2012届高三数学第二轮复习讲义第二讲 三角函数与平面向量(文科)

第二讲(文)　三角函数与平面向量
第一节 三角函数的化简、求值及证明
三角函数的化简、求值及证明涉及恒等变换，而三角函数的恒等变换是历年高考命题的热点. 它既可以出现小题（选择或者填空），也可以与三角函数的性质，解三角形，向量等知识结合，参杂、渗透在解答题中，它们的难度值一般控制在0.5-0.8之间. 提高三角变换能力, 要学会设置条件, 灵活运用三角公式, 掌握运算、化简及证明的方法和技能.
考试要求 ⑴理解同角三角函数的基本关系式；（2）会推导两角和与差、二倍角的余弦、正弦、正切公式，了解它们的内在联系，能运用上述公式进行简单的恒等变换；（3）掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题；(4)能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.
题型一 已知三角函数的值求角问题
例1 （１）在中，内角的对边分别是，若，，则（　　）．
　Ａ．　　　B．　　　C．　　　D．
（２）若，，求α+2β= .
点拨 本题（１）应先利用正弦定理进行角化边，然后利用余弦定理求角A. 题（２）首先应求α+2β的函数值，为了使角的范围好控制，这里选用正切值好一点，然后根据条件依次找出所需的条件，要注意角的范围. 解三角形的问题关键是灵活运用正弦定理和余弦定理，正确进行边化角、角化边，探寻解答. 题（２）最困难的地方在于确定α+2β的范围，一般地，根据已知条件，把角的范围限制得越精确，结果也越准确.
解（１）由及正弦定理，得，代入，得
　　　　，即，又，（为什么从角化边入手？）
由余弦定理，（选用余弦定理合理否？）
所以．故选Ａ．
（２）∵，，∴
∴，（为什么要把角的范围定得这样精确？）
α+2β,又tan2β=,
∴,∴α+2β=.
易错点 题（１）记错公式、忘记讨论角的范围或者代数运算不熟练是造成这类解三角形问题的出错的主要原因.这里选用余弦定理求角是正确的，如果选用正弦定理求角就不合理，一是出现2个角，二是要讨论舍弃1个角，更容易出错；题（２）中，角的范围容易忽略或放大，导致错误.
变式与引申1：已知α，β为锐角，tanα=，sinβ=,求2α+β的值.
题型二 三角函数化简、求值问题
例2　（2011江西卷文科第17题）在中，角A,B,C的对边是a,b,c,已知
　　（1）求的值
　　（2）若a=1, ,求边c的值.
点拨(1)合理且灵活运用正弦定理和余弦定理,选择是从角化边入手还是边化角入手；（2）关键是如何利用已知条件恒等变形求出,再利用正弦定理求出.
解：（1）由 正弦定理得：
及：所以。
（2）由
展开易得：
正弦定理：
易错点 本题涉及到正弦定理、诱导公式及三角形内角和为180°这两个知识点的考查, 不知道利用将已知条件中的角化成同角,从而利用恒等变形得出.再由正弦定理求出
变式与引申2：（2011江西卷文理科科第17题）在△ABC中，角的对边分别是，已知.
求的值；
若，求边的值.
题型三 三角函数的取值范围问题
例3　．已知函数.
（1）若，求；
（2）若，求的取值范围.
点 拨 通过“切化弦”，“降次”等手段，再利用万能公式或“齐次式”可解决第（1）题；第（2）题则首先化为一个三角函数的形式，再根据角的范围来求的取值范围.
解：（1）
，
由得，
，所以.
（2）由（1）得
由得，所以
从而.
其它解法思路：题（1）有以下解法:
故
易错点 记错二倍角或万能公式；不会在区间上，联系三角函数图像求函数的取值范围；或运用公式不合理，产生错误.例如用，去求，容易出现符号处理带来的麻烦等等.
变式与引申3：已知向量，，且，其中A、B、C是ABC的内角，分别是角A，B，C的对边．
（1）求角C的大小；
（2）求的取值范围．
题型四 三角函数化简、求值的综合应用
例4　已知角是三角形的三内角，向量,,，
且.
（1）求角； （2）求；（3）若边的长为，求的面积．
点拨 本题难在第（2）题，若整理成关于角B的二次式或齐次式，运算则相对简单；第（3）题也要注意选择运算简单的思路.
解（1）∵, ∴ , 即.
,.
∵,∴,∴, ∴.
（2）由题知，整理得，∴,
∴.∴或.而使，舍去. ∴.
∴.
（3）由（1）知， 得，又，故（舍去负值，为什么？）,
由正弦定理，∴.
∴.
故三角形的面积.
易错点：一是本题有点运算量,很容易由于选择的解法运算繁琐而算错；二是不会根据条件回避讨论.由角的范围或其它隐含条件去讨论甄别函数值至关重要，也很容易出错．
其它解法思路：化简时，也有很多的思路，如：
⑴由,得；
⑵由得等.
变式与引申4：在例4题（3）中，若内角A，B，C的对边分别为a、b、c，且求边c的长.
本节主要考查 ⑴三角函数的公式及其在化简、求值和证明中的运用；⑵ 恒等变换的能力和运算能力；⑶三角形中的边、角、面积等关系（正余弦定理）；（4）等价转化的数学思想方法等等.
