2012届高三数学第二轮复习讲义第一讲 函数(文科)

第一讲 函数(文)
第一节 初等函数
函数是高中数学的主干知识，是高中数学的一条主线，它涉及了函数的概念和性质，基本初等函数，数列，不等式，方程，导数，解析几何和立体几何等，是历年高考的重点、热点和必考点.初等函数（由基本初等函数经过运算或复合组成的）是基础. 一般地, 在高考试题中，考察函数知识都是以初等函数为载体.单独以定义域、值域、奇偶性等命题大多是选择题或填空题，综合题中涉及函数性质的往往只是试题的一部分. 难度值一般控制在0.5～0.8之间.
考试要求： ①了解映射概念,理解函数的概念,会选择适当方法表示函数;②会求一些简单函数的定义域和值域；③了解函数的奇偶性,能判断简单函数的奇偶性；④了解反函数的概念及指数函数与对数函数互为反函数；⑤理解有理指数幂的含义,掌握幂的运算(性质),掌握指数函数、对数函数的概念,对数的运算性质；.
题型一 判定初等函数的性质
例1 求函数的值域.
点拔 函数是三次函数与三角函数复合函数而成的，令得，本题
就转化为求，的值域. 三次函数求值域常用导数的方法.
解 ,则,∴,
由,得或；由,，得，列表：
t 1
0 0
减函数 有极小值 增函数
函数有极小值
又,,∴.
易错点 ①令，忽略了；②错误地认为最值一定在端点处取得.
变式与引申1： 函数的值域为_____________
题型二 抽象函数的性质
例2 已知函数对任意实数都有，且当时，
，求在上的值域.
点拔 此题是抽象函数，但是初等函数中，可以找到一个具体函数满足条件，如，由此
猜想抽象函数在是递增函数，再用定义证明递增.：设，且，则，再利用判断与的大小关系.下面只要求出的值就行.
解 设，且，则，由条件当时，
又
为增函数， 令得，再令用得出,
令 得 上的值域为
易错点 利用性质“当时，”证明单调性，易出错.
变式与引申2： 设函数y=是定义在R上的函数，并且满足下面三个条件：
①对任意正数有；②当时，；③ .
(1)求的值; （2）证明上是减函数.
题型三 函数奇偶性的判断
例3 判断函数的奇偶性.
点拔 利用定义判断函数的奇偶性：第一步：看定义域是否关于原点对称:若定义域不关于原点对称，则
为非奇偶非函数；若定义域关于原点对称，则进行第二步：验证与的关系，若（或）则为偶函数；若
（或）则为奇函数.当难于得出和
的时候，可以考虑验证特殊值.
解 当时，为偶函数；
当时，
既不是奇函数也不是偶函数.
易错点 ①用定义判断奇偶性时，容易漏掉的情况.
②的情况难于得出与的关系，易出错.
变式与引申3： 设为实数，函数．讨论的奇偶性.
题型四 函数思想的应用
例4 关于 x的方程有四个不同的解，求的取值范围.
点拔 此题有多种思考方法：法1： 原方程看作含绝对值的方程，则采用去绝对值的方法，分段讨论解一
元二次方程：和.原方程有四个不同的解，等价于有2个不等的正解，且有2个不同的负数解.问题就转化为两个一元二次方程根的分布问题.
法2：把原方程看作是关于的一元二次方程，则令，则原问题等价于有2个不等的正数解.
法3：采用函数思想来观察方程，则可以把原方程变为：，问题等价于函数和的图像有四个不同的交点.事实上，我们还有下面各种变形：
解 法1 有四个不同的解等价于有2个不等的正解，
且有2个不同的负数解.
有2个不等的正解
有2个不同的负数解
综上所述：.
法2 令则原问题等价于有2个不等的正数解.
.
法3 在同一直角坐标系内画出直线HYPERLINK "http://www./"与曲线的图像，如图观图可知，
的取值必须满足,解得.
易错点 ①作为二次方程分类，运算量大，易出错;
②易忽略;
③同学们很难将四个不同解等价转化其它问题..
变式与引申4：
（2011年北京卷。文）已知函数若关于x 的方程f(x)=k有两个不同的实根，则数k
的取值范围是_______
本节主要考查 ①初等函数的基本性质（定义域，值域，奇偶性等）,理解函数的基本问题是初等函数问题；②通过变量代换将一般函数问题转化为初等函数问题解题；③熟练作出初等函数的图像利用数形结合；④函数思想.
点评 （1）基本方法：①熟练掌握基本初等函数的性质和图像；②初等函数利用变量代换转化为基本初
等函数； ③求出中间变量的范围.
（2）求定义域的常用方法:
根据函数解析式求函数的定义域，利用函数式有意义，列出不等式组，再解出.函数式有意义的依据是：
①分式分母不为；②偶次方根的被开放数不能小于；③对数函数的真数大于,底数大于且不等于1；
④终边在轴上的角的正切没有意义；⑤没有意义；⑥复合函数的定义域，要保证内函数的值域是外函数的定义域.
⑦实际问题或几何问题给出的函数定义域除了要考虑函数解析式有意义外，还要考虑使实际问题或几何问题有意义.
（3）求值域的常用方法:①观察法；②配方法；③导数法；④不等式法；⑤单调性法；⑥数形结合法；
⑦判别式法；⑧有界性法；⑨换元法.
（4）判断函数奇偶性的步骤：
习题1—1
1. 函数的图象( ).
