点线面位置关系的判定
一、基础知识
（一）直线与直线位置关系：
1、线线平行的判定
（1）平行公理：空间中平行于同一直线的两条直线平行
（2）线面平行性质：如果一条直线与平面平行，则过这条直线的平面与已知平面的交线和该直线平行
（3）面面平行性质：
2、线线垂直的判定
（1）两条平行直线，如果其中一条与某直线垂直，则另一条直线也与这条直线垂直
直线与平面位置关系：
（2）线面垂直的性质：如果一条直线与平面垂直，则该直线与平面上的所有直线均垂直
（二）直线与平面的位置关系
1、线面平行判定定理：
（1）若平面外的一条直线与平面上的一条直线平行，则
（2）若两个平面平行，则一个平面上的任一直线与另一平面平行
2、线面垂直的判定：
（1）若直线与平面上的两条相交直线垂直，则
（2）两条平行线中若其中一条与平面垂直，则另一条直线也与该平面垂直
（3）如果两个平面垂直，则一个平面上垂直于交线的直线与另一平面垂直
（三）平面与平面的位置关系
1、平面与平面平行的判定：
（1）如果一个平面上的两条相交直线均与另一个平面平行，则两个平面平行
（2）平行于同一个平面的两个平面平行
2、平面与平面垂直的判定
如果一条直线与一个平面垂直，则过这条直线的所有平面均与这个平面垂直
（四）利用空间向量判断线面位置关系
1、刻画直线，平面位置的向量：直线：方向向量
平面：法向量
2、向量关系与线面关系的转化：
设直线对应的法向量为，平面对应的法向量为（其中在外）
（1）∥∥
（2）
（3）∥
（4）
（5）
（6）
3、有关向量关系的结论
（1）若，则
平行+平行→平行
（2）若，则
平行+垂直→垂直
（3）若，则的位置关系不定。
4、如何用向量判断位置关系命题真假
（1）条件中的线面关系翻译成向量关系
（2）确定由条件能否得到结论
（3）将结论翻译成线面关系，即可判断命题的真假
二、典型例题：
例1：已知是两个不同的平面，是两条不同的直线，现给出下列命题：
①若，则；
②若，则；
③若，则；
④若，则．
其中正确命题的个数是（
）
A．0
B．1
C．2
D．3
思路：①为面面平行的判定，要求一个平面上两条相交直线，而①中不一定相交。所以无法判定面面平行；②为面面垂直的性质，要求一个平面上垂直交线的直线，才与另一平面垂直。而②中不一定与交线垂直。所以不成立；③可用向量判定，设对应法向量为，直线方向向量为，则条件转换为：，可推得，即，③正确；④为线面平行判定，要求在外，所以④错误；综上只有1个命题正确
答案：B
例2：已知是不同的直线，是不同的平面，以下命题正确的是（
）
①若∥，，则∥；
②若，∥，则；
③若∥，则∥；
④若，∥，∥，则；
A．②③
B．③④
C．②④
D．③
思路：题目中涉及平行垂直较多，所以考虑利用正方体（举反例）或向量判断各个命题
①
两平面各选一条直线，两直线平行不能判断出两个平面平行，例如在正方体中在平面和平面中，虽然，但两个平面不平行，所以①错误
②
例如：平面∥平面，，但与不垂直，所以②错误
③
考虑利用向量帮助解决：，所以可以推断，所以可得∥
④
考虑利用向量解决：，由垂直关系不能推出，所以④错误
答案：D
例3：对于直线和平面，的一个充分条件为（
）
A.
B.
C.
D.
思路：求的充分条件，即从A,B,C,D中选出能判定的条件，A选项：例如正方体中的平面和平面
可知虽然平面，平面，但这两个平面不平行。B选项：也可利用A选项的例子说明无法推出，C选项可用向量模型进行分析：，所以可得：，即；D选项可利用A选项的例子：，可知平面，平面，但这两个平面不平行，综上所述，只有C为的一个充分条件
答案：C
例4：给定下列四个命题：
①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；
②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；
③垂直于同一直线的两条直线相互平行；
④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．
其中，为真命题的是（
）
A．①和②
B．②和③
C．③和④
D．②和④
思路：分别判断四个命题：①
必须是一个平面内两条“相交”直线与另一个平面平行，才可判定两平面平行，所以①错误；②
该命题为面面垂直的判定，正确；③
空间中垂直同一条直线的两条直线不一定平行，例如正方体中交于一点的三条棱；④
可用反证法确定，假设该直线与另一平面垂直，则必然垂直该平面上所有的直线，包括两平面的交线。所以与条件矛盾。假设不成立。综上所述，正确的命题是②和④
答案：D
例5：已知，表示两条不同直线，表示平面，下列说法中正确的是（
）
A．若，，则
B．若∥，∥则∥
C．若，，则∥
D．若∥，，则
思路：A选项若直线与平面垂直，则直线与这个平面上的所有直线均垂直，所以A正确
B选项可用向量判断，∥，∥，由，无法判断出的关系，所以不能推出∥；C选项并没有说明直线是否在平面上，所以结论不正确；D选项也可用向量判断，∥，，同理由无法判断的情况，所以无法推断出，综上所述：A正确
答案：A
例6：给出下列命题，其中正确的两个命题是（
）
①
直线上有两点到平面的距离相等，则此直线与平面平行。②夹在两个平行平面间的两条异面线段的中点连线平行于这两个平面；③
直线平面，直线，则；④是异面直线，则存在唯一的平面，使它与都平行且与距离相等
A.
