(共45张PPT)
3.3 对数函数y=logax的图象和性质
自主预习·新知导学
合作探究·释疑解惑
思
想
方
法
随
堂
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习
课标定位
素养阐释
1.掌握对数函数的图象与性质.
2.会应用对数函数的图象与性质比较大小、求定义域和值域、确定单调区间等.
3.体会数形结合思想在研究函数问题中的应用.
自主预习·新知导学
对数函数y=logax的图象与性质
【问题思考】
1.含有对数符号“log”的函数就是对数函数吗?
提示:不一定.
2.怎样可以快速画出对数函数y=logax(a>0,且a≠1)的草图?
3.结合对数函数的图象说明对数函数的单调性与什么量有关?
提示:对数函数的单调性与解析式中的底数a有关,若a>1,则对数函数是增函数,若0
4.将不同底数的对数函数的图象画在同一平面直角坐标系中,若沿直线y=1自左向右观察能得到什么结论?
提示:将不同底数的对数函数的图象画在同一平面直角坐标系中,沿直线y=1自左向右看对数函数的底数逐渐增大.
5.填空:
对数函数y=logax的图象和性质
6.做一做:若函数y=log(1-2a)x,x∈(0,+∞)是增函数,则a的取值范围为 .?
解析:由题意得1-2a>1,所以a<0.
答案:(-∞,0)
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里画“√”,错误的画“×”.
(1)若f(x)是对数函数,则f(1)=0.(
√
)
(2)函数y=logax(a>0,且a≠1)的图象一定位于y轴的右侧.(
√
)
(3)若对数函数y=log(a-1)x(x>0)是增函数,则实数a的取值范围是a>1.(
×
)
(4)对于y=logax(00;若x>1,则logax<0.(
√
)
合作探究·释疑解惑
探究一
探究二
探究三
探究四
探究一
对数函数的定义域问题
当a>1时,-a<-1.
由①得x+a∴函数f(x)的定义域为(-a,0).
当0由①得x+a>a,得x>0.
∴函数f(x)的定义域为(0,+∞).
故所求函数f(x)的定义域是:
当0当a>1时,x∈(-a,0).
求与对数函数有关的函数定义域时,除遵循前面已学习过的求函数定义域的方法外,对这种函数自身还有如下要求:一是要特别注意真数大于零;二是要注意对数的底数;三是按底数的取值应用单调性,有针对性地解不等式.
【变式训练1】
求下列函数的定义域:
探究二
比较对数式的大小
方法2:作出y=log1.1x与y=log1.2x的图象,
如图所示,
由两函数图象与直线x=0.7的交点的纵坐标大小可知log1.10.7对数值比较大小的常用方法
(1)若同底,则可直接利用单调性求解.若底数为字母,则要分类讨论.
(2)如果不同底,一种方法是化为同底,另一种方法是寻找中间量.
(3)如果不同底但同真,可利用图象的高低与底数的大小关系解决或利用换底公式化为同底后再进行比较.
(4)若底数和真数都不相同,则常借助中间量1,0,-1等进行比较.
【变式训练2】
比较下列各组数的大小.
(1)log33.4,log38.5;(2)log0.13与log0.63;(3)log45与log65;
(4)(lg
m)1.9与(lg
m)2.1(m>1).
解:(1)∵底数3>1,
∴y=log3x在定义域(0,+∞)上是增函数,于是log33.4(2)在同一平面直角坐标系内作出y=log0.1x与y=log0.6x的图象,如图,
?
可知在区间(1,+∞)上,函数y=log0.1x的图象在函数y=log0.6x图象的上方,故log0.13>log0.63.
(3)∵log45>log44=1,log65∴log45>log65.
(4)①当0m<1,即1m)x在R上是减函数,
∴(lg
m)1.9>(lg
m)2.1;
②当lg
m=1,即m=10时,(lg
m)1.9=(lg
m)2.1;
③当lg
m>1,即m>10时,y=(lg
m)x在R上是增函数,
∴(lg
m)1.9<(lg
m)2.1.
综上所述,当1m)1.9>(lg
m)2.1;
当m=10时,(lg
m)1.9=(lg
m)2.1;
当m>10时,(lg
m)1.9<(lg
m)2.1.
探究三
对数函数图象的应用
【例3】
已知a>0,且a≠1,函数y=ax与y=loga(-x)的图象可能是下图中的( )
解析:方法1:首先,曲线y=ax只可能在上半平面,y=loga(-x)只可能在左半平面,从而排除选项A,D.其次,从单调性着眼,y=ax与y=loga(-x)的增减性正好相反,又可排除选项C.故选B.
方法2:若0若a>1,则曲线y=ax上升且过点(0,1),而曲线y=loga(-x)下降且过点(-1,0),只有选项B满足条件.
答案:B
画对数函数图象时要注意的问题
(1)明确对数函数图象的分布区域.对数函数的图象在第一、四象限.当x趋近于0时,函数图象会越来越靠近y轴,但永远不会与y轴相交.
(2)运用分类讨论的思想.在画对数函数图象之前要先判断对数的底数a的取值范围是a>1,还是0(3)牢记特殊点.对数函数y=logax(a>0,且a≠1)的图象经过点(1,0),(a,1)和
(4)作复合函数图象时,可先作它的基本函数的图象,然后借助适当变换(如平移变换、对称变换等)逐步完成作图.
答案:B
【变式训练3】
当a>1时,函数y=logax和y=(1-a)x的图象只可能是( )
探究四
对数函数性质的综合应用
【例4】
已知函数f(x)=loga(x+1)-loga(1-x)(a>0,且a≠1).