点评 高考试题中的三角函数题相对比较传统，难度较低，位置靠前，重点突出.因此，在复习过程中既要注重三角知识的基础性，突出三角函数的图象、周期性、单调性、奇偶性、对称性等性质.以及化简、求值和最值等重点内容的复习，又要注重三角知识的工具性，突出三角与代数、几何、向量的综合联系，以及三角知识的应用意识.本节涉及的知识与技能主要有:
（1）三角函数式的化简问题，在最后所得到的结果中，要求所含函数和角的名称或种类最少,三角函数名称尽可能统一，各项的次数尽可能地低，出现的项数最少，一般应使分母和根号不含三角函数式，对能求出具体数值的，要求出值.
（2）三角函数的求值问题，是训练三角恒等变换的基本题型，求值的关键是熟练掌握公式及应用, 掌握公式的逆用和变形.在化简和求值中，重视角的范围对三角函数值的影响，对角的范围尤其要注意讨论.
（3）证明恒等式的过程就是分析、转化、消去等式两边差异来促成统一的过程，在进行三角函数的化简和三角恒等式的证明时，需要仔细观察题目的特征，灵活、恰当地选择公式.
证明时常用的方法有：①从一边开始，证明它等于另一边；②证明左右两边同等于同一个式子；③证明与原式等价的另一个式子成立，从而推出原式成立；④分析法等.
（4）近年的考纲明确提出要加强对正余弦定理的考查，且常结合三角形内的三角恒等变换进行考查．解三角形这类题目的解答程序是：一是看方向（是从角化边入手还是边化角入手）；二是用定理（合理且灵活运用正弦定理和余弦定理）；三是定答案（根据取值范围讨论并确定答案）.还要特别注意三角形中三个角A、B、C，三条边a、b、c，中线ma，角平分线AD，外接圆半径R，内切圆半径r，三角形面积S之间的关系和三角形的形状.
（5）三角函数的综合问题常常与向量，二次函数等有关，但着力点还是三角知识，尤其是利用二倍角公式、“切化弦”、同角三角函数的基本关系、两角和与差等进行恒等变形，是高考考查的重中之重.
解答这类综合问题的原则是三点：
降次——化次数较高的三角式为次数较低的三角式；
减元——化多种三角函数为单一的三角函数；
变角——化多角的三角函数为单角的三角函数.
还要特别注意：
①1的变化：
②角的变化：
③化切为弦、升幂公式、降幂公式的合理运用；
④在理解的基础上熟记和灵活运用各种公式，包括正用公式、反用公式和变用公式.
习题2－1
1. 已知cos+sinβ=，sin+cosβ的取值范围是D，x∈D，则函数y=的最小值为( ).
A. B. C. D.
2. △ABC的角A、B、C的对边分别为a、b、c，＝(2b－c，a)，＝(cosA，－cosC)，且⊥．则
当y＝2sin2B＋sin(2B＋)取最大值时，角的大小为 ．
3.已知，求的值．
4．已知其中为锐角.
（1）求证：；
（2）求的最大值.
5. 在中，角满足
(1)求角的大小；
(2)求的取值范围.
第二节 三角函数的图像、性质及其变换
近几年高考对“三角函数”一章三角的考查要求略有降低，而对三角函数的图像、性质的考查有逐步加强的趋势. “考试大纲”将三角函数的图象和性质，由“了解”改为“理解”，提高了一个层次.因此，考生在复习中要作出相应的调整.它们的难度值一般控制在0.5-0.8之间，且在解答题中大多需要利用三角函数的变换和性质求解.
考试要求 ⑴理解正弦函数、余弦函数的定义、性质,理解正切函数的单调性；⑵了解函数的物理意义，会用“五点法”画正弦函数、余弦函数和函数y=Asin(ωx+φ)的简图，了解参数 对函数图像变化的影响.
题型一 由“参”定“形”，由“形”定“参”
【例1】
点拨：（1）在函数y＝Asin（ωx＋）的有关问题中，只要确定了这三个参数A，ω，φ，则该函数的图像、性质等就出来了；同理，（2）中，已知图像求解析式问题，关键也是确定三个参数A，ω，φ，最困难的就是求φ.
于是，本题的答案为②、③．
例2.已知函数的图象如图所示,
则它的解析式为.
点拨：已知图像求解析式问题，关键也是确定三个参数A，ω，φ，
尤其是求φ.
解析:由图知
以下求的值有多种方法可供选择：
易错点 例（１）中，选项“”的含义容易被误解；例（2）中，已知图像求解析式中的φ时，常常由于方法不当或范围不清晰而不能求出准确值.
点评：三角函数的图像由若干个参数确定(即由“参”定“形”)，同时，已知三角函数的图像也能够确定这若干个参数（即由“形”定“参”).本例所用的方法带有普遍性，用来求解有关函数y＝Asin（ωx＋）的图象问题十分奏效.
变式与引申1：若将函数的图像向右平移个单位长度后，与函数的图像重合，则的最小值为（ ）
A． B. C. D.
题型二 利用图像的性质解题
【例3】设函数f (x)的图象与直线x =a，x =b及x轴所围成图形的面积称为函数f(x)在[a，b]上的面积，已知函数y＝sinnx在[0，]上的面积为（n∈N* ），
（1）y＝sin3x 在[0,]上的面积为　 　；（2）y＝sin（3x－π）＋1在[，]上的面积为　 .
