2021_2022学年新教材高中数学单元复习课第2课时函数课件（56张ppt）北师大版必修第一册

(共56张PPT)
第2课时　函数
知
识
网
络
要
点
梳
理
专题归纳·核心突破
知
识
网
络
要
点
梳
理
1.什么是函数?函数的三要素是什么?如何判断两个函数为同一个函数?
提示:(1)函数的定义:给定实数集R中的两个非空数集A和B,如果存在一个对应关系f,使对于集合A中的每一个数x
,在集合B中都有唯一确定的数y和它对应,那么就把对应关系f称为定义在集合A上的一个函数,记作y=f(x),x∈A.
(2)函数三要素:定义域、对应关系、值域.
(3)如果两个函数的定义域相同,并且对应关系完全一致,那么这两个函数是同一个函数.
2.函数有哪些表示法?
提示:函数的表示方法:解析法、图象法、列表法.
3.什么是增函数?什么是减函数?什么是函数的单调性与单调区间?请完成下表:
4.什么是函数的最大值?什么是函数的最小值?请完成下表:
5.什么是奇函数?什么是偶函数?它们的图象各有什么特征?请完成下表:
6.幂函数的定义是什么?其一般性质如何?
提示:(1)一般地,形如y=xα(α为常数)的函数,即底数是自变量、指数是常数的函数称为幂函数.
(2)幂函数的一般性质:
①所有的幂函数在区间(0,+∞)上都有定义,图象都过(1,1)点;
②若α>0,则y=xα在区间(0,+∞)上单调递增,图象过(0,0)点;若α<0,则y=xα在区间(0,+∞)上单调递减,图象不过(0,0)点.
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里画“√”,错误的画“×”.
(1)函数y=f(x)的图象与直线x=a最多有2个交点.(
×
)
(2)函数f(x)=x2-2x与g(t)=t2-2t是同一个函数.(
√
)
(3)若函数f(x)的图象如图所示,则函数f(x)的单调递增区间是(-∞,0]∪(0,+∞).(
×
)
(4)若函数y=f(x)在区间[1,+∞)上单调递增,则函数的单调递增区间是[1,+∞).(
×
)
(5)对于函数f(x),x∈D,若?x1,x2∈D,有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0,则函数f(x)在D上是增函数.(
√
)
(6)在闭区间上单调的函数,其最值一定在区间端点取到.(
√
)
(7)函数y=x2,x∈(0,+∞)是偶函数.(
×
)
(8)偶函数的图象不一定过原点,奇函数的图象一定过原点.
(
×
)
(9)若函数y=f(x+a)是偶函数,则函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称.(
√
)
(10)若函数y=f(x+b)是奇函数,则函数y=f(x)的图象关于点(b,0)中心对称.(
√
)
(11)幂函数的图象一定经过(1,1)和(0,0)点.(
×
)
专题归纳·核心突破
专题整合
高考体验
专题一　求函数的定义域
【例1】
(1)已知函数y=f(x+1)的定义域是[-2,3],则y=f(2x-1)的定义域是(　　)
答案:A
函数的定义域是指函数y=f(x)中自变量x的取值范围.
(1)已给出函数解析式:函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合;
(2)复合函数:要弄清变量的范围,根据复合关系求解;
(3)实际问题:求函数的定义域既要考虑使解析式有意义,还应考虑使实际问题有意义.
(2)将长为a的铁丝折成矩形,求矩形面积y关于一边长x的解析式,并写出此函数的定义域.
专题二　求函数的解析式
求函数解析式的题型与相应的解法
(1)已知形如f(g(x))的解析式求f(x)的解析式,使用换元法或配凑法.
(2)已知函数的类型(往往是一次函数或一元二次函数),使用待定系数法.
(3)含f(x)与f(-x)或f(x)与
,使用解方程组法.
(4)已知一个区间的解析式,求另一个区间的解析式,可用奇偶性转移法.
专题三　分段函数问题
分析:根据每一段的范围分类建立方程求解.
分段函数是一个函数而非几个函数,其定义域是各子区间的并集,值域是各段上值域的并集.解决分段函数问题,要根据不同段分类求解.
解析:f(x)在区间(-∞,0),[0,+∞)上都单调递增,并且在x=0处函数连续,所以f(x)在R上是增函数,所以f(2-a2)>f(a)等价于2-a2>a,即a2+a-2<0,解得-2答案:(-2,1)
专题四　函数的单调性与奇偶性
而f(1)=0,则f(-1)=-f(1)=0.
所以当x>0时,有f(x)<0=f(1);
当x<0时,有f(x)>0=f(-1).
又∵f(x)在区间(0,+∞)上单调递增,
∴奇函数f(x)在(-∞,0)上单调递增.
∴0答案:D
巧用奇偶性及单调性解不等式:利用已知条件,结合函数的奇偶性,把已知不等式转化为xf(x)<0的形式.根据奇函数在对称区间上的单调性一致,脱掉不等式中的“f”转化为简单不等式求解.
【变式训练4】
定义在区间(-1,1)上的函数f(x)满足:
②当x∈(-1,0)时,f(x)>0.
