专题07 平行与垂直的证明-备战2021年高考数学二轮复习题型专练（全国通用）

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专题07 平行与垂直的证明
【要点提炼】
1.直线、平面平行的判定及其性质
(1)线面平行的判定定理：a?α，b?α，a∥b?a∥α.
(2)线面平行的性质定理：a∥α，a?β，α∩β＝b?a∥b.
(3)面面平行的判定定理：a?β，b?β，a∩b＝P，a∥α，b∥α?α∥β.
(4)面面平行的性质定理：α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b?a∥b.
2.直线、平面垂直的判定及其性质
(1)线面垂直的判定定理：m?α，n?α，m∩n＝P，l⊥m，l⊥n?l⊥α.
(2)线面垂直的性质定理：a⊥α，b⊥α?a∥b.
(3)面面垂直的判定定理：a?β，a⊥α?α⊥β.
(4)面面垂直的性质定理：α⊥β，α∩β＝l，a?α，a⊥l?a⊥β.
【方法指导】
1、解决空间_????????????é?????_置关系的组合判断题，主要是根据平面的基本性质、空间位置关系的各种情况，以及空间线面垂直、平行关系的判定定理和性质定理进行判断，必要时可以利用正方体、长方体、棱锥等几何模型辅助判断，同时要注意平面几何中的结论不能完全引用到立体几何中。www-2-1-cnjy-com
2、垂直、平行关系的基础是线线垂直和线线平行，常用方法如下：
（1）证明线线平行常用方法：一是_?????¨???è????????_，即证明两直线同时和第三条直线平行；二是利用平行四边形进行平行转换；三是利用三角形的中位线定理证明线线平行；四是利用三角形的中位线定理证明线线平行、面面平行的性质定理进行平行转换。21*cnjy*com
（2）证明线线垂直常用方法：一是利用等腰三角形底边中线即高线的性质；二是勾股定理；三是线面垂直、面面垂直的性质定理。
3、解决与折叠有关的问题的_???é??????????????_折叠前后的变换量和不变量，一般情况下，线段的长度是不变量，而位置关系往往会发生变化，抓住不变量是解决问题的突破口。一般的，翻折后还在同一个平面上的图形的性质不发生变化，不在同一平面上的图形的性质会发生变化。
4、在解决问题时，要综合考虑折叠前后的图形，既要分析折叠后的图形，也要分析折叠前的图形，善于将折叠后的量放在原平面图形中进行分析求解。
命题点一 会判定空间中线、面的位置关系
【典例1】（1）（多选题）（2021·江苏高三一模）已知m，n是两条不重合的直线，，是两个不重合的平面，则（ ）
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，，则 D．若，，，则
【答案】BC
【分析】
根据直线平面的位置关系判断各选项．
【详解】
，时，可以相交、平行、或异面，A错；
时，内必，而，则，从而，B正确；
，，则，又，∴，C正确；
，，，可以相交、平行、或异面，D错．
故选：BC．
（2）（2020·江苏省南通中学_é?????????¨???????_图，在透明塑料制成的长方体ABCD－A1B1C1D1容器内灌进一些水，将容器底面一边BC固定于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下列四个说法中正确的是（ ）
A．水的部分始终呈棱柱状；
B．水面四边形EFGH的面积不改变；
C．棱A1D1始终与水面EFGH平行；
D．当E∈AA1时，AE＋BF是定值．
【答案】ACD
【分析】
从棱柱的特征平面可判断A；由水是四棱柱或者五棱柱时或者三棱柱时可判断B；
由平面，棱可判断C；由体积是定值，高为定值，则底面积为定值，可判断D.
【详解】
由于BC固定，所以倾斜的过程中，始终有ADEHFGBC，
且平面AEFB平面DHGC，故水的部分始终呈现棱柱状（三棱柱、四棱柱、五棱柱）；
当水是四棱柱或者五棱柱时，水面面积与上下底面面积相等，当水是三棱柱时，则水面四边形的面积可能变大，也可能变小，水面的面积改变；
BC为棱柱的一条侧棱，随着倾斜度的不同， 但水的部分始终呈棱柱状，
且棱平面，棱，∴平面；
∵体积是定值，高为定值，则底面积为定值，
即为定值，
综上ACD正确．
故选：ACD.
