第八讲 运用数学思想方法解题的策略(文科)

第八讲 运用数学思想方法解题的策略(文)
第一节 运用函数与方程思想解题的策略
函数的主干知识、函数的综合应用以及函数与方程思想的考查，一直是高考的重点内容之一.高考试题中，既有灵活多变的客观性小题，又有一定能力要求的主观性大题，难度有易有难，可以说是贯穿了数学高考整份试卷.高考中所占比重比较大，与函数相关的试题所占比例始终在20%左右，难度值一般控制在之间.
考试要求：考查逻辑思维能力、等价转换能力、空间想象能力、运算能力、识别能力、运用数学知识分析问题和解决问题能力.函数思想主要有：（1）引入变量，确定函数关系；（2）选定主元，揭示函数关系；(3)选取变元，构造函数关系；（4）实际问题，建立函数关系；（5）特殊函数，转化函数关系.方程思想主要有：（1）待定系数求解方程；（2）分类思想讨论方程；（2）变量代换构造方程.
题型一 构造函数和方程解题
例1.已知，（、、），则有（ ）.
A. B. C. D.
点拨：方法一通过化简，敏锐地抓住数与式的特点：看作是方程的一个实根，再利用一元二次方程有实数根的充要条件求得；方法二转化为是、的函数，运用重要不等式解题．
解：方法一：依题设有 ∴是实系数一元二次方程的一个实根； ∴ ∴ 故选B.
方法二：去分母，移项，两边平方得：
∴ 故选B.
易错点：不能合理地转化为是、的函数或构造来解题.
变式与引申1：(2009年山东文科第12题)已知定义在上的奇函数，满足,且在区间上是增函数,则( ).
A. B.
C. D.
题型二 函数、方程、不等式三者之间的相互转化
例2.已知，，对于值域内的所有实数，不等式恒成立，求的取值范围．
点拨：首先明确本题是求的取值范围，这里注意另一个变量，不等式的左边恰是的一次函数，因此依据一次函数的特性得到解决.在多个字母变量的问题中，选准“主元”往往是解题的关键．
解：∵，∴，从而
原题转化为：恒成立，为的一次函数（这里思维的转化很重要）
当时，不等式不成立．∴．
令＝为的一次函数，，问题转化为在上恒大于0，则，解得：或
易错点： “主元”的选取容易选错，误认为是关于的二次函数，导致错误.
变式与引申2：设不等式对于满足的所有的值都成立，求的取值范围.
题型三 函数与方程在解析几何中的应用
例3.已知中心在坐标原点的椭圆经过点，且点为其右焦点.
（1）求椭圆的方程；
（2）是否存在平行于的直线，使得直线与椭圆有公共点，且直线与的距离等于4？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.
点拨：（1）由右焦点的坐标求得，设左焦点为，由椭圆的定义求得，进而得到椭圆的方程；（2）假设直线存在，设出直线方程，并将直线方程和椭圆的方程联立，表示出直线与的距离，由距离等于4列方程解得.
解：（1）依题意，可设椭圆的方程为，且左焦点为，
从而有，解得
又，所以，故椭圆的方程为
（2）假设存在符合题意的直线，其方程为
由得,因为直线与椭圆有公共点，
所以有 解得
另一方面，由直线与的距离为4，可得，从而
由于，所以符合题意的直线不存在.
易错点：忽略.
变式与引申3：已知的边边所在直线的方程为满足, 点在AC边所在直线上，且满足．
（I）求AC边所在直线的方程；（II）求外接圆的方程；
（III）若动圆过点，且与的外接圆外切，
求动圆的圆心的轨迹方程．
题型四 应用函数与方程研究实际问题
例4.某港口要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上，在小艇出发时，轮船位于港口北偏西30°且与该港口相距20海里的处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶.假设该小艇沿直线方向以海里/小时的航行速度匀速行驶，经过小时与轮船相遇.
(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？
(2)为保证小艇在30分钟内(含30分钟)能与轮船相遇，试确定小艇航行速度的最小值；
(3)是否存在，使得小艇以海里/小时的航行速度行驶，总能有两种不同的航行方向与轮船相遇？若存在，试确定的取值范围；若不存在，请说明理由.
点拨：(1)首先把表示为的函数，再利用函数的性质求最小值.
(2)把表示为的函数，再利用函数的性质求最小值.
(3)把表示为的函数,由总能有两种不同的航行方向与轮船相遇,
把函数问题转化为一元二次方程的根的分布问题再去求解.
解：（1）方法一：设相遇时小艇的航行距离为海里，如图8-2，则
故当时，
即小艇以海里/小时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小.
方法二：若相遇时小艇的航行距离最小，又轮船沿正东方向匀速行驶，则小艇航行方向为正北方向.
设小艇与轮船在处相遇.在中，
此时，轮船航行时间
即小艇以海里/小时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小.
