解圆锥曲线最值与范围问题的方法-2021届高考数学二轮复习学案Word无答案

解圆锥曲线最值与范围问题的方法
方法1：定义法
例1、已知点F是双曲线－＝1的左焦点，定点A的坐标为(1,4)，P是双曲线右支上的动点，则|PF|＋|PA|的最小值为________．
解析　如图所示，根据双曲线定义|PF|－|PF′|＝4，
即|PF|－4＝|PF′|.又|PA|＋|PF′||AF′|＝5，
将|PF|－4＝|PF′|代入，得|PA|＋|PF|－45，
即|PA|＋|PF|9，等号当且仅当A，P，F′三点共线，
即P为图中的点P0时成立，故|PF|＋|PA|的最小值为9.故填9.
方法2：几何法
例2、已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左，右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，且|PF1|＝4|PF2|，则此双曲线中的取值范围是________．
解析　根据双曲线定义|PF1|－|PF2|＝2a，设|PF2|＝r，
则|PF1|＝4r，故3r＝2a，即r＝，|PF2|＝.
根据双曲线的几何性质，|PF2|c－a，即c－a，即，即e.又e＞1，
故双曲线的离心率e的取值范围是.故填.
例3 已知P点在圆x2+(y-2)2=1上移动，Q点在椭圆上移动,试求|PQ|的最大值。
解：故先让Q点在椭圆上固定，显然当PQ通过圆心O1时|PQ|最大，因此要求|PQ|的最大值，只要求|O1Q|的最大值.设Q(x，y)，则|O1Q|2= x2+(y-4)2 ①
因Q在椭圆上,则x2=9(1-y2) ②
将②代入①得|O1Q|2= 9(1-y2)+(y-4)2
因为Q在椭圆上移动，所以-1y1，故当时，，此时
方法3：切线法
例4、求椭圆＋y2＝1上的点到直线y＝x＋2的距离的最大值和最小值，并求取得最值时椭圆上点的坐标．
解　设椭圆的切线方程为y＝x＋b，代入椭圆方程，得3x2＋4bx＋2b2－2＝0.
由Δ＝(4b)2－4×3×(2b2－2)＝0，得b＝±.
当b＝时，直线y＝x＋与y＝x＋2的距离d1＝，将b＝代入方程3x2＋4bx＋2b2－2＝0，解得x＝－，此时y＝，
即椭圆上的点到直线y＝x＋2的距离最小，最小值是；
当b＝－时，直线y＝x－到直线y＝x＋2的距离d2＝，将b＝－代入方程3x2＋4bx＋2b2－2＝0，解得x＝，此时y＝－，
即椭圆上的点到直线y＝x＋2的距离最大，最大值是.
方法4：参数法 选取合适的参数表示曲线上点的坐标；②求解关于这个参数的函数最值。
例5、点P(x，y)是椭圆＋y2＝1上的一个动点，则S＝x＋y的最大值为________．
解析　因为椭圆＋y2＝1的参数方程为(φ为参数)．
故可设动点P的坐标为(cos φ，sin φ)，其中0≤φ＜2π.
因此S＝x＋y＝cos φ＋sin φ＝2＝2sin，所以，当φ＝时，S取最大值2.故填2.
方法5：基本不等式法 ①将最值用变量表示．②利用基本不等式求得表达式的最值．
例6、过椭圆的焦点的直线交椭圆A,B两点 ，求面积的最大值。
解：椭圆焦点 ，设过焦点(0,1) ，直线方程为y=kx+1 与联立 ，消去
y, 得 ， 其中两根为A,B横坐标 。 将三角形AOB看作
与组合而成 ，|OF| 是公共边 ，它们在公共边上的高长为
., 其中 |OF|=c=1.
==
=. 当，
即k=0 时,即当直线为 y=1时 , 得到的面积取得最大值为 。
方法6：函数法
例7.已知A，B，C三点在曲线y＝上，其横坐标依次为1，m,4(1解：由题意知A(1,1)，B(m，)，C(4,2)．直线AC所在的方程为x－3y＋2＝0，
点B到该直线的距离为d＝.S△ABC＝|AC|·d＝××＝|m－3＋2|＝|(－)2－|.
∵m ∈(1,4)，∴当＝时，S△ABC有最大值，此时m＝.故选B.
方法7：判别式法
例8、椭圆E的中心在原点O，焦点在轴上，其离心率, 过点C（－1,0）的直线与椭圆E相交于A、B两点，且满足点C分向量的比为2.
（1）用直线的斜率k ( k≠0 ) 表示△OAB的面积；
（2）当△OAB的面积最大时，求椭圆E的方程。
解：（1）设椭圆E的方程为( a＞b＞0 )，由e =
∴a2=3b2 故椭圆方程x2 + 3y2 = 3b2
设A(x1,y1)、B(x2,y2),由于点C（－1，0）分向量的比为2，
∴ 即 ，
由消去y整理并化简得 (3k2+1)x2+6k2x+3k2－3b2=0
由直线l与椭圆E相交于A（x1,y1）, B(x2,y2)两点得：

而S△OAB ⑤
由①③得:x2+1=－，代入⑤得：S△OAB =
（2）因S△OAB=,当且仅当S△OAB取得最大值，
此时 x1 + x2 =－1, 又∵ =－1， ∴x1=1,x2 =－2 .
将x1,x2及k2 = 代入④得3b2 = 5 ,∴椭圆方程x2 + 3y2 = 5 .
训练题：1．已知双曲线(a>0,b>0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是________．
2． P是双曲线的右支上一点，M、N分别是圆(x＋5)2＋y2＝4和(x－5)2＋y2＝1上的点，则|PM|－|PN|的最大值为________． 9
3．抛物线y=-x2上的点到直线4x+3y-8=0距离的最小值是________．
4．已知双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，点P在双曲线的右支上，且|PF1|=4|PF2|,则此双曲线的离心率e的最大值为________．
5．已知抛物线y2=4x,过点P(4,0)的直线与抛物线相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点，则y12+y22的最小值是 . 32
6．对于抛物线y2=4x上任意一点Q，点P（，0）都满足|PQ|||，则的取值范围是( B )
（A）（－∞，0） （B）（－∞，2 （C）［0，2］ （D）（0，2）

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