专题17 函数图像与应用-备战2021年高考数学二轮复习题型专练（全国通用）

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专题17 函数图像与应用
【要点提炼】
1.函数的图象
(1)对于函数的图象要会作图、识_????????¨?????????_函数图象有两种基本方法：一是描点法；二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换和对称变换.
(2)在研究函数性质特别是单调性、值域、零点时，要注意结合其图象研究.
(3)函数图象的对称性
①若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝f(a－x)，即f(x)＝f(2a－x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称；21教育名师原创作品
②若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝－f(a－x)，即f(x)＝－f(2a－x)，则y＝f(x)的图象关于点(a，0)对称.
2.函数的性质
(1)单调性：单调性是函数_??¨???????????????_的局部性质.证明函数的单调性时，规范步骤为取值、作差、变形、判断符号和下结论.复合函数的单调性遵循“同增异减”的原则.21世纪教育网版权所有
(2)奇偶性：①若f(x)是偶函数，则f(x)＝f(－x).
②若f(x)是奇函数，0在其定义域内，则f(0)＝0.
③奇函数在关于原点对称的单调区间内有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的单调区间内有相反的单调性.
(3)周期性：①_è??y???f(x_)对x∈R，f(x＋a)＝f(x－a)或f(x＋2a)＝f(x)(a>0)恒成立，则y＝f(x)是周期为2a的周期函数.2·1·c·n·j·y
②若y＝f(x)是偶函数，其图象又关于直线x＝a对称，则f(x)是周期为2|a|的周期函数.
③若y＝f(x)是奇函数，其图象又关于直线x＝a对称，则f(x)是周期为4|a|的周期函数.
④若f(x＋a)＝－f(x)，则y＝f(x)是周期为2|a|的周期函数.
易错提醒　错用集合运算符号致误：函数的多个单调区间若不连续，不能用符号“∪”连接，可用“和”或“，”连接.
【方法指导】
1、已知函数的解析式,判断_??????è±???????é??_是由函数解析式明确函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等,以及函数图象上的特殊点,根据这些性质对函数图象进行具体分析判断.
2、(1)运用函_??°???è±?è§????é??_题时,先要正确理解和把握函数图象本身的含义及其表示的内容,熟悉图象所能够表达的函数的性质.(2)图象形象地显示了函数的性质,因此,函数性质的确定与应用及一些方程、不等式的求解常通过数形结合研究.
3、1.函数零点(_???????¨???????)_的确定问题,常见的类型:(1)函数零点值大致存在区间的确定;(2)零点个数的确定;(3)两函数图象的交点的横坐标或有几个交点的确定.2.判断函数零点个数的主要方法:(1)解方程f(x)=0,直接求零点;(2)利用零点存在性定理;(3)数形结合法:对于给定的函数不能直接求解或画出图形,常会通过分解转化为两个能画出的函数图象的交点问题.
4、解决函数_???é???????¨é?????_两个关键点：(1)认真读题,缜密审题,准确理解题意,明确问题的实际背景,然后进行科学地抽象概括,将实际问题归纳为相应的数学问题.(2)要合理选取参变量,设定变量之后,就要寻找它们之间的内在联系,选用恰当的代数式表示问题中的关系,建立相应的函数模型,最终求解数学模型使实际问题获解.
命题点一： 函数的图象及应用
考向一 函数的图象
【典例1】（2021·江苏高三月考）函数的部分图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
判断奇偶性，再取特殊点判断即可.
【详解】
，则函数为奇函数，故排除A，，故排除CD.
故选：B
【方法总结】
已知函数的解析式,判断其_???è±???????é?????_由函数解析式明确函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等,以及函数图象上的特殊点,根据这些性质对函数图象进行具体分析判断.21*cnjy*com
【拓展练习】
1．（2021·浙江省武义第三中学高三月考）函数的图像不可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
结合题中所给的函数解析式，对选项中所给的函数图象逐一分析，得到在什么情况下可取，利用，得到C项不可能，得到答案.
