(共39张PPT)
§1 生活中的变量关系
自主预习·新知导学
合作探究·释疑解惑
易
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辨
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课标定位
素养阐释
1.了解生活中两个变量之间的依赖关系现象.
2.了解生活中两个变量之间的函数关系现象.
3.能辨析依赖关系和函数关系的区别和联系.
4.体会数学抽象的过程,加强数学抽象能力的素养的培养.
自主预习·新知导学
一、依赖关系
【问题思考】
1.某人坐摩天轮一圈用时8
min.若摩天轮匀速转动,则他的海拔高度与摩天轮转动的时间有依赖关系吗?当他位于摩天轮一半高度时,摩天轮转了多少分?
提示:该人的海拔高度与摩天轮转动的时间有依赖关系.当他位于摩天轮一半高度时,摩天轮转了2
min或6
min.
2.填一填:在某变化过程中有两个变量,如果其中一个变量的值发生了变化,另一个变量的值也会随之发生变化,那么就称这两个变量具有依赖关系.
二、函数关系
【问题思考】
1.若某人坐摩天轮一圈用时8
min,摩天轮匀速转动,现将摩天轮的转动时间t当作自变量,他的海拔高度h为因变量,则每取一个t值,有几个h值与之对应?
提示:每取一个t值,有唯一一个h值与之对应.
2.填空:如果在一个变化过程中,有两个变量x和y,对于变量x的每一个值,变量y都有唯一确定的值和它对应,那么y就是x的
函数,其中x是自变量,y是因变量.
3.做一做:下列说法不正确的是( )
A.依赖关系不一定是函数关系
B.函数关系是依赖关系
C.如果变量m是变量n的函数,那么变量n也是变量m的函数
D.如果变量m是变量n的函数,那么变量n不一定是变量m的函数
解析:根据依赖关系与函数关系的区别可知A,B正确.若变量m是变量n的函数,因为满足函数关系的自变量n对因变量m可以是多对一,此时若把m换成自变量,n换成因变量,显然对于m的每一个取值,会有多个n与之对应,所以变量n不是变量m的函数.故C错误,D正确.
答案:C
三、依赖关系与函数关系
【问题思考】
1.在上述二【问题思考】1中,h是t的函数吗?t是h的函数吗?h,t有依赖关系吗?
提示:h是t的函数;t不是h的函数;h,t有依赖关系.
2.填空:函数关系一定是依赖关系,而依赖关系不一定是函数关系.要确定变量的函数关系,需先分清谁是自变量,谁是因变量.
3.想一想:某天的感冒人数与天气之间的关系是函数关系吗?
提示:某天的感冒人数与天气之间有一定的依赖关系,但不是函数关系,因感冒人数除与天气有关外还与个人的体质、所处环境等有关.
四、分段函数
【问题思考】
1.某市空调公共汽车的票价按下列规则制定:
①5
km以内(含5
km),票价2元.
②5
km以上,每增加5
km,票价增加1元(不足5
km的按5
km计算).已知两个相邻的公共汽车站间相距1
km,沿途(包括起点站和终点站)有11个汽车站.
请根据以上内容,回答下面的问题:
(1)从起点站出发,公共汽车的行程x(km)与票价y(元)间的函数关系是什么?
(2)这种函数关系的特征是什么?
提示:(1)当0
(2)在给定范围内,对于自变量x的不同取值,对应关系也不同.
2.填空:形如上述的函数,一般叫作分段函数.
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里画“√”,错误的画“×”.
(1)圆的周长与其直径的比值是常量.(
√
)
(2)任意四边形的内角和的度数是常量.(
√
)
(3)发射升空的火箭高度与发射的时间之间是函数关系.(
√
)
合作探究·释疑解惑
探究一
探究二
探究三
探究一
依赖关系与函数关系
【例1】
下列各组中两个变量间之间是否存在依赖关系?其中哪些是函数关系?
(1)球的体积和它的半径;
(2)速度不变的情况下,汽车行驶的路程与行驶时间;
(3)家庭的收入与其消费支出;
(4)正三角形的面积和它的边长.
解:(1)中,球的体积V与半径r间存在
的关系.
(2)中,在速度不变的情况下,行驶路程s与行驶时间t之间存在正比例关系.
(3)中,家庭收入与其消费支出间存在关系,但具有不确定性.
(4)中,正三角形的面积S与其边长a间存在
的关系.
综上可知(1)(2)(3)(4)中两个变量间都存在依赖关系,其中(1)(2)(4)是函数关系.
判断两个变量间有无依赖关系,主要看其中一个变量变化时,是否会导致另一个变量随之变化.而判断两个具有依赖关系的变量是否具有函数关系,关键是看两个变量之间的关系是否具有确定性,即考察对于一个变量的每一个值,另一变量是否都有唯一确定的值与之对应.
【变式训练1】
谚语“瑞雪兆丰年”说明( )
A.下雪与来年的丰收具有依赖关系
B.下雪与来年的丰收具有函数关系
C.下雪是丰收的函数
D.丰收是下雪的函数
解析:积雪层对越冬作物具有防冻保暖的作用,大雪可以防止土壤中的热量向外散发,又可阻止外界冷空气的侵入,具有增墒肥田的作用.所以下雪与来年的丰收具有依赖关系,但不是函数关系.
答案:A
探究二
用图象表示变量间的关系
【例2】
某市一天24
h内的气温变化,如图所示.
?
上午8时的气温是多少?全天的最高气温、最低气温分别是多少?
解:上午8时的气温是0
℃,全天最高气温大约是9
℃,在14时达到,全天最低气温大约是-2
℃,在4时达到.
1.本例中条件不变,请问大约在什么时刻,气温为0
℃?
解:大约在8时和22时,气温为0
℃.
2.本例中条件不变,大约在什么时间内,气温在0
℃以上?两个变量有什么特点,它们具有怎样的对应关系?
解:大约在8时到22时之间,气温在0
℃以上,变量0≤t≤24,变量-2≤θ≤9,由于图象是连续的,可知它们之间具有随着时间的增加,气温先降再升再降的变化趋势,所以θ与t具有依赖关系,也具有函数关系.
对于这类问题,求解的关键是充分利用图象.所反映的关系使其与生活中两个变量之间的变化情况相吻合,以达到用图的目的.
探究三
用表格表示变量间的关系
【例3】
声音在空气中传播的速度简称音速,实验测得音速与气温的一些数据如下表:
(1)根据表内数据作图,由图可看出变量音速是随什么变化?
(2)用x表示y的关系式;
(3)气温为22
℃时,某人看到烟花燃放5
s后才听到声响,那么此人与燃放烟花所在地约相距多少米?
解:(1)根据题中数据,可作出如下图.
?
由图可看出变量音速随气温的变化而变化.
对于这类通过表格来反映两个变量之间关系的问题,求解时需根据表中两个变量对应数据,分析其变化情况,即可做出判断.
易
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辨
析
因审题不细致致误
【典例】
一高为H、满缸水量为V的鱼缸截面如图所示,其底部破了一个小洞,满缸水从洞中流出.若鱼缸中水深为h时,水的体积为v,则v与h的大致图象可能是图中的( )
错解
C
以上解答过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何改正?你如何防范?
提示:错解审题不细致,没弄清题意,不理解v与h的关系而致误.
正解:由鱼缸的形状可知,水的体积v随着h的减小,先减少得慢,后减少得快,又减少得慢,故选B.
答案:B
这类问题审题要仔细,分清变量间的关系,通过鱼缸的形状反映的v随h增大的速度变化判断.
【变式训练】
一人骑着车一路匀速行驶,只是在途中遇到一次交通堵塞,耽搁了一些时间.图中与这件事正好吻合的图象是(其中x轴表示时间,y轴表示路程)( )
解析:开始一段时间路程逐渐增大,增大的速度相同,图象是一直线段,耽搁的时间段路程不变,图象与x轴平行,然后行驶路程在原来的基础上又增大,由题中图象知选A.
答案:A
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1.已知变量x,y满足y=|x|,则下列说法错误的是( )
A.x,y之间有依赖关系
B.x,y之间有函数关系
C.y是x的函数
D.x是y的函数
解析:当y取一个正值时,有两个x与它对应,故D错误.
