第四讲 概率与统计(文科)
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第四讲 概率与统计(文)
第一节 概率
在近六年新课程试卷高考中, 概率与统计试题的题量大致为一道解答题和一道客观题，约占全卷总分的12％左右，试题的难度为中等或中等偏易，难度值在0.5～0.8.
考试要求：（1）事件与概率① 了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义，了解频率与概率的区别.② 了解两个互斥事件的概率加法公式.（2）古典概型 ①理解古典概型及其概率计算公式.②会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率.（3）随机数与几何概型①了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率.②了解几何概型的意义.
题型一 古典概率
例1 已知集合 在平面直角坐标系中，点M (,) 的坐标.
（1）求点M不在轴上的概率；（2）求点M正好落在区域上的概率.
点拨: 本题主要考查概率的概念和古典概率的求法以及不等式组表示平面区域的考查.
解. 集合A＝{-2,0,1,3}, 点 M (,) 的坐标，
点M的坐标共有：个，分别是：（-2,-2），（-2,0），（-2,1），（-2,3）；（0,-2），
（0,0），（0,1），（0,3）；（1,-2），（1,0），（1,1），（1,3）；（3,-2），（3,0），（3,1），（3,3）
（1）点M不在轴上的坐标共有12种：（-2,-2），（-2,0），（-2,1），（-2,3）；（1,-2），（1,0），
（1,1），（1,3）；（3,-2），（3,0），（3,1），（3,3）
所以点M不在轴上的概率是.
（2）点M正好落在区域上的坐标共有3种：（1,1），（1,3），（3,1）.
故M正好落在该区域上的概率为
易错点: 事件总数及所求事件个数的计算不准确.
变式与引申1：曲线C的方程为=1，其中m、n是将一枚骰子先后投掷两次所得点数，事件A=｛方程=1表示焦点在x轴上的椭 圆｝，那么= ．
例2 一个袋中有4个大小相同的小球，其中红球1个，白球2个，黑球1个，现从袋中有放回地取球，每次随机取一个，求：
（1）连续取两次都是白球的概率；
（2）若取一个红球记2分，取一个白球记1分，取一个黑球记0 分，连续取三次分数之和为4分的概率．
点拨: 本题主要考查古典概率,注意用列举法计算随机事件所含的基本事件数.
解：（1）设连续取两次的事件总数为：(红,红)，(红,白1)，(红,白2)，(红,黑)，（白1,红），（白1,白1），（白1,白2），（白1,黑）；（白2,红），（白2,白1），（白2,白2），（白2,黑），(黑,红)，
(黑，白1)，(黑，白2)，(黑，黑)，所以．
设事件A：连续取两次都是白球，（白1，白1），（白1，白2），（白2，白1），（白2，白2）共4个，
所以，.
（2）连续取三次的基本事件总数为N：（红，红，红），（红，红，白1），（红，红，白2），（红，红，黑），有4个；（红，白1，红），（红，白1，白1），等等也是4个，如此，个；
设事件B：连续取三次分数之和为4分；因为取一个红球记2分，取一个白球记1分，取一个黑球记0 分，则连续取三次分数之和为4分的有如下基本事件：
（红，白1，白1），（红，白1，白2），（红，白2，白1），（红，白2，白2），（白1，红，白1），
（白1，红，白2），（白2，红，白1），（白2，红，白2），（白1，白1，红），（白1，白2，红），
（白2，白1，红），（白2，白2，红），（红，红，黑），（红，黑，红），（黑，红，红），
共15个基本事件, 所以，．
易错点: 事件总数及所求事件个数的计算不准确.
变式与引申2： 111先后随机投掷 2枚正方体骰子，其中 表示第枚骰子出现的点数，表示第枚骰子出现的点数．
⑴求点在直线上的概率； ⑵求点满足的概率．
例3 某商场举行抽奖活动，从装有编号为0,1，2，3四个小球的抽奖箱中同时抽出两个小球，两个小球号码相加之和等于5中一等奖，等于4中二等奖，等于3中三等奖.则
（1）中三等奖的概率＝ ； （2）中奖的概率＝ .
点拨: 本题主要考查古典概率和互斥事件有一个发生的概率.
解：两个小球号码相加之和等于3中三等奖，两个小球号码相加之和不小于3中奖，
设“中三等奖”的事件为A，“中奖”的事件为B,从四个小球任选两个共有
(0,1),(0,2),(0,3),(1,2),(1,3),(2,3)六种不同的方法.
（1）两个小球号码相加之和等于3的取法有2种：、，
故中三等奖的概率.
（2）方法一: 两个小球号码相加之和等于3的取法有2种：、；
两个小球号码相加之和等于4的取法有1种：；
两个小球号码相加之和等于2的取法有1种：；
故中奖的概率.
方法二: 两个小球号码相加之和等于1的取法有1种：；
两个小球号码相加之和等于2的取法有1种：；
故中奖的概率.
易错点: 对中奖的情况考虑不清.
变式与引申3：
甲、乙两校各有3名教师报名支教，其中甲校2男1女，乙校1男2女．
（I）若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师性别相同的概率；
（II）若从报名的6名教师中任选2名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师来自同一学校的概率．
题型二 几何概率
例4 在区间上随机取一个数，的值介于0到之间的概率为( ).
A. B. C. D.
点拨 : 本题考查了三角函数的值域和几何概型长度型问题, 由自变量的取值范围,得到函数值的范围,再由长度型几何概型求得.
解: 在区间 上随机取一个数, 即时, 要使的值介于0到之间, 需使或， 区间长度为，由几何概型知的值介于0到之间的概率为 故选A.
易错点: 的值介于0到之间时, 值的计算.
变式与引申4： 取一根5米长的绳子，拉直后随机在某一位置剪断，剪得的2段长都不小于2米的概率为 .
例5 已知函数， 若 都是从区间[0,4]任取的一个数，则的概率是
点拨 : 本题考查了几何概型面积型问题,
解: 此题为几何概型，分母为正方形的面积16，分子为三角形的面积=
∴所求的概率=
易错点: 不知道所表示的含义.
变式与引申5： 设有关于的一元二次方程．
（1）若是从0,1,2,3四个数中任取的一个数，是从0,1,2三个数中任取的一个数，则上述方程有实根的概率 ．
（2）若是从区间任取的一个数，是从区间任取的一个数，则上述方程有实根的概率 ．
变式与引申6. 已知，，
若向区域上随机投1个点，求这个点落入区域的概率= ．
本节主要考查: (1)古典概型及其概率计算公式; (2) 几何概型的意义及其计算公式; (3)互斥事件的概率加法公式计算一些事件的概率.
点评：（1）古典概型应注意用列举法计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率；（2）几何概型应注意题目中求的是相应的长度比，还是面积比，体积比；
习题4-1
1. 在一个袋子中装有标注数字1、2、3、4、5的五个小球，这些小球除标注数字外完全相
同， 现从中随机取2个小球，则取出的小球标注的数字之和为3或6的概率是（ ）
A． B． C． D．
2. 有五根细木棒，长度分别为1，3，5，7，9（cm），从中任取三根，能搭成三角形的概率是（ ）
A． B． C． D．
3．连掷两次骰子得到的点数分别为和，记向量与向量的夹角为，则的概率是（ ）
A . B. C. D.
4.甲从正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线，乙从该正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线，则所得的两条直线相互垂直的概率是( )
A . B. C. D.
5. 在集合中任取一个元素，所取元素恰好满足方程的概率
是
6. 有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则
这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为 _ __
7. 向面积为S的△ABC内任投一点P，则△PBC的面积小于的概率为________．
8. 将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，求：
（1）两数之和为5的概率；
（2）两数中至少有一个奇数的概率；
（3）以第一次向上点数为横坐标x，第二次向上的点数为纵坐标y的点(x,y)在圆x2+y2=15的内部的概率．
9. 已知直线：，直线：，其中，．
（1）求直线的概率；改为：求直线与没有交点的概率；
（2）求直线与的交点位于第一象限的概率．
第二节 统计、统计案例
统计与统计案例是高中数学的重要学习内容，它是一种处理问题的方法，在工农业生产和社会生活中有着广泛的应用，渗透到社会的方方面面，统计的基础知识成为每个公民的必备常识． 由于中学数学中所学习统计与统计案例内容是基础的，高考对这一部分内容的考查注重考查基础知识和基本方法．该部分在高考试卷中，一般是2—3个小题或一个解答题，难度值在0.5～0.8.
考试要求：统计：（1）随机抽样：① 理解随机抽样的必要性和重要性.② 会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本；了解分层抽样和系统抽样方法.（2）：用样本估计总体① 了解分布的意义和作用，会列频率分布表，会画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图，理解它们各自的特点.② 理解样本数据标准差的意义和作用，会计算数据标准差.③ 能从样本数据中提取基本的数字特征（如平均数、标准差），并给出合理的解释.④ 会用样本的频率分布估计总体分布，会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征，理解用样本估计总体的思想.⑤ 会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想解决一些简单的实际问题.（3）变量的相关性：① 会作两个有关联变量的数据的散点图，会利用散点图认识变量间的相关关系.② 了解最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程.