①②
B.
②③
C.
③④
D.
②④
答案：D
思路：①
到平面距离相等的点可能位于平面的同侧或是异侧，如果是同侧，则两点所在直线与平面平行，如果异侧，则直线与平面相交，且交点为这两点的中点。②正确，证明如下：
如图，平面，且分别为的中点，过作交于，连接，设是的中点
平面
③
命题中没有说明直线是否在上，所以不正确；④正确，设为异面直线的公垂线段，为中点，过作的平行线，从而由确定的平面与平行且与的距离相等。所以该平面即为所求。
答案：D
例7：下列命题正确的个数是（
）
①
若直线上有无数个点不在平面内，则∥
②
若直线∥，则与平面内的任意一条直线都平行
③
如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行
④
若直线∥，则与平面内的任意一条直线都没有公共点
A.
0
B.
1
C.
2
D.
3
思路：①
“无数个点”只是强调数量多，并不等同于“任意点”，即使直线与平面相交，直线上也有无数个点不在平面内。所以①不正确；②
若∥，说明与没有公共点，所以与上任意一条直线都没有公共点，但即使无公共点，的位置关系不只是有平行，还有可能异面，所以②不正确；③
线面平行的前提是直线在平面外，而命题③中没有说明“另一条”直线是否在平面上，所以③不正确；命题④可由②得知，与上任意一条直线都没有公共点，命题④正确，综上所述，正确的有1个
答案：B
例8：直线为两异面直线，下列结论正确的是（
）
A.
过不在上的任何一点，可作一个平面与都平行
B.
过不在上的任何一点，可作一个直线与都相交
C.
过不在上的任何一点，可作一个直线与都平行
D.
过有且只有一个平面与平行
思路：A选项中，如果点与确定的平面与平行，则此平面只和平行，在此平面上，所以这样的是无法作出符合条件的平面；B选项由A所构造出的平面可得，若过的直线与相交，则也在该平面上，所以与无公共点；若过的直线与相交，则无法与相交，综上所述对于这样的点无法作出符合条件的直线；C选项如果过的直线与均平行，则由平行公理可知，与已知条件矛盾，所以C错误；D选项，如果异面，则过只能做出一个平面与平行。在上取两点分别作的平行线，则所唯一确定的平面和平行，且在此平面上。所以D正确
答案：D
例9：设是两条异面直线，是空间任意一点，则下列命题正确的是（
）
A.
过点必存在平面与两异面直线都垂直
B.
过点必存在平面与两异面直线都平行
C.
过点必存在直线与两异面直线都垂直
D.
过点必存在直线与两异面直线都平行
思路：A选项，若平面与均垂直，则推得，与异面矛盾；B选项如果点位于某条直线上，则平面无法与该直线平行；C选项中直线的垂直包括异面垂直，所以可以讲平移至共面，过的直线只需与这个平面线面垂直，即和都垂直，所以C正确；D选项如果直线与均平行，则由平行公理可得，与异面矛盾。所以C正确
答案：C
例10：设是不同的直线，是不重合的平面，则下列命题不正确的是（
）
A.
若∥，∥，在外，则∥
B.
若，则
C.
若∥，则∥
D.