（2）设小艇与轮船在处相遇 由题意可得：
化简得: 由于，即，
所以当时，取得最小值. 即小艇航行速度的最小值海里/小时.
（3）由（2）知，设 于是
小艇总能有两种不同的航行方向与轮船相遇，等价于方程应有两个不等正根，即：
，解得 所以的取值范围是
易错点：（1）不能建立正确的函数关系以及；
（2）对一元二次方程的根的分布不能做出正确判断.
变式与引申4：（2010年湖北理科第17题）为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层.某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元.该建筑物每年的能源消耗费用（单位：万元）与隔热层厚度（单位：）满足关系：，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元.设为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和.
本节主要考查：
（1）本节考查的是函数与方程的思想方法；
（2）主观题即选择题和填空题考查函数与方程思想的基本运算，解答题中，则是更深层次地在知识网络的交汇处、从思想方法与相关能力相综合的角度进行深入考查.
点 评：
1.函数思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决.函数思想是对函数概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用函数知识或函数观点观察、分析和解决问题.
2.方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决.方程思想是对方程概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用方程或方程组的观点观察处理问题.方程思想是动中求静，研究运动中的等量关系.
3.(1) 函数和方程是密切相关的，对于函数，当时，就转化为方程，也可以把函数式看做二元方程.函数问题（例如求函数的值域等）可以转化为方程问题来求解，方程问题也可以转化为函数问题来求解，如解方程，就是求函数的零点.
(2) 函数与不等式也可以相互转化，对于函数，当时，就转化为不等式，借助于函数图象与性质解决有关问题，而研究函数的性质，也离不开解不等式.
(3) 数列的通项或前项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点处理数列问题十分重要.
(4) 函数（）与二项式定理是密切相关的，利用这个函数用赋值法和比较系数法可以解决很多二项式定理的问题.
(5) 解析几何中的许多问题，例如直线和二次曲线的位置关系问题，需要通过解二元方程组才能解决，涉及到二次方程与二次函数的有关理论.
(6) 立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算，经常需要运用列方程或建立函数表达式的方法加以解决.
习题8-1
1.设是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，=，则=
(A) - (B) (C) (D)
2.设函数,对任意恒成立，则
实数的取值范围是________.
3．设为数列的前项和，，，其中是常数．
（1） 求及；
（2）若对于任意的，，，成等比数列，求的值.
4. 已知函数.若,且,求的取值范围.
5.设，分别为椭圆的左、右焦点，过的直线与椭圆相交于,两点，直线的倾斜角为，到直线的距离为.
（1）求椭圆的焦距； （2）如果,求椭圆的方程.
第二节 运用数形结合思想解题的策略
数形结合思想通过“以形助数，以数解形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化,能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质，它是数学的规律性与灵活性的有机结合.运用数形结合思想，不仅直观易发现解题途径，而且能避免复杂的计算与推理，大大简化了解题过程.这在解选择题、填空题中更显其优越.
考试大纲的说明中强调：“在高考中，充分利用选择题和填空题的题型特点，为考查数形结合的思想提供了方便，能突出考查考生将复杂的数量关系转化为直观的几何图形问题来解决的意识，而在解答题中，考虑到推理论证的严密性，对数量关系问题的研究仍突出代数的方法而不提倡使用几何的方法，解答题中对数形结合思想的考查以由‘形’到‘数’的转化为主.”
考试要求 展望2011年高考考查数形结合思法，可能会与以下内容为载体来命题：①函数与图象的对应关系；②曲线与方程的对应关系；③以几何元素和几何条件为背景建立起来的概念，如三角函数等；④所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义.
题型一 数形结合在函数与方程中的应用
例1.已知且,试求使方程有解的实数的取值范围.
点拨:利用对数相等的意义,同时构造两个函数,通过函数的图象有没有交点进而得出方程有没有解,从而确定出的取值范围.
解：原方程等价于
构造曲线,直线从而使问题转化为直线和双曲线() 在轴上半部分有交点，求实数的取值范围,如图8-2所示：
有三条临界直线、、
①当在和之间时，直线在轴上的截距
满足时，与有一个交点，
解之可得
②当在上方时，直线在轴上的截距满足
时, 与有一个交点，解之可得
综合①②可得，所求的取值范围是
易错点: 解方程时很可能扩大的取值范围,另外数形结合不会利用双曲线渐近线.
变式与引申1:求函数的值域.
题型二 数形结合在不等式中的应用
例2.若不等式的解集为区间,且,
则 .
点拨：通过数形结合的思想把一个解不等式的问题转化为求一条直线与半圆何时有交点.
解：令, .其示意图如图8-3:
若,要满足,则,此时.从而.
若,要满足,则.则,从而不存在.
易错点：如不能联想到直线与圆的图象,则思维很容易受阻.
