第三讲 数列与不等式(文科)

第三讲 数列与不等式(文)
第一节 数列及其应用
数列是高中数学重要内容，是高考命题的热点.纵观近几年的高考试题,对等差和等比数列的概念、通项公式、性质、前项和公式,对增长率、分期付款等数列实际应用题多以客观题和中低档解答题为主，对数列与函数、方程、不等式、三角函数、解析几何等相结合的综合题的考查多属于中高档题,甚至是压轴题,难度值一般控制在之间.
考试要求（1）数列的概念和简单表示法①了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图像、通项公式）.②了解数列是自变量为正整数的一类函数.（2）等差数列、等比数列① 理解等差数列、等比数列的概念.② 掌握等差数列、等比数列的通项公式与前n项和公式.　③ 能在具体的问题情境中，识别数列的等差关系或等比关系，并能用有关知识解决相应的问题.　④ 了解等差数列与一次函数、等比数列与指数函数的关系.
题型一 等差、等比数列的概念与性质
例1．已知等比数列中，各项都是正数，且、、2成等差数列，求 ;
【点拨】依据等差中项的概念先求等比数列的公比，再利用等比数列的性质求值.
【解】依题意可得：，即，则有可得，解得或（舍） 所以;
【易错点】（1）等差数列与等比数列只有一字之差，部分同学经常出现审题不仔细的现象；（2）等差中项与等比中项的性质混淆，概念模糊不清；（3）对等差数列与等比数列的性质及公式的变式不熟悉，往往要先计算等量，一旦计算量大一点，解题受阻.
变式与引申1：等差数列的前n项和为，公差 .
（1）求的值;
（2）当为最小时，求的值.
题型二：数列的通项与求和
例2．（2011年全国卷理科第17题）等比数列的各项均为正数，且
（Ⅰ）求数列的通项公式.
（Ⅱ ）设 求数列的前项和.
【点拨】（1）等比数列中，已知两条件可以算出两个基本量,再进一步求通项.（2）分组求和、倒序相加、错位相减、裂项相消等是常用的求和方法，这里利用（1）的结论以及的关系求的通项公式，根据裂项相消求数列前 项和 .
【解】
（Ⅰ）设数列{an}的公比为q，由得所以。有条件可知a>0,故。
由得，所以。故数列{an}的通项式为an=。
（Ⅱ ）
故
所以数列的前n项和为
【易错点】（1）没有注意条件a>0，公比计算错；（2）在求的通项公式时，遗漏了负号；不会将化为.
变式与引申2已知是数列{}的前n项和，并且=1，对任意正整数n，；设）.
（1）证明数列是等比数列，并求的通项公式；
（2）设的前n项和，求.
3. 等比数列{}的前n项和为， 已知对任意的，点，均在函数且均为常数)的图像上.
（1）求r的值；
（2）当b=2时，记 求数列的前项和.
题型三：数列的实际应用
例3. 为了解某校高三学生的视力情况，随机地抽查了该校100名高三学生的视力情况，得到频率分布直方图，如右图所示；由于不慎将部分数据丢失，但知道前4组的频数从左到右依次是等比数列的前四项，后6组的频数从左到右依次是等差数列的前六项.
(1)求数列和的通项公式；
(2)求视力不小于5.0的学生人数；
(3)设,求数列的通项公式.
【点拨】（1）频率分布直方图是解决问题的关健；（2）已知前两项的频数，前4组的频数从左到右依次是等比数列的前四项，可求，后6组的频数从左到右依次是等差数列的前六项，，的前六项和可求，得，（3）求得、后，根据题设条件，按递推公式求通项公式方法求出.
【解】(1)由题意知
因此数列是一个首项.公比为3的等比数列，所以 ，又=100—(1+3+9)， 所以=87,解得
因此数列是一个首项,公差为—5的等差数列, 所以
(2) 求视力不小于5.0的学生人数为
(3) 由① 可知，当时，②
①－②得，当时， , ,
又因此数列是一个从第2项开始的公比为3的等比数列,
数列的通项公式为 .
【易错点】（1）不理解的意义，解题找不到切入点；（2）计算数列的通项公式时忽略“全校100名学生”这个重要的已知条件，导致前两问的结果都不正确；（3）求出、后，由题设条件不能正确地找出求的方法；（4）计算由①式变为②式时，缺少这个条件.
变式与引申4： 某地为了防止水土流失，植树造林，绿化荒沙地，每年比上一年多植相同亩数的林木，但由于自然环境和人为因素的影响，每年都有相同亩数的土地沙化，具体情况为下表所示：
2008年 2009年 2010年
新植亩数 1000 1400 1800
沙地亩数 25200 24000 22400
而一旦植完，则不会被沙化．
问：（1）每年沙化的亩数为多少；
（2）到那一年可绿化完全部荒沙地.