统计案例：了解下列一些常见的统计方法，并能应用这些方法解决一些实际问题.（1）独立性检验了解独立性检验（只要求2×2列联表）的基本思想、方法及其简单应用.（2）回归分析：了解回归的基本思想、方法及其简单应用.
题型一 抽样方法
例1（1）某高校甲、乙、丙、丁四个专业分别有150、150、400、300名学生，为了解学生的就业倾向，用分层抽样的方法从该校这四个专业共抽取40名学生进行调查，应在丙专业抽取的学生人数为 ．
（2）利用简单随机抽样的方法，从n个个体（n＞13）中抽取13个个体，依次抽取，若第二次抽取后，余下的每个个体被抽取的概率为，则在整个抽样过程中，每个个体被抽取的概率为
点拨: （1）在分层抽样中应注意总体中各个层次人数的比例，在样本中应保持比例不变（2）简单随机抽样过程中，每一次的抽取，剩下的个体被抽到的概率都是一样的，所以应先求n．
解：（1）总体甲:乙:丙:丁=3:3:8:6，所以样本中丙专业抽取的学生人数=
由题意得：解得，
∴在整个抽样过程中，每个个体被抽取的概率为．
易错点:（1） 把样本中的各层次的比例算错.（2）误认为在简单随机抽样的每一次抽取中个体被抽到的概率不同导致错误．
变式与引申1:某公司生产三种型号的轿车，产量分别为1200辆，6000辆和2000辆．为检验该公司的产品质量，现用分层抽样的方法抽取46辆进行检验，这三种型号的轿车依次应抽取 ____，
____， ____辆．
变式与引申2：经问卷调查，某班学生对摄影分别执“喜欢”、“不喜欢”和“一般”三种态度，其中执“一般”态度的比“不喜欢”态度的多12人，按分层抽样方法从全班选出部分学生座谈摄影，如果选出的5位“喜欢”摄影的同学、1位“不喜欢”摄影的同学和3位执“一般”态度的同学，那么全班学生中“喜欢”摄影的比全班人数的一半还多 人．
题型二 统计图表问题
例2 从一条生产线上每隔30分钟取一件产品，共取了n件，测得其产品尺寸后，画得其频率直方图如下.尺寸在［15,45)内的频数为46.
(1)求n的值；
(2)求尺寸在［20,25)内产品的个数.
点拨:用样本频率分布去估计总体分布．
解：(1)由题意得，尺寸在［10,15)内的 概率
是5×0.016=0.08.所以尺寸在［15,45)内的概率
为1－0.08=0.92.由=0.92,∴n=50.
(2)尺寸在［20,25)内的概率是0.04×5=0.2. 故在该区间内产品的个数是50×0.2=10(个)
易错点:在直方图中频率每一个长方形的面积，而不是其高度．
变式与引申3: ⑴有一个容量为100的样本，数据的分组及各组的频数如下：
［12.5，15.5］，6；［15.5，18.5］，16；［18.5，21.5］，18；［21.5，24.5］，22；
［24.5，27.5），20；［27.5，30.5），10；［30.5，33.5），8.
①列出样本的频率分布表；②画出频率分布直方图；③估计数据小于30.5的概率
题型三 平均数、标准差（方差）的计算问题
例3一次歌手大奖赛上，七位评委为歌手打出的分数如下：
9.4 8.4 9.4 9.9 9.6 9.4 9.7
去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值和方差分别为( ）
A．9.4，0.484 B．9.4，0.016 C．9.5，0.04 D．9.5，0.016
点拨:本题考查平均数与方差的计算公式；
解：，
答案：D
易错点:没理解记忆,公式记错.
变式与引申4: 是的平均数，是的平均数，是的平均数，则，，之间的关系为 ．
变式与引申5：某人5次上班途中所花时间（单位：分钟）分别为、、10、11、9．已知这组数据的平均数为10，方差为2，则的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
题型四 线性回归分析
例4下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量（吨）与相应的生产能耗（吨标准煤）的几组对照数据:
3 4 5 6
2.5 3 4 4.5
（1）请画出上表数据的散点图；
（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出ｙ关于ｘ的线性
回归方程；
（3）已知该厂技术改造前吨甲产品能耗为吨标准煤；试根据（2）求出的线性回归方程，预测生产吨甲产品的生产能耗比技术改造前降低多少吨标准煤？
点拨：本题中散点图好作，本题的关键是求关于的线性回归方程，它既可以由给出的回归系数公式直接计算，也可以遵循着最小二乘法的基本思想――即所求的直线应使残差平方和最小，用求二元函数最值的方法解决．
解：（1）散点图如图；
（2）方法一：设线性回归方程为，则
∴时， 取得最小值，
,即，∴时,
取得最小值．所以线性回归方程为．
方法二：由系数公式可知，
，所以线性回归方程为．
（3）时，，所以预测生产吨甲产品的生产能耗比技术改造前降低吨标准煤．
易错点:本题容易用错计算回归系数的公式，或是把回归系数和回归常数弄颠倒了．
变式与引申6: 为了分析某个高三学生的学习状态，对其下一阶段的学习提供指导性建议．现对他前次考试的数学成绩、物理成绩进行分析．下面是该生次考试的成绩．
数学 888 883 1117 992 1108 1100 1112
物理 994 991 1108 996 1104 1101 1106
（1）他的数学成绩与物理成绩哪个更稳定？请给出你的证明；
（2）已知该生的物理成绩与数学成绩是线性相关的，若该生的物理成绩达到分，请你估计他的数学成绩大约是多少？并请你根据物理成绩与数学成绩的相关性，给出该生在学习数学、物理上的合理建议．
本节主要考查：（1）三种抽样方法；总体分布的估计；线性回归等．（2）解答概率统计试题时要注意分类与整合、化归与转化思想的运用．
点评：（1）简单随机抽样方法应注意抽样的公平性，分层抽样应注意每个层次个体的比值；（2）用样本频率分布去估计总体分布；用样本的某种数学特征去估计总体相应数学特征．解题途径：应用所掌握的基础知识进行计算.（3）进行总体平均数的估计与总体方差的估计. 解题途径：利用样本的平均数与方差分别作为总体的期望值和方差的估计.（4）线性回归分析．解题途径：先作出散点图，再根据公式确定回归方程中的参数，并可以根据求出的方程做预测或给出建议．
习题4-2
1. 某公司甲、乙、丙、丁四个地区分别有150 个、120个、180个、150个销售点．公司为了调查产品销售的情况，需从这600个销售点中抽取一个容量为100的样本，记这项调查为①；在丙地区中有20个特大型销售点，要从中抽取7个调查其收入和售后服务等情况，记这项调查为②．则完成①、②这两项调查宜采用的抽样方法依次是（ ）
A．分层抽样法，系统抽样法 B．分层抽样法，简单随机抽样法
C．系统抽样法，分层抽样法 D．简单随机抽样法，分层抽样法
2.某校有老师200人，男学生1200人，女学生1000人.现用分层抽样的方法从所有师生中抽取一个容量为的样本；已知从女学生中抽取的人数为80人，则= .
3. 某工厂对一批产品进行了抽样检测.右图4-2-3是根据抽样检测后的
产品净重（单位：克）数据绘制的频率分布直方图，其中产品
净重的范围是[96，106]，样本数据分组为[96，98），[98，100),
[100，102)，[102，104),[104，106],已知样本中产品净重小于
100克的个数是36，则样本中净重大于或等于98克并且
小于104克的产品的个数是 .
4.（2011年高考北京卷。文）以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵树.乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X表示.
（1）如果X=8，求乙组同学植树棵树的平均数和方差；
（2）如果X=9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵数为19的概率.
（注：方差其中为的平均数）
5. 假设关于某设备使用年限x（年）和所支出的维修费用y（万元）有如下统计资料：
2 3 4 5 6
2.2 3.8 5.5 6.5 7.0
若由资料知，y对x呈线性相关关系，试求：
（1）回归直线方程；
（2）估计使用年限为10年时，维修费用约是多少？
第三节 概率与统计的综合应用
近几年高考中，概率与统计的应用题多出现在解答题中，难度以中档和中档偏易为多，难度值在0.5～0.8.命题形式以学生生活实践为背景材料进行考查.
考试要求：（1）以大纲为准则，考查相关概率在实际问题中的应用；（2）理解各种统计方法；（3）会分析样本数据，并会求数据的特征数字（如平均数、标准差）；（4）会用正确的算法求解概率统计和其他数学知识的交汇（如三角函数、框图、算法、几何等）问题.