A．关于原点对称 B．关于直线y＝x对称 C．关于x轴对称 D．关于y轴对称
2. 已知函数的值域是,则实数的取值范围是________________．
3. 已知定义域为的函数是奇函数，求的值.
4. 定义在上的函数,,当时,,且对任意的、,有.
（1）求证：f(0)=1；（2）求证：对任意的,恒有；
5. 设函数.关于的方程:在区间上有两个根，求实数a的取值范围.
第二节 导数
导数是文科生研究函数的单调性，求函数极（最）值等的重要工具之一，导数是历来高考的必考点.导数对文科生来说，在课标中增加了三角函数，指数，对数函数等的导数，导数在文科高考中必须引起重视. 导数在历来高考中一般在一个小题、一个大题中出现.难度值控制在0.5～0.8之间.
考试要求 ①了解导数概念的实际背景,理解导数的概念及其几何意义；②了解函数的单调性与导数的关系,会求函数的极大(小)值及闭区间上的最值；③能求一些初等函数的导数；④了解函数在某点取得极值的充要条件；⑤能够用导数研究函数的单调性,利用导数解决某些实际问题.
题型一 初等函数的导数
例1 设函数,其中，且，求.
点拨 看清题目中变量和，的自变量是，为参变量，因此是三次函数；于是先对
求导，再求，从而转化为已知三角函数值求角的问题.
解 ∵ ∴
， 又,,∴,得.
易错点 ①此题中含有两个字母，学生误以为是三角函数，求导数时按三角函数求导法则；.
②容易忽略的范围.
变式与引申1： 设函数，其中
，则导数的取值范围是.
题型二 初等函数的单调区间和极值
例2 已知函数在上是增函数，在上是减函数，且的一
个根为.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求证：还有不同于的实根、，且、、成等差数列；（Ⅲ）若函数的极大值小于，求的取值范围.
点拨 第（Ⅰ）问中由已知得出函数的极大值点是，即可解出的值；第（Ⅱ）问要使成
等差数列，必须，因此关键是将因式分解，再借助韦达定理推出、、三者的关系；用函数的思想分析第（Ⅲ）问，将看作是关于的函数，题目即转化为求的值域问题.
解 （Ⅰ），是极大值点，.
（Ⅱ）令，得或,由的单调性知，是方程
的一个根，则.
,
方程的根的判别式.
又，即不是方程的根
有不同于的根、.，、、成等差数列.
（Ⅲ）根据函数的单调性可知是极大值点,
，于是,
令,求导,时，,
在上单调递减,即.
易错点 在第（Ⅱ）问中学生对进行因式分解时易出错或不能因式分解，分解之后易忽视判断“
不是方程的根”； 第（Ⅲ）问中学生不易从函数的角度分析的取值范围.
变式与引申2：设函数，求函
数的单调区间与极值.
题型三 导数与不等式
例3 已知函数的图像在点处的切线方程
为(Ⅰ) 求实数的值；(Ⅱ) 设是上的增函数. 求实数的
最大值；
点拔 ① 过三次函数图像上一点的切线方程可用导数求斜率,再用点斜式求直线方程，从而布列方程组求
出的值；②利用“函数在某区间上递增(递减),其导数在这区间上恒大于(小于)零”转化为不等式恒成立的问题.
解 (Ⅰ) 由及题设得即
(Ⅱ) 由得
∵是上的增函数， ∴在上恒成立.
即在[]上恒成立, 设.
∵， ∴, 即不等式≥0在上恒成立.
当时，设在上恒成立.
当＞0时，设，.
因为＞0，所以函数在上单调递增. 因此
∵ ∴ 即 又, 故. 综上，的最大值为3.
易错点 有些学生错用是上的增函数的解为.
变式与引申3：设函数，若对于任意的都有成立，求实数的值.
题型四 导数与解析几何
例4 已知函数．
(Ⅰ) 若函数的图像上存在点P，使P点处的切线与x轴平行，求实数a,b的关系式；
(Ⅱ) 若函数在和时取得极值，且其图像与轴有且只有3个交点，求实数的
取值范围．
点拨 本题的关键是将几何问题转化为代数问题.第(Ⅰ)问中“点P的存在性问题”转化为“方程解的存在性问题”；第(Ⅱ)问中“图像与轴有且只有3个交点”转化为“的极大值大于0，且极小值小于0”.
解 (Ⅰ) , 设切点为,
则曲线在点P处的切线的斜率,
由题意，知有解，∴ 即.
(Ⅱ)由已知可得和是方程的两根，
∴ ，，∴ ，．
∴ ，∴ 在处取得极大值，在处取得极小值．
∵ 函数的图像与轴有且只有3个交点， ∴
又， ∴ 解得．
易错点 有些学生对三次函数图像与轴（或平行轴的直线）的交点问题难以从整体把握，难以找到几何问题转化为代数问题的切入点.
变式与引申4： 设函数，已知，且（,且），函数（，为正整数）有两个不同的极值点，且该函数图像上取得极值的两点A、B与坐标原点O在同一直线上.
（1）试求a，b的值；（2）若时，函数的图像恒在函数图像的下方，求正整数的值.
本节主要考查 初等函数的导数；导数的运算；利用导数研究函数的极值、单调性；求切线等数形结合的思想和函数与方程的思想.
点评：
① 求在的最值的方法：
② 求单调区间、极值的方法：
③利用导数，求曲线在点处的切线方程，先求再求方程
习题1—2
1．已知= .