点拨：本题解题的关键是审题，可以画个草图帮助理解题意，如图.第（1）问简单，第（2）问的函数图像有了变化：向右移动个单位，再向上移动1个单位；其所求的面积就是图中直线,
，x轴以及y＝sin（3x－π）＋1的图像
所围成图形的面积. 可以把直线y=1上方的两
个“波峰”拿一个填入“波谷”，得到一个矩形
和一个“波峰”，其面积容易求出.
【解析】（1）T=, n=3,一个周期的面积为.
（2）S=1×(-)+=.
易错点: 第（2）问审题容易出问题，结合图像能够帮助理解题意.
点评：本题主要考查了正弦函数的图象的平移变换、对称变换及其应用，解题时要注意观察题目函数图像的特点随机应变，如本题可利用图像的对称性解题.
变式与引申2：已知函数，x∈[0, ]的图象和直线y=2围成一个封闭的平面图形，求该图形的面积.
题型三 三角函数性质的应用
【例4】已知函数（，且均为常数），
（1）求函数的最小正周期；
（2）若在区间上单调递增，且恰好能够取到的最小值2，试求的值．
点拨 研究三角函数的性质（如周期、最值、单调性、奇偶性等）时，首先应该对所给的函数关系式进行化简，最好化为一个角（形如）、一种三角函数的形式．
【解析】（1）
（其中），
所以，函数的最小正周期为．
（2） 由（1）可知：的最小值为，所以，．……… ①
另外，由在区间上单调递增，可知在区间上的最小值为，
所以，，……… ②
联立①②解得：.
易错点: 在题（2）中，不能利用隐含条件”的最小值2”正确列出方程组，还有计算时也容易出错.
变式与引申3：已知函数的图象与直线的三个相邻交点的横坐标分别是，，.
（1）求的解析式，并写出的单调递减区间；
（2）设，求函数的值域.
题型四 三角函数的图象和性质的综合应用
【例4】已知函数的图象上有一个最低点，将图象上的各点纵坐标不变，横坐标缩小到原来的倍，然后再向左平移1个单位得到的图象，且方程的所有正根构成一个以3为公差的等差数列，求的解析式及其最小正周期、单调递减区间.
点拨 本题比较难，首先难在审题上，要理清各层题目意思；其次，原题中的函数不但有a,b,c三个
参数，而且图像也不在标准位置上；第三难在通过图像变换后，会得到什么样的函数图像，还有方程的根正好构成等差数列又怎么理解.解题思路分析如下：第一步，要化成同名函数；其次是利用转化的思想，把“三元”化为“一元”，这可以通过图象上有一个最低点来转化得到；然后处理图像变换，得出y=f(x)的含参解析式；最后利用等差数列求出参数c.
此题是三角函数图象的综合应用题，要正确解答必须对三角函数图象变换的基本特性有较深刻的认识，考查综合应用知识的能力，和数形结合、转化的数学思想.解决三角函数的图象变换问题，要注意以下两方面：首先要化为同名函数；其次是周期变换发生在相位变换之前时，应明确平移的量是什么.还要充分运用数形结合、转化等数学思想解题.
【解析】将函数化为，由条件得
，
下一步是关键是求出参数c，显然的周期，其半周期的长度恰好为3.而可看成的图象与直线的交点的横坐标，且由半
周期的长度为3可知，相邻交点间的距离也为3，从而由
三角函数图象的特征知道，，否则无法满足半周期为3.
的图象与与直线的交点只可能是在的各
对称中心，对称轴向上平移了3个单位，即，如图
.从而,单调递减区间为.
易错点 本题易出错的地方是平移、伸缩时，解析式的变化，再就是用等差数列的条件时讨论不全．
变式与引申4：函数的性质通常指函数的定义域、值域、周期性、单调性、奇偶性等，请选择适当的探究顺序，研究函数f(x)= +的性质，并在此基础上，作出其在的草图．
本节主要考查 ⑴三角函数的图象，包括：①y=sinx、y=cosx、y=tanx的图象；②“五点法”画出y=Asin（ωx+φ）的简图；③利用平移和伸缩变换画出y=Asin（ωx+φ）的图象；⑵三角函数性质，包括奇偶性，单调性，周期性，最值；⑶三角函数的图象和性质的综合应用；（4）等价转化，数形结合等数学思想方法.
点评 高考对三角函数的图象和性质一向是考查的重点，在复习过程中要注意与三角函数的化简、求值等基础知识，以及三角函数的恒等变形等结合起来，还要注意与代数、几何、向量的综合联系.复习的重点是正、余弦函数的图象变换及其应用，掌握它们的性质,其中单调性又是本节的一个难点.
1.对三角函数图象要从对称轴和有界性这两个角度去把握，对称性包括对称轴和对称中心两个关键要素，要熟记y=sinx、y=cosx、y=tanx的对称轴和对称中心．
2．对三角函数性质的研究要首先建立在定义域的基础之上．而求三角函数的定义域往往要解三角不等式，解三角不等式的方法一般表现为图象法或三角函数线法．
对三角函数性质的考查总是与三角变换相结合．一般解题规律是先对三角函数关系式进行三角变换，使之转化为一个角的三角函数的形式，再利用换元法转化为对基本三角函数性质的研究．
3. 求三角函数的最值问题属于常见题型，主要利用正、余弦函数的有界性，一般通过三角变换和换元化为一次函数或二次函数在闭区间上的最值问题,或引入辅助角,或采用“不等式”法,或“数形结合”等基本类型处理.