(1)求f(x)的定义域;
(2)判断f(x)的奇偶性并予以证明.
分析:(1)求函数的定义域即求使函数解析式有意义时自变量x的取值集合.
(2)判断f(x)的奇偶性需分两步:第一步是看定义域是否关于原点对称;第二步是判断f(-x)与f(x)的关系.
解:(1)因为f(x)=loga(x+1)-loga(1-x),
所以函数f(x)的定义域为(-1,1).
(2)f(x)为奇函数.
证明:由(1)知函数f(x)的定义域为(-1,1),关于原点对称.
又f(-x)=loga(-x+1)-loga(1+x)=-[loga(x+1)-loga(1-x)]=-f(x),
故函数f(x)为奇函数.
若本例条件不变,求当a>1时,使f(x)>0的x的取值范围.
解:因为当a>1时,f(x)在定义域(-1,1)上是增函数,
所以由f(x)>0,得loga(x+1)-loga(1-x)>0,
解得0解答y=logaf(x)型或y=f(logax)型函数要注意的问题:
(1)要注意变量的取值范围.例如,f(x)=log2x,g(x)=x2+x,则f(g(x))=log2(x2+x)中需有g(x)>0;g(f(x))=(log2x)2+log2x中需有x>0.
(2)判断y=logaf(x)型或y=f(logax)型函数的奇偶性,首先要注意函数中自变量的范围,再利用奇偶性的定义判断.
思
想
方
法
分类讨论思想在对数函数中的应用
【典例】
已知函数y=logax(2≤x≤4)的最大值比最小值大1,则a的值为 .?
分析:本题考查对数函数的单调性的应用,由于对数中含底数a,因此需要对底数a进行分类讨论.
解:若a>1,则函数y=logax(2≤x≤4)为增函数,
由题意得loga4-loga2=loga2=1,
所以a=2,又2>1,符合题意.
若01.注意分类讨论
对数函数的底数决定了对数函数的单调性,对数函数在闭区间上的最值取决于其单调性,如果对数函数的底数含有参数,在处理有关问题时必须对参数进行讨论.
2.解决与对数函数单调性有关问题的两个关注点:(1)务必要研究函数的定义域;(2)对数函数的单调性取决于底数a.
【变式训练】
函数f(x)=logax(a>0,且a≠1)在区间[2,8]上的最大值为6,则a= .?
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1.已知函数f(x)=loga(x-1)(a>0,且a≠1),则函数f(x)的图象必过定点( )
A.(1,0)
B.(2,0)
C.(0,1)
D.(0,2)
解析:因为函数f(x)=loga(x-1)(a>0,且a≠1)的图象是由对数函数y=logax的图象向右平移1个单位长度得到的,且对数函数y=logax的图象恒过点(1,0),故f(x)的图象恒过点(2,0).
答案:B
解析:∵当a>1时,图象上升;当01时,a越大,图象向右越靠近x轴;当0∴通过题中图象可得,C1>C2>C3>C4.
答案:A
3.已知对数函数f(x)的图象过点(2,4),则f(x)的解析式为 .
4.将0.440.43,log0.440.43,log1.440.43按从大到小的顺序依次排序为 .?
解析:∵0<0.440.43<1,log0.440.43>1,log1.440.43<0,
∴log0.440.43>0.440.43>log1.440.43.
答案:log0.440.43>0.440.43>log1.440.43
5.已知函数f(x)的图象与函数g(x)=log5x的图象关于x轴对称,解不等式f(2x)§4 指数函数、幂函数、对数函数
增长的比较
§5 信息技术支持的函数研究
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课标定位
素养阐释
1.了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征;知道直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义.
2.了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用.
3.感受数学抽象以及数学直观的作用,提高数学建模能力.
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指数函数、幂函数、对数函数增长的比较
【问题思考】
1.阅读材料,回答下列问题.
假设你有一笔资金用于投资,现有三种投资方案供你选择,这三种方案的回报如下:
方案一:每天回报40元;
方案二:第一天回报10元,以后每天比前一天多回报10元;
方案三:第一天回报0.4元,以后每天的回报比前一天翻一番.
请问,你会选择哪种投资方案?
(1)设第x天所得的回报为y元,那么上述三种投资方案对应的函数模型分别是什么?
(2)上述三个函数分别是什么类型的函数?其单调性如何?
(3)一般情况下,函数y=ax(a>1),y=logax(a>1)和y=xn(n>0)在区间(0,+∞)上的增长速度怎样?
(4)判断某个增函数增长快慢的依据是什么?
提示:(1)方案一对应的函数为y=40(x∈N+);方案二对应的函数为y=10x(x∈N+);方案三对应的函数为y=0.4×2x-1(x∈N+).
(2)函数y=40(x∈N+)是常数函数,是不增不减函数;函数y=10x(x∈N+)是一次函数,是增函数;函数y=0.4×2x-1(x∈N+)是指数型函数,是增函数.
(3)y=ax(a>1)中y随x的增大,增长速度越来越快,y=logax(a>1)中y随x的增大,增长会越来越慢,y=xn(n>0)中y随x的增大,增长速度相对比较平稳.
(4)依据是自变量每改变一个单位,函数值增长量的大小.增长量越大,增长速度越快.
2.填空:随着自变量x的增大,指数函数
y=ax(a>1)的函数值增长远远大于幂函数y=xc的函数值增长;而幂函数y=xc的函数值增长又远远大于对数函数
y=logbx(b>1)的函数值增长.
当底数a>1时,由于指数函数y=ax的值增长非常快,人们称这种现象为“指数爆炸”.
3.做一做:下列函数中随x的增大而增大且速度最快的是( )
答案:A
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里画“√”,错误的画“×”.