2. 曲线在点（0，1）处的切线方程为 ．
3. 设定函数(＞0)，且方程
的两个根分别为1，4.
（Ⅰ）当3且曲线过原点时，求的解析式；
（Ⅱ）若在无极值点，求的取值范围.
4. 已知函数．
（Ⅰ）设，求函数的极值；
（Ⅱ）若，且当时，恒成立，试确定a的取值范围．
5. 设函数，其中，曲线在点处的切线方程为.
（Ⅰ）确定的值;
（Ⅱ）设曲线在点及处的切线都过点.证明：当时，
；
（Ⅲ）若过点可作曲线的三条不同切线，求的取值范围.
第三节 函数的单调性、最值和极值
函数的单调性、最（极）值是高考的热点，新课程中函数的单调性、最（极）值的要求提高了，可能更会成为高考的热点、难点. 在高考试题中，函数的单调性、极（最）值往往是以某个初等函数为载体出现，综合题往往与不等式、数列等联系起来，处理方法除了定义法之外，一般采用导数法.难度值控制在0.3～0.6之间.
考试要求：①了解函数单调性的概念,掌握判断简单函数的单调性的方法；②了解函数单调性与导数的关系；③能求函数的最大（小）值；④掌握用导数研究函数的单调性.
题型一 已知函数的单调性、最（极）值，求参变量的值.
例1 设函数.
（1）若的两个极值点为且，求实数的值；
（2）是否存在实数，使得是上的单调函数？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
点拨 因为是三次函数，所以只要①利用“极值点的根”，转化为一元二次方程根的问题；②利用在上单调＞0（＜0），转化为判断一元二次函数图像能否在轴上方的问题.
解
（1）由已知有，从而,所以；
（2）由，得总有两个不等的实根，不恒大于零，所以不存在实数，使得是上的单调函数.
易错点 ①三次函数的极值点与原函数的导数关系不清；
②含参变量的问题是逆向思维，学生易出现错误；
③学生不会将在上是单调函数的问题转化为恒成立问题.
变式与引申1：(2011年高考江西卷理) 设
（1）若在上存在单调递增区间，求的取值范围；
（2）当时，在上的最小值为，求在该区间上的最大值．
题型二：已知最（极）值或其所在区域，通过单调性分析参变量的范围.
例2已知函数．
（1）若函数的图像过原点，且在原点处的切线斜率是-3，求a，b的值；
（2）若函数在区间（1，1）上至少有一个极值点，求a的取值范围．
点拔：第（1）问利用已知条件可得，求出a，b的值.第（2）问利用“极值点”的根转化为一元二次方程根的分布问题.
解析：（1）由函数的图像过原点，得，
又，在原点处的切线斜率是，
则，所以，或．
（2）法一：由，得．又在上至少有一个极值点，
即或解得或
所以的取值范围是．
法二：,由题意
①必有一根在(-1,1)上,
故,即,解得；
或，则，当（舍去），当时，经检验符合题意；
同理，则，经检验，均不符合题意，舍去.
②有两个不同的根在(-1,1)上
故解得：
所以，a的取值范围.
易错点：①解不等式出错；②第（2）问的解法一，不易分析.；③第（2）问的解法二，分类讨论，不易讨论完整.
变式与引申2：将（2）中改为“在区间（1，1）上有两个极值点”，或改为“存在极值点，但在区间（1，1）上没有极值点”，如何求的取值范围？
题型三 函数的单调性、最（极）值与不等式结合的问题
例3 设函数，已知和为的极值点．
（1）求和的值；
（2）讨论的单调性；
（3）设，试比较与的大小．
点拔 此题是由指数函数与多项式函数等组合的超越函数，分析第（1）问先由极值点转化为方程的根，再用待定系数法；第（3）问中比较两个函数与的大小，可构造新函数，再通过分析函数的单调性来讨论与0的大小关系.
解 （1）因为，
又和为的极值点，所以，
因此解方程组得，．
（2）因为，，所以，
令，解得，，．
因为当时，；当时，．
所以在和上是单调递增的；在和上是单调递减的．
（3）由（1）可知，故，
令，则．令，得，
因为时，，所以在上单调递减．
故时，；
因为时，，所以在上单调递增．
故时，．
所以对任意，恒有，又，因此，
故对任意，恒有．
易错点 ①求导数时，易出错；②比较两个函数的大小属于不等式问题，学生容易只从不等式的简单知识出发，而无法从构造的新函数的单调性来分析.
变式与引申3： 将第（3）问改为：设，试证恒成立．
本节主要考查：（1）用导数研究函数单调性,极值；（2）利用单调性、极值点与导数的关系解决一些综合问题；（3）方程与函数的转化,方程思想和函数思想综合应用；（4）数形结合思想.
点评：（1）讨论函数单调性必须在其定义域内进行，因此要研究函数单调性必须先求函数的定义域，函数的单调区间是定义域的子集；
（2）求函数单调区间的常用方法：定义法、图像法、复合函数法、导数法等；
（3）利用求导的方法研究函数的单调性、最（极）值，函数在区间上为单调问题转化为导函数在区间上的正负问题，从而转化为不等式问题，再而研究函数的最（极）值.需灵活应运用函数与方程思想、数形结合思想、化归思想和分类讨论思想等.
习题1—3
1. 已知：函数，若，，均不相等，且，则的取值范围是（ ）
2. 已知函数的定义域均为非负实数集，对任意的，规定
.
