专题10 概率、统计与统计案例-备战2021年高考数学二轮复习题型专练（全国通用）

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专题10 概率、统计与统计案例
【要点提炼】
1.抽样方法
抽样方法包括简单随机抽样、分层抽样，两种抽样方法都是等概率抽样，体现了抽样的公平性，但又各有其特点和适用范围.
2.统计中的四个数据特征
(1)众数：在样本数据中，出现次数最多的那个数据.
(2)中位数：在样本数据中，将数据按大小顺序排列，位于最中间的数据.如果数据的个数为偶数，就取中间两个数据的平均数作为中位数.21·世纪*教育网
(3)平均数：样本数据的算术平均数，即＝(x1＋x2＋…＋xn).
(4)方差与标准差.
s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2]，
s＝.
3.直方图的两个结论
(1)小长方形的面积＝组距×＝频率.
(2)各小长方形的面积之和等于1.
4.回归分析与独立性检验
(1)回归直线＝x＋经过样本点的中心(，)，若x取某一个值代入回归直线方程＝x＋中，可求出y的估计值.
(2)独立性检验
对于取值分别是{x1，x2}和{y1，y2}的分类变量X和Y，其样本频数列联表是：
y1 y2 总计
x1 a b a＋b
x2 c d c＋d
总计 a＋c b＋d n
则K2＝(其中n＝a＋b＋c＋d为样本容量).
5.概率模型公式及相关结论
(1)古典概型的概率公式.
P(A)＝＝.
(2)条件概率.
在A发生的条件下B发生的概率：P(B|A)＝＝.
(3)相互独立事件同时发生的概率：若A，B相互独立，则P(AB)＝P(A)·P(B).
(4)若事件A，B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，
P()＝1－P(A).
【方法指导】
1、古典概型求解的关键点
（1）正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数，这常常用到排列、组合的有关知识；
（2）对于较复杂的题目计数时要正确分类，分类时应不重不漏。
2、几何概型的适用条件及其关键
（1）适用条件：当构成实验的结果的区域为长度、面积、体积、弧长、夹角等时，应考虑使用几何概型；
（2）关键：寻找构成实验全部结果的区域和事件发生的区域是关键，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域。
3、求相互独立事件同时发生的概率的主要方法：
（1）利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解。运用公式 时，一定要注意公式成立的条件，只有当事件 相互独立时，公式才成立；
（2）正面计算较繁琐（如求用“至少”表述的事件的概率）或难以入手时，可从其对立事件入手计算。
4、平均数反映_?????°????????????_平均水平，而方差、标准差描述了一组数据围绕平均数波动的大小，数据离散程度越大，越不稳定；标准差、方差越小，数据的离散程度越小，越稳定。21教育网
6、用样本估计总体就是利用样本的数字特征来描述总体的数字特征。
7、线性回归分析问题的类型及解题方法：
（1）、求线性回归方程：（1）利用公式，求出回归系数；（2）待定系数法：利用回归直线过样本的中心点求系数；
（2）、利用回归直线方程进行预测，把线性回归方程看作一次函数，求函数值；
（3）、利用回归直线判定正、负相关，决定正相关还是负相关的是系数.
8、独立性检验应用的三个步骤：
（1）根据样本数据画出列联表；
（2）根据公式，计算的值；
（3）查表比较与临界值的大小关系，得出结论。
命题点一 会求古典概型和几何概型
【典例1】（1）（2021·湖南永州市·高三二模）2019年湖南等8省公布了高考改革综合方案，将采取“”模式，即语文?数学?英语必考，考生首先在物理?历史中选择1门，然后在政治?地理?化学?生物中选择2门.则某同学选到物理?地理两门功课的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
计算所有基本事件的个数，然后计算选到物理?地理两门功课的基本事件个数为，最后根据古典概型的概念计算即可.21世纪教育网版权所有
【详解】
由题可知：所有基本事件的个数为：
某同学选到物理?地理两门功课的基本事件个数为：
所以所求概率为：
故选：C
（2）（2021·辽宁高三一模（文））中国古代几何中的勾股容圆，是阐述直角三角形中内切圆问题.此类问题最早见于《九章算术》“勾股”章，该章第题为：“今有勾八步，股十五步，间勾中容圆，径几何？”意思是“直角三角形的两条直角边分别为和，则其内切圆直径是多少？”若向上述直角三角形内随机抛掷颗米粒（大小忽略不计，取），落在三角形内切圆内的米粒数大约为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
求出直角三角形斜边长，利用等面积法求得内切圆半径，再求出三角形面积及内切圆面积，利用几何概型中面积型概率公式求解即可.【出处：21教育名师】
【详解】
直角三角形的斜边长为，设三角形内切圆的半径为，面积为，
利用等面积法可知，解得：，
向该直角三角形内随机抛掷颗米粒，设落在三角形内切圆内的米粒数大约为x,
则利用几何概型可知：，解得：颗.