答案:D
2.下列两个变量之间的关系,不是函数关系的是( )
A.多边形的边数和它的内角和
B.正方形的边长和面积
C.圆的面积和半径
D.人的体重和身高
答案:D
3.下图是反映某市某一天的温度随时间变化情况的图象.由图象可知,下列说法错误的是( )
?
A.这天15时的温度最高
B.这天3时的温度最低
C.这天的最高温度与最低温度相差13
℃
D.这天21时的温度是30
℃
解析:这天的最高温度与最低温度相差36-22=14
℃,故C错误.
答案:C
4.右图表示一位骑自行车者和一位骑摩托车者在相距80
km的两城镇间旅行时,路程和时间的函数图象,由图可知,骑自行车者用了6
h(含途中休息的1
h),骑摩托车者用了2
h,有人根据这个函数图象,提供了这两个旅行者的如下信息,其中正确的信息是 .(填序号)?
①骑自行车者比骑摩托车者早
出发3
h,晚到1
h;
②骑自行车者是变速运动,骑摩
托车者是匀速运动;
③骑摩托车者在出发1.5
h后追上了骑自行车者.
解析:由题中图象可以看出骑自行车者早出发3
h,而晚到1
h,速度是先快后慢,然后再快,是变速运动.骑摩托车者也是变速运动,但速度变化不大.骑摩托车者在出发1
h后追上骑自行车者.所以正确的信息的序号是①.
答案:①
5.下图是我国某年某地降雨量的统计情况,图中横轴为月份(单位:月),纵轴为降雨量(单位:cm).
?
由图中曲线可判断该地该年的降雨量与时间是否具有函数关系?
解:因为对于该年的每一个月都有唯一的降雨量与之对应,故可得该年的降雨量与时间具有函数关系,且自变量是时间,因变量是降雨量.(共38张PPT)
2.2 函数的表示法
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课标定位
素养阐释
1.了解函数的三种表示法及各自的优缺点.
2.掌握求函数解析式的常见方法.
3.尝试作图并从图象上获取有用的信息.
4.体会直观想象的微妙,强化数学抽象素养的培养.
自主预习·新知导学
一、解析法
【问题思考】
1.某种签字笔的单价为6元,购买的支数为x,所花费用为y,则购买签字笔的支数x与所花费用y之间存在怎样的函数关系?y与x的关系能否用一个式子表示?
提示:正比例函数关系,能用一个式子表示,即y=6x(x∈N).
2.抽象概括:如果一个函数能用解析法表示出来,也就能较便利地利用代数工具研究其性质,如初中学习的一次函数、一元二次函数、反比例函数等都是用解析法表示的.
3.想一想:若已知函数的类型,求函数的解析式通常用什么方法?
提示:若已知函数的类型,常用待定系数法求解.
二、列表法
【问题思考】
1.下表反映的是大气中氰化物浓度与污染源距离的关系.
请根据上表回答下面的问题.
(1)表格中两变量存在函数关系吗?
(2)自变量的取值集合是什么?函数的值域是什么?
提示:(1)存在,它表示氰化物浓度是与污染源距离的函数.
(2)自变量的取值集合为{50,100,200,300,500},值域为{0.678,0.398,0.121,0.05,0.01}.
2.填空:列表法直接通过表格读数,不必通过计算,就表示出了两个变量之间的对应值,非常直观.
但任何一个表格内标出的数都是有限个,也就只能表示有限个数值之间的函数关系.若自变量有无限多个数,则只能给出局部的对应关系.
三、图象法
【问题思考】
1.如图是某省本科一批(理科)分数线变化曲线,根据图象回答下面的问题:
(1)图中的曲线能表示两个变量之间存在函数关系吗?如果能,自变量是什么?
(2)图中的函数关系能用解析式表示吗?
提示:(1)能,表示某省本科一批(理科)分数线是年份的函数,其中年份为自变量.
(2)不能,因为自变量年份与某省本科一批(理科)分数线的对应关系比较复杂.
2.填空:图象法可以通过图象直观地显示函数的局部变化规律.但很多函数,图象是近似的,很难由图象得到每个自变量取值对应的精确函数值.另外,并非所有的函数都能用图象表示.
提示:不能.
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里画“√”,错误的画“×”.
(1)函数的图象一定是连续不断的曲线.(
×
)
(2)函数的解析式是唯一的.(
×
)
(3)分段函数是由多个函数组成的.(
×
)
(4)分段函数的定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的交集.(
×
)
合作探究·释疑解惑
探究一
探究二
探究三
探究一
画函数的图象
【例1】
画出下列函数的图象.
(1)y=x+1(x∈Z);
(2)y=x2-2x(x∈[0,3)).
解:(1)这个函数的图象由一些点组成,这些点都在直线y=x+1上,如图(1)所示.
(2)因为0≤x<3,所以这个函数的图象是抛物线y=x2-2x介于0≤x<3之间的一部分,如图(2)所示.
(1)
(2)
1.画函数图象主要有三步:列表、描点、连线.画图象时一般应先确定函数的定义域,然后在定义域内化简函数解析式,最后列表、描点画出图象.
2.函数的图象可能是平滑的曲线,也可能是一群孤立的点,画图时要注意关键点,如图象与坐标轴的交点、区间端点,一元二次函数图象的顶点等等,还要分清这些关键点是实心点还是空心点.
【变式训练1】
画出下列函数的图象.
(1)y=x+1(x≤0);
(2)y=x2-2x(x>1,或x<-1).
解:(1)y=x+1(x≤0)表示一条射线,图象如图(1)所示.
(2)y=x2-2x=(x-1)2-1(x>1,或x<-1)是抛物线y=x2-2x去掉
-1≤x≤1之间的部分后的曲线.如图(2)所示.
?
(1)
(2)
探究二
列表法表示函数
【例2】
已知函数f(x),g(x)分别由下面两个表格给出:
则f(g(1))的值为 ,满足f(g(x))>g(f(x))的x的值是 .?
解析:∵g(1)=3,∴f(g(1))=f(3)=1.
f(g(x))与g(f(x))与x相对应的值如下表所示.
∴满足f(g(x))>g(f(x))的x的值为2.
答案:1 2
解决此类问题关键在于弄清每个表格表示的函数.对于f(g(x))这类函数值的求解,应从内到外逐层解决,而求解不等式,则可分类讨论或列表解决.
【变式训练2】
已知函数f(x),g(x)分别由下面两个表格给出:
(1)f(g(1))= ;?
(2)若g(f(x))=2,则x= .?
解析:(1)由题表知g(1)=3,
∴f(g(1))=f(3)=1.
(2)由题表知g(2)=2,又g(f(x))=2,
∴f(x)=2,又由题表知当x=1时,f(x)=2,
∴x=1.
答案:(1)1 (2)1
探究三
求函数的解析式
【例3】
若一元二次函数f(x)=x2+bx+c满足f(2)=f(-2),且方程f(x)=0的一个根为x=1,求函数f(x)的解析式.
分析:由f(2)=f(-2)及x2+bx+c=0的一个根为x=1建立关于b,c的关系式求解.
解:由f(2)=f(-2),得22+2b+c=(-2)2-2b+c,得b=0.
①
又f(x)=0的一个根为x=1,即x2+bx+c=0的一个根为x=1,
则b+c+1=0.
②
由①②得b=0,c=-1.所以f(x)=x2-1.
1.本例中若将条件“f(2)=f(-2)”改为“f(0)=2”,求f(x)的解析式.
解:由f(0)=2,得c=2.
又f(x)=0的一个根为1,即x2+bx+c=0的一个根为1,则b+c+1=0,
所以b=-3.故f(x)=x2-3x+2.
2.本例条件不变,求f(x+1)的解析式.
解:由例3的解知,f(x)=x2-1,
故f(x+1)=(x+1)2-1=x2+2x.
3.已知f(x+1)=x2-1,求f(x)的解析式.
解法1:设t=x+1,则x=t-1,因为f(x+1)=x2-1,
所以f(t)=(t-1)2-1=t2-2t,
即f(x)的解析式是f(x)=x2-2x.