若，且，则∥
思路：A选项可通过向量来判断：，由此可得：，因为在外，所以可判定∥，A正确；B选项设，则上所有点的投影落在中，上所有点的投影落在中，因为，所以上所有点的投影均在的交点上，即，所以B正确；C选项符合面面平行的性质，即两个平面平行，第三个平面与这两个平面相交，则交线平行，所以C正确；D选项中若A,C位于同侧，则命题成立；但如果位于两侧，则满足条件的与相交。故不正确
答案：D定点定直线问题
一、基础知识：
1、处理定点问题的思路：
（1）确定题目中的核心变量（此处设为）
（2）利用条件找到与过定点的曲线
的联系，得到有关与的等式
（3）所谓定点，是指存在一个特殊的点，使得无论的值如何变化，等式恒成立。此时要将关于与的等式进行变形，直至易于找到。常见的变形方向如下：
①
若等式的形式为整式，则考虑将含的项归在一组，变形为“”的形式，从而只需要先让括号内的部分为零即可
②
若等式为含的分式，
的取值一方面可以考虑使其分子为0，从而分式与分母的取值无关；或者考虑让分子分母消去的式子变成常数（这两方面本质上可以通过分离常数进行相互转化，但通常选择容易观察到的形式）
2、一些技巧与注意事项：
（1）面对复杂问题时，可从特殊情况入手，以确定可能的定点（或定直线）。然后再验证该点（或该直线）对一般情况是否符合。属于“先猜再证”。
（2）有些题目所求与定值无关，但是在条件中会隐藏定点，且该定点通常是解题的关键条件。所以当遇到含参数的方程时，要清楚该方程为一类曲线（或直线），从而观察这一类曲线是否过定点。尤其在含参数的直线方程中，要能够找到定点，抓住关键条件。例如：直线，就应该能够意识到，进而直线绕定点旋转
二、典型例题：
例1：椭圆的离心率为，其左焦点到点的距离为
（1）求椭圆的标准方程
（2）若直线与椭圆相交于两点（不是左右顶点），且以为直径的圆过椭圆的右顶点。求证：直线过定点，并求出该定点的坐标
解：（1），设左焦点
，解得
椭圆方程为
（2）由（1）可知椭圆右顶点
设，以为直径的圆过
即
①
联立直线与椭圆方程：
，代入到①
或
当时，
恒过
当时，
恒过，但为椭圆右顶点，不符题意，故舍去
恒过
例2：已知椭圆经过点，且椭圆的离心率为
（1）求椭圆的方程
（2）过椭圆的右焦点作两条互相垂直的直线，分别交椭圆于和，设线段的中点分别为，求证：直线恒过一个定点
解：（1）
代入可得：
椭圆方程为
（2）由（1）可得：
当直线斜率不存在时，
所以可得：
为轴
当斜率存在时，设，则
设，联立方程可得：
同理，联立，可得：
的方程为：，整理可得：
时，直线方程对均成立
直线恒过定点
而斜率不存在时，直线也过
直线过定点
例3：如图，已知椭圆的左右焦点为，其上顶点为，已知是边长为2的正三角形
（1）求椭圆的方程
（2）过点任作一动直线交椭圆于两点，记，若在线段上取一点使得，试判断当直线运动时，点是否在某一定直线上运动？若在，请求出该定直线；若不在请说明理由
解：（1）由椭圆方程可得
为边长是2的三角形
（2）设
设，
由可得：
设，则
由可得：
①
联立方程组，消去整理可得：
代入到①可得：
在定直线上
例4：已知椭圆的中心在坐标原点，左，右焦点分别为，为椭圆上的动点，的面积最大值为，以原点为中心，椭圆短半轴长为半径的圆与直线相切
（1）求椭圆的方程
（2）若直线过定点且与椭圆交于两点，点是椭圆的右顶点，直线分别与轴交于两点，试问以线段为直径的圆是否过轴上的定点？若是，求出定点坐标；若不是，说明理由
解：（1）
因为圆与直线相切
椭圆方程为：
（2）当直线的斜率存在时，设，由椭圆方程可得点
设，联立方程可得：
由，可得：
，分别令，可得：
，设轴上的定点为
若为直径的圆是否过，则
问题转化为恒成立
即
①
由及可得：
代入到①可得：
解得：
圆过定点
当直线斜率不存在时，直线方程为，可得为直径的圆过点
所以以线段为直径的圆过轴上定点
例5：如图，在平面直角坐标系中，离心率为的椭圆的左顶点为，过原点的直线（与坐标轴不重合）与椭圆交于两点，直线分别与轴交于两点，当直线的斜率为时，
（1）求椭圆的标准方程
（2）试问以为直径的圆是否过定点（与的斜率无关）？请证明你的结论
解：（1）由可得：
由对称性可知：
由可得
椭圆方程为代入，可得：
（2）设由对称性可知，由（1）可知
设，联立直线与椭圆方程：
，整理可得：
解得：，代入可得：
从而
，因为是直线与轴的交点
以为直径的圆的圆心为，半径
圆方程为：，整理可得：
所以令，解得
以为直径的圆恒过
例6：已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切，过点且不垂直轴的直线与椭圆相交于两点