【详解】
当为正偶数时，为奇函数，图象关于原点对称，
且的符号与的符号相同，所以A项可以；
当，且为偶数时，其定义域为，
此时，所以，而，
所以当时，，当时，，所以B项可以；
当为不等于1的正奇数时，为偶函数，图象关于轴对称，
且的符号与的符号相同，所以D项可以；
因为只要的值确定了，的符号就可以确定，而的符号是不确定的，
所以的图象不会都落在轴的上方，所以C项不可以；
故选：C.
【点睛】
思路点睛：该题考查的是有关图象识别问题，解题思路如下：
（1）观察题中所给的函数解析式，对选项中的图象逐一分析，得到对应参数取哪些值时可以得到相应的图，即可认为是可以的；
（2）对参数的值进行对比，得到部分式子的符号，结合正弦函数的值域，得到其应该有零点，且函数值即有正值也有负值，分析得到结果；
（3）对比得到答案.
2．（2021·全国高三开学考试（文））我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难人微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.在数学的学习和研究中，常用函数的图像研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象特征.如函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
利用排除法，先判断函数的奇偶性，再判断函数的单调性即可
【详解】
由可知，该函数为偶函数，不对；可考虑的情况，
，因为，又
.函数在上为增函数，
故选：A.
考向二 函数图象的应用
【典例2】（2020·北京密云区·高三期中）函数的图象如图所示，在区间上可找到个不同的数、、、，使得，则的取值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
设，可知直线与函数的图象有个交点，数形结合可得出的可能取值.
【详解】
，则代数式表示曲线上的点与原点连线的斜率，
设，
可知直线与函数的图象有个交点，
作出函数与直线的图象如下图所示：
由图象可知，直线与函数的图象有或或或个交点，
因此，的可能取值的集合为.
故选：D.
【方法总结】
1、运用函数图象解决问题时,先要正确理解和把握函数图象本身的含义及其表示的内容,熟悉图象所能够表达的函数的性质.21教育网
2、图象形象地显示了函数的性质,因此,函数性质的确定与应用及一些方程、不等式的求解常通过数形结合研究.
【拓展练习】
3．（2021·全国高三专题练习（文））已知函数().设关于x的不等式的解集为集合A.若，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
由题意可得，在上，函数y＝f（x+2a）的图象应在函数y＝f（x）的图象的下方．当a＝0或a＜0时，检验不满足条件．当a＞0时，应有f（a）f（），化简可得 a2+a﹣10，由此求得a的范围．
【详解】
由于f（x），
关于x的不等式的解集为集合A.若，
则在上，函数y＝f（x+2a）的图象应在函数y＝f（x）的图象的下方．
当a＝0时，显然不满足条件．
当a＜0时，函数y＝f（x+2a）的图象是把函数y＝f（x）的图象向右平移2a个单位得到的，函数y＝f（x+2a）的图象在函数y＝f（x）的图象的下方．
当a＞0时，如下图所示，要使在上，函数y＝f（x+2a）的图象应在函数y＝f（x）的图象的下方，只要f（a）f（）即可，
即a（a）22（a）a，
化简可得a2+a﹣10，解得 a，
故此时a的范围为（0，．
综上可得，a的范围为（0，，
故选：B．
【点睛】
本题关键是转化为在上，函数y＝f（x+2a）的图象应在函数y＝f（x）的图象的下方．
4．（2020·陕西宝鸡市·高三月考（理））已知函数的定义域为，满足，且当时，.若对任意都有，则实数m的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
先求出当，的解析式画出函数的图象，求出函数的值域，依次类推，解方程得或，数形结合分析得解.
【详解】
①当时，；
②当时，，；
③当时，.
又由方程的解或，
由函数的草图可知，
若对任意都有，则实数m的取值范围为.
故选：C
【点睛】
关键点睛：解答本题的关键是求出函数在，的解析式，得到整个函数的图象.
命题点二： 函数的零点与方程
考向一 确定函数零点个数或零点所在区间
【典例3】（2020·全国高三专题练习）设函数，则函数的零点的个数为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C
【分析】
分别画出函数和的图像，根据图像得出结论.