解法2:因为f(x+1)=x2-1=(x+1)2-2(x+1),
所以f(x)=x2-2x,
即f(x)的解析式是f(x)=x2-2x.
求函数的解析式的方法
(1)如果已知函数类型,可以用待定系数法.
(2)如果已知f(g(x))的解析式,想求f(x)的解析式,可以设t=g(x),然后把f(g(x))中每一个x都换成t的表达式. (3)如果条件是一个关于f(x),f(-x)的方程,我们可以用x的任意性进行赋值.如把每一个x换成-x,其目的是再得到一个关于f(x),f(-x)的方程,然后用消元法消去f(-x),即可求得f(x).
易
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因忽视新元的范围致误
以上解答过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何改正?你如何防范?
利用换元法或配凑的形式求解析式,要注意新元的范围.
答案:x2-4x+3(x≥1)
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1.已知函数f(x)的图象如图所示,则f(-1)+f(0)+f(1)等于( )
?
A.2
B.-2
C.0
D.1
解析:由题图知f(-1)=-1,f(0)=0,f(1)=1,
所以f(-1)+f(0)+f(1)=-1+0+1=0.
答案:C
2.设f(x)=2x+3,g(x)=f(x-2),则g(x)=( )
A.2x+1
B.2x-1
C.2x-3
D.2x+7
解析:因为f(x)=2x+3,所以g(x)=f(x-2)=2(x-2)+3=2x-1.
答案:B
3.已知f(x+2)=6x+5,则f(x)等于( )
A.18x+17
B.6x+5
C.6x-7
D.6x-5
解析:设x+2=t,则x=t-2,
∴f(t)=6(t-2)+5=6t-7,
∴f(x)=6x-7,故选C.
答案:C
4.已知函数f(x)由下表给出,则f(f(3))= .?
解析:由题设给出的表格知f(3)=4,
则f(f(3))=f(4)=1.
答案:1
5.已知f(x)是一次函数,且满足3f(x+1)=6x+4,求函数f(x)的解析式.
解:因为f(x)是一次函数,
所以可设f(x)=kx+b(k≠0).
则3f(x+1)=3[k(x+1)+b]=3kx+3k+3b=6x+4,(共41张PPT)
习题课——函数性质的综合应用
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规
范
解
答
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素养阐释
1.掌握函数奇偶性与单调性的关系,能够运用这种关系解决相关问题.
2.掌握抽象函数奇偶性与单调性的判断方法.
3.掌握函数奇偶性与单调性的综合应用.
4.感受数学抽象的过程,提高逻辑推理能力与数学运算能力.
自主预习·新知导学
一、函数单调性与奇偶性的关系
【问题思考】
1.观察偶函数y=x2与奇函数
在区间(-∞,0)和(0,+∞)上的单调性,你有何猜想?
提示:偶函数y=x2在区间(-∞,0)和(0,+∞)上的单调性相反;奇函数
在区间(-∞,0)和(0,+∞)上的单调性相同.猜想:奇函数又在关于原点对称的区间上的单调性相同,偶函数又在关于原点对称的区间上的单调性相反.
2.填空:奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同;偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反.
3.做一做:已知奇函数f(x)在区间[0,+∞)内单调递增,则满足f(x)A.(-∞,1)
B.(-∞,-1)
C.(0,1)
D.[-1,1)
解析:因为函数f(x)在区间[0,+∞)内单调递增,且是奇函数,所以f(x)在R上为增函数,
所以f(x)答案:A
二、抽象函数的奇偶性
【问题思考】
1.填空:在函数f(x),g(x)的公共定义域上,f(x)+g(x),f(x)g(x),
f(g(x)),g(f(x))的奇偶性如下表所示:
2.函数奇偶性的常用结论
(1)若奇函数f(x)在x=0处有定义,则f(0)=0.
(2)如果函数f(x)是偶函数,那么f(x)=f(|x|).
(3)y=f(x+a)是奇函数,则f(-x+a)=-f(x+a);y=f(x+a)是偶函数,则f(-x+a)=f(x+a).
3.做一做:设函数f(x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数,则下列结论恒成立的是( )
A.f(x)+|g(x)|是偶函数
B.f(x)-|g(x)|是奇函数
C.|f(x)|+g(x)是偶函数
D.|f(x)|-g(x)是奇函数
解析:由f(x)是偶函数,可得f(-x)=f(x),
由g(x)是奇函数,可得g(-x)=-g(x),
故|g(x)|为偶函数,∴f(x)+|g(x)|为偶函数.
答案:A
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里画“√”,错误的画“×”.
(1)若函数f(x)在y轴两侧的单调性相反,则f(x)是偶函数.(
×
)
(2)若函数f(x)是奇函数,则函数y=f(-2x)也是奇函数.(
√
)
(3)若偶函数f(x)在区间(0,+∞)内单调递减,且f(2m-1)>f(m+3),则必有2m-1×
)
合作探究·释疑解惑
探究一
探究二
探究一
函数的奇偶性与单调性的综合应用
【例1】
已知定义在区间(-1,1)内的奇函数f(x)为减函数,且f(1-a)+f(1-2a)>0,求实数a的取值范围.
解:由f(x)是定义在区间(-1,1)内的奇函数,且f(1-a)+f(1-2a)>0,得f(1-a)>-f(1-2a)=f(2a-1).
因为f(x)在定义域上为减函数,
1.求解函数的单调性和奇偶性的综合问题时,要明确奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同,偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反.
2.求解有关函数的奇偶性、单调性以及求参数取值范围的综合问题时,一般先利用奇偶性得出函数在所给区间上的单调性,再利用单调性脱去函数的符号“f”,转化为解不等式(组)的问题.需要注意的是:在转化时,自变量的取值必须在同一单调区间上;当不等式一边没有符号“f”时,需转化为含符号“f”的形式.
【变式训练1】
已知偶函数f(x)在区间[0,+∞)内单调递减,则f(1)和f(-10)的大小关系为( )
A.f(1)>f(-10)
B.f(1)C.f(1)=f(-10)
D.f(1)和f(-10)关系不定
解析:∵f(x)是偶函数,
∴f(-10)=f(10).
又f(x)在区间[0,+∞)内单调递减,且1<10,
∴f(1)>f(10),即f(1)>f(-10).
答案:A
探究二
抽象函数奇偶性与单调性的判断
【例2】
已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y),当x<0时,f(x)<0.求证:
(1)f(x)为奇函数;
(2)f(x)为R上的增函数.
证明:(1)令x=y=0,
则f(0)=f(0)+f(0),所以f(0)=0.
令y=-x,则f(0)=f(x)+f(-x),
即f(-x)=-f(x).故f(x)为奇函数.
(2)任取x1又x<0时,f(x)<0,∴f(x1-x2)<0.
∴f(x1)-f(x2)=f(x1-x2+x2)-f(x2)=f(x1-x2)+f(x2)-f(x2)=f(x1-x2)<0,
即f(x1)∴f(x)为R上的增函数.
1.关于抽象函数奇偶性的判断主要是利用函数的性质和已知条件寻求f(x)和f(-x)的关系,从而得到结论.具体判断步骤如下
(1)明确目标:判断f(x)与f(-x)的关系;
(2)用赋值法在已知函数解析式中凑出f(x)与f(-x)的关系;
(3)判断f(x)与f(-x)的关系后确定结论.
2.抽象函数一般由方程(不等式)确定,这类函数的单调性问题一般用单调性的定义来处理,但要注意运用所给条件,判断出函数值之间的关系.常见思路:首先在所证区间上设出任意x1,x2(x1【变式训练2】
若定义在R上的函数f(x)对任意x1,x2∈R,都有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)-1成立,且当x>0时,f(x)>1.求证:
(1)y=f(x)-1为奇函数;
(2)f(x)是R上的增函数.
证明:(1)因为定义在R上的函数f(x)对任意x1,x2∈R,都有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)-1成立,所以令x1=x2=0,
得f(0+0)=f(0)+f(0)-1,即f(0)=1.
令x1=x,x2=-x,得f(x-x)=f(x)+f(-x)-1,所以[f(x)-1]+[f(-x)-1]=0.