（1）求椭圆的方程
（2）若点关于轴的对称点是，求证：直线与轴相交于定点
解：（1）
已知圆方程为：
因为与直线相切
椭圆的方程为：
（2）设直线，
联立方程可得：，消去可得：
考虑直线
直线的方程为：
令可得：
，而，代入可得：
，
代入
可得：
与轴交于定点
例7：在平面直角坐标系中，已知椭圆与直线，四个点中有三个点在椭圆上，剩余一个点在直线上
（1）求椭圆的方程
（2）若动点在直线上，过作直线交椭圆于两点，使得，再过作直线，求证：直线恒过定点，并求出该定点的坐标
解：（1）因为四个点中有三点在椭圆上，由椭圆的对称性可知：必在椭圆上
若在椭圆上，则为椭圆的左顶点。
但，所以与在椭圆上矛盾
在椭圆上
椭圆方程为
（2）依题意可得，方程为：
且共线
为中点
在椭圆内部
设，因为与椭圆交于
为中点且于
为的中垂线
设
为中点
当时
恒过
当时，直线
为轴，过
无论位于哪个位置，直线恒过
例8：已知圆，点，点在圆上运动，的垂直平分线交于点
（1）求动点的轨迹的方程
（2）过且斜率为的动直线交曲线于两点，在轴上是否存在定点，使得以为直径的圆恒过这个点？若存在，求出的坐标；若不存在，说明理由
解：（1）由图像可得：
点的轨迹为以为焦点的椭圆
（2）设直线，，与椭圆方程联立可得：
消去可得：，整理后可得：
设，因为以为直径的圆过点
①
代入到①可得：
所以只需：
可得
所以存在定点
例9：已知椭圆和圆，分别为椭圆的左顶点，下顶点和右焦点
（1）点是曲线上位于第二象限的一点，若的面积为，求证：
（2）点分别是椭圆和圆上位于轴右侧的动点，且直线的斜率是直线斜率的2倍，求证：直线恒过定点
解：（1）由椭圆可得
设，由在第二象限可得：
的面积为
，代入圆方程可得：
（2）设直线的斜率为，则直线的斜率为
，联立与椭圆方程：
代入直线方程可得：
联立与圆方程：
代入直线方程可得：
的方程为：
整理可得：
直线恒过定点圆锥曲线中的定值问题
一、基础知识：
所谓定值问题，是指虽然圆锥曲线中的某些要素（通常可通过变量进行体现）有所变化，但在变化过程中，某个量的值保持不变即为定值。
1、常见定值问题的处理方法：
（1）确定一个（或两个）变量为核心变量，其余量均利用条件用核心变量进行表示
（2）将所求表达式用核心变量进行表示（有的甚至就是核心变量），然后进行化简，看能否得到一个常数。
2、定值问题的处理技巧：
（1）对于较为复杂的问题，可先采用特殊位置（例如斜率不存在的直线等）求出定值，进而给后面一般情况的处理提供一个方向。
（2）在运算过程中，尽量减少所求表达式中变量的个数，以便于向定值靠拢
（3）巧妙利用变量间的关系，例如点的坐标符合曲线方程等，尽量做到整体代入，简化运算
二、典型例题：
例1：已知双曲线的中心在原点，对称轴为坐标轴，一条渐近线方程为，右焦点，双曲线的实轴为，为双曲线上一点（不同于），直线分别于直线交于两点
（1）求双曲线的方程
（2）试判断是否为定值，若为定值，求出该值；若不为定值，请说明理由
解：（1）由可得，且焦点在轴上
所以设双曲线方程为：，则渐近线方程为
由解得：
双曲线方程为
（2）由（1）可得：，设
设，联立方程解得：
同理：设，联立方程可得：
下面考虑计算的值
在双曲线上
所以为定值
例2：已知椭圆的离心率为，且过点
（1）求椭圆方程
（2）设不过原点的直线，与该椭圆交于两点，直线的斜率依次为，且满足，试问：当变化时，是否为定值？若是，求出此定值，并证明你的结论；若不是，请说明理由
解：（1）由可得：
椭圆方程为代入可得：
解得：
椭圆方程为
（2）设，联立方程可得：
消去可得：，整理可得：
依题意可知：
即
①
由方程可得：
代入①可得：
，整理可得：
可知为定值，与的取值无关
例3：已知椭圆经过点，，动点
（1）求椭圆标准方程
（2）设为椭圆的右焦点，过作的垂线与以为直径的圆交于点，求证：的长为定值，并求出这个定值
解：（1）由可得：
椭圆方程可转化为：，将代入椭圆方程可得：
，解得：
椭圆方程为
（2）由（1）可得：
思路一：通过圆的性质可得，而（设垂足为），由双垂直可想到射影定理，从而，即可判定为定值
，设与相交于
则解得：
为圆的直径
由射影定理可得：
思路二：本题也可从坐标入手，设，则只需证明为定值即可，通过条件寻找关系，一方面：，可得；另一方面由点在圆上，可求出圆的方程，从而，展开后即可得到为定值
解：设，则
的中点坐标为，
以为直径的圆方程为：
代入，可得：
即
