)2＋2a2，
又∵ a＞0，∴ Δ＞0恒成立，故函数f(x)有两个零点．
(2) 解：若x1，x2是函数f(x)的两个零点，则x1，x2是方程f(x)＝0的两根，
∴ x1＋x2＝－，x1x2＝－－.
∴ |x1－x2|＝＝＝≥.
|x1－x2|的取值范围是[，＋∞]．
(3) 证明：f(0)＝c，f(2)＝4a＋2b＋c，由(1)知3a＋2b＋2c＝0，∴ f(2)＝a－c.
①当c＞0时，有f(0)＞0，又∵ a＞0，∴ f(1)＝－＜0，
∴ 函数f(x)在区间(0,1)内至少有一个零点．
②当c≤0时，f(2)＝a－c＞0，f(1)＜0，f(0)＝c≤0，
∴ 函数f(x)在区间(1,2)内有一个零点，
综合①②可知函数f(x)在区间(0,2)内至少有一个零点．
变式训练　设a1，d为实数，首项为a1，公差为d的等差数列{an}的前n项和为Sn，满足S5S6＋15＝0.
(1) 若S5＝5，求S6及a1；
(2) 求d的取值范围．
解：(1) 由题意知S6＝＝－3，∴
解得a1＝7，d＝－3.∴ S6＝－3，a1＝7.
(2) ∵ S5S6＋15＝0，
∴ (5a1＋10d)(6a1＋15d)＋15＝0，
即2a＋9da1＋10d2＋1＝0.
故(4a1＋9d)2＝d2－8，∴ d2－8≥0.
故d的取值范围为d≤－2或d≥2.
例3　解：(1) 由得x2－4x－4b＝0，(*)
因为直线l与抛物线C相切，所以Δ＝(－4)2－4×(－4b)＝0，解得b＝－1.
(2) 由(1)可知b＝－1，故方程(*)即为x2－4x＋4＝0，
解得x＝2，代入x2＝4y，得y＝1.故点A(2,1)，因为圆A与抛物线C的准线相切，所以圆A的半径r等于圆心A到抛物线的准线y＝－1的距离，即r＝|1－(－1)|＝2，所以圆A的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4.
例4　(1) 证明：当m<1时，f(x)＝x(3－x2)＝3x－x3，
因为f′(x)＝3－3x2＝3(1－x2)>0，所以f(x)是增函数，
(2) 解：令g(x)＝x|x2－3|，x≥0，
则g(x)＝
当0≤x≤时，g′(x)＝3－3x2，由g′(x)＝0得x＝1，
所以g(x)在[0,1]上是增函数，在[1，]上是减函数．
当x>时，g′(x)＝3x2－3>0，所以g(x)在[，＋∞)上是增函数，
所以x∈[0，]时，g(x)max＝g(1)＝2，g(x)min＝g(0)＝g()＝0，
所以0当m>时，在x∈[0，]时，f(x)∈[0,2]，
在x∈[，m]时，f(x)∈[0，f(m)]，
这时f(x)的值域是[0,2]的充要条件是f(m)≤2，
即m3－3m≤2，(m－2)(m＋1)2≤0，解得综上，m的取值范围是[1,2]．
(3) 由(2)可知，0当1≤m≤2时，函数f(x)的最大值为f(1)＝2.
由题意知2＝λm2，即λ＝，m∈[1,2]时这是减函数，∴ λ∈.
当m>2时，函数f(x)的最大值为f(m)＝m3－3m，由题意知m3－3m＝λm2，即λ＝m－，这是增函数，∴ λ∈.
综上，当m＝2时，实数λ取最小值为.
变式训练　已知函数g(x)＝xlnx，设0＜a＜b，
求证：0＜g(a)＋g(b)－2g＜(b－a)ln2.
点拨：确定变量，构造函数证明不等式．
证明：g(x)＝xlnx，g′(x)＝lnx＋1.
构造函数F(x)＝g(a)＋g(x)－2g，
则F′(x)＝g′(x)－2′＝lnx－ln.
当0＜x＜a时，F′(x)＜0，在此F(x)在(0，a)内为减函数；
当x＞a时，F′(x)＞0，因此F(x)在(a，＋∞)上为增函数．
从而，当x＝a时，F(x)有极小值F(a)．
因为F(a)＝0，b＞a，所以F(b)＞0，
即0＜g(a)＋g(b)－2g.
再构造函数G(x)＝F(x)－(x－a)ln2，
则G′(x)＝lnx－ln－ln2＝lnx－ln(a＋x)．
当x＞0时，G′(x)＜0.因此G(x)在(0，＋∞)上为减函数．
因为G(a)＝0，b＞a，所以G(b)＜0，
即g(a)＋g(b)－2g＜(b－a)ln2.
综上得0＜g(a)＋g(b)－2g＜(b－a)ln2.
高考回顾
1. (0,1)　解析：f(x)＝(x≥2)单调递减且值域为(0,1]，f(x)＝(x－1)3(x＜2)单调递增且值域为(－∞，1)，结合函数的图象可得f(x)＝k有两个不同的实根，则实数k的取值范围是(0,1)．
2. 10　解析：S9＝S4,9a1＋d＝4a1＋d，a1＝1，d＝－；
由1＋(k－1)＋1＋3×＝0，得k＝10.
本题也可用数列性质解题，S9＝S4?a7＝0.
3. (－∞，0)　解析：由题意可知f′(x)＝3ax2＋，又因为存在垂直于y轴的切线，所以3ax2＋＝0?a＝－(x＞0)?a∈(－∞，0)．
4. (－∞，－1)　解析：因为对任意x∈[1，＋∞)，f(mx)＋mf(x)＝2mx－－＜0恒成立，显然m≠0.所以当m＜0时，有2m2x2－1－m2＞0对任意x∈[1，＋∞)恒成立，即2m2×1－1－m2＞0，解得m2＞1，即m＜－1；当m＞0时，有2m2x2－1－m2＜0对任意x∈[1，＋∞)恒成立，m无解，综上所述实数m的取值范围是m＜－1.
5. (1) 解：f′(x)＝1＋2ax＋.
由已知条件得即解得a＝－1，b＝3.
(2) 证明：f(x)的定义域为(0，＋∞)，由(1)知f(x)＝x－x2＋3lnx.
设g(x)＝f(x)－(2x－2)＝2－x－x2＋3lnx，则
g′(x)＝－1－2x＋＝－.
当0＜x＜1时，g′(x)＞0；当x＞1时，g′(x)＜0.
所以g(x)在(0,1)单调增加，在(1，＋∞)单调减少．
∴ x＝1时，g(x)取极大值即为最大值．
而g(1)＝0，故当x＞0时，g(x)≤0，即f(x)≤2x－2.
6. 解：(1) 曲线y＝x2－6x＋1与y轴的交点为(0,1)，与x轴的交点为(3＋2，0)，(3－2，0)．
故可设圆C的圆心为(3，t)，则有32＋(t－1)2＝(2)2＋t2，解得t＝1.
则圆C的半径为＝3.所以圆C的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝9.
(2) 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，其坐标满足方程组：
消去y，得到方程2x2＋(2a－8)x＋a2－2a＋1＝0.
由已知可得，判别式Δ＝56－16a－4a2＞0.
因此，x1,2＝，从而x1＋x2＝4－a，x1x2＝，①
由OA⊥OB，可得x1x2＋y1y2＝0，又y1＝x1＋a，y2＝x2＋a，
所以2x1x2＋a(x1＋x2)＋a2＝0，②
由①，②得a＝－1，满足Δ＞0，故a＝－1.　集合、简单逻辑用语、函数、 不等式、导数及应用
　集合与简单逻辑用语
1. 理解集合中元素的意义是解决集合问题的关键：弄清元素是函数关系式中自变量的取值？还是因变量的取值？还是曲线上的点？…
2. 数形结合是解集合问题的常用方法：解题时要尽可能地借助数轴、直角坐标系或韦恩图等工具，将抽象的代数问题具体化、形象化、直观化，然后利用数形结合的思想方法解决．
3. 已知集合A、B，当A∩B＝?时，你是否注意到“极端”情况：A＝?或B＝?？求集合的子集时是否忘记?？分类讨论思想的建立在集合这节内容学习中要得到强化．
4. 对于含有n个元素的有限集合M, 其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为2n,2n－1，2n－1，2n－2.
5. ?是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．
1. A、B是非空集合，定义A×B＝{x|x∈A∪B，且x?A∩B}，若A＝{x∈R|y＝}，B＝{y|y＝3x，x∈R}，则A×B＝______________.
2. 已知命题P：n∈N,2n＞1 000，则P为________．
3. 条件p：a∈M＝{x|x2－x<0}，条件q：a∈N＝{x||x|<2}，p是q的______________条件．
(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)
4. 若命题“?x∈R，x2＋(a－1)x＋1>0”是假命题，则实数a的取值范围为________．
【例1】　已知集合A＝{x|x2－3x－10≤0}，集合B＝{x|p＋1≤x≤2p－1}．若B?A，求实数p的取值范围．
【例2】　设A＝{(x，y)|y2－x－1＝0}，B＝{(x，y)|4x2＋2x－2y＋5＝0}，C＝{(x，y)|y＝kx＋b}，是否存在k、b∈N，使得(A∪B)∩C＝?？若存在，求出k，b的值；若不存在，请说明理由．
【例3】　(2011·广东)设S是整数集Z的非空子集，如果?a，b∈S，有ab∈S，则称S关于数的乘法是封闭的，若T，V是Z的两个不相交的非空子集，T∪V＝Z且?a，b，c∈T，有abc∈T，?x，y，z∈V，有xyz∈V.
则下列结论恒成立的是________．
A. T，V中至少有一个关于乘法封闭　 　　　B. T，V中至多有一个关于乘法封闭
C. T，V中有且只有一个关于乘法封闭　 　　D. T，V中每一个关于乘法封闭
【例4】　已知a>0，函数f(x)＝ax－bx2.
(1) 当b>0时，若?x∈R，都有f(x)≤1，证明：0(2) 当b>1时，证明：?x∈[0,1]，|f(x)|≤1的充要条件是b－1≤a≤2.
1. (2011·江苏)已知集合A＝{－1,1,2,4}，B＝{－1,0,2}，则A∩B＝________.
2.(2011·天津)命题“若f(x)是奇函数，则f(－x)是奇函数”的否命题是________．
3.(2009·江苏)已知集合A＝{x|log2x≤2}，B＝(－∞，a)，若A?B，则实数a的取值范围是(c，＋∞)，其中c＝________.
4.(2009·陕西)某班有36名同学参加数学、物理、化学课外探究小组，每名同学至多参加两个小组，已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26,15,13，同时参加数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学小组的有4人，则同时参加数学和化学小组的有________人．
5.(2011·陕西)设n∈N＋，一元二次方程x2－4x＋n＝0有正整数根的充要条件是n＝________.
6.(2011·福建)在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为[k]，即[k]＝{5n＋k|n∈Z}，k＝0,1,2,3,4.给出如下四个结论：
①2 011∈[1]；
②－3∈[3]；
③Z＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]；
④“整数a，b属于同一‘类’”的充要条件是“a－b∈[0]”．
其中，正确结论的个数是________个．
(2011·全国)(本小题满分14分)设a∈R，二次函数f(x)＝ax2－2x－2a.若f(x)>0的解集为A，B＝{x|1解：由f(x)为二次函数知a≠0，令f(x)＝0解得其两根为x1＝－，x2＝＋，
由此可知x1<0，x2>0，(3分)
① 当a>0时，A＝{x|xx2}，(5分)
A∩B≠?的充要条件是x2＜3，即＋<3，解得a>，(9分)
② 当a<0时， A＝{x|x1A∩B≠?的充要条件是x2>1，即＋>1，解得a<－2，(13分)
综上，使A∩B≠?成立的实数a的取值范围为(－∞，－2)∪.(14分)
第1讲　集合与简单逻辑用语
1. (2011·安徽)设集合A＝{1,2,3,4,5,6}，B＝{4,5,6,7}，则满足S?A且S∩B≠?的集合S的个数为________．
A. 57　　　　 　B. 56　　　　 　C. 49　　　　 　D. 8
【答案】　B　解析：集合A的所有子集共有26＝64个，其中不含4,5,6,7的子集有23＝8个，所以集合S共有56个．故选B.
2. (2011·江苏)设集合A＝{(x，y)|≤(x－2)2＋y2≤m2，x，y∈R}, B＝{(x，y)|2m≤x＋y≤2m＋1，x，y∈R}, 若A∩B≠?，则实数m的取值范围是________．
【答案】　　解析：由A∩B≠?得，A≠?，所以m2≥，m≥或m≤0.当m≤0时，＝－m＞－m，且＝－m＞－m，又2＋0＝2＞2m＋1，所以集合A表示的区域和集合B表示的区域无公共部分；当m≥时，只要≤m或≤m，解得2－≤m≤2＋或1－≤m≤1＋，所以实数m的取值范围是.
点评：解决此类问题要挖掘问题的条件，并适当转化，画出必要的图形，得出求解实数m的取值范围的相关条件．
基础训练
1. (－∞，3)　解析：A＝(－∞，0]∪[3，＋∞)，B＝(0，＋∞)，A∪B＝(－∞，＋∞)，A∩B＝[3，＋∞)．
2. ?n∈N,2n≤1 000
3. 充分不必要　解析：M＝(0,1)?N＝(－2,2)．
4. a≥3或a≤－1　解析：Δ＝(a－1)2－4≥0，a≥3或a≤－1.
例题选讲
例1　解：由x2－3x－10≤0得－2≤x≤5. ∴ A＝[－2,5]．
① 当B≠?时，即p＋1≤2p－1?p≥2.由B?A得－2≤p＋1且2p－1≤5.得－3≤p≤3.∴ 2≤p≤3.
② 当B＝?时，即p＋1>2p－1?p＜2.B?A成立．综上得p≤3.
点评：从以上解答应看到：解决有关A∩B＝?，A∪B＝A，A∪B＝B或A?B等集合问题易忽视空集的情况而出现漏解，这需要在解题过程中全方位、多角度审视问题．
变式训练　设不等式x2－2ax＋a＋2≤0的解集为M，如果M?[1,4]，求实数a的取值范围．
解： M?[1,4]有n种情况：其一是M＝?，此时Δ＜0；其二是M≠?，此时Δ≥0，分三种情况计算a的取值范围．
设f(x)＝x2－2ax＋a＋2，有Δ＝(－2a)2－(4a＋8)＝4(a2－a－2)，
① 当Δ＜0时，－1＜a＜2，M＝??[1,4]成立；
② 当Δ＝0时，a＝－1或2，当a＝－1时，M＝{－1}?[1,4]，当a＝2时，M＝{2}?[1,4]；
③ 当Δ＞0时，a＜－1或a＞2.设方程f(x)＝0的两根为x1，x2，且x1＜x2，那么M＝[x1，x2]，M?[1,4]?1≤x1＜x2≤4?
即解得：2＜a≤，综上实数a的取值范围是.
例2　解： ∵ (A∪B)∩C＝?，∵A∩C＝?且B∩C＝?，
由 　得k2x2＋(2bk－1)x＋b2－1＝0，
∵ A∩C＝?，∴ k≠0，Δ1＝(2bk－1)2－4k2(b2－1)<0，
∴ 4k2－4bk＋1<0，此不等式有解，其充要条件是16b2－16>0，即b2>1，①
∵
∴ 4x2＋(2－2k)x＋(5－2b)＝0，
∵ B∩C＝?，∴ Δ2＝4(1－k)2－16(5－2b)<0，
∴ k2－2k＋8b－19<0, 从而8b<20，即b<2.5，　　　②
由①②及b∈N，得b＝2，代入由Δ1<0和Δ2<0组成的不等式组，得
∴ k＝1，故存在自然数k＝1，b＝2，使得(A∪B)∩C＝?．
点评：把集合所表示的意义读懂，分辨出所考查的知识点，进而解决问题.
变式训练　已知集合A＝，B＝{(x，y)|y＝kx＋3}，若A∩B＝?， 求实数k的取值范围．
解： 集合A表示直线y＝－3x－2上除去点(－1,1)外所有点的集合，集合B表示直线y＝kx＋3上所有点的集合，A∩B＝?，所以两直线平行或直线y＝kx＋3过点(－1,1)，所以k＝2或k＝－3.
例3　【答案】　A　解析：由于T∪V＝Z，故整数1一定在T，V两个集合中的一个中，不妨设1∈T，则?a，b∈T，
由于a，b,1∈T，则a·b·1∈T，即ab∈T，从而T对乘法封闭；
另一方面，当T＝{非负整数}，V＝{负整数}时，T关于乘法封闭，V关于乘法不封闭，故D不对；
当T＝{奇数}，V＝{偶数}时，T，V显然关于乘法都是封闭的，故B，C不对．
从而本题就选A.
例4　证明：(1) ax－bx2≤1对x∈R恒成立，又b＞0, ∴ a2－4b≤0，∴ 0＜a≤2.
(2) 必要性，∵ ?x∈[0,1]，|f(x)|≤1恒成立，∴ bx2－ax≤1且bx2－ax≥－1，
显然x＝0时成立，
对x∈(0,1]时a≥bx－且a≤bx＋，函数f(x)＝bx－在x∈(0,1]上单调增，f(x)最大值f(1)＝b－1.
函数g(x)＝bx＋在上单调减，在上单调增，函数g(x)的最小值为g＝2，∴ b－1≤a≤2，故必要性成立；
充分性：f(x)＝ax－bx2＝－b(x－)2＋，＝×≤1×≤1，
f(x)max＝≤1，又f(x)是开口向下的抛物线，f(0)＝0，f(1)＝a－b，
f(x)的最小值从f(0)＝0，f(1)＝a－b中取最小的，又a－b≥－1，
∴ －1≤f(x)≤1，故充分性成立；
综上命题得证．
变式训练　命题甲：方程x2＋mx＋1＝0有两个相异负根；命题乙：方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0无实根，这两个命题有且只有一个成立，求实数m的取值范围．
解： 使命题甲成立的条件是： ?m＞2.
∴ 集合A＝{m|m>2}．
使命题乙成立的条件是：Δ2＝16(m－2)2－16<0，∴ 1＜m＜3.
∴ 集合B＝{m|1若命题甲、乙有且只有一个成立，则有：
① m∈A∩B，② m∈A∩B.
若为①，则有：A∩B＝{m|m>2}∩{m|m≤1或m≥3}＝{m|m≥3}；
若为②，则有：B∩A＝{m|1综合①、②可知所求m的取值范围是{m|1点评：明确命题为真时的充要条件，再分类确定．
高考回顾
1. {－1,2}
2. 若f(x)不是奇函数，则f(－x)不是奇函数
3. 4　解析：A＝(0,4]，A?B, ∴ a＞4, ∴ c＝4.
4. 8　解析：画韦恩图．设同时参加数学和化学小组的有x人，则20－x＋11＋x＋4＋9－x＝36，x＝8.
5. 3或4　解析：令f(x)＝x2－4x＋n，n∈N*，f(0)＝n＞0, ∴ f(2)≤0即n≤4，故n＝1,2,3,4，经检验，n＝3,4适合，或直接解出方程的根，x＝2±，n∈N*，只有n＝3,4适合．
6. 3　解析：正确的是①③④，在②中－3∈[2]才对．　数列求和及其综合应用
1. 掌握数列的求和方法(1) 直接利用等差、等比数列求和公式；(2) 通过适当变形(构造)将未知数列转化为等差、等比数列，再用公式求和；(3) 根据数列特征，采用累加、累乘、错位相减、逆序相加等方法求和；(4) 通过分组、拆项、裂项等手段分别求和；(5) 在证明有关数列和的不等式时要能用放缩的思想来解题(如n(n－1)2. 数列是特殊的函数，这部分内容中蕴含的数学思想方法有：函数与方程思想、分类讨论思想、化归转化思想、数形结合思想等，高考题中所涉及的知识综合性很强，既有较繁的运算又有一定的技巧，在解题时要注意从整体去把握．
1. 若数列{an}的通项公式是an＝(－1)n－1·(3n－2)，则a1＋a2＋…＋a10＝________.
2.已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为An和Bn，且＝，则＝________.
3.若数列{an}满足＝p(p为正常数，n∈N*)，则称{an}为“等方比数列”．则“数列{an}是等方比数列”是“数列{an}是等比数列”的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分又不必要”)
4.已知函数f(x)＝x2＋bx的图象在点(1，f(1))处的切线与直线6x－2y＋1＝0平行，若数列的前n项和为Sn，则S2 012＝________.
【例1】　已知公差不为零的等差数列{an}中a1＝2，设a1、a3、a7是公比为q的等比数列{bn}的前三项．
(1) 求数列{anbn}的前n项和Tn；
(2) 将数列{an}与{bn}中相同的项去掉，剩下的项依次构成新的数列{cn}，设其前n项和为Sn，求S2n－n－1－22n－1＋3·2n－1的值．
【例2】　设数列{an}的前n项和为Sn，已知ban－2n＝(b－1)Sn.
(1) 证明：当b＝2时，{an－n·2n－1}是等比数列；
(2) 求{an}的通项公式．
【例3】　已知数列{an}和{bn}满足：a1＝1，a2＝2，an>0，bn＝(n∈N*)，且{bn}是以q为公比的等比数列．
(1) 证明：an＋2＝anq2；
(2) 若cn＝a2n－1＋2a2n，证明：数列{cn}是等比数列；
(3) 求和：＋＋＋＋…＋＋.
【例4】　将数列{an}中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表：
a1
a2　a3
a4　a5　a6
a7　a8　a9　a10
…
记表中的第一列数a1，a2，a4，a7，…构成的数列为{bn}，b1＝a1＝1. Sn为数列{bn}的前n项和，且满足＝1(n≥2)．
(1) 证明数列成等差数列，并求数列{bn}的通项公式；
(2) 上表中，若从第三行起，每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，且公比为同一个正数，当a81＝－时，求上表中第k(k≥3)行所有项的和．
1. (2011·江西)已知数列{an}的前n项和Sn满足：Sn＋Sm＝Sn＋m，且a1＝1，那么a10＝________.
2.(2011·山东)设函数f(x)＝(x>0)，观察：
f1(x)＝f(x)＝，f2(x)＝f(f1(x))＝，f3(x)＝f(f2(x))＝，
f4(x)＝f(f3(x))＝，…
根据以上事实，由归纳推理可得：
当n∈N＋且n≥2时，fn(x)＝f(fn－1(x))＝________.
3.(2010·江苏)函数y＝x2(x>0)的图象在点(ak，ak2)处的切线与x轴的交点的横坐标为ak＋1，其中k∈N*.若a1＝16，则a1＋a3＋a5的值是________．
4.(2009·湖北)已知数列{an}满足：a1＝m(m为正整数)，an＋1＝若a6＝1，则m所有可能的取值为________.
5.(2010·上海)已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝n－5an－85，n∈N*.
(1) 证明：{an－1}是等比数列；
(2) 求数列{Sn}的通项公式，并求出使得Sn＋1>Sn成立的最小正整数n.15<，14>
6.(2011·重庆)设实数数列{an}的前n项和Sn满足Sn＋1＝an＋1Sn(n∈N*)．
(1) 若a1，S2，－2a2成等比数列，求S2和a3；
(2) 求证：对k≥3且k∈N*有0≤ak＋1≤ak≤.
(本小题满分12分)数列{an}、{bn}是各项均为正数的等比数列，设cn＝(n∈N*)．
(1) 数列{cn}是否为等比数列？证明你的结论；
(2) 设数列{lnan}、{lnbn}的前n项和分别为Sn，Tn.若a1＝2，＝，求数列{cn}的前n项和．
解：(1) {cn}是等比数列．(2分)
证明：设{an}的公比为q1(q1>0)，{bn}的公比为q2(q2>0)，则
＝·＝·＝≠0，故{cn}为等比数列．(5分)
(2) 数列{lnan}和{lnbn}分别是公差为lnq1和lnq2的等差数列．
由条件得＝，即＝. (7分)
即(2lnq1－lnq2)n2＋(4lna1－lnq1－2lnb1＋lnq2)n＋(2lna1－lnq1)＝0.
上式对n∈N*恒成立．于是
将a1＝2代入得q1＝4，q2＝16，b1＝8.(10分)
从而有cn＝＝4n.
所以数列|cn|的前n项和为4＋42＋…＋4n＝(4n－1)．(12分)
第11讲　数列求和及其综合应用
1. 两个正数a、b的等差中项是，一个等比中项是，且a＞b，则双曲线－＝1的离心率e等于________．
【答案】　　解析：由题有 ?或(舍)，e＝＝＝.
2. 在等比数列{an}中，前n项和为Sn，若Sm，Sm＋2，Sm＋1成等差数列，则am，am＋2，am＋1成等差数列．
(1) 写出这个命题的逆命题；
(2) 判断逆命题是否为真？并给出证明．
解： (1)在等比数列{an}中，前n项和为Sn，若am，am＋2，am＋1成等差数列，则Sm，Sm＋2，Sm＋1成等差数列．
(2) 数列{an}的首项为a1，公比为q.由题意知：2am＋2＝am＋am＋1，
即2a1qm＋1＝a1qm－1＋a1qm，
∵ a1≠0，q≠0, ∴ 2q2－q－1＝0, ∴ q＝1或q＝－，
当q＝1时，有Sm＝ma1，Sm＋2＝(m＋2)a1，Sm＋1＝(m＋1)a1，
显然：2Sm＋2≠Sm＋Sm＋1.此时逆命题为假．
当q＝－时，有2Sm＋2＝＝a1，
Sm＋Sm＋1＝＋＝a1，
∴ 2Sm＋2＝Sm＋Sm＋1，此时逆命题为真．
基础训练
1. －15　解析：a1＋a2＝a3＋a4＝…＝a9＋a10＝－3，a1＋a2＋…＋a10＝5×(－3)＝－15.
2. 6　解析：＝＝＝＝6.
3. 必要不充分
4. 　解析：f′(x)＝2x＋b,2＋b＝3，b＝1，f(n)＝n2＋n＝n(n＋1)，Sn＝＋＋…＋＝.
例题选讲
例1　解：(1) 设等差数列{an}的公差为d，则(2＋2d)2＝2×(2＋6d)，又d≠0，∴ d＝1，an＝n＋1，bn＝2n，anbn＝(n＋1)·2n，用错位相减法可求得Tn＝n·2n＋1.
(2) ∵ 新的数列{cn}的前2n－n－1项和为数列{an}的前2n－1项的和减去数列{bn}前n项的和，
∴ S2n－n－1＝－＝(2n－1)(2n－1－1)．
∴ S2n－n－1－22n－1＋3·2n－1＝1.
变式训练　已知等差数列{an}满足a3＋a6＝－，a1·a8＝－，a1＞a8，
(1) 求数列{an}的通项公式；
(2) 把数列{an}的第1项、第4项、第7项、…、第3n－2项、…分别作为数列{bn}的第1项、第2项、第3项、…、第n项、…，求数列{2}的前n项之和；
(3) 设数列{cn}的通项为cn＝n·2bn，试比较(n＋1)(n＋2)cn＋n(n＋1)cn＋2与2n(n＋2)cn＋1的大小．
解： (1) {an}为等差数列，a3＋a6＝a1＋a8＝－，又a1·a8＝－，且a1＞a8，求得a1＝1，a8＝－，公差d＝＝－，
∴ an＝1－(n－1)＝－n＋(n∈N*)．
(2) b1＝a1＝1，b2＝a4＝0, ∴ bn＝a3n－2＝－(3n－2)＋＝－n＋2，
∴ ＝＝， ∴ {2bn}是首项为2，公比为的等比数列，
∴ {2}的前n项之和为＝4－n－2.
(3) cn＝n·2，
∴ 　(n＋1)(n＋2)cn＋n(n＋1)cn＋2－2n(n＋2)cn＋1
＝n(n＋1)(n＋2)2bn＋n(n＋1)(n＋2)·2bn＋2－2n(n＋1)(n＋2)·2bn＋1
＝n(n＋1)(n＋2)(2bn＋2bn＋2－2×2bn＋1)
＝n(n＋1)(n＋2)2bn(1＋2bn＋2－bn－2×2bn＋1－bn)
＝n(n＋1)(n＋2)·2bn(1＋2－2－2×2－1)
＝n(n＋1)(n＋2)2bn(1＋－1)＞0，
其中bn＋2－bn＝－(n＋2)＋2－(－n＋2)＝－2，bn＋1－bn＝－(n＋1)＋2－(－n＋2)＝－1，∴ (n＋1)(n＋2)cn＋n(n＋1)cn＋2＞2n(n＋2)cn＋1.
例2　解：由题意知a1＝2，且ban－2n＝(b－1)Sn，ban＋1－2n＋1＝(b－1)Sn＋1，
两式相减得b(an＋1－an)－2n＝(b－1)an＋1，即an＋1＝ban＋2n.①
(1) 当b＝2时，由①知an＋1＝2an＋2n
于是an＋1－(n＋1)·2n＝2an＋2n－(n＋1)·2n＝2(an－n·2n－1)，
又a1－1·21－1＝1≠0, ∴ an－n·2n－1≠0, ∴ ＝2，
∴ {an－n·2n－1}是首项为1，公比为2的等比数列．
(2) 当b＝2时，由(1)知an－n·2n－1＝2n－1，即an＝(n＋1)2n－1，
当b≠2时，由①得an＋1－·2n＋1＝ban＋2n－·2n＋1＝ban－·2n＝b.
因此an＋1－·2n＋1＝b，又a1－×2＝，
故an＝
∴ an＝
变式训练　已知数列{an}满足an＝2an－1＋2n－1(n≥2)，且a4＝81，
(1) 求数列{an}的前三项a1，a2，a3；
(2) 求证：数列为等差数列，并求an.
解： (1) 由an＝2an－1＋2n－1(n≥2)，
得a4＝2a3＋24－1＝81，
∴ a3＝33.
同理a2＝13，a1＝5.
(2) 由an＝2an－1＋2n－1(n≥2)，
得＝＝＋1，
∴ －＝1，
∴ 是等差数列.
∵ 的公差d＝1，
∴ ＝＋(n－1)×1＝n＋1，
∴ an＝(n＋1)×2n＋1.
例3　(解法1)(1) 证明：由＝q，有＝＝q, ∴ an＋2＝anq2(n∈N*) .
(2) 证明：∵ an＝an－2q2，∴ a2n－1＝a2n－3q2＝…＝a1q2n－2，a2n＝a2n－2q2＝…＝a2q2n－2，
∴ cn＝a2n－1＋2a2n＝a1q2n－2＋2a2q2n－2＝(a1＋2a2)q2n－2＝5q2n－2.
∴ {cn}是首项为5，以q2为公比的等比数列．
(3) 解：由(2)得＝q2－2n，＝q2－2n，于是
＋＋…＋＝＋
＝＋
＝.
由题知q>0，
当q＝1时，＋＋…＋＝＝n.
当q≠1时，＋＋…＋＝
＝＝.
故＋＋…＋＝
(解法2) (1) 同解法1(1)．
(2) 证明：＝＝＝q2(n∈N*)，又c1＝a1＋2a2＝5，∴ {cn}是首项为5，以q2为公比的等比数列．
(3) 解：由(2)的类似方法得a2n－1＋a2n＝(a1＋a2)q2n－2＝3q2n－2，
＋＋…＋＝＋＋…＋，∵ ＝＝q－2k＋2，k＝1,2，…，n. ∴ ＋＋…＋＝(1＋q－2＋q－4…＋q－2n＋2)(下面同上)．
例4　(1) 证明：由已知，＝1，
又Sn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn，n≥2，bn＝Sn－Sn－1，
∴ ＝1即2(Sn－Sn－1)＝Sn(Sn－Sn－1)－S，2Sn－1－2Sn＝SnSn－1，
又S1＝1≠0，∴ SnSn－1≠0，∴ －＝，
∴ 数列成等差数列，且＝1＋(n－1)·，Sn＝，
∴ bn＝
(2) 解：设上表中从第三行起，每行的公比都为q，且q＞0.
因为1＋2＋…＋12＝＝78，
所以表中第1行至第12行共含有数列{an}的前78项，故a81在表中第13行第三列，因此a81＝b13·q2＝－.又b13＝－，所以q＝2.记表中第k(k≥3)行所有项的和为S，
则S＝＝·＝(1－2k)(k≥3)．
变式训练　已知二次函数y＝f(x)的图象经过坐标原点，其导函数为f′(x)＝6x－2，数列{an}的前n项和为Sn，点(n，Sn)(n∈N*)均在函数y＝f(x)的图象上．
(1) 求数列{an}的通项公式；
(2) 设bn＝，Tn是数列{bn}的前n项和，求使得Tn＜对所有n∈N*都成立的最小正整数m.
解： (1) 设这二次函数f(x)＝ax2＋bx (a≠0) ，则f′(x)＝2ax＋b ，由于f′(x)＝6x－2，得a＝3 , b＝－2, 所以f(x)＝3x2－2x.
又因为点(n，Sn)(n∈N*)均在函数y＝f(x)的图象上，所以Sn＝3n2－2n.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3n2－2n)－[3(n－1)2－2(n－1)]＝6n－5.
当n＝1时，a1＝S1＝3×12－2＝6×1－5，所以，an＝6n－5 (n∈N*)．
(2) 由(1)得知bn＝＝
＝，
故Tn＝bi
＝
＝.
因此，要使(1－)＜(n∈N*)成立的m，必须且仅须满足≤，即m≥10，所以满足要求的最小正整数m为10.
高考回顾
1. 1　解析：Sn＋S1＝Sn＋1，an＋1＝a1.
2.
3．21
4. 4,5,32　解析：显然，an为正整数，a6＝1，故a5＝2，a4＝4，若a3为奇数，则4＝3a3＋1，a3＝1，若a3为偶数，则a3＝8，若a3＝1，则a2＝2，a1＝4，若a3＝8，则a2＝16，a1＝5或32.
5. (1) 证明：当n＝1时，a1＝－14；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－5an＋5an－1＋1，所以an－1＝(an－1－1)，又a1－1＝－15≠0，＝，
所以数列{an－1}是等比数列；
(2) 解：由(1)知：an－1＝－15·n－1，得an＝1－15·n－1，从而Sn＝n－90＋90×n (n∈N*)；
由Sn＋1>Sn，得n＜，∵ 15<，14>，∴ 使sn＋1>sn成立的最小正整数n＝15.
6. (1) 解：由题意得S＝－2S2，
由S2是等比中项知S2≠0，因此S2＝－2，
由S2＋a3＝S3＝a3S2，解得a3＝＝.
(2) 证明：由题设条件有an＋1Sn＝an＋1＋Sn，
故Sn≠1，an＋1≠1，且an＋1＝，Sn＝，
从而对k≥3有ak＝＝＝，①
因a－ak－1＋1＝2＋＞0，且a≥0，
要证ak≤，由①知只要证≤，
即证3a≤4(a－ak－1＋1)，即(ak－1－2)2≥0，此式明显成立，
因此ak≤(k≥3)．
最后证ak＋1≤ak，若不然，ak＋1＝＞ak，又ak≥0，故＞1，
即(ak－1)2＜0，矛盾，所以ak＋1≤ak(k≥3，k∈N)．　导数及其应用
1. 了解导数的实际背景(如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等)，掌握函数在一点处的导数定义和导数几何意义，理解导函数的概念．
2. 熟记导数的基本公式，掌握两个函数和、差、积、商的求导法则，了解复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数.
3. 理解可导函数的单调性与其导数的关系，了解可导函数在某点取得极值时的必要条件和充分条件(导数在极值点两侧异号)，能用导数解决一些实际问题(一般指单峰函数)的最大值和最小值等．
1. 已知函数f(x)＝x3＋ax2＋3x－9在R上存在极值，则实数a的取值范围是________．
2.已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y＝－x3＋81x－234，则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为________万件．
3.直线y＝x＋b是曲线y＝lnx(x>0)的一条切线，则实数b＝________.
4.若曲线f(x)＝ax2＋lnx存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是________.
【例1】　 已知曲线f(x)＝x3－3x.
(1) 求曲线在点P(1，－2)处的切线方程；
(2) 求过点Q(2，－6)的曲线y＝f(x)的切线方程．
【例2】　已知函数f(x)＝(x－k)ex.
(1) 求f(x)的单调区间；
(2) 求f(x)在区间[0,1]上的最小值．
【例3】　(2009·山东)两县城A和B相距20 km，现计划在两县城外以AB为直径的半圆弧上选择一点C建造垃圾处理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的距离有关，对城A和城B的总影响度为城A与城B的影响度之和，记C点到城A的距离为x km，建在C处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度为y，统计调查表明：垃圾处理厂对城A的影响度与所选地点到城A的距离的平方成反比，比例系数为4；对城B的影响度与所选地点到城B的距离的平方成反比，比例系数为k ，当垃圾处理厂建在的中点时，对城A和城B的总影响度为0.065.
(1) 将y表示成x的函数；
(2) 讨论(1)中函数的单调性，并判断弧上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度最小？若存在，求出该点到城A的距离，若不存在，说明理由．
【例4】　(2011·苏北四市三模)已知函数f(x)＝ax2＋lnx，f1(x)＝x2＋x＋lnx，f2(x)＝x2＋2ax，a∈R.
(1) 求证：函数f(x)在点(e，f(e))处的切线恒过定点，并求出定点坐标；
(2) 若f(x)＜f2(x)在区间(1，＋∞)上恒成立，求a的取值范围；
(3) 当a＝时，求证：在区间(1，＋∞)上，满足f1(x)＜g(x)＜f2(x)恒成立的函数g(x)有无穷多个．
1. (2011·湖南)曲线y＝－在点M处的切线的斜率为________．
2.(2009·江苏)在平面直角坐标系xOy中，点P在曲线C：y＝x3－10x＋3上，且在第二象限内，已知曲线C在点P处的切线的斜率为2，则点P的坐标为________.
3.(2010·辽宁)已知点P在曲线y＝上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值范围是________．
4.(2011·福建)若a＞0，b＞0，且函数f(x)＝4x3－ax2－2bx＋2在x＝1处有极值，则ab的最大值等于________．
5.(2011·江西)设f(x)＝－x3＋x2＋2ax.
(1) 若f(x)在上存在单调递增区间，求实数a的取值范围；
(2) 当06.(2010·辽宁)已知函数f(x)＝(a＋1)lnx＋ax2＋1.
(1) 讨论函数f(x)的单调性；
(2) 设a<－1.如果对任意x1，x2∈(0，＋∞)，|f(x1)－f(x2)|≥4|x1－x2|，求a的取值范围．
(2011·南京三模)(本题满分16分)已知函数f(x)＝x3＋x2－ax(a∈R)
(1) 当a＝0时，求与直线x－y－10＝0平行，且与曲线y＝f(x)相切的直线方程；
(2) 求函数g(x)＝－alnx(x>1)的单调递增区间；
(3) 如果存在a∈[3,9]，使函数h(x)＝f(x)＋f′(x)(x∈[－3，b])在x＝－3处取得最大值，试求b的最大值．
解：(1) 设切点为T(x0，x03＋x02)，由f′(x)＝3x2＋2x及题意得3x02＋2x0＝1(2分)
解得x0＝－1或x0＝，所以T(－1,0)或T，
所以切线方程为x－y＋1＝0或27x－27y－5＝0，(4分)
(2) 因为g(x)＝x2＋x－a－alnx(x>1)，所以由g′(x)＝2x＋1－>0得2x2＋x－a>0(6分)
令φ(x)＝2x2＋x－a(x>1)，因为φ(x)在(1，＋∞)递增，所以φ(x)>φ(1)＝3－a.当3－a≥0，即a≤3时，g(x)的增区间为(1，＋∞)；(8分)
当3－a<0即a>3时，因为φ(1)＝3－a<0，所以φ(x)的一个零点小于1，另一个零点大于1，由φ(x)＝0得x1＝<1，x2＝>1，从而φ(x)>0(x>1)的解集为
即g(x)的增区间为.(10分)
(3) h(x)＝x3＋4x2＋(2－a)x－a，h′(x)＝3x2＋8x＋(2－a)．因为存在a∈(3,9]，令h′(x)＝0，得x1＝，x2＝，所以要使h(x)(x∈[－3，b])在x＝－3处取得最大值，必有解得a≥5，即a∈[5,9](13分)
所以存在a∈[5,9]使h(x)(x∈[－3，b])在x＝－3处取得最大值的充要条件为h(－3)≥h(b)即存在a∈[5,9]使(b＋3)a－(b3＋4b2＋2b－3)≥0成立．因为b＋3>0所以9(b＋3)－(b3＋4b2＋2b－3)≥0，即(b＋3)(b2＋b－10)≤0，解得≤b≤，所以b的最大值为(16分)
第6讲　导数及其应用
1. 函数f(x)＝x3－15x2－33x＋6的单调减区间为________．
【答案】　(－1,11)　解析： f′(x)＝3x2－30x－33＝3(x－11)(x＋1)，
由(x－11)(x＋1)＜0得单调减区间为(－1,11)．亦可填写闭区间或半开半闭区间．
2. 已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋x＋3，其中a，b∈R，a≠0.