(1)线性函数模型y=kx+b(k>0)的增长特点是直线上升,其增长速度不变.(
√
)
(2)指数函数模型y=ax(a>1)的增长特点是随自变量的增大,函数值增大的速度越来越快.(
√
)
(3)对数函数模型y=logax(a>1)的增长特点是随自变量的增大,函数值增大的速度越来越慢.(
√
)
(4)幂函数y=xn(n>0)的增长速度介于指数函数y=ax(a>1)和对数函数y=logbx(b>1)之间.(
√
)
合作探究·释疑解惑
探究一
探究二
探究三
探究一
函数模型增长差异的比较
【例1】
函数f(x)=2x和g(x)=x3的图象如图所示.设两函数的图象交于点A(x1,y1),B(x2,y2),且x1?
(1)请指出图中曲线C1,C2分别对应的函数.
(2)结合函数图象,判断f(6),g(6),f(2
017),g(2
017)的大小.
解:(1)C1对应的函数为g(x)=x3,C2对应的函数为f(x)=2x.
(2)因为f(1)>g(1),f(2)g(10),所以1017>x2.从题中图象上可以看出,当x1x2时,f(x)>g(x),所以f(2
017)>g(2
017).
又因为g(2
017)>g(6),所以f(2
017)>g(2
017)>g(6)>f(6).
1.若本例将“函数f(x)=2x”改为“f(x)=3x”,又如何求解(1)呢?
解:由图象的变化趋势以及指数函数和幂函数的增长速度可知:C1对应的函数为g(x)=x3,C2对应的函数为f(x)=3x.
2.本例条件不变,(2)中结论若改为:试结合图象,判断f(8),g(8),
f(2
020),g(2
020)的大小.
解:因为f(1)>g(1),f(2)g(10),
所以1所以x1<8020>x2.
从题中图象上可以看出,当x1当x>x2时,f(x)>g(x),所以f(2
020)>g(2
020).
又因为g(2
020)>g(8),所以f(2
020)>g(2
020)>g(8)>f(8).
由图象判断指数函数、对数函数和幂函数的方法:根据图象判断增长型的指数函数、对数函数和幂函数时,通常是观察函数图象上升的快慢,即随着自变量的增长,图象最“陡”的函数是指数函数,图象趋于平缓的函数是对数函数.
探究二
比较大小
(方法2)画出函数y1=log3x,y2=log5x的图象,如图所示,由图可知,当x>1时,函数y=log3x的图象在函数y=log5x的图象的上方,
∴log32.5>log52.5.
解决这类题目的关键在于构造适当的函数,若指数相同而底数不同,则考虑幂函数;若指数不同底数相同,则考虑指数函数;若底数不同,指数也不同,需引入中间量,利用幂函数与指数函数的单调性,也可以借助幂函数与指数函数的图象.
探究三
指数函数、对数函数与幂函数模型的应用
【例3】
某汽车制造商在2020年初公告:公司计划2020年生产目标定为43万辆.已知该公司近三年的汽车生产量如下表所示:
如果我们分别将2017,2018,2019,2020定义为第一、二、三、四年.现在有两个函数模型:一元二次函数模型f(x)=ax2+bx+c(a≠0)和指数函数模型g(x)=a·bx+c(a≠0,b>0,且b≠1),哪个模型能更好地反映该公司年产量y与年份x的关系?
解:建立年产量y(单位:万辆)与年份x(单位:年)的函数,可知函数必过点(1,8),(2,18),(3,30).
(1)构造一元二次函数模型f(x)=ax2+bx+c(a≠0),
将点(1,8),(2,18),(3,30)的坐标代入,
则f(x)=x2+7x,故f(4)=44,与计划误差为1.
(2)构造指数函数模型g(x)=a·bx+c(a≠0,b>0,且b≠1),
将点(1,8),(2,18),(3,30)的坐标代入,
由(1)(2)可得,函数模型f(x)=x2+7x能更好地反映该公司年产量y与年份x的关系.
数学知识来源于客观实际,服务于实际生活.数学是人们认识世界、改造世界的工具,其中函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型,不同的变化规律需要不同的函数模型来描述.面临一个实际问题,选择合适的数学模型是一件非常重要的事情,根据三种不同的增长模型的特点,选择符合自己的模型,才能产生更大的经济效益.
【变式训练2】
候鸟每年都要随季节的变化而进行大规模的迁徙,研究某种鸟类的专家发现,该种鸟类的飞行速度v(单位:
m/s)与其耗氧量Q之间的关系为:
(其中a,b是实数).据统计,该种鸟类在静止的时候其耗氧量为30个单位,而其耗氧量为90个单位时,其飞行速度为1
m/s.
(1)求出a,b的值;
(2)若这种鸟类为赶路程,飞行的速度不能低于2
m/s,则其耗氧量至少要多少个单位?
随
堂
练
习
1.下列函数增长速度最慢的是( )
A.y=6x
B.y=log6x
C.y=x6
D.y=6x
解析:对数函数增长的速度越来越慢,故选B.
答案:B
2.当a>1时,有下列结论:
①指数函数y=ax,当a越大时,其函数值的增长越快;
②指数函数y=ax,当a越小时,其函数值的增长越快;
③对数函数y=logax,当a越大时,其函数值的增长越快;
④对数函数y=logax,当a越小时,其函数值的增长越快.
其中正确的结论是( )
A.①③
B.①④
C.②③
D.②④
答案:B
3.函数y1=log3x与函数y2=3x,当x从1增加到m时,函数的增量分别是Δy1与Δy2,则Δy1 Δy2.(填“>”“=”或“<”)?