题型一 随机抽样方法及其应用
例1 （1）用系统抽样方法从160名学生中抽取容量为20的样本，将160名学生从1—160编号，按编号顺序平均分成20组（1—8号，9—16号，…，153—160号），若第16组抽出的号码是126，则第1组用抽签方法确定的号码是 .
点拨：本题考查随机抽样的系统抽样.三种抽样方法均为等概率抽样，系统抽样是按简单随机抽样抽取第一个样本，再按相同的间隔抽取其他样本，即抽取号码成等差数列.公式为为间隔长，为组数，为第一个样本号.
解：
易错点：式中的第几组的组号应减“1”.
变式与引申1：⑴某单位200名职工的年龄分布情况
如图所示，现要从中抽取40名职工作样本，用系统抽样法，将全
体职工随机按1－200编号，并按编号顺序平均分
为40组（1－5号，6－10号，…，196－200号）.
若第5组抽出的号码为22，则第8组抽出的号码应是 .若用分层抽样方法，则40岁以下年龄段应抽取 人.
⑵从2004名学生中选取50名组成参观团，若采用下面的方法选取：先用简单随机抽样从2004人中剔除4人，剩下的2000人再按系统抽样的方法进行，则每人入选的概率（ ）
A. 不全相等 B. 均不相等 C. 都相等且为 D. 都相等且为
题型二 分析样本数据，并求数据的特征数字（如平均数，标准差）
例2 为了解某校高三学生的视力情况，随机地抽查了该校100名
高三学生的视力情况，得到频率直方图如图所示，由于
不慎将部分数据丢失，但知道前4组的频数成等比数列，后6组
的频数成等差数列，设最大频率为，视力在4.6到5.0之间的
学生数为，求的值.
点拨：（1）此题数据是以图形给出，注意观察图中数据及变化
情况；（2）看清图中横、纵坐标的实际意义；（3）结合等差与等比
数列知识，本题有一定的综合性.
解：组距=0.1，~的频数，~的频数.
前4组频数成等比数列，~的频数，~的频数.
又后6组频数成等差数列，设公差为，，
，从而~的频数. .
易错点：要注意1频数=样本容量；2区别频数与频率，审清题意.
变式与引申2：如图，样本A和B分别取自两个不同的总体，它们的样本平均数分别为,样本标准差
分别为,则（ ）.
A. B.
C. D.
题型三 概率与统计和其他数学知识交汇（如三角函数、框图算法、几何等）
例3 如下图是某公司金融危机时员工的月工资条形统计图，从左到右的各条形表示的员工人数依次记为（如表示工资为内的人数，（单位：元））.
图是统计图中工资在一定范围内员工人数的一个算法流程图。现要
统计月工资在元（含元，不含元）的员工人数，
那么在流程图中
的判断框内应填
写的条件是（ ）
A.
B.
C.
D.
点拨：（1）
要认真读题，明
确每个变量表示
的实际意义；（2）
可以把选项逐一
放入判断框理解.
解：现要统计的是月工资在元之间的员工人数，即是要计算的和，所以流程图中空白框应是，当时就会返回进行叠加运算，当将数据直接输出，不再进行任何的返回叠加运算，此时已把数据叠加起来送到中输出，故选B.
易错点：本题在统计中的条形图与算法流程图的交汇处命题，有一定的综合性，若不认真读图和审题容易出错.
变式与引申3：某班班主任为了解班上女生的月消费情况，
随机抽查了5名本班女生，她们近两周的消费金额如下表所示：
女 生 1 2 3 4 5
消费金额
图是统计该5名女生近两周消费金额总数的程序框图，则
判断框中应填 , .
题型四 线性回归方程与相关系数实际应用
例4某地户家庭的年收入和年饮食支出的统计资料如下表：
年收入（万元）
年饮食支出（万元）
（1）根据表中数据，确定家庭的年收入和年饮食支出的相关关系；
（2）如果某家庭年收入为万元，预测其年饮食支出．
点拨：通过所给数据，判断变量间的线性关系；若线性相关，用最小二乘思想求出线性回归方程.
解：（1）由题意知，年收入为解释变量，年饮食支出为预报变量，作散点图（如图所示）．
从图中可以看出，样本点呈条状分布，年收入和年饮食支出有比较好的
线性相关关系，因此可以用线性回归方程刻画它们之间的关系．
，，，，，
，．
从而得到回归直线方程为．
（2）万元．
易错点：此题对计算能力的要求较高，若计算不慎，失分很严重.
变式与引申4：（1）（2011年高考山东卷。文）某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表
广告费用x（万元） 4 2 3 5
销售额y（万元） 49 26 39 54
根据上表可得回归方程中的为9．4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为
A．63．6万元 B．65．5万元 C．67．7万元 D．72．0万元
（2）某企业上半年产品的产量与单位成本资料如下：
月 份 1 2 3 4
产量（千件） 2 3 4 3
单位成本（元） 73 72 71 73
① 求线性回归方程；
② 指出产量每增加1000件时，单位成本平均变动多少？
③ 假定产量为6000件时，单位成本为多少元？
本节主要考查：（1）用简单随机抽样方法从总体中抽取样本，了解分层抽样和系统抽样方法及其应用；考查在应用问题中构造抽样模型，识别模型，收集数据等能力和方法.（2）用样本估计总体是统计学的基本思想，以考查频率分布直方图、茎叶图、平均数、方差、标准差为主，用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想解决一些简单的实际问题，了解一些基本的统计思想.（3）作两个相关变量数据的散点图，判断两个变量的线性相关性，了解最小二乘法的思想，会求给出公式下的相关系数及线性回归方程；考查看图、作图和运算求解等基本数学能力.（4）利用古典概型解决统计中的某些问题.
点评：（1）概率与统计中的部分内容是实施新课标后新增内容，也是高考考点之一.主要考查随机抽样方法的应用（如例1），数据的数字特征（如例2，习题2、3），概率统计与其他知识（算法、不等式）综合应用（如例3，习题5）相关系数与线性回归及独立性检验（如例4）.（2）在随机抽样中，简单随机抽样、系统抽样和分层抽样都是等概率抽样，但这三种方法适用范围各不相同，简单随机抽样适用于总体个数较少的，系统抽样适用于总体个数较多的，而分层抽样适用于总体由差异比较明显的几部分组成的.（3）平均数反映了数据取值的平均水平；标准差、方差描述了一组数据围绕平均数的波动的大小，标准差、方差越大，数据的分散程度越大，越不稳定；标准差、方差越小，数据的分散程度越小，越稳定.（4）求回归方程时，先判定变量的相关性，若变量不线性相关，求出回归方程也毫无意义.（5）概率与统计实际应用中，很多数据都是图、表的形式给出的，背景有考生共有的生活气息.题目篇幅长，要善于看图、作图、理解图所传递的信息，对数据的精确处理要求有较强的计算能力.
习题4-3
1．某中学有高一学生400人，高二学生302人，高三学生250人，现在按年级分层抽样方法从所有学生中抽取一个容量为190人得到样本，应该剔除 人，每个年级依次应抽取 人.
丙的成绩
环数 7 8 9 10
频数 4 6 6 4
甲的成绩
环数 7 8 9 10
频数 5 5 5 5
2．甲、乙、丙三名射箭运动员在某次测试中各射箭20次，三人的测试成绩如下表：
乙的成绩
环数 7 8 9 10
频数 6 4 4 6
分别表示甲、乙、丙三名运动员这次测试成绩的标准差，则有（ ）
A. B. C. D.
3．若这20个数据的平均数为方差为0.20，则数据，这21个数据的方差是 .
4．某中学高一（2）班甲、乙两名同学自高中以来每场数学考试成绩情况如下：
甲的得分：95,81,75,91,86,89,71,65,76,88,94,110,107；
乙的得分：83,86,93,99,88,103,98,114,98,79,101.
（Ⅰ）完成所附的茎叶图；
（Ⅱ）用茎叶图处理现有的数据，有什么优点？
（Ⅲ）通过观察茎叶图，对两人的成绩进行比较，写出统计结论.
5．有甲乙两个班级进行数学考试，按照大于等于85分为优秀，85分以下为非优秀统计成绩后，得到如下列联表，已知在全部105人中随机抽取，抽到1人为优秀的概率为.
优秀 非优秀 总计
甲班 10
乙班 30
合计 105
① 请完成上面的2×2列联表；
② 根据2×2列联表的数据，若按95%的可靠性要求，能否认为“成绩与班级有关系”？
③ 若按下面的方法从甲班优秀的学生抽取1人：把甲班优秀的10名学生从2到11进行编号，先后两次抛掷一枚均匀的骰子，出现的点数之和为被抽取的序号。试求抽到6或10号的概率.
第四讲 概率与统计(文)参考答案
第一节 概率
变式与引申1 解：试验中所含基本事件个数为36；若想表示椭圆则前后两次的骰子点数不能相同，则去掉6种可能，既然椭圆焦点在x轴上，则，又只剩下一半情况，即15种，因此．
变式与引申2 解：（1）每颗骰子出现的点数都有种情况， 所以基本事件总数为个.