(1) 当a，b满足什么条件时，f(x)取得极值？
(2) 已知a＞0，且f(x)在区间(0,1]上单调递增，试用a表示出b的取值范围．
解： (1)由已知得f′(x)＝ax2＋2bx＋1，令f′(x)＝0，得ax2＋2bx＋1＝0，
f(x)要取得极值，方程ax2＋2bx＋1＝0必须有两个不同解，
所以Δ＝4b2－4a＞0，即b2＞a, 此时方程ax2＋2bx＋1＝0的根为
x1＝＝，
x2＝＝，
所以f′(x)＝a(x－x1)(x－x2)．
当a＞0时，
x (－∞，x1) x1 (x1，x2) x2 (x2，＋∞)
f′(x) ＋ 0 － 0 ＋
f(x) ? 极大值 ? 极小值 ?
所以f(x)在x1，x2处分别取得极大值和极小值．
当a＜0时，
x (－∞，x2) x2 (x2，x1) x1 (x1，＋∞)
f′(x) － 0 ＋ 0 －
f (x) ? 极小值 ? 极大值 ?
所以f(x)在x1，x2处分别取得极大值和极小值．
综上，当a，b满足b2＞a时，f(x)取得极值．
(2) 要使f(x)在区间(0,1]上单调递增，需使f′(x)＝ax2＋2bx＋1≥0在(0,1]上恒成立．
即b≥－－，x∈(0,1]恒成立， 所以b≥max.
设g(x)＝－－，g′(x)＝－＋＝，
令g′(x)＝0得x＝或x＝－(舍去)，
当a＞1时，0＜＜1，当x∈时，g′(x)＞0，g(x)＝－－单调增函数；
当x∈时，g′(x)＜0，g(x)＝－－单调递减，
所以当x＝时，g(x)取得极大值，极大值为g＝－.
所以b≥－.
当0＜a≤1时，≥1，此时g′(x)≥0在区间(0,1]上恒成立，所以g(x)＝－－在区间(0,1]上单调递增，当x＝1时，g(x)最大，最大值为g(1)＝－，所以b≥－.
综上，当a＞1时，b≥－；当0＜a≤1时，b≥－.
点评：本题为三次函数，利用求导的方法研究函数的极值、单调性和函数的最值，函数在区间上为单调函数，则导函数在该区间上的符号确定，从而转为不等式恒成立，再转为函数研究最值．运用函数与方程的思想，化归思想和分类讨论的思想解答问题．
基础训练
1. (－∞，－3)∪(3，＋∞)　解析：f′(x)＝3x2＋2ax＋3，Δ＝4a2－36＞0，解得a＞3或a＜－3.
2. 9　解析：y′＝－x2＋81＞0，解得0＜x＜9；令导数y′＝－x2＋81＜0，解得x＞9，所以函数y＝－x3＋81x－234在区间(0,9)上是增函数，在区间(9，＋∞)上是减函数，所以在x＝9处取极大值，也是最大值．
3. ln2－1　解析：y′＝，令＝得x＝2，故切点为(2，ln2)，代入直线方程得，b＝ln2－1.
4. {a|a＜0}　解析：由题意知该函数的定义域为(0，＋∞)，由f′(x)＝2ax＋.因为存在垂直于y轴的切线，故此时斜率为0，问题转化为在x＞0范围内，导函数f′(x)＝2ax＋存在零点．等价于方程2ax＋＝0在(0，＋∞)内有解，显然可得a＝－∈(－∞，0)．
例题选讲
例1　解：(1) 设切线的斜率为k，因为f′(x)＝3x2－3，点P(1，－2)在曲线上，∴ k＝3－3＝0，所以所求的切线的方程为y＝－2.
(2) f′(x)＝3x2－3，设切点Q(x0，y0)，则：＝3x－3，即：＝3x－3，解得x0＝0或3，由k＝f′(x0)得k＝－3或24，得y＝－3x或y＝24x－54.
变式训练　已知函数f(x)＝x3－2x2＋3x(x∈R)的图象为曲线C.
(1) 求过曲线C上任意一点的切线斜率的取值范围；
(2) 若在曲线C上存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线C的切点的横坐标的取值范围．
解： (1) f′(x)＝x2－4x＋3，则f′(x)＝(x－2)2－1≥－1，
即过曲线C上任意一点的切线斜率的取值范围是[－1，＋∞)．
(2) 由(1)可知
解得－1≤k＜0或k≥1，由－1≤x2－4x＋3＜0或x2－4x＋3≥1，
得：x∈(－∞，2－]∪(1,3)∪[2＋，＋∞)，即所求取值范围．
例2　解：(1)f′(x)＝(x－k＋1)ex，令f′(x)＝0?x＝k－1；所以f(x)在(－∞，k－1)上递减，在(k－1，＋∞)上递增．
(2) 当k－1≤0，即k≤1时，函数f(x)在区间[0,1]上递增，所以f(x)min＝f(0)＝－k；当0＜k－1<1即1＜k<2时，由(1)知，函数f(x)在区间[0，k－1]上递减，(k－1,1]上递增，所以f(x)min＝f(k－1)＝－ek－1；当k－1≥1，即k≥2时，函数f(x)在区间[0,1]上递减，所以f(x)min＝f(1)＝(1－k)e.
变式训练　已知函数f(x)＝－x3＋x2＋3x＋a.
(1) 求f(x)的单调减区间；
(2) 若f(x)在区间[－3,4]上的最小值为，求实数a的值．
解：(1) ∵ f′(x)＝－x2＋2x＋3，令f′(x)＜0，则－x2＋2x＋3＜0.
解得x＜－1或x＞3.∴ 函数f(x)的单调减区间为(－∞，－1)∪(3，＋∞)．
(2) 列表如下：
x －3 (－3，－1) －1 (－1,3) 3 (3,4) 4
f′(x) － 0 ＋ 0 －
f(x) ? ? ?
∴ f(x)在(－3，－1)和(3,4)上是减函数，在(－1,3)上是增函数．
又∵ f(－1)＝a－，f(4)＝a＋， ∴ f(－1)＜f(4)．
∴ f(－1)是f(x)在[－3,4]上的最小值．
∴ a－＝，解得a＝4.
例3　解： (1)如右图，由题意知：
AC⊥BC，BC2＝400－x2，y＝＋(0＜x＜20)，
当垃圾处理厂建在弧AB的中点时，垃圾处理厂到A、B的距离都相等，且为10km，所以有0.065＝＋，解得，k＝9，
∴ y＝＋(0＜x＜20)．
(2) ∵ y′＝′＝－＋＝，
令y′＞0，得x4＋640x2－1 280 000＞0，解得x2≥160，即x≥4，
又因为0＜x＜20，所以函数y＝＋在x∈上是减函数，
在x∈(4，20)上是增函数，∴ 当x＝4时，y取得最小值，
所以在弧AB上存在一点，且此点到城市A的距离为4 km，使建在此处的垃圾处理厂对城市A、B的总影响度最小．
例4　(1) 证明：因为f′(x)＝2ax＋，所以f(x)在点(e，f(e))处的切线的斜率为k＝2ae＋，
所以f(x)在点(e，f(e))处的切线方程为y＝(x－e)＋ae2＋1，
整理得y－＝，
所以切线恒过定点.
(2) 解：令p(x)＝f(x)－f2(x)＝x2－2ax＋lnx<0，对x∈(1，＋∞)恒成立，
因为p′(x)＝(2a－1)x－2a＋＝＝(*)，
令p′(x)＝0，得极值点x1＝1，x2＝.
① 当＜a＜1时，有x2＞x1＝1，即＜a＜1时，在(x2，＋∞)上有p′(x)＞0，此时p(x)在区间(x2，＋∞)上是增函数，并且在该区间上有p(x)∈(p(x2)，＋∞)，不合题意；
② 当a≥1时，有x2＜x1＝1，同理可知，p(x)在区间(1，＋∞)上，有p(x)∈(p(1)，＋∞)，也不合题意；
③ 当a≤时，有2a－1≤0，此时在区间(1，＋∞)上恒有p′(x)＜0，
从而p(x)在区间(1，＋∞)上是减函数；
要使p(x)＜0在此区间上恒成立，只须满足p(1)＝－a－≤0?a≥－，
所以－≤a≤.
综上可知a的范围是.
(3) 证明：当a＝时，f1(x)＝x2＋x＋lnx，f2(x)＝x2＋x.
记y＝f2(x)－f1(x)＝x2－lnx，x∈(1，＋∞)．
因为y′＝－＝＞0，
所以y＝f2(x)－f1(x)在(1，＋∞)上为增函数，
所以f2(x)－f1(x)＞f2(1)－f1(1)＝.
设R(x)＝f1(x)＋λ(0＜λ＜1)，则f1(x)＜R(x)＜f2(x)，
所以在区间(1，＋∞)上，满足f1(x)＜g(x)＜f2(x)恒成立的函数g(x)有无穷多个．
高考回顾
1. 　解析：y＝－的导函数为y′＝，x＝，y′＝.
2. (－2,15)　解析：由C：y＝x3－10x＋3得，y′＝3x2－10＝2，x2＝4，切点在第二象限，x＝－2，y＝15.
3. α∈　解析：y′＝－＝－，∵ ex＋≥2，
∴ －1≤y′＜0，即－1≤tanα＜0，∴ α∈.
4. 9　解析：f′(x)＝12x2－2ax－2b，f′(1)＝0，a＋b＝6，a＞0，b＞0,6＝a＋b≥2，ab≤9，当且仅当a＝b时取等号．
5. 解：(1) f(x)在上存在单调递增区间，即存在某个子区间(m，n)?使得f′(x)＞0.由f′(x)＝－x2＋x＋2a＝－(x－)2＋＋2a，f′(x)在区间上单调递减，则只需f′＞0即可．由f′＝＋2a＞0解得a＞－，所以当a＞－时，f(x)在上存在单调递增区间．
(2) 令f′(x)＝0，得两根x1＝，x2＝.
所以f(x)在(－∞，x1)，(x2，＋∞)上单调递减，在(x1，x2)上单调递增．
当0＜a＜2时，有x1＜1＜x2＜4，所以f(x)在[1,4]上的最大值为f(x2)．
又f(4)－f(1)＝－＋6a＜0，即f(4)＜f(1)，
所以f(x)在[1,4]上的最小值为f(4)＝8a－＝－，得a＝1，x2＝2，
从而f(x)在[1,4]上的最大值为f(2)＝.
6. 解：(1) f(x)的定义域为(0，＋∞)．f′(x)＝＋2ax＝.
当a≥0时，f′(x)＞0，故f(x)在(0，＋∞)上单调增加；
当a≤－1时，f′(x)＜0，故f(x)在(0，＋∞)上单调减少；
当－1＜a＜0时，令f′(x)＝0，解得x＝.
则当x∈时，f′(x)＞0；x∈时，f′(x)＜0.
故f(x)在单调增，在单调减．
(2) 不妨假设x1≥x2，而a＜－1，由(1)知f(x)在(0，＋∞)上单调减，从而
?x1，x2∈(0，＋∞)，|f(x1)－f(x2)|≥4|x1－x2|等价于，
?x1，x2∈(0，＋∞)，f(x2)＋4x2≥f(x1)＋4x1，①
令g(x)＝f(x)＋4x，则g′(x)＝＋2ax＋4，
①等价于g(x)在(0，＋∞)上单调减，即＋2ax＋4≤0.
从而a≤＝＝－2，
故a的取值范围为(－∞，－2].　平面向量及其应用
1. 掌握平面向量的加减运算、平面向量的坐标表示、平面向量数量积等基本概念、运算及其简单应用．复习时应强化向量的数量积运算，向量的平行、垂直及求有关向量的夹角问题要引起足够重视．
2. 在复习中要注意数学思想方法的渗透，如数形结合思想、转化与化归思想等．会用向量解决某些简单的几何问题．
1. 在?ABCD中，＝a，＝b，＝3，M为BC的中点，则＝________.(用a、b表示)
2.设a与b是两个不共线向量，且向量a＋λb与－(b－2a)共线，则λ＝________.
3.若向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2且a与b的夹角为，则|a－b|＝________.
4.已知向量P＝＋，其中a、b均为非零向量，则|P|的取值范围是________．
【例1】　已知向量a＝，b＝(2，cos2x)．
(1) 若x∈，试判断a与b能否平行？
(2) 若x∈，求函数f(x)＝a·b的最小值．
【例2】　设向量a＝(4cosα，sinα)，b＝(sinβ，4cosβ)，c＝(cosβ，－4sinβ)．
(1) 若a与b－2c垂直，求tan(α＋β)的值；
(2) 求|b＋c|的最大值；
(3) 若tanαtanβ＝16，求证：a∥b.
【例3】　在△ABC中，已知2·＝||·||＝3BC2，求角A，B，C的大小．
【例4】　已知△ABC的角A、B、C所对的边分别是a、b、c，设向量m＝(a，b)，n＝(sinB，sinA)，p＝(b－2，a－2) .
(1) 若m∥n，求证：△ABC为等腰三角形；
(2) 若m⊥p，边长c＝2，角C＝，求△ABC的面积 .
1. (2008·安徽)在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，若＝(2,4)，＝(1,3)，则＝________.
2.(2011·上海)在正三角形ABC中，D是BC上的点，AB＝3，BD＝1，则·＝________.
3.(2011·江苏)已知e1，e2是夹角为的两个单位向量，a＝e1－2e2，b＝ke1＋e2，若a·b＝0，则实数k的值为________.
4.(2011·浙江)若平面向量α，β满足|α|＝1，|β|≤1，且以向量α，β为邻边的平行四边形的面积为，则α与β的夹角θ的取值范围是________．
5.(2010·江苏)在平面直角坐标系xOy中，点A(－1，－2)、B(2,3)、C(－2，－1)．
(1) 求以线段AB、AC为邻边的平行四边形两条对角线的长；
(2) 设实数t满足(－t)·＝0，求t的值．
6.(2011·陕西)叙述并证明余弦定理．
(2010·江苏泰州一模)(本小题满分14分)在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c.
(1) 设向量x＝(sinB，sinC)，向量y＝(cosB，cosC)，向量z＝(cosB，－cosC)，若z∥(x＋y)，求tanB＋tanC的值；
(2) 已知a2－c2＝8b，且sinAcosC＋3cosAsinC＝0，求b.
解：(1) 由题意：x＋y＝(sinB＋cosB，sinC＋cosC)，(1分)
∵ z∥(x＋y)，
∴ cosB(sinC＋cosC)＝－cosC(sinB＋cosB)，
∴ cosBsinC＋cosCsinB＝－2cosBcosC，(3分)
∴ ＝－2，
即：tanB＋tanC＝－2.　(6分)
(2) ∵ sinAcosC＋3cosAsinC＝0，
∴ sinAcosC＋cosAsinC＝－2cosAsinC，(8分)
∴ sin(A＋C)＝－2cosAsinC，
即：sinB＝－2cosAsinC.(10分)
∴ b＝－2c·，(12分)
∴ －b2＝b2＋c2－a2，
即：a2－c2＝2b2，又a2－c2＝8b，
∴ 2b2＝8b，
∴ b＝0(舍去)或4.(14分)
第9讲　平面向量及其应用
1. 已知△ABC外接圆的圆心为O，BC>CA>AB，则·，·，·的大小关系为________．
【答案】　·＞·＞·　解析： 0＜∠AOB＜∠AOC＜∠BOC＜π，y＝cosx在(0，π)上单调减，∴ cos∠AOB＞cos∠AOC＞cos∠BOC,
∴ ·＞·＞·.
2. 在△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，且1＋＝.
(1) 求角A；
(2) 若m＝(0，－1)，n＝，试求|m＋n|的最小值．
解： (1) 1＋＝?1＋＝，
即＝，
∴ ＝，∴ cosA＝.
∵ 0＜A＜π， ∴ A＝.
(2) m＋n＝(cosB,2cos2－1)＝(cosB，cosC)，
∴ |m＋n|2＝cos2B＋cos2C＝cos2B＋cos2＝1－sin.
∵ A＝，∴ B＋C＝，∴ B∈.
从而－＜2B－＜.
∴ 当sin＝1，即B＝时，|m＋n|2取得最小值.
所以，|m＋n|min＝.
基础训练
1. －a＋b　解析：＝(a＋b)－(a＋b)＝－a＋b.
2. －0.5　解析：a＋λb＝m[－(b－2a)]，则?λ＝－.
3. 　解析： |a－b|＝＝＝.
4. [0,2]　解析：设a与b的夹角为θ，则|P|＝＝(θ∈[0，π])．
例题选讲
例1　解：(1) 若a与b平行，则有·cos2x＝·2，因为x∈，sinx≠0，所以得cos2x＝－2，这与|cos2x|≤1相矛盾，故a与b不能平行．
(2) 由于f(x)＝a·b＝＋＝＝＝2sinx＋，又因为x∈，所以sinx∈， 于是2sinx＋≥2＝2，当2sinx＝，即sinx＝，x＝时取等号，故函数f(x)的最小值等于2.
变式训练　已知向量m＝(sinA，cosA)，n＝(1，－2)，且m·n＝0.
(1) 求tanA的值；
(2) 求函数f(x)＝cos2x＋tanAsinx(x∈R)的值域．
点拨： 平面向量与三角结合是高考中的一个热点，本题主要考查平面向量数量积的坐标运算．
解： (1) m·n＝sinA－2cosA＝0?tanA＝2.
(2) f(x)＝cos2x＋2sinx＝－22＋，
∵ x∈R, ∴ sinx∈[－1,1]，
当sinx＝时，f(x)取最大值；当sinx＝－1时，f(x)取最小值－3.所以函数f(x)的值域为.
例2　(1)解：b－2c＝(sinβ－2cosβ，4cosβ＋8sinβ)，a与b－2c垂直，
∴ 4cosα(sinβ－2cosβ)＋sinα(4cosβ＋8sinβ)＝0，sin(α＋β)＝2cos(α＋β)，即tan(α＋β)＝2.
(2) 解：b＋c＝(sinβ＋cosβ，4cosβ－4sinβ)，
|b＋c|＝＝≤＝4，
|b＋c|的最大值为4.
(3) 证明：由tanαtanβ＝16得sinαsinβ＝16cosαcosβ，
即4cosα4cosβ－sinαsinβ＝0，所以a∥b.
变式训练　已知向量a＝(sinθ，cosθ－2sinθ)，b＝(1,2)．
(1) 若a∥b，求tanθ的值；
(2) 若|a|＝|b|,0＜θ＜π，求θ的值．
解： (1) 因为a∥b，所以2sinθ＝cosθ－2sinθ，
于是4sinθ＝cosθ，故tanθ＝.
(2) 由|a|＝|b|知，sin2θ＋(cosθ－2sinθ)2＝5，
所以1－2sin2θ＋4sin2θ＝5.
从而－2sin2θ＋2(1－cos2θ)＝4，即sin2θ＋cos2θ＝－1，
于是sin＝－.
又由0＜θ＜π知，＜2θ＋＜，
所以2θ＋＝或2θ＋＝.
因此θ＝或.
例3　解：设BC＝a，AC＝b，AB＝c，
由2·＝||·||得2bccosA＝bc，所以cosA＝，
又A∈(0，π)，因此A＝.
由 ||·||＝3BC2得bc＝a2，于是sinC·sinB＝sin2A，
所以sinC·sin＝，sinC·＝，
因此2sinC·cosC＋2sin2C＝，sin2C－cos2C＝0，
即sin＝0.
由A＝知0＜C＜，所以－<2C－＜，
从而2C－＝0或2C－＝π，即C＝或，
故A＝，B＝，C＝或A＝，B＝，C＝.
例4　(1) 证明：∵ m∥n，∴ asinA＝bsinB.
即a·＝b·，其中R是三角形ABC外接圆半径，a＝b，
∴ △ABC为等腰三角形．
(2) 解：由题意可知m·p＝0，即a(b－2)＋b(a－2)＝0，∴ a＋b＝ab，
由余弦定理可知，4＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab，即(ab)2－3ab－4＝0.
∴ ab＝4或－1(舍去)，∴ S＝absinC＝×4×sin＝.
高考回顾
1. (－3，－5)　解析：取A(0,0)则B(2,4)，C(1,3)．由＝得D(－1，－1)．即＝(－3，－5)．
2. 　解析：·＝·(＋)＝·＋·＝32＋3×1×cos＝.
3. 　解析：a·b＝0，(e1－2e2)·(ke1＋e2)＝0，k－＋k＝0，k＝.
4. 　解析：|α||β|sinθ＝，sinθ＝≥，又θ∈(0，π)，
∴ θ∈.
5. 解：(1)(解法1)由题设知＝(3,5)，＝(－1,1)，
则＋＝(2,6)，－＝(4,4)．
所以|＋|＝2，|－|＝4.
故所求的两条对角线的长分别为4、2.
(解法2)设该平行四边形的第四个顶点为D，两条对角线的交点为E，
则：E为B、C的中点，E(0,1)，
又E(0,1)为A、D的中点，所以D(1,4)，
故所求的两条对角线的长分别为BC＝4、AD＝2；
(2) 由题设知：＝(－2，－1)，－t＝(3＋2t,5＋t)．
由(－t)·＝0，得：(3＋2t,5＋t)·(－2，－1)＝0，
从而5t＝－11，所以t＝－.
或者：·＝t2，＝(3,5)，t＝＝－.
6. 解： 余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与他们夹角的余弦之积的两倍．或：在△ABC中，a，b，c为角A，B，C的对边，则有
a2＝b2＋c2－2bccosA；
b2＝a2＋c2－2accosB；
c2＝a2＋b2－2abcosC.
证明： 如图
a2＝·
＝(－)·(－)
＝2－2·＋2
＝－2||||cosA＋2
＝b2－2bccosA＋c2，
即a2＝b2＋c2－2bccosA.同理可证b2＝a2＋c2－2accosB，
c2＝a2＋b2－2abcosC.　高考题中的填空题解法
江苏数学高考试题中填空题共14题，每小题5分，共计70分．填空题在整个试卷中占有相当大的比重，填空题的得分不仅对做整个试卷影响很大，而且对学生整个高考都起非常重要的作用．
填空题是一种客观性试题，它只要求写出结果(简练、概括、准确)，不要求写出解答过程．
高考数学填空题涉及考点少，目标比较集中，以基础题和中档题为主，只有一两道题综合性较强，难度较大；填空题主要还是考查数学的基础知识和基本方法．
目前高考填空题，基本上都是计算型和概念判断型的试题，求解填空题的基本策略是在“准”、“巧”、“快”上下功夫，合情推理、优化思路、少算多思，充分利用各种数学思想方法是准确解答填空题的基本要求．
解填空题的常用方法：
(1) 直接法：指直接从题目的条件或已知的公理、定理等出发，通过严密推理或准确计算(注意运算技巧)而得出正确的结果．
(2) 特例法：题中的条件提供的信息暗示结论是一个定值或结论是唯一的，这样可以把题中变化的量(图形、式子、位置等)用特殊的图形或值等代替，而得出正确的结果．
(3) 数形结合法：借助于图形进行直观的分析，辅之简单的计算而得出正确的结果．
此外在解填空题的过程中，定义法、等价转化法、逆向思维法等也是我们必须掌握的解题方法．
1. a，b的夹角为120°，|a|＝1，|b|＝3则|5a－b| ＝________.
2.若命题“?x∈R，使得x2＋(1－a)x＋1<0”是真命题，则实数a的取值范围是________．
3.设x，y满足约束条件则目标函数z＝x＋y的最大值是________．
4.设a，b为不重合的两条直线，α，β为不重合的两个平面，给出下列命题：
(1) 若a∥α且b∥α，则a∥b；
(2) 若a⊥α且b⊥α，则a∥b；
(3) 若a∥α且α∥β，则α∥β；
(4) 若a⊥α且a⊥β，则α∥β.
上面命题中，所有真命题的序号是________.
【例1】　数列{an}的通项公式为an＝， 若{an}前n项和为24, 则n＝________.
【例2】　 三棱锥PABC中，PA＝BC＝4，PC＝AB＝AC＝2，则三棱锥PABC的外接球的体积是________．
【例3】　不等式logax>x2(a>0，a≠1)对x∈恒成立，则实数a的取值范围是________．
【例4】　n∈N*且n≥2，则3n＋4n与5n的大小关系是________．
1. (2011·全国)已知a与b为两个不共线的单位向量，k为实数．若向量a＋b与向量ka－b垂直，则k＝________.
2. (2011·重庆)若函数f(x)＝x＋(x＞2)在x＝a处有最小值，则实数a＝________.
3. (2011·北京)在△ABC中，若b＝5，B＝，sinA＝，则a＝________.
4. (2011·安徽)已知△ABC的一个内角为120°，并且三边长构成公差为4的等差数列，则△ABC的面积为________．
5. (2010·天津)设函数g(x)＝x2－2(x∈R)，f(x)＝则f(x)的值域是________．
6. (2011·湖南)在边长为1的正三角形ABC中，设＝2，＝3，则·＝________.
7. (2011·辽宁)已知F是抛物线y2＝x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，|AF|＋|BF|＝3，则线段AB的中点到y轴的距离为________．
8. (2011·山东)已知函数f(x)＝logax－x＋b(a>0，a≠1)，当2＜a＜3＜b＜4时，函数f(x)的零点x0∈(n，n＋1)，n∈N*，则n＝________.
第22讲　高考题中的填空题解法
1. 设{an}是等差数列，从{a1，a2，…，a20}中任取3个不同的数，使这3个数仍成等差数列，则这样不同的等差数列的个数最多有__________个．
【答案】　180　解析：本题要进行分类讨论．设原数列公差为d，则抽出的三个数公差为±d的有36个；公差为±2d的有32个；公差为±3d的有28个，…，公差为±9d的有4个，所以共计180个．
2. 如图放置的边长为1的正三角形PAB沿x轴滚动，设顶点A(x，y)的纵坐标与横坐标的函数关系式是y＝f(x)，则f(x)在区间[－2,1]上的解析式是____________．
【答案】　y＝
3. 关于函数y＝f(x)，有下列命题：
① 若a∈[－2,2]，则函数f(x)＝的定域为R；
② 若f(x)＝log(x2－3x＋2)，则f(x)的单调增区间为；
③ 函数f(x)＝loga(a＞0且a≠1)的值域为R，则实数a的取值范围是0＜a≤4且a≠1；
④ 定义在R上的函数f(x)，且对任意的x∈R都有f(－x)＝－f(x)，f(1＋x)＝f(1－x)，则4是y＝f(x)的一个周期．
其中真命题的序号是__________．
【答案】　①③④
基础训练
1. 7　解析：本小题考查向量的线性运算．|5a－b|2＝(5a－b)2＝25a2－10a·b＋b2＝49，故|5a－b|＝7.
2. a＞3或a＜－1　解析：由(1－a)2－4＞0，得a＞3或a＜－1.
3. 6　解析：不等式表示的区域是一个三角形，3个顶点是(3,0)，(6,0)，(2,2)，目标函数z＝x＋y在(6,0)取最大值6.画图，数形结合．
4. (2)(4)　解析：取一个正方体，将其中的棱、面分别看成是直线a、b，平面α、β.
例题选讲
例1　解：an＝＝－，{an}前n项和为Sn＝－1，
∴ －1＝24，n＝624.本题通过直接对通项变形，求和，从而求出结果．
例2　解：将三棱锥P—ABC放入长方体中，则PA，BC；PC，AB，AC是长方体对应的面对角线．设长方体的长、宽、高分别为a，b，c，则　从而a2＋b2＋c2＝36，则三棱锥P—ABC的外接球的半径R满足2R＝＝6，外接球体积为36π.
例3　解：在同一直角坐标系中作出函数y＝logax，y＝x2的图象，则loga≥2, 故≤a＜1.
例4　解：构造函数f(n)＝＝n＋n，f(n＋1)－f(n)＜0，故函数f(n)在n≥2时单调减，f(2)＝1，∴ 3n＋4n≤5n(当且仅当n＝2时取等号)．
高考回顾
1. 1　解析：由已知|a|＝|b|＝1，且(a＋b)·(ka－b)＝0，所以ka2＋(k－1)a·b－b2＝(k－1)(1＋a·b)＝0，所以k＝1.
2. 3　解析：本题考查利用均值不等式求最值，考查学生转化与化归能力、运算求解能力．∵ x＞2，∴ f(x)＝x＋＝x－2＋＋2≥2＋2＝4，当且仅当x－2＝，x＝3时取等号，即a＝3，fmin(x)＝4.
3. 　解析：由正弦定理可得．
4. 15　解析：设三角形的三边长分别为a－4，a，a＋4，最大角为θ，由余弦定理得(a＋4)2＝a2＋(a－4)2－2a(a－4)cos120°，则a＝10，所以三边长为6、10、14.△ABC的面积为S＝×6×10×sin120°＝15.
5. ∪(2，＋∞)　解析：由题意f(x)＝
＝
＝
所以当x∈(－∞，－1)∪(2，＋∞)时，f(x)的值域为(2，＋∞)；当x∈[－1,2]时，f(x)的值域为.
6. －　解析：由题＝－＝－，＝－＝－，
所以·＝·＝－－＋·＝－.
7. 　解析：本题考查抛物线定义的应用，考查学生的等价转换能力，利用转化思想得到|AM|＋|BN|＝|AF|＋|BF|是解题的关键．利用梯形的中位线的性质进行过渡求解中点C的横坐标．
由抛物线的定义知，|AM|＋|BN|＝|AF|＋|BF|＝3，|CD|＝，所以中点C的横坐标为－＝.
8. 5　解析：本题考查函数的零点、方程的解和函数图象的综合．
方程logax－x＋b＝0(a＞0，a≠1)的根为x0，即函数y＝logax(2＜a＜3)的图象与函数y＝x－b(3＜b＜4)的图象交点横坐标为x0，且x0∈(n，n＋1)，n∈N*.结合图象，因为当x＝a(2＜a＜3)时，y＝1，此时对应直线上y＝x－b的点的横坐标x＝1＋b∈(4,5)；当y＝2时，对数函数y＝logax(2＜a＜3)的图象上点的横坐标x∈(4,9)，直线y＝x－b(3＜b＜4)的图象上点的横坐标x∈(5,6)，故所求的n＝5.　点、直线、平面之间的位置关系
江苏高考立体几何部分在正常情况下考两题。一道填空题，常考空间的线、面位置关系的辨析与判定或特殊几何体的体积、表面积等，要求考生对公理、定理、性质、定义等非常熟悉．并能借助已有的几何体中的线与面来解决问题；一道大题，常考线面的平行、垂直，面面的平行与垂直，偶尔也求确定几何体的体积，通过线段长度、线段长度比，点的位置确定等来探索几何体中的线线、线面、面面的位置关系，要重视，要学会规范答题．
1. 直线a，b是长方体的相邻两个面的对角线所在的直线，则a与b的位置关系是________．
2.a，b，c为三条不重合的直线，α，β，γ为三个不重合的平面，直线均不在平面内，给出以下命题：
①?a∥b；②?a∥α；③?α∥β.
其中真命题是____________(填所有正确命题的序号)．
如果直线l⊥平面α，给出下列判断：
①若直线m⊥l，则m∥α；②若直线m⊥α，则m∥l；
③若直线m∥α，则m⊥l；④若直线m∥l，则m⊥α.
其中正确判断的序号是________________．
3.已知A、B、C、D不共面，A在平面BCD上的射影为O，则AB⊥CD，AC⊥BD是O为△BCD垂心的________(填“充分必要，充分不必要，必要不充分，既不充分又不必要”)条件．
【例1】　如图，AB为圆O的直径，点C在圆周上(异于点A，B)，直线PA垂直于圆O所在的平面，点M为线段PB的中点，求证：
(1) MO∥平面PAC；
(2) 平面PAC⊥平面PBC.
【例2】　如图四棱锥PABCD中，底面ABCD是菱形，∠BAD＝60°，AD＝1，侧面PAD是正三角形，且与底面垂直，Q是AD的中点．
(1) 求四棱锥PABCD的体积；
(2) M在线段PC上，PM＝tPC，线段BC上是否存在一点R，使得当t∈(0,1)时，总有BQ∥平面MDR？若存在，确定R点位置；若不存在，说明理由．
【例3】　如图，已知ABCD－A1B1C1D1是棱长为3的正方体，点E在AA1上，点F在CC1上，且AE＝FC1＝1.
(1) 求证：E、B、F、D1四点共面；
(2) 若点G在BC上，BG＝，点M在BB1上，GM⊥BF，垂足为H，求证：EM⊥平面BCC1B1.
【例4】　如图，在矩形ABCD中，AD＝2，AB＝4，E、F分别为边AB、AD的中点，现将△ADE沿DE折起，得四棱锥ABCDE.
(1) 求证：EF∥平面ABC；
(2) 若平面ADE⊥平面BCDE，求四面体FDCE的体积．
1. (2011·福建)如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD上．若EF∥平面AB1C，则线段EF的长度等于________．
2. (2010·湖北)用a、b、c表示三条不同的直线，γ表示平面，给出下列命题：
①若a∥b，b∥c，则a∥c；②若a⊥b，b⊥c，则a⊥c；③若a∥γ，b∥γ，则a∥b；④若a⊥γ，b⊥γ，则a∥b.
其中正确的命题有________________(填所有正确命题的序号)．
3. (2009·江苏)设α和β为不重合的两个平面，给出下列命题：
①若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α平行于β；
②若α外一条直线l与α内一条直线平行，则l和α平行；
③设α和β相交于直线l，若α内有一条直线垂直于l，则α和β垂直；
④直线l与α垂直的充分必要条件是l与α内的两条直线垂直．
上面命题中，真命题的是________(填所有真命题的序号)．
4.(2011·浙江)下列命题中错误的是________
①如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β；
②如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β；
③如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γ；
④如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β.
5. (2011·江苏)如图，在四棱锥PABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB＝AD，∠BAD＝60°，E、F分别是AP、AD的中点，
求证：
(1) 直线EF∥平面PCD；
(2) 平面BEF⊥平面PAD.
6. (2010·山东)在如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形，MA⊥平面ABCD，PD∥MA，E、G、F分别为MB、PB、PC的中点，且AD＝PD＝2MA.
(1) 求证：平面EFG⊥平面PDC；
(2) 求三棱锥PMAB与四棱锥PABCD的体积之比．
(2011·南京一模)(本小题满分14分)如图，在棱长均为4的三棱柱ABCA1B1C1中，D、D1分别是BC和B1C1的中点．
(1) 求证：A1D1∥平面AB1D；
(2) 若平面ABC⊥平面BCC1B1，∠B1BC＝60°，求三棱锥B1ABC的体积．
(1) 证明：如图，连结DD1.在三棱柱ABCA1B1C1中，
因为D、D1分别是BC与B1C1的中点，
所以B1D1∥BD，且B1D1＝BD，
所以四边形B1BDD1为平行四边形，(2分)
所以BB1∥DD1，且BB1＝DD1.
又AA1∥BB1，AA1＝BB1，
所以AA1∥DD1，AA1＝DD1，
所以四边形AA1D1D为平行四边形，(4分)
所以A1D1∥AD.
又A1D1?平面AB1D，AD?平面AB1D，
故A1D1∥平面AB1D.(6分)
(2) 解：(解法1)在△ABC中，因为AB＝AC，D为BC的中点，所以AD⊥BC.
因为平面ABC⊥平面B1C1CB，交线为BC，AD?平面ABC，所以AD⊥平面B1C1CB，
即AD是三棱锥AB1BC的高. (10分)
在△ABC中，由AB＝AC＝BC＝4，得AD＝2.
在△B1BC中，B1B＝BC＝4，∠B1BC＝60°，
所以△B1BC的面积S△B1BC＝×42＝4.
所以三棱锥B1ABC的体积即三棱锥AB1BC的体积：
V＝×S△B1BC·AD＝×4×2＝8.　(14分)
(解法2)在△B1BC中，因为B1B＝BC，∠B1BC＝60°，所以△B1BC为正三角形，因此B1D⊥BC.
因为平面ABC⊥平面B1C1CB，交线为BC，B1D?平面B1C1CB，
所以B1D⊥平面ABC，即B1D是三棱锥B1ABC的高. (10分)
在△ABC中，由AB＝AC＝BC＝4得△ABC的面积S△ABC＝×42＝4.
在△B1BC中，因为B1B＝BC＝4，∠B1BC＝60°，所以B1D＝2.
所以三棱锥B1ABC的体积V＝×S△ABC·B1D＝×4×2＝8. (14分)
第15讲　点、直线、平面之间的位置关系
1. 过三棱柱 ABC—A1B1C1的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB1A1平行的直线共有________条．
【答案】　6
2. m、n是空间两条不同的直线，α、β是空间两个不同的平面，下面有四个命题：
① m⊥α，n∥β，α∥β?m⊥n；　　② m⊥n，n∥β，m⊥α?α∥β；
③ m⊥n，α∥β，m∥α?n⊥β；　　④ m⊥α，m∥n，α∥β?n⊥β.
其中真命题是____________(写出所有真命题的序号)．
【答案】　①④
3. 给出以下四个命题，其中真命题是____________(写出所有真命题的序号)．
① 如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行；
② 如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面；
③ 如果两条直线都平行于一个平面，那么这两条直线互相平行；
④ 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．
【答案】　①②④
4. 如图，AB为圆O的直径，点C在圆周上(异于点A、B)，直线PA垂直于圆O所在的平面，点M为线段PB的中点，有以下四个命题：
① PA∥平面MOB；　　② MO∥平面PBC；
③ OC⊥平面PAC；　　 ④ 平面PAC⊥平面PBC.
其中正确的命题是____________．(填上所有正确命题的序号)
【答案】　④
5. 直三棱柱ABC—A1B1C1中，AC＝BC＝BB1＝1，AB1＝.
(1) 求证：平面AB1C⊥平面B1CB；
(2) 求三棱锥A1—AB1C的体积．
解：(1) 证明：直三棱柱ABC—A1B1C1中，BB1⊥底面ABC，
则BB1⊥AB，BB1⊥BC.
又由于AC＝BC＝BB1＝1，AB1＝，则AB＝，
则由AC2＋BC2＝AB2，可知AC⊥BC.
又由BB1⊥底面ABC，可知BB1⊥AC，则AC⊥平面B1CB，所以平面AB1C⊥平面B1CB.
(2) 解：三棱锥A1—AB1C的体积VA1—AB1C＝VB1—A1AC＝××1＝.
(注：还有其他转换方法)
6. 已知等腰梯形PDCB中(如图1)，PB＝3，DC＝1，PD＝BC＝，A为PB边上一点，且PA＝1，将△PAD沿AD折起，使面PAD⊥面ABCD(如图2)．
(1) 证明：平面PAD⊥平面PCD；
(2) 试在棱PB上确定一点M，使截面AMC把几何体分成的两部分VPDCMA∶VMACB＝2∶1；
(3) 在点M满足(2)的情况下，判断直线PD是否平行面AMC.
图1
　　　图2
解：(1) 证明：依题意知CD⊥AD，又∵ 面PAD⊥面ABCD，
∴ DC⊥平面PAD.又DC?面PCD，∴ 平面PAD⊥平面PCD.
(2) 解：由(1)知PA⊥平面ABCD，∴ 平面PAB⊥平面ABCD.
在PB上取一点M，作MN⊥AB，垂足为N，则
MN⊥平面ABCD，设MN＝h，
则VM—ABC＝S△ABC·h＝××2×1×h＝，
VP—ABC＝S△ABC·PA＝××1×1＝，
要使VPDCMA∶VMACB＝2∶1，即∶＝2∶1，解得h＝，
即M为PB的中点．
(3) 连结BD交AC于O.因为AB∥CD，AB＝2，CD＝1，由相似三角形易得BO＝2OD.∴ O不是BD的中心．
又∵ M为PB的中点，∴ 在△PBD中，OM与PD不平行
∴ OM所在直线与PD所在直线相交．
又OM?平面AMC，∴ 直线PD与平面AMC不平行．
基础训练
1. 相交或异面　2. ②③　3. ②③④　4. 充分必要
例题选讲
例1　证明：(1) ∵ M，O分别是PB、AB的中点，
∴ MO∥PA，
又∵ MO?平面PAC，PA?平面PAC，
∴ MO∥平面PAC.
(2) ∵ 直线PA垂直于圆O所在的平面，
∴ PA⊥BC
∵ C是圆周上一点，AB是直径，∴ BC⊥AC.
又PA∩AC＝A，∴ BC⊥平面PAC.
∵ BC?平面PBC，∴ 平面PBC⊥平面PAC.
变式训练　如图，四棱锥P—ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD＝DC＝BC＝1，AB＝2，AB∥DC，∠BCD＝90°.
(1) 求证：PC⊥BC；
(2) 求点A到平面PBC的距离．
(1) 证明：因为PD⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，所以PD⊥BC.
由∠BCD＝90°，得BC⊥DC.
又PD∩DC＝D，PD?平面PCD，
DC?平面PCD，所以BC⊥平面PCD，
因为PC?平面PCD，故PC⊥BC.
(2) 解：如图，连结AC. 设点A到平面PBC的距离为h，因为AB∥DC，∠BCD＝90°，所以∠ABC＝90°，
从而由AB＝2，BC＝1，得△ABC的面积S△ABC＝1.