4.对函数y＝Asin(ωx＋)＋k (A＞0, ω＞0, ≠0, k≠0),其图象的基本变换是个难点，各种变换的实质要熟练掌握，不能单从形式上简单判断．
5．“五点法”是三角函数作简图的有力武器,要熟练掌握.最基本的三角函数图象的形状和位置特征，要准确掌握，它是利用数形结合思想解决三角函数问题的关键．
6.主要题型：求三角函数的定义域、值域、周期，判断奇偶性，求单调区间，利用单调性比较大小，图象的平移和伸缩，图象的对称轴和对称中心，利用图象解题，根据图象求解析式.
7．常用方法：
(1)求三角函数的值域、最值：利用正弦、余弦函数的有界性，通过变换转化为代数最值问题；
(2)求周期：将函数式化为一个三角函数的一次方的形式，再利用公式，利用图象判断.
习题2－2
1.如图，质点P在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P0（，-），角速度为1，那么点P到x轴距离d关于时间t的函数图像大致为
2. 函数的值域是
3.函数f(x)=a+bsin2x+ccos2x的图象经过点A（0，1），B（，1）,且当x∈［0, ］时，f(x)取得最大值2－1．（1）求f(x)的解析式；（2）(选作题)是否存在向量m，使得将f(x)的图象按向量m平移后可以得到一个奇函数的图象？若存在，求出满足条件的一个m;若不存在，说明理由.
4.已知函数的图像的一部分如图2-2-5所示.
（1）求函数的解析式；
（2）当时，求函数的最大值与最小值及相应的的值.
5．设函数f(x)=a·b，其中向量a=(2cosx，1)，b=(cosx，sin2x)，x∈R.
（1）若f(x)=1－且x∈[－，]，求x；
（2）试作出函数f(x)在一个周期内的简图；
(3) 设函数f(x)的最大值为M ，若有10个互不相等的正数且
，求的值.
第三节 平面向量与代数的综合应用
平面向量与代数的综合应用为每年高考必考内容，以选择题（填空题）形式出现，或作为题设条件与三角函数（解三角形）、数列、函数不等式形成综合解答题的形式出现，分值在4～12分左右；向量具有代数形式与几何形式的“双重身份”，这使它成为中学数学知识的一个交汇点，也成为多项内容的媒介，在高考中主要考查有关的基础知识，突出向量的工具作用，难度系数在0.4～0.8之间.
考试要求 ⑴理解平面向量的概念，理解两个向量相等及向量共线的含义；⑵掌握向量的加法、减法及数乘运算；⑶了解平面向量基本定理及其意义，掌握平面向量的正交分解及其坐标表示，理解用坐标表示向量的加法和减法运算及数乘运算，理解用坐标表示的平面向量共线的条件；⑷理解平面向量的数量积的含义及其物理意义，掌握数量积的坐标表达式并会进行数量积的运算，能用数量积表示两向量的夹角，会用数量积判断两向量的垂直关系.
题型一 平面向量的有关概念及应用
例1定义平面向量之间的一种运算“”如下，对任意的，，令，下面说法错误的是（ ）
（A）若与共线，则 （B）
（C）对任意的，有 （D）
点拨：仿照平面向量的线性运算规则及数量积的性质进行“”运算.
解：若与共线，则有，故A正确；因为，
而，所以有，故选项B错误，选B.
易错点：把定义的运算“”混同与“”，认同选项B正确.
变式与引申1：已知两个非零向量，定义运算“#”：，其中为的夹角．有两两不共线的三个向量，下列结论：①若，则；②；③若；则；④；⑤．其中正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
题型二 平面向量与三角函数的综合应用
例2：已知向量，．
(1)当时，求的值；(2)求的最小正周期和单调递增区间．
点拨：(1)由向量平行列方程解出的值，所求式子转化成正切单角名称的三角代数式，代入可求解；(2)进行向量坐标形式的数量积运算得到的解析式，转化为函数结构.
解：(1)由 得，即，
所以.
(2) 因为，；所以；
；所以最小正周期为;由
得，故单调递增区间为
().
易错点：计算的值出错；转化为形式出错；下结论时遗漏.
变式与引申2：已知向量，，
(1)若，求. (2)求的最大值．
题型三 平面向量与数列的综合应用
例3在平面直角坐标系中已知,满足向量与向量共线，且点都在斜率为6的同一条直线上.若.考资
(1) 求数列的通项公式； (2) 求数列{}的前n项和..
点拨：利用点都在斜率为6的同一条直线上和与共线分别得出数列递推公式和，求出后再求的通项公式. DB点拨
解：(1)因为点都在斜率为6的同一条直线上，所以，即于是数列是等差数列，故；因为，；又因为共线，所以 即，当n≥2时， ，当n=1时，上式也成立, 所以. 高
(2), HYPERLINK "http://www./" EMBED Equation.DSMT4 .
易错点：错误理解点都在斜率为6的同一条直线上的含义,无法求得的通项公式；由与共线错列方程得到结果.
变式与引申3：数列中，，，数列中，，，在直角坐标平面内，已知点列，则向量++…+的坐标为(　 ).
A. B. C. D.
题型四 平面向量与函数的综合应用
例4已知平面向量(，－1)，(, HYPERLINK "http://www./" ).高考资源网
(1) 若存在实数和，使得＋, ，且，试求函数的关系式；高(2) 根据(1)的结论，确定的单调区间.