变式与引申2：已知函数有两个零点，则有（ ）
A. B. C. D.
题型三 数形结合在平面向量中的应用
例3.在中，，G为外心，求的值.
点拨:结合图形，利用平面向量基本定理和平面向量的三角形法则解题.
解：如图8-4所示，
设的中点为，则，且
.
易错点：不能将表示成，不能发现与的垂直关系.
变式与引申3：（1）如图8-5，，点在由射线、线段及的延长线围成的阴影区域内(不含边界)运动,且,则的取值范围是 ；当时,的取值范围是 .
（2）如图8-6，是半圆的直径，是三等分点，是线段的三等分点.若,则的值是（ ）
A.34 B.26 C.10 D.2
题型四 数形结合在解析几何中的应用
例4.求函数最小值.
点拨：由题意可知，函数的定义域为，若从代数角度考虑，确实比较复杂；若借助两点间的距离公式，转化为几何问题，则非常容易解决
解：
令,,
则问题化为:在轴求一点,使得取最小值
关于轴的对称点为
易错点：如果用代数方法（如两边平方等）去求解问题，
往往会陷入其中，不得其解.而将代数问题几何化则使问题
变得容易解决.
变式与引申4： 已知，则的大小关系是（ ）.
A. B. C. D.
本节主要考查：数形结合思想一方面考查学生对数学的符号语言、图形语言的理解能力，另一方面考查学生的构图能力以及对图形的想象能力、综合应用知识等能力.
点 评:（1）数形结合是把数或数量关系与图形对应起来，借助图形来研究数量关系或者利用数量关系来研究图形的性质，是一种重要的数学思想方法,它可以使抽象的问题具体化，复杂的问题简单化,“数缺形时少直观，形少数时难入微”，利用数形结合的思想方法可以深刻揭示数学问题的本质.
（2）函数的图像、方程的曲线、集合的文氏图或数轴表示等，是 “以形示数”，而解析几何的方程、斜率、距离公式，向量的坐标表示则是“以数助形”，还有导数更是数形结合的产物，这些都为我们提供了“数形结合”的知识平台.
（3）在数学学习和解题过程中，要善于运用数形结合的方法来寻求解题途径，制定解题方案，养成数形结合的习惯，解题先想图，以图助解题.用好数形结合的方法，能起到事半功倍的效果，“数形结合千般好，数形分离万事休”.
（4）是否选择应用数形结合的原则是：是否有利于解决问题，用最简单的办法解决问题为最终目的.
习题8-2
1.若对一切恒成立，则的取值范围是（ ）.
A. B. C. D.
2.在平面直角坐标系中，不等式组,（为常数）表示的平面区域的面积是4，则的最小值为 .
3.函数在区间〔0,1〕上的图像如图所示，则n可能是
（A）1 (B) 2 (C) 3 (D) 4
4.已知为椭圆内一点，为椭圆左焦点,为椭圆上一动点，求的最大值和最小值.
5. 已知不等式组所表示的平面区域为D,记D内的整点个数为（整点即横坐标和纵坐标均为整数的点）.
（1）数列的通项公式；
（2）若，记，求证：.
第三节 运用分类讨论思想解题的策略
分类讨论是解决问题的一种逻辑方法，也是一种数学思想，这种思想对于简化研究对象，发展人的思维有着重要帮助，因此，有关分类讨论的数学命题在高考试题中占有重要位置，在选择题、填空题、解答题中都会涉及到分类讨论的思想方法，其难度在0.4～0.6之间.
考试要求：《考试说明》强调，对于数学思想和方法的考查要与数学知识的考查结合进行，通过数学知识的考查，反映考生对数学思想和方法理解和掌握的程度．考查时，要从学科整体意识和思想含义上立意，注意通性通法，淡化特殊技巧，有效地检测考生对中学数学知识中所蕴涵的数学思想和方法的掌握程度．
题型一 由概念引起的分类讨论
例1.平面直角坐标系中，直线与抛物线相交于、两点．
求证：“如果直线过点，那么”是真命题.
点拨：（1）联立直线和抛物线，根据向量数量积定义，利用根与系数的关系，可求得；（2）设直线方程时须考虑直线斜率是否存在.
证明：设过点的直线交抛物线于点.
（1）当直线的钭率不存在时, 直线的方程为,此时,直线与抛物线相交于. ∴.
（2）当直线的斜率存在时,设过点的直线的方程为，
由得
又 ∵， ∴，
综上所述，命题“如果直线过点，那么”是真命题；
易错点：（1）在本例中，非常容易遗漏当直线的斜率不存在时对命题的论证，习惯性地设直线的方程为，直接求得，从而证明命题是真命题.显然这种证法是不严密的.（2）此题是由概念引起的分类讨论，相关的题目很多，如集合是否为空集的讨论；指数函数、对数函数底数的讨论；公比、斜率的讨论等.
变式与引申1：已知集合，若时，则实数的取值范围是____________.