又由题意可知,y=f(x)-1的定义域为R,
故y=f(x)-1为奇函数.
(2)由(1)知y=f(x)-1为奇函数,
所以f(x)-1=-f(-x)+1.
任取x1,x2∈R,且x10,
所以f(x2-x1)=f(x2)+f(-x1)-1=f(x2)-[f(x1)-1]=f(x2)-f(x1)+1.
因为当x>0时,f(x)>1,
所以f(x2-x1)=f(x2)-f(x1)+1>1,
即f(x1)规
范
解
答
函数性质的综合应用
(1)确定f(x)的解析式;
(2)用定义证明:f(x)在区间(-1,1)内是增函数;
(3)解不等式:f(2t-1)+f(t)<0.
(3)解:由题意可知f(x)在区间(-1,1)内是奇函数,则f(2t-1)<-f(t)=f(-t).
因为f(x)在区间(-1,1)内是增函数,
?
第2步:解方程组求出a,b的值即得函数的解析式.
?
第3步:根据取值、作差变形、定号、下结论的步骤证明函数的单调性.
?
第4步:由f(x)为奇函数将已知不等式转化.
?
第5步:由f(x)为增函数去掉“f”建立关于t的不等式.
?
第6步:得到t的取值范围.
造成失分的原因主要如下
(1)计算出错,导致解析式错误;
(2)利用函数单调性的定义证明单调性的过程不规范,没有对作差后的式子进行恰当的变形;
(3)忽视函数的定义域这一隐含条件,由f(2t-1)【变式训练】
已知函数y=f(x)是定义在R上的奇函数,且当x≥0时,f(x)=-x2+ax.
(1)若a=-2,求函数f(x)的解析式;
(2)若函数f(x)为R上的减函数,
①求实数a的取值范围;
②若对任意实数m,f(m-1)+f(m2+t)<0恒成立,求实数t的取值范围.
解:(1)由a=-2得,当x≥0时,f(x)=-x2-2x.
设x<0,则-x>0,
∴f(-x)=-x2+2x,又f(x)为奇函数,
∴-f(x)=f(-x)=-x2+2x,
∴f(x)=x2-2x.
(2)①当a≤0时,函数f(x)=-x2+ax图象的对称轴为直线
∴f(x)=-x2+ax在区间[0,+∞)内单调递减.
由于奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同,
∴f(x)在区间(-∞,0)内单调递减.
又在区间(-∞,0)内f(x)>0,在区间(0,+∞)内f(x)<0,
∴当a≤0时,f(x)为R上的减函数.
②∵f(m-1)+f(m2+t)<0,
∴f(m-1)<-f(m2+t).
又f(x)是奇函数,
∴f(m-1)∵f(x)为R上的减函数,
∴m-1>-t-m2恒成立,
随
堂
练
习
1.下列函数既是偶函数,又在区间(0,+∞)上单调递增的是( )
A.y=x3
B.y=|x|+1
C.y=-x2+1
D.y=2x+1
解析:A项函数为奇函数;B,C项函数为偶函数;D项函数既不是奇函数,也不是偶函数;C项函数在区间(0,+∞)上单调递减,故选B.
答案:B
2.若函数y=f(x)是定义在R上的偶函数,在区间(-∞,0]上单调递减,且f(2)=0,则使函数值y<0的x的取值范围为( )
A.(-∞,2)
B.(2,+∞)
C.(-∞,-2)∪(2,+∞)
D.(-2,2)
解析:由于f(x)是偶函数,且f(2)=0,故f(-2)=0,根据已知条件,可画出函数y=f(x)的示意图(图略).图象关于y轴对称,由图象可知,使函数值y<0的x的取值范围为(-2,2).
答案:D
3.已知y=f(x)是定义在R上的奇函数,当x<0时,f(x)=x+2,那么不等式2f(x)-1<0的解集是( )
答案:B
4.若函数f(x)是R上的偶函数,且在区间[0,+∞)上单调递减,则满足f(π)解析:若a≥0,由函数f(x)在区间[0,+∞)上单调递减,且f(π)若a<0,因为f(x)为偶函数,则由函数f(x)在区间[0,+∞)上单调递减,知f(x)在区间(-∞,0]上单调递增.由f(-π)=f(π)-π,即-π答案:(-π,π)
所以函数f(x)在R上是增函数.
因为函数f(x-1)是定义在R上的奇函数,
所以f(-1)=0,所以不等式f(x+3)<0=f(-1)转化为x+3<-1,
解得x<-4,所以不等式的解集为(-∞,-4).
答案:(-∞,-4)(共37张PPT)
习题课——函数的概念与表示
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合作探究·释疑解惑
易
错
辨
析
随
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课标定位
素养阐释
1.会求简单函数的值域,会求f(f(x))型函数的定义域.
2.会画简单函数的图象.
3.认识取整函数、分段函数.
4.体会抽象概括的过程,加强直观想象能力素养的培养.
自主预习·新知导学
一、取整函数
【问题思考】
1.设x为任一实数,不超过x的最大整数成为x的整数部分,记作[x],如当x=2.15时,[x]=2;当x=-2.14时,[x]=-3.于是,我们把y=[x]叫作取整函数.
(1)根据上述定义,函数y=[x]的定义域是什么?值域是什么?
提示:(1)函数y=[x]的定义域是R,值域是Z.
(2)根据取整的定义,可得原式=-2+3+0=1.
2.填空:y=[x]叫作取整函数,定义域是
R
,值域是
Z
.
二、分段函数
【问题思考】
(1)上述表达式是什么函数?定义域是什么?
(2)画出上述函数的图象,结合图形写出函数的值域.
(3)分段函数的定义域、值域与每段的定义域、值域有何关系?
提示:(1)分段函数,定义域是R.
(2)图象如图.
?
由图可知其值域为[-1,+∞).
(3)分段函数的定义域是每段定义域的并集.分段函数的值域是每段值域的并集.
2.抽象概括:
分段函数:在函数的定义域内,对于自变量x的不同取值范围,函数有着不同的对应关系的函数.
三、函数的概念与表示
【问题思考】
1.函数具有三个要素,即定义域、对应关系和值域,三者缺一不可.其中最重要的是定义域和对应关系,值域由定义域和对应关系确定.
2.求函数定义域的方法
(1)已知函数f(x)的解析式,求定义域,只需求出使f(x)有意义的x的取值范围;
(2)已知f(x)的定义域,求f(φ(x))的定义域,其实质是由φ(x)的取值范围,求出x的取值范围;
(3)已知f(φ(x))的定义域,求f(x)的定义域,其实质是由x的取值范围,求φ(x)的取值范围.
3.函数值域
把图象上的点向y轴上作投影,投影点集合对应的数集,就是函数的值域.
4.相同函数
判断两个函数是否相同,应抓住两点:(1)定义域是否相同;(2)对应关系是否相同.同时应注意,解析式可以化简.
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里画“√”,错误的画“×”.
(1)取整函数y=[x]的值域是R.(
×
)
(2)y=x与y=|x|的定义域相同.(
√
)
(3)已知y=f(x)的定义域是[1,2],则y=f(x+1)的定义域是[2,3].
(
×
)
(4)y=f(x)的值域是[1,2],则y=f(x+1)的值域也是[1,2].(
√
)
合作探究·释疑解惑
探究一
探究二
探究三
探究四
探究一
求函数的值域
求函数的值域,要先确定定义域,然后根据已知解析式,利用分离变量、基本不等式、换元或画图观察等方法求解.
【变式训练1】
求下列函数的值域:
(1)y=x2-4x+6,x∈[1,5];
解:(1)配方得y=(x-2)2+2.
∵x∈[1,5],画出函数y=x2-4x+6的图象(图略),
由图知2≤y≤11,即所求函数的值域为[2,11].
探究二
取整函数问题
【例2】
画出函数f(x)=x-[x]的图象,并求函数的值域.
解:当-2≤x<-1时,f(x)=x+2;
当-1≤x<0时,f(x)=x+1;
当0≤x<1时,f(x)=x;
当1≤x<2时,f(x)=x-1;
当2≤x<3时,f(x)=x-2;….