所以落在三角形内切圆内的米粒数大约为45.
故选：C
【点睛】
关键点点睛：本题考查几何概型概率公式，利用等面积法求内切圆的半径时解题的关键，考查学的运算能力，属于基础题.
【方法总结】
1、古典概型求解的关键点
（1）正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数，这常常用到排列、组合的有关知识；
（2）对于较复杂的题目计数时要正确分类，分类时应不重不漏。
2、几何概型的适用条件及其关键
（1）适用条件：当构成实验的结果的区域为长度、面积、体积、弧长、夹角等时，应考虑使用几何概型；
（2）关键：寻找构成实验全部结果的区域和事件发生的区域是关键，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域。
【拓展练习】
1、（2021·广东揭阳市·高三_????¨?????????????_中国传统文化的瑰宝.中医方剂不是药物的任意组合，而是根据中药配伍原则，总结临床经验，用若干药物配制组成的药方，以达到取长补短、辨证论治的目的.中医传统名方“八珍汤”是由补气名方“四君子汤”（由人参、白术、茯苓、炙甘草四味药组成）和补血名方“四物汤”（由熟地黄、白芍、当归、川芎四味药组成）两个方共八味药组合而成的主治气血两虚证方剂.现从“八珍汤”的八味药中任取四味，取到的四味药刚好组成“四君子汤”或“四物汤”的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
依据古典概型的概念以及组合的知识简单计算可得结果.
【详解】
记取到的四味药刚好组成“四君子汤”或“四物汤”为事件.
依题意得.
故选: A
2、（2021·安徽安庆市·高三一模（理））蒙特卡洛算法是以概率和统计的理论?方法为基础的一种计算方法，将所求解的问题同一定的概率模型相联系；用均匀投点实现统计模拟和抽样，以获得问题的近似解，故又称统计模拟法或统计实验法现设计一个实验计算圆周率的近似值，向两直角边分别为6和8的直角三角形中均匀投点40个，落入其内切圆中的点有21个，则圆周率（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据几何概型的计算公式和题意即可求出结果.
【详解】
直角三角形内切圆的直径等于两直角边的和与斜边的差，即，
由几何概型得，从而.
故选：A.
【点睛】
利用几何概型的意义进行_?¨????è??é???????°_算不规则图形面积的大小，关键是要根据几何概型的计算公式，探究不规则图形面积与已知的规则图形的面积之间的关系，及它们与模拟试验产生的概率（或频数）之间的关系，并由此列出方程，解方程即可得到答案．21·cn·jy·com
命题点二 会求互相独立事件和独立重复实验的概率
【典例2】（2020·全国高三专题练习）某校为了增强学生的记忆力和辨识力，组织了一场类似《最强大脑》的PK赛，两队各由4名选手组成，每局两队各派一名选手PK，比赛四局.除第三局胜者得2分外，其余各局胜者均得1分，每局的负者得0分.假设每局比赛A队选手获胜的概率均为，且各局比赛结果相互独立，比赛结束时A队的得分高于B队的得分的概率为( )2·1·c·n·j·y
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
先确定A队的得分高于B队的得分的情况，再分类讨论利用独立事件乘法公式求对应情况的概率，最后根据加法计数原理求结果.
【详解】
A队的得分高于B队的得分的情况有三种：A队的得分为5分，A队的得分为4分，A队的得分为3分.
当A队的得分为5分时，概率为
当A队的得分为4分时，概率为
当A队的得分为3分时，概率为
因此所求概率为
故选：C
【点睛】
本题考查独立事件乘法公式、分类加法计数原理，考查基本分析求解能力，属基础题.
【方法总结】
求相互独立事件同时发生的概率的主要方法：
（1）利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解。运用公式 时，一定要注意公式成立的条件，只有当事件 相互独立时，公式才成立；
（2）正面计算较繁琐（如求用“至少”表述的事件的概率）或难以入手时，可从其对立事件入手计算。
【拓展练习】
3、（2020·天津和平区·高三二模）已知甲、乙两人独立出行，各租用共享单车一次（假定费用只可能为、、元）．甲、乙租车费用为元的概率分别是、，甲、乙租车费用为元的概率分别是、，则甲、乙两人所扣租车费用相同的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
甲、乙两人所扣租车费用相同即同为1元，或同为2元，或同为3元，由独立事件的概率公式计算即得．
【详解】
由题意甲、乙租车费用为3元的概率分别是，
∴甲、乙两人所扣租车费用相同的概率为
．
故选：B．
【点睛】
本题考查独立性事件的概率．掌握独立事件的概率乘法公式是解题基础．
命题点三 利用条件概率公式求概率
【典例3】（2020·贵州毕节市·高三其他模拟（理））现从3名男医生和4名女医生中抽取两人加入“援鄂医疗队”，用表示事件“抽到的两名医生性别相同”，表示事件“抽到的两名医生都是女医生”，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
结合分类计数原理，计算出抽到的两名医生性别相同的概率，计算出抽到的两名医生都是女医生的概率，从而结合条件概率的计算公式即可求出.