点拨：第(1)问先分别求得与的坐标，再用的充要条件或是直接利用的充要条件，进行向量的代数运算,其过程将用到向量的数量积公式及求模公式，得到函数的关系式；第(2)问中求函数的单调区间运用的是求导的方法.资源
解：（1）方法一：由题意知(,), ，又高故＝×（）＋×()＝0，整理得：，即 . 高考资源网
方法二：因为(，－1)，(, ),所以＝2，＝1且，又故＝0.
即，化简得, 所以.
(2) 由(1)知：，求导，令＜0得－1＜＜1；令＞0得
＜－1或＞1. 故的单调递减区间是(－1, 1 )，单调递增区间是（－∞，－1）和（1，＋∞）.
易错点：字母运算出错不能正确得到的坐标形式；没能通过简单的心算判断出，使得的展开式中无法消去含有的项.
变式与引申4：1.已知平面向量＝(，－1)，＝(，)，若存在不为零的实数k和角α，使向量＝＋(), ＝＋,且⊥，试求实数 的取值范围；
2.(2010山东德州模拟)已知两个向量， .
（1）若且，求实数x的值； （2）对写出函数具备的性质.
本节主要考查（1）知识点有平面向量的有关概念、加减法的几何意义、向量共线定理、平面向量的基本定理、坐标表示、垂直关系、向量的数量积；（2）演绎推理能力、运算能力、创新意识；（3）函数与方程的思想、数形结合思想和待定系数法.
点评（1）掌握平面向量的基础知识，正确地进行向量的各种运算来处理向量与代数的综合应用问题（如例1），要善于利用向量“数”与“形”两方面的特征；（2）向量共线的充要条件中应注意只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，向量共线的坐标表示不能与向量垂直的坐标表示相混淆；（3）理解向量的数量积的定义、运算律、性质并能灵活应用，向量的数量积的结果是实数而不是向量，注意数量积与实数乘法运算律的差异；（4）向量的坐标运算使得向量运算完全代数化，向量与函数、数列、解三角形、不等式等相结合形成了代数的综合问题（如例2、例3、例4），在知识的交汇点处命题来考查了向量的工具性及学生分析问题、解决问题的能力.
习题2—3
1. （2011年湖南理数）在边长为1的正三角形中，设，则.
2. 关于平面向量有下列四个命题：①若，则； ②已知．若，则；③非零向量和，满足，则与的夹角为；④．其中正确的命题为___________．（写出所有正确命题的序号）
3.已知向量 (m是常数),
(1)若是奇函数，求m的值; 高考资源网
(2)若向量的夹角为中的值，求实数的取值范围.
4.在平面直角坐标系xOy中，点A(－1,－2)、B(2,3)、C(－2,－1)。
求以线段AB、AC为邻边的平行四边形两条对角线的长；
设实数t满足()·=0，求t的值.
5.（2010郑州四中模拟）已知点集，其中，点列在中，为与轴的公共点，等差数列的公差为1；
(1)求数列，的通项公式；(2)若，数列的前项和k*s*5*u满足对任意的都成立，试求的取值范围.
第四节 平面向量与几何的综合应用
平面向量与几何的综合应用内容为每年高考必考内容，多以选择题（填空题）形式考查平面向量相关概念的几何意义及与平面几何知识的综合应用，或作为题设条件与解析几何知识综合以解答题形式出现，分值在4-12分左右；难度系数在0.3～0.6之间.
考试要求 ⑴理解平面向量的概念、两个向量平行或共线及相等的几何意义；⑵掌握向量的加减法运算及数乘运算几何意义，了解向量线性运算的性质及其几何意义；⑶了解平面向量基本定理及其意义；⑷理解平面向量的数量积的含义，了解平面向量的数量积与向量投影的关系，能用数量积表示两向量的夹角，会用数量积判断两向量的垂直关系；⑸会用向量方法解决简单的平面几何问题和简单力学问题及其他一些实际问题.
题型一 平面向量加减法及数乘运算的几何意义应用
例1 ⑴已知为平面上四点，且，，则( 　)
A．点M在线段AB上 B．点B在线段AM上
C．点A在线段BM上 D．O、A、M、B四点共线
⑵在中，点在上，平分．若，，，，则( 　)　　　　A. B. C. D.
点拨：⑴考查了平面向量的加减法运算，利用数乘运算几何意义根据来判断点M的位置：⑵考查向量的基本运算和三角形的角平分线定理，关键在于确定点D在AB上的位置，由角平分线定理得出D为AB的三等分点，结合向量的基本运算求解；
解：⑴选B. 根据题意知,则，即.由判断出点Ｍ在线段AB的延长线上，即点B在线段AM上；
⑵选B．因为平分，由角平分线定理得，所以Ｄ为AB的三等分点，且，故；
易错点：⑴没有根据来判断点M的位置；⑵同学对角平分线定理不熟悉，导致求解出错.
变式与引申1已知和点M满足，若存在实数使得成立，则=（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
2.设分别是的三边上的点，且则与( )
A.反向平行 B.同向平行 C.互相垂直 D.既不平行也不垂直
题型二 平面向量基本定理及数量积的几何意义应用
例2：⑴在正六边形中，点是内（包括边界）的动点，若，则的取值范围是　　　；
⑵已知， ，，，，设，如果，，，那么为何值时，三点在一条直线上？
点拨：⑴利用平面向量基本定理和向量加法的平行四边形法则，通过画图数形结合解出，或者用平面向量基本定理及线性规划的知识来解出；⑵向量个数较多，应选准一对作为基底，利用平面向量共线充要条件列出方程求解；
解：⑴方法一，的取值范围是.从特例试一试，当点与重合时(如图)，确定，过点作和（即和）的平行线得，易知，,
所以；同理点与重合时，也可以得；点与重合
时，，所以.