例4：已知椭圆的离心率为，半焦距为，且，经过椭圆的左焦点，斜率为的直线与椭圆交于两点，为坐标原点
（1）求椭圆的方程
（2）设，延长分别与椭圆交于两点，直线的斜率为，求证：为定值
解：（1），设
由可得：
（2）由（1）可得
，设
可得：
联立方程
同理，直线与椭圆交点的坐标为
设
，代入可得：
例5：已知椭圆的右焦点为，且点在椭圆上，为坐标原点
（1）求椭圆的标准方程
（2）过椭圆上异于其顶点的任一点，作圆的切线，切点分别为（不在坐标轴上），若直线的横纵截距分别为，求证：为定值
解：（1）依可知
椭圆方程为代入解得：
椭圆方程为
（2）思路：由（1）可得：，可设，由题意可知为过作圆切线所产生的切点弦，所以,从而可得，所以，由椭圆方程可得，从而为定值
解：由（1）可得：
设
可知是过作圆切线所产生的切点弦
设，由是切点可得：
，代入：，
即
，同理可知对于，有
因为在圆上
为直线上的点
因为两点唯一确定一条直线
，即
由截距式可知
在椭圆上
即为定值
（1）本题定值是通过整体代入的手段，即抓住最后的特点整体消去所得，所以在处理定值问题时，涉及的变量个数可以多，但是要有一定的条件保证能够消去。
（2）本题求直线方程的过程即为切点弦公式证明的过程，此时抓住两点所在方程“同构”的特点，从而确定直线方程
注：切点弦方程：过圆外一点作圆的切线，切点为，则切点弦的方程为：
例6：如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆，设为椭圆上任意一点。过原点作圆的两条切线，分别交椭圆于
（1）若直线相互垂直，求的方程
（2）若直线斜率存在，并记为，求证：是一个定值
（3）试问是否为定值？若是，求出该值；若不是，请说明理由
解：（1）由可得
，即
联立方程：或或或
的方程为：
或或
或
（2）思路：可设直线，均与圆相切，可得（其中）化简可得：，可发现均满足此方程，从而为的两根。则，再利用椭圆方程消元即可得到定值
解：设
与相切
化简可得：
对于，同理可得：
为的两根
（3）思路：设，，由第（2）问所得结论，可以考虑通过联立直线与椭圆方程将坐标分别用进行表示，再判断是否为定值
解：当不在坐标轴上时，设
同理可得：
若在坐标轴上（不妨设在轴）上，则
综上所述，为定值
例7：已知椭圆，称圆心在原点，半径为的圆为椭圆的“准圆”，若椭圆的一个焦点为，其短轴上的一个端点到的距离为
（1）求椭圆的方程及其“准圆”方程
（2）点是椭圆的“准圆”上的动点，过点作椭圆的切线交“准圆”于点
①
当点为“准圆”与轴正半轴的交点时，求直线的方程并证明
②
求证：线段的长为定值
解：（1）依题意可得：，
（2）①
由（1）可得，设切线方程为：
联立方程：消去可得：
整理可得：
解得：
所以
②
设
则，消去可得：
整理可得：
整理后可得：
同理，对于设切线的斜率为，则有：
在“准圆”上
所以
为“准圆”的直径
为定值，
例8：已知点在椭圆上，椭圆的左焦点为
（1）求椭圆的方程
（2）直线过点交椭圆于两点，是椭圆经过原点的弦，且，问是否存在正数，使得为定值？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由。
解：（1）由左焦点可得，由
，代入可得：解得：
（2）思路：由所求可联想到弦长公式，除了所求变量，直线的另一核心要素为斜率（假设存在），通过可联想到弦长公式，所以分别将直线的方程与椭圆方程联立，进而为关于的表达式，若为常数，则意味着与的取值无关，进而确定的值
设直线,，联立方程：
设
，则
所以若是个常数，
也为的形式，即
此时，当直线斜率不存在时，可得符合题意放缩法证明数列不等式
一、基础知识：
在前面的章节中，也介绍了有关数列不等式的内容，在有些数列的题目中，要根据不等式的性质通过放缩，将问题化归为我们熟悉的内容进行求解。本节通过一些例子来介绍利用放缩法证明不等式的技巧
1、放缩法证明数列不等式的理论依据——不等式的性质：
（1）传递性：若，则（此性质为放缩法的基础，即若要证明，但无法直接证明，则可寻找一个中间量，使得，从而将问题转化为只需证明即可
）
（2）若，则，此性质可推广到多项求和：
若，则:
（3）若需要用到乘法，则对应性质为：若，则，此性质也可推广到多项连乘，但要求涉及的不等式两侧均为正数
注：这两条性质均要注意条件与结论的不等号方向均相同
2、放缩的技巧与方法：
（1）常见的数列求和方法和通项公式特点：
①
等差数列求和公式：，（关于的一次函数或常值函数）
②
等比数列求和公式：，（关于的指数类函数）
③
错位相减：通项公式为“等差等比”的形式
④