3. 已知函数
（1）设，求的单调区间；
（2）设在区间(2,3)上不单调，求的取值范围.
4.已知函数，.
（I）若曲线与曲线相交，且在交点处有相同的切线，求a的值及该切线的方程；
（II）设函数，当)存在最小值时，求其最小值的解析式；
（III）对（2）中的，证明：当时，1.
5.设函数，其中为常数．
（1）当时，判断函数在定义域上的单调性；
（2）时，求的极值点；
（3）求证对任意不小于3的正整数，不等式都成立．
第四节 函数的综合应用(1)
函数内容是每年高考都要考查的重点内容之一，函数的观点和思想方法是高中数学的一条重要的主线，选择、填空、解答三种题型每年都有，函数题的身影频现，而且常考常新．函数和其它内容如导数、不等式、数列等内容的结合是近几年的考查热点，题目由易到难几乎都有，与导数的结合更是经常作为压轴题出现.
考试要求：（1）了解映射概念，理解函数的概念；（2）了解函数单调性、奇偶性的概念，掌握判断一些简单函数的单调性、奇偶性的方法；（3）掌握指、对数函数的概念、图象和性质.（4）根据具体函数的图象，能够借助计算器用二分法求相应方程的近似解，了解这种方法是求方程近似解的常用方法.
题型一 函数解析式问题
例 某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表.那么，各班可推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系用取整函数y＝[x]（[x]表示不大于x的最大整数）可以表示为( ).
A. B. C. D.[
点拨 用具体数据代入选项，确定哪个函数比较符合；
解 法一：特殊取值法，若x=56，y=5,排除C、D，若x=57，y=6，排除A，所以选B
法二：设,当时,, 当时,,所以选B.
例2设函数若方程有四个不同的实数解,
若方程有四个不同的实数解，则实数a的取值范围是.
点拨在同一坐标系中画出和的图象，再根据题意画出，根据图象得出的取值范围.
解在坐标系中作出和的图象，可知图象如图所示，
故a的取值范围是.
易错点 ⑴对例中抽象函数理解不强，缺少处理方法容易造成错误；（2）正确理解例2中解析式所表示的意义是解题的关键，如果讨论和的大小再得出的解析式，然后画图，一是计算量比较多，再是容易出错.
变式与引申1： 设函数若,则关于x的方程的解的个数为（ ）
A 1 B 2 C 3 D 4
变式与引申2： 设函数由方程确定，下列结论正确的是 （请将你认为正确的序号都填上）
（１）是上的单调递减函数；[]
（２）对于任意，恒成立；
（３）对于任意，关于的方程都有解；
题型二 函数的性质与图象
例 已知定义在R上的奇函数，满足，且在区间[0,2]上是增函数，若方程f(x)=m(m>0)在区间上有四个不同的根，则
点拨 由求出的周期，又根据函数是奇函数且在区间[0,2]上是增函数，得出在一个周期[-2,2]中的单调性，再根据对称性求值.
解 因为定义在R上的奇函数，满足，所以，所以函数图象关于直线对称且，由知，所以函数是以8为周期的周期函数，又因为在区间[0,2]上是增函数，所以在区间上也是增函数．如图所示，那么方程f(x)=m(m>0)在区间上有四个不同的根,不妨设，由对称性知，．所以．
易错点 对函数的奇偶性,单调性，对称性，周期性等其中的一个知识点掌握不好，都容易出错；不能得出是周期函数，或不能得出对称轴及单调区间等错误.
变式与引申3：函数的图像大致是 （ ）
A． B． C． D．
变式与引申4：设函数的集合，
平面上点的集合,
则在同一直角坐标系中，中函数的图象恰好经过中两个点的函数的个数是 ( )
A 4 B 6 C 8 D 10
题型三 函数零点与二分法思想
例4 设函数
（1）当时,求函数在上的最大值；
（2）记函数，若函数有零点，求的取值范围.
点拨 （1）这是一道含绝对值的函数题，对与1的大小进行讨论，去掉绝对值后求值；（2）函数有零点转化为方程有解，用导数求出该函数的值域得出的取值范围.
解 （1）当时，＝
∴当时，.
当时，＝.∵函数在上
单调递增,∴,由,得,又,解得,
∴当时,,当时, .
（2）函数有零点即方程有解，得.
令，当时，，
所以函数在上是增函数，；
当时，,因为，
所以函数在上是减函数，所以.
所以方程有解时，即函数有零点时的取值范围是.
易错点 （1）去绝对值和对求值大小进行讨论时考虑不周造成的错误；（2）零点问题不能转化成方程有解问题，从而不能使问题得到有效的解决.
变式与引申5：函数的零点所在的大致区间是( )
A.（0，1） B. C. D.
变式与引申6：已知函数，，的零点分别为，则的大小关系是( )[]
A． B． C． D．
题型四 函数与导数问题
例5 已知函数．
(1) 若直线对任意的都不是曲线的切线，求的取值范围；
(2) 设,,求的最大值的解析式．
点拨 （1）求曲线的切线的斜率就是对的求导，其导数值不能取到已知直线的斜率；
（2）是偶函数，只须求在上最大值.
解 （1） ∵,∴要使直线=0对任意的总不是曲线的切线，当且仅当,∴.
（2）因在上为偶函数,故只求在上最大值,
①当时,,在上单调递增且
,∴,∴.
② 当时,.