【详解】
解：由题意知，，，
所以.
故选:C.
【点睛】
本题考查了条件概率的求解，考查了组合数的计算，考查了分类计数原理.
【方法总结】
条件概率放在总体情况下，关键是求 和 。而古典概型中， 发生的条件下 发生的条件概率公式为 ，其中，在实际应用中是一种重要的求条件概率的方法。
【拓展练习】
4、（2020·山西太原市·太原五中（理））甲乙二人争夺一场围棋比赛的冠军，若比赛为“三局两胜”制，甲在每局比赛中获胜的概率均为，且各局比赛结果相互独立，则在甲获得冠军的情况下，比赛进行了三局的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
求出甲获得冠军的概率、比赛进行了3局的概率，即可得出结论．
【详解】
由题意，甲获得冠军的概率为 ，
其中比赛进行了3局的概率为 ，
∴所求概率为 ，
故选B．
【点睛】
本题考查条件概率，考查相互独立事件概率公式，属于中档题.
命题点四 会解决用样本估计总体问题
【典例4】（2021·河南郑州市·高三一模（文））河阴石榴是河南省荥阳市的特产，距今已有多年的历史，河阴石榴籽粒大；色紫红，甜味浓，被誉为“中州名果”.河阴石榴按照果径大小可以分为四类；标准果、优质果、精品果、礼品果.某超市老板从采购的一批河阴石榴中随机抽取个，根据石榴的等级分类标准得到的数据如表所示:21*cnjy*com
等级 标准果 优质果 精品果 礼品果
个数



（1）求的值并计算礼品果所占的比例；
（2）用样本估计总体，超市老板参考以下两种销售方案进行销售：
方案1；不分类卖出，单价为元/；
方案2；分类卖出，分类后的水果售价如表所示:
等级 标准果 优质果 精品果 礼品果
售价(元/)



从超市老板的角度考虑，应该采用哪种方案较好?并说明理由.
【答案】（1），礼品果所占的比例为；（2）见解析.
【分析】
（1）求出的值，再得出礼品果所占的比例；
（2）求出方案2中水果的平均价格，并与方案一中的平均价格比较，从超市老板的销售利润角度考虑，采用方案2比较好，从超市老板后期对石榴分类的人力资源和时间成本角度考虑，采用方案比较好.
【详解】
（1），比例是
（2）理由一:设方案2的石榴售价平均数为.
因为
所以从超市老板的销售利润角度考虑，采用方案2比较好.
理由二:设方案2的石榴售价平均数为
虽然，但
从超市老板后期对石榴分类的人力资源和时间成本角度考虑，采用方案比较好.
【方法总结】
1、平均数反映了数据取值的_???????°???????è??_方差、标准差描述了一组数据围绕平均数波动的大小，数据离散程度越大，越不稳定；标准差、方差越小，数据的离散程度越小，越稳定。
2、用样本估计总体就是利用样本的数字特征来描述总体的数字特征。
【拓展练习】
5、（2021·赣州市赣县第三中学高二开学考试（理））某大学为调研学生在、两家餐厅用餐的满意度，从在、两家都用过餐的学生中随机抽取了人，每人分别对这两家餐厅进行评分，满分均为分.整理评分数据，将分数以为组距分为组：、、、、、，得到餐厅分数的频率分布直方图和餐厅分数的频数分布表：

餐厅分数的频数分布表
分数区间 频数
2
3
5
15
40
35
（1）在抽样的人中，求对餐厅评分低于的人数；
（2）从对餐厅评分在范围内的人中随机选出人，求人中恰有人评分在范围内的概率.
（3）如果从、两家餐厅中选择一家用餐，你会选择哪一家？说明理由.
【答案】（1）20人；（2）；（3）餐厅用餐，理由见解析.
【分析】
（1）计算前三个小矩形的面积和，即得结果；
（2）列举从这5人中随机选出2人的所有情况，利用古典概型的概率公式计算即可；
（3）分别计算两个餐厅得分低于分的人数所占的比例，再选择比例低的即可.
【详解】
（1）由餐厅分数的频率分布直方图，得对餐厅评分低于分的频率为：
，
∴对餐厅评分低于的人数为人；
（2）对餐厅评分在范内的有人，设为、，
对餐厅评分在范围内的有人，设为、、，
从这人中随机选出人的选法为：
、、、、、、、、、，共种，
其中恰有人评分在范围内的选法包括：
、、、、、，共种，
故人中恰有人评分在范围内的概率为；
（3）从两个餐厅得分低于分的人数所占的比例来看，由（1）得，抽样的人中，
餐厅评分低于的人数为，
∴餐厅评分低于分的人数所占的比例为，
餐厅评分低于分的人数为，
∴餐厅得分低于分的人数所占的比例为，
∴会选择餐厅用餐.