【点睛】
方法点睛：本题_è???????????é?????_行的判定、棱柱的结构特征，对于证明线线关系，线面关系，面面关系等方面的问题，必须在熟练掌握有关的定理和性质的前提下，再利用已知来进行证明，对于棱柱的结构特征要非常熟悉.21世纪教育网版权所有
【方法总结】
解决空间点、线_???é??????????????_的组合判断题，主要是根据平面的基本性质、空间位置关系的各种情况，以及空间线面垂直、平行关系的判定定理和性质定理进行判断，必要时可以利用正方体、长方体、棱锥等几何模型辅助判断，同时要注意平面几何中的结论不能完全引用到立体几何中。21cnjy.com
【拓展练习】
1、（多选题）（2020·福建莆田市·高三其他模拟）在空间中，已知a，b是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列选项中正确的是（ ）
A．若，且，，，则
B．若，且，，则
C．若a与b相交，且，，则与相交
D．若，且，，则
【答案】AC
【分析】
利用空间线线、线面、面面平行和垂直的判定定理和性质定理分析判断即可
【详解】
若，且，，即两平面的法向量平行，则成立，故A正确；
若，且，，则a与b互相平行或相交或异面，故B错误；
若a，b相交，且，，即两平面的法向量相交，则，相交成立，故C正确；
若，且，，则与平行或相交，故D错误；
故选：AC.
【点睛】
此题考查空间线线、线面、面面平行和垂直的判定定理和性质定理的应用，属于基础题
2、（多选题）（2020·海南高三一模）如图所示，在三棱锥中，，且，为线段的中点.则（ ）
A．与垂直
B．与平行
C．点到点，，，的距离相等
D．与平面，与平面所成的角可能相等
【答案】AC
【分析】
由题设可证底面，作中点，由中位线定理可证，易证，再由为外心得到三点距离相等，为外心，可证点到点，，，的距离相等；结合正切定义可证与平面，与平面所成的角不相等【来源：21·世纪·教育·网】
【详解】
过点作，垂足为，连接，可得为的中点.
因为，所以，所以平面，所以，从而A正确；
由条件可知，而与有交点，因而与不平行，B错误；
点是的外心，所以到，，的距离相等，
根据条件可知平面，从而平面，又因为是的外心，所以点到，，的距离相等，所以点到，，，四点的距离都相等，C正确；【出处：21教育名师】
与平面所成的角即，与平面所成的角即，，，所以两个角不可能相等，D错误.
故选：AC
【点睛】
方法点睛：本题考查锥体基本性质的应用，线线垂直的证明，两直线平行的判断，锥体外接球球心的判断，线面角大小的判断，综合性强，需掌握以下方法：
（1）能利用线面垂直的性质和判定定理证明线线垂直；
（2）要证两直线不平行只需证明两直线或对应的平行直线相交即可；
（3）寻找锥体外接球球心关键在于先寻找底面三角形外接圆圆心，在垂直于底面外接圆圆心的线段上，再寻找跟顶点与底面任意一顶点相等的点.
命题点二 会证明空间中线、面的平行或垂直关系
【典例2】（2020·南京市秦淮中学高三其他模拟）如图，四棱锥中，底面为矩形，，为上一点．
（1）求证：平面平面；
（2）若为的中点，求证：平面．
【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.
【分析】
（1）根据底面为矩形，得到，又，利用线面垂直的判定定理得到平面，再利用面面垂直的判定定理证明.
（2）连接AC与BD交于点O，连接OG，由中位线得到，再利用线面平行的判定定理证明.
【详解】
（1）因为底面为矩形，
所以，又，
所以 平面，又平面，
所以平面平面；
（2）如图所示：
连接AC与BD交于点O，连接OG，
因为为的中点，
所以，又平面，平面，
所以平面．
【点睛】
本题主要考查线面垂直，面面垂直的判定定理和线面平行的判定定理，还考查了空间想象和逻辑推理的能力，属于中档题.