若当,即时,,在上单调递减,且,所以在上,所以,在上单调递增，此时.
若当,即时，在上单调递减，在上单调递增.
当,即时，在上单调递增，在上单调递减，故.
当,即时，
（ⅰ）当即时, .
（ⅱ） 当即时，.
综上.
易错点 本题第二问分类讨论比较多，计算量也很大，考虑不周都会产生错误.
变式与引申7： 已知函数，，和直线，又.
（1）求的值；
（2）是否存在的值，使直线既是曲线的切线，又是的切线；如果存在，求出的值；如果不存在,说明理由．
本节主要考查 （1）函数的解析式和函数的图象，函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性等函数性质；（2）结合图象，直观地反映函数的性质，考查了数形结合的思想和基本的作图、运算、分析等解题能力；（3）零点和二分法体现了函数和方程的关系；（4）考查了用导数作为工具求曲线的切线和函数的最值等思想方法.
点评 （1）数形结合函数的性质是高考考查的重点内容．解决一些函数单调性和奇偶性，对称性等要从数形结合的角度去认识，以形辅数，以数画形，化抽象为直观；（2）要充分利用导数这一工具，结合函数的一些思考方法解决函数中的如求最大值和最小值等问题；（4）重视计算能力，画图能力及分类讨论的思想方法.
习题1—4
. 已知表示不超过实数的最大整数,为取整函数,是函数的零点，则
等于( ).
A. B. C. D.
. 设函数，则的值为.
3．已知函数在点x=1处的切线与直线垂直，且f（－1）=0，求函数f(x)在区间[0，3]上的最小值.
4．已知函数 ( http: / / www. / wxc / )
（1）若能表示成一个奇函数和一个偶函数的和，求的解析式；
（2）命题P：函数在区间上是增函数；
命题Q：函数是减函数 ( http: / / www. / wxc / )
如果命题P、Q有且仅有一个是真命题，求a的取值范围；
5．（2011年高考北京卷。文）已知函数.
（Ⅰ）求的单调区间；
（Ⅱ）求在区间[0,1]上的最小值.
第五节 函数的综合应用(2)
函数、导数、不等式等这三部分或它们的综合,在每年高考试题中都有大量出现,综合性都比较强,，题目都有较高的难度；利用函数解不等式,利用导数研究函数的单调性,求函数的极值和最值等是考查的重点.特别今后,高考的应用题不一定是概率题,那么函数作为解决生活实际问题的重要方法,其应用题出现在高考试题中,并且可能常态化那也在情理之中.
考试要求 能结合实例,借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系,能利用导数研究函数的单调性,会用导数求函数的极大值、极小值以及生活中的优化问题.能够利用函数解决一些生活实际问题.
题型一 函数与不等式
例设函数，则使得的自变量的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
点拨：由分段函数的表达式知，需分成两类：
解析：由，则或，
解该不等式组得，.选A
例2 已知函数f(x)=|lgx|.若0A B C D
点拨：注意的取值范围，利用均值不等式求解.
解：
作出函数f(x)=|lgx|的图象，由知，
，考察函数的单调性可知，当时，函数单调递减，，
故选C.
易错点：例1分段函数不等式一般通过分类讨论的方式求解，解对数不等式没注意到真数大于0，或没注意底数在（0，1）上时，或不等号的方向写错等；例2直接利用均值不等式求解得最小值为等错误.
变式与引申1 已知函数.若在上单调递增，则实数的取值范围为.
变式与引申2 已知二次函数，不等式的解集为．
①若方程有两个相等的实根，求的解析式；
②若的最大值为正数，求实数的取值范围．
题型二 函数与数列
例3 已知函数
（1）求的值；
（2）若数列，求列数的通项公式；
（3）若数列{bn}满足，则实数k为何值时，不等式恒成立.
点拨 （2）注意到，及，构成对进行运算；（3）求出，将裂项，并求和求出，再利用二次函数单调性性质求解.
解：（1）令 .
令
（2）∵ ①
∴ ②
由（1），知 ∴①+②，得
（3）∵,∴
由条件，可知当恒成立时即可满足条件.
设,当k＞0时，又二次函数的性质知不可能恒成立；
当k=0时，f（n）=－n－2＜0恒成立；当k＜0时，由于对称轴直线.
∴f（n）在上为单调递减函数∴只要f（1）＜0，即可满足恒成立,
∴由，∴k＜0.
综上知，k≤0，不等式恒成立.
易错点 没有发现，可以结合，进行逆序求和；对不能裂项求和或求和中出错，对恒成立的讨论不够严谨造成错误.
变式与引申3：已知定义在上的函数,对于任意的实数都有,且.
①求的值；②求的解析式.
变式与引申4：一企业生产的某产品在不做电视广告的前提下，每天销售量为件. 经市场调查后得到如下规律：若对产品进行电视广告的宣传，每天的销售量（件）与电视广告每天的播放量（次）的关系可用如图所示的程序框图来体现.
①试写出该产品每天的销售量（件）关于电视广告每天的播放量（次）的函数关系式；
②要使该产品每天的销售量比不做电视广告时的销售量至少增加，则每天电视广告的播放量至少需多少次？
题型三 含参数的函数极值问题
例4 设x1、的两个极值点.
（1）若，求函数f(x)的解析式；
（2）若的最大值；
（3）若，
求证：
点拨（2）根据根与系数关系得出两根异号，则
，再用导数求的最大值；（3）将不等式问题转化为求函数的最大值问题.