由PD⊥平面ABCD及PD＝1，得三棱锥P—ABC的体积V＝S△ABC·PD＝，
因为PD⊥平面ABCD，DC?平面ABCD，所以PD⊥DC.
又PD＝DC＝1，所以PC＝＝.
由PC⊥BC，BC＝1，得S△PBC＝.
由V＝S△PBCh＝··h＝，∴ h＝.
故点A到平面PBC的距离等于.
点评：本小题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系，考查几何体的体积，考查空间想象能力、推理论证能力和运算能力．
例2　解：(1) 连结PQ，则PQ⊥AD，
由题意易得PQ＝，SABCD＝.
∵ 平面PAD⊥平面ABCD且交线为AD，PQ⊥AD，PQ?平面PAD，
∴ PQ⊥平面ABCD，
∴ VP—ABCD＝PQ·SABCD＝.
(2) 存在，R为BC的中点．
取R为BC中点，连结MR，DR，DM，则BQ∥DR.
∵ BQ∥DR，BQ?平面DMR，DR?平面DMR，∴ BQ∥平面DMR.
因此，R为BC中点，当t∈(0,1)时，总有BQ∥平面MDR，反之也成立．
变式训练　如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝3a，BC＝2a，D是BC的中点，E为AB的中点，F是C1C上一点，且CF＝2a.
(1) 求证：C1E∥平面ADF；
(2) 试在BB1上找一点G，使得CG⊥平面ADF；
(3) 求三棱锥D—AB1F的体积．
(1) 证明：∵ AB＝AC，D为BC中点，又E为AB的中点，连结CE交AD于O，连结FO，易知＝＝，故FO∥C1E.
又FO?平面AFD，C1E?平面AFD，
故C1E∥平面AFD.
(2) 解：在平面C1CBB1内，过C作CG⊥DF，交B1B于G.
在Rt△FCD和Rt△CBG中，
FC＝CB，∠CFD＝∠BCG，
故Rt△FCD≌Rt△CBG.
而AD⊥BC，CC1⊥AD且CC1∩CB＝C，
故AD⊥平面C1CBB1.
而CG?平面C1CBB1，故AD⊥CG.
又CG⊥DF，AD∩FD＝D，
故CG⊥平面ADF，此时BG＝CD＝a.
(3) 解：∵ AD⊥平面BCC1B1，
∴ VD—AB1F＝VA—B1DF＝·S△B1DF·AD
＝×B1F·FD·AD＝.
例3　解：(1) 如图，在DD1上取点N，使DN＝1，连结EN，CN，
则AE＝DN＝1，CF＝ND1＝2.
因为AE∥DN，ND1∥CF，所以四边形ADNE，CFD1N都为平行四边形．
从而ENAD，FD1∥CN.
又因为ADBC，所以ENBC，故四边形BCNE是平行四边形，由此推知CN∥BE，从而FD1∥BE.因此，E、B、F、D1四点共面．
(2) 如图，GM⊥BF，又BM⊥BC，
所以∠BGM＝∠CFB，
BM＝BG·tan∠BGM＝BG·tan∠CFB
＝BG·＝×＝1.
因为AEBM，所以ABME为平行四边形，
从而AB∥EM.
又AB⊥平面BCC1B1，所以EM⊥平面BCC1B1.
例4　(1) 证明：(证法1)取线段AC的中点M，连结MF、MB.
因为F为AD的中点，
所以MF∥CD，且MF＝CD.
在折叠前，四边形ABCD为矩形，
E为AB的中点，
所以BE∥CD，且BE＝CD.
所以MF∥BE，且MF＝BE.
所以四边形BEFM为平行四边形，故EF∥BM.
又EF?平面ABC，BM?平面ABC，
所以EF∥平面ABC.
(证法2)延长DE交CB的延长线于点N，
连结AN.
在折叠前，四边形ABCD为矩形，
E为AB的中点，
所以BE∥CD，且BE＝CD.
所以∠NBE＝∠NCD，∠NEB＝∠NDC.
所以△NEB∽△NDC.
所以＝＝，即E为DN的中点．
又F为AD的中点，
所以EF∥NA.
又EF?平面ABC，NA?平面ABC，
所以EF∥平面ABC.
(证法3)取CD的中点O，连结OE、OF.
折叠前，四边形ABCD为矩形，
E为AB的中点，
所以BE∥CD，且BE＝CD.
所以BE∥CO，且BE＝CO.
所以四边形BEOC为平行四边形．
所以EO∥BC.
又EO?平面ABC，BC?平面ABC，
所以EO∥平面ABC.
因为F、O分别为AD、CD的中点，所以FO∥AC.
又FO?平面ABC，AC?平面ABC，
所以FO∥平面ABC.
又FO、EO?平面FEO，FO∩EO＝O，
所以平面FEO∥平面ABC.
因为EF?平面EOF，所以EF∥平面ABC.
(2) 解：(解法1)在折叠前，四边形ABCD为矩形，AD＝2，AB＝4，E为AB的中点，
所以△ADE、△CBE都是等腰直角三角形，且AD＝AE＝EB＝BC＝2，
所以∠DEA＝∠CEB＝45°，且DE＝EC＝2.
又∠DEA＋∠DEC＋∠CEB＝180°，
所以∠DEC＝90°.CE⊥DE，
又平面ADE⊥平面BCDE，
平面ADE∩平面BCDE＝DE，CE?平面BCDE，
所以CE⊥平面ADE，即CE为三棱锥C—EFD的高．
因为F为AD的中点，
所以S△EFD＝××AD·AE＝×2×2＝1.
所以四面体FDCE的体积V＝×S△EFD·CE＝×1×2＝.
(解法2)过F作FH⊥DE，H为垂足．
因为平面ADE⊥平面BCDE，
平面ADE∩平面BCDE＝DE，FH?平面ADE，
所以FH⊥平面BCDE，
即FH为三棱锥F—ECD的高．
在折叠前，四边形ABCD为矩形，
且AD＝2，AB＝4，E为AB的中点，
所以△ADE是等腰直角三角形．
又F为AD的中点，所以DF＝1.
所以FH＝DF·sin45°＝.
又S△EDC＝×CD·BC＝×4×2＝4，
所以四面体FDCE的体积V＝×S△EDC·FH＝×4×＝.
(解法3)过A作AG⊥DE，G为垂足．
因为平面ADE⊥平面BCDE，
平面ADE∩平面BCDE＝DE，AG?平面ADE，
所以AG⊥平面BCDE，
即AG为三棱锥A—ECD的高．
在折叠前，四边形ABCD为矩形，
且AD＝2，AB＝4，E为AB的中点，
所以△ADE是等腰直角三角形．
所以AG＝AD·sin45°＝.
又S△EDC＝×DC·BC＝×4×2＝4，
所以三棱锥A—ECD的体积VA—ECD＝×S△EDC·AG＝×4×＝.
因为F为AD的中点，所以S△EFD＝S△EAD.
所以V三棱锥C—EFD＝V三棱锥C—EAD＝VA—ECD＝.
即四面体FDCE的体积为.
(说明：在第(2)问中，可以证明AD⊥AC；求点D到平面EFC的距离)
高考回顾
1. 　解析：EF∥AC，EF＝AC，AC＝2，∴ EF＝.
2. ①④
3. ①②
4. ④
5. 证明：(1) 因为E、F分别是AP、AD的中点，
∴ EF∥PD.又∵ PD?面PCD，EF?面PCD，
∴ 直线EF∥平面PCD.
(2) 连结BD，∵ AB＝AD，∠BAD＝60°，∴ △ABD为正三角形．
又F是AD的中点，∴ BF⊥AD.
又平面PAD⊥平面ABCD，面PAD∩面ABCD＝AD，∴ BF⊥面PAD，
又BF?面BEF，所以，平面BEF⊥平面PAD.
6. (1) 证明：由已知MA⊥平面ABCD，PD∥MA，
所以PD⊥平面ABCD，又BC?平面ABCD.
所以PD⊥BC.
因为四边形ABCD为正方形，所以BC⊥DC，
又PD∩DC＝D，因此BC⊥平面PDC，
在△PBC中，因为G、F分别为PB、PC的中点，所以GF∥BC.
因此GF⊥平面PDC.又GF?平面EFG，所以平面EFG⊥平面PDC.
(2) 解：因为PD⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，不妨设MA＝1，
则PD＝AD＝2，
所以VP—ABCD＝S正方形ABCD·PD＝.
由于DA⊥面MAB，且PD∥MA，所以DA即为点P到平面MAB的距离
三棱锥VP—MAB＝，
所以VP—MAB∶VP—ABCD＝1∶4.　函数的实际应用
1. 零点问题，在掌握二分法的解题步骤基础上，学会分析转化，能够把与之有关的问题化归为方程零点问题．
2. 函数模型的实际应用问题，主要抓住常见函数模型的训练，如幂指对模型，二次函数模型，数列模型，分段函数模型等，解答的重点是在信息整理和建模上．
3. 掌握解函数应用题的方法与步骤：(1) 正确地将实际问题转化为函数模型(建模)；(2) 用相关的函数知识进行合理的设计，确定最佳的解题方案，进行计算与推理(解模)；(3) 把计算或推理得到的结果代回到实际问题中去解释实际问题，即对实际问题进行总结作答(检验、作答)．
1. 函数f(x)＝ex＋x－2的零点为x0，则不小于x0的最小整数为________．
2.关于x的方程x＝有负实根，则实数a的取值范围是________．
3.某工厂的产值月平均增长率为p，则年平均增长率为________．
4.某人在2009年初贷款 m万元，年利率为x，从次年初开始偿还，每年偿还的金额都是n万元，到2012年初恰好还清，则n的值是________．
【例1】　已知直线y＝mx(m∈R)与函数f(x)＝的图象恰有3个不同的公共点，求实数m的取值范围．
【例2】　某村计划建造一个室内面积为 800 m2的矩形蔬菜温室．在温室内，沿左、右两侧与后侧内墙各保留 1 m 宽的通道，沿前侧内墙保留3 m宽的空地．当矩形温室的边长各为多少时，蔬菜的种植面积最大？最大种植面积是多少？
【例3】　 2014年青奥会水上运动项目将在J地举行．截至2010年底，投资集团B在J地共投资100百万元用于房地产和水上运动两个项目的开发．经调研，从2011年初到2014年底的四年间，B集团预期可从三个方面获得利润：一是房地产项目，四年获得的利润的值为该项目投资额(单位：百万元)的20%；二是水上运动项目，四年获得的利润的值为该项目投资额(单位：百万元)的算术平方根；三是旅游业，四年可获得利润10百万元．
(1) B集团的投资应如何分配，才能使这四年总的预期利润最大？
(2) 假设从2012年起，J地政府每年都要向B集团征收资源占用费，2012年征收2百万元，以后每年征收的金额比上一年增加10%.若B集团投资成功的标准是：从2011年初到2014年底，这四年总的预期利润中值(预期最大利润与最小利润的平均数)不低于总投资额的18%，问B集团投资是否成功？
【例4】　 已知函数f(x)＝－x2＋8x，g(x)＝6lnx＋m.
(1) 求f(x)在区间[t，t＋1]上的最大值h(t)；
(2) 是否存在实数m，使得y＝f(x)的图象与y＝g(x)的图象有且只有三个不同的交点？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由．
1. (2010·浙江)已知x0是函数f(x)＝2x＋ 的一个零点．若x1∈(1，x0)，x2∈(x0，＋∞)，则f(x1)f(x2)________0.(填“>”或“<”)．
2.(2011·北京)根据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间(单位：分钟)为f(x)＝(A，c为常数)．已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A件产品时用时15分钟，那么c和A的值分别是________．
3.(2010·浙江)某商家一月份至五月份累计销售额达3 860万元，预测六月份销售额为500万元，七月份销售额比六月份递增x%，八月份销售额比七月份递增x%，九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等，若一月至十月份销售总额至少达7 000万元，则x 的最小值为________．
4.(2011·重庆)设m，k为整数，方程mx2－kx＋2＝0在区间(0,1)内有两个不同的实根，则m＋k的最小值为________．
5.(2011·山东)某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度，长度单位：米)，其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的体积为立方米，且l≥2r.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为c(c>3)千元．设该容器的建造费用为y千元．
(1) 写出y关于r的函数表达式，并求该函数的定义域；
(2) 求该容器的建造费用最小时的r.
6.(2011·福建)某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y＝＋10(x－6)2，其中3(1) 求a的值；
(2) 若该商品的成本为3元/千克， 试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．
(2011·湖南)(本小题满分12分)如图，长方形物体E在雨中沿面P(面积为S)的垂直方向作匀速移动，速度为v(v>0)，雨速沿E移动方向的分速度为c(c∈R)．E移动时单位时间内的淋雨量包括两部分：(1) P或P的平行面(只有一个面淋雨)的淋雨量，假设其值与|v－c|×S成正比，比例系数为；(2) 其他面的淋雨量之和，其值为，记y为E移动过程中的总淋雨量，当移动距离d＝100，面积S＝时．
(1) 写出y的表达式；
(2) 设0＜v≤10,0＜c≤5，试根据c的不同取值范围，确定移动速度v，使总淋雨量y最少．
解析：(1) 由题意知，E移动时单位时间内的淋雨量为|v－c|＋，(2分)
故y＝＝(3|v－c|＋10). (6分)
(2) 由(1)知，当0当c故y＝( 8分)
① 当0② 当第4讲　函数的实际应用
1. 下列命题正确的是________(填所有正确命题的序号)．
① 若f(－x)＝－f(2＋x)，则f(x)的图象关于点(1,0)对称；
② 若f(－x)＝f(2＋x)，则f(x)的图象关于直线x＝1对称；
③ 若y＝f(x＋1)是奇函数，则y＝f(x)关于点(1,0)对称；
④ 若y＝f(x＋1)是偶函数，则y＝f(x)关于直线x＝1对称．
【答案】　①②③④
2. 已知二次函数y＝g(x)的导函数的图象与直线y＝2x平行，且y＝g(x)在x＝－1处取得最小值m－1(m≠0)．设函数f(x)＝.
(1) 若曲线y＝f(x)上的点P到点Q(0,2)的距离的最小值为，求m的值；
(2) k(k∈R)取何值时，函数y＝f(x)－kx存在零点，并求出零点．
解： (1) 设g(x)＝ax2＋bx＋c，a≠0则g′(x)＝2ax＋b；
又g′(x)的图象与直线y＝2x平行，∴ 2a＝2，∴ a＝1.
又g(x)在x＝－1时取最小值，∴ －＝－1，∴ b＝2.
∴ g(－1)＝a－b＋c＝1－2＋c＝m－1，∴ c＝m.
∴ f(x)＝＝x＋＋2.设P(x0，y0)，
则|PQ|2＝x＋(y0－2)2＝x＋2＝2x＋＋2m≥2＋2m.
∴ 2＋2m＝2，∴ m＝－1或m＝－－1.
(2) 由y＝f(x)－kx＝(1－k)x＋＋2＝0，
得(1－k)x2＋2x＋m＝0.　　　　(*)
当k＝1时，方程(*)有一解x＝－，函数y＝f(x)－kx有一零点x＝－；
当k≠1时，方程(*)有两解?Δ＝4－4m(1－k)＞0.
若m＞0，k＞1－，函数y＝f(x)－kx有两个零点x＝＝；若m＜0，k＜1－，函数y＝f(x)－kx有两个零点x＝＝；
当k≠1时，方程(*)有一解?Δ＝4－4m(1－k)＝0，k＝1－， 函数y＝f(x)－kx有一零点x＝.
基础训练
1. 1　解析：f(0)＜0，f(1)＞0，x0∈(0,1)．
2. 　解析：由＞1，得＜a＜5.
3. (1＋p)12－1
4. 　解析：m(1＋x)3＝n(1＋x)2＋n(1＋x)＋n.n＝.
例题选讲
例1　解：作出函数f(x)的图象，可见要使直线y＝mx(m∈R)与函数f(x)的图象恰有三个不同的公共点，只要y＝x2＋1(x＞0)与直线y＝mx(m∈R)有两个交点，即x2＋1＝mx有两个不等的正根，x2－2mx＋2＝0有两个不等的正根，∴ 解得m＞.
变式训练　(2011·北京)已知函数f(x)＝若关于x的方程f(x)＝k有两个不同的实根，则实数k的取值范围是________．
【答案】　(0,1)　解析：f(x)＝(x≥2)单调递减且值域为(0,1]，f(x)＝(x－1)3(x＜2)单调递增且值域为(－∞，1)，f(x)＝k有两个不同的实根，则实数k的取值范围是(0,1)．
例2　解：设温室的长为x m，则宽为 m．由已知得蔬菜的种植面积为S m2：
S＝(x－2)＝800－4x－＋8
＝808－4≤648(当且仅当x＝即x＝20时，取“＝”)．
答：当矩形温室的边长分别为20 m，40 m时，蔬菜的种植面积最大，最大种植面积是648 m2.
变式训练　某学校拟建一块周长为400 m的操场如图所示，操场的两头是半圆形，中间区域是矩形，学生做操一般安排在矩形区域，为了能让学生的做操区域尽可能大，试问如何设计矩形的长和宽？
解：设中间区域矩形的长、宽分别为x m、y m，中间的矩形区域面积为S m2.
则半圆的周长为 m，因为操场周长为400 m，所以2x＋2×＝400，即2x＋πy＝400.
∴ S＝xy＝·(2x)·(πy)≤·2＝，
由解得当时等号成立．
答：设计矩形的长为100 m，宽约为(≈63.7)m时，面积最大．
例3　解：(1) 设B集团用于水上运动项目的投资为x百万元，四年的总利润为y百万元，由题意，y＝0.2(100－x)＋＋10＝－0.2x＋＋30，x∈[0,100]．
即y＝－0.2(－2.5)2＋31.25，∈[0,10]．
所以当＝2.5，即x＝6.25时，ymax＝31.25.
答：B集团在水上运动项目投资6.25百万元，所获得的利润最大，为31.25百万元．
(2) 由(1)知，在上缴资源占用费前，ymax＝31.25，ymin＝20.
由题意，从2012年到2014年，B集团需上缴J地政府资源占用费共为
2(1＋1.11＋1.12)＝6.62百万元．
所以B集团这四年的预期利润中值为－6.62＝19.005.
由于＝19.005%＞18%，所以B集团投资能成功．
答：B集团在J地投资能成功．
注：若水上运动项目的利润改为该项目投资额的算术平方根的k(k＞0)倍，如何讨论？
例4　解：(1) f(x)＝－x2＋8x＝－(x－4)2＋16.
当t＋1＜4，即t＜3时，f(x)在[t，t＋1]上单调递增．
h(t)＝f(t＋1)＝－(t＋1)2＋8(t＋1)＝－t2＋6t＋7；
当t≤4≤t＋1，即3≤t≤4时，h(t)＝f(4)＝16；
当t＞4时，f(x)在[t，t＋1]上单调递减，h(t)＝f(t)＝－t2＋8t.
综上，h(t)＝
(2) 函数y＝f(x)的图象与y＝g(x)的图象有且只有三个不同的交点，即函数φ(x)＝g(x)－f(x)的图象与x轴的正半轴有且只有三个不同的交点．
∵ φ(x)＝x2－8x＋6lnx＋m，
∴ φ′(x)＝2x－8＋＝＝(x＞0)，
当x∈(0,1)时，φ′(x)＞0，φ(x)是增函数；当x∈(1,3)时，φ′(x)＜0，φ(x)是减函数；当x∈(3，＋∞)时，φ′(x)＞0，φ(x)是增函数；当x＝1或x＝3时，φ′(x)＝0.
∴ φ(x)极大值＝φ(1)＝m－7，φ(x)极小值＝φ(3)＝m＋6ln3－15.
∵ 当x充分接近0时，φ(x)＜0，当x充分大时，φ(x)＞0.
∴ 要使φ(x)的图象与x轴正半轴有三个不同的交点，必须且只须
即7＜m＜15－6ln3.
所以存在实数m，使得函数y＝f(x)与y＝g(x)的图象有且只有三个不同的交点，m的取值范围为(7,15－6ln3)．
高考回顾
1. ＜　解析：f(x)在(1，＋∞)单调递增，f(x0)＝0，f(x1)＜0，f(x2)＞0.
2. 60,16　解析：由条件可知，x≥A时所用时间为常数，所以组装第4件产品用时必然满足第一个分段函数，即f(4)＝＝30?c＝60，f(A)＝＝15?A＝16.
3. 20　解析：3 860＋500＋2[500(1＋x%)＋500(1＋x%)2]≥7 000，x≥20.
4. 13　解析： 设f(x)＝mx2－kx＋2，则方程mx2－kx＋2＝0在区间(0,1)内有两个不同的根等价于因为f(0)＝2，所以f(1)＝m－k＋2＞0，故抛物线开口向上，于是m＞0,0＜k＜2m，令m＝1，则由k2－8m＞0，得k≥3，则m＞≥，所以m至少为2，但k2－8m＞0，故k至少为5，又m＞≥，所以m至少为3，又由m＞k－2＝5－2，所以m至少为4，…，依次类推，发现当m＝6，k＝7时，m，k首次满足所有条件，故m＋k的最小值为13.
5. 解：(1) 因为容器的体积为π立方米，所以πr3＋πr2l＝π，
解得l＝－r＝，
由于l≥2r，因此0所以建造费用y＝2πrl×3＋4πr2c＝2πr××3＋4πr2c，
因此y＝－8r2＋4πcr2，定义域为(0,2]．
(2) y′＝－－16r＋8πcr＝，
由于c>3，所以c－2>0，当r3＝时r＝，
令＝m，则m>0，
所以y′＝(r－m)(r2＋mr＋m2)．
①当0时，
当r＝m时，y′＝0；
当r∈(0，m)时，y′<0；
当r∈(m,2)时，y′>0，
所以r＝m是函数y的极小值点，也是最小值点，
②当m≥2，即3当r∈(0,2)时，y′<0，函数单调递减，
所以r＝2是函数y的最小值点．
综上，当3当c>时，建造费用最小时r＝.
6. 解：(1) 因为x＝5时y＝11，所以＋10＝11?a＝2.
(2) 由(1)知该商品每日的销售量为y＝＋10(x－6)2，所以商场每日销售该商品所获得的利润：
f(x)＝(x－3)＝2＋10(x－3)(x－6)2,3＜x＜6；
f′(x)＝10[(x－6)2＋2(x－3)(x－6)]＝30(x－4)(x－6)，令f′(x)＝0得x＝4.
函数f(x)在(3,4)上递增，在(4,6)上递减，所以当x＝4时函数f(x)取得最大值f(4)＝42.
答：当销售价格x＝4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大，最大值为42元．　等差数列与等比数列
1. 理解等差、等比数列的概念，掌握等差、等比数列的通项公式及前n项和公式．
2. 数列是高中的重要内容，考试说明中，等差、等比数列都是C级要求，因而考试题多为中等及以上难度，试题综合考查了函数与方程，分类讨论等数学思想．填空题常常考查等差、等比数列的通项公式、前n项和公式及等差、等比数列的性质，考查运算求解能力；解答题综合性很强，不仅考查数列本身的知识而且还涉及到函数、不等式、解析几何等方面的知识，基本上都是压轴题．
1. 在数列{an}中，an＝4n－，a1＋a2＋…＋an＝an2＋bn，n∈N*，其中a，b为常数，则ab＝________.
2.已知等差数列{an}中，a2＝6，a5＝15.若bn＝a2n，则数列{bn}的前5项和等于________．
3.
设{an}是公比为正数的等比数列，若a1＝1，a5＝16，则数列{an}前7项和为________．
4.已知等比数列{an}满足a1>0，a1 006＝2，则log2a1＋log2a2＋log2a3＋…＋log2a2 011＝________.
【例1】　等差数列{an}的各项均为正数，且a1＝1，前n项和为Sn，{bn}为等比数列，b1＝1 ，前n项和为Tn，且b2S2＝12，b3S3＝81.
(1) 求an与bn;
(2) 求Sn与Tn；
(3) 设cn＝anbn，{cn}的前n项和为Mn，求Mn.
【例2】　等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1＋，S3＝9＋3.
(1) 求数列{an}的通项an与前n项和Sn；
(2) 设bn＝(n∈N*)，求证：数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列．
【例3】　设{an}是公差不为零的等差数列，Sn为其前n项和，满足a＋a＝a＋a，S7＝7.
(1) 求数列{an}的通项公式及前n项和Sn;
(2) 试求所有的正整数m，使得为数列{an}中的项．
【例4】　已知数列{an}中，a1＝1，an＋an＋1＝2n(n∈N*)，bn＝3an.
(1) 试证数列是等比数列，并求数列{bn}的通项公式．
(2) 在数列{bn}中，是否存在连续三项成等差数列？若存在，求出所有符合条件的项；若不存在，说明理由．
(3) 试证在数列{bn}中，一定存在满足条件1＜r＜s的正整数r，s，使得b1，br，bs成等差数列；并求出正整数r，s之间的关系．
1. (2011·广东)等差数列{an}前9项的和等于前4项的和．若a1＝1，ak＋a4＝0，则k＝________.
2.(2011·辽宁)若等比数列{an}满足anan＋1＝16n，则公比为________.
3.(2011·湖北)《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为________升．
4.(2010·天津)设{an}是等比数列，公比q＝，Sn为{an}的前n项和．记Tn＝，n∈N＋，设Tn0为数列{Tn}的最大项，则n0＝________.
5.(2011·湖北)成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列{bn}中的b3、b4、b5.
(1) 求数列{bn}的通项公式；
(2) 数列{bn}的前n项和为Sn，求证：数列是等比数列．
6.(2009·广东)已知点是函数f(x)＝ax(a>0，a≠1)的图象上一点，等比数列{an}的前n项和为f(n)－c，数列{bn}(bn>0)的首项为c，且前n项和Sn满足Sn－Sn－1＝＋(n≥2)．
(1) 求数列{an}和{bn}的通项公式；
(2) 若数列前n项和为Tn，问Tn>的最小正整数n是多少？
(2011·辽宁)(本小题满分12分)已知等差数列{an}满足a2＝0，a6＋a8＝－10.
(1) 求数列{an}的通项公式；
(2) 求数列的前n项和．
解：(1) 设等差数列{an}的公差为d，由已知条件可得(2分)
解得(4分)
故数列{an}的通项公式为an＝2－n(n∈N*)．(5分)
(2) 设数列的前n项和为Sn，即Sn＝a1＋＋…＋，　①
故S1＝1. (7分)
＝＋＋…＋.②
所以，当n>1时，①－②得＝a1＋＋…＋－
＝1－－＝1－－，(9分)
所以Sn＝，n＝1适合，综上数列的前n项和Sn＝. (12分)
第10讲　等差数列与等比数列
1. 若数列{an}，{bn}的通项公式分别是an＝(－1)n＋2007·a，bn＝2＋，且an＜bn对任意n∈N*恒成立，则常数a的取值范围是____________．
【答案】　[－2,1]　解析： a＞0时，an的最大值为a(n取奇数)，bn的最小值为1，a＝0，bn＞0，an＜bn恒成立，a＜0时，an的最大值为－a(n取偶数)，bn＞2，－a≤2，综上，a∈[－2,1)．
2. 已知无穷数列{an}中，a1，a2，…，am是首项为10，公差为－2的等差数列；am＋1，am＋2，…，a2m是首项为，公比为的等比数列(其中 m≥3，m∈N*)，并对任意的n∈N*，均有an＋2m＝an成立．
(1) 当m＝12时，求a2 010；
(2) 若a52＝，试求m的值；
(3) 判断是否存在m(m≥3，m∈N*)，使得S128m＋3≥2 010成立？若存在，试求出m的值；若不存在，请说明理由．
解： (1) m＝12时，数列的周期为24.
∵ 2 010＝24×83＋18，而a18是等比数列中的项，
∴ a2 010＝a18＝a12＋6＝6＝.
(2) 设am＋k是第一个周期中等比数列中的第k项，则am＋k＝k.
∵ ＝7，
∴ 等比数列中至少有7项，即m≥7，则一个周期中至少有14项．　
∴ a52最多是第三个周期中的项．
若a52是第一个周期中的项，则a52＝am＋7＝. ∴ m＝52－7＝45；
若a52是第二个周期中的项，则a52＝a3m＋7＝.∴ 3m＝45，m＝15；
若a52是第三个周期中的项，则a52＝a5m＋7＝.∴ 5m＝45，m＝9；
综上，m＝45，或15，或9.
(3) 2m是此数列的周期，∴ S128m＋3表示64个周期及等差数列的前3项之和．
∴ S2m最大时，S128m＋3最大．
∵ S2m＝10m＋×(－2)＋＝－m2＋11m＋1－＝－2＋－，
当m＝6时，S2m＝31－＝30；
当m≤5时，S2m＜30；
当m≥7时，S2m＜－(7－)2＋＝29＜30.
∴ 当m＝6时，S2m取得最大值，则S128m＋3取得最大值为64×30＋24＝2 007.
由此可知，不存在m(m≥3，m∈N*)，使得S128m＋3≥2 010成立．
基础训练
1. －1　解析：{an}为等差数列，则Sn＝2n2－n，∴ a＝2，b＝－.
2. 90　解析：an＝3n，bn＝6n.
3. 127
4. 2 011　解析：log2a1＋log2a2＋log2a3＋…＋log2a2 011＝log2(a1a2a3…a2 011)＝log2[(a1a2 011)(a2a2 010)…(a1 005a1 007)a1 006]＝log2[(22)1 005×2]＝log222 011＝2 011.
例题选讲
例1　解：(1) 设{an}的公差为d，{bn}的公比为q，则d为正数，
an＝1＋(n－1)d，bn＝qn－1.
依题意有　解得或(舍去)
故an＝1＋2(n－1)，an＝2n－1，bn＝3n－1.
(2) Sn＝1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2，Tn＝＝.
(3) cn＝(2n－1)×3n－1，Mn＝1＋3×3＋5×32＋…＋(2n－1)×3n－1，①
3Mn＝1×3＋3×32＋5×33＋…＋(2n－1)×3n，②
①－②得－2Mn＝1＋2×3＋2×32＋…＋2×3n－1－(2n－1)×3n，
Mn＝(n－1)×3n＋1.
变式训练　等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S1，S3，S2成等差数列．
(1) 求{an}的公比q；
(2) 若a1－a3＝3，求Sn.
解： (1) 依题意有a1＋(a1＋a1q)＝2(a1＋a1q＋a1q2)，
由于a1≠0，故2q2＋q＝0，
又q≠0，从而q＝－.
(2) 由已知可得a1－a12＝3，故a1＝4.
从而Sn＝＝.
例2　解：(1) 由已知得∴ d＝2，故an＝2n－1＋，Sn＝n(n＋)．
(2) 由(1)得bn＝＝n＋.假设数列{bn}中存在三项bp，bq，br(p，q，r互不相等)成等比数列，则b＝bpbr，即(q＋)2＝(p＋)(r＋)．
∴ (q2－pr)＋(2q－p－r)＝0, ∵ p，q，r∈N*，∴
∴ 2＝pr, (p－r)2＝0, ∴ p＝r.这与p≠r矛盾．
故数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列．
变式训练　设Sn为数列{an}的前n项和，Sn＝kn2＋n，n∈N*，其中k是常数．
(1) 求a1及an；
(2) 若对于任意的m∈N*，am，a2m，a4m成等比数列，求k的值．
解： (1) 当n＝1，a1＝S1＝k＋1，
n≥2，an＝Sn－Sn－1＝kn2＋n－[k(n－1)2＋(n－1)]＝2kn－k＋1，(*)
经检验，n＝1，(*)式成立，∴ an＝2kn－k＋1(n∈N*)．
(2) ∵ am，a2m，a4m成等比数列， ∴ a＝am·a4m，
即(4km－k＋1)2＝(2km－k＋1)(8km－k＋1)，整理得：mk(k－1)＝0，
对任意的m∈N*成立，∴ k＝0或k＝1.
例3　解：(1) 设公差为d，则a－a＝a－a，由性质得－3d(a4＋a3)＝d(a4＋a3)，因为d≠0，所以a4＋a3＝0，即2a1＋5d＝0，又由S7＝7得7a1＋d＝7，
解得a1＝－5，d＝2，所以{an}的通项公式为an＝2n－7，前n项和Sn＝n2－6n.
(2) (解法1)＝，设2m－3＝t，
则＝＝t＋－6, 所以t为8的约数．
因为t是奇数，所以t可取的值为±1，
当t＝1，m＝2时，t＋－6＝3,2×5－7＝3，是数列{an}中的项；
当t＝－1，m＝1时，t＋－6＝－15，数列{an}中的最小项是－5，不符合．
所以满足条件的正整数m＝2.
(解法2) 因为＝＝am＋2－6＋为数列{an}中的项，故为整数，又由(1)知：am＋2为奇数，所以am＋2＝2m－3＝±1，即m＝1,2，经检验，符合题意的正整数只有m＝2.
例4　解： (1) 证明：由an＋an＋1＝2n，得an＋1＝2n－an，
所以＝＝＝－1.
又因为a1－＝，所以数列{an－×2n}是首项为，公比为－1的等比数列．
所以an－×2n＝×(－1)n－1，即an＝[2n－(－1)n]，所以bn＝2n－(－1)n.
(2) 假设在数列{bn}中，存在连续三项bk－1，bk，bk＋1(k∈N*, k≥2)成等差数列，则bk－1＋bk＋1＝2bk，即[2k－1－(－1)k－1]＋[2k＋1－(－1)k＋1]＝2[2k－(－1)k]，即2k－1＝4(－1)k－1.
① 若k为偶数，则2k－1＞0,4(－1)k－1＝－4＜0，所以，不存在偶数k，使得bk－1，bk，bk＋1成等差数列．
② 若k为奇数，则当k≥3时，2k－1≥4，而4(－1)k－1＝4，所以，当且仅当k＝3时，bk－1，bk，bk＋1成等差数列．
综上所述，在数列{bn}中，有且仅有连续三项b2，b3，b4成等差数列．
(3) 要使b1，br，bs成等差数列，只需b1＋bs＝2br，
即3＋2s－(－1)s＝2[2r－(－1)r]，即2s－2r＋1＝(－1)s－2(－1)r－3，(﹡)
① 若s＝r＋1，在(﹡)式中，左端2s－2r＋1＝0，
右端(－1)s－2(－1)r－3＝(－1)s＋2(－1)s－3＝3(－1)s－3，
要使(﹡)式成立，当且仅当s为偶数时．又s＞r＞1，且s，r为正整数，
所以当s为不小于4的正偶数，且s＝r＋1时，b1，br，bs成等差数列．
② 若s≥r＋2时，在(﹡)式中，左端2s－2r＋1≥2r＋2－2r＋1＝2r＋1，
由(2)可知，r≥3，所以r＋1≥4，所以左端2s－2r＋1≥16(当且仅当s为偶数、r为奇数时取“＝”)；右端(－1)s－2(－1)s－3≤0.所以当s≥r＋2时，b1，br，bs不成等差数列．
综上所述，存在不小于4的正偶数s，且s＝r＋1，使得b1，br，bs成等差数列.
高考回顾
1. 10　2. 4
3. 　解析：设该数列为{an}，首项为a1，公差为d，依题意
即解得
则a5＝a1＋4d＝a1＋7d－3d＝－＝.
4. 4　解析：不妨设a1＝1，则an＝()n－1，an＋1＝()n，Sn＝＝，S2n＝＝，
Tn＝＝＝－，
因为函数g(x)＝x＋(x＞0)在x＝4时，取得最小值，
所以Tn＝－在an＋1＝4时取得最大值．
此时an＋1＝()n＝4，解得n＝4.即T4为数列{Tn}的最大项，则n0＝4.
5. 解：(1) 设成等差数列的三个正数分别为a－d，a，a＋d；则a－d＋a＋a＋d＝15?a＝5；
数列{bn}中的b3、b4、b5依次为7－d,10,18＋d，则(7－d)(18＋d)＝100；
得d＝2或d＝－13(舍)，于是b3＝5，b4＝10?bn＝5·2n－3.
(2) 证明：数列{bn}的前n项和Sn＝5·2n－2－，即Sn＋＝5·2n－2?＝＝2，因此数列是公比为2的等比数列．
6. 解：(1) ∵ f(1)＝a＝， ∴ f(x)＝x，
a1＝f(1)－c＝－c，a2＝[f(2)－c]－[f(1)－c]＝－，
a3＝[f(3)－c]－[f(2)－c]＝－.
又数列{an}成等比数列，a1＝＝＝－＝－c，所以c＝1；
又公比q＝＝，所以an＝－n－1＝－2n(n∈N*)；
又 Sn－Sn－1＝(－)(＋)＝＋(n≥2)，
又bn＞0，＞0，∴ －＝1；
数列{}构成一个首项为1，公差为1的等差数列，＝1＋(n－1)×1＝n，Sn＝n2.
当n≥2，bn＝Sn－Sn－1＝n2－(n－1)2＝2n－1；又b1＝1，
∴ bn＝2n－1(n∈N*)．
(2) Tn＝＋＋＋…＋＝＋＋＋…＋＝＋＋＋…＋＝＝，
由Tn＝＞，得n＞，满足Tn＞的最小正整数为112.　不等式及其应用
1. 理解并掌握不等式的基本性质及解法．
2. 掌握两个(不扩展到三个)正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并能灵活运用其解决问题．
1. 已知集合A＝，集合B＝{x|y＝lg(x2＋x－2)}，则A∩B＝________.
2.设03.点P(x，y)是直线x＋3y－2＝0上的动点，则代数式3x＋27y有最小值是________．
4.已知函数f(x)＝|lgx|.若a≠b且f(a)＝f(b)，则a＋b的取值范围是________．
【例1】　设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c∈R)．
(1) 已知f(1)＝－，
①若f(x)<1的解集为(0,3)，求f(x)的表达式；
②若a>0，求证：函数f(x)在区间(0,2)内至少有一个零点．
(2) 已知a＝1，若x1，x2是方程f(x)＝0的两个根，且x1，x2∈(m，m＋1)，其中m∈R，求
f(m)f(m＋1)的最大值．
【例2】　若关于x的不等式(2x－1)2【例3】　某建筑的金属支架如图所示，根据要求AB至少长2.8 m，C为AB的中点，B到D的距离比CD的长小0.5 m，∠BCD＝60°，已知建筑支架的材料每米的价格一定，问怎样设计AB，CD的长，可使建造这个支架的成本最低？
【例4】　(1) 已知函数f(x)＝lnx－x＋1，x∈(0，＋∞)，求函数f(x)的最大值；
(2) 设ak，bk(k＝1,2…，n)均为正数，证明：
①若a1b1＋a2b2＋…＋anbn≤b1＋b2＋…＋bn，则ab11ab22…abnn≤1；
②若b1＋b2＋…＋bn＝1，则≤bb11bb22…bbnn≤b＋b＋…＋b.
1. (2011·湖南)设x，y∈R且xy≠0，则的最小值为________．
2.(2011·福建)已知O是坐标原点，点A(－1,1)，若点M(x，y)为平面区域上的一个动点，则·的取值范围是________．
3.(2010·江苏)将边长为1 m的正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记S＝，则S的最小值是________．
4.(2011·重庆)若实数a，b，c满足2a＋2b＝2a＋b,2a＋2b＋2c＝2a＋b＋c，则c的最大值是________．
5.(2011·四川)某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为10吨的甲型卡车和7辆载重量为6吨的乙型卡车．某天需运往A地至少72吨的货物，派用的每辆车需满载且只运送一次．派用的每辆甲型卡车需配2名工人，运送一次可得利润450元；派用的每辆乙型卡车需配1名工人，运送一次可得利润350元，该公司合理计划当天派用两类卡车的车辆数，可得最大利润为多少元？
6.(2010·江苏)设各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，已知2a2＝a1＋a3，数列{}是公差为d的等差数列．
(1) 求数列{an}的通项公式(用n，d表示)；
(2) 设c为实数，对满足m＋n＝3k且m≠n的任意正整数m，n，k，不等式Sm＋Sn>cSk都成立．求证：c的最大值为.
(2010·江苏)(本小题满分14分)某兴趣小组测量电视塔AE的高度H(单位：m)，如图所示，垂直放置的标杆BC的高度h＝4 m，仰角∠ABE＝α，∠ADE＝β.
(1) 该小组已经测得一组α、β的值，tanα＝1.24，tanβ＝1.20，请据此算出H的值；
(2) 该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离d(单位：m)，使α与β之差较大，可以提高测量精确度．若电视塔的实际高度为125 m，试问d为多少时，α－β最大？
解：(1) ＝tanβ?AD＝，同理，AB＝，BD＝.(2分)
AD－AB＝DB，故得－＝，解得H＝＝＝124.因此，算出电视塔的高度H是124 m．(5分)
(2) 由题设知d＝AB，得tanα＝，tanβ＝＝＝，(7分)
tan(α－β)＝＝＝＝，(9分)
函数y＝tanx在上单调增，0<β<α<，则0<α－β< , (11分)
因为d＋≥2，(当且仅当d＝＝＝55时，取等号)，故当d＝55时，tan(α－β)最大，(13分)
所以当d＝55时，α－β最大．故所求的d是55 m．(14分)
第5讲　不等式及其应用
1. 若函数f(x)＝则不等式|f(x)|≥的解集为________．
【答案】　[－3,1]　解析：本题主要考查分段函数和简单绝对值不等式的解法. 属于基础知识、基本运算的考查．
① 由|f(x)|≥??－3≤x＜0.