题型二 由参数引起的分类讨论
例2.（2011全国课标卷理科第21题）已知函数，曲线在点处的切线方程为。
（Ⅰ）求、的值；
（Ⅱ）如果当，且时，，求的取值范围。
点拨：（1）此题是与导数有关的一类问题，思路为：求导函数，再利用和求出的值；（2）由于该题存在参数，因此应对参数进行分类讨论.
解：
（Ⅰ）
由于直线的斜率为，且过点，故即
解得，。
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，所以
。
考虑函数，则。
(i)设，由知，当时，.而，故
当时，，可得；
当x（1，+）时，h（x）<0，可得 h（x）>0
从而当x>0,且x1时，f（x）-（+）>0，即f（x）>+.
（ii）设.由于当x（1，）时，（k-1）（x2 +1）+2x>0,故,而h（1）=0，故当x（1，）时，，可得,与题设矛盾.
（iii）设.此时,而h（1）=0，故当x（1，+）时，，可得,与题设矛盾.
综合得，k的取值范围为（-，0]
易错点：（1）易遗漏这个隐含条件；（2）在（Ⅱ）中，不会构造函数，充分利用单调性和h（1）=0，对进行讨论，从而作出判断.
变式与引申2：（1）解关于的不等式：.
（2）设为实常数，问方程表示的曲线是何种曲线？
题型三 由自变量引起的分类讨论
例3.若不等式在内恒成立，求实数的取值范围.
点拨：该题是恒成立问题，其实就是求最值问题，由于，的符号不确定，因此在参变量分离时应对范围进行分类讨论.
解：令，则
（1）当时，，则， 而此时，∴；
（2）当时，，则， 而此时，∴；
（3）当时，原不等式化为恒成立.
综上所述，的取值范围是.
易错点：（1）该题在参变量分离时经常会不考虑自变量的取值范围，直接化为，求得；（2）在分类讨论后，往往没有把最后结果取交集.审题时一定要分清讨论的目标是自变量还是参数，当讨论自变量时结果取交集，当讨论参数时注意分情况写出.
变式与引申3：（1）设,则不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
（2）已知是不为零的实数，,则 .
题型四 由运算引起的分类讨论
例4.已知函数
(Ⅰ)证明：曲线
（Ⅱ）若求a的取值范围.
点拨:第(I)问直接利用导数的几何意义，求出切线的斜率，然后易写出直接方程.
(II)第（II）问是含参问题，关键是抓住方程的判别式进行分类讨论.
解：（I）.
由得曲线在x=0处的切线方程为
由此知曲线在x=0处的切线过点（2，2）.
（II）由得
（i）当时，没有极小值；
(ii)当或时，由得
故。由题设知，
当时，不等式无解；
当时，解不等式得
综合(i)(ii)得的取值范围是.
易错点：（1）首先该题不知道对方程的判别式进行分类讨论；（2）其次，解不等式运算出错.
变式与引申4：（1）若，求数列的前项和.
（2）已知等差数列的前项和.求数列的前项和.
本节主要考查：（1）本节考查的是分类讨论的数学思想方法，高中数学的每一个知识点都可能成为分类讨论考查的对象，因此牢固掌握各章的基本知识点和基本原理是分类讨论的基础.（2）分类讨论的原则有：同一性原则、互斥性原则、层次性原则. 同一性原则简言之即“不遗漏”；互斥性原则强调的是“避免重复”； 层次性原则是指分类讨论必须按同一标准的层次进行,不同标准的不同层次的讨论不能混淆.（3）分类讨论的思想方法是把要解决的数学问题,分解成可能的各个部分,从而使复杂问题简单化,使“大”问题转化为“小”问题,便于求解.它的思维策略是“化整为零，各个击破”.
点评：（1）分类讨论思想是数学思想方法中最基本、最常见的一种思想方法，在近几年的高考试题中都把分类讨论思想方法列为重要的思想方法来考查，体现出其重要的位置.分类讨论的思想方法不仅具有明显的逻辑性、题型覆盖知识点较多、综合性强等特点，而且还有利于对学生知识面的考查、需要学生有一定的分析能力、一定分类技巧，对学生能力的考查有着重要的作用.
（2）引入分类讨论的主要原因
①由数学概念引起的分类讨论：如绝对值的定义、直线的斜率等；
②由数学运算要求引起的分类讨论：如除法运算中除数不为零、对数中真数与底数的要求等；
③由函数的性质、定理、公式的限制引起的分类讨论；
④由图形的不确定引起的分类讨论；⑤由参数的变化引起的分类讨论；⑥按实际问题的情况而分类讨论.
（3）分类讨论的思想方法的步骤：(1)确定标准；(2)合理分类；(3)逐类讨论；(4)归纳总结
（4）解题时把好“四关”
①要深刻理解基本知识与基本原理，把好“基础关”；
②要找准划分标准，把好“分类关”；
③要保证条理分明，层次清晰，把好“逻辑关”；
④要注意对照题中的限制条件或隐含信息，合理取舍，把好“检验关”.