裂项相消：通项公式可拆成两个相邻项的差，且原数列的每一项裂项之后正负能够相消，进而在求和后式子中仅剩有限项
（2）与求和相关的不等式的放缩技巧：
①
在数列中，“求和看通项”，所以在放缩的过程中通常从数列的通项公式入手
②
在放缩时要看好所证不等式中不等号的方向，这将决定对通项公式是放大还是缩小（应与所证的不等号同方向）
③
在放缩时，对通项公式的变形要向可求和数列的通项公式靠拢，常见的是向等比数列与可裂项相消的数列进行靠拢。
④
若放缩后求和发现放“过”了，即与所证矛盾，通常有两条道路选择：第一个方法是微调：看能否让数列中的一些项不动，其余项放缩。从而减小放缩的程度，使之符合所证不等式；第二个方法就是推翻了原有放缩，重新进行设计，选择放缩程度更小的方式再进行尝试。
（3）放缩构造裂项相消数列与等比数列的技巧：
①
裂项相消：在放缩时，所构造的通项公式要具备“依项同构”的特点，即作差的两项可视为同一数列的相邻两项（或等距离间隔项）
②
等比数列：所面对的问题通常为“常数”的形式，所构造的等比数列的公比也要满足
，如果题目条件无法体现出放缩的目标，则可从所证不等式的常数入手，，常数可视为的形式，然后猜想构造出等比数列的首项与公比，进而得出等比数列的通项公式，再与原通项公式进行比较，看不等号的方向是否符合条件即可。例如常数，即可猜想该等比数列的首项为，公比为，即通项公式为
。
注：此方法会存在风险，所猜出的等比数列未必能达到放缩效果，所以是否选择利用等比数列进行放缩，受数列通项公式的结构影响
（4）与数列中的项相关的不等式问题：
①
此类问题往往从递推公式入手，若需要放缩也是考虑对递推公式进行变形
②
在有些关于项的不等式证明中，可向求和问题进行划归，即将递推公式放缩变形成为可“累加”或“累乘”的形式，即或（累乘时要求不等式两侧均为正数），然后通过“累加”或“累乘”达到一侧为，另一侧为求和的结果，进而完成证明
3、常见的放缩变形：
（1），其中：可称为“进可攻，退可守”，可依照所证不等式不等号的方向进行选择。
注：对于，可联想到平方差公式，从而在分母添加一个常数，即可放缩为符合裂项相消特征的数列，例如：，这种放缩的尺度要小于（1）中的式子。此外还可以构造放缩程度更小的，如：
（2），从而有：
注：对于还可放缩为：
（3）分子分母同加常数：
此结论容易记混，通常在解题时，这种方法作为一种思考的方向，到了具体问题时不妨先构造出形式再验证不等关系。
（4）
可推广为：
二、典型例题：
例1：已知数列的前项和为，若，且
（1）求证：数列是等差数列，并求出的通项公式
（2）设，数列的前项和为，求证：
解：（1）
即
即
，由令可得：
，验证符合上式
（2）
由（1）得：
可知当时，
不等式得证
例2：设数列满足：，设为数列的前项和，已知，
（1）求数列的通项公式
（2）求证：对任意的且，有
解：（1）
为公比是的等比数列
在中，令，
是公比为的等比数列
（2）证明：
例3：已知正项数列的前项和为，且
（1）求证：数列是等差数列
（2）记数列，证明：
解：（1）
为等差数列
（2）思路：先利用（1）可求出的公式进而求出，则，考虑进行放缩求和，结合不等号的方向向裂项相消的形式进行放缩。
解：令代入可得：
即
由为等差数列可得：
考虑先证
时
时，
再证
综上所述：
小炼有话说：本题在证明中用到一个常见的根式放缩：
例4：已知数列满足
（1）求证：数列是等比数列，并求出数列的通项公式
（2）设，求证：
解：（1）
是公比为的等比数列
（2）思路：，无法直接求和，所以考虑放缩成为可求和的通项公式（不等号：），若要放缩为裂项相消的形式，那么需要构造出“顺序同构”的特点。观察分母中有，故分子分母通乘以，再进行放缩调整为裂项相消形式。
解：
而
所以
小炼有话说：（1）本题先确定放缩的类型，向裂项相消放缩，从而按“依序同构”的目标进行构造，在构造的过程中注意不等号的方向要与所证一致。
（2）在求和过程中需要若干项不动，其余进行放缩，从而对求和的项数会有所要求（比如本题中才会有放缩的情况），对于较少项数要进行验证。
例：已知数列的前项和，且
（1）求
（2）求数列的前项和
（3）设数列的前项和，且满足，求证：
解：（1）在中，令可得：
（2）
①
②
①
②可得：
是公差为6的等差数列
（3）由（2）可得：
例6：已知数列满足
（1）试判断数列是否为等比数列，并说明理由
（2）设，数列的前项和为，求证：对任意的
解：（1）
为公比是的等比数列