命题点五 会应用回归方程解决实际问题
【典例5】（2020·山东淄博市_?·é?????é???¨????_我国探月工程嫦娥五号探测器于2020年12月1日23时11分降落在月球表面预选着陆区，在顺利完成月面自动采样之后，成功将携带样品的上升器送入到预定环月轨道，这是我国首次实现月球无人采样和地外天体起飞，对我国航天事业具有重大而深远的影响，为进一步培养中学生对航空航天的兴趣爱好，某学校航空航天社团在本校高一年级进行了纳新工作，前五天的报名情况为：第1天3人，第2天6人，第3天10人，第4天13人，第5天18人，通过数据分析已知，报名人数与报名时间具有线性相关关系．
（1）已知第天的报名人数为，求关于的线性回归方程，并预测第7天的报名人数（结果四舍五入取整数）．
（2）该社团为了解中学生对航空航天的兴趣爱好和性别是否有关系，随机调查了100名学生，并得到如下列联表：
有兴趣 无兴趣 合计
男生 45 5 50
女生 30 20 50
合计 75 25 100
请根据上面的列联表判断能否在犯错误的概率不超过0．001的条件下认为“中学生对航空航天的兴趣爱好和性别有关系”
参考公式及数据：回归方程中斜率的最小二乘估计公式为：，；
，其中．
0.10 0.05 0.010 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
【答案】（1），25；（2）在犯错误的概率不超过0.001的条件下认为“中学生对航空航天的兴趣爱好和性别有关系”.
【分析】
（1）利用最小二乘法直接求解回归方程，进而预测第7天的报名人数；
（2）根据列联表直接求得，进而判断.
【详解】
解：（1）时间的平均数为，
报名人数的平均数为，
所以，
，
所以线性回归方程为，
把代入得，所以第7天的报名人数约为25．
（2）由列联表数据可得
因为，
所以，在犯错误的概率不超过0.001的条件下认为“中学生对航空航天的兴趣爱好和性别有关系”．
【点睛】
一是回归分析是对具有相关关_????????¤??????é??_进行统计分析的方法，只有在散点图大致呈线性时，求出的线性回归方程才有实际意义，否则，求出的线性回归方程毫无意义．二是根据回归方程进行预报，仅是一个预报值，而不是真实发生的值．
【方法总结】
线性回归分析问题的类型及解题方法：
1、求线性回归方程：（1）利用公式，求出回归系数；（2）待定系数法：利用回归直线过样本的中心点求系数；
2、利用回归直线方程进行预测，把线性回归方程看作一次函数，求函数值；
3、利用回归直线判定正、负相关，决定正相关还是负相关的是系数.
【拓展练习】
6、（2020·渝中区·重庆巴蜀中学高三月考（理））2020年初，武汉出现新型冠状病毒肺炎疫情，并快速席卷我国其他地区，口罩成了重要的防疫物资.某口罩生产厂不断加大投入，高速生产，现对其2月1日~2月9日连续9天的日生产量（单位：十万只，）数据作了初步处理，得到如图所示的散点图及一些统计量的值：



2.72 19 139.09 1095
注：图中日期代码1~9分别对应2月1日~2月9日；表中，.
（1）从9个样本点中任意选取2个，在2个点的日生产量都不高于三十万只的条件下，求2个都高于二十万只的概率；
（2）由散点图分析，样本点都集中在曲线的附近，请求y关于t的方程，并估计该厂从什么时候开始日生产量超过四十万只.
参考公式：回归直线方程是，，.
参考数据：.
【答案】（1）；（2），从2月14日开始日生产量超过四十万只.
【分析】
（1）设出事件，利用条件概率的概率公式即可求出概率.
（2）由，可得，即，利用已知数据求出、的值，再，两边同时求导即可.
【详解】
（1）9个样本点中日生产量都不高于三十万只的有5个，高于二十万只且不高于三十万只的有3个，
设事件A：所取2个点的日生产量都不高于三十万只，
事件B：所取2个点的日生产量高于二十万只，
事件：所取2个点的日生产量高于二十万只且不高于三十万只，
则，，
.
（2），，
，，
，
.
令，解得，
，即该厂从2月14日开始日生产量超过四十万只.
【点睛】
本题主要考查了求条件概率，以及求非线性回归方程，属于中档题.
命题点六 会求解独立性检验的应用问题
【典例6】（202_1?·??????é?????_其他模拟（理））针对偏远地区因交通不便?消息闭塞导致优质农产品藏在山中无人识的现象，各地区开始尝试将电商扶贫作为精准扶贫的重要措施.为了解电商扶贫的效果，某部门随机就100个贫困地区进行了调查，其当年的电商扶贫年度总投入(单位：万元)及当年人均可支配年收入(单位：元)的贫困地区数目的数据如下表：
人均可支配年收入(元) 电商扶贫年度总投入(万元) (5000，10000] (10000，15000] (15000，20000]
(0，500] 5 3 2
(500，1000] 3 21 6
(1000，3000) 2 34 24
（1）估计该年度_???è????°??°??????_均可支配年收入过万的概率，并求本年度这100个贫困地区的人均可支配年收入的平均值的估计值(同一组数据用该组数据区间的中间值代表)；21*cnjy*com
（2）根据所给数据完成下面的列联表，并判断是否有99%的把握认为当地的人均可支配年收入是否过万与当地电商扶贫年度总投入是否超过千万有关.