② 由|f(x)|≥???0≤x≤1.
∴ 不等式|f(x)|≥的解集为{x|－3≤x≤1}．
2. 设函数f(x)＝x3＋3bx2＋3cx有两个极值点x1、x2，且x1∈[－1,0]，x2∈[1,2]．
(1) 求b、c满足的约束条件，并在下面的坐标平面内，画出满足这些条件的点(b，c)的区域；
(2) 证明：－10≤f(x2)≤－.
(1) 解：f′(x)＝3x2＋6bx＋3c由题意知方程f′(x)＝0有两个根x1、x2.
且x1∈[－1,0]，x2∈[1,2]．则有f′(－1)≥0，f′(0)≤0，f′(1)≤0，f′(2)≥0
故有
图中阴影部分即是满足这些条件的点(b，c)的区域．
(2) 证明： 由题意有f′(x2)＝3x＋6bx2＋3c＝0，　①
又f(x2)＝x＋3bx＋3cx2，　②
消去b可得f(x2)＝－x＋x2.
又∵ x2∈[1,2]，且c∈[－2,0]，∴ －10≤f(x2)≤－.
基础训练
1. (1,2)　解析：A＝(－1,2)，B＝(－∞，－2)∪(1，＋∞)，∴ A∩B＝(1,2)．
2. b　解析：0＜a＜b，a＋b＝1，得0＜a＜，＜b＜1，b－(a2＋b2)＝b－b2－(1－b)2＝(2b－1)(1－b)＞0.
3. 6　解析：3x＋27y≥2＝2＝2＝6.
4. (2，＋∞)　解析：(解法1)因为 f(a)＝f(b)，所以|lga|＝|lgb|，所以a＝b(舍去)或b＝，所以a＋b＝a＋，又0f(1)＝1＋1＝2，即a＋b的取值范围是(2，＋∞)．
(解法2)由0化为求z＝x＋y的取值范围问题，z＝x＋y?y＝－x＋z，y＝?y′＝－＜－1?过点(1,1)时，z取最小值为2.
例题选讲
例1　解：(1)①? ∴ f(x)＝x2－2x＋1.
② 证明：a＋b＋c＝－，f(0)＝c，f(1)＝－＜0，f(2)＝4a＋2b＋c＝a－c，若c＞0，则f(0)＞0，f(1)＜0，函数f(x)在(0,1)上连续，则f(x)在(0,1)内必有一实根；若c≤0，a＞0, 则f(2)＝a－c＞0，f(1)＜0，函数f(x)在(1,2)上连续，∴ f(x)在(1,2)内必有一实根，综上，函数f(x)在区间(0,2)内至少有一个零点．
(2) f(x)＝(x－x1)(x－x2)，x1，x2∈(m，m＋1)，m－x1＜0，m－x2＜0，m＋1－x1＞0，m＋1－x2＞0, ∴ f(m)·f(m＋1)＝(m－x1)(m－x2)(m＋1－x1)(m＋1－x2)＝[(x1－m)(m＋1－x1)][(x2－m)(m＋1－x2)]≤2·2＝，当且仅当x1＝x2＝时取等号，∴ f(m)f(m＋1)的最大值为.
变式训练　已知f(x)＝x2－x＋k，k∈Z，若方程f(x)＝2在上有两个不相等的实数根．
(1) 确定k的值；
(2) 求的最小值及对应的x值．
解： (1) 设g(x)＝f(x)－2＝x2－x＋k－2，
由题设有
?＜k＜，又k∈Z，∴ k＝2.
(2) ∵k＝2，∴ f(x)＝x2－x＋2＝2＋＞0，
∴ ＝f(x)＋≥2＝4，
当且仅当f(x)＝，即[f(x)]2＝4时取等号．
∵ f(x)＞0，∴ f(x)＝2时取等号．
即x2－x＋2＝2，解得x＝0或1.当x＝0或1时，取最小值4.
例2　解：(解法1)显然a≤0时，不等式解集为?，故a＞0.因此不等式等价于(－a＋4)x2－4x＋1＜0，易知a＝4不合题意，所以二次方程(－a＋4)x2－4x＋1＝0中的Δ＝4a＞0，且有4－a＞0，故0＜a＜4，不等式的解集为＜x＜，＜＜则一定有{1,2}为所求的整数解集，所以2＜≤3时，解得实数a的取值范围为.
(解法2)在同一个坐标系中分别作出函数f(x)＝(2x－1)2，g(x)＝ax2的图象，显然a≤0不合要求，从图象可知即可，求得＜a≤.
例3　解：设BC＝a m(a≥1.4)，CD＝b m，连结BD.
则在△CDB中，2＝b2＋a2－2abcos60°.
∴ b＝. ∴ b＋2a＝＋2a.
设t＝a－1，t≥－1＝0.4，
则b＋2a＝＋2(t＋1)＝3t＋＋4≥7，
等号成立时t＝0.5＞0.4，a＝1.5，b＝4.
答：当AB＝3 m，CD＝4 m时，建造这个支架的成本最低．
变式训练　如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为2 m的无盖长方体沉淀
箱．污水从A孔流入，经沉淀后从B孔流出．设箱体的长度为a m，高度为b m．已知流出的水中该杂质的质量分数与a，b的乘积成反比．现有制箱材料60平方米．问当a，b各为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小．(A、B孔的面积忽略不计)
解：(解法1)设y为流出的水中杂质的质量分数，则y＝k/ab，其中k为比例系数且k＞0，依题意，即所求的a，b值使y值最小. 根据题设，有4b＋2ab＋2a＝60(a>0，b>0)，得b＝(30－a)/(2＋a) (0于是y＝k/ab＝k/[(30a－a2)/(2＋a)]
＝k/[－a＋32－64/(a＋2)]＝k/[34－(a＋2＋64/(a＋2)]
≥＝.
当且仅当a＋2＝64/(a＋2)时取等号，y取最小值．
此时a＝6，a＝－10(舍)．
将a＝6代入①式
得b＝3. 故当a为6米，b为3米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小．
(解法2)依题意，即所求的a，b的值使ab最大．
由题设知4a＋2ab＋2a＝60 (a>0，b>0)，
即a＋2b＋ab＝30(a>0，b>0). ∵ a＋2b≥2，
∴ 2＋ab≤30, 当且仅当a＝2b时，上式取等号. 由a>0，b>0，解得0∴ 2b2＝18.解得b＝3，a＝6. 故当a为6米，b为3米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小．
例4　(1) 解：f(x)的定义域为(0，＋∞)，令f′(x)＝－1＝0?x＝1，
f(x)在(0,1)上递增，在(1，＋∞)上递减，故函数f(x)在x＝1处取得最大值f(1)＝0.
(2) 证明：①由(1)知当x∈(0，＋∞)时有f(x)≤f(1)＝0即lnx≤x－1，
∵ ak，bk均为正数， ∴ bk·lnak≤bk(ak－1)，(k＝1,2，…，n)?lnak≤bk(ak－1)，
∵ akbk≤bk，∴ lnak≤0即ln(a1a2…an)≤0?a1a2…an≤1，
② (ⅰ) 先证b1bn≥，令ak＝，(k＝1,2，…，n)，则akbk＝?akbk＝1，
由(ⅰ)知b1b2…bn≤1?≤n＝n，
∴ b1b1…b1≥；
(ⅱ) 再证b1b2…bn≤b＋b…＋b，记S＝b，ak＝(k＝1,2，…n)，
则akbk＝b＝1＝bk于是由(1) 得
b1b2…bn≤1?b1b2…bn≤S＝S，
所以b1b2…bn≤b＋b…＋b.综上可得证．
高考回顾
1. 9　解析：＝5＋＋4x2y2≥5＋2·2＝9.
2. [0,2]　解析：区域为三角形区域，三个顶点坐标分别为(0,2)，(1,1)，(1,2)，·＝－x＋y∈[0,2]．
3. 　解析：设梯形的上底边长为x，则0＜x＜1，梯形面积为(1－x2)，梯形的周长为3－x，S＝(0＜x＜1)，用导数求得x＝时，S取最小值.
4. 2－log23　解析： ∵ 2a＋b＝2a＋2b≥2，∴ 2a＋b≥4，
又∵ 2a＋2b＋2c＝2a＋b＋c，∴ 2a＋b＋2c＝2a＋b·2c，∴ ＝2a＋b≥4，即≥4，即≥0，∴ 2c≤，∴ c≤log2＝2－log23，∴ c的最大值为2－log23.
5. 解：设派用甲型卡车x(辆)，乙型卡车y(辆)，获得的利润为u(元)，u＝450x＋350y，
由题意，x、y满足关系式
作出相应的平面区域，u＝450x＋350y＝50(9x＋7y)．
在由确定的交点(7,5)处取得最大值4 900元，
答：派甲型卡车7辆，乙型卡车5辆，可得最大利润为4 900元．
6. (1)解：由题意知：d＞0，＝＋(n－1)d＝＋(n－1)d，
2a2＝a1＋a3?3a2＝S3?3(S2－S1)＝S3,3[(＋d)2－a1]2＝(＋2d)2，化简得：a1－2·d＋d2＝0，＝d，a1＝d2，
＝d＋(n－1)d＝nd，Sn＝n2d2，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2d2－(n－1)2d2＝(2n－1)d2，适合n＝1情形．
故所求an＝(2n－1)d2(n∈N*)．
(2) 证明：Sm＋Sn＞cSk?m2d2＋n2d2＞c·k2d2?m2＋n2＞c·k2，c＜恒成立．又m＋n＝3k且m≠n,2(m2＋n2)＞(m＋n)2＝9k2?＞，
故c≤，即c的最大值为.　直线与圆的方程及应用
解析几何是江苏高考必考题之一，它包含两个C级考点，正常情况下，考一小(填空)一大(解答)．小题常涉及直线方程及应用，圆锥曲线方程及其性质，有一定的计算量；大题往往与圆有关，涉及到方程，位置关系、定点、定值、定线等．圆与圆锥曲线的综合考查，对数学思想方法要求比较高，能灵活使用待定系数法、定义法等求方程，能用配方法、换元法等，结合图形将问题进行转化，通过函数、方程、不等式等思想来解决问题．
1. 理解直线的斜率和倾斜角的概念；掌握过两点的直线斜率的计算公式；了解直线的倾斜角的范围；理解直线的斜率和倾斜角之间的关系，能根据直线的倾斜角求出直线的斜率．
2. 掌握直线方程的几种形式(点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式)的特点与适用范围；能根据问题的具体条件选择恰当的形式求直线的方程；了解直线方程的斜截式与一次函数的关系．
3. 能根据斜率判定两条直线平行或垂直．
4. 了解二元一次方程组的解与两直线的交点坐标之间的关系，体会数形结合思想；能用解方程组的方法求两直线的交点坐标．
5. 掌握两点间的距离公式和点到直线的距离公式及其简单应用；会求两条平行直线间的距离．
6. 掌握圆的标准方程与一般方程，能根据问题的条件选择恰当的形式求圆的方程；理解圆的标准方程与一般方程之间的关系，会进行互化．
7. 能根据直线与圆的方程判断其位置关系(相交、相切、相离)；能根据圆的方程判断圆与圆的位置关系(外离、外切、相交、内切、内含)．能用直线和圆的方程解决一些简单的问题．
1. 与直线x＋y－1＝0垂直的直线的倾斜角为________．
2.过点(2,1)且在两坐标轴截距相等的直线方程是________________．
3.直线x－y＋m＝0与圆x2＋y2－2x－2＝0相切，则实数m＝________.
4.在平面直角坐标系xOy中，已知圆x2＋y2＝4上有且仅有四个点到直线12x－5y＋c＝0的距离为1，则实数c的取值范围是________．
【例1】　已知圆C过点(1,0)，且圆心在x轴的正半轴上，直线l：y＝x－1被圆C所截得的弦长为2，求过圆心且与直线l垂直的直线的方程．
【例2】　如图，平面直角坐标系xOy中，△AOB和△COD为两等腰直角三角形，A(－2,0)，C(a,0)(a>0)．△AOB和△COD的外接圆圆心分别为M，N.
(1) 若⊙M与直线CD相切，求直线CD的方程；
(2) 若直线AB截⊙N所得弦长为4，求⊙N的标准方程；
(3) 是否存在这样的⊙N，使得⊙N上有且只有三个点到直线AB的距离为，若存在，求此时⊙N的标准方程；若不存在，说明理由．
【例3】　已知圆C：x2＋(y－3)2＝4，一动直线l过点A(－1,0)与圆C相交于P、Q两点，M是PQ的中点，l与直线m：x＋3y＋6＝0相交于点N.
(1) 求证：当l与m垂直时，l必过圆心C；
(2) 当PQ＝2时，求直线l的方程；
(3) 探索·的值是否与直线l的倾斜角有关，若无关，请求出其值；若有关，请说明理由．
【例4】　已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的离心率为，且过点P(2，)，设椭圆E的右准线l与x轴的交点为A，椭圆的上顶点为B，直线AB被以原点为圆心的圆O所截得的弦长为.
(1) 求椭圆E的方程及圆O的方程；
(2) 若M是准线l上纵坐标为t的点，求证：存在一个异于M的点Q，对于圆O上的任意一点N，有为定值；且当M在直线l上运动时，点Q在一个定圆上．
1. (2011·安徽)若直线3x＋y＋a＝0过圆x2＋y2＋2x－4y＝0的圆心，则a的值为________．
2.(2011·重庆)在圆x2＋y2－2x－6y＝0内，过点E(0,1)的最长弦和最短弦分别是AC和BD，则四边形ABCD的面积为________．
3.(2011·湖北)过点(－1，－2)的直线l被圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0截得的弦长为，则直线l的斜率为________．
4.(2010·江西)直线y＝kx＋3与圆(x－2)2＋(y－3)2＝4相交于M，N两点，若|MN|≥2，则实数k的取值范围是________．
5.(2011·福建理) 已知直线l：y＝x＋m，m∈R.
(1) 若以点M(2,0)为圆心的圆与直线l相切于点P，且点P在y轴上，求该圆的方程；
(2) 若直线l关于x轴对称的直线为l′，问直线l′与抛物线C：x2＝4y是否相切？说明理由．
6.(2011·陕西)如图，设P是圆x2＋y2＝25上的动点，点D是P在x轴上投影，M为PD上一点，且|MD|＝|PD|.
(1) 当P在圆上运动时，求点M的轨迹C的方程；
(2) 求过点(3,0)且斜率为的直线被C所截线段的长度．
(2011·南京三模)(本小题满分16分)在平面直角坐标系xOy中，已知定点A(－4,0)、B(4,0)，动点P与A、B两点连线的斜率之积为－.
(1) 求点P的轨迹方程；
(2) 设点P的轨迹与y轴负半轴交于点C.半径为r的圆M的圆心M在线段AC的垂直平分线上，且在y轴右侧，圆M被y轴截得的弦长为r.
① 求⊙M的方程；
② 当r变化时，是否存在定直线l与动圆M均相切？如果存在，求出定直线l的方程；如果不存在，说明理由．
解：(1) 设P(x，y)，则直线PA、PB的斜率分别为k1＝、k2＝.(2分)
由题意知·＝－，即＋＝1(x≠±4)．
所以动点P的轨迹方程是＋＝1(x≠±4)．(4分)
(说明：没有范围扣1分)
(2) ①由题意知C(0，－2)，A(－4,0)，
所以线段AC的垂直平分线方程为y＝2x＋3.(6分)
设M(a,2a＋3)(a＞0)，则⊙M的方程为(x－a)2＋(y－2a－3)2＝r2.
圆心M到y轴的距离d＝a，由r2＝d2＋2，得a＝.
所以⊙M的方程为2＋(y－r－3)2＝r2.(10分)
② 假设存在定直线l与动圆M均相切．
当定直线的斜率不存在时，不合题意．
当斜率存在时，设直线l：y＝kx＋b，
则＝r对任意r＞0恒成立．(12分)
由＝r，
得2r2＋(k－2)(b－3)r＋(b－3)2＝(1＋k2)r2.
所以
解得或
所以存在两条直线y＝3和4x＋3y－9＝0与动圆M均相切．(16分)
第12讲　直线与圆的方程及应用
1. 已知实数x，y满足2x＋y＋5＝0，那么的最小值为________．
【答案】　
2. 圆x2＋y2＝1与直线kx＋y－k＝0(k∈R为常数)的位置关系是________．
【答案】　相交
3. 若直线y＝x＋b与曲线y＝3－有公共点，则b的取值范围是________．
【答案】　[1－2，3]　解析：本题考查数形结合思想. 曲线方程可化简为(x－2)2＋(y－3)2＝4(1≤y≤3)，即表示圆心为(2,3)半径为2的半圆，依据数形结合，当直线y＝x＋b与此半圆相切时须满足圆心(2,3)到直线y＝x＋b距离等于2，解得b＝1＋2或1－2，因为是下半圆故可得b≠1＋2，当直线过(0,3)时，解得b＝3，故1－2≤b≤3.
4. 已知圆M：x2＋(y－2)2＝1，Q是x轴上的动点，QA，QB分别切圆M于A，B两点．
(1) 如果|AB|＝，求直线MQ的方程；
(2) 求动弦|AB|的最小值．
解： (1)设Q(q,0)，
因为M(0,2)，所以|MQ|＝＝，而|MA|＝r＝1，
从而在Rt△AMQ中，|AQ|＝＝＝.
又由题意和对称性可得，Rt△AMQ斜边MQ边上的高为h＝|AB|＝.
由等面积法得·＝，解得q＝±，所以Q(±，0)，
将M，Q的坐标代入直线的两点式方程整理得到直线MQ的方程为2x±y?2＝0.
(2) 由(1)知，利用等面积法得|AB|·＝?|AB|＝＝，从而当q＝0时，动弦|AB|取到最小值.
5. (2011·盐城二模)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C由圆弧C1和圆弧C2相接而成，两相接点M、N均在直线x＝5上．圆弧C1的圆心是坐标原点O，半径为13；圆弧C2过点A(29,0)．
(1) 求圆弧C2的方程；
(2) 曲线C上是否存在点P，满足PA＝PO？若存在，指出有几个这样的点；若不存在，请说明理由；
(3) 已知直线l：x－my－14＝0与曲线C交于E、F两点，当EF＝33时，求坐标原点O到直线l的距离．
解：(1) 圆弧C1所在圆的方程为x2＋y2＝169，令x＝5，解得M(5,12)，N(5，－12)．
则线段AM中垂线的方程为y－6＝2(x－17)，
令y＝0，得圆弧C2所在圆的圆心为O2(14,0)．
又圆弧C2所在圆的半径为r2＝29－14＝15，
所以圆弧C2的方程为(x－14)2＋y2＝225(x≥5)．
(2) 假设存在这样的点P(x，y)，则由PA＝PO，得x2＋y2＋2x－29＝0.
由 解得x＝－70(舍)，
由解得x＝0(舍)，
综上知，这样的点P不存在．
(3) 因为EF＞r2，EF＞r1，所以E、F两点分别在两个圆弧上．设点O到直线l的距离为d，
因为直线l恒过圆弧C2所在圆的圆心(14,0)，所以EF＝15＋＋，
即＋＝18，解得d2＝，所以点O到直线l的距离为.
基础训练
1. 　2. x－2y＝0或x＋y－3＝0　3. 或－3
4. (－13,13)　解析：圆的半径为2，圆心(0,0)到直线12x－5y＋c＝0的距离小于1，即＜1，c的取值范围是(－13,13)．
例题选讲
例1　解：由题意可设所求的直线方程为x＋y＋m＝0，设圆心坐标为(a,0)，则由题意知：2＋2＝(a－1)2，解得a＝3或－1，又因为圆心在x轴的正半轴上，所以a＝3，故圆心坐标为(3,0)，因为圆心(3,0)在所求的直线上，所以有3＋0＋m＝0，即m＝－3，故所求的直线方程为x＋y－3＝0.
例2　点拨：直线与圆相交的问题，要利用图形转化为圆心到直线的距离问题．
解： (1) 圆心M(－1.1)．∴ 圆M方程为(x＋1)2＋(y－1)2＝2，
∴ 直线CD方程为x＋y－a＝0.
∵ ⊙M与直线CD相切，
∴ 圆心M到直线CD的距离d＝＝，化简得：a＝±2(舍去负值)．
∴ 直线CD的方程为x＋y－2＝0.
(2) 直线AB方程为：x－y＋2＝0，圆心N.
∴ 圆心N到直线AB距离为＝.
∵ 直线AB截⊙N所得弦长为4，∴ 22＋()2＝.∴ a＝±2(舍去负值)．
∴ ⊙N的标准方程为(x－)2＋(y－)2＝6.
(3) 存在．由(2)知，圆心N到直线AB距离为(定值)，且AB⊥CD始终成立，
∴ 当且仅当圆N半径＝2，即a＝4时，⊙N上有且只有三个点到直线AB的距离为.
此时，⊙N的标准方程为(x－2)2＋(y－2)2＝8.
变式训练　已知m∈R，直线l：mx－(m2＋1)y＝4m和圆C：x2＋y2－8x＋4y＋16＝0.
(1) 求直线l斜率的取值范围；
(2) 直线l能否将圆C分割成弧长的比值为的两段圆弧？为什么？
点拨：直线与圆相交，用圆心到直线距离. 已知直线将圆分割弧长的比值，转化为所对的圆心角的比值，过圆心作弦的垂线，则垂线段长可求，用圆心到直线的距离即可．
解： (1) 直线l的方程可化为y＝x－，
直线l的斜率k＝，
∵ |m|≤(m2＋1)，
∴ |k|＝≤，当且仅当|m|＝1时等号成立．
∴ 斜率k的取值范围是.
(2) 不能．由(1)知l的方程为y＝k(x－4)，其中|k|≤.
圆C的圆心C(4，－2)，半径r＝2.圆心C到直线l的距离d＝.
由|k|≤，得d≥＞1，即d＞.从而若l与圆C相交，则圆C截直线l所得的弦所对的圆心角小于.
所以l不能将圆C分割成弧长的比值为的两段弧．
例3　(1) 证明：因为l与m垂直，且km＝－，则kl＝3，故直线l：y＝3(x＋1)，即3x－y＋3＝0.显然圆心(0,3)在直线l上，即当l与m垂直时，l必过圆心C.
(2) 解：①当直线l与x轴垂直时，易知x＝－1符合题意．
② 当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y＝k(x＋1)，即kx－y＋k＝0，因为PQ＝2，所以CM＝＝1，则由CM＝＝1，得k＝.所以直线l的方程为4x－3y＋4＝0.
从而所求直线l的方程为x＝－1或4x－3y＋4＝0.
(3) 解：∵ CM⊥MN, ∴ ·＝(＋)·＝·＋·＝·.
① 当l与x轴垂直时有N，∴ ＝，
又＝(1,3), ∴ ·＝·＝－5.
② 当l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝k(x＋1)，
则由得N，则＝.
所以·＝·＝－5.
综上，可知·的值与直线l的斜率无关，因此与倾斜角也无关，且·＝－5.
变式训练　已知直线m的方程为x＋y－1＝0，⊙C的方程为x2－2x＋y2－2y－3＝0，⊙C关于直线m的对称的⊙D与直线l相交于A、B两点，若在⊙D上存在点P使得＝＋＝λa，又知a＝(－1,2)．
(1) 求⊙D的方程；
(2) 求点P的坐标；
(3)求直线l的方程．
解： (1) ⊙C方程为(x－1)2＋(y－1)2＝5，设D(a，b)，
则 ∴ a＝0，b＝0，
∴ ⊙D方程为x2＋y2＝5.
(2) 由题意可知P(－λ，2λ)，∵ P在圆D上， ∴ λ2＋4λ2＝5，∴ λ＝±1.
∴ P(－1,2)或P(1，－2)．
(3) ∵ ＝＋，P、A、B均在圆上，∴ OP⊥AB，∠AOB＝120°，
∴ 圆心D到直线AB的距离是.
当P的坐标为(－1,2)时，kl＝，设直线l的方程是x－2y＋c＝0，d＝＝，
∴ c＝±，由图形位置可知c＝，此时直线l的方程是2x－4y＋5＝0.
同理可知，当P坐标为(1，－2)时，直线l的方程是2x－4y－5＝0.
例4　(1) 解：?故椭圆E的方程为＋＝1，
∵ A(4,0)，B(0,2)，∴直线AB方程为x＋2y－4＝0，则O到AB距离为，
∴ 圆O的半径r＝＝2，
故圆O的方程为x2＋y2＝4.
(2) 证明：l的方程为x＝4，∴ M点坐标为M(4，t)．
在圆O上任取一点N(x0，y0)，定点Q(x，y)．
∵ NM与NQ的比值为常数且Q不同于M，
∴ NQ2＝λNM2，λ>0且λ≠1，λ为常数，
即(x0－x)2＋(y0－y)2＝λ[(x0－4)2＋(y0－t)2]，
∴ x02＋y02－2xx0－2yy0＋x2＋y2＝λ(x02＋y02－8x0－2y0t＋16＋t2)，
将x02＋y02＝4代入上式，则
－2xx0－2yy0＋x2＋y2＋4＝－8λx0－2λy0t＋(20＋t2)λ，
由于N是圆O上任意一点，所以
将①②代入③得(16＋t2)λ2－(20＋t2)λ＋4＝0
∴ (λ－1)[(16＋t2)λ－4]＝0，∵ λ≠1，∴ λ＝，
即存在一个定点Q(不同于点M)，使得对于圆O上的任意一点N，
均有为定值，又16＋t2＝代入③得x2＋y2＝4λ，
于是有x2＋y2＝x，即2＋y2＝，故点Q在圆心为，半径为的定圆上．
高考回顾
1. 1　解析：本题考查直线与圆的位置关系，属容易题．
2. 10　解析：由题意AC为径，设圆心为F，则FE⊥BD，圆的标准方程为(x－1)2＋(y－3)2＝10，故F(1,3)，由此易得：AC＝2，又kEF＝2，所以BD的方程为y＝－x＋1，F到BD的距离为＝，由此得BD＝2，所以四边形ABCD的面积为AC·BD＝×2×2＝10.
3. 1或
4. 　解析：因为直线过定点(0,3)且该点在圆上，设此点为M，圆心(2,3)到此直线距离为d，所以由4－d2≥()2?d≤1，又d＝≤1，∴ k2≤，∴ －≤k≤.
5. 点拨：本小题主要考查直线、圆、抛物线等基础知识，考查运算求解能力，函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想、分类与整合思想．
解：(解法1)(1) 依题意，点P的坐标为(0，m)，
因为MP⊥l，所以×1＝－1，
解得m＝2，即点P的坐标为(0,2)，
从而圆的半径r＝|MP|＝＝2，
故所求圆的方程为(x－2)2＋y2＝8.
(2) 因为直线l的方程为y＝x＋m所以直线l′的方程为y＝－x－m.
由得x2＋4x＋4m＝0，Δ＝42－4×4m＝16(1－m)．
① 当m＝1，即Δ＝0时，直线l′与抛物线C相切．
② 当m≠1，即Δ≠0时，直线l′与抛物线C不相切．
综上，当m＝1时，直线l′与抛物线C相切；当m≠1时，直线l′与抛物线C不相切．
(解法2)(1) 设所求圆的半径为r，则圆的方程可设为(x－2)2＋y2＝r2，
依题意，所求圆与直线l：x－y＋m＝0相切于点P(0，m)，
则解得所以所求圆的方程为(x－2)2＋y2＝8.
(2) 同解法1.
6. 点拨： (1)动点M通过点P与已知圆相联系，所以把点P的坐标用点M的坐标表示，然后代入已知圆的方程即可；(2)直线方程和椭圆方程组成方程组，可以求解，也可以利用根与系数关系；结合两点的距离公式计算．
解： (1) 设点M的坐标是(x，y)，P的坐标是(xp，xp)，
∵ 点D是P在x轴上投影，M为PD上一点，且|MD|＝|PD|，
∴ xp＝x，且yp＝y，
∵ P在圆x2＋y2＝25上，∴ x2＋2＝25，整理得＋＝1，
即C的方程是＋＝1.
(2) 过点(3,0)且斜率为的直线方程是y＝(x－3)，设此直线与C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
将直线方程y＝(x－3)代入C的方程＋＝1得：＋＝1，化简得x2－3x－8＝0，∴ x1＝，x2＝，
∴ |AB|＝＝＝＝，即所截线段的长度是.　算法、复数
1. 了解复数中的有关概念，掌握复数的四则运算．从以往的考查来看，近几年的高考都考查了复数，考题主要是以填空题的形式出现，难度都不大．
2. 了解算法的概念、流程图、基本算法语句．近几年高考都考了算法，主要考查的内容是流程图，考题主要是以填空题的形式出现，难度不是很大．
1. 若复数a2－3a＋2＋(a－1)i是纯虚数，则实数a的值为________．
2.在复平面内，复数z＝sin2＋icos2对应的点位于第________象限．
3.下面左边的程序框图，如果输入三个实数a、b、c，要求输出这三个数中最大的数，那么在空白的判断框中，应该填入________．
　　　　　　
4. 已知函数f(x)＝|x－3|，上面右边程序框图表示的是给定x值，求其相应函数值的算法．请将该程序框图补充完整．其中①处应填________，②处应填________．
【例1】　(1) 已知复数z1＝1＋2i，z2＝1＋ai(i是虚数单位)．若z1·z2为纯虚数，则实数a＝________.
(2) 若复数z满足z＋i＝，则|z|＝________.
【例2】　某篮球队6名主力队员在最近三场比赛中投进的三分球个数如下表所示：
队员i 1 2 3 4 5 6
三分球个数 a1 a2 a3 a4 a5 a6
右图是统计该6名队员在最近三场比赛中投进的三分球总数的程序框图，则图中判断框应填________，输出的s＝________.(注：框图中的赋值符号“＝”也可以写成“←”或“：＝”)
【例3】　S1：输入n，
S2：判断n是否是2，若n＝2，则n满足条件，若n>2，则执行S3，
S3：依次从2到n－1检验能不能整除n，若不能整除n，则输出n.
满足上述条件的n是________．
【例4】　(2011·北京)执行如图所示的程序框图，输出的s的值为________．
1. (2011·福建)运行如下左图所示的程序，输出的结果是________．
　　　　　　　
2. (2011·江苏)根据如上右图所示的伪代码，当输入a，b分别为2,3时，最后输出的m的值是________．
3.(2011·安徽)设i是虚数单位，复数为纯虚数，则实数a＝________.
4.(2011·江苏)设复数i满足i(z＋1)＝－3＋2i(i是虚数单位)，则z的实部是________．
5.(2011·江西)下图是某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是________.
6.(2011·安徽)如下图所示，程序框图(算法流程图)的输出结果是________．
(2011·湖南)(本小题满分5分)若执行如图所示的框图，输入x1＝1，x2＝2，x3＝3，＝2，则输出的数等于________．
答案　(5分)
第17讲　算法、复数
1. (2011·广东)设复数z满足(1＋i)z＝2，其中i为虚数单位，则z＝____________.
【答案】　1－i
2. (2011·湖北)i为虚数单位，则2 011＝____________.
【答案】　－i
3. (2011·全国)执行下面左边的程序框图，如果输入的N是6，那么输出的p是________．
【答案】　720
　　　　
4. (2011·天津)阅读上边的程序框图，运行相应的程序，则输出的S值为　　.
【答案】　0　解析：第一步得s＝1×(3－1)＋1＝3，i＝2＜4；
第二步得s＝3×(3－2)＋1＝4，i＝3＜4；
第三步得s＝4×(3－3)＋1＝1，i＝3＜4；
第四步得s＝1×(3－4)＋1＝0，i＝5；
到第四步，i＝4不是大于4，因此输出，所以输出的s＝0.
5. (2011·陕西)如下左图，当x1＝6，x2＝9，p＝8.5时，x3＝____________.
【答案】　8
　　　　
6. (2011·浙江)某程序框图如上右图所示，则该程序运行后输出的k的值是　　.
【答案】　5
基础训练
1. 2　解析：?a＝2.
2. 四　解析：＜2＜π，sin2＞0，cos2＜0.
3. c＞x
4. x＜3　y＝x－3
例题选讲
例1　【答案】　(1) 　(2) 　解析：(1) ∵ z1·z2＝(1＋2i)(1＋ai)＝1－2a＋(2＋a)i是纯虚数，∴ ∴ a＝.　(2) 解析：∵ z＝－i＝－3i＋1－i＝1－4i，∴ |z|＝＝.
变式训练　(1) 已知复数z1＝m＋2i，z2＝3－4i，若为实数，则实数m＝　　.
(2) 若复数z满足zi＝2＋i(i是虚数单位)，则|z|＝__________.
【答案】　(1)－　(2)　解析：(1) ∵ ＝＝＝∈R，∴ m＝－.(2) ∵ z＝＝1－2i，∴ |z|＝＝.
例2　【答案】　i≤6　a1＋a2＋…＋a6　解析：本题主要考查了循环结构的程序框图，要求写判断框中的条件，要求对六个数据求和．
例3　【答案】　质数
变式训练　某计算机程序执行过程如下所示：
(1) 写出本程序依次输出的结果________________；
(2) 若要求依次输出的结果为“1,3,5,7,9”，则该程序可作如下改动：______________.
【答案】　(1) 1,2,3,4,5,6,7,8,9
(2) S5改为：“让i增加2”或者S1改为“a←1，b←9，n←4，i←0”
例4　【答案】　2　解析：循环操作4次时s的值分别为，－，－3,2.
高考回顾
1. 3
2. 3　解析：a＝2，b＝3，a＜b，m＝b＝3.
3. 2　解析：设＝bi(b∈R，b≠0)，则1＋ai＝bi(2－i)＝b＋2bi，所以b＝1，a＝2.
4. 1　解析：由i(z＋1)＝－3＋2i得z＝1＋3i.
5. 27　解析：由框图的顺序，s＝0，n＝1，s＝(s＋n)n＝(0＋1)*1＝1，n＝n＋1＝2，依次循环
s＝(1＋2)*2＝6，n＝3，注意此刻3>3仍然是否，所以还要循环一次
s＝(6＋3)*3＝27，n＝4，此刻输出，s＝27.
6. 15　解析：本题考查算法框图的识别，考查等差数列前n项和．
由算法框图可知，T＝1＋2＋3＋…＋k＝，若T＝105，则k＝14，继续执行循环体，这时k＝15，T>105，所以输出的k值为15.　高考题中的解答题解法
江苏高考数学试卷是由填空题和解答题两部分构成，其中填空题14小题，每小题5分，总分70分，文科考生只要做解答题中的15～20共计6题，总分90分，试卷总分160分．
解答题就是给出一定的题设条件(即已知)，然后提出一定的要求(即结论)．它要求考生能根据题设，运用已知的一切条件(含公理、定理、性质、定义、公式等)，通过推理和计算最终达到要求的目标．在卷面上要求考生必须要将整个过程有条理、合乎逻辑、完整地陈述出来(包含添加的辅助线、引用的结论等)．
试卷中前160分的6道解答题可分为中低档题(前3题)，中高档题(后3题)，其中三角、向量与解三角形，立体几何，解析几何可归结为前一类，应用题，数列题，函数、方程及不等式类题可归结为后一类问题，当然这也不是绝对的，应用题和解析几何题也是可以对调位置的，这要看整个试卷的知识点分布，纵观最近几年的江苏高考题，我们感觉到8个“C”级考点一定会在试卷中有所体现．试卷采用设点把关，注重层次性，即使是最后两题即所谓压轴题也不是高不可攀；试卷注重对基础知识的考查，既全面又突出重点；试卷注重对数学思想方法的考查，对学生的数学的学习能力、综合应用能力都有充分的要求．
在解答题的应试过程中，考生要根据自己的实际情况，选择适合自己的应试策略．
1. 已知O为坐标原点，＝(2sin2x,1)，＝(1，－2sinxcosx＋1)，f(x)＝·＋m.
(1) 求y＝f(x)的单调递增区间；
(2) 若f(x)的定义域为，值域为[2,5]，求实数m的值．
2.如图，平面PAC⊥平面ABC，点E、F、O分别为线段PA、PB、AC的中点，点G是线段CO的中点，AB＝BC＝AC＝4，PA＝PC＝2.求证：
(1) PA⊥平面EBO；
(2) FG∥平面EBO.
3.二次函数f(x)＝ax2＋bx(a，b∈R)满足条件：①f(0)＝f(1)；②f(x)的最小值为－.
(1) 求函数f(x)的解析式；
(2) 设数列{an}的前n项积为Tn, 且Tn＝f(n), 求数列{an}的通项公式.
4.如图，在半径为、圆心角为60°的扇形的弧上任取一点P，作扇形的内接矩形PNMQ，使点Q在OA上，点N、M在OB上，设矩形PNMQ的面积为y.
(1) 按下列要求写出函数的关系式：
①设PN＝x，将y表示成x的函数关系式；
②设∠POB＝θ，将y表示成θ的函数关系式；
(2) 请你选用(1)中的一个函数关系式，求出y的最大值．
【例1】　已知集合A＝{x|x2－(3a＋3)x＋2(3a＋1)<0，x∈R}，集合B＝{x|<0，x∈R}．
(1) 当4?B时，求实数a的取值范围；
(2) 求使B?A的实数a的取值范围．
【例2】　如图，已知圆C：x2＋y2＝9，点A(－5,0)，直线l：x－2y＝0.
(1) 求与圆C相切，且与直线l垂直的直线方程；
(2) 在直线OA上(O为坐标原点)，存在定点B(不同于点A)，满足：对于圆C上任一点P，都有为一常数，试求所有满足条件的点B的坐标．
【例3】　对于数列{an}，定义{Δan }为数列{an}的“一阶差分数列”，其中Δan＝an＋1－an(n∈N*)．
(1) 若数列{an}的通项公式an＝n2－n(n∈N*)，求{Δan}的通项公式；
(2) 若数列{an}的首项是1，且满足Δan－an＝2n.
① 证明数列为等差数列；
② 设{an}的前n项和为Sn ，求Sn.
【例4】　函数f(x)＝lnx－(x>0，a∈R)．
(1) 试求f(x)的单调区间；
(2) 当a>0时，求证：函数f(x)的图象存在唯一零点的充要条件是a＝1；
(3) 求证：不等式－<对于x∈(1,2)恒成立．
1. (2011·重庆)设a∈R，f(x)＝cosx(asinx－cosx)＋cos2满足f＝f(0)，求函数f(x)在上的最大值和最小值．
2. (2011·江苏)请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为60 cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A、B、C、D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E、F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE＝FB＝x cm.
(1) 某广告商要求包装盒侧面积S(cm2)最大，试问x应取何值？
(2) 某广告商要求包装盒容积V(cm3)最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．
3.(2011·安徽)设f(x)＝，其中a为正实数．
(1) 当a＝时，求f(x)的极值点；
(2) 若f(x)为R上的单调函数，求a的取值范围．
4.(2011·湖北)已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足：a1＝a(a≠0)，an＋1＝rSn(n∈N*，r∈R，r≠－1)．
(1) 求数列{an}的通项公式；
(2) 若存在k∈N*，使得Sk＋1，Sk，Sk＋2成等差数列，试判断：对于任意的m∈N*，且m≥2，am＋1，am，am＋2是否成等差数列，并证明你的结论．
(2011·苏锡常镇调研)(本小题满分16分)已知函数f(x)＝x(x－1)2，x>0.
(1) 求f(x)的极值；
(2) 设0(3) 设函数g(x)＝lnx－2x2＋4x＋t(t为常数)，若使g(x)≤x＋m≤f(x)在(0，＋∞)上恒成立的实数m有且只有一个，求实数m和t的值．
解：(1) f′(x)＝(3x－1)(x－1), (1分)
令f′(x)＝0，得x1＝，x2＝1.
f(x)，f′(x)随x的变化情况如下表：
x 1 (1，＋∞)
f′(x) ＋ 0 － 0 ＋
f(x) 增 极大值 减 极小值 增
∴ 当x＝时，有极大值f＝；(2分)
当x＝1时，有极小值f(1)＝0. (3分)
(2) 易知f(x)在上递增，递减，(1，＋∞)递增．(4分)
∴ 当0＜a≤时，G(a)＝＝(a－1)2≥， (5分)
特别当a＝时，有G(a)＝； (6分)
当＜a≤1时，F(a)＝f，则G(a)＝＝≥＝.(7分)
故对任意的0＜a≤1，G(a)的最小值为. (8分)
(3) 由已知得h1(x)＝x＋m－g(x)＝2x2－3x－lnx＋m－t≥0在(0，＋∞)上恒成立，
由h′1(x)＝，(9分)
得x∈(0,1)时，h′1(x)＜0，x∈(1，＋∞)时，h′1(x)＞0，
故x＝1时，h1(x)取极小值，也是最小值．
从而当且仅当h1(1)＝m－t－1≥0，m≥t＋1时，h1(x)≥0在(0，＋∞)恒成立．(11分)
同样的，h2(x)＝f(x)－x－m＝x3－2x2－m≥0，
在(0，＋∞)恒成立．
由h′2(x)＝3x(x－)得x∈时，h′2(x)＜0，x∈(，＋∞)时，h′2(x)＞0，
故x＝时，h2(x)取极小值，也是最小值．
从而当且仅当h2＝－－m≥0，m≤－时，
h2(x)≥0在(0，＋∞)上恒成立．(13分)
∴ t＋1≤m≤－.(14分)
由m的唯一性知t＝－，此时m＝－. (16分)
第23讲　高考题中的解答题解法
1. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.