方法二，如图建立直角坐标系，设六边形的边长为2，各个顶点的坐标分
别是、、、、、，
令，那么,,.
由得 ①， ②，二者联立
有，.因为点在内（包括边界），所以点
必在直线和的下方，同时在直线的上方，求出直线和的方程，
根据线性规划知识得到点满足的约束条件是：；把分别换成得；作图验证可知，当点与重合时，，即；点与重合时，，即.所以的取值范围是；
⑵由题设知，，三点在一条直线上的充要条件是存在实数，使得，即，整理得，①若共线，则可为任意实数；②若不共线，则有，解之得，．所以综上所述，当共线时，则可为任意实数；当不共线时，；
易错点：⑴对平面向量基本定理概念不清晰，利用向量加法进行平行四边形法则作图不到位，判断的取值出错；⑵不能正确选准一对向量来作为基底去表示，没有对是否共线进行分类讨论；
变式与引申3：⑴已知在平面直角坐标系中，，，O为原点，且（其中均为实数），若N（1，0），则的最小值是 .
4.已知=1，=,,点在内，且=30°，设 ，则等于（　 ）
A. 　 B.3 　 C. D.
题型三 平面向量与平面几何综合的问题
例３：⑴已知中，过重心的直线交于，交边于，设的面积为，的面积为，，，则① 　　 ，②的取值范围是 ；
⑵已知圆的半径为１，为该圆的两条切线，、为两切点，那么的最小值为（　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
点拨：⑴令通过引入中间变量根据三角形的重心和平面向量的基本定理演算出和之间的关系式；⑵用的三角函数形式表示出，再使用均值不等式得到答案；或者建立适当的坐标系，使用向量数量积的坐标运算形式求解.
解：⑴；设因为是△的重心，故，又，，因为与共线，所以，即，又与不共线，
所以及，消去，得；
① ，故；
② ，那么，当与重合时，，当位于中点时，，故，故，但因为与不能重合，故
⑵选D.方法一：如图，令
，
令，；
方法二：以圆心O的坐标原点，以OP为轴，建立坐标系：圆的方程为，
设，，，，由
，
所以有．
易错点：⑴没有正确引入中间变量使得和之间的关系式运算出错：⑵对的三角形式化简方向偏离正确结构或建立坐标系没有利用得出，难以继续演算．
变式与引申5：⑴（2009合肥一中）是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足则的轨迹一定通过
的( )
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
6.如图，半圆的直径，为圆心，是圆弧上不同于的任意
一点，若为半径上的动点，则的最小值是 ；
题型四 平面向量与圆锥曲线综合的问题
例4：如图,已知双曲线：，直线与一条渐近线交于点是双曲线的右焦点，为坐标原点.
⑴求证：；
⑵若,且双曲线的离心率，求双曲线的方程；
⑶在⑵的条件下，直线过点与双曲线右支交于不同的两点
，且在之间，满足，试判断的范围，并
用代数方法给出证明.
【注】考虑课程标准和教材关于双曲线的准线方程不作要求，所以题目里给出的直线实际上就是双曲线的右准线.
点拨：
⑴由题意写出点的坐标，判断即可；
⑵由离心率和建立关于方程组求解出的值；
⑶由题意可初步猜想出，用直线与圆锥曲线的位置关系来进一步推证.
解：⑴因为，渐近线；所以又，
，得出，有，所以.
⑵因为，所以，即；又，故，，解得， 即所求的双曲线的方程为： ．
⑶由题意可得．证明：设：，点 由和
联立消去得出方程：，因为与双曲线右支交于不同的两点得出不等式组：；化简得；解得；又，有成立， ；故，，消得
；因为，有成立，得出，
解得且，根据题意知在之间，所以的取值范围是．
易错点：在第⑶问中字母的代数式运算出错，解得且之后，不结合题意分析的取值范围.
变式与引申7已知定点(-1,0)和B (1,0)，是圆上的一动点，则的最大值是 ；最小值是 .
本节主要考查 ⑴知识点有平面向量的加减法、向量共线定理、平面向量的基本定理、向量的数量积的几何意义及运算，平面向量平行和垂直位置关系；⑵演绎推理能力、运算能力、创新意识；⑶数形结合思想、函数、不等式思想、分类讨论思想、化归转化思想和应用向量法分析解决问题．
点评 ⑴认识向量的几何特性．对于向量问题一定要结合图形进行研究，掌握平面向量相关概念的几何意义，正确地运用向量的各种运算来处理向量与几何的综合应用问题（如例1、例2），要善于利用向量“数”与“形”两方面的特征；⑵理解向量数量积的定义、运算律、性质几何意义，并能灵活应用处理与向量的夹角、模长和垂直的相关问题；⑶平面向量能与中学数学内容的许多主干知识综合，形成知识交汇点，注意向量在知识的交汇点处命题，要关注平面向量与三角形等平面几何知识相结合的综合问题（如例３）及平面向量作为解析几何问题的已知条件与之交织在一起的综合问题（例４）；⑷平面向量重视考查综合能力，体现了向量的工具性及学生分析问题、解决问题的能力，学生要善于运用向量方法解题，树立运用向量知识解题的意识；⑸知晓三角形五“心”向量形式的充要条件，设为所在平面上一点，角所对边长分别为，则
①为的外心；
②为的重心；
③为的垂心；
④为的内心；
⑤为的的旁心；
习题２－４
1．已知非零向量与满足()·=0，且= , 则△ABC为( )
A.三边均不相等的三角形 　 B.直角三角形 C.等腰非等边三角形 　 D.等边三角形
2. 设P为内一点，且，则的面积与面积之比为 （ ）
A. B. C. D.
3．已知，关于的函数 在上有极值，则与夹角的范围
是_ _____ _ .