解
（1）是函数f(x)的两个极值点，
（2）∵x1、x2是 f(x)是两个极值点，
∴x1、x2是方程的两根.∵△= 4b2 + 12a3， ∴△>0对一切a > 0，恒成
立. ,∵,∴.
由
令
在（0，4）内是增函数；
∴h (a)在（4，6）内是减函数.∴a = 4时，h(a)有极大值为96，上的最大值是96，
∴b的最大值是
（3）证法一：∵x1、x2是方程的两根，
，
证法二：∵x1、x2是方程的两根，
.
∵,
易错点 本题讨论、计算较多，不小心都容易出错，对问题的转化能力要求较高.
变式与引申5：若函数在区间上是减函数，在区间上是增函数，求实数的取值范围．
变式与引申6：已知函数存在单调递减区间，求a的取值范围；
题型四 函数应用题
例5 2010年上海世博会组委会为保证游客参观的顺利进行，对每天在各时间段进入园区和离开园区的人数作了一个模拟预测. 为了方便起见，以10分钟为一个计算单位，上午9点10分作为第一个计算人数的时间，即；9点20分作为第二个计算人数的时间，即；依此类推，把一天内从上午9点到晚上24点分成了90个计算单位.
对第个时刻进入园区的人数和时间（）
满足以下关系（如图1-4-2）：
，
对第个时刻离开园区的人数和时间
（）满足以下关系（如图1-4-3）：
（1）试计算在当天下午3点整（即15点整）时，世博园区内共有多少游客？
（2）请求出当天世博园区内游客总人数最多的时刻.
点拨 （1）计算出入园游客总数与出园游客总数，其差就是所求；（2）当入园游客总数与出园游客总数之差最大，则游客总人数最多，按每段函数分别计算.
解 （1）当且时，， 当且时，
,所以
.
另一方面，已经离开的游客总人数是：,所以（人）,故当天下午3点整（即15点整）时，世博园区内共有位游客.
（2）当时园内游客人数递增；当时园内游客人数递减.
(i)当时，园区人数越来越多，人数不是最多的时间；
(ii)当时，令，得出，
即当时，进入园区人数多于离开人数，总人数越来越多；
当时，，进入园区人数多于离开人数，总人数越来越多；
(iii)当时， 令时，，
即在下午点整时，园区人数达到最多.
此后离开人数越来越多，故园区内人数最多的时间是下午4点整.
易错点 （1）下午3点是哪个时段算不清出错；（2）不能读懂题意和看图，无从下手.
变式与引申7：提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况。在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：千米/小时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数。当桥上的的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明；当时，车流速度v是车流密度x的一次函数．
（Ⅰ）当时，求函数的表达式;
（Ⅱ）当车流密度为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观点的车辆数，单位：辆/每小时）可以达到最大，并求出最大值（精确到1辆/小时）
本节主要考查 函数与不等式、数列等知识的综合运用能力；考查了如何用导数求函数中含参数的与极值有关的综合题，考查了用函数如何建模，如何解决实际生活中出现的问题.考查了数形结合、化归与转化、分类与讨论的数学思想方法，以及运算求解能力.
点评 导数常作为高考的压轴题，对考生的能力要求非常高，它不仅要求考生牢固掌握基础知识、基本技能，还要求考生具有较强的分析能力和计算能力.估计以后对导数的考查力度不会减弱.作为压轴题，主要是涉及利用导数求最值解决恒成立问题，利用导数证明不等式或解决数列中的一些问题等，常伴随对参数的讨论，这也是难点之所在.
习题1—5
.已知函数f(x)=,若f(a)>f(-a),则实数a的取值范围是
A （-1，0）∪（0，1） B （-∞，-1）∪（1,+∞）
C （-1，0）∪（1,+∞） D （-∞，-1）∪（0,1）
. 拟定从甲地到乙地通话分钟的电话费由（元）决定，其中m>0,是大于
或等于m的最小整数，（如,），则从甲地到乙地通话时间为5.5分钟的电话费为.
. 已知函数
(1) 求证: 函数是偶函数;
(2) 判断函数分别在区间、上的单调性, 并加以证明;
(3) 若, 求证: ( http: / / www. / wxc / )
. 有一种密英文的明文(真实文)按字母分解,其中英文的a,b,c,…,z的26个字母(不分大小写),依次对
应1,2,3,…,26这26个自然数,见如下表格:
A b c d e f g h i j k l m
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
N o p q r s t u v w x y z
14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26
给出如下一个的变换公式：
x′= (x∈N,1≤x≤26,x不能被2整除)
+13(x∈N,1≤x≤26,x能被2整除) 将明文转换成密文,如8→+13=17,即h变成q；5→=3，即e 变成c.①按上述规定，将明文good译成的密文是什么？②按上述规定，若将某明文译成的密文是shxc，那么原来的明文是什么？
. 已知函数.
（1）判断函数的奇偶性；
（2）求函数的单调区间；
（3）若关于的方程有实数解，求实数的取值范围．
第一讲(文) 函数参考答案
第一节 初等函数
变式与引申1:
提示 ,,时,.时,故
变式与引申2： 解 （1）令.易得.
而，且
（2）
∴
∴在R+上为减函数.
变式与引申3： 解 ，当y=f(x)为偶函数, 当时,
取,,,,,∴是非奇非偶函数.
变式与引申4: （0，1）.