【方法总结】
垂直、平行关系的基础是线线垂直和线线平行，常用方法如下：
（1）证明线线平行常用方法：一是_?????¨???è????????_，即证明两直线同时和第三条直线平行；二是利用平行四边形进行平行转换；三是利用三角形的中位线定理证明线线平行；四是利用三角形的中位线定理证明线线平行、面面平行的性质定理进行平行转换。
（2）证明线线垂直常用方法：一是利用等腰三角形底边中线即高线的性质；二是勾股定理；三是线面垂直、面面垂直的性质定理。
【拓展练习】
3、（2020·全国高三二模（理））《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早1000多年，在《九章算术》中，将底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵（qiandu）；阳马指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥，鳖臑（bienao）指四个面均为直角三角形的四面体.如图，三棱柱，平面，四棱锥为阳马，且，分别是，的中点.
（1）求证：平面；
（2）在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）证明见解析；（2）存在；.
【分析】
在平面内找到一条直线与平行即可.
若平面，又由已知条件平面，平面与平面必然平行，因此容易想到为线段的中点，再证明即可.
【详解】
（1）取中点，连接，，
在中，因为，分别是，中点，
所以，且，
在平行四边形中，因为是的中点，
所以，且，
所以，且，
所以四边形是平行四边形，
所以，
又因为平面，平面，所以平面.
（2）在线段上存在点，使得平面，
取的中点，连，连，
因为平面，平面，平面，
所以，，
在中，因为，分别是，中点，所以，
又由（1）知，所以，，
由得平面，
故当点是线段的中点时，平面.此时，.
【点睛】
本题主要考查了线面平行的判断，以及线面垂直的证明，属于中档题.
命题点三 会解决空间图形的折叠问题
【典例3】（2021·全国高三专题练习（文））已知等腰梯形ADCE中，，，，B为EC的中点，如图1，将三角形ABE沿AB折起到（平面ABCD），如图2.
（1）点F为线段的中点，判断直线DF与平面的位置关系，并说明理由；
（2）当的面积最大时，求的长.
【答案】（1）相交，理由见解析；（2）2.
【分析】
（1）假设平面，则平行平面内的一条直线，又可证面面平行，即与是两个平面的一个公共点矛盾，故推翻假设，证得结果；
（2）取AB的中点O，结合已知条件证得平面，即得， 在中计算面积得，即知当时面积最大，勾股定理计算即可.
【详解】
（1）解：直线DF与平面相交，理由如下：
因为平面ABCD，所以平面，
假设平面，设平面平面，如图所示，
则，显然CM与CB不重合，
又因为，平面，且DF，AD相交，均在平面内，所以平面平面，但显然是两个平面的公共点，故矛盾，假设不成立，
所以直线DF与平面相交；
（2）证明：取AB的中点O，连接，BD，
由等腰梯形ADCE中，，，，知是等边三角形，四边形是菱形，且，即和都是等边三角形.
故，， 与相交于平面内，所以平面，所以.又，所以，
因为的面积为，
所以当的面积最大时，，
所以，所以.
【点睛】
本题第一问解题关键在于利用反证_????????????è?????_线与平面平行，推出矛盾，即推翻假设，证得结论；第二问在于求得面积的关系式，探寻何时最大，确定关系再计算线段长度.【版权所有：21教育】
【方法总结】
1、解决与折叠有关的问题的关键_??????????????????_前后的变换量和不变量，一般情况下，线段的长度是不变量，而位置关系往往会发生变化，抓住不变量是解决问题的突破口。一般的，翻折后还在同一个平面上的图形的性质不发生变化，不在同一平面上的图形的性质会发生变化。
2、在解决问题时，要综合考虑折叠前后的图形，既要分析折叠后的图形，也要分析折叠前的图形，善于将折叠后的量放在原平面图形中进行分析求解。
【拓展练习】
4、（2019·湖南高三三模（文））一幅标准的三角板如图1中，为直角，，为直角，，且，把与拼齐使两块三角板不共面，连结如图2.