(1) 若sin＝2cosA，求A的值；
(2) 若cosA＝，b＝3c，求sinC的值．
点拨：本题主要考查三角函数的基本关系式、两角和的正弦公式、解三角形，考查运算求解能力，是C级要求，但属容易题．解题说理要准确、完整，过程要合理、严谨．
解：(1) 由题意知sinAcos＋cosAsin＝2cosA，从而sinA＝cosA，所以
cosA≠0，tanA＝.因为0＜A＜π，所以A＝.
(2) 由cosA＝，b＝3c，及a2＝b2＋c2－2bccosA，得b2＝a2＋c2，所以△ABC是直角三角形，且B＝，所以sinC＝cosA＝.
2. 如图所示的是自动通风设施．该设施的下部ABCD是等腰梯形，其中AB＝1米，高0.5米，CD＝2a米．上部CmD是个半圆，固定点E为CD的中点．△EMN是由电脑控制其形状变化的三角通风窗(阴影部分均不通风)，MN是可以沿设施边框上下滑动且始终保持和CD平行的伸缩横杆．
(1) 设MN与AB之间的距离为x米，试将三角通风窗EMN的通风面积S(平方米)表示成关于x的函数S＝f(x)；
(2) 当MN与AB之间的距离为多少米时，三角通风窗EMN的通风面积最大？求出这个最大面积．
解：(1) ① 0≤x＜时，由平面几何知识，得＝.
∴ MN＝2(2a－1)x＋1，S＝f(x)＝－(2a－1)x2＋(a－1)x＋.
② ＜x＜a＋时，S＝f(x)＝·2·＝·.
∴ S＝f(x)＝
(2) ① 0≤x＜时，S＝f(x)＝－(2a－1)x2＋(a－1)x＋.
∵ a＞，∴ －＝＜0，∴ ＜.
(i) ＜a≤1，当x＝0时，[f(x)]max＝f(0)＝.
(ii) a＞1，当x＝时，[f(x)]max＝f＝.
② ＜x＜a＋时，
S＝f(x)＝·
＝
≤＝a2，
等号成立?2＝a2－2?x＝(a＋1)∈.
∴ 当x＝(a＋1)时，[f(x)]max＝.
(i)＜a≤1时，∵ －＝，
∴ ＜a≤时，当x＝0，[f(x)]max＝f(0)＝，
＜a≤1时，当x＝(a＋1)，[f(x)]max＝.
(ii) a＞1时，a2－＝a2＞0.
当x＝(a＋1)时，[f(x)]max＝.
综上，＜a≤时，当x＝0时，[f(x)]max＝f(0)＝，即MN与AB之间的距离为0米时，三角通风窗EMN的通风面积最大，最大面积为平方米．a＞时；当x＝(a＋1)时，[f(x)]max＝， 即MN与AB之间的距离为x＝(a＋1)米时，三角通风窗EMN的通风面积最大，最大面积为a2平方米．
基础训练
1. 解：(1) f(x)＝2sin2x－2sinxcosx＋1＋m
＝1－cos2x－sin2x＋1＋m＝－2sin＋2＋m.
由＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ(k∈Z)，
得y＝f(x)的单调递增区间为(k∈Z)．
(2) 当≤x≤π时，≤2x＋≤，∴ －1≤sin≤，
∴ 1＋m≤f(x)≤4＋m，∴ 解得m＝1.
2. 证明：由题意可知，△PAC为等腰直角三角形，△ABC为等边三角形．
(1) 因为O为边AC的中点，所以BO⊥AC.
因为平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC＝AC，BO?平面ABC，所以BO⊥面PAC.
因为PA?平面PAC，所以BO⊥PA.
在等腰三角形PAC内，O，E为所在边的中点，
所以OE⊥PA.
又BO∩OE＝O，所以PA⊥平面EBO.
(2) 连AF交BE于Q，连QO.因为E、F、O分别为边PA、PB、AC的中点，所以＝2，且Q是△PAB的重心，于是＝2＝，所以FG∥QO.因为FG?平面EBO，QO?平面EBO，所以FG∥平面EBO.
(注：第(2)小题亦可通过取PE中点H，利用平面FGH∥平面EBO证得)
3. 解：(1) 由题知：解得故f(x)＝x2－x.
(2) Tn＝a1a2…an＝，
Tn－1＝a1a2…an－1＝(n≥2)，
∴ an＝＝n－1(n≥2)．
又a1＝T1＝1满足上式，所以an＝n－1(n∈N*)．
4. 解：(1) ① ON＝，OM＝x，MN＝－x，
∴ y＝x，x∈.
② PN＝sinθ，ON＝cosθ，OM＝×sinθ＝sinθ，
MN＝ON－OM＝cosθ－sinθ，
y＝sinθ(cosθ－sinθ)＝3sinθcosθ－sin2θ，.
(2) 选择y＝3sinθcosθ－sin2θ＝sin－.
∵ θ∈，∴ 2θ＋∈，
∴ 2θ＋＝即θ＝时，ymax＝.
例题选讲
例1　解：(1) 若4∈B，则＜0?a＜－或＜a＜4.
∴ 当4?B时，实数a的取值范围为[－，]∪[4，＋∞)．
(2) A＝{x|(x－2)(x－3a－1)＜0}，B＝{x|a＜x＜a2＋1}．
① 当a＜时，A＝(3a＋1,2)．
要使B?A，必须此时－1≤a≤－；
② 当a＝时，A＝?，使B?A的a不存在；
③ 当a＞时，A＝(2,3a＋1)．
要使B?A，必须此时2≤a≤3.
综上可知，使B?A的实数a的取值范围是[2,3]∪.
例2　解：(1) 设所求直线方程为y＝－2x＋b，即2x＋y－b＝0.
∵ 直线与圆相切，∴ ＝3，得b＝±3，
∴ 所求直线方程为y＝－2x±3.
(2) (解法1)假设存在这样的点B(t,0)．
当P为圆C与x轴左交点(－3,0)时，＝；
当P为圆C与x轴右交点(3,0)时，＝.
依题意，＝，解得t＝－5(舍去)或－.
下面证明点B对于圆C上任一点P，都有为一常数．
设P(x，y)，则y2＝9－x2，
∴ ＝＝＝＝，
从而＝为常数．
(解法2)假设存在这样的点B(t,0)，使得为常数λ，则PB2＝λ2PA2，
∴ (x－t)2＋y2＝λ2[(x＋5)2＋y2]，将y2＝9－x2代入得，
x2－2xt＋t2＋9－x2＝λ2(x2＋10x＋25＋9－x2)，
即2(5λ2＋t)x＋34λ2－t2－9＝0对x∈[－3,3]恒成立，
∴ 解得或(舍去)，
所以存在点B对于圆C上任一点P，都有为常数.
例3　(1) 解：依题意Δan＝an＋1－an，
∴ Δan＝－＝5n－4.
(2) ①证明：由Δan－an－an＝2n得an＋1－2an＝2n，即an＋1＝2an＋2n.
∴ ＝＋，即－＝.∵ a1＝1，∴ ＝.
∴ 是以为首项，为公差的等差数列．
②解：由①得＝＋(n－1)＝，∴ an＝·2n＝n·2n－1.
∴ Sn＝a1＋a2＋…＋an＝1·20＋2·21＋…＋n·2n－1，
∴ 2Sn＝1·21＋2·22＋…＋n·2n，
两式相减得－Sn＝1＋2＋22＋…＋2n－1－n·2n＝－n·2n，
∴ Sn＝n·2n－2n＋1＝(n－1)2n＋1.
例4　(1) 解：f′(x)＝－＝(x＞0)．
当a≤0时，f′(x)＞0，f(x)在(0，＋∞)上单调增；当a＞0时，x∈(0，a)，f′(x)＜0，f(x)在(0，a)上单调减，x∈(a，＋∞)，f′(x)＞0，f(x)在(a，＋∞)上单调增．
综上，a≤0时f(x)的单调区间为(0，＋∞)；
当a＞0时，f(x)的单调递增区间为(a，＋∞)，单调递减区间为(0，a)．
(2) 证明：充分性：a＝1时，由(1)知，f(x)在x＝1处有极小值也是最小值，
即fmin(x)＝f(1)＝0.而f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，
在(0，＋∞)上有唯一的一个零点x＝1.
必要性：f(x)＝0在(0，＋∞)上有唯一解，且a>0，由(1)知，在x＝a处有极小值也是最小值f(a)，f(a)＝0，即lna－a＋1＝0.
令g(a)＝lna－a＋1，g′(a)＝－1＝.
当0＜a＜1时，g′(a)＞0，在(0,1)上单调递增；当a>1时，g′(a)＜0，在(1，＋∞)上单调递减．gmax(a)＝g(1)＝0，g(a)＝0只有唯一解a＝1.
f(x)＝0在(0，＋∞)上有唯一解时必有a＝1.
综上：在a>0时，f(x)＝0在(0，＋∞)上有唯一解的充要条件是a＝1.
(3) 证明：∵ 1令F(x)＝(x＋1)lnx－2(x－1)，∴ F′(x)＝lnx＋－2＝lnx＋－1.
由(1)知，当a＝1时，fmin(x)＝f(1)＝0，
∴ f(x)≥f(1)＝0，∴ lnx＋－1≥0.
∴ F′(x)≥0，∴ F(x)在(1,2)上单调递增，∴ F(x)＞F(1)＝0，
∴ (x＋1)lnx－2(x－1)＞0，∴ －＜(1＜x＜2)．
高考回顾
1. 解：f(x)＝asinxcosx－cos2x＋sin2x＝sin2x－cos2x.
由f＝f(0)得－·＋＝－1，解得：a＝2.
因此f(x)＝sin2x－cos2x＝2sin.
当x∈时，2x－∈，f(x)为增函数；
当x∈时，2x－∈，f(x)为减函数．
所以f(x)在上的最大值为f＝2.
又因为f＝，f＝，
所以f(x)在上的最小值为f＝.
2. 解：设包装盒的高为h(cm)，底面边长为a(cm)，由已知得
a＝x，h＝＝(30－x)，0＜x＜30.
(1) S＝4ah＝8x(30－x)＝－8(x－15)2＋1 800，所以当x＝15时，S取得最大值．
(2) V＝a2h＝2(－x3＋30x2)，V′＝6x(20－x)．
由V′＝0得x＝0(舍)或x＝20.
当x∈(0,20)时，V′＞0；当x∈(20,30)时V′＜0.
所以当x＝20时，V取得极大值，也是最大值．
此时＝，即包装装盒的高与底面边长的比值为.
3. 解：对f(x)求导得f′(x)＝.①
(1) 当a＝，若f′(x)＝0，则4x2－8x＋3＝0，解得x1＝，x2＝.
结合①，可知
x
f′(x) ＋ 0 － 0 ＋
f(x) ? 极大值 ? 极小值 ?
所以，x1＝是极小值点，x2＝是极大值点．
(2) 若f(x)为R上的单调函数，则f′(x)在R上不变号，结合①与条件a>0，知ax2－2ax＋1≥0在R上恒成立，因此Δ＝4a2－4a＝4a(a－1)≤0，由此并结合a＞0，知0＜a≤1.
4. 解：(1) 由已知an＋1＝rSn可得an＋2＝rSn＋1，
两式相减可得an＋2－an＋1＝r(Sn＋1－Sn)＝ran＋1，即an＋2＝(r＋1)an＋1.
又a2＝ra1＝ra，所以r＝0时，数列{an}为：a,0，…，0，…；
当r≠0，r≠－1时，由已知a≠0，∴ an≠0(n∈N*)．
于是由an＋2＝(r＋1)an＋1，可得＝r＋1(n∈N*)，
a2，a3，…，an，…成等比数列，∴ 当n≥2时，an＝r(r＋1)n－2a.
综上，数列{an}的通项公式为an＝
(2) 对于任意的m∈N*，且m≥2，am＋1，am，am＋2成等差数列．证明如下：
当r＝0时，由(1)知，am＝
∴ 对于任意的m∈N*且m≥2，am＋1，am，am＋2成等差数列，
当r≠0，r≠1时，∵ Sk＋2＝Sk＋ak＋1＋ak＋2，Sk＋1＝Sk＋ak＋1，
若存在k∈N*，使得Sk＋1，Sk，Sk＋2成等差数列，则Sk＋1＋Sk＋2＝2Sk，
∴ 2Sk＋2ak＋1＋ak＋2＝2Sk，即ak＋2＝－2ak＋1.
由(1)知，a2，a3，…，an，…的公比r＋1＝－2，
于是对于任意的m∈N*且m≥2，am＋1＝－2am，从而am＋2＝4am，
∴ am＋1＋am＋2＝2am，即am＋1，am，am＋2成等差数列，
综上，对于任意的m∈N*，且m≥2，am＋1，am，am＋2成等差数列．　三角变换与解三角形
1. 掌握三角函数的公式(同角三角函数关系式、诱导公式、和、差角及倍角公式)及应用；能正确运用三角公式进行简单三角函数式的化简、求值和条件等式及恒等式的证明；掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形．
2. 在复习过程中，要熟练掌握三角变换的所有公式，理解每个公式的意义，应用特点及常规使用方法等；熟悉三角变换常用的方法(化弦法、降幂法、角的变换法、“1”的变换等)；掌握化简、求值和解三角形的常规题型；要注意掌握公式之间的内在联系．
3. 近年来高考对三角函数与向量联系问题的考查有所增加，三角函数知识在几何及实际问题中的应用也是考查重点，应给予充分的重视．新教材降低了对三角函数恒等变形的要求，但对两角和的正切考查一直是重点．
1. 若tanα＝3，则的值等于________.
2.已知cos＋sinα＝，则sin的值是________．
3.在△ABC中，tanA＝，tanC＝，则角B的值为________．
4.在锐角△ABC中，BC＝1，B＝2A，则的值等于________．
【例1】　已知cosα＝，cos(α－β)＝且0<β<α<.
(1) 求tan2α的值；
(2) 求β.
【例2】　在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知a2－c2＝2b，且sinAcosC＝3cosAsinC，求b.
【例3】　在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a，b，c，已知sinC＋cosC＝1－sin.
(1) 求sinC的值；
(2) 若a2＋b2＝4(a＋b)－8，求边c的值．
【例4】　已知sin(2α＋β)＝3sinβ，设tanα＝x，tanβ＝y，记y＝f(x)．
(1) 求f(x)的解析式；
(2) 若角α是一个三角形的最小内角，试求函数f(x)的值域．
1. (2011·全国)已知α∈，tanα＝2，则cosα＝________.
2.(2011·江苏)已知tan＝2，则的值为________．
3.(2011·重庆)已知sinα＝＋cosα，且α∈，则的值为________．
4.(2010·广东)已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边，若a＝1，b＝， A＋C＝2B，则sinC＝________.
5.(2011·广东)已知函数f(x)＝2sin，x∈R.
(1) 求f的值；
(2) 设α，β∈，f＝，f(3β＋2π)＝，求cos(α＋β)的值．
6.(2011·全国)△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c；已知asinA＋csinC－asinC＝bsinB.
(1) 求B；
(2) 若A＝75°，b＝2，求a，c.
(本小题满分14分)已知函数f(x)＝2cos.
(1) 设θ∈，且f(θ)＝＋1，求θ的值；
(2) 在△ABC中，AB＝1，f(C)＝＋1，且△ABC的面积为，求sinA＋sinB的值．
解：(1) f(x)＝2cos2－2sincos＝(1＋cosx)－sinx＝2cos＋.(3分)
由2cos＋＝＋1, 得cos＝.(5分)
于是x＋＝2kπ±(k∈Z)，因为x∈，所以x＝－或.(7分)
(2) 因为C∈(0，π)，由(1)知C＝.(9分)
因为△ABC的面积为，所以＝absin，于是ab＝2， ①
在△ABC中，设内角A、B的对边分别是a、b，
由余弦定理得1＝a2＋b2－2abcos＝a2＋b2－6，所以a2＋b2＝7，②
由①②可得或于是a＋b＝2＋. (12分)
由正弦定理得，＝＝＝，
所以sinA＋sinB＝(a＋b)＝1＋. (14分)
第8讲　三角变换与解三角形
1. 在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若(a2＋c2－b2)tanB＝ac，则角B的值为________．
【答案】　或　解析： 由余弦定理得＝cosB, ∴ tanB·cosB＝，sinB＝，B为或.
2. 在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且＝，
(1) 求角B的大小；
(2) 若△ABC最大边的边长为，且sinC＝2sinA，求最小边边长．
解： (1)由＝整理得(a＋c)c＝(b－a)(a＋b)，即ac＋c2＝b2－a2，
∴ cosB＝＝－＝－，∵ 0＜B＜π，∴ B＝.
(2) ∵ B＝， ∴ 最长边为b，∵ sinC＝2sinA，∴ c＝2a，∴ a为最小边，由余弦定理得()2＝a2＋4a2－2a·2a·，解得a2＝1，∴ a＝1，即最小边边长为1.
基础训练
1. 6　解析：＝2tanα.
2. －　解析：cos＋sinα＝化为cosα＋sinα＋sinα＝，sin＝，sin＝.
3. 　解析：tanB＝tan(π－A－C)＝－tan(A＋C)＝－＝－1.
4. 2　解析：由正弦定理得＝，＝，＝，＝2.
例题选讲
例1　解：(1)cosα＝，α∈，∴ sinα＝，tanα＝4，tan2α＝－.
(2) cosβ＝cos(α－(α－β))＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)＝，β∈，∴ β＝.
例2　解：(解法1)在△ABC中，∵ sinAcosC＝3cosAsinC，则由正弦定理及余弦定理有 a·＝3×·c，化简并整理得：2(a2－c2)＝b2，又由已知a2－c2＝2b，∴ 4b＝b2，解得b＝4或0(舍)．
(解法2)由余弦定理得： a2－c2＝b2－2bccosA.又a2－c2＝2b，b≠0.
所以b＝2ccosA＋2，　①
又sinAcosC＝3cosAsinC，∴ sinAcosC＋cosAsinC＝4cosAsinC，
sin(A＋C)＝4cosAsinC，即sinB＝4cosAsinC，
由正弦定理得sinB＝sinC，故b＝4ccosA，　②
由①②，解得b＝4.
变式训练　在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.
(1) 若c＝2，C＝，且△ABC的面积S＝，求a，b的值；
(2) 若sinC＋sin(B－A)＝sin2A，试判断△ABC的形状．
解： (1) 由余弦定理及已知条件得，a2＋b2－ab＝4，
又因为△ABC的面积等于，所以absinC＝，得ab＝4.
联立方程组解得a＝2，b＝2.
(2) 由题意得sinBcosA＝sinAcosA，
当cosA＝0时，A＝，△ABC为直角三角形；
当cosA≠0时，得sinB＝sinA，由正弦定理得a＝b，
△ABC为等腰三角形．
所以，△ABC为直角三角形或等腰三角形．
例3　解：(1) 由已知得2sincos＋1－2sin2＝1－sin，
即sin＝0，
由sin≠0得2cos－2sin＋1＝0，
即sin－cos＝，两边平方得：sinC＝.
(2) 由sin－cos＝＞0知sin＞cos，则＜＜，即＜C＜π，则由sinC＝得cosC＝－，又a2＋b2＝4(a＋b)－8，即(a－2)2＋(b－2)2＝0，故a＝b＝2，所以由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcosC＝8＋2，c＝＋1.
变式训练　已知△ABC中，a、b、c是三个内角A、B、C的对边，关于x的不等式x2cosC＋4xsinC＋6＜0的解集是空集．
(1) 求角C的最大值；
(2) 若c＝，△ABC的面积S＝，求当角C取最大值时a＋b的值．
解： (1) ∵ 不等式x2cosC＋4xsinC＋6＜0的解集是空集．
∴ 即得
故cosC≥，而cosC＝0时解集不是空集．∴ 角C的最大值为60°.
(2) 当C＝60°时，S△ABC＝absinC＝ab＝， ∴ ab＝6，由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcosC＝(a＋b)2－2ab－2abcosC，
∴ (a＋b)2＝c2＋3ab＝， ∴ a＋b＝.
例4　解：(1)(解法1)注意角的变换2α＋β＝(α＋β)＋α，β＝(α＋β)－α.
(1) 由sin(2α＋β)＝3sinβ得，sin[(α＋β)＋α]＝3sin[(α＋β)－α]，
则sin(α＋β)cosα＋cos(α＋β)sinα＝3sin(α＋β)cosα－3cos(α＋β)sinα，
∴ sin(α＋β)cosα＝2cos(α＋β)sinα，∴ tan(α＋β)＝2tanα，
于是＝2tanα，即＝2x，
∴ y＝，即f(x)＝.
(解法2) 直接展开，利用“1”的变换．
sin2αcosβ＋cos2αsinβ＝3sinβ，
2sinαcosαcosβ＋(cos2α－sin2α)sinβ＝3sinβ，
＋tanβ＝3tanβ，＋tanβ＝3tanβ，
∴ y＝，即f(x)＝.
(2) ∵ α角是一个三角形的最小内角，∴ 0<α≤，0＜x≤，
f(x)＝，设g(x)＝2x＋，则g(x)＝2x＋≥2(当且仅当x＝时取等号)，故函数f(x)的值域为.
高考回顾
1. －　解析：由cos2α＝＝＝，又α∈，cosα＜0，所以cosα＝－.
2. 　解析：∵ tan＝＝2, ∴ tanx＝， ∴ ＝＝＝.
3. －　解析：sinα＝＋cosα得sinα－cosα＝，sin＝，＝＝－＝－2cos，sinα－cosα＝，＜α＜， ∴ cos＝，＝－2×＝－.
4. 1　解析：由三角形内角和定理得B＝，根据正弦定理得＝，即sinA＝，1＜，∴ A＜B，∴ A＝，C＝，sinC＝1.
5. 解：(1) f＝2sin＝2sin＝.
(2) f＝2sinα＝， ∴ sinα＝， ∵ α∈， ∴ cosα＝.
f(3β＋2π)＝2sin＝2cosβ＝， ∴ cosβ＝， ∵ β∈，
∴ sinβ＝.∴ cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝·－·＝.
6. 解：(1) 由正弦定理asinA＋csinC－asinC＝bsinB，可变形为
a2＋c2－ac＝b2，即a2＋c2－b2＝ac，由余弦定理cosB＝＝＝，又B∈(0，π)，所以B＝.
(2) 由sinA＝sin(45°＋30°)＝·sinC＝sin60°＝.
由正弦定理a＝＝＝＋1，同理c＝＝＝.　基本初等函数
1. 掌握指数函数的概念、图象和性质．
2. 理解对数函数的概念、图象和性质．
3. 能够应用函数的性质、指数函数和对数函数性质解决某些简单实际问题．
4. 了解幂函数的定义，熟悉常见幂函数的图形与性质．
1. 函数y＝loga(x＋2)＋1(a>0，a≠1)的图象经过的定点坐标为________．
2.函数y＝lg(x2－2x)的定义域是________.
3.函数y＝ax(a>0，a≠1)在R上为单调递减函数，关于x的不等式a2x－2ax－3>0的解集为________．
4.定义：区间[x1，x2](x1【例1】　函数f(x)＝(a，b，c∈Z)是奇函数，且f(1)＝2，f(2)<3.
(1) 求a，b，c的值；
(2) 当x<0时，讨论f(x)的单调性．
【例2】　已知函数f(x)＝2x－.
(1) 若f(x)＝2，求x的值；
(2) 若2tf(2t)＋mf(t)≥0对于t∈[1,2]恒成立，求实数m的取值范围．
【例3】　已知函数g(x)＝ax2－2ax＋1＋b(a≠0，b<1)，在区间[2,3]上有最大值4，最小值1，设f(x)＝.
(1) 求a，b的值；
(2) 不等式f(2x)－k·2x≥0在x∈[－1,1]上恒成立，求实数k的取值范围；
(3) 方程f(|2x－1|)＋k＝0有三个不同的实数解，求实数k的取值范围．
【例4】　(2011·盐城二模)已知函数f(x)＝是定义在R上的奇函数，其值域为.
(1) 试求实数a、b的值；
(2) 函数y＝g(x)(x∈R)满足：当x∈[0,3)时，g(x)＝f(x)；g(x＋3)＝g(x)lnm(m≠1)．
① 求函数g(x)在x∈[3,9)上的解析式；
② 若函数g(x)在x∈[0，＋∞)上的值域是闭区间，试探求实数m的取值范围，并说明理由．
1. (2011·广东)设函数f(x)＝x3cosx＋1.若f(a)＝11，则f(－a)＝________.
2.(2011·江苏)函数f(x)＝log5(2x＋1)的单调增区间是________．
3.(2011·辽宁)设函数f(x)＝则满足f(x)≤2的x的取值范围是________．
4.(2011·山东)已知函数f(x)＝logax＋x－b(a>0且a≠1)．当2＜a＜3＜b＜4时，函数f(x)的零点x0∈(n，n＋1)，n∈N*，则n＝________.
5.(2009·山东)已知函数f(x)＝x－＋a(2－lnx)(a>0)，讨论f(x)的单调性．
6.(2011·陕西)设f(x)＝lnx，g(x)＝f(x)＋f′(x)．
(1) 求g(x)的单调区间和最小值；
(2) 讨论g(x)与g的大小关系；
(3) 求实数a的取值范围，使得g(a)－g(x)＜对任意x＞0成立．
(2011·常州模考)(本小题满分16分)已知a为实数，函数f(x)＝(1＋ax)ex，函数g(x)＝，令函数F(x)＝f(x)·g(x)．
(1) 若a＝1，求函数f(x)的极小值；
(2) 当a＝－时，解不等式F(x)＜1；
(3) 当a＜0时，求函数F(x)的单调区间．
解：(1) 当a＝1时，f(x)＝(1＋x)ex.
则f′(x)＝(x＋2)ex.令f′(x)＝0，得x＝－2.(1分)
列表如下：
x (－∞，－2) －2 (－2，＋∞)
f′(x) － 0 ＋
f(x) ? 极小值f(－2) ?
∴ 当x＝－2时，函数f(x)取得极小值，极小值为f(－2)＝－e－2.(3分)
(2) 当a＝－时，F(x)＝ex，定义域为{x|x≠－2，x∈R}．
∵ F′(x)＝′ex＋(ex)′＝－＜0，
∴ F(x)在(－∞，－2)及(－2，＋∞)上均为减函数．(5分)
∵ 当x∈(－∞，－2)时，F(x)＜0，∴ x∈(－∞，－2)时，F(x)＜1.
∵ 当x∈(－2，＋∞)时，F(0)＝1，∴ 由F(x)＜1＝F(0)，得x＞0.
综上所述，不等式F(x)＜1的解集为(－∞，－2)∪(0，＋∞)．(7分)
(3) 函数F(x)＝ex，定义域为.
当a＜0时，F′(x)＝ex＝ex.
令F′(x)＝0，得x2＝.(9分)
① 当2a＋1＜0，即a＜－时，F′(x)＜0.
∴ 当a＜－时，函数F(x)的单调减区间为∪.(11分)
② 当－＜a＜0时，解x2＝得x1＝，x2＝－.
∵ ＜，
∴ 令F′(x)＜0，得x∈，x∈，x∈(x2，＋∞)；
令F′(x)＞0，得x∈(x1，x2)．(13分)
∴ 当－＜a＜0时，函数F(x)的单调减区间为
∪∪；
函数F(x)单调增区间为.(15分)
③ 当2a＋1＝0，即a＝－时，由(2)知，函数F(x)的单调减区间为(－∞，－2)∪(－2，＋∞)．(16分)
第3讲　基本初等函数
1. 已知定义在R上的奇函数f(x)，满足f(x－4)＝－f(x)且在区间[0,2]上是增函数，若方程f(x)＝m(m>0)在区间[－8,8]上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，则x1＋x2＋x3＋x4＝________.
【答案】　－8　解析：因为定义在R上的奇函数，满足f(x－4)＝－f(x)，所以f(x－4)＝f(－x)，对f(x)是奇函数，函数图象关于直线x＝2对称且f(0)＝0，由f(x－4)＝－f(x)知f(x－8)＝f(x)，所以函数是以8为周期的周期函数，又因为f(x)在区间[0,2]上是增函数，所以f(x)在区间[－2,0]上也是增函数．如图所示，那么方程f(x)＝m(m>0)在区间[－8,8]上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，不妨设x1＜x2＜x3＜x4由对称性知x1＋x2＝－12，x3＋x4＝4，所以x1＋x2＋x3＋x4＝－12＋4＝－8.
2. 已知函数f(x)＝x3－(k2－k＋1)x2＋5x－2，g(x)＝k2x2＋kx＋1，其中k∈R.
(1) 设函数p(x)＝f(x)＋g(x)．若p(x)在区间(0,3)上不单调，求k的取值范围；
(2) 设函数q(x)＝是否存在k，对任意给定的非零实数x1，存在唯一的非零实数x2(x2≠x1)，使得q′(x2)＝q′(x1)成立？若存在，求k的值；若不存在，请说明理由．
解： (1)因p(x)＝f(x)＋g(x)＝x3＋(k－1)x2＋(k＋5)x－1，
p′(x)＝3x2＋2(k－1)x＋(k＋5)，因p(x)在区间(0,3)上不单调，所以p′(x)＝0在(0,3)上有实数解，且无重根，由p′(x)＝0得k(2x＋1)＝－(3x2－2x＋5)，∴ k＝－＝－，令t＝2x＋1，有t∈(1,7)，记h(t)＝t＋，则h(t)在(1,3]上单调递减，在[3,7)上单调递增，所以有h(t)∈[6,10]，于是(2x＋1)＋∈[6,10)，得k∈(－5，－2]，而当k＝－2时有p′(x)＝0在(0,3)上有两个相等的实根x＝1，故舍去，所以k∈(－5，－2)．
(2) 当x＜0时，有q′(x)＝f′(x)＝3x2－2(k2－k＋1)x＋5；
当x＞0时，有q′(x)＝g′(x)＝2k2x＋k，因为当k＝0时不合题意，因此k≠0，
下面讨论k≠0的情形，记A＝(k，＋∞)，B＝(5，＋∞)①，当x1＞0时，q′(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以要使q′(x2)＝q′(x1)成立，只能x2＜0且A?B，因此有k≥5，②当x1＜0时，q′(x)在(－∞，0)上单调递减，所以要使q′(x2)＝q′(x1)成立，只能x2＞0且B?A，因此k≤5，综合①②k＝5；
当k＝5时A＝B，则?x1＜0，q′(x1)∈B＝A，即?x2＞0，使得q′(x2)＝q′(x1)成立，因为q′(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以x2的值是唯一的；
同理，?x1＜0，即存在唯一的非零实数x2(x2≠x1)，使q′(x2)＝q′(x1)成立，所以k＝5满足题意．
基础训练
1. (－1,1)
2. {x|x＜0或x＞2}
3. (－∞，loga3)　解析：由题知0＜a＜1，不等式a2x－2ax－3＞0可化为(ax－3)(ax＋1)＞0，ax＞3，x＜loga3.
4. 　解析：由函数y＝|log0.5x|得x＝1，y＝0；x＝4或x＝时y＝2,4－＝.
例题选讲
例1　解：(1)函数f(x)为奇函数，f(－x)＝－f(x)恒成立，∴ c＝0，又由f(1)＝2，f(2)＜3得 0＜b＜，b∈Z ∴ b＝1，a＝1.(2) f(x)＝＝x＋，函数在(－∞，－1)上递增，在(－1,0)上递减．
变式训练　已知定义域为R的函数f(x)＝是奇函数．
(1) 求a，b的值；
(2) 若对任意的t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)＜0恒成立，求实数k的取值范围．
解： (1) 因为f(x)是定义域为R的奇函数，所以f(0)＝0，即＝0?b＝1, ∴ f(x)＝，又由f(1)＝ －f(－1)知＝－?a＝2.
经检验符合题意，∴ a＝2，b＝1.
(2) (解法1)由(1)知f(x)＝＝－＋，
易知f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数．又因f(x)是奇函数，从而不等式：
f(t2－2t)＋f(2t2－k)＜0等价于f(t2－2t)＜－f(2t2－k)＝f(k－2t2)，
因f(x)为减函数，由上式推得：t2－2t＞k－2t2.即对一切t∈R有：3t2－2t－k＞0，从而判别式Δ＝4＋12k＜0?k＜－.
(解法2)由(1)知f(x)＝.又由题设条件得：＋＜0，即：(22t2－k＋1＋2)(1－2t2－2t)＋(2t2－2t＋1＋2)(1－22t2－k)＜0，
整理得23t2－2t－k＞1，因底数2＞1，故： 3t2－2t－k＞0对一切t∈R均成立，从而判别式Δ＝4＋12k＜0?k＜－.
例2　解：(1)当x＜0时，f(x)＝0；当x≥0时，f(x)＝2x－，
由条件可知2x－＝2，即22x－2·2x－1＝0，解得2x＝1±，
∵ x＞0，∴ x＝log2(1＋)．
(2) 当t∈[1,2]时，2t＋m≥0，
即m(22t－1)≥－(24t－1), ∵ 22t－1＞0，∴ m≥－(22t＋1)．
∵ t∈[1,2]，∴ －(22t＋1)∈[－17，－5]．
故m的取值范围是[－5，＋∞)．
变式训练　设函数f(x)＝ax满足条件：当x∈(－∞，0)时，f(x)＞1.当x∈(0,1]时，不等式f(3mx－1)＞f(1＋mx－x2)＞f(m＋2)恒成立，求实数m的取值范围．
解： 由已知得0＜a＜1，由f(3mx－1)＞f(1＋mx－x2)＞f(m＋2)，x∈(0,1]恒成立?在x∈(0,1]上恒成立．
整理，当x∈(0,1]时，恒成立．当x＝1时，恒成立，则m＜.
当x∈(0,1)时，恒成立， ＝－在(0,1)上单调减，
∴ ＞，∴ m≤.
又∵ ＝(x－1)＋＋2，在x∈(0,1)上是减函数，∴ ＜－1.
∴ m＞恒成立?m≥－1，当x∈(0,1)时，恒成立?m∈.
综上，使x∈(0,1]时，f(3mx－1)＞f(1＋mx－x2)＞f(m＋2)恒成立，实数m的取值范围是.
例3　解：(1) g(x)＝a(x－1)2＋1＋b－a，
当a＞0时，g(x)在[2,3]上为增函数，
故??
当a<0时，g(x)在[2,3]上为减函数．
故??
∵ b＜1　∴ a＝1，b＝0即g(x)＝x2－2x＋1.f(x)＝x＋－2.
(2) 方程f(2x)－k·2x≥0化为2x＋－2≥k·2x，
1＋2－2≥k，令＝t，k≤t2－2t＋1，
∵ x∈[－1,1]，∴ t∈.记φ(t)＝t2－2t＋1，
∴ φ(t)min＝0，∴ k≤0.
(3)由f(|2x－1|)＋k＝0
得|2x－1|＋－(2＋3k)＝0，
|2x－1|2－(2＋3k)|2x－1|＋(1＋2k)＝0，|2x－1|≠0，
令|2x－1|＝t, 则方程化为t2－(2＋3k)t＋(1＋2k)＝0(t≠0)，
∵ 方程|2x－1|＋－(2＋3k)＝0有三个不同的实数解，
∴ 由t＝|2x－1|的图象(如右图)知，
t2－(2＋3k)t＋(1＋2k)＝0有两个根t1、t2，且0＜t1＜1＜t2或0＜t1＜1，t2＝1，
记φ(t)＝t2－(2＋3k)t＋(1＋2k)，
则或　∴ k＞0.
例4　解：(1) 由函数f(x)定义域为R，∴ b＞0.
又f(x)为奇函数，则f(－x)＝－f(x)对x∈R恒成立，得a＝0.
因为y＝f(x)＝的定义域为R，所以方程yx2－x＋by＝0在R上有解．
当y≠0时，由Δ≥0，得－≤y≤，而f(x)的值域为，所以＝，解得b＝4；当y＝0时，得x＝0，可知b＝4符合题意．所以b＝4.
(2) ① 因为当x∈[0,3)时，g(x)＝f(x)＝，
所以当x∈[3,6)时，g(x)＝g(x－3)lnm＝；
当x∈[6,9)时，g(x)＝g(x－6)(lnm)2＝，
故g(x)＝
② 因为当x∈[0,3)时，g(x)＝在x＝2处取得最大值为，在x＝0处取得最小值为0，所以当3n≤x＜3n＋3(n≥0，n∈Z)时，g(x)＝分别在x＝3n＋2和x＝3n处取得最值与0.
(ⅰ) 当|lnm|＞1时，g(6n＋2)＝的值趋向无穷大，从而g(x)的值域不为闭区间；
(ⅱ) 当lnm＝1时，由g(x＋3)＝g(x)得g(x)是以3为周期的函数，从而g(x)的值域为闭区间；
(ⅲ) 当lnm＝－1时，由g(x＋3)＝－g(x)得g(x＋6)＝g(x)，得g(x)是以6为周期的函数，且当x∈[3,6)时g(x)＝值域为，从而g(x)的值域为闭区间；
(ⅳ) 当0＜lnm＜1时，由g(3n＋2)＝＜，得g(x)的值域为闭区间；
(ⅴ) 当－1＜lnm＜0时，由≤g(3n＋2)＝≤，从而g(x)的值域为闭区间；
综上知，当m∈∪(1，e]，即0＜lnm≤1或－1≤lnm＜0时，g(x)的值域为闭区间．
高考回顾
1. －9
2.
3. [0，＋∞)　解析：?0≤x≤1或?x＞1，综上x≥0.
4. 2　解析：(解法1) 方程logax＋x－b＝0(a＞0，a≠1)的根为x0，即函数y＝logax(2＜a＜3)的图象与函数y＝b－x(3＜b＜4)的交点横坐标为x0，且x0∈(n，n＋1)，n∈N*，结合图象，因为当x＝a(2＜a＜3)时，y＝logax(2＜a＜3)图象上点的纵坐标为1，对应直线上点的纵坐标为y＝b－a∈(0,2)，∴ x0∈(2,3)，n＝2.
(解法2) f(2)＝loga2＋2－b＜0，f(3)＝loga3＋3－b＞0，而f(x)在(0，＋∞)上单调增，∴ x0∈(2,3)，n＝2.
5. 解：f(x)的定义域是(0，＋∞)，f′(x)＝1＋－＝.
设g(x)＝x2－ax＋2，二次方程g(x)＝0的根判别式Δ＝a2－8.
① 当Δ＝a2－8＜0，即0＜a＜2时，对一切x＞0都有f′(x)＞0，此时f(x)在(0，＋∞)上是增函数．
② 当Δ＝a2－8＝0，即a＝2时，仅对x＝有f′(x)＝0，对其余的x＞0都有f′(x)＞0，此时f(x)在(0，＋∞)上也是增函数．
③ 当Δ＝a2－8＞0，即a＞2时，
方程g(x)＝0有两个不同的实根x1＝，x2＝，0＜x1＜x2.
x (0，x1) x1 (x1，x2) x2 (x2，＋∞)
f′(x) ＋ 0 － 0 ＋
f(x) 单调递增 极大 单调递减 极小 单调递增
此时f(x)在上单调递增， 在上是单调递减， 在上单调递增．
6. 解：(1) 由题设知f(x)＝lnx，g(x)＝lnx＋， ∴ g′(x)＝，令g′(x)＝0得x＝1，当x∈(0,1)时，g′(x)＜0，g(x)是减函数，故(0,1)是g(x)的单调减区间．当x∈(1，＋∞)时，g′(x)＞0，g(x)是增函数，故(1，＋∞)是g(x)的单调递增区间，因此x＝1是g(x)的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点，所以g(x)的最小值为g(1)＝1.
(2) g＝－lnx＋x，设h(x)＝g(x)－g＝2lnx－x＋，则h′(x)＝－，当x＝1时，h(1)＝0，即g(x)＝g，当x∈(0,1)∪(1，＋∞)时，h′(x)＜0，因此h(x)在(0，＋∞)内单调递减，当0＜x＜1时，h(x)＞h(1)＝0，即g(x)>g.x>1时，h(x)(3) 由(1)知g(x)的最小值为1，所以g(a)－g(x)＜，对任意x＞0恒成立?g(a)－1＜，即lna＜1从而得0＜a＜e.　空间几何体的表面积与体积
本节内容的复习是要求考生能进一步认识和熟悉各种几何体，能利用公式，求常见几何体的表面积与体积．
1. 若球O1、O2的表面积之比＝4，则它们的半径之比＝________.