记“点在直线上”为事件，有5个基本事件：
，
（2）记“点满足”为事件，则事件有个基本事件:
当时，当时，；
当时，；当时，
当时，；当时，．
变式与引申3：
解：（I）甲校两男教师分别用A、B表示，女教师用C表示；
乙校男教师用D表示，两女教师分别用E、F表示
从甲校和乙校报名的教师中各任选1名的所有可能的结果为：
（A，D）（A，E），（A，F），（B，D），（B，E），（B，F），（C，D），（C，E），（C，F）共9种。
从中选出两名教师性别相同的结果有：（A，D），（B，D），（C，E），（C，F）共4种，
选出的两名教师性别相同的概率为
（II）从甲校和乙校报名的教师中任选2名的所有可能的结果为：
（A，B），（A，C），（A，D），（A，E），（A，F），（B，C），（B，D），（B，E），（B，F），
（C，D），（C，E），（C，F），（D，E），（D，F），（E，F）共15种，
从中选出两名教师来自同一学校的结果有：
（A，B），（A，C），（B，C），（D，E），（D，F），（E，F）共6种，
选出的两名教师来自同一学校的概率为
变式与引申4： 解:几何概型长度型问题 答案：
变式与引申5：
1. 解：设事件为“方程有实根”．
当，时，方程有实根的充要条件为．
（1）基本事件共12个：
．
其中第一个数表示的取值，第二个数表示的取值．
事件中包含9个基本事件，所以事件发生的概率为．
（2）试验的全部结果所构成的区域为．
构成事件的区域为．
所以所求的概率为
变式与引申6： 解: 几何概型面积型问题 答案：
习题4-1
选D. 随机取2个小球，基本事件有（1,2）、（1,3）、（1,4）、（1,5）、（2,3）、（2,4）、（2,5）、（3,4）、（3,5）、（4,5）；取出的小球标注的数字之和为3或6的事件有（1,2）、（1,5）、（2,4)
∴取出的小球标注的数字之和为3或6的概率为.
2. 选D.注意到构成三角形的充要条件是两棒之和大于最长棒的长度，只有（3，5，7），（3，7，9），（5，7，9）三种情况，故概率为．
3. 选C.解： 由向量夹角的定义，图形直观可得，当点位于直线上及其下方时，
满足，点的总个数为个，而位于直线上及其下方
的点有个，故所求概率，
4. 答案 C.解:正方形四个顶点可以确定6条直线，甲乙各自任选一条共有36个基本事件。两条直线相互垂直的情况有5种（4组邻边和对角线）包括10个基本事件，所以概率等于.
5. 答案 考查古典概型知识
6. 考查古典概型知识,
7. 答案 解析：∵S△PBC8.解: 将一颗骰子先后抛掷2次，此问题中含有36个等可能基本事件
（1）记“两数之和为5”为事件A，则事件A中含有4个基本事件，
所以P（A）=； 答：两数之和为5的概率为．
（2）记“两数中至少有一个奇数”为事件B，则事件B与“两数均为偶数”为对立事件，
所以P（B）=； 答：两数中至少有一个奇数的概率．
（3）基本事件总数为36，点（x，y）在圆x2+y2=15的内部记为事件C，则C包含8个事件，
所以P（C）=．
答：点(x,y)在圆x2+y2=15的内部的概率．
9．（本小题主要考查概率、解方程与解不等式等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及运算求解能力）
，的总事件数为，，…，，，，…，，…，，共36种．
满足条件的实数对有、、、、、共六种．
所以． 答：直线与的交点位于第一象限的概率为．
第二节 统计、统计案例
变式与引申1：解：⑴三种型号的汽车数量比为3:15:5，所以样本中三种汽车数量为 6,30,10．
变式与引申2：解：“喜欢”：“一般”：“不喜欢”=5:3:1，
∴令全班总人数为，则，解得
∴“喜欢”的人数=人，比27多 3人．
答案：3
变式与引申3：
⑴①解：⑴样本的频率分布表如下：
分 组 频 数 频 率
12.5～15.5 6 0.06
15.5～18.5 16 0.16
18.5～21.5 18 0.18
21.5～24.5 22 0.22
24.5～27.5 20 0.20
27.5～30.5 10 0.10
30.5～33.5 8 0.08
合 计 100 1.00
②频率分布直方图如图.
③数据小于30.5的概率约为0.92.
变式与引申4：⑴；
变式与引申5：解：由题意得：,∴,
∴,∴ 选D
变式与引申6：
分析：成绩的稳定性用样本数据的方差判断，由物理成绩估计数学成绩由回归直线方程解决．
解：（1）；
；
，，
从而，所以物理成绩更稳定．
（2）由于与之间具有线性相关关系，根据回归系数公式得到
，
线性回归方程为．当时，．
建议：进一步加强对数学的学习，提高数学成绩的稳定性，将有助于物理成绩的进一步 提高．
习题4-2
1.B 冲根据抽样的特点进行选择不同的抽样方法
2.解：
3. 90
解：产品净重小于100克的概率为(0.050+0.100)×2=0.300,
已知样本中产品净重小于100克的个数是36,设样本容量为,
则,所以,净重大于或等于98克并且小于
104克的产品的概率为(0.100+0.150+0.125)×2=0.75,所以样本
中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是
120×0.75=90.
4.解：（1）当X=8时，由茎叶图可知，乙组同学的植树棵数是：8，8，9，10，
所以平均数为
方差为
（Ⅱ）记甲组四名同学为A1，A2，A3，A4，他们植树的棵数依次为9，9，11，11；乙组四名同学为B1，B2，B3，B4，他们植树的棵数依次为9，8，9，10，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，所有可能的结果有16个，它们是：
（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A1，B4），
（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3），（A2，B4），
（A3，B1），（A2，B2），（A3，B3），（A1，B4），
（A4，B1），（A4，B2），（A4，B3），（A4，B4），
用C表示：“选出的两名同学的植树总棵数为19”这一事件，则C中的结果有4个，它们是：（A1，B4），（A2，B4），（A3，B2），（A4，B2），故所求概率为
5. 解: （1）依题列表如下：
1 2 3 4 5
2 3 4 5 6
2.2 3.8 5.5 6.5 7.0
4.4 11.4 22.0 32.5 42.0
……4分
．．……6分
回归直线方程为．……8分
（2）当时，万元．即估计用10年时,维修费约为12.38万元．……12分
第三节 概率与统计的综合应用问题
变式与引申1：（1） 解：37,20.抽样比=样本容量/总体容量.
（2） 解：C.总体中每个个体被剔除的机会均等，也就是每个个体不被剔除的机会均等，即在整个抽样中，每个个体被抽取的机会仍然相等.
变式与引申2： 解：B. 法一：观察法. A图中数据波动较大，而B图中数据变化平稳、波动小，故.
又因A中数据均小于等于10，B中数据不小于10，所以.
法二：直接法.（略）
变式与引申3： 解：
变式与引申4： 解：（1）B. ，把故选B.
（2）①
又
②每增加1000件时，单位成本减少1元.
③单位成本为69.25元.
习题4-3
1. 2，80,60,50.
2. B. 解：观察法.丙的环数集中在8环和9环，较稳定，而乙的集中在7环和10环，不稳定，甲的7、8、9、10环的次数各均等，故.
3. ，解：依题意有
,
即，的平均数也是
这21个数据的方差
4. 解：（Ⅰ）茎叶图如右图所示：
（Ⅱ）用茎叶图处理现有的数据不仅可以看出数据的分布状况，而且可以看出每组中的具体数据.
（Ⅲ）通过观察茎叶图，甲的成绩主要集中在分，乙的成绩主要集中在分，乙的成绩相对较好。
5.解析：①由知，105人中共有 30人优秀，即得下表：
优秀 非优秀 总计
甲班 10 45 55
乙班 20 30 50
合计 30 75 105
②根据列联表中的数据，得到，所以有95%的把握认为“成绩与班级有关系” .
③设“抽到6或10号”为事件A，先后两次抛掷一枚均匀的骰子，出现的点数为，所有的基本事件有共36个.事件A包含的基本事件有：共8个，
产品尺寸
图
图4-2-2
96 98 100 102 104 106
0.150
0.125
0.100
0.075
0.050
克
频率/组距
图 4-2-3
50%
20%
30%
40—50岁
40岁以下
50岁以上
图
视力
0.3
0.1
图
EMBED
on.DSMT4
EMBED Equatio
550
500
450
400
350
3
0
250
200
150
100
50
n.3
EMBED Equation.DSMT4
图
2450 2500 2550 2600 2650 2700 2750 2800 2850 2900 2950
人数/人
工资/元
600
550
500
450
400
350
300
250
200
150
100
50
图
图
图
输入,,,
否
是
开始
图
输入,,,
否
是
开始
答图
乙
甲
9
3 6 8
3 8 8 9
1
6
7
8
9
10
11
5
1 5 6
1 6 8 9
1 4 5
7
0
第一节 概率
在近六年新课程试卷高考中, 概率与统计试题的题量大致为一道解答题和一道客观题，约占全卷总分的12％左右，试题的难度为中等或中等偏易，难度值在0.5～0.8.