【详解】
因为，所以，转化为如图，画出函数和的图像，
当<0时，有一个交点，
当>0时，，此时，是函数的一个零点，
，满足，所以在(2,4)有两个交点，
同理，所以在(4,6)有两个交点，
，所以在(6,8)内没有交点，
当>7时，恒有，所以两个函数没有交点
所以，共有6个.
故选：C.
【方法总结】
1.函数零点(即方程的根)的确_???é??é??,???è§?_的类型:(1)函数零点值大致存在区间的确定;(2)零点个数的确定;(3)两函数图象的交点的横坐标或有几个交点的确定.
2.判断函数零点个数的主要方法:
(1)解方程f(x)=0,直接求零点;
(2)利用零点存在性定理;
(3)数形结合法:对于给定的函数不能直接求解或画出图形,常会通过分解转化为两个能画出的函数图象的交点问题.www.21-cn-jy.com
【拓展练习】
5．（2021·兴义市第二高级中学高三期末（文））已知函数的零点为，则所在区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
可得单调递增，由零点存在性定理可判断.
【详解】
在上单调递增，
，，
由零点存在性定理可得在有唯一零点，.
故选：D.
6．（2021·浙江高三学业考试）已知函数，则函数的零点个数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
令，利用代数式法结合零点存在定理得出函数的零点，，，然后作出函数，直线、、的图象，观察三条直线、、与函数的图象的交点个数，由此可得出结论.【来源：21·世纪·教育·网】
【详解】
令.
①当时，，则函数在上单调递增，
由于，，
由零点存在定理可知，存在，使得；
②当时，，由，解得，.
作出函数，直线、、的图象如下图所示：
由图象可知，直线与函数的图象有两个交点；
直线与函数的图象有两个交点；
直线与函数的图象有且只有一个交点.
综上所述，函数的零点个数为.
故选：D.
【点睛】
思路点睛：求解复合函数的零点个数，步骤如下：
（1）确定内层函数与外层函数；
（2）求出外层函数的零点；
（3）确定直线与内层函数的交点个数，由此可得到原函数的零点个数为.
考向二 根据函数的零点求参数的取值范围
【典例4】（2021·福建龙岩市·高三期中）若函数在R上没有零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
利用函数零点的定义，令或，使方程无解即可求解.
【详解】
由函数在R上没有零点，
当时，令，解得，若方程无解，可得或，
当，令，解得，若方程无解，则，解得.
所以的取值范围是.
故选：B
【方法总结】
解决由函数零点的存在情况求参数的值或取值范围问题,关键是利用函数方程思想或数形结合思想,构建关于参数的方程或不等式求解.2-1-c-n-j-y
【拓展练习】
7．（2021·天津高三期末）已知函数，若函数有且只有四个不同的零点，则实数k的取值范围是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
判断可得为偶函数，所以在上有且仅有2个不同的零点，求出在上的解析式，根据二次函数知识列式可得解.
【详解】
因为，所以，所以为偶函数，
因为有且只有四个不同的零点，
所以在上有且仅有2个不同的零点，且，即，
当时，，，，
所以在上有且仅有2个不同的零点，
所以，解得.
故选：B
【点睛】
方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解【版权所有：21教育】
8．（2021·安徽六安市·高三一模（理））已知函数（其中e为自然对数的底数）有三个零点，则实数m的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
令，可得，令，利用导数可判断的单调性，求得的极值，令，，根据的图象，结合二次函数的性质，分类讨论，即可求得答案.
【详解】
令，可得，
令，则，
令，解得，
当时，，当时，
所以在上单调递增，在上单调递减，图象如下图所示：
所以，令，，因为函数有三个零点，
设的两根分别为，，，解得或
则，有下列三种情况，
（1）当，时，将带入方程，即，
解得，带入方程，即，
解得，故舍去；
（2）当，时，将带入方程，则，，不满足，故舍去；
（3）当，时，解得，
所以
故选：C
【点睛】
解题的关键令，求得的单调性，画出图象，可得t的范围，再利用二次函数的性质，结合t的范围求解，考查分析理解，分类讨论的能力，综合性较强，属中档题.