其图象如图.
由图可知其值域为[0,1).
弄清取整函数的含义,画法同一般函数图象的画法.画函数的图象时要注意的一些关键点:
与坐标轴的交点;图象上的最高点、最低点;还要分清这些关键点是实心点还是空心点.
【变式训练2】
某学校要召开学生代表大会,规定各班每10人推选一名代表,当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表.那么,各班可推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系用取整函数y=[x]([x]表示不大于x的最大整数)可以表示为( )
解析:根据规定每10人推选一名代表,当各班人数除以10的余数大于6时再增加一名代表,即余数分别为7,8,9时可以增选一名代表,也就是x要进一位,所以最小应该加3,因此利用取整函数可表示为
答案:B
探究三
分段函数的应用
(1)试比较f(f(-3))与f(f(3))的大小;
(2)画出函数的图象.
解:(1)∵-3<1,∴f(-3)=-2×(-3)+1=7.
∵7>1,∴f(f(-3))=f(7)=72-2×7=35.
∵3>1,∴f(3)=32-2×3=3,∴f(f(3))=3.
∴f(f(-3))>f(f(3)).
(2)画出函数的图象,如图所示.
1.本例中条件不变,若f(x)=1,求x的值.
2.本例中条件不变,求使f(x)<3的x值的集合.
解决分段函数求值问题,先确定要求值的自变量属于哪一段,然后代入该段的解析式求值,直到求出值为止.
特别地,当出现f(f(x0))的形式时,应从内到外依次求值.
解:∵5<10,
∴f(5)=f(f(5+6))=f(f(11)),
∵11>10,∴f(f(11))=f(9),
又∵9<10,∴f(9)=f(f(15))=f(13)=11,
即f(5)=11.
探究四
形如f(g(x))的函数的定义域问题
【例4】
已知f(x)的定义域为[-2,3],求f(x-1)的定义域.
分析:f(x-1)的定义域即x的取值集合,由-2≤x-1≤3,可得x的取值范围.
解:因为f(x)的定义域为[-2,3],
令-2≤x-1≤3,解得-1≤x≤4.
故f(x-1)的定义域为{x|-1≤x≤4}.
1.已知f(x-1)的定义域为[-2,3],求f(x)的定义域.
解:因为f(x-1)的定义域为[-2,3],
所以-2≤x≤3,所以-3≤x-1≤2,
故f(x)的定义域为{x|-3≤x≤2}.
2.已知f(x+1)的定义域为[-2,3],求f(x-1)的定义域.
解:由f(x+1)的定义域为[-2,3],
得-2≤x≤3,所以-1≤x+1≤4.
因此f(x)的定义域为{x|-1≤x≤4}.
由-1≤x-1≤4,得0≤x≤5.
所以f(x-1)的定义域为{x|0≤x≤5}.
求形如f(g(x))的函数定义域的方法
(1)已知函数f(x)的定义域为[a,b],求f(g(x))的定义域,其解法为:由a≤g(x)≤b,得x的取值集合即为函数f(g(x))的定义域.
(2)已知函数f(g(x))的定义域为[a,b],求函数f(x)的定义域,其解法为:由y=g(x),x∈[a,b],得函数g(x)值域即为函数f(x)的定义域.
答案:[4,9]
易
错
辨
析
答案:A
答案:A
3.下列图形是函数y=-|x|(x∈[-2,2])的图象的是( )
答案:B
4.已知2f(-x)+f(x)=x,则f(x)= .?
解析:因为2f(-x)+f(x)=x,
以-x代替x得,2f(x)+f(-x)=-x,
答案:-x
5.求方程x2-[x]-2=0([x]≤x)的解集.
解:由[x]≤x得x2-x-2≤0,即-1≤x≤2.
因为x2-[x]=2∈Z,
又[x]∈Z,(共39张PPT)
4.2 简单幂函数的图象和性质
自主预习·新知导学
合作探究·释疑解惑
易
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析
随
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习
课标定位
素养阐释
1.理解幂函数的概念.
2.学会以简单的幂函数为例研究函数性质的方法.
3.理解和掌握幂函数在第一象限的分类特征.
4.能运用数形结合的方法处理与幂函数有关的问题,加强直观想象能力素养的培养.
自主预习·新知导学
一、幂函数的概念
【问题思考】
1.给出下列5个问题:
①如果张红购买了1元/kg的蔬菜w
kg,那么她需要支付p=w元,这里p是w的函数.
②如果正方形的边长为a,那么正方形的面积S=a2,这里S是a的函数.
③如果正方体的棱长为a,那么正方体的体积V=a3,这里V是a的函数.
④如果一个正方形场地的面积为S,那么这个正方形的边长
,这里a是S的函数.
⑤如果某人t
s内骑车行进了1
km,那么他骑车的平均速度
v=t-1
km/s,这里v是t的函数.
(1)上述5个问题中,若自变量都用x表示,因变量都用y表示,则对应的函数关系式分别是什么?
(2)上述5个问题中的函数有什么共同特征?
(2)都是自变量出现在底数的位置上,指数为常数,幂为函数值的函数.
2.填空:一般地,形如y=xα(α为常数)的函数,即底数是自变量、指数是常数的函数称为幂函数.
3.想一想:一元二次函数都是幂函数吗?
提示:不一定.如y=3x2,y=x2-3x+2都不是幂函数.只有二次项系数为1,无一次项和常数项的一元二次函数才是幂函数.
二、幂函数的图象与性质
【问题思考】
(1)观察上图,将你发现的结论写在下表内.
(2)根据以上探究过程,可总结幂函数的性质如下:
①图象都过点(1,1).
②α为奇数时,y=xα为奇函数;
α为偶数时,y=xα为偶函数.
③α>0时,y=xα在区间(0,+∞)上单调递增;
α<0时,y=xα在区间(0,+∞)上单调递减.
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里画“√”,错误的画“×”.
(1)函数y=2x3,y=x2+1和y=(x+1)3都是幂函数.(×)
(2)幂函数y=xα的定义域为R.(×)
(3)幂函数y=是奇函数.(×)
(4)幂函数y=f(x)是一元二次函数,则f(2)=4.(√)
合作探究·释疑解惑
探究一
探究二
探究三
探究一
幂函数的概念
(2)∵函数f(x)为幂函数,
∴a2-3a+3=1,得a=1或a=2.
当a=1时,f(x)=x,在区间(0,+∞)上单调递增,不合题意.
当a=2时,f(x)=x-1,在区间(0,+∞)上单调递减,符合题意.
综上所述,a的值为2.
1.幂函数的特点:系数为1,底数为自变量,指数为常数.
2.当α>0时,幂函数在第一象限内单调递增;当α<0时,幂函数在第一象限内单调递减.
解:根据幂函数的定义,得
m2-m-1=1,解得m=2或m=-1,
当m=2时,f(x)=x3在区间(0,+∞)上单调递增,符合题意;当m=-1时,f(x)=x-3在区间(0,+∞)上单调递减,不合题意.
所以f(x)的解析式为f(x)=x3.
探究二
幂值大小的比较
探究三
幂函数的图象与性质的应用
分析:先求解析式,然后画出简图,根据图象直观求解.
画出f(x)的图象,如图所示.
由图可得,函数f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),
单调递减区间为(0,+∞),单调递增区间为(-∞,0).
所以函数f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),
画出函数f(x)的图象,如图所示.
由图可得,函数f(x)的单调递减区间为(0,+∞),单调递增区间为(-∞,0).
1.幂函数图象的画法
(1)确定幂函数在第一象限内的图象:先根据α的取值,确定幂函数y=xα在第一象限内的图象.
(2)确定幂函数在其他象限内的图象:根据幂函数的定义域及对称性确定幂函数f(x)在其他象限内的图象.
2.求幂函数中含参数问题的三个步骤
【变式训练3】
已知幂函数y=xα(α≠0),当α取不同的正数时,在区间[0,1]上它们的图象是一簇美丽的曲线(如图).设点A(1,0),B(0,1),连接AB,线段AB恰好被其中的两个幂函数y=xα和y=xβ的图象三等分,即有BM=MN=NA,则αβ等于( )
A.1
B.2
C.3
D.无法确定
答案:A
易
错
辨
析
因考虑不全面致误
【典例】
当x∈(1,+∞)时,幂函数y=xα的图象恒在直线y=x的下方,求实数α的取值范围.