2.用半径为2的半圆形铁皮卷成一个圆锥筒，则该圆锥筒的体积为________．
3.一个正三棱柱的侧面展开图是一个边长为6 cm的正方形，则此三棱柱的体积为________cm3.
4.有一根长为5 cm，底面半径为1 cm的圆柱形铁管，用一段铁丝缠绕3圈，并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一条母线的两端，则铁丝的最短长度是________．
【例1】　根据下列对几何体结构特征的描述，在横线上填写出相应的几何体的名称．
(1) 由八个面围成，其中两个面是互相平行且全等的正六边形，其他各面都是矩形．
________________；
(2) 一个直角三角形绕着其一条直角边旋转360°形成的封闭曲面所围成的图形．
________________；
(3) 一个等腰梯形绕着两底边中点的连线所在直线旋转180°形成的封闭曲面所围成的图形．
________________；
(4) 一个直角梯形绕较长的底边所在直线旋转一周形成的曲面所围成的几何体．
________________.
【例2】　如图所示，半径为R的半圆内的阴影部分以直径AB所在直线为轴，旋转一周得到一几何体，求该几何体的表面积(其中∠BAC＝30°)及其体积．
【例3】　如图所示，已知正四棱锥SABCD中，底面边长为a，侧棱长为a.
(1) 求它的外接球的体积；
(2) 求它的内切球的表面积．
【例4】　(2011·辽宁文)如图，四边形ABCD为正方形，QA⊥平面ABCD，PD∥QA，QA＝AB＝PD.
(1) 证明：PQ⊥平面DCQ；
(2) 求棱锥QABCD的体积与棱锥PDCQ的体积的比值．
1. (2011·福建)三棱锥PABC中，PA⊥底面ABC，PA＝3，底面ABC是边长为2的正三角形，则三棱锥PABC的体积等于________．
2.(2011·全国)设长方体的长、宽、高分别为2a、a、a，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为________．
3.(2011·上海)若圆锥的侧面积为2π，底面面积为π，则该圆锥的体积为________．
4. (2011·四川)如图，半径为R的球O中有一内接圆柱．当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与该圆柱的侧面积之差是________．
5.(2011·全国)如图，已知四棱锥PABCD的底面为等腰梯形，AB∥CD，AC⊥BD，垂足为H，PH是四棱锥的高．
(1) 证明：平面PAC⊥平面PBD；
(2) 若AB＝，∠APB＝∠ADB＝60°，求四棱锥PABCD的体积．
6. (2011·安徽理)如图，ABEDFC为多面体，平面ABED⊥平面ACFD，点O在线段AD上，OA＝1，OD＝2，△OAB、△OAC、△ODE、△ODF都是正三角形．
(1) 证明：BC∥EF；
(2) 求棱锥FOBED的体积．
(2010·安徽)(本小题满分14分)如图所示，四棱锥PABCD的底面ABCD是半径为R的圆的内接四边形，其中BD是圆的直径，∠ABD＝60°，∠BDC＝45°，△ADP∽△BAD.
(1) 求线段PD的长；
(2) 若PC＝R，求三棱锥PABC的体积．
解：(1) ∵ BD是圆的直径　∴ ∠BAD＝90°.(2分)
又△ADP∽△BAD，∴ ＝，(4分)
DP＝＝＝＝3R.(7分)
(2 ) 在Rt△BCD中，CD＝BDcos45°＝R.
∵ PD2＋CD2＝9R2＋2R2＝11R2＝PC2，∴ PD⊥CD.(9分)
又∠PDA＝90°，∴ PD⊥底面ABCD，
S△ABC＝AB·BCsin(60°＋45°)＝R2，(12分)
VPABC＝S△ABC·PD＝R3.(14分)
第14讲　空间几何体的表面积与体积
1. 下列结论正确的是____________(写出所有正确结论的序号)．
① 各个面都是三角形的几何体是三棱锥；
② 以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥；
③ 棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则该棱锥可能是六棱锥；
④ 圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线．
【答案】　④
2. 正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为，则四面体AB1CD1的外接球的体积为__________．
【答案】　π　解析：四面体的外接球就是该正方体的外接球．
3. 有一棱长为a的正方体骨架，其内放置一气球，使其充气且尽可能地大(仍保持为球的形状)，则气球表面积的最大值为____________．
【答案】　2πa2　解析：当气球表面积最大时，球与正方体的棱相切．
4. 已知△ABC的三边长为a，b，c，内切圆半径为r(用S△ABC表示△ABC的面积)，则S△ABC＝r(a＋b＋c)；类比这一结论有：若三棱锥A—BCD的内切球半径为R，则三棱锥体积VA—BCD＝____________.
【答案】　R(S△ABC＋S△ABD＋S△ACD＋S△BCD)
5. 如图所示，长方体ABCD—A′B′C′D′中，用截面截下一个棱锥C—A′DD′，求棱锥C—A′DD′的体积与剩余部分的体积之比．
点拨：求棱锥C—A′DD′的体积直接用公式，剩余的体积用大减小．
解：已知长方体可以看成直四棱柱ADD′A′—BCC′B′.
设它的底面ADD′A′面积为S，高为h，则它的体积为V＝Sh.
而棱锥C—A′DD′的底面面积为S，高为h，
因此，棱锥C—A′DD′的体积VC—A′DD′＝×Sh＝Sh.
余下的体积是Sh－Sh＝Sh.
所以棱锥C—A′DD′的体积与剩余部分的体积之比为1∶5.
6. 如图，以长方体ABCD—A1B1C1D1的顶点A、C及另两个顶点为顶点构造四面体．
(1) 若该四面体的四个面都是直角三角形，试写出一个这样的四面体(不要求证明)；
(2) 我们将四面体中两条无公共端点的棱叫做对棱，若该四面体的任一对对棱垂直，试写出一个这样的四面体(不要求证明)；
(3) 若该四面体的任一对对棱相等，试写出一个这样的四面体(不要求证明)，并计算它的体积与长方体的体积的比．
解：(1) 如四面体A1—ABC或四面体C1—ABC或四面体A1—ACD或四面体C1—ACD；
(2) 如四面体B1—ABC或四面体D1—ACD；
(3) 如四面体A—B1CD1；
设长方体的长、宽、高分别为a，b，c，则＝.
基础训练
1. 2
2. 3π
3. 6
4. 　解析：(本题考查侧面展开图的应用)如图所示，圆柱的底面周长是2π，将圆柱沿母线展开，则缠绕3圈的最短长度就是边长分别为5 cm和6π cm的对角线长A1B.
例题选讲
例1　【答案】　(1) 正六棱柱　(2) 圆锥　(3) 圆台　(4) 由一个圆锥和一个圆柱组成的组合体
变式训练　下列命题正确的是________．
① 由五个面围成的多面体只能是四棱锥；
② 棱锥的高线可能在几何体之外；
③ 有一个面是多边形，其余各个面是三角形的几何体是棱锥；
④ 圆锥的侧面展开图是一个半圆面，那么此圆锥的轴截面是正三角形．
【答案】　②④　解析：五个面的多面体可能是三棱柱，故①错；过三棱锥顶点引底面垂线，垂足有可能落在底面三角形外，故②对；正八面体的各个面都是三角形，故③错；设圆锥的母线长为l，底面半径为r，则πl2＝πrl，所以l＝2r，于是轴截面是正三角形，则④对．
例2　解：如图所示，过C作C1O⊥AB于O1，
在半圆中可得∠BCA＝90°，∠BAC＝30°，AB＝2R，
∴ AC＝R，BC＝R，CO1＝R，
∴ S球＝4πR2，
S圆锥AO1侧＝π×R×R＝πR2，
S圆锥BO1侧＝π×R×R＝πR2，
∴ S几何体＝S球＋S圆锥AO1侧＋S圆锥BO1侧＝4πR2＋πR2＋πR2＝πR2，
∴ 旋转所得到的几何体的表面积为πR2.
又V球＝πR3，V圆锥AO1＝AO1·π·CO＝πR2·AO1，
V圆锥BO1＝BO1·π·CO＝BO1·πR2，
∴ V几何体＝V球－(V圆锥AO1＋V圆锥BO1)
＝πR3－πR3＝πR3，
∴ 旋转所得到的几何体的体积为πR3.
变式训练　如图所示，扇形的中心角为90°，其所在圆的半径为R，弦AB将扇形分成两个部分，这两部分各以AO为轴旋转一周，所得旋转体的体积V1和V2之比为____________．
【答案】　1∶1　解析：因为V1＝πR2·R＝πR3，V1＋V2＝×πR3＝πR3，所以V2＝πR3，即V1∶V2＝1∶1
例3　点拨：首先确定球心的位置，然后利用截面解三角形求解．
解：(1) 设外接球的半径为R，球心为O，则OA＝OC＝OS，所以O为△SAC的外心，即△SAC的外接圆半径就是球的半径．
∵ AB＝BC＝a，∴ AC＝a.
∵ SA＝SC＝AC＝a，∴ △SAC为正三角形．
由正弦定理得2R＝＝＝a，
因此，R＝a，V球＝πR3＝πa3.
(2) 设内切球半径为r，作SE⊥底面ABCD于E，作SF⊥BC于F，连结EF，
则有SF＝
＝＝a，
S△SBC＝BC·SF＝a×a＝a2.
S棱锥全＝4S△SBC＋S底＝(＋1)a2.
又SE＝＝＝a，
∴ V棱锥＝S底h＝a2×a＝a3.
∴ r＝＝＝a，S球＝4πr2＝πa2.
变式训练　如图正方形ABCD的边长为a，E，F分别是边AB，BC的中点，沿DE，EF，FD将△DAE，△EBF，△FCD折起来，使A，B，C三点重合于点S, 则三棱锥S—DEF的外接球体积为__________．
【答案】　πa3　解析：由题意可知SD、SE、SF两两垂直，则外接球的半径
R＝
＝＝a
∴ V＝πR3＝πa3.
例4　(1) 证明：由条件知四边形PDAQ为直角梯形，
因为QA⊥平面ABCD，所以平面PDAQ⊥平面ABCD，交线为AD.又四边形ABCD为正方形，DC⊥AD，所以DC⊥平面PDAQ，可得PQ⊥DC.
在直角梯形PDAQ中可得DQ＝PQ＝PD，则PQ⊥QD，
所以PQ⊥平面DCQ.
(2) 解：设AB＝a.由题设知AQ为棱锥Q—ABCD的高，
所以棱锥Q—ABCD的体积V1＝a3.
由(1)知PQ为棱锥P—DCQ的高，而PQ＝a，△DCQ的面积为a2，
所以棱锥P—DCQ的体积为V2＝a3.
故棱锥Q—ABCD的体积与棱锥P—DCQ的体积的比值为1.
高考回顾
1.
2. 6πa2
3. π
4. 2πR2　解析：设球的一条半径与圆柱相应的母线夹角为α，则圆柱的侧面积S＝2π·Rsinα·2Rcosα＝2πR2sin2α，当α＝时，S取最大值2πR2，此时球的表面积与该圆柱的侧面积之差为2πR2.
5. (1) 证明：因为PH是四棱锥P—ABCD的高，则PH⊥BD，又AC⊥BD，PH?平面PBD，BD?平面PBD，PH∩BD＝H，所以AC⊥平面PBD.
因为AC?平面PAC，所以平面PAC⊥平面PBD.
(2) 解：因为ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AC⊥BD，AB＝， 所以HA＝HB＝.因为∠APB＝∠ADB＝60°，所以PA＝PB＝，HD＝HC＝1，可得PH＝.S梯形ABCD＝AC·BD＝2＋.所以四棱锥的体积为V＝(2＋)·＝.
6. (1) 证明：设G是线段DA和线段EB延长线的交点．由于△OAB与△ODE都是正三角形，所以OB∥DE，OB＝DE，OG＝OD＝2；同理，设G′是线段DA和线段FC延长线的交点，有OG′＝OD＝2.又由于G和G′都在线段DA的延长线上，所以G和G′重合．
在△GED和△GFD中，由OB∥DE，OB＝DE和OC∥DF，OC＝DF，可知B、C分别是GE和GF的中点，所以BC是△GEF的中位线，故BC∥EF.
(2) 解：由OB＝1，OE＝2，∠EOB＝60°知S△EOB＝，而△OED是边长为2的正三角形，故S△OED＝，所以SOBED＝；过点F作FQ⊥AD交AD于点Q，由平面ABED⊥平面ACFD知，FQ就是四棱锥F—OBED的高，且FQ＝，所以VF—OBED＝FQ·SOBED＝.　圆锥曲线(含轨迹问题)
本节知识在江苏高考试题中要求比较低，椭圆的标准方程和几何性质是B级考点，其余都是A级考点，但高考必考．在理解定义的基础上，只需对标准方程及其性质熟悉，特别是圆锥曲线中的离心率计算(含范围)．要能准确建模(方程或不等式)．
1. 掌握椭圆的标准方程，会求椭圆的标准方程；掌握椭圆的简单几何性质，能运用椭圆的标准方程和几何性质处理一些简单的实际问题；了解运用曲线的方程研究曲线的几何性质的思想方法．
2. 了解双曲线的标准方程，会求双曲线的标准方程；了解双曲线的简单几何性质．
3. 了解抛物线的标准方程，会求抛物线的标准方程；了解抛物线的简单几何性质．
1. 若椭圆＋＝1的离心率e＝，则m的值是________．
2.若抛物线y2＝2x上的一点M到坐标原点O的距离为，则M到该抛物线焦点的距离为________．
3.双曲线2x2－y2＋6＝0上一个点P到一个焦点的距离为4，则它到另一个焦点的距离为________．
4.已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1、F2，离心率为e，若椭圆上存在点P，使得＝e，则该椭圆离心率e的取值范围是________．
【例1】　已知椭圆G：＋＝1(a>b>0)的离心率为，右焦点为(2，0)，斜率为1的直线l与椭圆G交于A、B两点，以AB为底边作等腰三角形，顶点为P(－3,2)．
(1) 求椭圆G的方程；
(2) 求△PAB的面积．
【例2】　直角坐标系xOy中，中心在原点O，焦点在x轴上的椭圆C上的点(2，1)到两焦点的距离之和为4.
(1) 求椭圆C的方程；
(2) 过椭圆C的右焦点F作直线l与椭圆C分别交于A、B两点，其中点A在x轴下方，且＝3.求过O、A、B三点的圆的方程．
【例3】　已知椭圆＋y2＝1的左顶点为A，过A作两条互相垂直的弦AM、AN交椭圆于M、N两点．
(1) 当直线AM的斜率为1时，求点M的坐标；
(2) 当直线AM的斜率变化时，直线MN是否过x轴上的一定点？若过定点，请给出证明，并求出该定点；若不过定点，请说明理由．
【例4】　(2011·徐州模拟)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知圆B：(x－1)2＋y2＝16与点A(－1,0)，P为圆B上的动点，线段PA的垂直平分线交直线PB于点R，点R的轨迹记为曲线C.
(1) 求曲线C的方程；
(2) 曲线C与x轴正半轴交点记为Q，过原点O且不与x轴重合的直线与曲线C的交点记为M、N，连结QM、QN，分别交直线x＝t(t为常数，且t≠2)于点E、F，设E、F的纵坐标分别为y1、y2，求y1·y2的值(用t表示)．
1. (2011·天津)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程是y＝x，它的一个焦点在抛物线y2＝24x的准线上，则双曲线的方程为__________．
2.(2010·全国)已知F是椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段BF的延长线交C于D点，且＝2，则C的离心率为________．
3.(2011·江西)若椭圆＋＝1的焦点在x轴上，过点作圆x2＋y2＝1的切线，切点分别为A，B，直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是__________．
4.(2011·重庆)设双曲线的左准线与两条渐近线交于A，B两点，左焦点在以AB为直径的圆内，则该双曲线的离心率的取值范围为________．
5.(2011·江苏)如图，在平面直角坐标系xOy中，M、N分别是椭圆＋＝1的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P、A两点，其中P在第一象限，过P作x轴的垂线，垂足为C，连结AC，并延长交椭圆于点B，设直线PA的斜率为k.
(1) 当直线PA平分线段MN时，求k的值；
(2) 当k＝2时，求点P到直线AB的距离d；
(3) 对任意k>0，求证：PA⊥PB.
6.(2011·重庆)如图，椭圆的中心为原点O，离心率e＝，一条准线的方程为x＝2.
(1) 求该椭圆的标准方程；
(2) 设动点P满足：＝＋2，其中M，N是椭圆上的点，直线OM与ON的斜率之积为－，问：是否存在两个定点F1，F2，使得|PF1|＋|PF2|为定值？若存在，求出F1，F2的坐标；若不存在，说明理由．
(2011·苏锡常镇二模)(本小题满分16分)如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆的中心在原点O，右焦点F在x轴上，椭圆与y轴交于A、B两点，其右准线l与x轴交于T点，直线BF交椭圆于C点，P为椭圆上弧AC上的一点．
(1) 求证：A、C、T三点共线；
(2) 如果＝3，四边形APCB的面积最大值为，求此时椭圆的方程和P点坐标．
(1) 证明：设椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)①，则A(0，b)，B(0，－b)，T.(1分)
AT：＋＝1　②，BF：＋＝1　③，(3分)
联立①②③解得：交点C，代入①得(4分)
＋＝＝1，(5分)
满足①式，则C点在椭圆上，A、C、T三点共线．(6分)
(2) 解：过C作CE⊥x轴，垂足为E，△OBF∽△ECF.
∵＝3，CE＝b，EF＝c，则C，代入①得＋＝1，∴ a2＝2c2，b2＝c2.(7分)
设P(x0，y0)，则x0＋2y＝2c2.(8分)
此时C，AC＝c，S△ABC＝·2c·＝c2，(9分)
直线AC的方程为x＋2y－2c＝0，
P到直线AC的距离为d＝＝，
S△APC＝d·AC＝··c＝·c.(10分)
只需求x0＋2y0的最大值．
(解法1)∵ (x0＋2y0)2＝x＋4y＋2·2x0y0≤x＋4y＋2(x＋y)(11分)
＝3(x＋2y)＝6c2，∴ x0＋2y0≤c.(12分)
当且仅当x0＝y0＝c时，(x0＋2y0)max＝c.(13分)
(解法2)令x0＋2y0＝t，代入x2＋2y＝2c2得
(t－2y0)2＋2y－2c2＝0，即6y－4ty0＋t2－2c2＝0.(11分)
Δ＝(－4t)2－24(t2－2c2)≥0，得t≤c.(12分)
当t＝c，代入原方程解得：x0＝y0＝c.(13分)
∴ 四边形的面积最大值为c2＋c2＝c2＝，(14分)
∴ c2＝1，a2＝2，b2＝1，(15分)
此时椭圆方程为＋y2＝1，P点坐标为.(16分)
第13讲　圆锥曲线(含轨迹问题)
1. 已知方程＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是________，若该方程表示双曲线，则m的取值范围是________．
【答案】 　(－∞，1)∪(2，＋∞)
2. 点P为椭圆＋＝1(a>b>0)上一点，F1 ，F2为椭圆的焦点，如果∠PF1F2＝75°，∠PF2F1＝15°，则椭圆的离心率为________．
【答案】
3. 已知抛物线y2＝2px(p>0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为________．
【答案】　x＝－1
4. 设P点在圆x2＋(y－2)2＝1上移动，点Q在椭圆＋y2＝1上移动，则|PQ|的最大值是________．
【答案】　1＋　解析：圆心C(0,2)，|PQ|≤|PC|＋|CQ|＝1＋|CQ|，于是只要求|CQ|的最大值．
设Q(x，y)，∴ |CQ|＝＝＝，
∵ －1≤y≤1，∴ 当y＝－时，|CQ|max＝＝，∴ |PQ|max＝1＋.
5. (2011·南京二模)如图，椭圆C：＋＝1的右顶点是A，上、下两个顶点分别为B、D，四边形OAMB是矩形(O为坐标原点)，点E、P分别是线段OA、AM的中点．
(1) 求证：直线DE与直线BP的交点在椭圆C上；
(2) 过点B的直线l1、l2与椭圆C分别交于点R、S(不同于B)，且它们的斜率k1、k2满足k1k2＝－，求证：直线RS过定点，并求出此定点的坐标．
(1) 证明：由题意得A(4,0)，B(0,2)，D(0，－2)，E(2,0)，P(4,1)．
所以直线DE的方程为y＝x－2，
直线BP的方程为y＝－x＋2.
解方程组得
所以直线DE与直线BP的交点坐标为.
因为＋＝1，所以点在椭圆＋＝1上．
即直线DE与直线BP的交点在椭圆C上．
(2) 解：直线BR的方程为y＝k1x＋2.
解方程组得或
所以点R的坐标为.
因为k1k2＝－，所以直线BS的斜率k2＝－，
直线BS的方程为y＝－x＋2.
解方程组得或
所以点S的坐标为.
(若写成“同理可得点S的坐标为”也可以)
所以R、S关于坐标原点O对称，
故R、O、S三点共线，即直线RS过定点O.
6. (2011·扬州三模)如图，已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)，点A、B分别是椭圆C的左顶点和上顶点，直线AB与圆G：x2＋y2＝ (c是椭圆的半焦距)相离，P是直线AB上一动点，过点P作圆G的两切线，切点分别为M、N.
(1) 若椭圆C经过两点、，
求椭圆C的方程；
(2) 当c为定值时，求证：直线MN经过一定点E，并求·的值(O是坐标原点)；
(3) 若存在点P使得△PMN为正三角形，试求椭圆离心率的取值范围．
解：(1) 令椭圆mx2＋ny2＝1，其中m＝，n＝，
得
所以m＝，n＝，
即椭圆为＋＝1.
(2) 直线AB：＋＝1，
设点P(x0，y0)，则OP的中点为，
所以点O、M、P、N所在的圆的方程为2＋2＝，
化简为x2－x0x＋y2－y0y＝0，
与圆x2＋y2＝作差，即有直线MN：x0x＋y0y＝.
因为点P(x0，y0)在直线AB上，所以＋＝1，
所以x0＋＝0，
所以得x＝－，y＝，
故定点E，
·＝·＝.
(3) 直线AB与圆G：x2＋y2＝(c是椭圆的半焦距)相离，
则＞，即4a2b2＞c2(a2＋b2)，4a2(a2－c2)＞c2(2a2－c2)，
得e4－6e2＋4＞0.因为0＜e＜1，所以0＜e2＜3－.①
连结ON、OM、OP，若存在点P使△PMN为正三角形，则在Rt△OPN中，OP＝2ON＝2r＝c，所以≤c，a2b2≤c2(a2＋b2)，
a2(a2－c2)≤c2(2a2－c2)，得e4－3e2＋1≤0.
因为0＜e＜1，所以≤e2＜1.②
由①②，得≤e2＜3－，所以≤e＜.
基础训练
1. 3或　2. 　3. 2＋4
4. [－1,1)　解析：∵ ＝e, ∴ PF1＝ePF2＝e(2a－PF1)，PF1＝，
又a－c≤PF1≤a＋c，∴ a－c≤≤a＋c，a(1－e)≤≤a(1＋e)，1－e≤≤1＋e，解得e≥－1.又0＜e＜1, ∴ －1≤e＜1.
例题选讲
例1　解：(1) 由已知得c＝2，＝.解得a＝2，又b2＝a2－c2＝4.
所以椭圆G的方程为＋＝1.
(2) 设直线l的方程为y＝x＋m.
由得4x2＋6mx＋3m2－12＝0.①
设A、B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)(x1则x0＝＝－，y0＝x0＋m＝；因为AB是等腰△PAB的底边，
所以PE⊥AB.所以PE的斜率k＝＝－1.解得m＝2.
此时方程①为4x2＋12x＝0.解得x1＝－3，x2＝0.所以y1＝－1，y2＝2.
所以|AB|＝3.此时，点P(－3,2)到直线AB：x－y＋2＝0的距离
d＝＝，所以△PAB的面积S＝|AB|·d＝.
例2　解：(1) 由题意，设椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)，则2a＝4，a＝2.
因为点(2，1)在椭圆＋＝1上，所以＋＝1，解得b＝，
故所求椭圆方程为＋＝1.
(2) 如图设A(x1，y1)，B(x2，y2)(y1＜0，y2＞0)．
点F的坐标为F(3,0)．
由＝3，得
即①
又A、B在椭圆C上，
所以　解得
所以B，代入①得A点坐标为(2，－)．
因为·＝0，所以OA⊥AB.
所以过O、A、B三点的圆就是以OB为直径的圆，
其方程为x2＋y2－x－y＝0.
变式训练　已知点P(4,4)，圆C：(x－m)2＋y2＝5(m<3)与椭圆E：＋＝1(a>b>0)有一个公共点A(3,1)，F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，直线PF1与圆C相切．
(1) 求m的值与椭圆E的方程；
(2) 设Q为椭圆E上的一个动点，求·的取值范围．
解：(1) 点A坐标代入圆C方程，得(3－m)2＋1＝5.∵ m＜3，∴ m＝1.
圆C：(x－1)2＋y2＝5.
设直线PF1的斜率为k，则PF1：y＝k(x－4)＋4，即kx－y－4k＋4＝0.
∵ 直线PF1与圆C相切，∴ ＝.解得k＝或k＝.
当k＝时，直线PF1与x轴的交点横坐标为，不合题意，舍去．
当k＝时，直线PF1与x轴的交点横坐标为－4，
∴ c＝4，F1(－4,0)，F2(4,0).
2a＝AF1＋AF2＝5＋＝6，a＝3，a2＝18，b2＝2.
椭圆E的方程为：＋＝1.
(2) ＝(1,3)，设Q(x，y)，＝(x－3，y－1)，
·＝(x－3)＋3(y－1)＝x＋3y－6.
∵ ＋＝1，即x2＋(3y)2＝18，
而x2＋(3y)2≥2|x|·|3y|，∴ －3≤xy≤3.
则(x＋3y)2＝x2＋(3y)2＋6xy＝18＋6xy的取值范围是[0,36].
x＋3y的取值范围是[－6,6]．
∴ ·＝x＋3y－6的取值范围是[－12,0].
(注：本题第二问若使用椭圆的参数方程或线性规划等知识也可解决)
例3　解：(1) 直线AM的斜率为1时，直线AM方程为y＝x＋2，
代入椭圆方程并化简得5x2＋16x＋12＝0，
解之得x1＝－2，x2＝－，∴ M.
(2) 设直线AM的斜率为k，则AM：y＝k(x＋2)，则
化简得(1＋4k2)x2＋16k2x＋16k2－4＝0.
∵ 此方程有一根为－2，∴ xM＝，同理可得xN＝.
由(1)知若存在定点，则此点必为P.
∵ kMP＝＝＝，
同理可计算得kPN＝.
∴ 直线MN过x轴上的一定点P.
变式训练　在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，其焦点在圆x2＋y2＝1上．
(1) 求椭圆的方程；
(2) 设A、B、M是椭圆上的三点(异于椭圆顶点)，且存在锐角θ，使＝cosθ＋sinθ.
① 求证：直线OA与OB的斜率之积为定值；
② 求OA2＋OB2.
(1) 解：依题意，得c＝1.于是a＝，b＝1.
所以所求椭圆的方程为＋y2＝1.
(2) ①证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则＋y＝1①，＋y＝1②.
又设M(x，y)，因＝cosθ＋sinθ，
故
因M在椭圆上，故＋(y1cosθ＋y2sinθ)2＝1.
整理得cos2θ＋sin2θ＋2cosθsinθ＝1.
将①②代入上式，并注意cosθsinθ≠0，得＋y1y2＝0.
所以kOAkOB＝＝－为定值．
② 解：(y1y2)2＝2＝·＝(1－y)(1－y)＝1－(y＋y)＋yy，故y＋y＝1.
又＋＝2，故x＋x＝2.
所以OA2＋OB2＝x＋y＋x＋y＝3.
例4　解：(1) 连结RA，由题意得RA＝RP，RP＋RB＝4，
所以RA＋RB＝4＞AB＝2，
由椭圆定义，得点R的轨迹方程为＋＝1.
(2) 设M(x0，y0)，则N(－x0，－y0)，QM、QN的斜率分别为kQM、kQN，
则kQM＝，kNQ＝，
所以直线QM的方程为y＝(x－2)，直线QN的方程为y＝(x－2)．
令x＝t(t≠2)，则y1＝(t－2)，y2＝(t－2)，
又(x0，y0)在椭圆＋＝1上，所以y＝3－x.
所以y1·y2＝(t－2)2＝＝－(t－2)2，其中t为常数且t≠2.
高考回顾
1. －＝1　解析：由题设可得双曲线方程满足3x2－y2＝λ(λ>0)，即－＝1.于是c2＝＋λ＝.又抛物线y2＝24x的准线方程为x＝－6，因为双曲线的一个焦点在抛物线y2＝24x的准线上，则c2＝＝36，于是λ＝27.所以双曲线的方程－＝1.
2. 　解析：设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，设D(x2，y2)，B(0，b)，C(c,0)，＝(c，－b)，＝(x2－c，y2)?∴ ·c2＋·＝1，
∴ e2＝，∴ e＝.
3. ＋＝1　解析：作图可知一个切点为(1,0)，所以椭圆c＝1.分析可知直线AB为圆x2＋y2＝1与以为圆心，为半径的圆的公共弦．由(x－1)2＋2＝与x2＋y2＝1相减得直线AB方程为：2x＋y－2＝0.令x＝0，解得y＝2，∴ b＝2，又c＝1，∴ a2＝5，故所求椭圆方程为：＋＝1.
4. (1，)　解析：由题可知A，c－<，∴ b5. 解：(1) 由题意知M(－2,0)，N(0，－)，M、N的中点坐标为，
直线PA平分线段MN，又直线PA经过原点，所以k＝.
(2) 直线PA：y＝2x，由得P，A，
C，AB方程：＝，即：x－y－＝0，
所以点P到直线AB的距离d＝＝.
(3) (解法1)由题意设P(x0，y0)，A(－x0，－y0)，B(x1，y1)，则C(x0,0)，
∵ A、C、B三点共线，∴ kAC＝kAB，＝，
又因为点P、B在椭圆上，∴ ＋＝1，＋＝1，两式相减得：kPB＝＝－，
∴ kPAkPB＝＝－＝－1，∴ PA⊥PB.
(解法2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB中点T(x0，y0)，则P(－x1，－y1)，C(－x1,0)，
∵ A、C、B三点共线，∴ ＝＝＝kAB，又因为点A、B在椭圆上，
∴ ＋＝1，＋＝1，两式相减得：＝－，
∴ kOTkPA＝·＝－×2kAB＝－1，∵ OT∥PB，∴ PA⊥PB.
(解法3)由得P，
A，C，
kAC＝＝，直线AC：y＝，
代入＋＝1得到x2－x－＝0，
解得xB＝，
kPB＝＝＝＝－.∴ kPA·kPB＝k·＝－1，∴ PA⊥PB.
点评：本题主要考查椭圆的标准方程与几何性质，直线的斜率及其方程，点到直线距离公式，直线的垂直关系的判断．另外还考查了解方程组，共线、点在曲线上的问题．字母运算的运算求解能力， 考查推理论证能力．(1)(2)属容易题；(3)是考查学生灵活运用、数学综合解题能力，属难题．
6. 解：(1) 由e＝＝，＝2，
解得a＝2，c＝，b2＝a2－c2＝2，故椭圆的标准方程为＋＝1.
(2) 设P(x，y)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，则由＝＋2，得
(x，y)＝(x1，y1)＋2(x2，y2)＝(x1＋2x2，y1＋2y2)，
即x＝x1＋2x2，y＝y1＋2y2.
因为点M，N在椭圆x2＋2y2＝4上，所以x＋2y＝4，x＋2y＝4，
故x2＋2y2＝(x＋4x＋4x1x2)＋2(y＋4y＋4y1y2)
＝(x＋2y)＋4(x＋2y)＋4(x1x2＋2y1y2)
＝20＋4(x1x2＋2y1y2)．
设kOM，kON分别为直线OM，ON的斜率，由题设条件知，
kOM·kON＝＝－，因此x1x2＋2y1y2＝0，所以x2＋2y2＝20.
所以P点是椭圆＋＝1上的点，设该椭圆的左、右焦点为F1，F2，则由椭圆的定义|PF1|＋|PF2|为定值，又因c＝＝，因此两焦点的坐标分别为F1(－，0)，F2(，0)．　数形结合思想
数形结合思想就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想．它包含两个方面：(1) “以形助数”，把抽象问题具体化．这主要是指用几何的方法去解决代数或三角问题；(2) “以数解形”，把直观图形数量化，使形更加精确．这主要是指用代数或三角的方法去解决几何问题．数形结合思想不仅是解决数学问题的一种策略和思想，而且是解决数学问题的一种重要的方法，因而在高考中占有非常重要的地位．
数形结合思想中的“数”主要是指数和数量关系；“形”主要是指图形，有点、线、面、体等．实现数形结合的渠道主要有：(1) 实数与数轴上点的对应；(2) 函数与图象的对应；(3) 曲线与方程的对应；(4) 以几何元素及几何条件为背景，通过坐标系来实现的对应，有复数、三角、空间点的坐标等．
数形结合思想主要用于解填空题和选择题，有直观、简单、快捷等特点；而在解答题中，考虑到推理论证的严密性，图形只是辅助手段，最终要用“数”写出完整的解答过程．
1. 已知A，B均为集合U＝{1,3,5,7,9}的子集，且A∩B＝{3}，(B)∩A＝{9}，则A＝________.
2. 函数y＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ为常数，A>0，ω>0)在闭区间[－π，0]上的图象如图所示，则ω＝________.
3. 直线y＝1与曲线y＝x2－|x|＋a有四个交点，则实数a的取值范围是________．
4. 某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱兵乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为________．
【例1】　已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0)的一系列对应值如下表：
x －
y －1 1 3 1 －1 1 3
(1) 根据表格提供的数据求函数f(x)的一个解析式；
(2) 根据(1)的结果，若函数y ＝ f(kx)(k>0)周期为，当x∈时，方程f (kx) ＝ m恰有两个不同的解，求实数m的取值范围．
【例2】　如图，甲船以每小时30海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的北偏西105°的方向B1处，此时两船相距20海里．当甲船航行20分钟到达A2处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B2处，此时两船相距10海里，问乙船每小时航行多少海里？
【例3】　在平面直角坐标系xOy中，设二次函数f(x)＝x2＋2x＋b(x∈R)的图象与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C.
(1) 求实数b的取值范围；
(2) 求圆C的方程；
(3) 问圆C是否经过某定点(其坐标与b无关)？请证明你的结论．
【例4】　已知f(x)是二次函数，不等式f(x)<0的解集是(0,5) ，且f(x)在区间[－1,4]上的最大值是12.
(1) 求f(x)的解析式；
(2) 是否存在自然数m使得方程f(x)＋＝0在区间(m，m＋1)内有且只有两个不等的实数根？若存在，求出m值；若不存在，说明理由．
1. (2011·福建)已知O是坐标原点，点A(－1,1)，若点M(x，y)为平面区域上的一个动点，则·的取值范围是________．
2.(2011·江苏)在平面直角坐标系xOy中，过坐标原点的一条直线与函数f(x)＝的图象交于P、Q两点，则线段PQ长的最小值是________．
3. (2009·全国)如图，三棱锥ABCD的侧面是顶角为40°，腰长均为1的全等三角形，动点P从三棱锥ABCD的顶点B沿侧面运动一圈再回到点B，则动点P所走的最短路径长为________．
4.(2008·江苏)设函数f(x)＝ax3－3x＋1(x∈R)，若对于x∈[－1,1]都有f(x)≥0 成立，则实数a的值为________．
5.(2010·江苏)在平面直角坐标系xOy中，如图，已知椭圆＋＝1的左、右顶点为A、B，右焦点为F.设过点T(t，m)的直线TA、TB与此椭圆分别交于点M(x1，y1)、N(x2，y2)，其中m>0，y1>0，y2<0.
(1) 设动点P满足PF2－PB2＝4，求点P的轨迹；
(2) 设x1＝2，x2＝，求点T的坐标；
(3) 设t＝9，求证：直线MN必过x轴上的一定点(其坐标与m无关)．
6.(2010·天津)已知函数f(x)＝ax3－x2＋1(x∈R)，其中a>0.
(1) 若a＝1，求曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；
(2) 若在区间上，f(x)>0恒成立，求a的取值范围．
(2011·南通三模)(本小题满分16分)平面直角坐标系xOy中，椭圆＋＝1(a＞b＞0)离心率为，焦点在圆x2＋y2＝1上．
(1) 求椭圆的方程；
(2) 设A，B，M是椭圆上的三点(异于椭圆顶点)，且存在锐角θ，使＝cosθ＋sinθ.
①求证：直线OA与OB的斜率之积为定值；
②求OA2＋OB2.
解：(1)依题意，得 c＝1.于是，a＝，b＝1. (2分)
所以所求椭圆的方程为＋y2＝1.(4分)
(2) ①设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＋y＝1①，＋y＝1②.
又设M(x，y)，因＝cosθ＋sinθ，故 (7分)
因M在椭圆上，故＋(y1cosθ＋y2sinθ)2＝1.
整理得cos2θ＋sin2θ＋2cosθsinθ＝1.
将①②代入上式，并注意cosθsinθ≠0，得＋y1y2＝0.
所以，kOAkOB＝＝－为定值．( 10分)
② (y1y2)2＝2＝·＝(1－y)(1－y)＝1－(y＋y)＋yy，故y＋y＝1.
又＋＝2，故x＋x＝2.
所以，OA2＋OB2＝x＋y＋x＋y＝3. (16分)
第20讲　数形结合思想
1. 在平面直角坐标系xOy中，若直线y＝kx＋1与曲线y＝x＋－x－有四个公共点，则实数k的取值范围是____________．
【答案】　　解析：y＝x＋－x－为偶函数，考查函数y＝，在直角坐标系中作出函数的图象，直线y＝kx＋1过定点(0,1)，直线与曲线y＝(x≥1)在第一象限内相切时，直线的斜率为－，根据图形可知实数k的取值范围是.
2. 设f(x)＝－x3＋x2＋2ax.
(1) 若f(x)在上存在单调递增区间，求实数a的取值范围；
(2) 当0＜a＜2时，f(x)在[1,4]上的最小值为－，求f(x)在该区间上的最大值．
解：(1) f(x)在上存在单调递增区间，即存在某个子区间(m，n)?使得f′(x)＞0.由f′(x)＝－x2＋x＋2a＝－2＋＋2a，f′(x)在区间上单调递减，则只需f′＞0即可．由f′＝＋2a＞0，解得a＞－.
所以，当a＞－时，f(x)在上存在单调递增区间．
(2) 令f′(x)＝0，得两根x1＝，x2＝.
所以f(x)在(－∞，x1)，(x2，＋∞)上单调递减，在(x1，x2)上单调递增．
当0＜a＜2时，有x1＜1＜x2＜4，所以f(x)在[1,4]上的最大值为f(x2)，
又f(4)－f(1)＝－＋6a＜0，即f(4)＜f(1)．
所以f(x)在[1,4]上的最小值为f(4)＝8a－＝－，得a＝1，x2＝2，
从而f(x)在[1,4]上的最大值为f(2)＝.
基础训练
1. {3,9}　解析：画出韦恩图即可得到答案．
2. 3　解析：从图象上可知周期为T＝π－＝，ω＝＝3.
3. 　解析：方程1＝x2－|x|＋a转化为x2－|x|＝1－a，令f(x)＝x2－|x|，g(x)＝1－a，在同一个直角坐标系中作出两个函数的图象，可知－＜1－a＜0,1＜a＜.
4. 12　解析：本题画出韦恩图即可. 设两者都喜欢的人数为x人，则只喜爱篮球的有(15－x)人，只喜爱乒乓球的有(10－x)人，由此可得(15－x)＋(10－x)＋x＋8＝30，解得x＝3，所以15－x＝12，即所求人数为12人．
例题选讲
例1　解：(1) A＋B＝3，－A＋B＝－1，∴ A＝2，B＝1.
T＝＋＝2π，∴ ω＝1，那么f(x)＝2sin(x＋φ)＋1，
2sin＝2，∴ φ＝，所以f(x)＝2sin＋1.
(2) y＝2sin＋1，∵ T＝，∴ k＝3，y＝2sin＋1.
函数y＝2sin＋1在上增，在上减，
y＝2sin＋1∈[1－，3)∩[1＋，3)，
故实数m的取值范围为[＋1,3)．
变式训练　已知函数y＝asinx＋bcosx＋c的图象上有一个最低点.如果图象上每点的纵坐标不变，横坐标变为原来的倍，然后向左平移1个单位，可得y＝f(x)的图象．又知f(x)＝3的所有非负实根依次为一个公差是3的等差数列．试求f(x)的解析式和单调递减区间．
解：－a＋b＋c＝1，－＋c＝1，c＝1＋2a，b＝－a，
∴ y＝2asin＋1＋2a，∴ f(x)＝2asinx＋1＋2a，设f(x)＝3的非负实根为x0，x0＋3，x0＋6，…，则f(x0)＝3，f(x0＋3)＝3，即2asinx0＋1＋2a＝3,2asin＋1＋2a＝3.两式相加得a＝1.因此c＝3，a＝1，b＝－.