命题点三：函数的应用
【典例5】（2021·兴义市第二高级中学高三期末（文））某旅游景点预计2013年1月份起前x个月的旅游人数的和p(x)(单位：万人)与x的关系近似地满足．已知第x月的人均消费额q(x)(单位：元)与x的近似关系是
（1）写出2013年第x月份的旅游人数(单位：人)与x的函数关系式；
（2）试问2013年第几月份旅游消费总额最大，最大月份旅游消费总额为多少万元？
【答案】（1）（且）；
（2）第5月份旅游消费总额最大，消费总额为万元.
【分析】
（1）根据所给的前个月的旅游人数的和，可得得到第个月的旅游人数，注意验证第一个月的旅游人数是否符合题意，即可求解；
（2）根据所给的表示，写出第月旅游消费总额，得到一个分段函数，求出分段函数的最大值，把两个最大值进行比较，即可求解.
【详解】
（1）由题意，当，可得，
当且时，
则，
验证时，符合，
所以第x月的旅游人数与x的关系式：（且）.
（2）由题意，第个月的旅游消费总额为，
即，且，
当时，函数，可得，
令，即，解得或（舍去），
所以当时，；当时，，
所以当时，函数取得最大值，最大值为（万元），
当时，为单调递减函数，
所以当时，取得最大值，最大值为（万元），
综上可得，2013年第5月份旅游消费总额最大，最大月旅游消费总额为万元.
【方法总结】
解决函数实际应用题的两个关键点
(1)认真读题,缜密审题,准确理解题意,明确问题的实际背景,然后进行科学地抽象概括,将实际问题归纳为相应的数学问题.
(2)要合理选取参_???é??,è????????_量之后,就要寻找它们之间的内在联系,选用恰当的代数式表示问题中的关系,建立相应的函数模型,最终求解数学模型使实际问题获解.
【拓展练习】
9．（2020·安徽高三月考（理））第二届阜阳花博会2020年9月28日在颍上八里河开幕，其主题为“花漾水上，花开颍上”．据调研获悉，某花卉基地培育有水生与水陆两生花卉30余种，计划在花博会期间举行展销活动．经分析预算，投入展销费万元时，销售量为万个单位，且（，为正实数）．假定销售量与基地的培育量相等，已知该基地每培育万个单位还需要投入成本万元（不含展销费），花卉的销售价定为万元/万个单位．
（1）写出该花卉基地的销售利润万元与展销费万元的函数关系；
（2）展销费为多少万元时，该花卉基地可以获得最大利润？
（注：利润=销售价×销售量-投入成本-展销费）
【答案】（1）（，为正实数）；（2）当时，展销费为万元时，该花卉基地可以获得最大利润；当时，展销费为万元时，该花卉基地可以获得最大利润.
【分析】
（1）根据利润=销售价×销售量-投入成本-展销费，得出函数关系；
（2）由（1）得，根据对勾函数的性质，对分类讨论，分别求出函数的单调性，即可求出函数的最大值；
【详解】
解：（1）由题意得，
，
所以（，为正实数）．
（2）由（1）得，
易知，函数递增，，函数递减．
又，为正实数，故．
所以，当，即时，，时，函数取得最大值；
当，即时，时，函数取得最大值．
综上所述，当时，展销费为万元时，该花卉基地可以获得最大利润；当时，展销费为万元时，该花卉基地可以获得最大利润.
10．（2020·上海浦东新区·华师大二附中高三期中）某药物研究所开发的一种新药，据监测，成人按规定剂量服药一次后，每毫升血液中含药量(微克)与时间(小时)之间的关系可由函数拟合().
（1）当时，求使得的的取值范围；
（2）研究人员按照的值来评估该药的疗效，并测定时此药有效，若某次服药后测得时每毫升血液中的含药量为6微克，求此次服药产生疗效的时长.
【答案】（1）；（2）3小时.
【分析】
（1）当时，求出函数的解析式，分段讨论当时的取值范围，再求并集即可；
（2）由题可求出，即可得出q关于t的函数关系时，再令求出t的值，结合单调性可求出.