考试要求：（1）事件与概率① 了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义，了解频率与概率的区别.② 了解两个互斥事件的概率加法公式.（2）古典概型 ①理解古典概型及其概率计算公式.②会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率.（3）随机数与几何概型①了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率.②了解几何概型的意义.
题型一 古典概率
例1 已知集合 在平面直角坐标系中，点M (,) 的坐标.
（1）求点M不在轴上的概率；（2）求点M正好落在区域上的概率.
点拨: 本题主要考查概率的概念和古典概率的求法以及不等式组表示平面区域的考查.
解. 集合A＝{-2,0,1,3}, 点 M (,) 的坐标，
点M的坐标共有：个，分别是：（-2,-2），（-2,0），（-2,1），（-2,3）；（0,-2），
（0,0），（0,1），（0,3）；（1,-2），（1,0），（1,1），（1,3）；（3,-2），（3,0），（3,1），（3,3）
（1）点M不在轴上的坐标共有12种：（-2,-2），（-2,0），（-2,1），（-2,3）；（1,-2），（1,0），
（1,1），（1,3）；（3,-2），（3,0），（3,1），（3,3）
所以点M不在轴上的概率是.
（2）点M正好落在区域上的坐标共有3种：（1,1），（1,3），（3,1）.
故M正好落在该区域上的概率为
易错点: 事件总数及所求事件个数的计算不准确.
变式与引申1：曲线C的方程为=1，其中m、n是将一枚骰子先后投掷两次所得点数，事件A=｛方程=1表示焦点在x轴上的椭 圆｝，那么= ．
例2 一个袋中有4个大小相同的小球，其中红球1个，白球2个，黑球1个，现从袋中有放回地取球，每次随机取一个，求：
（1）连续取两次都是白球的概率；
（2）若取一个红球记2分，取一个白球记1分，取一个黑球记0 分，连续取三次分数之和为4分的概率．
点拨: 本题主要考查古典概率,注意用列举法计算随机事件所含的基本事件数.
解：（1）设连续取两次的事件总数为：(红,红)，(红,白1)，(红,白2)，(红,黑)，（白1,红），（白1,白1），（白1,白2），（白1,黑）；（白2,红），（白2,白1），（白2,白2），（白2,黑），(黑,红)，
(黑，白1)，(黑，白2)，(黑，黑)，所以．
设事件A：连续取两次都是白球，（白1，白1），（白1，白2），（白2，白1），（白2，白2）共4个，
所以，.
（2）连续取三次的基本事件总数为N：（红，红，红），（红，红，白1），（红，红，白2），（红，红，黑），有4个；（红，白1，红），（红，白1，白1），等等也是4个，如此，个；
设事件B：连续取三次分数之和为4分；因为取一个红球记2分，取一个白球记1分，取一个黑球记0 分，则连续取三次分数之和为4分的有如下基本事件：
（红，白1，白1），（红，白1，白2），（红，白2，白1），（红，白2，白2），（白1，红，白1），
（白1，红，白2），（白2，红，白1），（白2，红，白2），（白1，白1，红），（白1，白2，红），
（白2，白1，红），（白2，白2，红），（红，红，黑），（红，黑，红），（黑，红，红），
共15个基本事件, 所以，．
易错点: 事件总数及所求事件个数的计算不准确.
变式与引申2： 111先后随机投掷 2枚正方体骰子，其中 表示第枚骰子出现的点数，表示第枚骰子出现的点数．
⑴求点在直线上的概率； ⑵求点满足的概率．
例3 某商场举行抽奖活动，从装有编号为0,1，2，3四个小球的抽奖箱中同时抽出两个小球，两个小球号码相加之和等于5中一等奖，等于4中二等奖，等于3中三等奖.则
（1）中三等奖的概率＝ ； （2）中奖的概率＝ .
点拨: 本题主要考查古典概率和互斥事件有一个发生的概率.
解：两个小球号码相加之和等于3中三等奖，两个小球号码相加之和不小于3中奖，
设“中三等奖”的事件为A，“中奖”的事件为B,从四个小球任选两个共有
(0,1),(0,2),(0,3),(1,2),(1,3),(2,3)六种不同的方法.
（1）两个小球号码相加之和等于3的取法有2种：、，
故中三等奖的概率.
（2）方法一: 两个小球号码相加之和等于3的取法有2种：、；
两个小球号码相加之和等于4的取法有1种：；
两个小球号码相加之和等于2的取法有1种：；
故中奖的概率.
方法二: 两个小球号码相加之和等于1的取法有1种：；
两个小球号码相加之和等于2的取法有1种：；
故中奖的概率.
易错点: 对中奖的情况考虑不清.
变式与引申3：
甲、乙两校各有3名教师报名支教，其中甲校2男1女，乙校1男2女．
（I）若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师性别相同的概率；
（II）若从报名的6名教师中任选2名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师来自同一学校的概率．
题型二 几何概率
例4 在区间上随机取一个数，的值介于0到之间的概率为( ).
A. B. C. D.
点拨 : 本题考查了三角函数的值域和几何概型长度型问题, 由自变量的取值范围,得到函数值的范围,再由长度型几何概型求得.
解: 在区间 上随机取一个数, 即时, 要使的值介于0到之间, 需使或， 区间长度为，由几何概型知的值介于0到之间的概率为 故选A.
易错点: 的值介于0到之间时, 值的计算.
变式与引申4： 取一根5米长的绳子，拉直后随机在某一位置剪断，剪得的2段长都不小于2米的概率为 .
例5 已知函数， 若 都是从区间[0,4]任取的一个数，则的概率是
点拨 : 本题考查了几何概型面积型问题,
解: 此题为几何概型，分母为正方形的面积16，分子为三角形的面积=
∴所求的概率=
易错点: 不知道所表示的含义.
变式与引申5： 设有关于的一元二次方程．
（1）若是从0,1,2,3四个数中任取的一个数，是从0,1,2三个数中任取的一个数，则上述方程有实根的概率 ．
（2）若是从区间任取的一个数，是从区间任取的一个数，则上述方程有实根的概率 ．
变式与引申6. 已知，，
若向区域上随机投1个点，求这个点落入区域的概率= ．
本节主要考查: (1)古典概型及其概率计算公式; (2) 几何概型的意义及其计算公式; (3)互斥事件的概率加法公式计算一些事件的概率.
点评：（1）古典概型应注意用列举法计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率；（2）几何概型应注意题目中求的是相应的长度比，还是面积比，体积比；
习题4-1
1. 在一个袋子中装有标注数字1、2、3、4、5的五个小球，这些小球除标注数字外完全相
同， 现从中随机取2个小球，则取出的小球标注的数字之和为3或6的概率是（ ）
A． B． C． D．
2. 有五根细木棒，长度分别为1，3，5，7，9（cm），从中任取三根，能搭成三角形的概率是（ ）
A． B． C． D．
3．连掷两次骰子得到的点数分别为和，记向量与向量的夹角为，则的概率是（ ）
A . B. C. D.
4.甲从正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线，乙从该正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线，则所得的两条直线相互垂直的概率是( )
A . B. C. D.
5. 在集合中任取一个元素，所取元素恰好满足方程的概率
是
6. 有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则
这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为 _ __
7. 向面积为S的△ABC内任投一点P，则△PBC的面积小于的概率为________．
8. 将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，求：
（1）两数之和为5的概率；
（2）两数中至少有一个奇数的概率；
（3）以第一次向上点数为横坐标x，第二次向上的点数为纵坐标y的点(x,y)在圆x2+y2=15的内部的概率．
9. 已知直线：，直线：，其中，．
（1）求直线的概率；改为：求直线与没有交点的概率；
（2）求直线与的交点位于第一象限的概率．
第二节 统计、统计案例
统计与统计案例是高中数学的重要学习内容，它是一种处理问题的方法，在工农业生产和社会生活中有着广泛的应用，渗透到社会的方方面面，统计的基础知识成为每个公民的必备常识． 由于中学数学中所学习统计与统计案例内容是基础的，高考对这一部分内容的考查注重考查基础知识和基本方法．该部分在高考试卷中，一般是2—3个小题或一个解答题，难度值在0.5～0.8.
考试要求：统计：（1）随机抽样：① 理解随机抽样的必要性和重要性.② 会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本；了解分层抽样和系统抽样方法.（2）：用样本估计总体① 了解分布的意义和作用，会列频率分布表，会画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图，理解它们各自的特点.② 理解样本数据标准差的意义和作用，会计算数据标准差.③ 能从样本数据中提取基本的数字特征（如平均数、标准差），并给出合理的解释.④ 会用样本的频率分布估计总体分布，会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征，理解用样本估计总体的思想.⑤ 会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想解决一些简单的实际问题.（3）变量的相关性：① 会作两个有关联变量的数据的散点图，会利用散点图认识变量间的相关关系.② 了解最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程.