题型四：数列综合题
例4根据如图所示的程序框图，将输出的x、y值依次分别记为，．
（1）求数列的通项公式；
（2）写出，由此猜想出数列；
的一个通项公式，并证明你的结论;
（3）求．
【点拨】（1）程序框图与数列的联系是新课标背景下的新鲜事物，因为程序框图中循环，与数列的各项一一对应，所以，这方面的内容是命题的新方向，应引起重视；（2）由循环体写出数列的递推公式，再由递推公式求出数列的通项公式是解决问题 的关健；（3）掌握错位相减法求数列的前项和及数列求和的一般方法.
【解】（1）由框图，知数列中 ∴
（2）y1=2，y2=8，y3=26，y4=80. 由此，猜想
证明：由框图，知数列{yn}中，， ，
∴数列{yn+1}是以3为首项，3为公比的等比数列，
（3）
=1×3+3×32+…+（2n－1）·3n－[1+3+…+（2n－1）]
记Sn=1×3+3×32+…+（2n－1）·3n，① 则3Sn=1×32+3×33+…+（2n－1）×3n+1 ②
①－②，得－2Sn=3+2·32+2·33+…+2·3n－（2n－1）·3n+1=2（3+32+…+3n）－3－（2n－1）·3n+1
=
∴
又1+3+…+（2n－1）=n2 ∴.
【易错点】（1）根据框图不能正确写出数列的递推公式，解题受阻，（2）对数列求和的方法及每种方法所适合的题型认识不清，盲目求和；（3）对指数运算不够熟悉，导致利用错位相减法计算出的结果不正确.
变式与引申5：已知数列中，在直线y=x上，其中n=1,2,3….
（1）令求证数列是等比数列;
（2）求数列的通项；
⑶ 设的前n项和,是否存在实数，使得数列为等差数列？若存在，试求出.若不存在,则说明理由.
本节主要考查：（1）数列的有关概念，递推公式；等差数列和等比数列的定义、判定方法、性质、通项公式和前项和公式，数列求和及数列的应用（2）数列是一类特殊的函数，而函数又是高中数学的重要内容，所以数列常与导数、不等式、三角、解析几何、概率及算法等知识点交融命题，解决数列的通项公式及前项和、证明不等关系等问题（3）简单的递推公式求通项公式的方法，分组求和、倒序相加、裂项求和、错位相减等数列求和方法（4）着重考查函数与方程思想、数形结合、等价转化、分类讨论等重要的数学思想.
点评：（1）“巧用性质、减少运算量”在等差、等比数列的计算问题中非常重要，树立“目标意识”，“需要什么，就求什么”，既要充分合理地运用条件，又要时刻注意解题的目标；
（2）数列中与的关系一直是高考的热点，求数列的通项公式是最为常见的题型，要切实注意与之间关系的转化.如：， =等；
（3）等差、等比数列的基本知识是必考内容，这类考题既有选择题，填空题，又有解答题；有容易题、中等题，也有难题，在掌握等差数列、等比数列的定义、性质、通项公式、前n项和公式的基础上，充分理解公式的变式及适用范围，深化数学思想方法在解题实践中的指导作用，灵活地运用数列知识和方法解决数学和实际生活中的有关问题；
（4）求和问题也是常见的试题，等差数列、等比数列及可以转化为等差、等比数列求和问题应掌握，还应该掌握一些特殊数列的求和方法，如公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等；
（5）在解决综合题和探索性问题实践中加深对基础知识、基本技能和基本数学思想方法的认识，沟通各类知识的联系，形成更完整的知识网络， 进一步培养阅读理解和创新能力，综合运用数学思想方法分析问题与解决问题的能力；
（6）解答数列综合问题要善于综合运用函数方程思想、化归转化思想等数学思想以及特例分析法，一般递推法，数列求和及求通项等方法来分析、解决问题．数列与解析几何的综合问题解决的策略往往是把综合问题分解成几部分，先利用解析几何的知识以及数形结合得到数列的通项公式，然后再利用数列知识和方法求解．
习题3－1
1．（2011安徽文数）.若数列的通项公式是,则
（A） 15 (B) 12 (C ) (D)
2．等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn、Tn，若=，则=_________．
3．数列中，，（是不为零的常数，），且成等比数列．
（1）求的值；
（2）求的通项公式；
（3）求数列的前项之和．
4．如图，从点做x轴的垂线交曲线于点曲线在点处的切线与x轴交于点，再从做x轴的垂线交曲线于点，依次重复上述过程得到一系列点：记点的坐标为.