习题8-3
1. 已知函数，下列结论正确的是（ ）
A．当时，有最小值0 B．当时，有最大值0
C．无最大值和最小值 D．有最小值无最大值
2.数列的通项，其前项和为，则=_________
3.已知集合,，若,求的取值范围.
4.已知直角坐标平面上点Q（2，0）和圆C：，动点M到圆C的切线长与｜MQ｜的比等于常数.求动点M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线.
5. （2011湖南文科）设函数
(I)讨论的单调性；
（II）若有两个极值点，记过点的直线的斜率为，问：是否存在，使得若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．
第四节 运用等价转换思想解题的策略
等价转换是四大数学思想之一，在研究和解决中较难数学问题时，采用等价转换思想，将复杂的问题等价转换为简单的问题，将难解的问题通过等价转换为容易求解的问题，将未解决的问题等价转换为已解决的问题.近几年来高考试题要求学生要有较强的等价转换意识，等价转换思想的应用在近几年来高考试题中处处可见，是解高考试题常用的数学思想，难度值一般控制在.
考试要求： （1）了解等价转换的数学思想和遵循的基本原则；（2）了解等价转换思想在解题中的作用；（3）掌握等价转换的主要途径、方法；（4）掌握几种常见的等价转换思路，灵活运用等价转换思想解决数学难题.
题型一 利用数学定义、公式构造数学模型进行等价转换
例1.（1）求的值;
（2）求函数的最大值.
点拨: （1）利用所求式与余弦定理类似，再结合正弦定理的推论求值；（2）将函数最值问题转换为向量数量积问题，由数量积的不等式性质，求出最大值.
解：（1）注意到所求式与余弦定理类似，由
∴原式=.
（2）构造向量则，由知，
，
∴，当且仅当与共线且方向相同时，
即时等号取得.
易错点：在本例的两个小题中：（1）若利用三角恒等变形，过程较为复杂，思路容易受阻；
（2）容易想到用换元法和三角恒等变形求函数的最大值，不能联想到平面向量的数量积，计算容易出错，解题思路容易受阻.
变式与引申1：已知，且，求证：.
题型二 函数、方程及不等式解题中的等价转换
例2.（1）若、是正数，且满足，求的取值范围.
(2)已知奇函数的定义域为实数集，且在上是增函数，当时，是否存在这样的实数，使对所有的均成立？若存在，求出所有适合条件的实数；若不存在，请说明理由.
点拨:(1)将一个等式转换为不等式，是求变量取值范围的重要的方法，通常利用函数的单调性解答此类问题，或者利用基本不等式解答这类问题.
(2)本题是一道抽象函数单调性、奇偶性的综合运用的问题，由函数的单调性、奇偶性得出关于和的不等式，既然需求的取值，不防把此问题转换为关于的函数和不等式的问题.
解：(1)方法一（看成函数的值域）
，，而，，即或，又，
，即，，
当且仅当，时等号取得.
方法二（看成不等式的解集）
为正数，，又，
，即，解得或（舍去），
（2）由是上的奇函数可得，再利用的单调性，则可把原不等式转换成为关于的三角不等式，是上的奇函数，又在上是增函数，故是上为增函数.
是上的增函数，即
令，，.
于是问题转换为对一切的，不等式恒成立，
，即恒成立.
又
存在实数满足题设的条件，.
易错点：(1)不能将等式转换为函数或者不等式进行研究；
（2）由已知不等式，结合函数的单调性、奇偶性找不到和的不等式；错误理解自变量只为，不能把问题转换为和的函数或不等式问题；不能想到用复合函数的观点来研究的取值，并且容易把问题看成是关于的不等式问题，从而用根的分布来解决此问题，较为繁琐，容易出错.
变式与引申2：已知函数
（I）求证：方程有实根；
（II）在[0，1]上是单调递减的，求实数a的取值范围；
（III）当的解集为空集，求所有满足条件的实数a的值.
题型三 引入相关参数进行等价转换
例3.设，且，求的范围.
点拨:本题的解法有多种，数形结合，三角换元都是比较容易想到的方法，我们也可以引入相关参数
进行等价转换
解：由得，
设，则，代入已知等式得：，
即，其对称轴为，由，则得，
所以的范围是.
易错点：忽视参数的取值范围，将解得范围扩大；
变式与引申3：设两个向量和其中为实数.若则的取值范围是 ( )
A. B. C. D.
题型四 正向与反向思考中的等价转换
例4 .试求常数的范围，使曲线的所有弦都不能被直线垂直平分.
点拨：在解答问题时，正难则反是转换的一种有效手段，问题的反面是存在一条弦能被直线垂直平分，解出问题反面的范围，则原问题就出来了 .