∴ f(x)＝2sinx＋3，单调递减区间为(k∈Z)．
例2　解：如题图，连结A1B2，A2B2＝10，A1A2＝×30＝10，
△A1A2B2是等边三角形，∠B1A1B2＝105°－60°＝45°，
在△A1B2B1中，由余弦定理得
B1B＝A1B＋A1B－2A1B1·A1B2cos45°，
＝202＋(10)2－2×20×10×＝200，
B1B2＝10.
因此乙船的速度大小为×60＝30.
答：乙船每小时航行30海里．
例3　(1) 解：令x＝0，得抛物线与y轴交点是(0，b)；
令f(x)＝x2＋2x＋b＝0，由题意b≠0 且Δ＞0，解得b＜1 且b≠0，实数b的取值范围是b∈(－∞，0)∪(0,1)．
(2) 解：设所求圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0
令y＝0得x2＋Dx＋F＝0这与x2＋2x＋b＝0 是同一个方程，故D＝2，F＝b.
令x＝0得y2＋Ey＋F＝0，此方程有一个根为b，代入得出E＝―b―1.
所以圆C 的方程为x2＋y2＋2x－(b＋1)y＋b＝0.
(3) 证明：假设圆C过定点(x0，y0)，(x0，y0不依赖于b)，将该点的坐标代入圆C的方程，
并变形为x＋y＋2x0－y0＋b(1－y0)＝0　(*)
为使(*)式对所有满足b＜1(b≠0)的b都成立，必须有1－y0＝0，
结合(*)式得
x＋y＋2x0－y0＝0，解得或
经检验知，点(0,1)，(－2,0)均在圆C上，因此圆C 过定点．
例4　解：(1) ∵ f(x)是二次函数，且f(x)＜0的解集是(0,5)，
∴ 可设f(x)＝ax(x－5)(a＞0)．
∴ f(x)在区间[－1,4]上的最大值是f(－1)＝6a.
由已知，得6a＝12，∴ a＝2，
∴ f(x)＝2x(x－5)＝2x2－10x(x∈R)．
(2) 方程f(x)＋＝0等价于方程2x3－10x2＋37＝0.
设h(x)＝2x3－10x2＋37，则h′(x)＝6x2－20x＝2x(3x－10)．
当x∈时，h′(x)＜0，h(x)是减函数；当x∈时，h′(x)＞0，h(x)是增函数．
∵ h(3)＝1＞0，h＝－＜0，h(4)＝5＞0，
∴ 方程h(x)＝0在区间，内分别有唯一实数根，而在区间(0,3)，(4，＋∞)内没有实数根，所以存在唯一的自然数m＝3，使得方程f(x)＋＝0在区间(m，m＋1)内有且只有两个不同的实数根．
变式训练　已知函数f(x)＝x2－alnx(a∈R)．
(1) 若函数f(x)在x＝2处的切线方程为y＝x＋b，求a，b的值；
(2) 若函数f(x)在(1，＋∞)上为增函数，求a的取值范围；
(3) 讨论方程f(x)＝0的解的个数，并说明理由．
解：(1) 因为f′(x)＝x－(x>0)，
又f(x)在x＝2处的切线方程为y＝x＋b，
∴ 解得a＝2，b＝－2ln2.
(2) 若函数f(x)在(1，＋∞)上为增函数，则f′(x)＝x－≥0在(1，＋∞)上恒成立，即a≤x2在(1，＋∞)上恒成立，所以有a≤1.
(3) 当a＝0时，f(x)在定义域(0，＋∞)上恒大于0，此时方程无解．
当a<0时，f′(x)＝x－>0在(0，＋∞)上恒成立，所以f(x)在(0，＋∞)上的增函数．
∵ f(1)＝>0，f＝e－1<0，∴ 方程有唯一解．
当a>0时，f′(x)＝x－＝＝.
因为当x∈(0，)时，f′(x)<0，f(x)在(0，)内为减函数；
当x∈(，＋∞)时，f(x)在(，＋∞)内为增函数．
所以当x＝时，f(x)有极小值，即为最小值f()＝a－aln＝a(1－lna)．
当a∈(0，e)时，f()＝a(1－lna)>0，方程无解；
当a＝e时，f()＝a(1－lna)＝0，此方程有唯一解x＝.
当a∈(e，＋∞)时，f()＝a(1－lna)<0，因为f>0且>1，
所以方程f(x)＝0在区间(0，)上有唯一解．
因为当x>1时，(x－lnx)′>0，所以x－lnx>1，所以x>lnx.
f(x)＝x2－alnx>x2－ax，因为2a>>1，所以f(x)>(2a)2－2a2＝0，
所以方程f(x)＝0在区间(，＋∞)上有唯一解．
∴ 方程f(x)＝0在区间(e，＋∞)上有两解．
综上，当a∈(0，e)时，方程无解；
当a<0或a＝e时，方程有唯一解；
当a>e时，方程有两解．
高考回顾
1. [0,2]　解析：作出可行域，设z＝·，则z＝－x＋y，作出l0：－x＋y＝0，平移l0，知l过点(1,1)时，zmin＝0，过(0,2)时，zmax＝2，∴ ·的取值范围为[0,2]．
2. 4　解析：直接画图结合函数的对称性可知，当直线的斜率为1时，线段PQ长为最小，最小值为4；或设直线为y＝kx(k＞0)，由方程组解得P，Q两点的坐标，再求线段PQ长的最小值，此法相对计算量较大，不如利用函数图象和性质快捷．合理画出函数图象利用函数的性质是解决函数问题的常用方法．要掌握各种常见函数的图象和性质，选用适当的方法求解问题．
3. 　解析：将三棱锥沿PA展开得一平面图形，
用余弦定理可得＝.
4. 4　解析：若x＝0，则不论a取何值，f(x)≥0显然成立；当x＞0即x∈(0,1]时，f(x)＝ax3－3x＋1≥0可化为a≥－.
设g(x)＝－，则g′(x)＝， 所以g(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减，因此g(x)max＝g＝4，从而a≥4；
当x＜0即x∈[－1,0)时，f(x)＝ax3－3x＋1≥0可化为a≤－，g′(x)＝＞0.
g(x)在区间[－1,0)上单调递增，因此g(x)max＝g(－1)＝4，从而a≤4，
综上a＝4.
5. 解：(1) 由题知得A(－3,0)，B(3,0)，F(2,0)，
设点P(x，y)，则PF2－PB2＝[(x－2)2＋y2]－[(x－3)2＋y2]＝4，
整理得x＝.
故所求点P的轨迹为直线x＝.
(2) 由x1＝2，＋＝1及y1>0得
M，从而得直线AM的方程为y＝x＋1；由x2＝，＋＝1及y2<0，得
N，从而BN的方程为y＝x－.
由解得
所以点T的坐标为.
(3) 由题设知，直线AT的方程为y＝(x＋3)，直线BT的方程为y＝(x＋3)．点M(x1，y1)满足得＝－·.因为x≠－3，则＝－·，
解得x1＝，从而y1＝.
点N(x2，y2)满足解得x2＝，y2＝.
若x1＝x2，则由＝及m>0，得m＝2，此时直线MN的方程为x＝1，过点D(1,0)；
若x1≠x2，则m≠2，直线MD的斜率kMD＝＝，
直线ND的斜率kND＝＝，所以kMD＝kND.
所以直线MN过D点．综上，直线MN必过x轴上的点(1,0)．
6. 解：(1) 当a＝1时，f(x)＝x3－x2＋1，f(2)＝3；f′(x)＝3x2－3x，f′(2)＝6.所以曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y－3＝6(x－2)，
即y＝6x－9.
(2) f′(x)＝3ax2－3x＝3x(ax－1)．令f′(x)＝0，解得x＝0或x＝.
以下分两种情况讨论：
①若0＜a≤2，则≥，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x 0
f′(x) ＋ 0 －
f(x) ? 极大值 ?
当x∈时，f(x)＞0等价于即
解不等式组得－5②若a>2，则0＜＜.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x 0
f′(x) ＋ 0 － 0 ＋
f(x) ? 极大值 ? 极小值 ?
当x∈时，f(x)>0等价于即
解不等式组得＜a＜5或a＜－.因此2综合①②，可知a的取值范围为0转化与化归思想是指在处理问题时，把待解决或难解决的问题通过某种方式转化为一类已解决或比较容易解决的问题的一种思维方式．
应用转化与化归思想解题的原则应是化难为易、化生为熟、化繁为简，尽可能是等价转化，在有些问题的转化时只要注意添加附加条件或对所得结论进行必要的验证就能确保转化的等价．常见的转化有：正与反的转化、数与形的转化、相等与不等的转化、整体与局部的转化、空间与平面的转化、常量与变量的转化、图象语言、文字语言与符号语言的转化等．
分类讨论思想，函数与方程思想，数形结合思想都是转化与化归思想的具体体现．常用的变换方法：分析法、反证法、换元法、待定系数法、构造法等都是转化的手段．
1. 已知正实数x、y满足＋＝1，则x＋y的取值范围是________．
2.若不等式x2＋ax＋1≥0对一切x∈都成立，则实数a的最小值为________．
3.函数y＝x＋的值域为________．
4.函数f(x)＝x3－3bx＋3b在(0,1)内有极小值，则b的取值范围是________．
【例1】　已知圆O的半径为1，PA、PB为该圆的两条切线，A、B为两切点，求·的最小值．
【例2】　若不等式x2＋px>4x＋p－3对一切0≤p≤4均成立，试求实数x的取值范围．
【例3】　在数列{an} 中a1＝，前n项和Sn满足Sn＋1－Sn＝ n＋1(n∈N*)．
(1) 求数列{an}的通项公式an以及前n项和Sn；
(2) 若S1, t (S1＋S2 ), 3(S2＋S3) 成等差数列，求实数t的值．
【例4】　已知函数f(x)＝x2＋lnx(a∈R)．
(1) 当a＝0时，求函数f(x)的单调递增区间；
(2) 若?x∈[1,3]，使f(x)<(x＋1)lnx成立，求实数a的取值范围；
(3) 若函数f(x)的图象在区间(1，＋∞)内恒在直线y＝2ax下方，求实数a的取值范围．
1. (2011·福建)设圆锥曲线r的两个焦点分别为F1，F2，若曲线r上存在点P满足|PF1|∶|F1F2|∶|PF2|＝4∶3∶2，则曲线r的离心率等于________．
2.(2011·湖南)设m>1，在约束条件下，目标函数z＝x＋my的最大值小于2，则实数m的取值范围为________．
3.(2011·全国)已知矩形ABCD的顶点都在半径为4的球O的球面上，且AB＝6，BC＝2，则棱锥OABCD的体积为________．
4.(2011·湖南)已知函数f(x)＝ex－1，g(x)＝－x2＋4x－3，若有f(a)＝g(b)，则b的取值范围为________．
5.(2009·浙江)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足cos＝，·＝3.
(1) 求△ABC的面积；
(2) 若b＋c＝6，求a的值．
6.(2011·辽宁)如图，已知椭圆C1的中心在原点O，长轴左、右端点M，N在x轴上，椭圆C2的短轴为MN，且C1，C2的离心率都为e，直线l⊥MN，l与C1交于两点，与C2交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为A，B，C，D.
(1) 设e＝，求|BC|与|AD|的比值；
(2) 当e变化时，是否存在直线l，使得BO∥AN，并说明理由．
(2008·北京)(本小题满分13分)数列{an}满足a1＝1，an＋1＝(n2＋n－λ)an(n＝1,2，…)，λ是常数．
(1) 当a2＝－1时，求λ及a3的值；
(2) 数列{an}是否可能为等差数列？若可能，求出它的通项公式；若不可能，说明理由；
(3) 求λ的取值范围，使得存在正整数m，当n>m时总有an<0.
解：(1) 由于an＋1＝(n2＋n－λ)an(n＝1,2，…)，且a1＝1.
所以当a2＝－1时，得－1＝2－λ，
故λ＝3.(2分)
从而a3＝(22＋2－3)×(－1)＝－3.(4分)
(2) 数列{an}不可能为等差数列，证明如下：
由a1＝1，an＋1＝(n2＋n－λ)an得
a2＝2－λ，a3＝(6－λ)(2－λ)，a4＝(12－λ)(6－λ)(2－λ)．
若存在λ，使{an}为等差数列，则a3－a2＝a2－a1，即(5－λ)(2－λ)＝1－λ，
解得λ＝3.
于是a2－a1＝1－λ＝－2，a4－a3＝(11－λ)(6－λ)(2－λ)＝－24.
这与{an}为等差数列矛盾．所以，对任意λ，{an}都不可能是等差数列．( 8分)
(3) 记bn＝n2＋n－λ(n＝1,2，…)，根据题意可知，b1<0且bn≠0，即λ>2且λ≠n2＋n(n∈N*)，这时总存在n0∈N*，满足：当n≥n0时，bn>0；当n≤n0－1时，bn<0.
所以由an＋1＝bnan及a1＝1>0可知，若n0为偶数，则an0<0，从而当n>n0时，an<0；若n0为奇数，则an0>0，从而当n>n0时an>0.( 10分)
因此“存在m∈N*，当n>m时总有an<0”的充分必要条件是：n0为偶数．
记n0＝2k(k＝1,2，…)，则λ满足
故λ的取值范围是4k2－2k<λ<4k2＋2k(k∈N*)．( 13分)
第21讲　转化与化归思想
1. △ABC内接于以O为圆心的圆，且3＋4－5＝0.则∠C＝__________.
【答案】　　解析：3＋4－5＝0，∴ 3＋4＝5，∴ 9OA2＋16OB2＋24·＝25OC2，OA＝OB＝OC，OA⊥OB.即∠C＝.
(注意结合图形，把问题转化．)
2. 设正项数列{an}的前n项和为Sn，q为非零常数．已知对任意正整数n, m，当n＞m时，Sn－Sm＝qm·Sn－m总成立．
(1) 求证：数列{an}是等比数列；
(2) 若正整数n, m, k成等差数列，求证：＋≥.
证明：(1) 因为对任意正整数n，m，当n＞m时，Sn－Sm＝qm·Sn－m总成立．
所以当n≥2时，Sn－Sn－1＝qn－1S1，即an＝a1·qn－1，且a1也适合，又an＞0，
故当n≥2时，＝q(非零常数)，即{an}是等比数列．
(2) 若q＝1，则Sn＝na1，Sm＝ma1，Sk＝ka1.
所以＋＝＝≥＝＝＝.
若q≠1，则Sn＝，Sm＝，Sk＝.
所以＋≥2＝2.
又因为(1－qn)(1－qk)＝1－(qn＋qk)＋qn＋k≤1－2＋qn＋k
＝1－2qm＋q2m＝(1－qm)2.
所以＋≥2＝2≥2＝.
综上可知：若正整数n，m，k成等差数列，不等式＋≥(当且仅当n＝m＝k时取“＝”)总成立．
基础训练
1. 4　解析：＋＝1得x＋y＝xy，由基本不等式得xy≤2，x＋y≥4.
2. －　解析：x2＋ax＋1≥0对一切x∈都成立，∴ a≥－，而y＝－x－在上单调增，ymax＝－.
3. 　解析：函数y＝x＋的定义域为(－∞，2]；
换元令＝t≥0，y＝－t2＋t＋2＝－2＋，也可用导数．
4. 0＜b＜1　解析：f′(x)＝3x2－3b＝0，x＝±，显然b＞0，单调区间为(－∞，－)，(－，)，(，＋∞)，∴ x＝时取极小值，0＜＜1,0＜b＜1.
例题选讲
例1　解：设∠APB＝θ，0＜θ＜π，
·＝|PA||PB|cosθ
＝2cosθ＝·
＝，
换元：令x＝sin2，0＜x＜1，
·＝＝2x＋－3≥2－3，当且仅当2x＝，即x＝∈(0,1)时取等号．
故·的最小值为2－3.
例2　解：不等式x2＋px＞4x＋p－3对一切0≤p≤4均成立，即(x－1)p＋(x2－4x＋3)＞0对一切0≤p≤4均成立，
令f(p)＝(x－1)p＋(x2－4x＋3)，则
解得x>3或x<－1.
实数x的取值范围是x∈(－∞，－1)∪(3，＋∞)．
变式训练　若不等式x2＋px＞4x＋p－3对一切－4≤x≤0均成立，试求实数p的取值范围．
解：(解法1)构造函数f(x)＝x2＋(p－4)x－p＋3，
所以Δ＜0或或
所以p＜3.
(解法2)构造函数f(x)＝x2＋(p－4)x－p＋3＝(x－1)(x＋p－3)，
f(x)＞0对一切－4≤x≤0均成立，而x－1＜0，∴ x＋p－3＜0，∴ p＜3－x
∴ p＜3.
例3　解：(1) 由Sn＋1－Sn＝n＋1(n∈N*)得an＋1＝n＋1.
又a1＝，故an＝n(n∈N*)，Sn＝.
(2) 由(1)得S1＝，S2＝，S3＝，
＋3＝t×2，得t＝2.
例4　解：(1) f(x)＝x2＋lnx(a∈R)的定义域为(0，＋∞)．
当a＝0时，f(x)＝－x2＋lnx，f′(x)＝－x＋＝.
由f′(x)＞0，结合定义域，解得0＜x＜1，
故得函数f(x)的单调递增区间为(0,1)．
(2) f(x)＜(x＋1)lnx，即x2＜xlnx(a∈R)，
∵ x∈[1,3]，∴ a＜＋.令g(x)＝＋，
则?x∈[1,3]，使f(x)＜(x＋1)lnx成立，等价于a＜g(x)max.
∵ g′(x)＝.由g′(x)＝0，结合x∈[1,3]，解得：x＝e.
当1≤x＜e时，g′(x)≥0；当e＜x≤3时，g′(x)＜0.
故得g(x)max＝g(e)＝＋.
∴ 实数a的取值范围是.
(3) 令h(x)＝f(x)－2ax＝x2－2ax＋lnx，h(x)的定义域为(0，＋∞)．函数f(x)的图象在区间(1，＋∞)内恒在直线y＝2ax下方，等价于h(x)＜0在(1，＋∞)上恒成立，即h(x)max＜0.
h′(x)＝(2a－1)x－2a＋＝.
① 若a＞，令h′(x)＝0，得x1＝1，x2＝.
当x2＞x1＝1，即＜a＜1时，在(1，x2)上，h′(x)＜0，h(x)为减函数，在(x2，＋∞)上，h′(x)＞0，
h(x)为增函数，故h(x)的值域为(g(x2)，＋∞)，不合题意．
当x2≤x1＝1，即a≥1时，同理可得在(1，＋∞)上，h′(x)＞0，h(x)为增函数，故h(x)的值域为(g(x1)，＋∞)，也不合题意．
② 若a≤，则有2a－1≤0，此时，在区间(1，＋∞)上，恒有h′(x)＜0，从而h(x)为减函数，
h(x)max＝h(1)＝－a－≤0，结合a≤，解得－≤a≤.
综合①②可得：实数a的取值范围－≤a≤.
变式训练　已知函数f(x)＝x3＋ax2图象上一点P(1，b)的切线斜率为－3，g(x)＝x3＋x2－(t＋1)x＋3(t＞0)．
(1) 求a，b的值；
(2) 当x∈[－1,4]时，求f(x)的值域；
(3) 当x∈[1,4]时，不等式f(x)≤g(x)恒成立，求实数t的取值范围．
解：(1) f′(x)＝3x2＋2ax，∴ 解得
(2) 由(1)知，f(x)在[－1,0]上单调递增，在[0,2]上单调递减，在[2,4]上单调递增．
又f(－1)＝－4，f(0)＝0，f(x)min＝f(2)＝－4，f(x)max＝f(4)＝16，
∴ f(x)的值域是[－4,16]．
(3) 令h(x)＝f(x)－g(x)＝－x2＋(t＋1)x－3，x∈[1,4]．
∴ 要使f(x)≤g(x)恒成立，只需h(x)≤0，即t(x2－2x)≥2x－6.
①当x∈[1,2)时t≤，解得t≤2＋；
②当x＝2时t∈R；
③当x∈(2,4]时t≥，解得t≥.
综上所述，所求实数t的取值范围是.
高考回顾
1. 或　解析：∵ |PF1|∶|F1F2|∶|PF2|＝4∶3∶2，
∴ 设|PF1|＝4k，|F1F2|＝3k，|PF2|＝2k，(k＞0)
若圆锥曲线为椭圆，则2a＝|PF1|＋|PF2|＝6k,2c＝|F1F2|＝3k，则离心率e＝＝＝；
当圆锥曲线为双曲线时，则2a＝|PF1|－|PF2|＝2k,2c＝|F1F2|＝3k，离心率e＝＝＝.
2. 1＜m＜＋1　解析：画出可行域，可知z＝x＋my在点取最大值，由＋＜2，解得1＜m＜＋1.
3. 8　解析：设矩形的对角线的交点为E，则OE⊥面ABCD，由题知截面圆半径r2＝BD2＝(AB2＋BC2)＝12，由截面圆性质得OE＝＝2，
∴ 棱锥O—ABCD的体积为SABCD×OE＝×6×2×2＝8.
4. 2－＜b＜2＋　解析：f(a)＝ea－1＞－1，g(b)＝－b2＋4b－3＞－1，解得2－＜b＜2＋.
5. 解：(1) 因为cos＝，∴ cosA＝2cos2－1＝，sinA＝.
又由·＝3，得bccosA＝3，∴ bc＝5，∴ S△ABC＝bcsinA＝2.
(2) 由于bc＝5，又b＋c＝6，∴ b＝5，c＝1或b＝1，c＝5.
由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA＝20，∴ a＝2.
6. 解：(1) 因为C1，C2的离心率相同，故依题意可设，
C1：＋＝1，C2：＋＝1，(a＞b＞0)
设直线l：x＝t(|t|＜a)，分别与C1，C2的方程联立，
求得A，B.
当e＝时，b＝a，分别用yA，yB表示A，B的纵坐标，可知
＝＝＝.
(2) t＝0时的l不符合题意．t≠0时，BO∥AN当且仅当BO的斜率kBO与AN的斜率kAN相等，即＝，解得t＝－＝－.因为|t|＜a，又0＜e＜1，所以＜1，解得＜e＜1.
所以当0＜e≤时，不存在直线l，使得BO∥AN；
当＜e＜1时，存在直线l使得BO∥AN.　分类讨论思想
分类讨论是一种重要的数学思想方法，当问题的对象不能进行统一研究时，就需要对研究的对象按某个标准进行分类，然后对每一类分别研究，给出每一类的结论，最终综合各类结果得到整个问题的解答．实质上分类讨论就是“化整为零，各个击破，再集零为整”的数学策略．
分类原则：(1) 所讨论的全域要确定，分类要“既不重复，也不遗漏”；(2) 在同一次讨论中只能按所确定的一个标准进行；(3) 对多级讨论，应逐级进行，不能越级．
讨论的基本步骤：(1) 确定讨论的对象和讨论的范围(全域)；(2) 确定分类的标准，进行合理的分类；(3) 逐步讨论(必要时还得进行多级分类)；(4) 总结概括，得出结论．
引起分类讨论的常见因素：(1) 由概念引起的分类讨论；(2) 使用数学性质、定理和公式时，其限制条件不确定引起的分类讨论；(3) 由数学运算引起的分类讨论；(4)由图形的不确定性引起的分类讨论；(5) 对于含参数的问题由参数的变化引起的分类讨论．
简化和避免分类讨论的优化策略：(1) 直接回避．如运用反证法、求补法、消参法等有时可以避开繁琐讨论；(2) 变更主元．如分离参数、变参置换等可避开讨论；(3) 合理运算．如利用函数奇偶性、变量的对称、轮换以及公式的合理选用等有时可以简化甚至避开讨论；(4) 数形结合．利用函数图象、几何图形的直观性和对称特点有时可以简化甚至避开讨论．
注：能回避分类讨论的尽可能回避．
1. 一条直线过点(5,2)且在x轴，y轴上截距相等，则这直线方程为________．
2.正三棱柱的侧面展开图是边长分别为6和4的矩形， 则它的体积为________.
3.函数f(x)＝的定义域为一切实数，则实数a的取值范围是________．
4.数列{an}的前n项和为Sn＝2n2＋n－1(n∈N*)，则其通项an＝________.
【例1】　在△ABC中，已知sinB＝，a＝6，b＝8，求边c的长．
【例2】　解关于x的不等式：ax2－(a＋1)x＋1<0(a∈R)．
【例3】　设等比数列{an}的公比为q，前n项和Sn>0(n＝1,2，…)．
(1) 求q的取值范围；
(2) 设bn＝an＋2－an＋1，记{bn}的前n项和为Tn，试比较Sn与Tn的大小.
【例4】　已知函数f(x)和g(x)的图象关于原点对称，且f(x)＝x2＋2x.
(1) 求函数g(x)的解析式；
(2) 若h(x)＝g(x)－λf(x)＋1在[－1,1]上是增函数，求实数λ的取值范围．
1. (2009·全国)双曲线的一条渐近线方程为3x－2y＝0，则该双曲线的离心率为________．
2.(2011·辽宁)设函数f(x)＝则满足f(x)≤2的x的取值范围是________．
3.(2011·江苏)已知实数a≠0，函数f(x)＝若f(1－a)＝f(1＋a)，则a的值为________．
4.(2010·福建)函数f(x)＝的零点个数为________．
5.(2011·江西)设f(x)＝x3＋mx2＋nx.
(1) 如果g(x)＝f′(x)－2x－3在x＝－2处取得最小值－5，求f(x)的解析式；
(2) 如果m＋n<10(m，n∈N＋)，f(x)的单调递减区间的长度是正整数，试求m和n的值．(注：区间(a，b)的长度为b－a)
6.(2010·江苏)设f(x)是定义在区间(1，＋∞)上的函数，其导函数为f′(x)．如果存在实数a和函数h(x)，其中h(x)对任意的x∈(1，＋∞)都有h(x)>0，使得f′(x)＝h(x)(x2－ax＋1)，则称函数f(x)具有性质P(a)．设函数f(x)＝lnx＋(x>1)，其中b为实数．
(1) 求证：函数f(x)具有性质P(b);
(2) 求函数f(x)的单调区间．
(2011·南通)(本小题满分16分)已知各项均不为零的数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1＝c,2Sn＝anan＋1＋r.
(1) 若r＝－6，数列{an}能否成为等差数列？若能，求c满足的条件；若不能，请说明理由．
(2) 设Pn＝＋＋…＋，Qn＝＋＋…＋，若r＞c＞4，求证：对于一切n∈N*，不等式－n(1) 解：n＝1时，2a1＝a1a2＋r，∵ a1＝c≠0，∴ 2c＝ca2＋r，a2＝2－. (1分)
n≥2时，2Sn＝anan＋1＋r，①　2Sn－1＝an－1an＋r，②
①－②，得2an＝an(an＋1－an－1)．∵ an≠0，∴ an＋1－an－1＝2. (3分)
则a1，a3，a5，…，a2n－1，… 成公差为2的等差数列，a2n－1＝a1＋2(n－1)．
a2，a4，a6，…，a2n，… 成公差为2的等差数列， a2n＝a2＋2(n－1)．
要使{an}为等差数列，当且仅当a2－a1＝1.即2－－c＝1，r＝c－c2. (4分)
∵ r＝－6，∴ c2－c－6＝0，得c＝－2或3.
∵ 当c＝－2时，a3＝0不合题意，舍去．
∴ 当且仅当c＝3时，数列{an}为等差数列. (5分)
(2) 证明：a2n－1－a2n＝[a1＋2(n－1)]－[a2＋2(n－1)]＝a1－a2＝c＋－2.
a2n－a2n＋1＝[a2＋2(n－1)]－(a1＋2n)＝a2－a1－2＝－. (8分)
∴ Pn＝＝n(n＋c－1) (9分)
Qn＝－＝－n. (10分)
Pn－Qn＝n(n＋c－1)＋n＝n2＋n.(11分)
∵ r＞c＞4，∴ c＋≥2＞4，∴ c＋－2＞2，∴ 0＜＋<＋＝＜1.(13分)
且＋＝＋－1＞－1. (14分)
又∵ r＞c＞4，∴ >1，则0＜c－1∴ ＜1，<1.∴ ＋－1＜1.(15分)
∴ 对于一切n∈N*，不等式－n专题七　数学思想方法
第18讲　分类讨论思想
1. 已知函数f(x)＝(sinx＋cosx)－|sinx－cosx|，则f(x)的值域是____________．
【答案】　　解析：f(x)＝(sinx＋cosx)－|sinx－cosx|＝f(x)∈.
2. (2011·徐州三模)设函数f(x)＝x2－alnx与g(x)＝x－的图象分别交直线x＝1于点A、B，且曲线y＝f(x)在点A处的切线与曲线y＝g(x)在点B处的切线平行．
(1) 求函数f(x)，g(x)的解析式；
(2) 当a>1时，求函数h(x)＝f(x)－g(x)的最小值；
(3) 当a<1时，不等式f(x)≥mg(x)在x∈上恒成立，求实数m的取值范围．
解：(1) 由f(x)＝x2－alnx，得f′(x)＝2x－，由g(x)＝x－，得
g′(x)＝－.
又由题意得f′(1)＝g′(1)，即2－a＝－1，故a＝2或a＝.
当a＝2时，f(x)＝x2－2lnx，g(x)＝x－，
当a＝时，f(x)＝x2－lnx，g(x)＝2x－.
(2) 当a>1时，h(x)＝f(x)－g(x)＝x2－2lnx－x＋，得
h′(x)＝2x－－＋＝－
＝(－1).
由x>0，得>0.
故当x∈(0,1)时，h′(x)<0，h(x)递减；
当x∈(1，＋∞)时，h′(x)>0，h(x)递增．
所以h(x)的最小值为h(1)＝1－2ln1－＋1＝.
(3) a＝时，f(x)＝x2－lnx，g(x)＝2x－.
当x∈时，f′(x)＝2x－＝<0，f(x)在上为减函数，f(x)≥f＝＋ln2.
当x∈时，g′(x)＝2－＝>0，g(x)在上为增函数，
且g(x)≤g＝1－，且g(x)≥g＝0，要使不等式f(x)≥mg(x)
在x∈上恒成立，当x＝时，m为任意实数，当x∈时，m≤，而min＝＝ln(4e)，所以m≤ln(4e)．
3. 设a为实数，函数f(x)＝2x2＋(x－a)|x－a|.
(1) 若f(0)≥1，求a的取值范围；
(2) 求f(x)的最小值；
(3) 设函数h(x)＝f(x)，x∈(a，＋∞)，直接写出(不需给出演算步骤)不等式h(x)≥1的解集．
点拨：本小题主要考查函数的概念、性质、图象及解一元二次不等式等基础知识，考查灵活运用数形结合、分类讨论的思想方法进行探索、分析与解决问题的综合能力．
解：(1) 若f(0)≥1，则－a|a|≥1??a≤－1.
(2) 当x≥a时，f(x)＝3x2－2ax＋a2，f(x)min＝＝
当x≤a时，f(x)＝x2＋2ax－a2，f(x)min＝＝
综上可得f(x)min＝
(3) x∈(a，＋∞)时，h(x)≥1得3x2－2ax＋a2－1≥0，Δ＝4a2－12(a2－1)＝12－8a2.
当a≤－或a≥时，Δ≤0，x∈(a，＋∞)；
当－＜a＜时，Δ>0，得：
讨论得：当a∈时，解集为(a，＋∞)；
当a∈时，解集为∪；
当a∈时，解集为.
基础训练
1. 2x－5y＝0或x＋y－7＝0　解析：分直线过原点和不过原点两种情况．
2. 4或　解析：分侧面矩形长、宽分别为6和4或4和6两种情况．
3. 0≤a≤1　解析： 由题知ax2－a(a＋1)x＋(a＋1)≥0对x∈R恒成立，分a＝0和a＞0两种情况讨论．
4. an＝　解析：在使用公式an＝Sn－Sn－1时要注意条件n≥2，n∈N*.
例题选讲
例1　解析：sinB＝，a＜b，若B为锐角，则cosB＝，由余弦定理得，
c2＋36－2×6×c×cosB＝64，即c2－3c－28＝0，∴ c＝7；若B为钝角，则cosB＝－，由余弦定理得c2＋36－2×6×c×cosB＝64，即c2＋3c－28＝0，
∴ c＝3，故边c的长为7或3.
(注： 在三角形中，内角的取值范围是(0，π)，b＞a，cosB＝，则B可能是锐角也可能是钝角，故要分两种情况讨论．但本题如改成a＝8，b＝6，那情况又如何呢？)
变式训练　△ABC中，已知sinA＝，cosB＝，求cosC.
解：∵ 0＜cosB＝＜，B∈(0，π)，∴ 45°＜B＜90°，且sinB＝.
若A为锐角，由sinA＝，得A＝30°，此时cosA＝；
若A为钝角，由sinA＝，得A＝150°，此时A＋B＞180°.
这与三角形的内角和为180°相矛盾，可见A≠150°.
∴ cosC＝cos[π－(A＋B)]＝－cos(A＋B)
＝－(cosA·cosB－sinA·sinB)＝－＝.
例2　解：(1) 当a＝0时，原不等式化为－x＋1＜0，∴ x＞1.
(2) 当a≠0时，原不等式化为a(x－1)＜0，
① 若a＜0，则原不等式化为(x－1)＞0，
∵ ＜0，∴ ＜1，∴ 不等式解为x＜或x＞1.
② 若a＞0，则原不等式化为(x－1)＜0.
(ⅰ) 当a＞1时，＜1，不等式解为＜x＜1；
(ⅱ) 当a＝1时，＝1，不等式解为?；
(ⅲ) 当0＜a＜1时，＞1，不等式解为1＜x＜.
综上所述，得原不等式的解集为：
当a＜0时，解集为；当a＝0时，解集为{x|x＞1}；
当0＜a＜1时，解集为；当a＝1时，解集为?；
当a＞1时，解集为.
变式训练　解关于x的不等式＞1(a∈R且a≠1)．
解：原不等式可化为：＞0，
① 当a＞1时，原不等式与(x－2)＞0同解．
由于＝1－＜1＜2，
∴ 原不等式的解为∪(2，＋∞)．
② 当a＜1时，原不等式与(x－2) ＜0同解．
由于＝1－，
若a＜0，＝1－＜2，解集为；
若a＝0时，＝1－＝2，解集为?；
若0＜a＜1，＝1－＞2，解集为.
综上所述，当a＞1时不等式解集为∪(2，＋∞)；当0＜a＜1时，解集为；当a＝0时，解集为?；当a＜0时，解集为.
例3　解：(1) 因为{an}是等比数列，Sn>0，可得a1＝S1>0，q≠0.
当q＝1时，Sn＝na1>0；
当q≠1时，Sn＝＞0，即＞0(n＝1,2,3，…)，
∴ 或
由于n可为奇数，可为偶数，故q＞1或－1＜q＜1且q≠0.
综上，q的取值范围是(－1,0)∪(0，＋∞)．
(2) 由bn＝an＋2－an＋1＝an(q2－q)，∴ Tn＝(q2－q)Sn.
∴ Tn－Sn＝(q2－q－1)Sn＝Sn.
又Sn＞0，－1＜q＜0或q＞0，－1＜q＜或q＞时Tn＞Sn；
＜q＜0或0＜q＜时，Tn＜Sn.
q＝时，Sn＝Tn.
(注：等差、等比数列的通项、前n项的和是数列的基础，已知一个数列的前n项和求其通项时，对n＝1与n≥2要分别予以研究，而涉及等比数列求和或用错位相减法求和时，要对公比q是否为1进行分类讨论．)
例4　解：(1) 利用函数图象的对称求解函数的问题．容易求出g(x)＝－x2＋2x.
(2) h(x)＝－(1＋λ)x2＋2(1－λ)x＋1，
(解法1) 为求实数λ的取值范围，就要对λ的取值分类．
(1) 当λ＝－1时，h(x)＝4x＋1，此时h(x)在[－1,1]上是增函数，
(2) 当λ≠－1时，对称轴方程为x＝.
① 当λ＜－1时，需满足≤－1，解得λ＜－1；
② 当λ＞－1时，≥1，解得－1＜λ≤0.
综上可得λ≤0.
(解法2) 由题知，h′(x)＝－2(1＋λ)x＋2(1－λ)≥0对x∈[－1,1]恒成立．
即(1＋x)λ≤1－x对x∈[－1,1]恒成立，显然x＝－1时上式恒成立，λ∈R，
x∈(－1,1]时，λ≤＝－1，
函数y＝－1在x∈(－1,1]上单调减，函数的最小值为0.
∴ λ≤0，经检验符合题意．
(注：两种解法，值得思考，在做分类讨论题时要尽可能回避复杂的讨论．)
变式训练　设00，且a≠1，比较|loga(1－x)|与|loga(1＋x)|的大小．
解：(解法1) 因为01，则0<1－x2<1.
① 当00，loga(1＋x)<0，
所以|loga(1－x)|－|loga(1＋x)|＝loga(1－x)－[－loga(1＋x)]
＝loga(1－x2)>0，
即|loga(1－x)|>|loga(1＋x)|.
② 当a>1时，由loga(1－x)<0，loga(1＋x)>0，
得|loga(1－x)|－|loga(1＋x)|＝－loga(1－x)－loga(1＋x)
＝－loga(1－x2)>0，
即|loga(1－x)|>|loga(1＋x)|.
由①②可知，|loga(1－x)|>|loga(1＋x)|.
(注：在解答该类问题时，首先从概念出发判断出绝对值内的数(或式子)的符号，然后再去掉绝对值符号(这时需按条件进行分类讨论确定)，再按照相关的法则去计算，直至得出结论．其实这道题是可以回避讨论的．)
(解法2) 因为01，则0<1－x2<1.
|loga(1－x)|＝＝－，|loga(1＋x)|＝
|loga(1－x)|－|loga(1＋x)|＝－＞0，
∴ |loga(1－x)|>|loga(1＋x)|.
高考回顾
1. 或　解析：由渐近线方程为3x－2y＝0知＝或＝.
2. [0，＋∞)　解析：f(x)≤2得?0≤x≤1或?x＞1.
3. a＝－　解析：分a＜0和a≥0两种情况讨论．
4. 2　解析：当x≤0时，令x2＋2x－3＝0，解得x＝－3；
当x＞0时，令－2＋lnx＝0，解得x＝100，所以已知函数有两个零点．
5. 解：(1) f(x)＝x3＋mx2＋nx，∴ f′(x)＝x2＋2mx＋n.
又∵ g(x)＝f′(x)－2x－3＝x2＋(2m－2)x＋n－3在x＝－2处取极值，
则g′(－2)＝2(－2)＋(2m－2)＝0?m＝3，又在x＝－2处取最小值－5.
则g(－2)＝(－2)2＋(－2)×4＋n－3＝－5?n＝2，
∴ f(x)＝x3＋3x2＋2x.
(2) 要使f(x)＝x3＋mx2＋nx单调递减，则f′(x)＝x2＋2mx＋n＜0.
又递减区间长度是正整数，所以f′(x)＝x2＋2mx＋n＝0两根设为a，b(a＜b)．即有：b－a为区间长度．
又b－a＝＝＝2(m，n∈N＋)．
又b－a为正整数，且m＋n<10，所以m＝2，n＝3或m＝3，n＝5符合．
6. (1) 证明：f′(x)＝－＝(x2－bx＋1)．
∵ x＞1时，h(x)＝＞0恒成立，
∴ 函数f(x)具有性质P(b)．
(2) 解：设φ(x)＝x2－bx＋1＝2＋1－，φ(x)与f′(x)的符号相同．
当1－＞0，－2＜b＜2时，φ(x)＞0，f′(x)＞0，故此时f(x)在区间(1，＋∞)上递增；
当b＝±2时，对于x＞1，有f′(x)＞0，所以此时f(x)在区间(1，＋∞)上递增；
当b＜－2时，φ(x)图象开口向上，对称轴x＝＜－1，而φ(0)＝1.
对于x＞1，总有φ(x)＞0，f′(x)＞0，故此时f(x)在区间(1，＋∞)上递增；
当b＞2时，φ(x)图象开口向上，对称轴x＝＞1，方程φ(x)＝0的两根分别为：，，
而＞1，＝∈(0,1)．
当x∈时，φ(x)＜0，f′(x)＜0，故此时f(x)在区间上递减；
同理得：f(x)在区间上递增．
综上所述，当b≤2时，f(x)在区间(1，＋∞)上递增；
当b＞2时，f(x)在上递减；
f(x)在上递增．　三角函数的图象与性质
1. 掌握正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质；会用“五点法”作出正弦函数及余弦函数的图象；掌握函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及性质．
2. 高考试题中，三角函数题相对比较传统，位置靠前，通常是以简单题形式出现．因此在本讲复习中要注重三角知识的基础性，特别是要熟练掌握三角函数的定义、三角函数图象的识别及其简单的性质(周期、单调、奇偶、最值、对称、图象平移及变换等)．
3. 三角函数是每年高考的必考内容，多数为基础题，难度属中档偏易．这几年的高考中加强了对三角函数定义、图象和性质的考查．在这一讲复习中要重视解三角函数题的一些特殊方法，如函数法、待定系数法、数形结合法等的训练．
1. 函数y＝2sin2－1是最小正周期为________的________(填“奇”或“偶”)函数．
2.函数f(x)＝－cosx在[0，＋∞)内的零点个数为________．
3.函数f(x)＝2cos2x＋sin2x的最小值是________．
4.定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数，若f(x)的最小正周期是π，且当x∈时，f(x)＝sinx，则f的值为________．
【例1】　设函数f(θ)＝sinθ＋cosθ，其中角θ的顶点与坐标原点重合，始边与x轴非负半轴重合，终边经过点P(x，y)，且0≤θ≤π.