解析:由于对数函数在x>1后的增长速度小于指数函数的增长速度,所以Δy1<Δy2.
答案:<
4.一种专门侵占内存的计算机病毒,开机时占据内存2
KB,然后每3
min自身复制一次,复制后所占内存是原来的2倍,那么开机后经过
min,该病毒占据64
MB内存(1
MB=
210KB).?
解析:设过n个3
min后,该病毒占据64
MB内存,
则2×2n=64×210=216,
所以n=15,故时间为15×3=45(min).
答案:45
5.汽车在行驶中,由于惯性作用,刹车制动后,还要继续向前滑行一段距离才能停住,我们称这段距离为“刹车距离”.刹车距离是分析交通事故的一个重要因素.在一个限速为100
km/h的高速公路上,一辆汽车的刹车距离y(单位:m)与刹车速度x
(单位:km/h)的关系可用模型y=ax2(a为常数,a≠0)来描述,在限速为100
km/h的高速公路上,此车在速度为50
km/h时,刹车距离为10
m,则此车刹车距离超过多少米时,交通部门可以判定此车超速?(共28张PPT)
3.2 对数函数y=log2x的图象和性质
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合作探究·释疑解惑
易
错
辨
析
随
堂
练
习
课标定位
素养阐释
1.会画函数y=log2x的图象.
2.能应用函数y=log2x的图象和性质解决问题.
3.感悟数学抽象的过程,体会数学直观在解决数学问题中的应用.
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对数函数y=log2x的图象与性质
【问题思考】
1.对数函数y=log2x与指数函数y=2x有何关系?
提示:(1)对数函数y=log2x与指数函数y=2x互为反函数,其图象关于直线y=x对称;
(2)对数函数y=log2x与指数函数y=2x的定义域与值域互换,即y=log2x的定义域(0,+∞)是y=2x的值域,而y=log2x的值域R恰好是y=2x的定义域;
(3)对数函数y=log2x与指数函数y=2x的单调性一致,即都是增函数.
2.填空:
函数y=log2x的图象与性质
3.做一做:函数y=log2x在区间[1,2]上的值域是( )
A.R
B.(-∞,1]
C.[0,1]
D.[0,+∞)
解析:∵1≤x≤2,∴log21≤log2x≤log22,即0≤y≤1.
答案:C
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里画“√”,错误的画“×”.
(1)函数y=2log2x是对数函数.(
×
)
(3)对数函数y=log2x在区间(1,+∞)上单调递增.(
√
)
(4)若x>1,则y=log2x的函数值都大于零.(
√
)
合作探究·释疑解惑
探究一
探究二
探究一
函数y=log2x的图象的应用
【例1】
画出函数y=|log2(x+1)|+2的图象,并说明其单调性.
解:第一步:画出函数y=log2x的图象,如图(1)所示.
第二步:将函数y=log2x的图象沿x轴向左平移1个单位长度,得函数y=log2(x+1)的图象,如图(2)所示.
第三步:将函数y=log2(x+1)的图象在x轴下方的部分以x轴为对称轴翻折到x轴的上方,得函数y=|log2(x+1)|的图象,如图(3)所示.
第四步:将函数y=|log2(x+1)|的图象沿y轴向上平移2个单位长度,得函数y=|log2(x+1)|+2的图象,如图(4)所示.
由图可知,函数y=|log2(x+1)|+2在区间(-1,0]上单调递减,在区间[0,+∞)上单调递增.
1.一般地,函数y=f(x+a)+b(a,b均为正数)的图象可由函数y=f(x)的图象变换得到.
将y=f(x)的图象向左平移a个单位长度得到函数y=f(x+a)的图象,再向上平移b个单位长度得到函数y=f(x+a)+b的图象(记忆口诀:左加右减,上加下减).
2.含有绝对值的函数的图象变换是一种对称变换.一般地,y=f(|x-a|)的图象是关于直线x=a对称的轴对称图形;函数y=|f(x)|的图象是将y=f(x)在x轴及上方的图象保留不变,将x轴下方的图象关于x轴对称得到.
【变式训练1】
求函数y=log2|x|的定义域,并画出它的图象.
探究二
函数y=log2x的性质的应用
【例2】
根据函数f(x)=log2x的图象和性质求解以下问题:
(1)若f(x-1)>f(1),求x的取值范围.
解:作函数y=log2x的图象如图:
解:(1)函数f(x)=log2x在定义域(0,+∞)上为增函数,
(2)log2(2-x)>0,即log2(2-x)>log21.
∵函数y=log2x为区间(0,+∞)上的增函数,
∴2-x>1,又2-x>0,∴x<1,即x的取值范围为x<1.
函数f(x)=log2x是最基本的对数函数,它在区间(0,+∞)上是增函数.利用单调性可以解不等式、求函数值域、比较对数值的大小.
易
错
辨
析
因忽视自变量的取值范围致误
【典例】
求函数y=(log2x)2+2log2x-2(x≥4)的值域.
错解
设t=log2x,则y=t2+2t-2=(t+1)2-3,所以ymin=-3,故函数的值域为[-3,+∞).
以上解答过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何改正?你如何防范?
正解:设t=log2x(x≥4),则t≥2,于是y=t2+2t-2=(t+1)2-3,t≥2,由二次函数的图象(图略)可得,当t=2时,y取最小值6,故函数的值域为[6,+∞).
1.对数型函数的值域问题常用函数的单调性或者换元法解决.
2.在利用换元法时,一定要注意换元后新变量的取值范围.