【详解】
（1）当时，，
当时，，解得，，
当，，解得，，
综上，使得的的取值范围为；
（2）当，，解得（舍负），
，
.
令，解得，
时，，当时，单调递减，
故可知的解集为，
所以此次服药产生疗效的时长为3小时.
【点睛】
本题考查利用给定函数模型解决实际问题，解题的关键是正确理解函数关系，会利用单调性解不等式，考查学生的计算能力.www-2-1-cnjy-com
【专题训练】
一、单选题
1．（2021·四川高三月考（理））函数的大致图象为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
确定奇偶性，排除两个选项，然后再由函数值的变化趋势排除一个选项，得正确选项．
【详解】
由可知是偶函数，排除A，B；当时，，选项C错误．
故选：D
【点睛】
思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：
(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．
(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；
(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；
(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.
2．（2021·江苏盐城市·高三一模）函数在其定义域上的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
可判断函数为奇函数，再根据时的符号可得正确的选项.
【详解】
函数的定义域为，它关于原点对称.
又，故为奇函数，故排除AB选项，
又当时，，
故选：D.
3．（2021·江苏常州市·高三开学考试）函数，A>0，>0，k，bR，则函数在区间(﹣，)上的零点最多有（ ）
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
【答案】B
【分析】
根据函数零点可转化为两个函数图象交点，画出函数大致图象即可求解.
【详解】
由，可得，
的周期，
故在区间(﹣，)上恰好2个周期，
作出与函数的大致图象如图，
由图象可知，最多有5个交点，故函数在区间(﹣，)上的零点最多有5个.
故选：B
【点睛】
关键点点睛：函数的零点问题可转_??????????¨???????_的问题，也可转化为两个函数图象交点的问题，本题转化为函数图象交点问题，作出大致图象可判断交点个数.
4．（2021·广西梧州市·高三其他模拟（文））已知，若函数有4个零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
设，将题干条件转化为函数与的图象有4个交点，同一坐标系下作出函数与的图象，分别讨论和时交点个数，再求当时，函数与的图象相切，求得临界的斜率k，结合图象分析，即可得答案.【来源：21cnj*y.co*m】
【详解】
由题意有4个零点，即有4个零点.
设，则恒过点，所以函数与的图象有4个交点，
在同一直角坐标系下作出函数与的图象，如图.
由图象可知，当函数过点和时，即时，此时函数与的图象恰有3个交点；
当时，函数与的图象至多有2个交点
当时，若函数与的图象相切时，设切点为，则，
所以，所以，解得，
所以，此时函数与的图象恰有3个交点；
当时，两函数图象至多有两个交点.
所以若要使函数有4个零点，则.
故选：C.
【点睛】
解题的关键是将函数零点问题，转化为图象求交点的问题，数形结合，即可得答案，难点在于当时，需利用导数求的切线的斜率，即为临界值，方可得答案，考查分析推理，数形结合的能力，属中档题.【出处：21教育名师】
5．（2021·四川成都市·石室中学高三月考（理））已知函数，若关于的方程恰好有4个不相等的实根，则取值范围是（ ）21cnjy.com
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
求导可判断的单调性，由方程根的个数，可得的图象与直线交点个数为4，再根据二次方程区间根问题可得，关于t的方程有两个实数根，设，根据二次函数的性质，可列出方程组，即可求得答案.
【详解】
因为，
所以，
当时，，则为增函数，
当时，，则为减函数，
所以的极大值为，
设，则关于x的方程可化为，
设关于t的方程有两个实数根，
则关于的方程恰好有4个不相等的实根等价为：
函数的图象与的交点个数为4，
函数的图象与的图象如下所示：
所以关于t的方程有两个实数根，
设，
则有，解得.
故选：C
【点睛】
解题的关键是将方程根问题转化为图象求交点的问题，需利用导数研究函数图象的性质及二次方程区间根问题，考查分析理解，计算求值的能力，属中档题.
6．（2019·平罗中学高三月考（文））函数零点所在区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
利用零点存在性定理计算，由此求得函数零点所在区间.