（1）若是的中点，是的中点，求证：平面；
（2）在《九章算术》中，称四个面都是直角三角形的三棱锥为“鳖臑”，若图2中，三棱锥的体积为2，则图2是否为鳖臑？说明理由.
【答案】（1）证明见解析；（2）是鳖臑，详见解析.
【分析】
（1）设中点为，连结，，可证、，从而得到平面.
（2）先求出，再根据体积可得到平面的距离为，结合可得平面，从而可证四个面均为直角三角形.【来源：21cnj*y.co*m】
【详解】
（1）证明：设中点为，连结，.
∵是的中点，是的中点，∴，
∵，∴，
∵，，，
∴，
∵，
∴平面.
（2）此时三棱锥是鳖臑，
∵，，
又三棱锥的体积，故高.
又∵，所以平面，因为平面，
所以，所以是直角.
同理，.
∵，，，所以平面，
因为平面，故也是直角.
又，显然是直角，故图2是鳖臑.
【点睛】
线面垂直的判定可由线线垂直得到_?????¨????????????_相交的，也可由面面垂直得到，注意线在面内且线垂直于两个平面的交线，也可通过点到平面的距离等于线段的长来考虑线面垂直，本题属于中档题.21*cnjy*com
【专题训练】
一、单选题
1．（2021·江西高三其他模拟（理））、为不重合的平面，、为两条直线，下列命题正确的为（ ）21·世纪*教育网
A．若，，，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，，则
【答案】D
【分析】
根据选项直接判断直线、的位置关系，可判断A选项的正误；根据已知条件判断与的位置关系，可判断BC选项的正误；利用空间向量法可判断D选项的正误.
【详解】
对于A选项，若，，，则与平行或异面，A选项错误；
对于B选项，若，，则或，B选项错误；
对于C选项，若，，则、、或与斜交，C选项错误；
对于D选项，设直线、的方向向量分别为、，
由于，则平面的一个法向量为，，则平面的一个法向量为，
因为，则，因此，，D选项正确.
故选：D.
2．（2021·云南高三其他模拟（理））如图，在正方体中，为棱的中点，为底面内一点，则“为棱的中点”是“平面”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】
取的中点，为棱的中点，即可证明平面平面，由面面平行的性质定理，可得在线段上时均能使平面，即可判断；
【详解】
解：取的中点，为棱的中点，，面，面，所以面
又，同理可证面，又，面，所以平面平面，所以在线段上时均能使平面
所以“为棱的中点”是“平面”的充分不必要条件.
故选：A
3．（2021·安徽六安市·高三一模（理））在棱长为1的正方体中，E为棱CD上的动点（不含端点），过B，E，的截面与棱交于F，若截面在平面和平面上正投影的周长分别为，，则（ ）
A．有最小值 B．有最大值
C．是定值 D．是定值
【答案】A
【分析】
设，，则可得，利用可以看成到点和点的距离之和可求最值.
【详解】
依题意，设截面在平面的投影为四边形，在平面上的投影为四边形，
设，
则四边形的周长，
四边形的周长为，
则，
又因为可以看成到点和点的距离之和，
所以，所以取值范围为.
故选：A.
【点睛】
本题考查正方体中的最值计算，解题的关键是得出，利用距离关系求解.
4．（2020·上海高三专题练习）在空间，已知直线及不在上两个不重合的点?，过直线做平面，使得点?到平面的距离相等，则这样的平面的个数不可能是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个
【答案】C
【分析】
分情况讨论可得出.
【详解】
（1）如图，当直线与异面时，则只有一种情况；
（2）当直线与平行时，则有无数种情况，平面可以绕着转动；
（3）如图，当过线段的中垂面时，有两种情况.
故选：C.
5．（2020·云南玉溪市·高三其他模拟（理））已知正方体的棱长为3，E，F，G分别为棱，，上的点，其中，，，平面经过点E，F，G，则截此正方体所得的截面为（ ）
A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形
【答案】C
【分析】
根据，，，分别取的中点H，BM=1，易得， ，利用平面的基本性质求解.