（Ⅰ）试求与的关系
（ Ⅱ）求．
5．已知数列满足且
（1）求的表达式；
（2）求；
第二节 解不等式
不等式是高中数学的传统内容，对不等式的性质、一元二次不等式、简单的线性规划、均值不等式的考查多以选择、填空题的形式出现，这类试题虽然难度不大，但往往有一定的灵活性.若是解答题,也是中等难度的题目；高考中涉及不等式的，更多的情况是以函数与导数、方程、三角、数列、解析几何等知识为载体，综合考查不等式的解法和证明.
不等式因它的基础性（是研究函数、方程、极限等必不可少的工具）、渗透性（容易与其它各部分知识结合在一起）、应用性（实际应用广泛），很自然地成为每年高考的热点.近几年，高考关于不等式的命题趋势是：
（1）单纯不等式的题目多以选择填空题的形式出现，若是解答题也是中等难度的题目；
（2）高考中涉及不等式的，更多的情况是以函数、方程、三角、数列、解析几何等知识为载体，综合考查不等式的解法和证明，突出不等式的工具性.在高考试卷中，有关解不等式的试题一般有一到两道．
考试要求
（1）不等关系：了解现实世界和日常生活中的不等关系，了解不等式（组）的实际背景．
（2）一元二次不等式
① 会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型．
② 通过函数图像了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系．
③ 会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图．
（3）二元一次不等式组与简单线性规划问题
① 会从实际情境中抽象出二元一次不等式组．
② 了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组．
③ 会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决．
题型一： 不等式的解法
例1(2011上海理科20)已知函数，其中常数满足。
⑴ 若，判断函数的单调性；
⑵ 若，求时的取值范围。
点拨；解不等式的基本思想方法是转化：一元二次不等式转化为一元一次不等式，分式不等式转化为整式不等式，指数与对数不等式（通过化“同底”）转化为代数不等式，抽象函数不等式（通过单调性）转化为具体不等式等.本题是指数不等式，可通过化“同底”求解．
解：⑴ 当时，任意，则
∵ ，，
∴ ，函数在上是增函数。
当时，同理，函数在上是减函数。
⑵
当时，，则；
当时，，则.
易错点：对符号的讨论.
变式与引申1：（1）不等式的解集是 .
（2） （2009年天津卷第8题） 设函数则不等式的解集是（ ）
A B C D
题型二：含参数不等式的解法
例2 解关于的不等式．
点拨：解分式不等式应通过分解因式化成形如的不等式（称为“规范式”，其中称为“根”），
然后再利用序轴穿根法写出解集.本题尽管含有字
母参数，但解法仍然相同，所不同的是根的大
小可能不能确定，因而可能要分类讨论.
首先通过移项把原不等式化为，
进一步朝规范化方向行进时遇到了可能为
的问题，所以首先要对是否为分类讨论，
接下来该怎样进行，请看右边的流程图.
解：原不等式可化为 （＊）
（1）设 ，不等式化为，解
得.
（2）设，
如果，不等式可化为.
当,即时,；
当,即时,；
当,即时,解得.
如果，不等式可化为，
解得或.
综上，当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；
　当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为；
　当时，不等式的解集为．
易错点：在规范化的过程中，对可能为零视而不见；在已经规范化了之后，对不确定的根的大小关系不加区分.整体表现为不能有序地进行分类讨论.
变式引申2：（1）解关于的不等式．
（2）已知函数（a，b为常数）且方程f(x)－x+12=0有两个实根为x1=3, x2=4.
（1）求函数f(x)的解析式；
（2）设k>1，解关于x的不等式；
题型三：不等式的恒成立问题
例3已知函数．
（1）若，求的值；
（2）若对于恒成立，求实数m的取值范围
点拨：不等式恒成立问题通常有以下处理方法：（1）分离参数法，将参数与变量进行分离，再转化为最值问题解决；（2）变换主元法，有些题分离参数后很难求最值，可考虑变换思维角度，即主元与参数互换位置（3）数形结合法。本题分离参数后可求最值.
解（1）. 由已知，
解得 ∵ .
（2）当即∵,
∴在上恒成立,∴.又时,,
故的取值范围是.
易错点：（1）绝对值的处理方法不明确，找不到解题的突破口（2）指数运算不熟悉，不能正确地将参数与变量进行分离（3）能否取等号也是常见的错误.
变式与引申3：（1）已知，当时，恒成立，求a的取值范围．
（2）奇函数上是增函数，当时，是否存在实数m，使对所有的均成立？若存在，求出适合条件的所有实数m；若不存在，说明理由.
题型四：线性规划问题与基本不等式
例4 （1） 设满足则( ).