随
堂
练
习
1.函数y=log2x(1≤x≤8)的值域是( )
A.R
B.[0,+∞)
C.(-∞,3]
D.[0,3]
解析:∵y=log2x在区间[1,8]上单调递增,
∴log21≤y≤log28,即y∈[0,3].
答案:D
2.函数y=log2(x2+2)的值域是( )
A.(-∞,+∞)
B.[1,+∞)
C.(-∞,-1]
D.(-1,0]
解析:因为函数y=log2x是增函数,
又x2+2≥2,所以log2(x2+2)≥log22=1.故选B.
答案:B
4.已知函数f(x)=log2x的值域是[1,2],则它的定义域可用区间表示为 .?
解析:因为1≤log2x≤2,所以log22≤log2x≤log24.
又f(x)=log2x是区间(0,+∞)上的增函数,
所以2≤x≤4,所以f(x)的定义域为[2,4].
答案:[2,4]
5.已知函数f(x)=log2(x+3)-1.
(1)求函数的定义域;
(2)若f(a)>f(1),求a的取值范围.
解:(1)由题意知x+3>0,即x>-3,
∴函数的定义域为(-3,+∞).
(2)f(a)=log2(a+3)-1,f(1)=log2(1+3)-1=1.(共38张PPT)
3.1 对数函数的概念
自主预习·新知导学
合作探究·释疑解惑
易
错
辨
析
随
堂
练
习
课标定位
素养阐释
1.理解对数函数的概念以及对数函数与指数函数间的关系.
2.了解指数函数与对数函数互为反函数,并会求指数函数或对数函数的反函数.
3.体会数学抽象的过程,强化直观想象素养的培养.
自主预习·新知导学
一、对数函数的概念
【问题思考】
1.你能把指数式y=ax(a>0,且a≠1)化成对数式吗?在这个对数式中,x是y的函数吗?
提示:根据对数的定义,得x=logay(a>0,且a≠1).因为y=ax是单调函数,每一个y都有唯一确定的x与之对应,所以x是y的函数.
2.填空:
(1)对数函数的相关概念:
①定义:给定正数a,且a≠1,指数函数y=ax是定义在R上、值域为(0,+∞)的单调函数.所以对于每一个正数y,都存在唯一确定的实数x,使得y=ax.由函数的定义,x就是y的函数,称为以a为底的对数函数,记作x=logay.习惯上,将自变量写成x,函数值写成y,因此,一般将对数函数写成y=logax(a>0,且a≠1),其中a称为底数.
②定义域是(0,+∞);
③图象过定点(1,0).
(2)两个特殊的对数函数:
①常用对数函数:以10为底的对数函数,记作
y=lg
x
;?
②自然对数函数:以无理数e为底的对数函数,记作
y=ln
x
.?
3.做一做:下列函数是对数函数的是( )
A.y=log4x
B.y=ln(x+1)
C.y=logxe
D.y=logxx
解析:由对数函数的定义知y=log4x是对数函数,其余三个均不符合对数函数的特征.
答案:A
二、反函数
【问题思考】
1.函数y=ax(a>0,且a≠1)的定义域和值域与函数y=logax(a>0,且a≠1)的定义域和值域有什么关系?
提示:对数函数y=logax(a>0,且a≠1)的定义域是指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的值域,对数函数y=logax(a>0,且a≠1)的值域是指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的定义域.
2.填一填:指数函数y=ax(a>0,且a≠1)和对数函数x=logay(a>0,且a≠1)刻画的是同一对变量x,y之间的关系,所不同的是:在指数函数中,x是自变量,y是x的函数,其定义域是R;在对数函数x=logay(a>0,且a≠1)中,y是自变量,x是y的函数,其定义域是(0,+∞).像这样的两个函数叫作互为反函数.
3.做一做:若函数y=f(x)是函数y=ax(a>0,且a≠1)的反函数,且f(2)=1,则f(x)=( )
解析:由题意得f(x)=logax(a>0,且a≠1).
∵f(2)=1,∴loga2=1.∴a=2.∴f(x)=log2x.
答案:A
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里画“√”,错误的画“×”.
(1)函数y=log2x+1是对数函数.(
×
)
(2)对数函数y=logax(a>0,且a≠1)与指数函数y=ax(a>0,且a≠1)互为反函数.(
√
)
(3)函数y=logax(a>0,且a≠1)的图象与y=ax(a>0,且a≠1)的图象关于直线y=x对称.(
√
)
(4)函数y=logax(a>0,且a≠1)的图象过定点(1,0).(
√
)
合作探究·释疑解惑
探究一
探究二
探究三
探究一
对数函数的定义
【例1】
判断下列函数是不是关于x的对数函数?并说明理由.
①y=logax2(a>0,且a≠1);②y=log2x-1;③y=2log8x;④y=logxa(a为常数,x>0,且x≠1);⑤y=log5x.
解:因为①中真数是x2,而不是x,所以不是对数函数;
因为②中y=log2x-1常数项为-1,而非0,故不是对数函数;因为③中log8x前的系数是2,而不是1,所以不是对数函数;因为④中底数是自变量x,所以不是对数函数.⑤为对数函数.
判断一个函数是不是对数函数的方法
(1)看形式:判断一个函数是不是对数函数,关键看解析式是否符合y=logax(a>0,且a≠1)这一结构形式.
(2)明特征:
对数函数的解析式具有三个特征
①系数为1;
②底数为大于0,且不等于1的常数;
③对数的真数仅有自变量x.
只要有一个特征不具备,则不是对数函数.
【变式训练1】
下列函数是对数函数的是( )
解析:因为A中真数是2x,而不是x,
所以不是对数函数;
因为B中真数是x2+1,不是x,故不是对数函数;
因为D中lg
x前的系数是2,而不是1,所以不是对数函数;
C为对数函数.