人均可支配年收入≤10000元 人均可支配年收入>10000元
电商扶贫年度总投入不超过1000万

电商扶贫年度总投入超过1000万

附：，其中.
0.050 0.01 0.005
3.841 6.635 7.879
【答案】（1）概率为，平均值的估计值为(元)；（2）列联表答案见解析，有99%的把握认为当地的人均可支配年收入是否过万与当地电商扶贫年度总投入是否超过千万有关.【来源：21·世纪·教育·网】
【分析】
（1）利用频率估计概率，再利用平均数公式估计平均值；
（2）根据题干完成联表，再根据公式计算，对照参数得出结论.
【详解】
解：（1）由所给数据可得，该年度内贫困地区人均可支配年收入过万的概率的估计值为.
本年度这100个贫困地区的人均可支配年收入的平均值的估计值为(元).
（2）列联表如下：
人均可支配年收入≤10000元 人均可支配年收入>10000元
电商扶贫年度总投入不超过1000万 8 32
电商扶贫年度总投入超过1000万 2 58
因为，
所以有99%的把握认为当地的人均可支配年收入是否过万与当地电商扶贫年度总投入是否超过千万有关.
【方法总结】
独立性检验应用的三个步骤：
（1）根据样本数据画出列联表；
（2）根据公式，计算的值；
（3）查表比较与临界值的大小关系，得出结论。
【拓展练习】
7、（2020·四川内江市·高_???????¨??????????_）网购是当前民众购物的新方式，某公司为改进营销方式，随机调查了100名市民，统计其周平均网购的次数，并整理得到如下的频数分布直方图，这100名市民中，年龄不超过40岁的有65人，将所抽样本中周平均网购次数不小于4次的市民称为网购迷，且已知其中有5名市民的年龄超过40岁．
（1）根据已知条件完成下面的列联表，能否在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为网购迷与年龄不超过40岁有关？
网购迷 非网购迷 合计
年龄不超过40岁


年龄超过40岁


合计


（2）若将所抽取样本中周平均_???è???????°???6_次的市民称为超级网购迷，且已知超级网购迷中有2名年龄超过40岁，若从超级网购迷中任意挑选2名，求至少有一名市民年龄超过40岁的概率．21教育名师原创作品
（附：）
0.15 0.10 0.05 0.01
2.072 2.706 3.841 6.635
【答案】（1）填表见解析；可以在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为网购迷与年龄不超过40岁有关；（2）．
【分析】
（1）根据题中数据即可完善列联表，然后计算出卡方值，和2.706比较即可得出；
（2）可得超级网购迷共有4名，超过40岁的2名市民为、，其余2名市民记为、，列出任取2人的所有基本事件，得出至少有1名市民年龄超过40岁的基本事件，即可求出概率.
【详解】
（1）由题意可得列联表如下：
网购迷 非网购迷 合计
年龄不超过40岁 20 45 65
年龄超过40岁 5 30 35
合计 25 75 100
根据列联表中的数据可得，
，
所以可以在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为网购迷与年龄不超过40岁有关．
（2）由频数分布直方图可知，超级网购迷共有4名，记其中年龄超过40岁的2名市民为、，其余2名市民记为、，【版权所有：21教育】
现从4人中任取2人，基本事件是、、、、、共有6种，至少有1名市民年龄超过40岁的基本事件是、、、、共有5种，
故所求的概率为．
【专题训练】
一、单选题
1．（2021·江_è??é????????????¨?_拟（文））如图所示的图案是由两个等边三角形构成的五角星，其中这两个等边三角形的三边分别对应平行，且各边都被交点三等分.若往该图案内投掷一点，则该点落在图中空白处(非阴影部分)的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据几何概型的概率公式，利用面积比可得结果.
【详解】
设这两个等边三角形的边长为，
依题意可知，图案中个黑色三角形都是边长为的等边三角形，空白处是边长为的正五边形，因此该点落在图中空白处(非阴影部分)的概率为.
故选：B
2．（2021·广东梅州市·高_???????¨????è?????_年前，某老师刚退休的月退休金为4000元，月退休金各种用途占比统计图如下面的条形图.该老师退休后加强了体育锻炼，目前月退休金的各种用途占比统计图如下面的折线图.已知目前的月就医费比刚退休时少100元，则目前该老师的月退休金为（ ）21cnjy.com

A．5000元 B．5500元 C．6000元 D．6500元
【答案】A
【分析】
根据条形图计算出刚退休时就医费用，进而计算出现在的就医费用，结合目前就医费用所占退休金的比例可得出结果.