【详解】
如图所示：
取的中点H，BM=1，
因为，，，
所以， ，
所以在平面上，
所以截面是五边形，
故选：C
6．（2021·全国高三专题练习（文））如图，将正四棱锥置于水平反射镜面上，得一“倒影四棱锥”.下列关于该“倒影四棱锥”的说法中，所有正确结论的编号是（ ）2·1·c·n·j·y
①平面；
②平面；
③若在同一球面上，则也在该球面上；
④若该“倒影四棱锥”存在外接球，则
A．①③ B．②④ C．①②③ D．①②④
【答案】D
【分析】
由题意四棱锥与四棱锥是两个相同的正四棱锥，根据对称性可判断②；由与全等，所以，从而可得可判断①；若正方形的外接圆不是球的大圆时，可判断③；若该“倒影四棱锥”存在外接球，根据对称性则正方形的外接圆是该球的大圆.所以此时球的球心为正方形的对角线的交点，可判断④.
【详解】
由题意四棱锥与四棱锥是两个相同的正四棱锥
连接相交于点，连接
由四棱锥为正四棱锥，则平面.
根据题意四棱锥为正四棱锥,所以平面.
均垂直于平面，所以三点共线.
所以平面,故②正确.
由，根据题意
所以与全等，所以
所以,平面,平面,
所以平面，故①正确.
当在同一球面上，若正方形的外接圆不是球的大圆时，
根据对称性，则点不在此球面上，故③不正确.
若该“倒影四棱锥”存在外接球，根据对称性则正方形的外接圆是该球的大圆.
所以此时球的球心为正方形的对角线的交点，即点,设
则，
所以,所以④正确.
故选：D
【点睛】
关键点睛：本题考查线面的平行和垂直关系的判断和几何体的外接球的相关知识，解答本题的关键是由与全等，得到，进一步得出，若该“倒影四棱锥”存在外接球，根据对称性则正方形的外接圆是该球的大圆.所以此时球的球心为正方形的对角线的交点，属于中档题.
7．（2020·四川泸州市·高三一模（理））如图，在长方体中，，分别为，的中点，，分别为，的中点，则下列说法错误的是（ ）
A．四点，，，在同一平面内
B．三条直线，，有公共点
C．直线与直线不是异面直线
D．直线上存在点使，，三点共线
【答案】C
【分析】
利用两条平行线确定一个平面可判断A；利用点共线公理可判断B；根据异面直线的定义可判断C；连接可判断D.
【详解】
作出图象，如图：
对于A，连接，则，，所以，
所以四点，，，在同一平面内，故A正确；
对于B，延长，则相交于点，
又平面，平面，
则平面，平面，
且平面平面，
所以，即三条直线，，有公共点，故B正确；
对于C，直线为正方体的体对角线，所以直线与直线
不可能在同一平面内，所以直线与直线是异面直线，故C错误；
对于D， 均在平面内，连接，则与相交，
所以直线上存在点使，，三点共线，故D正确；
故选：C
二、多选题
8．（2020·福建莆田市·高三其他模拟）已知a，b表示两条不同的直线，α，β表示两个不同的平面，那么下列判断正确的是（ ）21教育网
A．若， ，则
B．若，，， ，则
C．若，，则
D．若，，则
【答案】ABC
【分析】
根据空间中直线、平面的位置关系逐项判断，由此确定出正确的选项.
【详解】
A．根据“垂直于同一条直线的两个平面互相平行”，可知A正确；
B．记，因为且，所以且异面或且相交，
又因为，且，所以，故B正确；
C．根据“平行直线中若有一条直线垂直于某个平面，则另一条直线也垂直于该平面”，可知C正确；
D．因为，，所以平行或异面，故D错误，
故选：ABC.
【点睛】
方法点睛：判断符号语言描述的空间中位置关系的命题的真假：
（1）利用定理、定义、公理等直接判断；
（2）作出简单图示，利用图示进行说明；
（3）将规则几何体作为模型，取其中的部分位置关系进行分析说明.