(1)判定函数f(x)的奇偶性;
(2)判定函数f(x)在区间(-1,0)上的单调性.
解:(1)f(x)在区间(-1,1)上是奇函数.理由如下:
令x=y=0,得2f(0)=f(0),∴f(0)=0.
再令y=-x,得f(x)+f(-x)=f(0)=0,
∴f(-x)=-f(x),
∴f(x)在区间(-1,1)上是奇函数.
(2)函数f(x)在区间(-1,0)上单调递减.证明如下:
设-10.
专题五　函数图象及应用
【例5】
对于函数f(x)=x2-2|x|.
(1)判断其奇偶性,并指出图象的对称性;
(2)画出函数的图象,并指出函数的单调区间和最小值.
分析:(1)根据函数奇偶性的定义判断;(2)先去绝对值号,然后根据一元二次函数图象的特征画函数图象.
解:(1)函数的定义域为R,关于原点对称,
f(-x)=(-x)2-2|-x|=x2-2|x|.
则f(-x)=f(x),∴函数f(x)是偶函数,图象关于y轴对称.
画出函数f(x)的图象如图所示,
根据图象知,函数f(x)的最小值是-1.
单调递增区间是[-1,0],[1,+∞);
单调递减区间是(-∞,-1],[0,1].
【变式训练5】
设函数f(x)=x2-2|x|-1(-3≤x≤3).
(1)证明:函数f(x)是偶函数;
(2)画出这个函数的图象;
(3)指出函数f(x)的单调区间,并说明在各个单调区间上f(x)的单调性;
(4)求函数的值域.
(1)证明:∵函数f(x)的定义域关于原点对称,
且f(-x)=(-x)2-2|-x|-1=x2-2|x|-1=f(x),
即f(-x)=f(x),∴函数f(x)是偶函数.
(2)解:当0≤x≤3时,
f(x)=x2-2x-1=(x-1)2-2.
当-3≤x<0时,f(x)=x2+2x-1=(x+1)2-2.
画出函数f(x)的图象,如图所示.
(3)解:函数f(x)的单调区间为[-3,-1],[-1,0],[0,1],[1,3].
f(x)在区间[-3,-1]和[0,1]上单调递减,
在区间[-1,0]和[1,3]上单调递增.
(4)解:当0≤x≤3时,函数f(x)=(x-1)2-2的最小值为-2,最大值为f(3)=2;
当-3≤x≤0时,函数f(x)=(x+1)2-2的最小值为-2,
最大值为f(-3)=2.故函数f(x)的值域为[-2,2].
专题六　幂函数及其应用
(1)求出m的值和函数g(x)的解析式;
(2)函数f(x)=ag(x)+a2x+3(a∈R)在区间[-2,-1]上单调递增,求实数a的取值范围.
分析:(1)根据函数的单调性以及m∈Z,得到m=0,1,2,再根据函数是偶函数可得m=1即可得到答案;(2)代入g(x)的解析式后,根据一元二次函数的图象的对称轴与区间的端点值的关系列式可解得.
(2)因为f(x)=ag(x)+a2x+3=ax2+a2x+3(a∈R)在区间[-2,-1]上单调递增,
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)若f(a+1)考点一　函数的定义域
解析:要使函数有意义,需7+6x-x2≥0,
解得-1≤x≤7.
答案:[-1,7]
考点二　分段函数
答案:C
考点三　函数的图象与解析式
4.(2019·全国Ⅱ高考)设函数f(x)的定义域为R,满足f(x+1)=2f(x),且当x∈(0,1]时,f(x)=x(x-1).若对任意x∈(-∞,m],都有
,则m的取值范围是(　　)
解析:∵f(x+1)=2f(x),∴f(x)=2f(x-1).
∵当x∈(0,1]时,f(x)=x(x-1),
∴f(x)的图象如图所示.
∵当2答案:B
考点四　函数的单调性与最值
5.(2017·全国Ⅰ高考)函数f(x)在(-∞,+∞)单调递减,且为奇函数,若f(1)=-1,则满足-1≤f(x-2)≤1的x的取值范围是(　　)
A.[-2,2]
B.[-1,1]
C.[0,4]
D.[1,3]
解析:因为f(x)为奇函数,所以f(-1)=-f(1)=1,
于是-1≤f(x-2)≤1等价于f(1)≤f(x-2)≤f(-1).
又f(x)在(-∞,+∞)单调递减,
所以-1≤x-2≤1,即1≤x≤3.
所以x的取值范围是[1,3].
答案:D
考点五　函数的奇偶性
6.(2017·全国Ⅱ高考)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x∈(-∞,0)时,f(x)=2x3+x2,则f(2)=　　　　　.?
解析:因为f(x)是奇函数,所以f(-x)=-f(x).
又因为当x∈(-∞,0)时,f(x)=2x3+x2,
所以f(2)=-f(-2)=-[2×(-8)+4]=12.
答案:12
考点六　幂函数
解析:由f(x)为奇函数,
所以α=-1,1,3,
又f(x)在(0,+∞)上单调递减,所以α=-1.
答案:-1