解：假设抛物线上两点关于直线对称，显然，于是有
，
，因为存在使上式恒成立，，
即
因为恒成立，所以，所以，
即当时，抛物线上存在两点关于直线对称，
所以当时，曲线的所有弦都不能被直线垂直平分.
易错点:不能从问题的反面作为切入点，对于垂直平分认识不够深刻，找不出关于的方程和不等式.
变式与引申4：已知三个方程： 中至少有一个方程没有实数解，试求实数的取值范围．
本节主要考查：（1）等价转换思想在解题中的应用，几种常见的等价转换思路；
（2）数形结合思想、方程思想、等价转换思想以及逻辑推理能力、运算求解能力等基本数学能力.
点评：等价转换是把未知解的问题转换到在已有知识范围内可解的问题的一种重要的思想方法，通过不断的转换，把不熟悉、不规范、复杂的问题转换为熟悉、规范甚至模式法、简单的问题，不断培养和训练自觉的转换意识，将有利于强化解决数学问题中的应变能力，提高思维能力和技能、技巧，等价转换要求转换过程中前因后果是充分必要的，才保证转换后的结果仍为原问题的结果，等价转换思想方法的特点是具有灵活性和多样性，在应用等价转换的思想方法去解决数学问题时，没有一个统一的模式去进行，它可以在数与数、形与形、数与形之间进行转换；它可以在宏观上进行等价转换，如在分析和解决实际问题的过程中，普通语言向数学语言的翻译；它可以在符号系统内部实施转换，即所说的恒等变形，消去法、换元法、数形结合法、求值求范围问题等等，都体现等价转换思想，更是经常在函数、方程、不等式之间进行等价转换，可以说，等价转换是将恒等变形在代数式方面的形变上升到保持命题的真假不变，由于其多样性和灵活性，要合理地设计好转换的途径和方法，避免死搬硬套题型，在数学操作中实施等价转换时，要遵循熟悉化、简单化、直观化、标准化的原则，即把遇到的问题，通过转换变成比较熟悉的问题来处理；或者将较为繁琐、复杂的问题，变成比较简单的问题，比如从超越式到代数式、从无理式到有理式、从分式到整式…等；或者比较难以解决、比较抽象的问题，转换为比较直观的问题，以便精确把握问题的求解过程，比如数形结合法；或者正面难，则从反面进行转换，即反证法，按照这些原则进行数学操作，转换过程省时省力，有如顺水推舟，经常渗透等价转换思想，可以提高解题的水平和能力.
习题8-4
1.函数在内有极小值，则的取值范围是( ).
A. B. C. D.
2.（2011山东文科6） 若函数 (ω>0)在区间上单调递增，在区间上单调递减，则ω=
A. B. C. 2 D.3
3. 某化工厂打算投入一条新的生产线，但需要经环保部门审批同意方可投入生产，已知该厂连续生产个月的累计产量为吨，但如果月产量超过96吨，将会给环境造成危害.
（1）请你代表环保部门给厂拟定最长的生产周期；
（2）若该厂在环保部门的规定下生产，但需要每月交纳万元的环保税，已知每吨产品售价万元，第个月的工人工资为万元，若每月都赢利，求出的范围.
4.设是双曲线上的两点，点是线段的中点.
（1）求直线的方程；
（2）如果线段的垂直平分线与双曲线相交于、两点，那么、、、四点是否共圆？
5. 已知函数
（1）求函数的单调区间；
（2）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围；
（3）若关于的方程在区间上恰好有两个相异的实根，求实数的取值范围.
第五节 推理证明与算法初步
推理证明与算法初步是我们高考关注的几个新课标中重点话题，主要涉及到合情推理和演绎推理，直接证明和间接证明，以及算法初步中的框图知识和算法案例等. 题型可能是选择题、填空题，主要考查类比或归纳推理、循环结构为主的框图等；也可能是解答题，结合多个知识点进行命题的综合试题.其中推理与证明部分常与数列、不等到式问题综合，难度一般在之间.
考试要求 （1）合情推理与演绎推理① 了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，了解合情推理在数学发现中的作用;② 了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理;③ 了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异;（2）直接证明与间接证明① 了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点;② 了解间接证明的一种基本方法──反证法；了解反证法的思考过程、特点；（3）了解算法的含义；理解程序框图的三种基本结构：顺序、选择、循环；理解几种基本算法语句.
题型一：合情推理
例1（1）若 ABC内切圆半径为r，三边长为a、b、c，则 ABC的面积S＝r (a+b+c) ( http: / / wxc. / ) 类比到空间，若四面体内切球半径为R，四个面的面积为S1、S2 、S3 、S4，则四面体的体积＝ ．
（2）在古腊毕达哥拉斯学派把1，3，6，10，15，21，28，…这些数叫做三角形数，因为这些数对应的点可以排成一个正三角形,
则第个三角形数为( ).