提示：画出函数图像，由图象可知0习题1-1
1. D. 提示为为偶函数.
2. 提示：要使得
3. 解 因为是奇函数，所以，即，解得．
从而有．又由知，解得．
4. 解 （1）令 则
∵ ∴
（2）令则
∴
由已知>0时，>1>0，当<0时，>0，>0
∴又时，>0
∴对任意，>0
5. 解 令
可以判断是的极值点.
要使得方程有两个根，则
第二节 导数
变式与引申1： 解
变式与引申2： 解 由 0＜＜，知
令，从而，得 或
当变化时，变化情况如下表：
＋ － ＋
单调递增 单调递减 单调递增
因此，由上表知的单调递增区间是与，
单调递减区间是，极小值为,极大值为.
变式与引申3： 解法一 若x＝0，则不论取何值，≥0显然成立；当x＞0 即时，≥0可化为，
设，则， 所以 在区间上单调递增，在区间上单调递减，因此，从而≥4；
当x＜0 即时，≥0可化为，
在区间上单调递增，因此，从而≤4，综上＝4.
解法二时恒成立,而,由导数性质可知在区间让分别为增函数,在区间上为减函数.要使都有成立,则,即.
变式与引申4： 解 （1），∴ ①
又，∴，即 ②
由①②得，故. 又时，①、②不成立，故.
∴，设x1、x2是函数的两个极值点，
则x1、x2是方程=0的两个根，，
∴x1+x2=，又∵ A、O、B三点共线， =，
∴=0，又∵x1≠x2，∴b= x1+x2=，∴b=0.
（2）时，，由得，
可知在上单调递增，在上单调递减，
.
①由得的值为1或2.（∵为正整数）
②时，记在上切线斜率为2的切点的横坐标为，
则由得，依题意得，
得与矛盾.
（或构造函数在上恒正）
综上，所求的值为1或2.
习题1—2
1．.提示： ,.
2. 答案
3. 解 由得
因为的两个根分别为1，4，
所以 ……………………①
(Ⅰ) 当时，又由（*）式得解得
又过原点，∴ ∴
(Ⅱ) 依题意，
即……… ② 又由①知 代②得：
4. 解 (Ⅰ) 当时，对函数求导数，得．
令，解得，．
列表讨论，的变化情况：
极大值 极小值
所以，的极大值是，极小值是．
(Ⅱ)的图像是一条开口向上的抛物线，关于对称．
若，则在上是增函数，从而
在上的最小值是，最大值是．
由，得，于是有
，且．
由得，由得．
所以，即．
若，则．故当时不恒成立．
所以使恒成立的的取值范围是.
5．解 (Ⅰ) 由得：
又由曲线在点处的切线方程为，得 故
(Ⅱ) 由于点处的切线方程为
，而点（0，2）在切线上，所以
化简得，即满足的方程为.
下面用反证法证明.假设，由于曲线在点及处的切线都过点，则下列等式成立.
………………………… ①
………………………… ②
………………………… ③
又
∴ ①－②得：………………………… ④
由③得：代入④得：∴ 是方程的两根.
∴ 即矛盾.∴ 得证.
(Ⅲ) 依题意：方程有三个不同的根.
令
∵ ＞0,∴ ＜0, ＞.
第三节 函数的单调性、最值和极值
变式与引申1：
解：（1）由
当
令
所以，当上存在单调递增区间
（2）令
所以上单调递减，在上单调递增
当在[1，4]上的最大值为
又
所以在[1，4]上的最小值为
得，从而在[1，4]上的最大值为
变式与引申2：
解：①若在区间(-1,1)上有两个极值点，
则解得：
②同理，存在极值点，但在区间(-1,1)上有没有极值点，则.
变式与引申3： 解 与原例题3的方法相同.
习题1—3
1. C 本小题主要考查对数函数的性质、函数的图像，考生在做本小题时极易忽视，b的关系.
解：：因为，所以，所以(舍去)，或HYPERLINK " http://www./"，根据图像可以判断9即的取值范围是(9,11).
2. 答案
3.解：（1）当时, .
当时，在单调递增；
当时，在单调递减；
当时，在单调递增.
综上，的单调增区间是和,的单调减区间是.
（2），.
当，即时，,为增函数，舍去.
当，即时，有两个根，.
由题意知 ① 或 ②
①式无解,②式的解为. 因此的取值范围.
4. 解 （I）=,=(x>0),由已知得 解得.
∴两条曲线交点的坐标为切线的斜率为.
∴切线的方程为.
（II）由条件知，
（i）当>0时，令解得，
∴ 当0 << 时，，在（0，）上递减；
当x>时，，在上递增.
∴ 是在上的唯一极值点，且是极小值点，从而也是的最小值点.
∴ 最小值
（ii）当时，在（0，+∞）上递增，无最小值.
故的最小值的解析式为
（Ⅲ）由（Ⅱ）知
则，令解得.
当时，，∴在上递增；
当时，，∴在上递减.
∴在处取得最大值
∵在上有且只有一个极值点，所以也是的最大值.
∴当时，总有
5. 解 （1）由题意知，的定义域为，
．
当时，，函数在定义域上单调递增．
（2）令，
得，．
时，，
而，
此时，随在定义域上的变化情况如下表：
减 极小值 增
由此表可知：时，有惟一极小值点，
（3）由(Ⅱ)可知当时，函数，
此时有惟一极小值点：，
且．
∴．
∴，．
第四节 函数的综合应用(1)
变式与引申1： C．解代入求出后解方程.