４．在平面直角坐标系xOy中，点A(－1,－2)、B(2,3)、C(－2,－1)。
(1)求以线段AB、AC为邻边的平行四边形两条对角线的长；
(2)设实数t满足()·=0，求t的值.
5. 已知椭圆，斜率为1且过椭圆右焦点F的直线交椭圆于A、B两点，，.
（1）判断与是否共线；
（2）设M为椭圆上任意一点，且（），证明：为定值.
第二讲　三角函数与平面向量参考答案（文）
第一节 三角函数的化简、求值及证明
变式与引申1：由已知0<2α+β<, 求得cos(2α+β)=或tan(2α+β)=1.得2α+β=.
变式与引申2：解：（1）已知
整理即有：
又C为中的角，
（2）
又，
变式与引申3：（1）由得,
由余弦定理, 又，则.
（2）由（1）得，则,
,
, ,
, ,
即得取值范围是.
变式与引申4：由余弦定理,
故消去c,再把由题（Ⅲ）中得出的,,和已知代入,得c=1.
习题2－1
1.答案:B.
解：设u=sin+cosβ，则u2+()2=(sin+cosβ)2+(cos+sinβ)2=2+2sin(+β)≤4.
∴u2≤1,－1≤u≤1.即D=［－1,1］,设t=,∵－1≤x≤1,∴1≤t≤.x=.
2. 答案: B＝.
解：由⊥，得·＝0，从而(2b－c)cosA－acosC＝0，
由正弦定理得2sinBcosA－sinCcosA－sinAcosC＝0,
∴2sinBcosA－sin(A＋C)＝0，2sinBcosA－sinB＝0，
∵A、B∈(0，π)，∴sinB≠0，cosA＝，故A＝.
y＝2sin2B＋sin(2B＋)＝(1－cos2B)＋sin2Bcos＋cos2Bsin
＝1＋eq \f(,2)sin2B－ cos2B＝1＋sin(2B－).由A＝得0＜B＜，－＜2B－＜，∴当2B－＝，即B＝时，y取最大值2.
代入得=.
4．（1），
；
（2）(tanα=时取等号).故的最大值是
5解：（1）由已知
由
（2）由（1）且
所以
第二节 三角函数的图像、性质及其变换
变式与引申1： 答案: D.
解析：，
又.故选D.
变式与引申2：如答图,易知封闭图形的面积是矩形ABCD
面积的一半，而|AD|=4，|AB|=，所以此封闭图形的面积为
×.
变式与引申3：：解：（1）依题意得，周期，
所以，
由对称性知，当时，，
所以，所以，所以．
所以函数的单调减区间是．
（2）由（1），
所以，
令，则，所以，
所以的值域为．
变式与引申4：①定义域： ∵∴的定义域为R；
②奇偶性： ∵，
∴为偶函数；
③周期性： ∵, ∴是周期为的周期函数；
④单调性：当时，= ，
∴当时单调递减；当时，
=，
单调递增；又∵是周期为的偶函数，∴在上单调递增，在上单调递减（）；
⑤值域：∵当时；
当时．∴的值域为；
⑥图像：如答图.
习题2－2
1.答案: C.
解：显然，当时，由已知得，故排除A、D，又因为质点是按逆时针方向转动，随时间的变化质点P到轴的距离先减小，再排除B，即得C．
另解：根据已知条件得，再结合已知得质点P到轴的距离关于时间的函数为，画图得C．
2. 答案:［－1，1］.
解: 设点P（sinx,cosx），Q(－2,0)，则可
看成单位圆上的动点P与点Q连线的斜率，如答图.
设直线是方程为y=k(x+2)，即kx－y+2k=0，则圆心（0，0）
到它的距离,解得或，所以
，即,故，.
或者: k值亦可由求得；
或将式子变为，利用辅助角公式求解（过程略）.
3.解：（1）由题意知 ∴b=c=1－a, ∴f(x)=a+(1－a)sin(2x+).
∵x∈［0, ］, ∴2x+∈［,］.
当1－a＞0时，由a+(1－a)=2－1,解得a=－1;
当1－a＜0时， a+(1－a)·=2－1,无解;
当1－a=0时，a=2－1，相矛盾.
综上可知a=－1. ∴f(x)=－1+2sin(2x+).
(2)∵g(x)=2sin2x是奇函数，将g(x)的图象向左平移个单位，再向下平移一个单位就可以得到f(x)的图象. 因此，将f(x)的图象向右平移个单位，再向上平移一个单位就可以得到奇函数g(x)=2sin2x的图象.故=(，1)是满足条件的一个向量.