【详解】
刚退休时就医费用为元，现在的就医费用为元，占退休金的，
因此，目前该教师的月退休金为元.
故选：A
3．（2021·江苏盐城市·高三一模）某词汇研究机构为对某城市人们使用流行语的情况进行调查，随机抽取了200人进行调查统计得下方的列联表.则根据列联表可知（ ）

年轻人 非年轻人 总计
经常用流行用 125 25 150
不常用流行用语 35 15 50
总计 160 40 200
参考公式：独立性检验统计量，其中.
下面的临界值表供参考：
0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
A．有95%的把握认为“经常用流行用语”与“年轻人”有关系
B．没有95%的把握认为“经常用流行用语”与“年轻人”有关系
C．有97.5%的把握认为“经常用流行用语”与“年轻人”有关系
D．有97.5%的把握认为“经常用流行用语”与“年轻人”没有关系
【答案】A
【分析】
根据列联表求出观测值，对照临界值表，利用独立性检验的基本思想即可求解.
【详解】
，
根据临界值知有95%的把握认为经常用流行语与年轻人有关系，
故选：A
4．（2021·福建高三其他模拟）投壶是从先秦延续至清末的中国传统礼仪和宴饮游戏晋代在广泛开展投壶活动中，对投壶的壶也有所改进，即在壶口两旁增添两耳因此在投壶的花式上就多了许多名目，如“贯耳(投入壶耳)”.每一局投壶，每一位参赛者各有四支箭，投入壶口一次得分.投入壶耳一次得分，现有甲?乙两人进行投壶比赛(两人投中壶口?壶耳是相互独立的)，甲四支箭已投完，共得分，乙投完支箭，目前只得分，乙投中壶口的概率为，投中壶耳的概率为.四支箭投完，以得分多者赢请问乙赢得这局比赛的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
按照乙第三支箭_??????????????????_两类：（1）第三支箭投中壶口，第四支箭必须投入表耳；（2）第三支箭投入壶耳，第四支箭投入壶口?壶耳均可，即可求解.
【详解】
由题意，若乙要赢得这局比赛，按照乙第三支箭的情况可分为两类：
（1）第三支箭投中壶口，第四支箭必须投入表耳，其概率为；
（2）第三支箭投入壶耳，第四支箭投入壶口?壶耳均可，其概率为，
所以乙赢得这局比赛的概率为.
故选：A.
5．（2021·全国高三其他模拟）为促进就业，提升经济活力，2020年我国多个城市开始松绑“地摊经济”，市自大力发展“地摊经济”以来，夜市也火了起来，下表是市2020年月份代码与夜市的地摊摊位数(单位：万个)的统计数据：
月份 4月 5月 6月 7月 8月
月份代码 1 2 3 4 5
摊位数(万个) 290 330
440 480
若与线性相关，且求得其线性回归方程为，则表中的值为（ ）
A．340 B．360 C．380 D．无法确定
【答案】B
【分析】
根据回归直线方程过样本中心点，即可求解.
【详解】
由题意，根据表格中的数据，可得，
代入，可得，
又由，解得.
故选：B.
6．（2021·全国高_??????????¨???????_甲?乙两人进行围棋比赛，若其中一人连续赢两局，则比赛结束.已知每局比赛结果相互独立，且每局甲胜的概率为0.6(没有平局)，若比赛在第三局结束，则甲获胜的概率为（ ）www-2-1-cnjy-com
A．0.6 B．0.4 C．0.36 D．0.144
【答案】A
【分析】
利用条件概率的计算公式即可求解.
【详解】
“比赛在第三局结束”记为事件，“甲获胜”记为事件，
则.
故选：A
7．（2021·江_è?????é??????·é??_三其他模拟（理））疫情防控期间，上饶市某医院从3名呼吸科?3名重症科和2名急诊科医生中选派5人组成一个医疗专家小组跟本市其他医院的援助医疗队一同支援武汉，则该院呼吸科?重症科和急诊科医生都至少有1人的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
求出从8人中选5人的方法数，再求出三科都至少有1人的方法数（注意分类讨论）后可得概率．
【详解】
三科都至少有1人，则三科人数分别为113或122．选法为，
所以所求概率为．
故选：D．
二、多选题
8．（2021·湖南永州市·高三二模）下列说法正确的是（ ）
A．线性回归方程对应的直线至少经过其样本数据点中的一个点
B．10件产品中有7件正品，3件次品，从中任取2件，恰好取到1件次品的概率为
C．某高中为了解在校学生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法从该校三个年级的学生中抽取一个容量为60的样本，已知该校高一?高二?高三年级学生之比为，则应从高二年级中抽取20名学生
D．从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”是互斥而不对立的事件
【答案】BC
【分析】
对A，根据线性回归方程_??????????????¤???_；对B，求出概率即可判断；对C，根据分层抽样的等比例求出即可判断；对D，根据两个事件都包含“一个黑球一个白球”这个事件可判断.