变式与引申2：．（1）、（2）、（3）.解讨论并画出的图象.
变式与引申3: A． 提示：根据函数的奇偶性,排除C、D,再通过判断函数的变化趋势选A.
变式与引申4： B．解当a=0,b=0;a=0,b=1;a=,b=0; a=,b=1;a=1,b=-1;a=1,b=1时满足题意，故答案选B．
变式与引申5: B．提示：．
变式与引申6：A．解
变式与引申7： 解（1）因为,所以即,所以a=－2.
(2)因为直线恒过点（0，9）.
先求直线是y=g(x) 的切线.设切点为,因为.
所以切线方程为,将点（0，9）代入得.
当时，切线方程为y=9, 当时，切线方程为y=12x+9.
由得，即有
当时，的切线，
当时， 的切线方程为是公切线，
又由得或，
当时的切线为，
当时的切线为，，不是公切线
综上所述 时是两曲线的公切线
习题1-4
1．B
2．
3．解： 与直线垂直的直线的斜率为，又f（－1）=ln（2－1）－1－4+c=0，所以c=5
，由，当时，f′（x）≥ 0，f（x）单调递增；当时，f′（x）≤ 0，f（x）单调递减。
又f（0）=ln2+5，f（3）=ln5+8，所以f（x）在[0，3]最小值为ln2+5
4．解：（1）
解得
（2）在区间上是增函数，
解得
又由函数是减函数，得
∴命题P为真的条件是：
命题Q为真的条件是： ( http: / / www. / wxc / )又∵命题P、Q有且仅有一个是真命题，
5． 解：（Ⅰ）
令，得．
与的情况如下：
x （） （
— 0 +
↘ ↗
所以，的单调递减区间是（）；单调递增区间是
（Ⅱ）当，即时，函数在[0，1]上单调递增，
所以（x）在区间[0，1]上的最小值为
当时，
由（Ⅰ）知上单调递减，在上单调递增，所以在区间[0，1]上的最小值为；
当时，函数在[0，1]上单调递减，
所以在区间[0，1]上的最小值为
第五节 函数的综合应用(2)
变式与引申1： 得.
变式与引申2：解：①∵不等式的解集为
∴和是方程的两根
∴ ∴
又方程有两个相等的实根 ∴
∴ ∴
∴或（舍） ∴
∴
②由①知
∵，∴的最大值为
∵的最大值为正数 ∴
∴解得或
∴所求实数的取值范围是
变式与引申3： ⑴解：①令a=b=1 求得
又 ∴
② ，∴ .
令 ， ∴，
∴ 数列 是以公差d= 的等差数列
∴ ， ∴，∴
变式与引申4：①设电视广告播放量为每天次时，该产品的销售量为（，）.
由题意，，
于是当时，，（）.
所以，该产品每天销售量（件）与电视广告播放量（次/天）的函数关系式为
.
②由题意，有.（）
所以，要使该产品的销售量比不做电视广告时的销售量增加，则每天广告的播放量至少需4次.
变式与引申5： 解 ，令得或，
结合图像知，故．
变式与引申6：解： HYPERLINK "http://www./" EMBED Equation.3 因为函数存在单调递减区间，所以在上解，从而有正解．高考资源网
①当时，为开口向上的抛物线，总有正解；
②当时，为开口向下的抛物线，要使总有正解，则,解得 ．
综上所述，a的取值范围为 HYPERLINK "http://www./" EMBED Equation.3 ．
变式与引申7: 解：（Ⅰ）由题意：当；当
再由已知得
故函数的表达式为
（Ⅱ）依题意并由（Ⅰ）可得
当为增函数，故当时，其最大值为60×20=1200；
当时，
当且仅当，即时，等号成立。
所以，当在区间[20，200]上取得最大值
综上，当时，在区间[0，200]上取得最大值。
即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时。
习题1-5
.C.
解：
故选C.
2．4.24元.
3．解 (1) 当时, , 则
∴ 时, ,
则, ∴
综上所述, 对于, 都有, ∴函数是偶函数 ( http: / / www. / wxc / )
(2) 当时,
设, 则
当时, ;
当时, ,
∴函数在上是减函数, 函数在上是增函数 ( http: / / www. / wxc / )
(3)由(2)知, 当时, ,又由(1)知, 函数是偶函数,
∴当时, ,∴若, ,
则, ,
∴, 即 ( http: / / www. / wxc / )
4．解 ① g→7→=4→d;o→15→=8→h;d→o;则明文good的密文为dhho
②逆变换公式为,
则有s→19→2×19-26=12→l;h→8→2×8-1=15→o,x→24→2×24-26=22→v;c→3→2×3-1=5→e;
故密文shxc的明文为love.
5．解（1）函数的定义域为{且},,
∴为偶函数.
（2）当时，.若,则，递减；
若,则，递增.再由是偶函数，得的递增区间是和；递减区间是和.
（3）由，得：,令
当，.显然.
当时，时，，
∴时， 又，为奇函数
∴时，,∴的值域为,
∴若方程有实数解，则实数的取值范围是.
图
求定义域
开始
关于原
点对称
是
否
输出“为
非奇非偶函数”
否
输出“为
非奇非偶函数”
输出“为
奇或偶函数”
是
结束
求导
由=0求
求的值
得出最大（小）值
求导
由=0求
列 表
得出单调区间(极值)
（图1-5-2）
10800
3600
1
1 24 36 72 90 n