（2）思路：首先由（1）可求出的通项公式，对于可发现为奇数时，，为偶数时，，结合通项公式可将其写成，从而求出，无法直接求和，所以考虑对通项公式进行放缩，可联想到等比数列，进而，求和后与所证不等式右端常数比较后再进行调整（需前两项不动）即可。
解：，由（1）可得：
而
当时，
因为为正项数列
例7：已知数列满足：，且
（1）求数列的通项公式
（2）证明：对于一切正整数，均有
解：（1）
设即
为公比是的等比数列
而
（2）思路：所证不等式可化简为：，由于是连乘形式，所以考虑放缩为分子分母可相消的特点，观察分母的形式为，所以结合不等号方向，将分子向该形式转化：，再根据右边的值对左边放缩的程度进行调整即可。
证明：所证不等式为：
等价于证明：
设
即不等式得证
小炼有话说：（1）对于一侧是连乘形式的表达式，在放缩时可考虑通过分子分母相消达到化简式子的目的。与裂项相消相似按照“依序同构”的原则构造。
（2）本题中用到了分式放缩的常用方法：通过分子分母加上相同的数达到放缩目的，但要注意不等号的方向（建议验证），常用的放缩公式为：（分子小与分母），（分子大于分母）
例8：已知函数
（1）若函数在处切线斜率为，，已知，求证：
（2）在（1）的条件下，求证：
解：（1）
整理后可得：
下面用数学归纳法证明：
当时，成立
假设成立，则时
时，不等式成立
（2）
由（1）可知几何问题的转换
一、基础知识：
在圆锥曲线问题中，经常会遇到几何条件与代数条件的相互转化，合理的进行几何条件的转化往往可以起到“四两拨千斤”的作用，极大的简化运算的复杂程度，在本节中，将列举常见的一些几何条件的转化。
1、在几何问题的转化中，向量是一个重要的桥梁：一方面，几何图形中的线段变为有向线段后可以承载向量；另一方面，向量在坐标系中能够坐标化，从而将几何图形的要素转化为坐标的运算，与方程和变量找到联系
2、常见几何问题的转化：
（1）角度问题：
①
若与直线倾斜角有关，则可以考虑转化为斜率
②
若需要判断角是锐角还是钝角，则可将此角作为向量的夹角，从而利用向量数量积的符号进行判定
（2）点与圆的位置关系
①
可以利用圆的定义，转化为点到圆心距离与半径的联系，但需要解出圆的方程，在有些题目中计算量较大
②
若给出圆的一条直径，则可根据该点与直径端点连线的夹角进行判定：若点在圆内，为钝角（再转为向量：；若点在圆上，则为直角（）；若点在圆外，则为锐角（）
（3）三点共线问题
①
通过斜率：任取两点求出斜率，若斜率相等，则三点共线
②
通过向量：任取两点确定向量，若向量共线，则三点共线
（4）直线的平行垂直关系：可转化为对应向量的平行与垂直问题，从而转为坐标运算：
，则共线；
（5）平行（共线）线段的比例问题：可转化为向量的数乘关系
（6）平行（共线）线段的乘积问题：可将线段变为向量，从而转化为向量数量积问题（注意向量的方向是同向还是反向）
3、常见几何图形问题的转化
（1）三角形的“重心”：设不共线的三点，则的重心
（2）三角形的“垂心”：伴随着垂直关系，即顶点与垂心的连线与底边垂直，从而可转化为向量数量积为零
（3）三角形的“内心”：伴随着角平分线，由角平分线性质可知（如图）：
在的角平分线上
（4）是以为邻边的平行四边形的顶点
（5）是以为邻边的菱形的顶点：在垂直平分线上
（6）共线线段长度的乘积：若共线，则线段的乘积可转化为向量的数量积，从而简化运算，(要注意向量的夹角）例如：，
二、典型例题：
例1：如图：分别是椭圆的左右顶点，为其右焦点，是的等差中项，是的等比中项
（1）求椭圆的方程
（2）已知是椭圆上异于的动点，直线过点且垂直于轴，若过作直线，并交直线于点。证明：三点共线
解：（1）依题意可得：
是的等差中项
是的等比中项
椭圆方程为：
（2）由（1）可得：
设，设
，联立直线与椭圆方程可得：
另一方面，因为
，联立方程：
三点共线
例2：已知椭圆的右焦点为，为上顶点，为坐标原点，若△的面积为，且椭圆的离心率为．
（1）求椭圆的方程；
（2）是否存在直线交椭圆于，两点，
且使点为△的垂心？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．
解：（1）
椭圆方程为：
（2）设，由（1）可得：
为△的垂心
设
由为△的垂心可得：
①
因为在直线上
，代入①可得：
即
②
考虑联立方程：
得．
,．代入②可得：
解得：或
当时，△不存在，故舍去
当时，所求直线存在，直线的方程为
在高中阶段涉及到三角形垂心的性质，为垂心与三角形顶点的连线垂直底边，所以对垂心的利用通常伴随着垂直条件，在解析几何中即可转化为向量的坐标运算（或是斜率关系）
例3：如图，椭圆的一个焦点是
，为坐标原点.