答案:C
探究二
对数型函数的定义域
【例2】
求下列函数的定义域.
(1)y=loga(3-x)+loga(3+x)(a>0,且a≠1);
(2)y=lg(x-1)+log(x+1)(16-4x).
1.若把本例(1)中的函数改为y=loga(x-3)+loga(x+3)(a>0,且a≠1),求函数的定义域.
∴函数y=loga(x-3)+loga(x+3)(a>0,且a≠1)的定义域为{x|x>3}.
2.求函数y=loga[(x+3)(x-3)](a>0,且a≠1)的定义域,相比延伸探究1,定义域有何变化?
解:由题意得(x+3)(x-3)>0,解得x<-3,或x>3.
∴函数y=loga[(x+3)(x-3)](a>0,且a≠1)的定义域为{x|x<-3,或x>3}.
相比延伸探究1,函数y=loga[(x+3)(x-3)](a>0,且a≠1)的定义域多了(-∞,-3)这个区间,原因是对于y=loga[(x+3)(x-3)](a>0,且a≠1),要使函数有意义,只需(x+3)与(x-3)同号,而对于y=loga(x-3)+loga(x+3)(a>0,且a≠1),要使函数有意义,必须x-3与x+3同时大于0.
求含有对数式的函数的定义域,需保证每个对数式有意义,即真数大于零,底数大于零且不等于1.
【变式训练2】
求下列函数的定义域.
探究三
求反函数
【例3】
求下列函数的反函数.
1.指数函数y=ax(a>0,且a≠1)与对数函数y=logax(a>0,且a≠1)互为反函数.
2.互为反函数的两个函数的定义域、值域相反,并且反函数是相对而言的.
3.互为反函数的两个函数的图象关于直线y=x对称.
【变式训练3】
写出下列函数的反函数(用x表示自变量,y表示函数).
易
错
辨
析
因忽视真数中字母系数的取值而致误
【典例】
已知函数y=log2(ax2+ax+1)的定义域为R,求实数a的取值范围.
错解
∵y=log2(ax2+ax+1)的定义域为R,
∴ax2+ax+1>0在R上恒成立,
解得0以上解答过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何改正?你如何防范?
提示:以上错解中没有注意到二次项系数字母a的取值带有不确定性.事实上,当a=0时,真数为1,此时满足ax2+ax+1>0的条件.
正解:当a=0时,y=0,满足条件,即函数y=0的定义域为R,
解得0故实数a的取值范围为[0,4).
1.对数函数的定义域是使真数大于零的x的取值集合.
2.含参数问题,分类讨论要做到不重不漏,对于不等式ax2+ax+1>0,不一定是一元二次不等式.
随
堂
练
习
1.下列函数是对数函数的是( )
A.y=loga(2x)(a>0,且a≠1)
B.y=lg(10x)
C.y=loga(x2+x)(a>0,且a≠1)
D.y=ln
x
解析:形如y=logax(a>0,且a≠1)的函数为对数函数,所以只有y=ln
x符合此形式.
答案:D
答案:A
3.若函数f(x)=ax(a>0,且a≠1)的反函数的图象过点(2,-1),则a的值是 .?
4.若函数f(x)=(a2-a+1)log(a+1)x是对数函数,则实数a= .
答案:1(共24张PPT)
2.2 换底公式
自主预习·新知导学
合作探究·释疑解惑
规
范
解
答
随
堂
练
习
课标定位
素养阐释
1.理解换底公式的证明过程,会用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数,能正确运用换底公式计算一般对数.
2.能灵活地将换底公式和对数的运算法则结合起来,进行对数运算.
自主预习·新知导学
对数的换底公式
【问题思考】
1.对数式log24log39可化为2×2=4,那么你会化简log23log32吗?
提示:不会,因为两个对数的底数与真数都是最简的形式,难以求出最后结果,因而需要引入对数的换底公式.
答案:B
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里画“√”,错误的画“×”.
合作探究·释疑解惑
探究一
探究二
探究一
利用换底公式求值
【例1】
计算:(1)log1627·log8132;
(2)(log43+log83)(log32+log92).
1.在求对数式的值时,若底数不同,运用换底公式化为同底的对数,再利用对数运算性质计算.
2.要注意换底公式的正用、逆用及常用推论的应用.
【变式训练1】
计算下列各式的值:
探究二
利用换底公式解决条件求值问题
1.在对数式、指数式的互化运算中,要注意灵活运用定义、性质和运算法则,尤其要注意条件和结论之间的关系,进行正确的相互转化.
2.对于这类连等式可令其等于k(k>0),然后将指数式用对数式表示,再由换底公式就可将指数的倒数化为同底的对数,从而使问题得解.
规
范
解
答
【典例】
已知a,b,x为正数,且lg(bx)·lg(ax)+1=0,求lg
a-lg
b的取值范围.
规范展示:解:因为lg(bx)·lg(ax)+1=0,
所以(lg
b+lg
x)(lg
a+lg
x)+1=0,
所以(lg
x)2+(lg
a+lg
b)lg
x+lg
a·lg
b+1=0.☆
因为x>0,所以上述关于lg
x的方程有实根,
所以(lg
a+lg
b)2-4(lg
a·lg
b+1)≥0,☆
所以(lg
a-lg
b)2≥4,
所以lg
a-lg
b≥2或lg
a-lg
b≤-2.
1.☆处易出现(lg
x)2与lg
x2混淆不清而失分,☆处注意抓住已知条件x为正数,转化为lg
x存在,再转化为方程有实根,即判别式Δ≥0.