9．（2021·湖南株洲市·高三一模）在正方体中，点P在线段上运动，则下列命题正确的是（ ）
A．异面直线和所成的角为定值
B．直线和平面相交
C．三棱锥的体积为定值
D．直线和直线可能相交
【答案】AC
【分析】
A：由正方体的性质判断平面，得出，异面直线与所成的角为90°；B：由，证明平面，即得平面；C：三棱锥的体积等于三棱锥的体积的体积，判断三棱锥的体积为定值；D：可得直线和直线为异面直线.
【详解】
对于A，因为在正方体中，，，
又，，平面，所以平面，
而平面，所以，
故这两个异面直线所成的角为定值90°，所以A正确；
对于B，因为平面与面是同一平面，
，平面，平面，
故平面，即平面，故B错误；
对于C，三棱锥的体积等于三棱锥的体积，
而平面为固定平面，且大小一定，
又因为，
因为，平面，平面，
所以平面，
所以点A到平面的距离即为点P到该平面的距离，为定值，
所以三棱锥的体积为定值，故C正确；
对于D，直线和直线是异面直线，不可能相交，故D错误.
故选：AC.

【分析】
本题考查线面平行的判定，线面垂直的判定及性质，异面直线所成的角，直线与平面所成的角，空间中的距离，正确理解判定定理和性质是解题的关键.
10．（2020·江苏南京市·高二月考）如图所示，在长方体，若，、分别是、的中点，则下列结论中成立的是（ ）
A．与垂直 B．平面
C．与所成的角为 D．平面
【答案】ABD
【分析】
证明出，，可判断A选项的正误；证明出平面，结合可判断B选项的正误；计算出的值，结合以及异面直线所成角的定义可判断C选项的正误；利用线面平行的判定定理可判断D选项的正误.21教育名师原创作品
【详解】
连接、、，则为的中点，
对于A选项，平面，平面，，
、分别为、的中点，则，，A选项正确；
对于B选项，四边形为正方形，则，
又，，平面，
，平面，B选项正确；
对于C选项，易知为等边三角形，则，
，则与所成的角为，C选项错误；
对于D选项，，平面，平面，平面，D选项正确.
故选：ABD.
【点睛】
本题考查线线垂直、线面垂直、线面平行以及异面直线所成角的判断，属于中等题.
三、填空题
11．（2021·全国高三专题练习）已知直四棱柱，的所有棱长均为4，且，点是棱的中点，则过点且与垂直的平面截该四棱柱所得截面的面积为______.
【答案】
【分析】
取的中点，在取点，使得，分别连接，且与交于点，连接，根据线面位置关系，平面，得到截面为等腰三角形，再结合三角形的面积公式，即可求解.
【详解】
由题意，取的中点，在取点，使得，
分别连接，且与交于点，连接，
因为底面为菱形，可得，
又由是的中点，可得，所以，
因为直四棱柱，可得，所以平面，
又由平面，可得，
在正方形中，可得，因为，可得，
从而得到平面，此时为等腰三角形，
在直角中，，可得，
又由，
在直角中，可得，
所以截面的面积为.
故答案为：.
【点睛】
解答空间中点、线、面位置关系的确定截面问题常见解题策略：
1、根据空间平行关系的转_??????????????????_的截面，其中有时对于平行关系条件理解不透导致错误；对面面平行判定定理的条件“面内两相交直线”认识不清导致错解；
2、根据空间中的垂直关系_??????????????????_面，对于空间中的垂直关系中确定线面垂直是关键，结合线线垂直则需借助线面垂直的性质，垂直关系的判定定理和性质定理合理转化是证明垂直关系的基本思想.2-1-c-n-j-y
12．（2020·全国高三专题练习（文））如图所示，在正方体中，分别是棱、的中点，的顶点P在棱与棱上运动，有以下四个命题：
（1）平面；
（2）平面⊥平面；
（3）在底面上的射影图形的面积为定值；
（4）在侧面上的射影图形是三角形．
其中正确命题的序号是______．
【答案】（2）（3）
【分析】
由正方体的几何性质对4个命题进行判断，
【详解】
对于（1），当动点P与点重合时，
以等腰三角形，与不垂直，所以不能得出平面,（1）为假命题；
对于（2），易证，所以平面，
??