A. B. C. D.
点拨：（1）类比推理是指两类对象具有一些类似特征，由其中一类的某些已知特征推出另一类对象的某些特征；（2）这是一种归纳推理方法，要善于发现其中的数字间的特征才能找到规律，得到一般形式.
解：（1）比较两个对象，三边对四面，面积对体积，内切圆对内切球，三边长对四个面的面积，由S＝r (a+b+c)等式两边的量，类比对应到体积、系数、半径R、面积S1＋S2＋S3＋S4.答：R(S1＋S2＋S3＋S4).
（2）在给出的一三角形数中，其中第一个三角形数1，第二个三角形数3=1+2，第三个三角形数6=1+2=3,第四个三角形数10=1+2+3+4，第五个三角形数15=1+2+3+4+5，故推测出的一般结论是：第个三角形数为
易错点：（1）类似特征不明确，类比结论错误；（2）不善于寻找数字间的
规律，导致结论错误.
变式与引申1：（1） 在Rt△ABC中，CA⊥CB，斜边AB上的高为h1，
则；类比此性质，如图，在四
面体P—ABC中，若PA，PB，PC两两垂直，底
面ABC上的高为h，则得到的正确结论为 ；
（2）(2011江西文数)观察下列各式：则，…，则的末两位数字为（ ）
A.01 B.43 C.07 D.49
题型二：演绎推理
例2如图，在直三棱柱中，分别是的中点，点在上，.
求证：（1）∥；
（2）.
点拨：数学的证明主要是通过演绎推理来进行的，证明线面平行时一定要注意注明直线在平面内及直线在平面外这两个条件.
解：证明：（1）因为分别是的中点，所以，又，，所以∥；
（2）因为直三棱柱，所以，
，又，所以，
又，所以.
易错点：三段论是演绎推理的一般形式，包括大前提、小前提、
结论三部分，在书写证明的过程中，很多学生会出现跳步现象，
逻辑关系不清楚是常见的错误.
变式与引申2：（1）已知①正方形的对角相等；②平行四边形的对角相等；
③正方形是平行四边形．根据三段论推理得到一个结论，则这个结论的序号是 .
（2）如图，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD为等边三角形，，F为CD的中点.
(Ⅰ)求证：AF∥平面BCE；
(Ⅱ)求证：平面BCE⊥平面CDE.
题型三：直接证明
例3 已知求证：
点拨：综合法着力分析已知和求证之间的差异和联系，并合理运用已知
条件进行有效的变换是证明的关键，综合法可以使证明过程表述简洁，
但必须首先考虑从哪开始，这一点比较困难，分析法就可以帮助我们克服这一点，运用分析法比较容易探求解题的途径，但过程不及综合法简单，所以应把它们结合起来.
证法1：（综合法） ，当且仅当时等号成立，
当且仅当时等号成立， 即
证法2：（分析法） 要证，只要证 即证
，即证 即
由 得，
所以原不等式成立
易错点： （1）用综合法证明时难找到突破口，解题受阻；（2）分析法是寻找使不等式成立的充分条件，最后要充分说明推出的结论为什么成立.
变式与引申3：设 (），比较、、的大小，并证明你的结论.
题型四：间接证明
例4：已知函数y=ax+(a＞1).
（1）证明：函数f(x)在（-1,+∞)上为增函数；
（2）用反证法证明方程f(x)=0没有负数根.
点拨：用反证法证明把握三点（1）必须先否定结论，即肯定结论的反面；（2）必须从否定结论进行推理，即把结论的反面作为条件，且必须依据这一条件进行推证，（3）导致的矛盾可能多种多样，但推导出的矛盾必须是明显的.
证明 （1）任取x1,x2∈(-1,+∞), 不妨设x1＜x2,则x2-x1＞0,由于a＞1,
∴a＞1且a＞0, ∴a-a=a (a-1)＞0. 又∵x1+1＞0,x2+1＞0,
∴-==＞0,
于是f(x2)-f(x1)=a-a+-＞0, 故函数f(x)在(-1,+∞）上为增函数.
（2）方法一 假设存在x0＜0 (x0≠-1)满足f(x0)=0, 则a=-. ∵a＞1,∴0＜a＜1,
∴0＜-＜1,得＜x0＜2，与假设x0＜0相矛盾，故方程f(x)=0没有负数根.
方法二 假设存在x0＜0 (x0≠-1)满足f(x0)=0, ①若-1＜x0＜0，则＜-2,a＜1,
∴f(x0)＜-1,与f(x0)=0矛盾.
②若x0＜-1,则＞0,a＞0, ∴f(x0)＞0,与f(x0)=0矛盾， 故方程f(x)=0没有负数根.
易错点：（1）不是把求证结论的反面作为条件证题（2）不写明与什么相矛盾.