(1) 若点P的坐标是，求f(θ)的值；
(2) 若点P(x，y)为平面区域上的一个动点，试确定角θ的取值范围，并求函数f(θ)的最小值和最大值．
【例2】　函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A>0，ω>0)的部分图象如图所示．
(1) 求f(0)的值；
(2) 若0<φ<π，求函数f(x)在区间上的取值范围．
【例3】　已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)－cos(ωx＋φ)(0<φ<π，ω>0)为偶函数，且函数y＝f(x)图象的两相邻对称轴间的距离为.
(1) 求f的值；
(2) 将函数y＝f(x)的图象向右平移个单位后，得到函数y＝g(x)的图象，求函数g(x)的单调递减区间．
【例4】　已知函数f(x)＝2sin2－cos2x－1，x∈R.
(1) 求f(x)的最小正周期；
(2) 若h(x)＝f(x＋t)的图象关于点对称，且t∈(0，π)，求t的值；
(3) 当x∈时，不等式|f(x)－m|<3恒成立，求实数m的取值范围．
1. (2011·江西)已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴．若P(4，y)是角θ终边上一点，且sinθ＝－，则y＝________.
2.(2010·全国)函数f(x)＝sin－2sin2x的最小正周期是________．
3.(2009·全国)函数y＝sincos的最大值为________．
4.(2010·广东)已知函数f(x)＝sinωx＋cosωx(ω>0)，y＝f(x)的图象与直线y＝2的两个相邻交点的距离等于π，则f(x)的单调递增区间是________．
(2011·四川)已知函数f(x)＝2sinxcosx＋2cos2x－1(x∈R)．
(1) 求函数f(x)的最小正周期及在区间上的最大值和最小值；
(2) 若f(x0)＝，x0∈，求cos2x0的值．
5.(2009·福建)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)，其中ω>0，|φ|<.
(1) 若coscosφ－sinπsinφ＝0，求φ的值；
(2) 在(1)的条件下，若函数f(x)的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于，求函数f(x)的解析式；并求最小正实数m，使得函数f(x)的图象向左平移m个单位后所对应的函数是偶函数．
(2009·重庆)(本小题满分13分)设函数f(x)＝sin－2cos2＋1.
(1) 求f(x)的最小正周期；
(2) 若函数y＝g(x)与y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称，求当x∈时，y＝g(x)的最大值．
解：(1) f(x)＝sinxcos－cosxsin－cosx
＝sinx－cosx(3分)
＝sin，(5分)
故f(x)的最小正周期为T ＝＝8.(7分)
(2) (解法1)在y＝g(x)的图象上任取一点(x，g(x))，它关于x＝1的对称点为(2－x，g(x))．
由题设条件，点(2－x，g(x))在y＝f(x)的图象上，从而
g(x)＝f(2－x)＝sin＝sin＝cos.(10分)
当0≤x≤时，≤x＋≤，因此y＝g(x)在区间上的最大值为g(x)max＝cos＝.(13分)
(解法2)因区间关于x＝1的对称区间为，且y＝g(x)与y＝f(x)的图象关于x＝1对称，故y＝g(x)在上的最大值为y＝f(x)在上的最大值，
由(1)知f(x)＝sin，
当≤x≤2时，－≤x－≤，
因此y＝g(x)在上的最大值为g(x)max＝sin＝.(13分)
第7讲　三角函数的图象与性质
1. 若＜x＜，则函数y＝tan2xtan3x的最大值为________．
【答案】　－8　解析：令tanx＝t∈(1，＋∞)，y＝，y′(t)＝
得t＝时y取最大值－8.
2. 已知函数f(x)＝2cos2x＋sin2x.
(1) 求f的值；
(2) 求f(x)的最大值和最小值．
解：(1) f＝2cos＋sin2＝－1＋＝－.
(2) f(x)＝2(2cos2x－1)＋(1－cos2x)＝3cos2x－1，x∈R.
因为cosx∈[－1,1]，所以当cosx＝±1时，f(x)取最大值2；当cosx＝0时，f(x)取最小值－1.
基础训练
1. π　奇　解析：y＝－cos＝－sin2x.
2. 1　解析：在[0，＋∞)内作出函数y＝，y＝cosx的图象，可得到答案．
3. －＋1　解析：f(x)＝2cos2x＋sin2x＝sin＋1.
4. －　解析：f＝f＝f＝sin＝－.
例题选讲
例1　解：(1) 根据三角函数定义得sinθ＝，cosθ＝，∴ f(θ)＝2.(本题也可以根据定义及角的范围得角θ＝，从而求出 f(θ)＝2)．
(2) 在直角坐标系中画出可行域知0≤θ≤，f(θ)＝sinθ＋cosθ＝2sin，∴ θ＝0，f(θ)min＝1；θ＝，f(θ)max＝2.
(注： 注意条件，使用三角函数的定义； 一般情况下，研究三角函数的周期、最值、单调性及有关计算等问题时，常可以先将函数化简变形为y＝Asin(ωx＋φ)的形式)
例2　解：(1)由题图可知：A＝，＝π－＝，ω＝2，
2×＋φ＝2kπ＋，φ＝2kπ＋，k∈Z，
f(0)＝sin＝.
(2) φ＝，f(x)＝sin.
因为0≤x≤，所以≤2x＋≤π，所以0≤sin≤1.
即f(x)的取值范围为[0，]．
(注：本题主要考查正弦、余弦、正切函数及y＝Asin(ωx＋φ)的图像与性质以及诱导公式，运用数形结合思想，属于中档题)
变式训练　已知A为△ABC的内角，求y＝cos2A＋cos2的取值范围．
解： y＝cos2A＋cos2＝＋
＝1＋＋
＝1＋＝1＋cos.
∵ A为三角形内角，∴ 0＜A＜π，∴ －1≤cos≤1，
∴ y＝cos2A＋cos2的取值范围是.
例3　解：(1) f(x)＝sin(ωx＋φ)－cos(ωx＋φ)
＝2
＝2sin.
因为f(x)为偶函数，
所以对x∈R，f(－x)＝f(x)恒成立，
因此sin＝sin.
即－sinωxcos＋cosωxsin
＝sinωxcos＋cosωxsin，
整理得sinωxcos＝0.
因为ω＞0，且x∈R，所以cos＝0.
又因为0＜φ＜π，故φ－＝.
所以f(x)＝2sin＝2cosωx.
由题意得＝2×，所以ω＝2.
故f(x)＝2cos2x.
因此f＝2cos＝.
(2) 将f(x)的图象向右平移个单位后，得到f的图象，
所以g(x)＝f＝2cos＝2cos.
当2kπ≤2x－≤2kπ＋π(k∈Z)，
即kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)时，g(x)单调递减，
因此g(x)的单调递减区间为(k∈Z)．
例4　解：(1)函数可化为f(x)＝－cos－cos2x＝2sin，故f(x)的最小正周期为π.
(2) h(x)＝2sin.令2×＋2t－＝kπ，k∈Z.
又t∈(0，π)，故t＝或.
(3) 当x∈时，2x－∈， ∴ f(x)∈[1,2]．
|f(x)－m|＜3，即f(x)－3＜m＜f(x)＋3，∴ 2－3＜m＜1＋3，即－1＜m＜4.
变式训练　设函数f(x)＝－cos2x－4tsincos＋4t3＋t2－3t＋4，x∈R，其中|t|≤1，将f(x)的最小值记为g(t)．
(1) 求g(t)的表达式；
(2) 讨论g(t)在区间(－1,1)内的单调性并求极值．
解：(1) f(x)＝－cos2x－4tsincos＋4t3＋t2－3t＋4
＝sin2x－2tsinx＋4t3＋t2－3t＋3
＝(sinx－t)2＋4t3－3t＋3.
由于(sinx－t)2≥0，|t|≤1，故当sinx＝t时，f(x)达到其最小值g(t)，即
g(t)＝4t3－3t＋3.
(2) g′(t)＝12t2－3＝3(2t＋1)(2t－1)，－1＜t＜1.
列表如下：
t －
g′(t) ＋ 0 － 0 ＋
g(t) ? 极大值 ? 极小值 ?
由此可见，g(t)在区间和上单调增，在区间上单调减，极小值为g＝2，极大值为g＝4.
高考回顾
1. —8　解析：sinθ＝＝－，解得y＝－8或8(舍)．
2. π　解析：f(x)＝sin－2sin2x＝sin－.
3. 　解析： y＝cosx＝sin＋.
4. ，k∈Z　解析： f(x)＝sinωx＋cosωx(ω＞0)＝2sin.
∵ 周期为π，∴ ω＝2，∴ f(x)＝2sin.
2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，即kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.
5. 解： (1) 由f(x)＝2sinxcosx＋2cos2x－1，得
f(x)＝(2sinxcosx)＋(2cos2x－1)＝sin2x＋cos2x＝2sin.
所以函数的最小正周期为T＝＝π.
因为x∈，所以2x＋∈.
所以2x＋∈，即x∈时，函数f(x)为增函数，而在x∈时，函数f(x)为减函数，所以f＝2sin＝2为最大值，f＝2sin＝－1为最小值．
(2) 由(1)知，f(x0)＝2sin.
又由已知f(x0)＝，则sin＝.
因为x0∈，则2x0＋∈.因此cos＜0，
所以cos＝－，于是cos2x0＝cos，
＝coscos＋sinsin
＝－×＋×＝.
6. 解：(1) 由coscosφ－sinπsinφ＝0得coscosφ－sinsinφ＝0
即cos＝0，又|φ|<，∴ φ＝.
(2) 由(1)得f(x)＝sin，依题意，＝，又T＝，故ω＝3，
∴ f(x)＝sin，函数的图像向左平移m个单位后对应的函数为g(x)＝sin，g(x)是偶函数，当且仅当3m＋＝kπ＋(k∈Z)，即m＝＋(k∈Z)，从而最小正实数m＝.　函数、图象及性质
1. 函数在高考中的题型设置有小题也有大题，其中大题有简单的函数应用题、函数与其他知识综合题，也有复杂的代数推理题，可以说函数性质的应用是高考考查的主要着力点之一．
2. 重点：①函数的奇偶性、单调性和周期性；②函数与不等式结合；③函数与方程的综合；④函数与数列的综合；⑤函数与向量的综合；⑥利用导数来刻画函数．
3. 难点：①新定义的函数问题；②代数推理问题，常作为高考压轴题．
1. 已知f(x)是二次函数，且f(0)＝0，f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，则f(x)＝________.
2.函数f(x)＝的定义域为________．
3.函数f(x)的定义域是R，其图象关于直线x＝1和点(2 , 0)都对称，f＝2，则f＋f＝________.
4.函数f(x)＝x2－2x，g(x)＝mx＋2，对?x1∈[－1,2]，?x0∈[－1,2]，使g(x1)＝f(x0)，则实数m的取值范围是________．
【例1】　已知f(x)是二次函数，不等式f(x)<0的解集是(0,5) ，且f(x)在区间[－1,4]上的最大值是12.
(1) 求f(x)的解析式；
(2) 是否存在整数m使得方程f(x)＋＝0在区间(m，m＋1)内有且只有两个不等的实数根？若存在，求出m值；若不存在，说明理由．
【例2】　 已知函数f(x)＝x2＋(x≠0，常数a∈R)．
(1) 讨论函数f(x)的奇偶性，并说明理由；
(2) 若函数f(x)在x∈[2，＋∞)上为增函数，求a的取值范围．
【例3】　设函数f(x)＝x2＋|2x－a|(x∈R，常数a为实数)．
(1) 若f(x)为偶函数，求实数a的值；
(2) 设a>2，求函数f(x)的最小值.
【例4】　(2011·苏锡常镇模拟)已知函数f(x)＝＋a|x|，a为实数．
(1) 当a＝1，x∈[－1,1]时，求函数f(x)的值域；
(2) 设m、n是两个实数，满足m＜n，若函数f(x)的单调减区间为(m，n)，且n－m≤，求a的取值范围．
1. (2011·辽宁)若函数f(x)＝为奇函数，则a＝________.
2.(2011·湖北)若定义在R上的偶函数f(x)和奇函数g(x)满足f(x)＋g(x)＝ex，则g(x)＝________.
3.(2011·上海)设g(x)是定义在R上、以1为周期的函数，若f(x)＝x＋g(x)在[0,1]上的值域为[－2,5]，则f(x)在区间[0,3]上的值域为____________．
4.(2011·北京)已知点A(0,2)，B(2,0)，若点C在函数y＝x2的图象上，则使得△ABC的面积为2的点C的个数为________．
5.(2011·上海) 已知函数f(x)＝a·2x＋b·3x，其中常数a，b满足ab≠0.
(1) 若ab>0，判断函数f(x)的单调性；
(2) 若ab<0，求f(x＋1)>f(x)时x的取值范围．
6.(2011·湖北)提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v(单位：千米/小时)是车流密度x(单位：辆/千米)的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时．研究表明：当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数．
(1) 当0≤x≤200时，求函数v(x)的表达式；
(2) 当车流密度x为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时)f(x)＝x·v(x)可以达到最大，并求出最大值．(精确到1辆/小时)
(2011·镇江一模)(本小题满分14分)已知函数f(x)＝3－2log2x，g(x)＝log2x.
(1) 如果x∈[1,4]，求函数h(x)＝(f(x)＋1)g(x)的值域；
(2) 求函数M(x)＝的最大值；
(3) 如果对不等式f(x2)f()＞kg(x)中的任意x∈[1,4]，不等式恒成立，求实数k的取值范围．
解：令t＝log2x，(1分)
(1) h(x)＝(4－2log2x)·log2x＝－2(t－1)2＋2，(2分)
∵ x∈[1,4]，∴ t∈[0,2]，(3分)
∴ h(x)的值域为[0,2]．(4分)
(2) f(x)－g(x)＝3(1－log2x)，
当0＜x≤2时，f(x)≥g(x)；当x＞2时，f(x)＜g(x)，(5分)
∴ M(x)＝　M(x)＝(6分)
当0＜x≤2时，M(x)最大值为1；(7分)
当x＞2时，M(x)＜1.(8分)
综上：当x＝2时，M(x)取到最大值为1.(9分)
(3) 由f(x2)f()＞kg(x)，得(3－4log2x)(3－log2x)＞k·log2x，
∵ x∈[1,4]，∴ t∈[0,2]，
∴ (3－4t)(3－t)＞kt对一切t∈[0,2]恒成立，(10分)
①当t＝0时，k∈R；(11分)
②t∈(0,2]时，k＜恒成立，即k＜4t＋－15，(12分)
∵ 4t＋≥12，当且仅当4t＝，即t＝时取等号．(13分)
∴ 4t＋－15的最小值为－3.
综上：k＜－3.(14分)
第2讲　函数、图象及性质
1. 已知a＝，函数f(x)＝ax，若实数m、n满足f(m)＞f(n)，则m、n的大小关系为________．
【答案】　m＜n　解析： 考查指数函数的单调性
a＝∈(0,1)，函数f(x)＝ax在R上递减．由f(m)＞f(n)得：m2. 设a为实数，函数f(x)＝2x2＋(x－a)|x－a|.
(1) 若f(0)≥1，求a的取值范围；
(2) 求f(x)的最小值；
(3) 设函数h(x)＝f(x)，x∈(a，＋∞)，直接写出(不需给出演算步骤)不等式h(x)≥1的解集．
点拨： 本小题主要考查函数的概念、性质、图象及解一元二次不等式等基础知识，考查灵活运用数形结合、分类讨论的思想方法进行探索、分析与解决问题的综合能力．
解：(1) 若f(0)≥1，则－a|a|≥1??a≤－1.
∴ a的取值范围是(－∞，－1]
(2) 当x≥a时，f(x)＝3x2－2ax＋a2，
f(x)min＝＝
当x≤a时，f(x)＝x2＋2ax－a2，f(x)min＝＝
综上f(x)min＝
(3) x∈(a，＋∞)时，h(x)≥1得3x2－2ax＋a2－1≥0，Δ＝4a2－12(a2－1)＝12－8a2.
当a≤－或a≥时，Δ≤0，x∈(a，＋∞)；
当－＜a＜时，Δ＞0，得：
讨论得：当a∈时，解集为(a，＋∞)；
当a∈时，解集为∪
当a∈时，解集为.
综上，当a∈∪时，解集为(a，＋∞)，当a∈时，解集为，当a∈时，解集为∪.
基础训练
1. x2＋x
2. (－∞，－1)∪(－1,0)　解析：?x＜0，x≠－1.
3. －4　解析：函数图象关于直线x＝1对称，则f(x)＝f(2－x)，函数图象关于点(2 , 0)对称，则f(x)＝－f(4－x)，∴ f(x＋2)＝－f(x)，∴ f(x＋4)＝f(x)，
∴ f＝f＝f，又f＝－f＝
－f，f＋f＝2f＝－2f＝－4.
4. 　解析：x∈[－1,2]时，f(x)∈[－1,3]．m≥0，x∈[－1,2]时，g(x)∈[2－m,2＋2m]；m＜0，x∈[－1,2]时，g(x)∈[2＋2m,2－m]．m≥0，[2－m，2＋2m]?[－1,3]；m＜0，[2＋2m,2－m]?[－1,3]得0≤m≤或－1≤m<0，故实数m的取值范围是.
例题选讲
例1　解： (1) ∵ f(x)是二次函数，且f(x)＜0的解集是(0,5), ∴ 可设f(x)＝ax(x－5)(a＞0)．
∴ f(x)在区间[－1,4]上的最大值是f(－1)＝6a.
由已知得6a＝12, ∴ a＝2, ∴ f(x)＝2x(x－5)＝2x2－10x(x∈R)．
(2) 方程f(x)＋＝0等价于方程2x3－10x2＋37＝0.设h(x)＝2x3－10x2＋37，则h′(x)＝6x2－20x＝2x(3x－10)．
当x∈时，h′(x)＜0，h(x)是减函数；当x∈时，h′(x)＞0，h(x)是增函数．
∵ h(3)＝1＞0，h＝－＜0，h(4)＝5＞0，∴ 方程h(x)＝0在区间，内分别有唯一实数根，而在区间(0,3)，(4，＋∞)内没有实数根，所以存在唯一的自然数m＝3，使得方程f(x)＋＝0在区间(m，m＋1)内有且只有两个不同的实数根．
变式训练　已知函数y＝f (x)是定义在R上的周期函数，周期T＝5，函数y＝f(x)(－1≤x≤1)的图象关于原点对称．又知y＝f(x)在[0,1]上是一次函数，在[1,4]上是二次函数，且在x＝2时函数取得最小值－5.
(1) 证明：f(1)＋f(4)＝0；
(2)求y＝f(x)，x∈[1,4]的解析式；
(3)求y＝f(x)在[4,9]上的解析式．
(1)证明： ∵ f (x)是以5为周期的周期函数，∴ f(4)＝f(4－5)＝f(－1)，
又∵ y＝f(x)(－1≤x≤1)关于原点对称，∴ f(1)＝－f(－1)＝－f(4),
∴ f(1)＋f(4)＝0.
(2)解： 当x∈[1,4]时，由题意可设f(x)＝a(x－2)2－5(a＞0)，
由f(1)＋f(4)＝0得a(1－2)2－5＋a(4－2)2－5＝0，∴ a＝2，
∴ f(x)＝2(x－2)2－5(1≤x≤4)．
(3)解： ∵ y＝f(x)(－1≤x≤1)是奇函数，∴ f(0)＝0，又知y＝f(x)在[0,1]上是一次函数，∴ 可设f(x)＝kx(0≤x≤1)，而f(1)＝2(1－2)2－5＝－3，∴ k＝－3，∴ 当0≤x≤1时，f(x)＝－3x，从而当－1≤x＜0时，f(x)＝－f(－x)＝－3x，故－1≤x≤1时，f(x)＝－3x，∴ 当4≤x≤6时，有－1≤x－5≤1，∴ f(x)＝f(x－5)＝－3(x－5)＝－3x＋15，
当6＜x≤9时，1＜x－5≤4，∴ f(x)＝f(x－5)＝2[(x－5)－2]2－5＝2(x－7)2－5，∴ f(x)＝
点评：紧抓函数几个性质，将未知的转化为已知的，注意函数图象及端点值．
例2　解： (1) 当a＝0时，f(x)＝x2，对任意x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，f(－x)＝(－x)2＝x2＝f(x), ∴ f(x)为偶函数．
当a≠0时，f(x)＝x2＋(a≠0，x≠0)，
取x＝±1，得f(－1)＋f(1)＝2≠0，f(－1)－f(1)＝－2a≠0，
∴ f(－1)≠－f(1)，f(－1)≠f(1)，
∴ 函数f(x)既不是奇函数，也不是偶函数．
(2) (解法1)设2≤x1＜x2，
f(x1)－f(x2)＝x＋－x－＝[x1x2(x1＋x2)－a]，
要使函数f(x)在x∈[2，＋∞)上为增函数，必须f(x1)－f(x2)＜0恒成立．
∵ x1－x2＜0，x1x2＞4，即a＜x1x2(x1＋x2)恒成立．
又∵ x1＋x2＞4, ∴ x1x2(x1＋x2)＞16.
∴ a的取值范围是(－∞，16]．
(解法2)当a＝0时，f(x)＝x2，显然在[2，＋∞)为增函数．
当a＜0时，反比例函数在[2，＋∞)为增函数，
∴ f(x)＝x2＋在[2，＋∞)为增函数．
当a＞0时，同解法1.
(解法3)f′(x)＝2x－≥0，对x∈[2，＋∞)恒成立．∴ a≤2x3而y≤2x3.在[2，＋∞)上单调增，最小值为16，∴ a≤16.
点评：本题主要考查函数奇偶性、单调性及分类讨论处理含参数问题．
例3　解：(1) 由已知f(－x)＝f(x)，即|2x－a|＝|2x＋a|，解得a＝0.
(2) f(x)＝
当x≥a时，f(x)＝x2＋2x－a＝(x＋1)2－(a＋1)，
由a＞2，x≥a，得x＞1，从而x＞－1，又f′(x)＝2(x＋1)，
故f(x)在x≥a时单调递增，f(x)的最小值为f＝；
当x＜a时，f(x)＝x2－2x＋a＝(x－1)2＋(a－1)，
故当1＜x＜时，f(x)单调递增，当x＜1时，f(x)单调递减，
则f(x)的最小值为f(1)＝a－1；
由－(a－1)＝＞0，知f(x)的最小值为a－1.
点评：本题考查二次函数含参数最值的讨论方法．
变式训练　已知函数f(x)＝x|x－2|.设a＞0，求f(x)在[0，a]上的最大值．
解： f(x)＝x|x－2|＝
∴ f(x)的单调递增区间是(－∞，1]和[2，＋∞); 单调递减区间是[1,2]．
① 当0＜a≤1时，f(x)是[0，a]上的增函数，此时f(x)在[0，a]上的最大值是f(a)＝a(2－a)；
② 当1＜a≤2时，f(x)在[0,1]上是增函数，在[1，a]上是减函数，此时f(x)在[0，a]上的最大值是f(1)＝1；
③ 当a＞2时，令f(a)－f(1)＝a(a－2)－1＝a2－2a－1＞0, 解得a＞1＋.
若2＜a≤1＋，则f(a)≤f(1)，f(x)在[0，a]上的最大值是f(1)＝1；
若a＞1＋，则f(a)＞f(1)，f(x)在[0，a]上的最大值是f(a)＝a(a－2)．
综上，当0＜a＜1时，f(x)在[0，a]上的最大值是a(2－a)；当1≤a≤1＋时，f(x)在[0，a]上的最大值是1；当a＞1＋时，f(x)在[0，a]上的最大值是a(a－2)．
例4　解： 设y＝f(x)，
(1) a＝1时，f(x)＝＋|x|，
当x∈(0,1]时，f(x)＝＋x为增函数，y的取值范围为(1,1＋]．
当x∈[－1,0]时，f(x)＝－x，令t＝，0≤t≤1，
则x＝t2－1，y＝－2＋，0≤t≤1，y的取值范围为.
∵ ＜1＋，
∴x∈[1,1]时，函数f(x)的值域为[1,1＋]．
(2) 令t＝，则x＝t2－a，t≥0，y＝g(t)＝t＋a|t2－a|.
① a＝0时，f(x)＝无单调减区间；
② a＜0时，y＝g(t)＝at2＋t－a2，在上g(t)是减函数，则在上f(x)是减函数．∴a＜0不成立．
③ a＞0时，y＝g(t)＝
仅当＜，即a＞时，
在t∈时，g(t)是减函数，即x∈时，f(x)是减函数．
∴n－m＝a－≤，即(a－2)(16a2＋a＋2)≤0. ∴a≤2.
故a的取值范围是.
高考回顾
1. 　解析：f(－x)＝－f(x)恒成立或从定义域可直接得到．
2. g(x)＝　解析： 因为函数f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，所以f(－x)＋g(－x)＝f(x)－g(x)＝e－x.
又因为f(x)＋g(x)＝ex，所以g(x)＝.
3. [－2,7]　解析：设x1∈[0,1]，则f(x1)＝x1＋g(x1)∈[－2,5]，∵ g(x)是定义域为R周期为1的函数，∴ 当x2∈[1,2]时，f(x2)＝x1＋1＋g(x1＋1)＝1＋x1＋g(x1)＝1＋f(x1)∈[－1,6]，当x2∈[2,3]时，f(x2)＝x1＋2＋g(x1＋2)＝2＋x1＋g(x1)＝2＋f(x1)∈[0,7]，∴ f(x)在区间[0,3]上的值域为[－2,7]．
4. 4　解析：AB＝2，直线AB的方程为x＋y＝2，在y＝x2上取点C(x，y)，点C(x，y)到直线AB的距离为，＝，|x＋x2－2|＝2，此方程有四个解．
5. 解：(1) 当a＞0，b＞0时，任意x1，x2∈R，x1＜x2，
则f(x1)－f(x2)＝a(2x1－2x2)＋b(3x1－3x2)，
∵ 2x1＜2x2，a＞0?a(2x1－2x2)＜0,3x1＜3x2，b＞0?b(3x1－3x2)＜0，
∴ f(x1)－f(x2)＜0，函数f(x)在R上是增函数．
当a＜0，b＜0时，同理函数f(x)在R上是减函数．
(2) f(x＋1)－f(x)＝a·2x＋2b·3x＞0，当a＜0，b＞0时，x＞－，则
x＞log1.5；当a＞0，b＜0时，x＜－，则x＜log1.5.
6. 解：(1) 由题意：当0≤x≤20时，v(x)＝60；当20≤x≤200时，设v(x)＝ax＋b，
显然v(x)＝ax＋b在[20,200]是减函数，由已知得解得　故函数v(x)的表达式为v(x)＝
(2) 依题意并由(1)可得f(x)＝
当0≤x≤20时，f(x)为增函数，故当x＝20时，其最大值为60×20＝1 200；
当20当且仅当x＝200－x，即x＝100时，等号成立．
所以，当x＝100时，f(x)在区间[20,200]上取得最大值.
综上，当x＝100时，f(x)在区间[0,200]上取得最大值≈3 333，
即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3 333辆/小时．　概率与统计
1. 了解抽样方法、总体分布的估计与总体特征数的估计．统计部分在高考中依然会以填空题的形式出现，主要考查数据处理意识和初步的数据处理能力，难度较小．
2. 了解随机事件概率及几何概型，掌握古典概型的处理方法，了解互斥事件及其发生的概率．概率部分在高考中主要还是以填空题的形式出现．
1. 某单位200名职工的年龄分布情况如右图所示，先要从中抽取40名职工样本，用系统抽样法，将全体职工随机按1～200编号，并按编号顺序平均分成40组(1～5号，6～10号……，196～200号)．若第5组抽出的号码为22，则第8组抽出的号码应该是________．若用分层抽样法，则40岁以下年龄段应取________人．
2.设a∈{－1,0,1,3}，b∈{－2,4}，则以(a，b)为坐标的点落在第四象限的概率为________．
3.某人在上班途中所花的时间分布为x，y,10,11,9.已知这组数据的平均数为10，方差为2，则x2＋y2的值为________．
4.在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝7，在矩形内任取一点P，∠APB>90°的概率是________．
【例1】　某初级中学共有学生2 000名，各年级男、女生人数如下表：
初一年级 初二年级 初三年级
女生 373 x y
男生 377 370 z
已知在全校学生中随机抽取1名，抽到初二年级女生的概率是0.19.
(1) 求x的值；
(2) 先用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，问应在初三年级抽取多少名？
(3) 已知y≥245，z≥245，求初三年级中女生比男生多的概率．
【例2】　从长度分别为2、3、4、5的四条线段中任意取出三条，求以这三条线段为边可以构成三角形的概率．
【例3】　已知椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率为，短轴的一个端点到右焦点的距离为5.
(1) 求椭圆的方程；
(2) 若“椭圆的长半轴长为a，短半轴长为b时，则椭圆的面积为πab” .请针对(1)中的椭圆，求解下列问题：
①若m，n是实数，且|m|≤5, |n|≤4.求点P(m, n)落在椭圆内的概率；
②若m，n是整数，且|m|≤5, |n|≤4.求点P(m, n)落在椭圆外的概率及P落在椭圆上的概率．
【例4】　某学科在市模考后从全年级抽出50名学生的学科成绩作为样本进行分析，得到样本频率分布直方图如图所示．
(1) 估计该次考试该学科的平均成绩；
(2) 为详细了解每题的答题情况，从样本中成绩在70～90之间的试卷中任选2份进行分析，求至少有1份试卷成绩在70～80之间的概率．
1. (2011·江苏)从1,2,3,4这四个数中一次随机取两个数，则其中一个数是另一个的两倍的概率为________．
2. (2011·山东)某高校甲、乙、丙、丁四个专业分别有150、150、400、300名学生，为了解学生的就业倾向，用分层抽样的方法从该校这四个专业共抽取40名学生进行调查，应在丙专业抽取的学生人数为________．
3. (2011·江苏)某老师从星期一到星期五收到信件数分别是10,6,8,5,6，则该组数据的方差s2＝________.
4. (2011·湖南)已知圆C：x2＋y2＝12，直线l：4x＋3y＝25.
(1) 圆C的圆心到直线l的距离为____________；
(2) 圆C上任意一点A到直线l的距离小于2的概率为________．
5. (2011·北京)以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵数．乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X表示.
甲组 乙组
9 9 0 X 8 9
1 1 1 0
(1) 如果X＝8，求乙组同学植树棵数的平均数和方差；
(2) 如果X＝9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵数为19的概率．(注：方差s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2]，其中为x1，x2，…，xn的平均数)
6.(2011·全国)某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于102的产品为优质品．现用两种新配方(分别称为A配方和B配方)做试验，各生产了100件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到下面实验结果：
A配方的频数分布表
指标值分组 [90,94) [94,98) [98,102) [102,106) [106,110]
频数 8 20 42 22 8
B配方的频数分布表
指标值分组 [90,94) [94,98) [98,102) [102,106) [106,110]
频数 4 12 42 32 10
(1) 分别估计用A配方、B配方生产的产品的优质品率；
(2) 已知用B配方生产的一种产品利润y(单位：元)与其质量指标值t的关系式为y＝
估计用B配方生产的一件产品的利润大于0的概率，并求用B配方生产的上述100件产品平均一件的利润．
(2011·四川)本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多．某自行车租车点的收费标准是每车每次租车不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费标准为2元(不足1小时的部分按1小时计算)．有甲、乙两人互相独立来该租车点租车骑游(各租一车一次)．设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为、；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为、；两人租车时间都不会超过四小时．
(1) 分别求出甲、乙在三小时以上且不超过四小时还车的概率；
(2) 求甲、乙两人所付的租车费用之和小于6元的概率．
解：(1) 分别记甲、乙在三小时以上且不超过四小时还车为事件A、B，则
P(A)＝1－－＝，P(B)＝1－－＝.(5分)
答：甲、乙在三小时以上且不超过四小时还车的概率分别为、.(6分)
(2) 记甲、乙两人所付的租车费用之和小于6元为事件C，(7分)
则P(C)＝＋＋＝.(11分)
答：甲、乙两人所付的租车费用之和小于6元的概率为.(12分)
第16讲　概率与统计
1. 在如图所示的茎叶图中，甲、乙两组数据的中位数分别是________，________.
【答案】　45　46
2. 投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A，“骰子向上的点数是3”为事件B，则事件A，B中至少有一件发生的概率是____________．
【答案】　
3. 样本容量为200的频率分布直方图如图所示．根据样本的频率分布直方图估计，样本数据落在[6,10)内的频数为__________，数据落在[2,10)内的概率约为____________．
【答案】　64　0.4
4. 在区间[－1,2]上随机取一个数x，则|x|≤1的概率为____________．
【答案】　
5. 为了了解某市工厂开展群众体育活动的情况，拟采用分层抽样的方法从A，B，C三个区中抽取7个工厂进行调查．已知A，B，C区中分别有18,27,18个工厂．
(1) 求从A，B，C区中应分别抽取的工厂个数；
(2) 若从抽得的7个工厂中随机地抽取2个进行调查结果的对比，用列举法计算这2个工厂中至少有1个来自A区的概率．
解：(1) 工厂总数为18＋27＋18＝63，样本容量与总体中的个体数比为＝，所以从A，B，C三个区中应分别抽取的工厂个数为2,3,2.
(2) 设A1，A2为在A区中抽得的2个工厂，B1，B2，B3为在B区中抽得的3个工厂，C1，C2为在C区中抽得的2个工厂．在这7个工厂中随机抽取2个，全部可能的结果有(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A1，C1)，(A1，C2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A2，C1)，(A2，C2)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B1，C1)，(B1，C2)，(B2，B3)，(B2，C1)，(B2，C2)，(B3，C1)，(B3，C2)，(C1，C2)，共有21种．
随机地抽取的2个工厂至少有1个来自A区的结果(记为事件X)有(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A1，C1)，(A1，C2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A2，C1)，(A2，C2)，共有11种．
所以这2个工厂中至少有1个来自A区的概率为P(X)＝.
6. 育新中学的高二一班男同学有45名，女同学有15名，老师按照分层抽样的方法组建了一个4人的课外兴趣小组．
(1) 求某同学被抽到的概率及课外兴趣小组中男、女同学的人数；
(2) 经过一个月的学习、讨论，这个兴趣小组决定选出两名同学做某项实验，方法是先从小组里选出1名同学做实验，该同学做完后，再从小组内剩下的同学中选一名同学做实验，求选出的两名同学中恰有一名女同学的概率；
(3) 实验结束后，第一次做实验的同学得到的实验数据为68,70,71,72,74，第二次做验的同学得到的实验数据为69,70,70,72,74，请问哪位同学的实验更稳定？并说明理由．
解：(1) P＝＝＝，∴ 某同学被抽到的概率为，
设有x名男同学，则＝，∴ x＝3，∴ 男、女同学的人数分别为3,1.
(2) 把3名男同学和1名女同学记为a1，a2，a3，b，则选取两名同学的基本事件有：(a1，a2)，(a1，a3)，(a1，b)，(a2，a1)，(a2，a3)，(a2，b)，(a3，a1)，(a3，a2)，(a3，b)，(b，a1)，(b，a2)，(b，a3)共12种，其中有一名女同学的有6种，
∴ 选出的两名同学中恰有一名女同学的概率为P＝＝.
(3) 1＝＝71，
2＝＝71，
s＝＝4，
s＝＝3.2.
∴ 第二次做实验的同学的实验更稳定．
基础训练
1. 37　20　解析：系统抽样的编号构成等差数列，公差是5，故第8组抽出的号码为22＋(8－5)×5＝37；50%×40＝20.
2. 　解析：枚举所有点对有8个，落在第四象限的有2个，故所求概率P＝＝.
3. 208　解析：x＋y＋10＋11＋9＝50,2＝[(x－10)2＋(y－10)2＋1＋1]，解得或　所以x2＋y2＝208.
4. 　解析：这是一道几何概率，点P在以AB为直径的半圆内，所求概率P＝＝＝.
例题选讲
例1　解：(1) x＝2 000×0.19＝380.
(2) 初三年级共有学生人数2 000－(373＋377)－(380＋370)＝500人，
初三应抽取48×＝12人．
(3) 记女生比男生多为事件A.∵ ∴ (y，z)的可能取值有(245,255)，(246,254)，(247,253)，…，(254,246)，(255,245)，共有11组，其中女生比男生多，即y＞z的有5组，则P(A)＝.
例2　点拨：本题考查古典概型，用枚举法列出所有的基本事件．
解：依据四条边长可得满足条件的三角形有三种情况：2、3、4或3、4、5或2、4、5，故P＝＝＝0.75.
变式训练　现有5根竹竿，它们的长度(单位：m)分别为2.5,2.6,2.7,2.8,2.9.若从中一次随机抽取2根竹竿，则它们的长度恰好相差0.3 m的概率为__________．
解：从5根竹竿中一次随机抽取2根的可能的事件总数为10，它们的长度恰好相差0.3 m的事件数为2，分别是：2.5和2.8,2.6和2.9，所求概率为0.2.
例3　点拨：本题考查对古典概型和几何概型的理解．
解：(1) a＝5，c＝3，∴ b＝4，∴ 椭圆方程是＋＝1.
(2) 椭圆的面积是20π.
① 记点P(m，n)落在椭圆内为事件A，则P(A)＝＝，即P(m，n)落在椭圆内的概率为.
② 记点P(m，n)落在椭圆外为事件B，(m，n)共有11×9＝99个，其中在第一象限内符合事件B的有(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(4,3)，(4,4)，(3,4)，(2,4)，(1,4)9个，由对称性知事件B共包括9×4＝36个，则P(B)＝＝，即P(m，n)落在椭圆外的概率是.同时易知落在椭圆上的概率是.
例4　解：(1) 用每组中的平均值作为每组中的样本数据，直接算得平均成绩为103.4.
(2) 样本中成绩在70～80之间有2人，设其编号为①②，样本中成绩在80～90之间有4人，设其编号为③④⑤⑥，从上述6人中任取2人的所有选取可能为：
①②，①③，①④，①⑤，①⑥；②③，②④，②⑤，②⑥；③④，③⑤，③⑥；④⑤，④⑥；⑤⑥.
故从样本中成绩在70～90之间任选2人所有可能结果数为15，至少有1人成绩在70～80之间可能结果数为9，因此，所求概率为P2＝0.6.
高考回顾
1. 　解析：这是一道古典概型，用枚举．四个数中取两个数有6种，其中一个数是另一个数的两倍有(1,2)，(2,4)，故所求概率P＝＝.
2. 16　解析：×40＝16.
3. 　解析：平均数为7，代入方差公式s2＝[(10－7)2＋(6－7)2＋(8－7)2＋(5－7)2＋(6－7)2]＝.
4. (1) 5　解析：利用点到直线的距离公式d＝＝5；
(2) 　解析：圆心到直线的距离为5，要使圆上点到直线的距离小于2，即l1：4x＋3y＝15与圆相交所得劣弧上，由半径为2，圆心到直线的距离为3可知劣弧所对圆心角为，故所求概率为P＝＝.
5. 解：(1) 当X＝8时，由茎叶图可知，乙组同学的植树棵数是：8,8,9,10，
所以平均数为＝＝.
方差为s2＝＝.
(2) 记甲组四名同学为A1，A2，A3，A4，他们植树的棵数依次为9,9,11,11；乙组四名同学为B1，B2，B3，B4，他们植树的棵数依次为9,8,9,10，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，所有可能的结果有16个，它们是：
(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A1，B4)，
(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A2，B4)，
(A3，B1)，(A3，B2)，(A3，B3)，(A3，B4)，
(A4，B1)，(A4，B2)，(A4，B3)，(A4，B4)，
用C表示：“选出的两名同学的植树总棵数为19”这一事件，则C中的结果有4个，它们是：(A1，B4)，(A2，B4)，(A3，B2)，(A4，B2)，故所求概率为P(C)＝＝.
6. 解：(1) 由实验结果知，用A配方生产的产品中优质的频率为＝0.3，所以用A配方生产的产品的优质品率的估计值为0.3.
由实验结果知，用B配方生产的产品中优质品的频率为＝0.42，所以用B配方生产的产品的优质品率的估计值为0.42.
(2) 由条件知用B配方生产的一件产品的利润大于0当且仅当其质量指标值t≥94，由实验结果知，质量指标值t≥94的频率为0.96，所以用B配方生产的一件产品的利润大于0的概率估计值为0.96.
用B配方生产的产品平均一件的利润为
×[(4×(－2)＋54×2＋42×4)]＝2.68(元)．