统计案例：了解下列一些常见的统计方法，并能应用这些方法解决一些实际问题.（1）独立性检验了解独立性检验（只要求2×2列联表）的基本思想、方法及其简单应用.（2）回归分析：了解回归的基本思想、方法及其简单应用.
题型一 抽样方法
例1（1）某高校甲、乙、丙、丁四个专业分别有150、150、400、300名学生，为了解学生的就业倾向，用分层抽样的方法从该校这四个专业共抽取40名学生进行调查，应在丙专业抽取的学生人数为 ．
（2）利用简单随机抽样的方法，从n个个体（n＞13）中抽取13个个体，依次抽取，若第二次抽取后，余下的每个个体被抽取的概率为，则在整个抽样过程中，每个个体被抽取的概率为
点拨: （1）在分层抽样中应注意总体中各个层次人数的比例，在样本中应保持比例不变（2）简单随机抽样过程中，每一次的抽取，剩下的个体被抽到的概率都是一样的，所以应先求n．
解：（1）总体甲:乙:丙:丁=3:3:8:6，所以样本中丙专业抽取的学生人数=
由题意得：解得，
∴在整个抽样过程中，每个个体被抽取的概率为．
易错点:（1） 把样本中的各层次的比例算错.（2）误认为在简单随机抽样的每一次抽取中个体被抽到的概率不同导致错误．
变式与引申1:某公司生产三种型号的轿车，产量分别为1200辆，6000辆和2000辆．为检验该公司的产品质量，现用分层抽样的方法抽取46辆进行检验，这三种型号的轿车依次应抽取 ____，
____， ____辆．
变式与引申2：经问卷调查，某班学生对摄影分别执“喜欢”、“不喜欢”和“一般”三种态度，其中执“一般”态度的比“不喜欢”态度的多12人，按分层抽样方法从全班选出部分学生座谈摄影，如果选出的5位“喜欢”摄影的同学、1位“不喜欢”摄影的同学和3位执“一般”态度的同学，那么全班学生中“喜欢”摄影的比全班人数的一半还多 人．
题型二 统计图表问题
例2 从一条生产线上每隔30分钟取一件产品，共取了n件，测得其产品尺寸后，画得其频率直方图如下.尺寸在［15,45)内的频数为46.
(1)求n的值；
(2)求尺寸在［20,25)内产品的个数.
点拨:用样本频率分布去估计总体分布．
解：(1)由题意得，尺寸在［10,15)内的 概率
是5×0.016=0.08.所以尺寸在［15,45)内的概率
为1－0.08=0.92.由=0.92,∴n=50.
(2)尺寸在［20,25)内的概率是0.04×5=0.2. 故在该区间内产品的个数是50×0.2=10(个)
易错点:在直方图中频率每一个长方形的面积，而不是其高度．
变式与引申3: ⑴有一个容量为100的样本，数据的分组及各组的频数如下：
［12.5，15.5］，6；［15.5，18.5］，16；［18.5，21.5］，18；［21.5，24.5］，22；
［24.5，27.5），20；［27.5，30.5），10；［30.5，33.5），8.
①列出样本的频率分布表；②画出频率分布直方图；③估计数据小于30.5的概率
题型三 平均数、标准差（方差）的计算问题
例3一次歌手大奖赛上，七位评委为歌手打出的分数如下：
9.4 8.4 9.4 9.9 9.6 9.4 9.7
去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值和方差分别为( ）
A．9.4，0.484 B．9.4，0.016 C．9.5，0.04 D．9.5，0.016
点拨:本题考查平均数与方差的计算公式；
解：，
答案：D
易错点:没理解记忆,公式记错.
变式与引申4: 是的平均数，是的平均数，是的平均数，则，，之间的关系为 ．
变式与引申5：某人5次上班途中所花时间（单位：分钟）分别为、、10、11、9．已知这组数据的平均数为10，方差为2，则的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
题型四 线性回归分析
例4下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量（吨）与相应的生产能耗（吨标准煤）的几组对照数据:
3 4 5 6
2.5 3 4 4.5
（1）请画出上表数据的散点图；
（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出ｙ关于ｘ的线性
回归方程；
（3）已知该厂技术改造前吨甲产品能耗为吨标准煤；试根据（2）求出的线性回归方程，预测生产吨甲产品的生产能耗比技术改造前降低多少吨标准煤？
点拨：本题中散点图好作，本题的关键是求关于的线性回归方程，它既可以由给出的回归系数公式直接计算，也可以遵循着最小二乘法的基本思想――即所求的直线应使残差平方和最小，用求二元函数最值的方法解决．
解：（1）散点图如图；
（2）方法一：设线性回归方程为，则
∴时， 取得最小值，
,即，∴时,
取得最小值．所以线性回归方程为．
方法二：由系数公式可知，
，所以线性回归方程为．
（3）时，，所以预测生产吨甲产品的生产能耗比技术改造前降低吨标准煤．
易错点:本题容易用错计算回归系数的公式，或是把回归系数和回归常数弄颠倒了．
变式与引申6: 为了分析某个高三学生的学习状态，对其下一阶段的学习提供指导性建议．现对他前次考试的数学成绩、物理成绩进行分析．下面是该生次考试的成绩．
数学 888 883 1117 992 1108 1100 1112
物理 994 991 1108 996 1104 1101 1106
（1）他的数学成绩与物理成绩哪个更稳定？请给出你的证明；
（2）已知该生的物理成绩与数学成绩是线性相关的，若该生的物理成绩达到分，请你估计他的数学成绩大约是多少？并请你根据物理成绩与数学成绩的相关性，给出该生在学习数学、物理上的合理建议．
本节主要考查：（1）三种抽样方法；总体分布的估计；线性回归等．（2）解答概率统计试题时要注意分类与整合、化归与转化思想的运用．
点评：（1）简单随机抽样方法应注意抽样的公平性，分层抽样应注意每个层次个体的比值；（2）用样本频率分布去估计总体分布；用样本的某种数学特征去估计总体相应数学特征．解题途径：应用所掌握的基础知识进行计算.（3）进行总体平均数的估计与总体方差的估计. 解题途径：利用样本的平均数与方差分别作为总体的期望值和方差的估计.（4）线性回归分析．解题途径：先作出散点图，再根据公式确定回归方程中的参数，并可以根据求出的方程做预测或给出建议．
习题4-2
1. 某公司甲、乙、丙、丁四个地区分别有150 个、120个、180个、150个销售点．公司为了调查产品销售的情况，需从这600个销售点中抽取一个容量为100的样本，记这项调查为①；在丙地区中有20个特大型销售点，要从中抽取7个调查其收入和售后服务等情况，记这项调查为②．则完成①、②这两项调查宜采用的抽样方法依次是（ ）
A．分层抽样法，系统抽样法 B．分层抽样法，简单随机抽样法
C．系统抽样法，分层抽样法 D．简单随机抽样法，分层抽样法
2.某校有老师200人，男学生1200人，女学生1000人.现用分层抽样的方法从所有师生中抽取一个容量为的样本；已知从女学生中抽取的人数为80人，则= .
3. 某工厂对一批产品进行了抽样检测.右图4-2-3是根据抽样检测后的
产品净重（单位：克）数据绘制的频率分布直方图，其中产品
净重的范围是[96，106]，样本数据分组为[96，98），[98，100),
[100，102)，[102，104),[104，106],已知样本中产品净重小于
100克的个数是36，则样本中净重大于或等于98克并且
小于104克的产品的个数是 .
4.（2011年高考北京卷。文）以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵树.乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X表示.
（1）如果X=8，求乙组同学植树棵树的平均数和方差；
（2）如果X=9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵数为19的概率.
（注：方差其中为的平均数）
5. 假设关于某设备使用年限x（年）和所支出的维修费用y（万元）有如下统计资料：
2 3 4 5 6
2.2 3.8 5.5 6.5 7.0
若由资料知，y对x呈线性相关关系，试求：
（1）回归直线方程；
（2）估计使用年限为10年时，维修费用约是多少？
第三节 概率与统计的综合应用
近几年高考中，概率与统计的应用题多出现在解答题中，难度以中档和中档偏易为多，难度值在0.5～0.8.命题形式以学生生活实践为背景材料进行考查.
考试要求：（1）以大纲为准则，考查相关概率在实际问题中的应用；（2）理解各种统计方法；（3）会分析样本数据，并会求数据的特征数字（如平均数、标准差）；（4）会用正确的算法求解概率统计和其他数学知识的交汇（如三角函数、框图、算法、几何等）问题.