4解：（1）由图像知 , ,,又图象经过点（-1，0）
（2）
当即时，的最大值为，当，
即时，最小值为.
5.解：（1）依题设，f(x)=2cos2x+sin2x=1+2sin(2x+).由1+2sin(2x+)=1－，得sin(2 x +)=－.
∵-≤x≤，∴-≤2x+≤，∴2x+= -， 即x= -.
（2）函数f(x)的简图略.
（3）∵，∴ ，
又. ∴.
第三节 平面向量与代数的综合应用
变式与引申1：解：② ；因为①时，所以不一定有，知①错；②，，知，，，故②正确；③非零向量，满足，则三向量、、构成正三角形，由向量加法的平行四边形法则知，平分，与的夹角为30°，③错．
变式与引申2：解：(1)若，则，由此得，因为，所以=；(2)由，得；，当＝1时，取得最大值为＋1，此时.
变式与引申3：解：选D. 依题意得成等差数列，由得；成等比数列，由；，，…，．因为，；故++…+=.
变式与引申4：⑴仿解法二知,而, 所以当时，取最大值1；当时，取最小值-.又≠0 故的取值范围为 .将例题中的略加改动，旧题新掘，出现了意想不到的效果，很好地考查了向量与三角函数综合运用能力.
⑵解：①由已知得, 或解得，或
②具备的性质： (ⅰ)偶函数；
(ⅱ)当即时，取得最小值（写出值域为也可）；
(ⅲ)单调性：在上递减，上递增；由对称性，在上递增，在递减 .
习题2—3
1. 答案：
解析：由题，，
所以
2.
【答案】②③④
【解】①中．当时也成立；②中若，则有；
③中易知夹角，与的夹角为；
④中．
3.解： (1)由题知= HYPERLINK "http://www./" ,所以=，由题知对任意的不为零的实数, 都有,即=恒成立，所以.
（2）由题知0,所以0,即,①当时，；②当时，；所以或；③当时，，所以.
综上, 当时，实数的取值范围是；当时, 实数的取值范围是或；当时, 实数的取值范围是 HYPERLINK "http://www./" .
4.
解：（1）方法一：由题设知，则
所以
故所求的两条对角线的长分别为、。
方法二：设该平行四边形的第四个顶点为D，两条对角线的交点为E，则:
E为B、C的中点，E（0，1）
又E（0，1）为A、D的中点，所以D（1，4）
故所求的两条对角线的长分别为BC=、AD=；
（2）由题设知：=(－2,－1)，。
由()·=0，得：，从而所以.
或者：，.
5.解：（1）由得，所以，，即，；故，；
（2）当，，；故
；则；可以转化为不等式
，欲使对任意的都成立，只须成立即可，当且仅当时等号成立，所以取值范围为.
第四节 平面向量与几何的综合应用
变式与引申1解：选B．方法一：由，知，所以+,即，解得；
方法二：因为，所以,即，所以故，故选B；
2解：选A．由已知得 ①式， ②式， ③式，以上三个式子相加得：，故选A．
变式与引申3： ⑴解：的最小值是.　由及知，点Ｍ与点、共线，所以的最小值是点到直线的距离，在中求解得最小值是．
4解：选B．由已知判断出点C在上，且，设A点坐标为(1，0)，B点的坐标为(0，)，C点的坐标为(x，y)=(，)，，建立方程解出，，所以=3，
变式与引申5： ⑴解：选.如答图，过作于点，
取中点，由题意知==，=
=,即，
又因为=，得
所以的轨迹一定通过的重心.
6解：最小值为.如答图,
≥，等号在，即为的中点时成立．
变式与引申7解：的最大值为，最小值为．
（分析：因为Ｏ为B的中点，所以故可利用向量把
问题转化为求向量的最值）如答图2-6，设圆心为C，由已知可得：
，又由中点公式得
，所以
==
=；又因为 点在圆上,所以且，所以有，，
即， 所以的最大值为，最小值为．
习题2-4
1．选D．非零向量与满足()·=0，即角A的平分线垂直于BC，所以AB=AC，又= ，所以，即∠A=，故△ABC为等边三角形；
2. 选C
【解析】如图，过P作PM∥AC，PN∥AB，因为，
所以N为AC靠近A的五等分点，所以连接CP并延长，交AB于D，
则，故，则的面积与面积之比为.
答图
3．夹角范围为．对函数，根据题意有，即，解得，又夹角，所以与的夹角范围为．
４.
解：（1）方法一：由题设知，则
所以
故所求的两条对角线的长分别为、。
方法二：设该平行四边形的第四个顶点为D，两条对角线的交点为E，则:
E为B、C的中点，E（0，1）
又E（0，1）为A、D的中点，所以D（1，4）
故所求的两条对角线的长分别为BC=、AD=；
（2）由题设知：=(－2,－1)，。
由()·=0，得：，从而所以。
或者：，
5.解（1）
设过F的直线方程为
由 消y得
令 则
所以
所以。 所以共线
（2）椭圆可化为
设 由已知得
所以因为在随圆上
所以
即
由
所以
而 故
图
图
图
图
图
G
图
A
B
C
D
E
F
图
x
C
y
F
E
D
A
B
o
P
A
P
B
Q
G
C
图
B
图
P
A
A
C
B
P
O
图
图
答图
答图
答图
A
H
C
B
答图
A
C
B
P
O
答图
oOOoO
B
P
C
A
x
y
答图
A B
P
C
M
N
D