所以平面⊥平面，故（2）为真命题；
对于（3），在底面上的射影图形的面积为定值，
??
因为在底面的射影是三角形，底边是，
点P在底面的射影在CD上，到的距离不变，
若正方体棱长为时，则射影面积为为定值，
所以（3）为真命题；
对于（4），当P点与点重合时，
则点与点P的投影重合，此时在侧面上的射影图形是线段，不是三角形，故（4）是假命题．
故真命题有（2）（3）.
故答案为：（2）（3）
【点睛】
本题主要考查面_é?????é???????????_以及投影的概念，属于中档题，解决本题的关键是对正方体中的点线面之间的关系有比较透彻的了解，对其中的空间位置比较熟悉．
四、解答题
13．（2020·湖南高三其他模拟（文））如图，长方体中，是的中点，是的中点.
（1）证明：平面平面；
（2）证明：平面.
【答案】（1）见解析（2）见解析
【分析】
（1）由，证得平面，由此证得平面平面.
（2）取中点，连接，，，通过证明四边形是平行四边形，证得，由此证得：平面.
【详解】
（1）∵是长方体，∴，，
又，且平面，平面
∴平面，即平面.因为平面，所以平面平面.
（2）取中点，连接，，，
则，，，，
所以，且
∴是平行四边形，∴，
∵平面，且平面，
∴平面.
【点睛】
本小题主要考查面面垂直的证明，考查线面平行的证明，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于基础题.
14．（2020·广西高三其他模拟（文））在平行六面体中，已知O为平行四边形的中心，E为的中点．21·cn·jy·com
（1）求证：平面；
（2）若平面平面．求证：．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【分析】
（1）连接，则可得O为的中点，则可得，即得证；
（2）先证平面，可得，即得，即得证.
【详解】
证明：（1）连接．
在平行六面体中，
因为，所以四边形为平行四边形，所以相互平分，
因为O为平行四边形的中心，所以O为的中点，所以O为的中点，
因为E为的中点，所以，
因为平面平面，
所以平面；
（2）因为，所以，
因为平面平面，平面平面平面，
所以平面，
所以，所以，
因为，所以．
【点睛】
本题考查线面平行的证明，解题的关键是得出O为的中点，证出.
15．（2020·全国高三专题练习（文））如图所示，在四棱锥中，为与的交点，平面，是正三角形，，.www.21-cn-jy.com
（1）若点为棱上一点，且平面，求的值；
（2）求证：平面平面.
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【分析】
（1）利用线面平行的性质定理得到，再由平行线分线段成比例求得的值.
（2）构造平行四边形，得到，通过平行证得，证得平面，由此证得平面平面.
【详解】
（1）∵平面，平面，平面平面，∴，
∴，
∵，，∴，∴ ；
（2）取、的中点，分别为、，连接、、，
∴，，∵，，∴且，
即四边形为平行四边形，∴，
在正三角形中，为中点，∴，
∵平面，∴，
又∵，∴，∵，∴，，
又∵，、平面，∴平面，
∵平面，∴平面平面.
【点睛】
已知条件为线面平行时，要注意考虑线面平行的性质定理.要证明面面垂直，可通过证明线面垂直来证明.
16．（2020·安徽高三三模（文））在平行四边形中，，，，沿将折起到，使得．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）若点是三角形区域内一动点，求的取值范围．
【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）．
【分析】
（Ⅰ）通过余弦定理计算出，由勾股定理可得，由结合线面垂直判定定理即可得结果；
（Ⅱ）先得平面平面，作交于点，可得最小值，点到点的距离最大可得最大值，进而得结果.
【详解】
（Ⅰ）证明：在中，由余弦定理知：，
从而，因此，则．
又，而，所以平面．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知平面，平面，从而平面平面，
作交于点，则平面，
则为点到平面的距离，即为最小值，
故．
而点到点的距离最大，故
因此的取值范围是
【点睛】
本题主要考查了面面垂直的判定，点到面的距离问题，证得线面垂直是解题的关键，属于中档题.
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