错解
如图(1)所示,当0<α<1时,对于x∈(1,+∞),y=xα的图象在直线y=x的下方.
如图(2)所示,当α<0时,也符合题意,
故实数α的取值范围是α<1,且α≠0.
(1)
(2)
以上解答过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何改正?你如何防范?
提示:忽略了α=0这一特殊情况,在求解求取值范围的题目时,一定要考虑全面.
正解:当0<α<1时,对于x∈(1,+∞),y=xα的图象在直线y=x的下方,如图(1)所示.
当α<0时,对于x∈(1,+∞),
y=xα的图象也在直线y=x的下方,
如图(2)所示.
当α=0时,对于x∈(1,+∞),
y=xα的图象在直线y=x的下方,
如图(3)所示.
故实数α的取值范围是α<1.
(1)
(2)
(3)
准确掌握幂函数的概念,此外分类讨论题目要考虑全面,切不可丢掉某些情况.
【变式训练】
已知幂函数
(n∈Z)的图象关于y轴对称,且在区间(0,+∞)上单调递减,则n= .
解析:由于f(x)为幂函数,所以n2+2n-2=1,解得n=1或n=-3.
当n=1时,f(x)=x-2;当n=-3时,f(x)=x18.
又f(x)的图象关于y轴对称,且在区间(0,+∞)上单调递减,
所以只有n=1符合题意.
答案:1
随
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习
答案:C
解析:因为f(x)是幂函数,所以m-1=1,即m=2.
答案:A
4.幂函数y=x2-a在区间(0,+∞)上单调递减,则实数a的取值范围是 .?
解析:因为y=x2-a在区间(0,+∞)上单调递减,所以2-a<0,得a>2.
答案:a>2(共39张PPT)
4.1 函数的奇偶性
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合作探究·释疑解惑
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随
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课标定位
素养阐释
1.理解奇函数、偶函数的定义.
2.了解奇函数、偶函数的图象特征.
3.掌握判断函数的奇偶性的方法,能够利用函数的奇偶性解决简单的问题.
4.体会数学抽象的过程,感受直观想象在解决问题中的应用,培养运算能力以及逻辑推理能力.
自主预习·新知导学
一、奇函数和偶函数的定义
【问题思考】
试分别针对上述函数计算f(-x),并判断f(-x)与f(x)具有怎样的关系.
提示:①④满足f(-x)=f(x);②⑤满足f(-x)=-f(x);③⑥既不满足f(-x)=f(x)也不满足f(-x)=-f(x).
2.填空:(1)一般地,设函数f(x)的定义域是A,如果对任意的x∈A,有-x∈A,且
f(-x)=-f(x)
,那么称函数f(x)为奇函数.
(2)设函数f(x)的定义域是A,如果对任意的x∈A,有-x∈A,
且
f(-x)=f(x)
,那么称函数f(x)为偶函数.
(3)当函数f(x)是奇函数或偶函数时,称f(x)具有奇偶性,奇函数和偶函数的定义域均关于原点对称.
提示:根据奇函数的定义知,满足这两种对应关系的函数都是奇函数.
二、奇函数和偶函数的图象特征
【问题思考】
1.下列函数图象中,关于y轴对称的有哪些?关于原点对称的呢?
提示:①②关于y轴对称,③④关于原点对称.
2.填空:(1)奇函数的图象关于原点对称,反之亦然.
(2)偶函数的图象关于
y轴
对称,反之亦然.
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里画“√”,错误的画“×”.
(1)奇函数的图象一定过原点.(
×
)
(2)定义在R上的函数f(x),若存在x0,使f(-x0)=f(x0),则函数f(x)为偶函数.(
×
)
(3)函数y=x2,x∈(-1,1]是偶函数.(
×
)
(4)函数f(x)=x|x|是奇函数.(
√
)
合作探究·释疑解惑
探究一
探究二
探究三
探究一
函数奇偶性的判断
判断函数奇偶性的两种常用方法:
(1)定义法:①判断定义域是否关于原点对称;
②判断f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x)是否成立.
(2)图象法:画出函数的图象,直接利用图象的对称性判断函数的奇偶性.
【变式训练1】
判断下列函数的奇偶性:
(2)f(x),g(x)是定义在R上的奇函数,试判断y=f(x)+g(x),
y=f(x)g(x),y=f(g(x))的奇偶性.
∴函数f(x)的定义域为[-2,2),关于原点不对称.故函数f(x)既不是奇函数,也不是偶函数.
(2)∵f(x),g(x)是定义在R上的奇函数,
∴f(-x)+g(-x)=-f(x)-g(x)=-[f(x)+g(x)],
f(-x)g(-x)=[-f(x)][-g(x)]=f(x)g(x),
f(g(-x))=f(-g(x))=-f(g(x)),
∴y=f(x)+g(x)是奇函数,y=f(x)g(x)是偶函数,y=f(g(x))是奇函数.
探究二
奇函数、偶函数的图象问题
【例2】
设奇函数f(x)的定义域为[-5,5],当x∈[0,5]时,f(x)的图象如图所示,则不等式f(x)<0的解集为 .
分析:根据函数的奇偶性,画出函数在区间[-5,0]上的图象,根据图象写出不等式的解集.
解析:由题意,函数f(x)在区间[-5,0]上的图象与在区间[0,5]上的图象关于原点对称,画出函数f(x)在区间[-5,0]上的图象,观察图象,可得f(x)<0的解集为(-2,0)∪(2,5].
?
答案:(-2,0)∪(2,5]
1.本例条件不变,试比较f(-1)与f(-3)的大小.
解:由例2中图象可知,f(1)>0,f(3)<0,
所以f(1)>f(3).
又函数f(x)为奇函数,所以f(-1)=-f(1),f(-3)=-f(3),故f(-1)2.若把本例中的奇函数改为偶函数,其他条件不变,求不等式f(x)<0的解集.
解:由于f(x)是偶函数,y轴右侧的图象已知,结合偶函数的图象关于y轴对称,画出y轴左侧的图象,如图所示.
?
由图象知,x∈[-5,-2)时,f(x)<0;x∈(2,5]时,f(x)<0,所以f(x)<0的解集为[-5,-2)∪(2,5].
巧用奇偶性画函数图象的步骤
(1)确定函数的奇偶性.
(2)画出函数在区间[0,+∞)(或区间(-∞,0])上对应的图象.
(3)根据奇(偶)函数关于原点(y轴)对称得出在区间(-∞,0](或区间[0,+∞))上对应的函数图象.利用奇偶函数的图象可以解决求值、比较大小及解不等式问题.
【变式训练2】
如图给出了定义域为[-2,2]的偶函数y=f(x)的局部图象,试画出此函数在y轴左侧的图象,并写出f(x)>0的x的取值集合.
解:因为偶函数的图象关于y轴对称,所以可得到此函数在y轴左侧的图象如图所示.
?
由图象可知,当x∈[-2,0)时,f(x)>0;当x∈(0,2]时,f(x)>0.
故使f(x)>0的x的取值集合为[-2,0)∪(0,2].
探究三
函数奇偶性的应用
【例3】
已知函数f(x)为定义在区间[-2,2]上的奇函数,当x∈[-2,0]时,
(1)写出f(x)在区间[0,2]上的解析式;
(2)求f(x)在区间[-2,2]上的值域.
解:(1)∵f(x)为定义在区间[-2,2]上的奇函数,且f(x)在x=0处有意义,
∴f(0)=0,即f(0)=a=0.∴a=0.
∴当x∈[0,2]时,f(x)max=f(0)=0,f(x)min=f(2)=-7.
∵f(x)是奇函数,
∴f(x)在区间[-2,2]上的值域为[-7,7].
利用奇偶性求参数的常见类型及策略
(1)定义域含参数:奇(偶)函数f(x)的定义域为[a,b],根据定义域关于原点对称,利用a+b=0求参数.
(2)解析式含参数:根据f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)列式,比较系数即可求解.