题型一 随机抽样方法及其应用
例1 （1）用系统抽样方法从160名学生中抽取容量为20的样本，将160名学生从1—160编号，按编号顺序平均分成20组（1—8号，9—16号，…，153—160号），若第16组抽出的号码是126，则第1组用抽签方法确定的号码是 .
点拨：本题考查随机抽样的系统抽样.三种抽样方法均为等概率抽样，系统抽样是按简单随机抽样抽取第一个样本，再按相同的间隔抽取其他样本，即抽取号码成等差数列.公式为为间隔长，为组数，为第一个样本号.
解：
易错点：式中的第几组的组号应减“1”.
变式与引申1：⑴某单位200名职工的年龄分布情况
如图所示，现要从中抽取40名职工作样本，用系统抽样法，将全
体职工随机按1－200编号，并按编号顺序平均分
为40组（1－5号，6－10号，…，196－200号）.
若第5组抽出的号码为22，则第8组抽出的号码应是 .若用分层抽样方法，则40岁以下年龄段应抽取 人.
⑵从2004名学生中选取50名组成参观团，若采用下面的方法选取：先用简单随机抽样从2004人中剔除4人，剩下的2000人再按系统抽样的方法进行，则每人入选的概率（ ）
A. 不全相等 B. 均不相等 C. 都相等且为 D. 都相等且为
题型二 分析样本数据，并求数据的特征数字（如平均数，标准差）
例2 为了解某校高三学生的视力情况，随机地抽查了该校100名
高三学生的视力情况，得到频率直方图如图所示，由于
不慎将部分数据丢失，但知道前4组的频数成等比数列，后6组
的频数成等差数列，设最大频率为，视力在4.6到5.0之间的
学生数为，求的值.
点拨：（1）此题数据是以图形给出，注意观察图中数据及变化
情况；（2）看清图中横、纵坐标的实际意义；（3）结合等差与等比
数列知识，本题有一定的综合性.
解：组距=0.1，~的频数，~的频数.
前4组频数成等比数列，~的频数，~的频数.
又后6组频数成等差数列，设公差为，，
，从而~的频数. .
易错点：要注意1频数=样本容量；2区别频数与频率，审清题意.
变式与引申2：如图，样本A和B分别取自两个不同的总体，它们的样本平均数分别为,样本标准差
分别为,则（ ）.
A. B.
C. D.
题型三 概率与统计和其他数学知识交汇（如三角函数、框图算法、几何等）
例3 如下图是某公司金融危机时员工的月工资条形统计图，从左到右的各条形表示的员工人数依次记为（如表示工资为内的人数，（单位：元））.
图是统计图中工资在一定范围内员工人数的一个算法流程图。现要
统计月工资在元（含元，不含元）的员工人数，
那么在流程图中
的判断框内应填
写的条件是（ ）
A.
B.
C.
D.
点拨：（1）
要认真读题，明
确每个变量表示
的实际意义；（2）
可以把选项逐一
放入判断框理解.
解：现要统计的是月工资在元之间的员工人数，即是要计算的和，所以流程图中空白框应是，当时就会返回进行叠加运算，当将数据直接输出，不再进行任何的返回叠加运算，此时已把数据叠加起来送到中输出，故选B.
易错点：本题在统计中的条形图与算法流程图的交汇处命题，有一定的综合性，若不认真读图和审题容易出错.
变式与引申3：某班班主任为了解班上女生的月消费情况，
随机抽查了5名本班女生，她们近两周的消费金额如下表所示：
女 生 1 2 3 4 5
消费金额
图是统计该5名女生近两周消费金额总数的程序框图，则
判断框中应填 , .
题型四 线性回归方程与相关系数实际应用
例4某地户家庭的年收入和年饮食支出的统计资料如下表：
年收入（万元）
年饮食支出（万元）
（1）根据表中数据，确定家庭的年收入和年饮食支出的相关关系；
（2）如果某家庭年收入为万元，预测其年饮食支出．
点拨：通过所给数据，判断变量间的线性关系；若线性相关，用最小二乘思想求出线性回归方程.
解：（1）由题意知，年收入为解释变量，年饮食支出为预报变量，作散点图（如图所示）．
从图中可以看出，样本点呈条状分布，年收入和年饮食支出有比较好的
线性相关关系，因此可以用线性回归方程刻画它们之间的关系．
，，，，，
，．
从而得到回归直线方程为．
（2）万元．
易错点：此题对计算能力的要求较高，若计算不慎，失分很严重.
变式与引申4：（1）（2011年高考山东卷。文）某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表
广告费用x（万元） 4 2 3 5
销售额y（万元） 49 26 39 54
根据上表可得回归方程中的为9．4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为
A．63．6万元 B．65．5万元 C．67．7万元 D．72．0万元
（2）某企业上半年产品的产量与单位成本资料如下：
月 份 1 2 3 4
产量（千件） 2 3 4 3
单位成本（元） 73 72 71 73
① 求线性回归方程；
② 指出产量每增加1000件时，单位成本平均变动多少？
③ 假定产量为6000件时，单位成本为多少元？
本节主要考查：（1）用简单随机抽样方法从总体中抽取样本，了解分层抽样和系统抽样方法及其应用；考查在应用问题中构造抽样模型，识别模型，收集数据等能力和方法.（2）用样本估计总体是统计学的基本思想，以考查频率分布直方图、茎叶图、平均数、方差、标准差为主，用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想解决一些简单的实际问题，了解一些基本的统计思想.（3）作两个相关变量数据的散点图，判断两个变量的线性相关性，了解最小二乘法的思想，会求给出公式下的相关系数及线性回归方程；考查看图、作图和运算求解等基本数学能力.（4）利用古典概型解决统计中的某些问题.
点评：（1）概率与统计中的部分内容是实施新课标后新增内容，也是高考考点之一.主要考查随机抽样方法的应用（如例1），数据的数字特征（如例2，习题2、3），概率统计与其他知识（算法、不等式）综合应用（如例3，习题5）相关系数与线性回归及独立性检验（如例4）.（2）在随机抽样中，简单随机抽样、系统抽样和分层抽样都是等概率抽样，但这三种方法适用范围各不相同，简单随机抽样适用于总体个数较少的，系统抽样适用于总体个数较多的，而分层抽样适用于总体由差异比较明显的几部分组成的.（3）平均数反映了数据取值的平均水平；标准差、方差描述了一组数据围绕平均数的波动的大小，标准差、方差越大，数据的分散程度越大，越不稳定；标准差、方差越小，数据的分散程度越小，越稳定.（4）求回归方程时，先判定变量的相关性，若变量不线性相关，求出回归方程也毫无意义.（5）概率与统计实际应用中，很多数据都是图、表的形式给出的，背景有考生共有的生活气息.题目篇幅长，要善于看图、作图、理解图所传递的信息，对数据的精确处理要求有较强的计算能力.
习题4-3
1．某中学有高一学生400人，高二学生302人，高三学生250人，现在按年级分层抽样方法从所有学生中抽取一个容量为190人得到样本，应该剔除 人，每个年级依次应抽取 人.
丙的成绩
环数 7 8 9 10
频数 4 6 6 4
甲的成绩
环数 7 8 9 10
频数 5 5 5 5
2．甲、乙、丙三名射箭运动员在某次测试中各射箭20次，三人的测试成绩如下表：
乙的成绩
环数 7 8 9 10
频数 6 4 4 6
分别表示甲、乙、丙三名运动员这次测试成绩的标准差，则有（ ）
A. B. C. D.
3．若这20个数据的平均数为方差为0.20，则数据，这21个数据的方差是 .
4．某中学高一（2）班甲、乙两名同学自高中以来每场数学考试成绩情况如下：
甲的得分：95,81,75,91,86,89,71,65,76,88,94,110,107；
乙的得分：83,86,93,99,88,103,98,114,98,79,101.
（Ⅰ）完成所附的茎叶图；
（Ⅱ）用茎叶图处理现有的数据，有什么优点？
（Ⅲ）通过观察茎叶图，对两人的成绩进行比较，写出统计结论.
5．有甲乙两个班级进行数学考试，按照大于等于85分为优秀，85分以下为非优秀统计成绩后，得到如下列联表，已知在全部105人中随机抽取，抽到1人为优秀的概率为.
优秀 非优秀 总计
甲班 10
乙班 30
合计 105
① 请完成上面的2×2列联表；
② 根据2×2列联表的数据，若按95%的可靠性要求，能否认为“成绩与班级有关系”？
③ 若按下面的方法从甲班优秀的学生抽取1人：把甲班优秀的10名学生从2到11进行编号，先后两次抛掷一枚均匀的骰子，出现的点数之和为被抽取的序号。试求抽到6或10号的概率.
第四讲 概率与统计(文)参考答案
第一节 概率
变式与引申1 解：试验中所含基本事件个数为36；若想表示椭圆则前后两次的骰子点数不能相同，则去掉6种可能，既然椭圆焦点在x轴上，则，又只剩下一半情况，即15种，因此．
变式与引申2 解：（1）每颗骰子出现的点数都有种情况， 所以基本事件总数为个.