【详解】
依题意可知在上为增函数，且，，，所以函数零点在区间.
故选：C.
【点睛】
本小题主要考查零点存在性定理的运用，属于基础题.
7．（2021·河北区·天津十四中高三开学考试）函数与的图象交点为，则所在区间是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
令函数，，由于，所以区间(2,3)必有零点．
8．（2021·天津静海区·静海一中高三期末）已知函数有两个零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
分离变量，利用导函数应用得到函数在无零点，则有两个零点，利用函数最值得到参数范围
【详解】
当时，，∴不是函数的零点.当时，由，得，设，，则在上单调递减，且.所以时无零点
当时，等价于，令，，
得在上单调递减，在上单调递增，，.
因为有2个零点，所以.
故选：B.
【点睛】
分离变量法，利用导数求函数的单调性，极值是解题关键.
二、多选题
9．（2021·全国高三零模）已知函数，则（ ）
A．在单调递增
B．有两个零点
C．曲线在点处切线的斜率为
D．是偶函数
【答案】AC
【分析】
根据函数的定义域可判断D，利用函数的导数的正负可判断A，利用导数的几何意义可判断C，根据函数值的情况及零点定义可判断B.
【详解】
由知函数的定义域为，
，
当时，，，
故在单调递增，A正确；
由，当时，，
当，所以只有0一个零点，B错误；
令，，故曲线在点处切线的斜率为，C正确；
由函数的定义域为，不关于原点对称知，不是偶函数，D错误.
故选：AC
【点睛】
关键点点睛：解决本题时，利用函数的导数判断函数的增减性，利用导数的几何意义求切线的斜率，属于中档题.
10．（2021·山东高三专题练习）若函数的图像在R上连续不断，且满足，，，则下列说法错误的是（ ）
A．在区间(0，1)上一定有零点，在区间(1，2)上一定没有零点
B．在区间(0，1)上一定没有零点，在区间(1，2)上一定有零点
C．在区间(0，1)上一定有零点，在区间(1，2)上可能有零点
D．在区间(0，1)上可能有零点，在区间(1，2)上一定有零点
【答案】ABD
【分析】
根据的图像在上连续不断，，，，结合零点存在定理，判断出在区间和上零点存在的情况，得到答案．
【详解】
由题知，所以根据函数零点存在定理可得在区间上一定有零点，
又，无法判断在区间上是否有零点，在区间(1，2)上可能有零点．
故选：．
11．（2020·嘉祥县第一中学高三月考）设函数, 已知在有且仅有个零点.下述四个结论中正确的是（ ）
A．在有且仅有个最大值点 B．在有且仅有个最小值点
C．在单调递增 D．的取值范围是
【答案】ACD
【分析】
先求已知求出的范围，然后再结合的图象判断选择支是否正确．
【详解】
由于，，而在有且仅有个零点，
所以，解得，D正确；
因此只有满足的是在上的最大值点，共3个，A正确；
满足的显然是在上的最小值点，但当接近时，，也是一个最小值点，这时有3个最小值点，B错；
当时，由，所以是递增的，C正确．
故选：ACD．
【点睛】
本题考查三角函数的图象与性质，解题时掌握正弦函数的图象与性质是解题关键．把作为一个整体，函数就可与进行类比．21·cn·jy·com
12．（2020·河北省尚义县第一中学高三期中）已知函数，若函数恰有个零点，则实数可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABC
【分析】
先由题意，在同一直角坐标系中作出与的图像，将函数零点问题转化为与交点个数的问题，结合图形，即可得出结果.
【详解】
令，则，
在同一直角坐标系中作出与的图像，
因为函数恰有个零点，
所以只需与有两个交点.
由图可知，为使与有两个交点，
只需或即可，
故当时，两函数均有两个交点，即ABC正确；当时，两函数有三个交点，不满足题意，故D错；
故选：ABC.
【点睛】
本题主要考查由函数零点个数求参数的问题，根据数形结合的方法即可求解，属于常考题型.