2.对含参数的对数方程(不等式)的求解,应利用对数的定义与指数式的转化及运算性质综合解答.
随
堂
练
习
解析:当a<0,b<0时,①②不正确,排除A,B;当ab=1时,④不正确,排除C.故选D.
答案:D
答案:A
答案:11
5.设a>0,且a≠1,x,y满足logax+3logxa-logxy=3,用logax表示logay,并求当x取何值时,logay取得最小值.(共34张PPT)
2.1 对数的运算性质
自主预习·新知导学
合作探究·释疑解惑
易
错
辨
析
随
堂
练
习
课标定位
素养阐释
1.巩固对数的定义及基本运算性质.
2.学会证明对数的运算律,树立从概念出发分析问题的思想.
3.会求简单的对数值.
自主预习·新知导学
对数的运算性质
【问题思考】
1.我们知道am+n=am·an,那么loga(M·N)=logaM·logaN正确吗?举例说明.
提示:不正确,例如log24=log2(2×2)=2,而log22·log22=1×1=1.
2.你能推出loga(M·N)(a>0,且a≠1,M>0,N>0)的表达式吗?
提示:能.
令am=M,an=N,则M·N=am·an=am+n.
于是有m+n=loga(M·N).
又由对数的定义,知logaM=m,logaN=n,
∴loga(M·N)=logaM+logaN.
4.做一做:(1)lg
2+lg
5=( )
A.lg
7
B.lg
25
C.1
D.lg
32
(2)2log525+3log264= .?
解析:(1)lg
2+lg
5=lg(2×5)=lg
10=1.
(2)原式=2log552+3log226=4+18=22.
答案:(1)C (2)22
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里画“√”,错误的画“×”.
(1)若M·N>0,则loga(M·N)=logaM+logaN.(
×
)
(2)logax+logay=loga(x+y).(
×
)
(3)对数的运算性质loga(M·N)=logaM+logaN能推广为loga(a1·a2·…·an)=logaa1+logaa2+…+logaan(a>0,且a≠1,
ai>0,
i=1,2,…,n,n∈N+).(
√
)
(5)logaM-logaN=loga(M-N).(
×
)
合作探究·释疑解惑
探究一
探究二
探究三
探究一
对数的运算
对于底数相同的对数的化简,常用的方法是
(1)“收”,将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数;
(2)“拆”,将积(商)的对数拆成对数的和(差).
探究二
用已知对数表示其他对数
【例2】
用logax,logay,logaz表示下列各式(其中a>0,且a≠1,x>0,y>0,z>0):
用已知对数表示其他对数时,关键是应用对数的运算性质,将真数“拆”成已知对数的真数形式.
【变式训练2】
用logax,logay,logaz表示下列各式(其中a>0,且a≠1,x>0,y>0,z>0):
探究三
条件求值问题
解析:由已知,可得lg(xy)=lg(x-2y)2,
从而有xy=(x-2y)2,整理,得x2-5xy+4y2=0,
即(x-y)(x-4y)=0,所以x=y或x=4y.
由x>0,y>0,x-2y>0,可得x>2y>0,所以x=y舍去,
答案:4
答案:2
1.熟练掌握对数的运算法则是解答该类问题的关键.
2.解答与对数有关的题目时,务必注意对数式本身的限定条件——真数必须大于0.
【变式训练3】
已知a+b=(lg
2)3+(lg
5)3+3lg
2lg
5,求a3+b3+3ab的值.
解:∵a+b=(lg
2+lg
5)[(lg
2)2-lg
2lg
5+(lg
5)2]+3lg
2lg
5
=(lg
2)2-lg
2lg
5+(lg
5)2+3lg
2lg
5=(lg
2+lg
5)2=1,
∴a3+b3+3ab=(a+b)(a2-ab+b2)+3ab=a2-ab+b2+3ab=(a+b)2=1.
易
错
辨
析
因忽视对数式中真数的限制条件而致误
【典例】
解方程log2(9x-5)=log2(3x-2)+2.
错解
原方程可化为log2(9x-5)=log2[4(3x-2)],
所以9x-5=4(3x-2),即32x-4·3x+3=0,
所以(3x-3)(3x-1)=0,解得x=1,或x=0.
故原方程的解为x=0,或x=1.
以上解答过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何改正?你如何防范?
提示:以上错解中将对数方程
化为代数方程9x-5=4(3x-2)时,没有注意对数式中真数需大于0这一条件,导致出现增根x=0.
正解:原方程可化为log2(9x-5)=log2[4(3x-2)],
由③得32x-4·3x+3=0,即(3x-3)(3x-1)=0,
解得x=1,或x=0.
将x=1与x=0分别代入①②中检验,知x=1是原方程的根,x=0是增根,舍去.
故原方程的解为x=1.
求解对数问题时,经常需要将对数符号“脱掉”,此时很容易忽略原式中对数的真数大于0这一“隐性”限制条件,从而导致错误,因此在解此类题时,一定要首先考虑这一条件.
随
堂
练
习
1.log35-log315=( )
A.-1
B.1
C.0
D.log3(-10)
答案:A
答案:A
答案:-1(共31张PPT)
§1 对数的概念
自主预习·新知导学
合作探究·释疑解惑
易
错
辨
析
随
堂
练
习
课标定位
素养阐释
1.了解对数的概念.
2.弄清指数与对数之间的关系,并对它们进行灵活的转化,对于常用对数、自然对数的简记方法要熟悉.
3.了解对数、常用对数、自然对数的概念,并体会将指数式化为对数式,将对数式化为指数式的含义与作用.