【详解】
对A，线性回归方程对应的直线可能不经过样本数据点中的一个点，故A错误；
对B，恰好取到1件次品的概率为，故B正确；
对C，应从高二年级中抽取名学生，故C正确；
对D，“至少有一个黑球” 与“至少有一个红球”都包含“一个黑球一个白球”这个事件，故这两个事件既不互斥也不对立，故D错误.
故选：BC.
9．（2021·湖北高三一模）为了普及环保知识，增强环保意识，某学校分别从两个班各抽取位同学分成甲、乙两组参加环保知识测试，得分（十分组）如图所示，则下列描述正确的有（ ）
A．甲、乙两组成绩的平均分相等 B．甲、乙两组成绩的中位数相等
C．甲、乙两组成绩的极差相等 D．甲组成绩的方差小于乙组成绩的方差
【答案】BCD
【分析】
根据条形统计图计算出甲、乙两组成绩的平均分、中位数、极差与方差，进而可判断各选项的正误.
【详解】
对于A选项，甲组成绩的平均数为，
乙组成绩的平均分为，
所以甲组成绩的平均分小于乙组成绩的平均分，A选项错误；
对于B选项，甲、乙两组成绩的中位数都为，B选项正确；
对于C选项，甲、乙两组成绩的极差都为，C选项正确；
对于D选项，甲组成绩的方差为，
乙组成绩的方差为，
所以甲组成绩的方差小于乙组成绩的方差，D选项正确.
故选：BCD.
10．（2021·湖南长沙市·长郡中学高三二模）一袋中有大小相同的4个红球和2个白球，给出下列4个结论，其中正确的有（ ）
A．从中任取3球，恰有一个白球的概率是
B．从中有放回的取球6次，每次任取一球，则取到红球次数的方差为
C．现从中不放回的取球2次，每次任取1球，则在第一次取到红球后，第二次再次取到红球的概率为
D．从中有放回的取球3次，每次任取一球，则至少有一次取到红球的概率为
【答案】ABD
【分析】
A.由古典概型的概率求解判断；B.根据取到红球次数X～B，再利用方差公式求解判断；C．设A＝{第一次取到红球}，B＝{第二次取到红球}．由P(B|A)＝求解判断；D．易得每次取到红球的概率P＝，然后再利用对立事件求解判断.
【详解】
A.恰有一个白球的概率，故A正确；
B.每次任取一球，取到红球次数X～B，其方差为，故B正确；
C．设A＝{第一次取到红球}，B＝{第二次取到红球}．则P(A)＝，P(A∩B)＝，所以P(B|A)＝，故C错误；
D．每次取到红球的概率P＝，所以至少有一次取到红球的概率为，故D正确．
故选：ABD.
三、填空题
11．（2021·福建漳州市·高_??????????¨???????_2020年新冠肺炎肆虐，全国各地千千万万的医护者成为“最美逆行者”，医药科研工作者积极研制有效抗疫药物，中医药通过临床筛选出的有效方剂“三药三方”(“三药”是指金花清感颗粒?连花清瘟颗粒(胶囊)和血必净注射液；“三方”是指清肺排毒汤?化湿败毒方和宜肺败毒方)发挥了重要的作用.甲因个人原因不能选用血必净注射液，甲?乙两名患者各自独立自主的选择一药一方进行治疗，则两人选取药方完全不同的概率是___________.
【答案】
【分析】
根据题意选择一药一方的共有9个组合，其中甲有种选择方案，乙有种选择方案，故两名患者可选择的药方共有(种)，其中选择药方完全不同的情况有(种)，进而根据古典概型得答案.
【详解】
将三药分别记为，，，三方分别记为，，，选择一药一方的基本事件如表所示，共有9个组合，则两名患者选择药方完全不同的情况有(种)，两名患者可选择的药方共有(种)，所以.












故答案为：.
【点睛】
本题考查古典概型，排列组合，考查运算求解能力?推理论证能力和数据处理能力，考查数学运算?逻辑推理核心素养.其中解题的关键在于正确理解题意，正确计算选择药方完全不同时的情况，即：甲患者选择药方有种，选择药方完全不同时，此时乙患者只有种选择，故两名患者选择药方完全不同的情况有(种).
12．（2021·宁夏吴忠市·高三一模（理））某学校为了提高学生的安全意识，防止安全事故的发生，学校拟在未来的连续天中随机选择天进行紧急疏散演练，则选择的天中恰好仅有天连续的概率为______【来源：21cnj*y.co*m】
【答案】
【分析】
先判断所有情况，种选择，然后把连续的天看成一个元素，另一天看成一个元素，则这两个元素不相邻，由插空法计算恰有两天连续的情况，代入古典概型公式计算.