第II卷（非选择题）
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三、填空题
13．（2021·浙江绍兴市·高三期末）已知函数，，若函数只有唯一零点，则实数的取值范围是________.
【答案】
【分析】
存在1个零点可转化为有1根，函数与有1个交点即可.
【详解】
令，
得，
作出函数与的图象，
令，所以，则在单调递减，图象如下：
由图象可知，
当，即时，图象有1个交点，即存在1个零点.
故答案为：
【点睛】
方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.
14．（2021·长宁区·上海市延安中学高三期中）已知函数，若函数g(x)=f(x)-k有两个不同的零点，则实数k的取值范围是________.
【答案】
【分析】
作出函数f(x)，的图象，将函数g(x)=f(x)-k有两个不同的零点，转化为y=f(x)，y=k的图象又两个不同的交点求解.
【详解】
函数的图象如图所示：
若函数g(x)=f(x)-k有两个不同的零点，等价于y=f(x)，y=k的图象又两个不同的交点，
由图知：
故答案为：
【点睛】
方法点睛：由函数零点_????????°?±??????°_范围问题：若方程可解，通过解方程即可得出参数的范围；若方程不易解或不可解，则将问题转化为构造两个函数，利用两个函数图象的关系求解，这样会使得问题变得直观、简单，这也体现了数形结合思想的应用．
四、解答题
15．（2020·福建漳州市·龙海二中高三月考）某乡镇响应“绿水青山就是金山银山”的号召，因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色小镇”．经调研发现：某珍惜水果树的单株产量（单位：千克）与施用肥料（单位：千克）满足如下关系：，肥料成本投入为元，其它成本投入（如培育管理、施肥等人工费）元．已知这种水果的市场售价大约15元/千克，且销售畅通供不应求，记该水果单株利润为（单位：元）
（1）写单株利润（元）关于施用肥料（千克）的关系式；
（2）当施用肥料为多少千克时，该水果单株利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1）（2）故当施肥量为4千克时，该水果树的单株利润最大，最大利润为480元．
【分析】
（1）用销售额减去成本投入得出利润的解析式；
（2）分段判断的单调性，及利用基本不等式求出的最大值即可．
【详解】
（1）依题意，又
所以．
（2）当时，，开口向上，对称轴为，
在，上单调递减，在，上单调递增，
在，上的最大值为．
当时，，
当且仅当时，即时等号成立．
因为，所以当时，．
答：当投入的肥料费用为40元时，种植该果树获得的最大利润是480元．
【点睛】
在应用基本不_???????±??????????_，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．21·世纪*教育网
16．（2020·山东菏泽市·高三期中）某公司为调动员工工作积极性拟制定以下奖励方案，要求奖金y（单位：元）随投资收益x（单位：万元）的增加而增加，奖金不超过90万元，同时奖金不超过投资收益的20%即假定奖励方案模拟函数为时，该公司对函数模型的基本要求是：当时，①是增函数；②恒成立；③恒成立.21*cnjy*com
（1）现有两个奖励函数模型：（Ⅰ）；（Ⅱ）.试分析这两个函数模型是否符合公司要求？
（2）已知函数符合公司奖励方案函数模型要求，求实数a的取值范围.
【答案】（1）函数（Ⅱ）模型符合公司要求；（2）.
【分析】
（1）对于函数（Ⅰ）：举例，不符合条件③，排除
对于函数（Ⅱ）：验证三个条件满足，函数（Ⅱ）模型符合公司要求.
（2）对函数，由三个条件验证求得范围得解
【详解】
（1）对于函数（Ⅰ）：因为，即函数（Ⅰ）不符合条件③，
所以函数不符合公司奖励方案函数模型的要求；
对于函数（Ⅱ）：当时，是增函数，
且，所以恒成立
设，因为，
所以当时，所以恒成立.
所以函数（Ⅱ）模型符合公司要求.
（2）因为，所以函数满足条件①，
由函数满足条件②得：，所以，
由函数满足条件③得：对恒成立，
即对恒成立，因为
当且仅当时等号成立，所以
综上所述，实数a的取值范围是.
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