答案:0
易
错
辨
析
忽视函数奇偶性的前提致误
以上解答过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何改正?你如何防范?
判断函数奇偶性要先判断函数的定义域是否关于原点对称.若关于原点对称,再根据奇偶性的定义判断,若不关于原点对称,则函数既不是奇函数,也不是偶函数.
【变式训练】
函数f(x)=|x+1|-|x-1|为( )
A.奇函数
B.偶函数
C.既是奇函数也是偶函数
D.既不是奇函数,也不是偶函数
解析:函数f(x)的定义域为R,
对于任意x∈R,f(-x)=|-x+1|-|-x-1|=|x-1|-|x+1|=-f(x),
∴函数f(x)为奇函数.
又f(-1)=-2,f(1)=2,f(-1)≠f(1),
∴f(x)不是偶函数.
答案:A
随
堂
练
习
A.奇函数
B.偶函数
C.既不是奇函数,也不是偶函数
D.既是奇函数又是偶函数
解析:因为该函数的定义域(0,1),不关于原点对称,所以该函数既不是奇函数,也不是偶函数.
答案:C
2.如果定义在区间[2-a,4]上的函数f(x)为偶函数,那么a= .?
解析:因为函数f(x)为偶函数,所以函数的定义域关于原点对称,于是有2-a=-4,得a=6.
答案:6
3.已知函数y=f(x)为奇函数,若f(3)-f(2)=1,则f(-2)-f(-3)=
.?
解析:因为函数y=f(x)为奇函数,所以f(-x)=-f(x),
则f(-2)-f(-3)=-f(2)+f(3)=1.
答案:1
4.定义在R上的奇函数f(x),当x>0时,f(x)=2,则函数f(x)的值域是 .?
解析:∵f(x)是定义在R上的奇函数,
∴f(-x)=-f(x),f(0)=0.
设x<0,则-x>0,于是f(-x)=2,即-f(x)=2,∴f(x)=-2.
∴奇函数f(x)的值域是{-2,0,2}.
答案:{-2,0,2}
5.已知函数f(x)=(x+1)(x-a)为偶函数,求实数a的值.
解:f(x)=(x+1)(x-a)=x2+(1-a)x-a.
因为函数f(x)是偶函数,所以1-a=0,得a=1.(共42张PPT)
§3 函数的单调性和最值
自主预习·新知导学
合作探究·释疑解惑
易
错
辨
析
随
堂
练
习
课标定位
素养阐释
1.理解增函数和减函数的定义.
2.理解函数单调性的含义,掌握利用定义证明函数单调性的方法.
3.能利用函数单调性的定义或图象求函数的单调区间,能够利用函数的单调性解决有关问题.
4.进一步体会数学抽象和逻辑推理的过程,提高逻辑推理能力.
自主预习·新知导学
一、增函数与减函数
【问题思考】
1.观察下面两个图象,从图形上看,它们有什么特征?
(1)
(2)
提示:从图形上看,(1)的图象是上升的;(2)的图象是下降的.
2.观察下表,通过表中对应值你发现了什么?
提示:当自变量x的值增大时,y=-x+1对应的函数值y随着减小,y=x2(x≥0)对应的函数值y随着增大.
3.填空:设函数y=f(x)的定义域是D:
如果对于任意的x1,x2∈D,当x1f(x1),那么就称函数y=f(x)是增函数.特别地,当I是定义域D上的一个区间时,也称函数y=f(x)在区间I上单调递增.
如果对于任意的x1,x2∈D,当x1f(x1)>f(x2)
,那么就称函数y=f(x)是减函数.特别地,当I是定义域D上的一个区间时,也称函数y=f(x)在区间I上单调递减.
如果函数y=f(x)在区间I上单调递增或单调递减,那么就称函数y=f(x)在区间I上具有单调性.此时,区间I为函数y=f(x)的单调区间.
4.想一想:(1)如果在函数y=f(x)中有f(1)(2)若函数y=f(x)在D上是减函数,D1?D,则y=f(x)在D1上是什么函数?
(3)任何函数在定义域上都具有单调性吗?
提示:(1)不能,函数单调性的定义中任取x1,x2,当x1(2)减函数.
(3)函数的单调性是指函数在定义域内或定义域的某个区间内的变化趋势,是递增或递减的一种定性描述,它是函数的局部性质.有的函数不具有单调性,例如:函数
二、最大(小)值
【问题思考】
1.在下图表示的函数中,最大的函数值和最小的函数值分别是多少?1为什么不是最小值?
提示:最大的函数值为4,最小的函数值为2.
1没有A中的元素与之对应,不是函数值.
2.填空:
设函数y=f(x)的定义域是D:若存在实数M,对于所有的x∈D,都有
f(x)≤M
,且存在x0∈D,使得f(x0)=M,则称M为函数y=f(x)的最大值.同样地,可以定义函数y=f(x)的最小值.函数的最大值和最小值统称为最值.
3.想一想:若函数f(x)≤M,则M一定是函数的最大值吗?
提示:不一定,只有定义域内存在一点x0,使f(x0)=M时,M才是函数的最大值,否则不是.
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里画“√”,错误的画“×”.
(1)所有的函数在其定义域上都具有单调性.(
×
)
(2)函数f(x)为R上的减函数,则f(-2)>f(2).(
√
)
(3)函数y=x2在区间[-1,2]上是单调的.(
×
)
合作探究·释疑解惑
探究一
探究二
探究三
探究四
探究一
证明函数的单调性
【例1】
已知函数
,且此函数图象过点(1,5).
(1)求实数m的值;
(2)判断函数f(x)在区间(2,+∞)上的单调性,并用定义证明你的结论.
分析:(1)把点的坐标代入函数f(x)的解析式求m;
(2)要证明函数的单调性,只需用定义证明即可.
证明函数单调性的方法主要是定义法(在解答选择题或填空题时有时可用图象法),利用定义法证明函数单调性的步骤
探究二
确定(求)函数的单调区间
【例2】
(1)如图所示为定义在区间[-5,5]上的函数y=f(x)的图象,则函数的单调递减区间是 、 ,在区间 、 上单调递增.?
解析:(1)观察题中图象可知,y=f(x)的单调区间有[-5,-2],[-2,1],
[1,3],[3,5].其中y=f(x)在区间[-5,-2],[1,3]上单调递增,在区间
[-2,1],[3,5]上单调递减.
答案:(1)[-2,1] [3,5] [-5,-2] [1,3]
(2)(-∞,1),(1,+∞)
利用函数图象确定函数的单调区间,具体做法:先化简函数解析式,再画出它的草图,最后根据函数定义域与草图的位置、状态,确定函数的单调区间.求函数的单调区间不能忽视定义域,单调区间应是定义域的子集.
探究三
函数单调性的应用
【例3】
已知函数f(x)=-x2-ax-5.若f(x)在区间(-1,1)上单调递减,求实数a的取值范围.
分析:先求对称轴,再结合图象和已知条件求a的取值范围.
解:∵函数f(x)在区间(-1,1)上单调递减,
∴函数f(x)的图象的对称轴在区间(-1,1)的左侧,
即
,解得a≥2,
故实数a的取值范围是[2,+∞).
1.若函数f(x)=ax2-2x+2在区间(-∞,4)上单调递减,求实数a的取值范围.
3.若函数y=f(x)在定义域(-1,1)上是减函数,且f(1-a)函数单调性应用的两个关注点
(1)单调性的定义的“双向性”:利用定义可以判断、证明函数的单调性,反过来,若已知函数的单调性可以确定函数中参数的取值范围.
(2)若一个函数在区间[a,b]上是单调的,则此函数在这一单调区间内的任意子集上也是单调的.
【变式训练3】
已知函数f(x)=x2+ax+b.
(1)若函数f(x)的图象过点(1,4)和(2,5),求f(x)的解析式.
(2)若函数f(x)在区间[1,2]上不单调,求实数a的取值范围.
探究四
利用单调性求函数的最值
1.若函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递增,则f(x)的最大值为f(b),最小值为f(a).
2.若函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递减,则f(x)的最大值为f(a),最小值为f(b).