【详解】
连续天中随机选择天，有种选择，其中恰好仅有天连续，把连续的天看成一个元素，另一天看成一个元素，则这两个元素不相邻，由插空法知有种选择，所以所求的概率为．
故答案为：
【点睛】
排列组合的实际_?????¨é??é????????_一般遇到元素必须相邻的情况，采用捆绑法，遇到元素不能相邻的问题，采用插空法，如果既有相邻也有不相邻的综合情况时，注意先捆绑再插空.
13．（2021·福建高三其他模拟）春节文艺汇演中需要将六个节目进行排序，若两个节目必须相邻，且都不能排在号位置，则不同的排序方式有___________种.(用数字作答)
【答案】
【分析】
将捆绑，确定的位置后，再对其余节目排序，即可得解.
【详解】
将捆绑，先确定的位置，有种可能，
再将剩余节目进行排序，有种可能，
所以不同的排序方式共有种.
故答案为：144.
四、解答题
14．（2021·广东广州市·高三二模）某市场研究人员为了了解共享单车运营公司的经营状况，对该公司近六个月内的市场占有率进行了统计，并绘制了相应的折线图.www.21-cn-jy.com
（1）月市场占有率与月份代码符合线性回归模型拟合的关系，求关于的线性回归方程，并预测公司2021年3月份(即时)的市场占有率；
（2）为进一步扩大市场，公司拟再采购一批单车.现有采购成本分别为1000元/辆和1200元/辆的两款车型可供选择，按规定每辆单车最多使用4年，但由于多种原因(如骑行频率等)会导致车辆报废年限各不相同.考虑到公司运营的经济效益，该公司决定先对两款车型的单车各100辆进行科学模拟测试，得到两款单车使用寿命频数表如下：
报废年限 1年 2年 3年 4年
型车(辆) 20 35 35 10
型车(辆) 10 30 40 20
经测算，平均每辆单车每年可以带来收入500元.不考虑除采购成本之外的其他成本，假设每辆单车的使用寿命都是整年，且以每辆单车使用寿命的频率作为每辆单车使用寿命的概率.如果你是公司的负责人，以每辆单车产生利润的期望值为决策依据，你会选择采购哪款车型？2-1-c-n-j-y
参考公式及数据：回归直线方程为，其中，，，
【答案】（1），；（2）采购款单车．
【分析】
（1）由题中折线图所给的数据，根据公式求得的值，求得回归直线方程，令，求得的值，即可得到结论；
（2）由频率估计概率，分别求得每辆款车和款车可产生的利润期望值，即可得到结论.
【详解】
（1）由折线图所给的数据，可得，，
所以，
可得．
所以月度市场占有率与月份代码之间的线性回归方程为，
当时，可得．
故公司2021年3月份(即时)的市场占有率预计为．
（2）由频率估计概率，可得每辆款车可使用1年、2年、3年和4年的概率分别为0.2、0.35、0.35和0.1，
所以每辆款车可产生的利润期望值
（元）．
由频率估计概率，可得每辆款车可使用1年、2年、3年和4年的概率分别为0.1、0.3、0.4和0.2，
所以每辆款车可产生的利润期望值
（元）．
因为，所以应该采购款单车．
15．（2021·安徽安庆_????·é?????????¨?_（文））某生物研究所研发了某种型号的新冠疫苗，为检验该种型号疫苗的效果，研究所将疫苗用在小白鼠身上进行科研实验，得到如下数据：
未感染病毒 感染病毒 总计
未注射疫苗
60
注射疫苗
30
总计 110 90 200
从未注射疫苗的小白鼠中任取1只，取到“未感染病毒”的小白鼠的概率为.
（1）能否有的把握认为注射此疫苗有效？
（2）在感染病_???????°????é?????_，按未注射疫苗和注射疫苗的比例抽取6只进行病理分析，然后从这6只小白鼠中随机抽取2只对注射疫苗的情况进行核实，求至少有1只为注射过疫苗的概率.
附：.
0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
【答案】（1）有的把握认为注射此疫苗有效；（2）.
【分析】
（1）由题中条件完善列联表，结合列联表的数据计算出的观测值，结合临界值表可得出结论；
（2）计算出从未注射疫苗的小白鼠中抽取4只，记为，，，；从注射疫苗的小白鼠中抽取2只，记为，，列举出所有的基本事件，利用古典概型的概率公式可计算出所求事件的概率.
【详解】
（1）根据条件，得，
从而，，，
由，
因为，所以有的把握认为注射此疫苗有效.
（2）在感染病毒的小白鼠中，未注射疫苗和注射疫苗的比例为，所以从未注射疫苗的小白鼠中抽取4只，记为，，，；从注射疫苗的小白鼠中抽取2只，记为，.
从6只小白鼠中抽取2只共有15种方法，
即有，，，，，
，，，，，，，
，，.
记事件A为“至少有一只注射过疫苗”，则包含9个基本事件，
从而，
故至少有1只为注射过疫苗的概率为.
_21?????????è?????(www.21cnjy.com)_