自主预习·新知导学
一、对数的定义
【问题思考】
提示:不会,因为2难以化为以3为底的指数式,因而需要引入对数概念.
2.填空:一般地,如果a(a>0,且a≠1)的b次幂等于N,即ab=N,那么数
b
为以a为底N的对数,记作logaN
=b,其中a叫作对数的底数,
N叫作真数.
二、两种特殊的对数
【问题思考】
1.填一填:
(1)常用对数:当对数的底数a=10时,通常称之为常用对数,并将log10N简记为lg
N
.?
(2)自然对数:在科学技术领域,常常使用以无理数e=2.718
28
…为底数的对数,称之为自然对数,并将logeN简记为ln
N
.?
2.做一做:lg
10= ,lg
100= ,lg
0.01= ,
ln
1= ,ln
e= .?
解析:lg
10=1,lg
100=2,lg
0.01=-2,ln
1=0,ln
e=1.
答案:1 2 -2 0 1
三、对数的性质
【问题思考】
1.在对数的定义中为什么规定a>0,且a≠1?
提示:因为对数概念源出于指数,对数式logaN=b是由指数式ab=N转化而来,对数的底数就是指数的底数,而ab=N中要使它对任意实数b都有意义,必须a>0,且a≠1,所以对数式中也必须要求a>0,且a≠1.
2.请判断“因为(-2)4=16,所以log(-2)16=4”这个说法正确吗?
提示:不正确.因为要求底数大于0,否则指数式与对数式不能互化.
3.对数基本性质
(1)负数和零没有对数;
(2)若a>0,且a≠1,则loga1= ,logaa= ;?
答案:(2)0 1 (3)N
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里画“√”,错误的画“×”.
(1)1的对数是1.(
×
)
(2)2log22-1=-1.(
×
)
(3)对数运算的实质是求幂指数.(
√
)
合作探究·释疑解惑
探究一
探究二
探究三
探究一
对数式与指数式的互化
【例1】
将下列指数式化为对数式,对数式化为指数式:
1.对数式与指数式关系图
?
对数式logaN=b是由指数式ab=N变换而来的,两式底数相同,对数式中的真数N就是指数式中的幂的值N,而对数值b是指数式中的幂指数.
2.并非所有指数式都可以直接化为对数式.如(-3)2=9就不能直接写成log(-3)9=2,只有当a>0,且a≠1,N>0时,才有ax=N?x=logaN.
【变式训练1】
将下列指数式化为对数式,对数式化为指数式.
(1)54=625;(2)log216=4;(3)10-2=0.01;
解:(1)由54=625,得log5625=4.
(2)由log216=4,得24=16.
(3)由10-2=0.01,得lg
0.01=-2.
探究二
对数的性质与恒等式的应用
解析:(1)由log3(log2(lg
x))=0,可得log2(lg
x)=1,
所以lg
x=2,所以x=100.
答案:(1)100 (2)35
【变式训练2】
已知log2[log3(log4x)]=log3[log4(log2y)]=0,求x+y的值.
解:因为log2[log3(log4x)]=0,
所以log3(log4x)=1,
所以log4x=3,
所以x=43=64.
同理可得y=24=16.
所以x+y=80.
探究三
利用对数的概念求参数的范围
【例3】
求下列各式中x的取值范围.
(1)log2(x-10);(2)log(x-1)(x+2).
分析:对数有意义→底数大于零且不等于1,真数大于零→列不等式组→求解.
解决使对数式有意义的参数问题,只要根据对数的定义,由真数大于零、底数大于零且不等于1得到关于未知数(一般是x)的不等式(组),解之即可.
【变式训练3】
若式子log(x+1)(x-2)有意义,则实数x的取值范围为( )
A.x>2
B.x>-1
C.x>-1,且x≠0
D.-1答案:A
易
错
辨
析
因忽视底数的取值范围而致误
【典例】
已知log(x+3)(x2+3x)=1,求实数x的值.
错解
由对数的性质,可得x2+3x=x+3,解得x=1,或x=-3.
以上解答过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何改正?你如何防范?
提示:上述解法的错误在于忘记检验底数是否大于0,且不等于1,真数是否大于0.
1.在对数表达式x=logaN中,底数a需满足a>0,且a≠1,真数N>0.
2.在利用对数式的性质求出a的值后,务必验证底数和真数是否满足对数式的意义.
随
堂
练
习
1.有下列说法:
①零和负数没有对数;②任何一个指数式都可以化成对数式;③以10为底的对数叫作常用对数;④以e为底的对数叫作自然对数.
其中正确说法的个数为( )
A.1
B.2
C.3
D.4
解析:①③④正确,②不正确,只有当a>0,且a≠1时,ax=N才能化为对数式.故选C.
答案:C
2.在N=log(5-b)(b-2)中,实数b的取值范围是( )
A.b<2或b>5
B.2C.4D.2答案:D
3.若logπ[log3(ln
x)]=0,则x= .?
解析:由logπ[log3(ln
x)]=0,得log3(ln
x)=1,
则ln
x=3,故x=e3.
答案:e3
5.已知集合A={0,1},B={11-a,a,2a,lg
a},问是否存在实数a,使得A∩B={1}?若存在,求出a的值;若不存在,请说明理由.
解:不存在.理由如下:依题意,集合B中一定有一个元素是1.
若11-a=1,则a=10,lg
a=1,不满足集合元素的互异性,故11-a≠1;
若a=1,则lg
a=0,集合A∩B={0,1},不符合题意;
若2a=1,则a=0,集合A∩B={0,1},不符合题意;
若lg
a=1,则a=10,11-a=1,不满足集合元素的互异性.
综上所述,不存在实数a,使得A∩B={1}.