3.若函数y=f(x)有多个单调区间,那就先求出各区间上的最值,再从各区间的最值中选出最大(小)值.函数的最大(小)值是整个值域范围内最大(小)的.
4.如果函数定义域为开区间,则不但要考虑函数在该区间上的单调性,还要考虑端点处的函数值或者发展趋势.
∵1≤x10,
∴f(x1)>f(x2),
∴函数f(x)在区间[1,2]上单调递减.
同理可证函数f(x)在区间[2,4]上单调递增.
∴当x=2时,f(x)取得最小值4;当x=1,或x=4时,f(x)取得最大值5.
易
错
辨
析
混淆了单调区间与在区间上单调致误
【典例】
若函数f(x)=x2+2(a-1)x+4的单调递减区间是(-∞,4],则实数a的值是 .?
错解
函数f(x)的图象的对称轴为直线x=1-a,由于函数在区间(-∞,4]上单调递减,
因此1-a≥4,即a≤-3.
答案
a≤-3
以上解答过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何改正?你如何防范?
提示:错解中把单调区间误认为是在区间上单调,导致解题错误.
正解:因为函数的单调递减区间为(-∞,4],且函数图象的对称轴为直线x=1-a,
所以有1-a=4,即a=-3.
答案:a=-3
认真审题,对题目逐字逐句审读,弄清题目含义,然后解题.
【变式训练】
函数f(x)=x2-2(a-1)x+1在区间[5,+∞)上单调递增,则实数a的取值范围是( )
A.[6,+∞)
B.(6,+∞)
C.(-∞,6]
D.(-∞,6)
解析:函数f(x)图象的对称轴为直线x=a-1.
因为函数f(x)在区间[5,+∞)上单调递增,
所以a-1≤5,解得a≤6.
答案:C
随
堂
练
习
答案:D
解析:选项A,C,D中的函数在区间(0,+∞)上都是单调递减的,只有函数y=x2+1在区间(0,2)上是单调递增的.
答案:B
3.若函数f(x)在R上是增函数,且f(m)A.m>n
B.mC.m≥n
D.m≤n
解析:因为f(x)在R上是增函数,且f(m)答案:B
4.如图为函数y=f(x)的图象,则函数的单调递减区间为 .?
(1)求函数f(x)的定义域;
(2)求证:函数f(x)在定义域上是增函数;
(3)求函数f(x)的最小值.
(1)解:要使函数f(x)有意义,自变量x需满足x+1≥0,解得x≥-1,
故函数f(x)的定义域是[-1,+∞).
(2)证明:设-1≤x10,
(3)解:∵函数f(x)在定义域[-1,+∞)上是增函数,
∴f(x)≥f(-1)=0,即函数f(x)的最小值是0.(共39张PPT)
2.1 函数概念
自主预习·新知导学
合作探究·释疑解惑
易
错
辨
析
随
堂
练
习
课标定位
素养阐释
1.理解函数的概念,了解构成函数的三要素.
2.会求一些简单函数的定义域、函数值、值域.
3.体会数学抽象的过程,提升抽象概括、数学运算的素养.
自主预习·新知导学
一、函数的概念
【问题思考】
1.函数y=x2+1中,x,y的取值集合如何表示?x每取一个值,y有几个值与之对应?
提示:x的取值集合为R,y的取值集合为[1,+∞);由一元二次函数的图象(图略)可知x每取一个值,y有唯一确定的值与之对应.
2.填一填:
给定实数集R中的两个非空数集A和B,如果存在一个对应关系
f,使对于集合A中的每一个数x,在集合B中都有唯一确定的数y和它对应,那么就把对应关系f称为定义在集合A上的一个函数,记作
y=f(x),x∈A.其中集合A称为函数的定义域,x称为自变量,与x值对应的y值称为函数值,集合{f(x)|x∈A}称为函数的值域.
3.想一想:在函数的定义中,集合B就是函数的值域吗?
提示:不一定.例如,A={1,2,3},B={1,2,3,4},f:x→y=x,则f:A→B是从集合A到集合B的一个函数,但函数值域{1,2,3}是集合B的子集.
二、函数的三要素
【问题思考】
1.函数f(x)=x2,x∈R与g(t)=t2,t∈R是不是同一个函数?f(x)=x与g(x)=|x|呢?
提示:f(x)=x2,x∈R与g(t)=t2,t∈R都是描述的同一集合R中任一元素,按同一对应关系“平方”对应B中唯一确定的元素,故是同一个函数.
f(x)=x与g(x)=|x|不是同一个函数,因为两个函数虽然定义域相同,但对应关系不同.
2.填空:
(1)函数的三要素:定义域,对应关系,值域.其中,定义域和对应关系起决定作用,只要确定了一个函数的定义域和对应关系,这个函数也就确定了,值域也随之确定.
(2)如果两个函数的定义域相同,并且对应关系完全一致,我们就称这两个函数是同一个函数.
(3)用f(a)表示函数f(x)当x=a时的函数值.
一般情况下,当没有指明函数的定义域时,就认为它的定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围.如果涉及实际问题,函数的定义域还必须使实际问题有意义.
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里画“√”,错误的画“×”.
(1)对于函数y=f(x),x∈A,f(x)与f(a)意义相同.(
×
)
(2)函数的定义域和值域一定是无限集合.(
×
)
(3)函数符号y=f(x)表示f与x的乘积.(
×
)
(4)定义域和对应关系确定后,函数值域也就确定了.(
√
)
合作探究·释疑解惑
探究一
探究二
探究三
探究四
探究一
函数的概念
【例1】
下列四组中的函数f(x),g(x)表示同一个函数的是( )
分析:根据两个函数的定义域相同,对应关系也相同,即可判断是同一个函数.
答案:D
判断两个函数是不是同一个函数,判断函数的定义域、对应关系分别相同是解题的关键.
【变式训练1】
下列给出的各组函数f(x)与g(x),是同一个函数的是( )
解析:A项中函数的定义域不同,B项中函数的解析式不同,即对应关系不同,D项中函数的定义域不同,x=0时g(x)没有意义,只有C项符合题意.
答案:C
探究二
求函数的定义域
1.当函数是由解析式给出时,求函数的定义域就是求使解析式有意义的自变量的取值集合,必须考虑下列各种情形:(1)负数不能开偶次方,所以偶次根号下的式子大于或等于零;(2)分式中分母不能为0;(3)零次幂的底数不为0;(4)如果f(x)由几部分构成,那么函数的定义域是使各部分都有意义的实数的集合;(5)如果函数有实际背景,那么除符合上述要求外,还要符合实际情况.
2.求函数的定义域,一般是转化为解不等式或不等式组的问题,注意定义域是一个集合,其结果必须用集合或区间来表示.
3.含有参数的函数,其自变量取值范围的确定随参数取值的变化而变化,要依据参数的所有可能情况分类研究确定.
探究三
求函数值
求函数值时,首先要确定出函数的对应关系f的具体含义,然后将变量代入解析式计算,对于f(g(3))型的求值,按“由内到外”的顺序进行,要注意f(g(3))与g(f(3))的区别.
探究四
求简单函数的值域
解:(1)f(x)=-x2-2x+1=-(x+1)2+2.
∵x∈(-2,3),∴f(x)max=f(-1)=2,
又f(-2)=-(-2)2-2×(-2)+1=1,
f(3)=-32-2×3+1=-14,∴-14即f(x)的值域为(-14,2].
(2)当x≥0时,f(x)=x2+1≥1;
当x<0时,f(x)=x-1<-1,
故函数f(x)的值域为(-∞,-1)∪[1,+∞).
求值域的方法:
(1)图象法:根据函数图象求得函数值域,是一种求值域的重要方法.
(2)配方法:配方法是求“二次函数类”值域的基本方法.
(3)换元法:运用代数代换,将所给函数化成值域容易确定的另一函数,从而求得原函数的值域.
(4)分段函数值域分段求解,然后取并集.
答案:[0,1)
易
错
辨
析
因定义域理解不透致误
以上解答过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何改正?你如何防范?
随
堂
练
习
解析:f(x)=π是常数函数,故选B.
答案:B
答案:B
答案:[-4,1]
答案:2