变式与引申4：证明：若函数f(x)在区间[a，b]上是增函数，那么方程f(x)＝0在区间[a，b]上至多只有一个实数根
题型五： 算法初步
例5 若程序框图如图输出的 S 是 126，则①应为（ ）
A．n≤5
B．n≤6
C．n≤7
D．n≤8
点拨 由知，在第次循环时，，
由题意只需找到满足方程的的值.
再结合语句推出判断框①.
解析 因，则当 n＝7
时退出循环，所以 n≤6.故选 B.
易错点 不能准确判断循环终止的条件
变式与引申
5. 下面是一个用基本语句编写的程序如图，阅读后解决所给出的问题：
INPUT
IF THEN
ELSE
END IF
PRINT
END
（1）请说明该算法程序的功能，并写出程序中的函数表达式；
（2）将该程序语句转化为相应的程序框图.
本节主要考查：（1）知识点有：归纳推理、类比推理两种合情推理和演绎推理；直接证明与间接证明；算法的含义、几种基本的算法语句、程序框图．
（2）推理渗透在每个高考试题中，证明是推理的一种形式，有的问题需要很强的推理论证能力和技巧．推理问题常常以探索性命题的方式出现在高考题中；（3）常见的论证方法有：综合法、分析法及反证法等．
点评：（1）归纳猜想是一种重要的思维方法，是对有限的资料进行观察、分析、归纳、整理，然后提出带有规律性的结论，是由部分到整理，由个别到一般的推理；结果的正确性还需进一步论证，一般地，考查的个体越多，归纳出的结论可靠性越大．
（2）类比的关健是能把两个系统之间的某些一致性确切地表述出来，也就是要把相关对象在某些方面一致性的含糊认识说清楚，在学习中要注意通过类比去发现探索新问题．
（3）综合法的特点是：以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”，实际上是寻找使问题成立的必要条件，是一个由因导果的过程；分析法的特点是：从“未知”看“需知”逐步靠拢“已知”，即寻找使问题成立的充分条件，是一个执果索因的过程．
（4）一般来说：分析法有两种证明途径：①由命题结论出发，寻找结论成立的充分条件，逐步推导下去；②由命题结论出发，寻找结论成立的充要条件，逐步推导下去．
（5）反证法在高考中的要求不高，但这种“正难则反”的思维方式值得重视，解决问题时要注意从多方面考虑，提高解决问题的灵活性．
（6）算法是指解决某类问题的程序或步骤，这些程序或步骤必须是明确和有效的，且在有限步内完成．算法过程要简练，每一步执行的操作必须为下一步做准备．程序框图是由框图和流程线组成的，是算法的一种表现形式．通常是先写出算法步骤，再转化为程序框图．算法初步在高考中的要求不高，同学们在学习时要通过对解决具体问题过程与步骤的分析，体会算法的基本思想.
习题8-5
1.（2011高考天津卷·理）阅读右边的程序框图，运行相应的
程序，则输出的值为（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
2．将正奇数数列1，3，5，7，9，…进行如下分组：第一组含一个数
{1}；第二组含两个数{3，5}；第三组含三个数{7，9，11}；第四组含
四个数{13，15，17，19}；……记第n组内各数之和为Sn，则Sn与n
的关系为 (　 　)
A．Sn＝n2 B．Sn＝n3 C．Sn＝2n＋1 D．Sn＝3n－1
3．为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息．设定原信息为（），传输信息为，其中，运算规则为：，，，，例如原信息为111，则传输信息为01111．传输信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列三个接收信息：（1）11010（2）01100（3）10111，一定有误的是 （填序号）．
4. 已知函数.
（１）求函数的单调区间；
（2）试证明：对任意，不等式恒成立．
5.如图所示，点P为斜三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱BB1上一点，PM⊥BB1交AA1于点M，PN⊥BB1交CC1于点N.
（1）求证：CC1⊥MN；
（2）在任意△DEF中有余弦定理：DE2=DF2+EF2-2DF·EF·cos∠DFE.
拓展到空间，类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱的三个侧面面积与其中两个
侧面所成的二面角之间的关系式，并予以证明.
6.已知椭圆具有性质：若M、N是椭圆C上关于原点对称的两个点，点P是椭圆上任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记为kPM，kPN时，那么kPM与kPN之积是与点P的位置无关的定值.试对双曲线=1写出具有类似特性的性质，并加以证明.
M
O
北
南
东
西
A
20
30t
S
B
C
图8-2
x
y
o
l3
l2
l1
图8-2
x
y
2
1
-1
-2
2
图8-3
A
B
G
C
O
图8-4
A
O
M
P
B
图8-5
C
A
O
M
B
N
D
图8-6
x
y
A(0,1)
B(2,2)
图8-7
图
D
O
图
A
B
C
A1
B1
C1
E
F
D
图
A1
A
B
C
D
E
F
图
图