记“点在直线上”为事件，有5个基本事件：
，
（2）记“点满足”为事件，则事件有个基本事件:
当时，当时，；
当时，；当时，
当时，；当时，．
变式与引申3：
解：（I）甲校两男教师分别用A、B表示，女教师用C表示；
乙校男教师用D表示，两女教师分别用E、F表示
从甲校和乙校报名的教师中各任选1名的所有可能的结果为：
（A，D）（A，E），（A，F），（B，D），（B，E），（B，F），（C，D），（C，E），（C，F）共9种。
从中选出两名教师性别相同的结果有：（A，D），（B，D），（C，E），（C，F）共4种，
选出的两名教师性别相同的概率为
（II）从甲校和乙校报名的教师中任选2名的所有可能的结果为：
（A，B），（A，C），（A，D），（A，E），（A，F），（B，C），（B，D），（B，E），（B，F），
（C，D），（C，E），（C，F），（D，E），（D，F），（E，F）共15种，
从中选出两名教师来自同一学校的结果有：
（A，B），（A，C），（B，C），（D，E），（D，F），（E，F）共6种，
选出的两名教师来自同一学校的概率为
变式与引申4： 解:几何概型长度型问题 答案：
变式与引申5：
1. 解：设事件为“方程有实根”．
当，时，方程有实根的充要条件为．
（1）基本事件共12个：
．
其中第一个数表示的取值，第二个数表示的取值．
事件中包含9个基本事件，所以事件发生的概率为．
（2）试验的全部结果所构成的区域为．
构成事件的区域为．
所以所求的概率为
变式与引申6： 解: 几何概型面积型问题 答案：
习题4-1
选D. 随机取2个小球，基本事件有（1,2）、（1,3）、（1,4）、（1,5）、（2,3）、（2,4）、（2,5）、（3,4）、（3,5）、（4,5）；取出的小球标注的数字之和为3或6的事件有（1,2）、（1,5）、（2,4)
∴取出的小球标注的数字之和为3或6的概率为.
2. 选D.注意到构成三角形的充要条件是两棒之和大于最长棒的长度，只有（3，5，7），（3，7，9），（5，7，9）三种情况，故概率为．
3. 选C.解： 由向量夹角的定义，图形直观可得，当点位于直线上及其下方时，
满足，点的总个数为个，而位于直线上及其下方
的点有个，故所求概率，
4. 答案 C.解:正方形四个顶点可以确定6条直线，甲乙各自任选一条共有36个基本事件。两条直线相互垂直的情况有5种（4组邻边和对角线）包括10个基本事件，所以概率等于.
5. 答案 考查古典概型知识
6. 考查古典概型知识,
7. 答案 解析：∵S△PBC
（1）记“两数之和为5”为事件A，则事件A中含有4个基本事件，
所以P（A）=； 答：两数之和为5的概率为．
（2）记“两数中至少有一个奇数”为事件B，则事件B与“两数均为偶数”为对立事件，
所以P（B）=； 答：两数中至少有一个奇数的概率．
（3）基本事件总数为36，点（x，y）在圆x2+y2=15的内部记为事件C，则C包含8个事件，
所以P（C）=．
答：点(x,y)在圆x2+y2=15的内部的概率．
9．（本小题主要考查概率、解方程与解不等式等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及运算求解能力）
，的总事件数为，，…，，，，…，，…，，共36种．
满足条件的实数对有、、、、、共六种．
所以． 答：直线与的交点位于第一象限的概率为．
第二节 统计、统计案例
变式与引申1：解：⑴三种型号的汽车数量比为3:15:5，所以样本中三种汽车数量为 6,30,10．
变式与引申2：解：“喜欢”：“一般”：“不喜欢”=5:3:1，
∴令全班总人数为，则，解得
∴“喜欢”的人数=人，比27多 3人．
答案：3
变式与引申3：
⑴①解：⑴样本的频率分布表如下：
分 组 频 数 频 率
12.5～15.5 6 0.06
15.5～18.5 16 0.16
18.5～21.5 18 0.18
21.5～24.5 22 0.22
24.5～27.5 20 0.20
27.5～30.5 10 0.10
30.5～33.5 8 0.08
合 计 100 1.00
②频率分布直方图如图.
③数据小于30.5的概率约为0.92.
变式与引申4：⑴；
变式与引申5：解：由题意得：,∴,
∴,∴ 选D
变式与引申6：
分析：成绩的稳定性用样本数据的方差判断，由物理成绩估计数学成绩由回归直线方程解决．
解：（1）；
；
，，
从而，所以物理成绩更稳定．
（2）由于与之间具有线性相关关系，根据回归系数公式得到
，
线性回归方程为．当时，．
建议：进一步加强对数学的学习，提高数学成绩的稳定性，将有助于物理成绩的进一步 提高．
习题4-2
1.B 冲根据抽样的特点进行选择不同的抽样方法
2.解：
3. 90
解：产品净重小于100克的概率为(0.050+0.100)×2=0.300,
已知样本中产品净重小于100克的个数是36,设样本容量为,
则,所以,净重大于或等于98克并且小于
104克的产品的概率为(0.100+0.150+0.125)×2=0.75,所以样本
中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是
120×0.75=90.
4.解：（1）当X=8时，由茎叶图可知，乙组同学的植树棵数是：8，8，9，10，
所以平均数为
方差为
（Ⅱ）记甲组四名同学为A1，A2，A3，A4，他们植树的棵数依次为9，9，11，11；乙组四名同学为B1，B2，B3，B4，他们植树的棵数依次为9，8，9，10，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，所有可能的结果有16个，它们是：
（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A1，B4），
（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3），（A2，B4），
（A3，B1），（A2，B2），（A3，B3），（A1，B4），
（A4，B1），（A4，B2），（A4，B3），（A4，B4），
用C表示：“选出的两名同学的植树总棵数为19”这一事件，则C中的结果有4个，它们是：（A1，B4），（A2，B4），（A3，B2），（A4，B2），故所求概率为
5. 解: （1）依题列表如下：
1 2 3 4 5
2 3 4 5 6
2.2 3.8 5.5 6.5 7.0
4.4 11.4 22.0 32.5 42.0
……4分
．．……6分
回归直线方程为．……8分
（2）当时，万元．即估计用10年时,维修费约为12.38万元．……12分
第三节 概率与统计的综合应用问题
变式与引申1：（1） 解：37,20.抽样比=样本容量/总体容量.
（2） 解：C.总体中每个个体被剔除的机会均等，也就是每个个体不被剔除的机会均等，即在整个抽样中，每个个体被抽取的机会仍然相等.
变式与引申2： 解：B. 法一：观察法. A图中数据波动较大，而B图中数据变化平稳、波动小，故.
又因A中数据均小于等于10，B中数据不小于10，所以.
法二：直接法.（略）
变式与引申3： 解：
变式与引申4： 解：（1）B. ，把故选B.
（2）①
又
②每增加1000件时，单位成本减少1元.
③单位成本为69.25元.
习题4-3
1. 2，80,60,50.
2. B. 解：观察法.丙的环数集中在8环和9环，较稳定，而乙的集中在7环和10环，不稳定，甲的7、8、9、10环的次数各均等，故.
3. ，解：依题意有
,
即，的平均数也是
这21个数据的方差
4. 解：（Ⅰ）茎叶图如右图所示：
（Ⅱ）用茎叶图处理现有的数据不仅可以看出数据的分布状况，而且可以看出每组中的具体数据.
（Ⅲ）通过观察茎叶图，甲的成绩主要集中在分，乙的成绩主要集中在分，乙的成绩相对较好。
5.解析：①由知，105人中共有 30人优秀，即得下表：
优秀 非优秀 总计
甲班 10 45 55
乙班 20 30 50
合计 30 75 105
②根据列联表中的数据，得到，所以有95%的把握认为“成绩与班级有关系” .
③设“抽到6或10号”为事件A，先后两次抛掷一枚均匀的骰子，出现的点数为，所有的基本事件有共36个.事件A包含的基本事件有：共8个，
产品尺寸
图
图4-2-2
96 98 100 102 104 106
0.150
0.125
0.100
0.075
0.050
克
频率/组距
图 4-2-3
50%
20%
30%
40—50岁
40岁以下
50岁以上
图
视力
0.3
0.1
图
EMBED
on.DSMT4
EMBED Equatio
550
500
450
400
350
3
0
250
200
150
100
50
n.3
EMBED Equation.DSMT4
图
2450 2500 2550 2600 2650 2700 2750 2800 2850 2900 2950
人数/人
工资/元
600
550
500
450
400
350
300
250
200
150
100
50
图
图
图
输入,,,
否
是
开始
图
输入,,,
否
是
开始
答图
乙
甲
9
3 6 8
3 8 8 9
1
6
7
8
9
10
11
5
1 5 6
1 6 8 9
1 4 5
7
0
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