（1）若椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形，求椭圆的方程；
（2）设过点且不垂直轴的直线交椭圆于两点，若直线绕点任意转动，恒有,
求的取值范围.
解：（1）由图可得：
由正三角形性质可得：
椭圆方程为：
（2）设，
为钝角
联立直线与椭圆方程：，整理可得：
恒成立
即恒成立
解得：
的取值范围是
例4：设分别为椭圆的左、右顶点，椭圆长半轴的长等于焦距，且椭圆上的点到右焦点距离的最小值为
（1）求椭圆的方程；
（2）设为直线上不同于点的任意一点，
若直线分别与椭圆相交于异于的点，证明：点在以为直径的圆内
解：（1）依题意可得，且到
右焦点距离的最小值为
可解得：
椭圆方程为
（2）思路：若要证在以为直径的圆内，只需证明为钝角，即为锐角，从而只需证明，因为坐标可求，所以只要设出直线（斜率为）
，联立方程利用韦达定理即可用表示出的坐标，从而可用表示。即可判断的符号，进而完成证明
解：由（1）可得，设直线的斜率分别为，
，则
联立与椭圆方程可得：
，消去可得：
，即
设，因为在直线上，所以，即
为锐角，
为钝角
在以为直径的圆内
例5：如图所示，已知过抛物线的焦点的直线与抛物线相交于两点，与椭圆的交点为，是否存在直线使得？若存在，求出直线的方程，若不存在，请说明理由
解：依题意可知抛物线焦点，设
，不妨设
则
设
考虑联立直线与抛物线方程：
，消去可得：
①
联立直线与椭圆方程：，整理可得：
②
由①②可得：
，解得：
所以存在满足条件的直线，其方程为：
例6：在平面直角坐标系中，已知抛物线的准线方程为，过点作抛物线的切线，切点为（异于点），直线过点与抛物线交于两点，与直线交于点
（1）求抛物线的方程
（2）试问的值是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由
解：（1）由准线方程可得：
抛物线方程：
（2）设切点，抛物线为
切线斜率为
切线方程为：，代入及
可得：，解得：（舍）或
设
共线且在轴上
联立和抛物线方程：，整理可得：
再联立直线方程：
例7：在中，的坐标分别是，点是的重心，轴上一点满足∥，且
（1）求的顶点的轨迹的方程
（2）直线与轨迹相交于两点，若在轨迹上存在点，使得四边形为平行四边形（其中为坐标原点），求的取值范围
解：（1）设
由是的重心可得：
由轴上一点满足平行关系，可得
由可得：
化简可得：
的轨迹的方程为：
（2）
四边形为平行四边形
设
在椭圆上
①
因为在椭圆上，所以，代入①可得：
②
联立方程可得：
代入②可得：
有两不等实根可得：
，即，代入
另一方面：
或
例8：已知椭圆的离心率为，直线过点，且与椭圆相切于点
（1）求椭圆的方程
（2）是否存在过点的直线与椭圆交于不同的两点，使得？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由
解（1）
椭圆方程化为：
过
设直线
联立直线与椭圆方程：消去可得：
整理可得：
与椭圆相切于
椭圆方程为：，且可解得
（2）思路：设直线为，，由（1）可得：，再由可知，若要求得（或证明不存在满足条件的），则可通过等式列出关于的方程。对于，尽管可以用两点间距离公式表示出，但运算较为复杂。观察图形特点可知共线，从而可想到利用向量数量积表示线段的乘积。因为同向，所以。写出的坐标即可进行坐标运算，然后再联立与椭圆方程，运用韦达定理整体代入即可得到关于的方程，求解即可
解：由题意可知直线斜率存在，所以设直线
由（1）可得：
共线且同向
联立直线与椭圆方程：
消去并整理可得：
，代入，可得：
可解得：，另一方面，
若方程有两不等实根
则
解得:
符合题意
直线的方程为：，即：
或