（A）有最小值2，最大值3 （B）有最小值2，无最大值
（C）有最大值3，无最小值 （D）既无最小值，也无最大值
（2）函数的图象恒过定点，
若点在直线上，其中，则的最小值
为 ．
点拨：（1）首先准确地作出线性约束条件下的可行域，再由y＝－x
经过平移得到结论，这里关键就在于转化与化归．（2）找出定点的坐标，
代入直线方程，得，由均值不等式得结果.
解（1）画出不等式表示的平面区域，如右图，由z＝x＋y，得y＝－x＋z，令z＝0，画出y＝－x的图象，当它的平行线经过A（2,0）时，z取得最小值，最小值为：z＝2，无最大值，故选.B
（2）函数的图象恒过定点,,，,∴.
易错点： 可行域画不准确，将y＝－x经过平移后得到的最优解不正确，
变式与引申4：（1）
(2011安徽文科数)设变量x,y满足,则的最大值和最小值分别为
说明：若对数据适当的预处理，可避免对大数字进行运算.
（A） 1，1 (B) 2，2 (C ) 1，2 (D)2，1[
（2）已知，则的最小值是（ ）
A．2 B． C．4 D．5
本节主要考查：（1）一元一次不等式、一元二次不等式的性质及能转化为它们的分式不等式、绝对值不等式、指数与对数不等式的解法以及含字母系数不等式的解法；（2）基本不等式及其应用，简单的线性规划等问题（3）图解法、换元法、分析法、综合法等方法（4）数形结合思想、函数与方程思想、分类讨论思想、等价转化思想的应用以及逻辑推理能力、运算求解能力等基本数学能力.
点评：
（1）解不等式的关键是等价转化.分式不等式转化为整式不等式；指数与对数不等式转化为代数不等式；抽象函数的不等式在确定其单调性的前提下去掉函数符号转化为代数不等式．
（2）在不等式的求解中，换元法和图解法是常用的技巧之一.通过换元，可将较复杂的不等式化归为较简单的或基本不等式；通过构造函数，将不等式的解化归为直观、形象的图象关系.对含有参数的不等式，运用图解法，有时可以使分类标准更加明晰．
（3）等价转化．具体地说，分式化为整式，高次化为低次，绝对值化为非绝对值，指数与对数化为代数式等．分类讨论．分类讨论的目的是处理解决问题过程中遇到的障碍，在无障碍时不要提前进行分类讨论．数形结合．有些不等式的解决可化为两个函数图像间的位置关系的讨论等几何问题．
（4）函数方程思想．解不等式可化为解方程或求函数图像与轴交点的问题，根据题意判断所求解的区间．如“穿根法”实际上就是一种函数方程思想．
（5）线性规划问题的解题步骤：①根据线性约束条件画出可行域；②利用线性目标函数求出最优解。最优“整点”不一定在可行区域内，这时需要将相近的点一一列出，再代入约束条件和目标函数逐一检验，得出正确答案.
（6）在利用基本不等式解决有关问题时，特别注意不等式成立的条件，即“一正，二定值，三相等”在使用基本不等式时，要掌握常见的恒等变形技巧。
（7）不等式渗透在中学数学各个分支中，有着十分广泛的应用．如集合问题，方程(组)的解的讨论，函数单调性的研究，函数定义域的确定，三角、数列、复数、立体几何、解析几何中的最大值、最小值问题等，无一不与不等式有着密切的联系.因此不等式应用问题体现了一定的灵活性、综合性．在解决问题时，要依据题设、题断的结构特点及内在联系，选择适当的解决方案，最终归结为不等式的求解．
习题3－2
1．(2011山东文科7)设变量x，y满足约束条件，则目标函数的最大值为
(A)11 (B)10 (C)9 (D)8.5
2．(2011安徽文科)设=，其中a，bR，ab0，若对一切则xR恒成立，则
①[
②＜
③既不是奇函数也不是偶函数
④的单调递增区间是
⑤存在经过点（a，b）的直线与函数的图像不相交
以上结论正确的是 （写出所有正确结论的编号）.
3．已知函数f(x)＝log2(x＋－a)的定义域为A，值域为B．（1）当a＝4时，求集合A；（2）设I＝R为全集，集合M＝{x|y＝}，若(CIM)∪(CIB)＝，求实数a的取值范围．
4．解关于x的不等式＞1(a≠1) ．
5．设不等式的解集为，如果，求实数的取值范围．
第三节 不等式选讲
不等式选讲是一个选考内容,纵观近年关于课程标准的高考试题,含绝对值不等式的试题常以选做题的形式出现,属于中档偏易题.最值与恒成立问题是高考的常考点,不等式的证明常与数列相结合,考查数学归纳法、放缩法等技能方法,属于中高档题,甚至是压轴题,难度一般控制在之间.
考试要求：
⑴理解绝对值及其几何意义.
①绝对值不等式的变式：.
②利用绝对值的几何意义求解几类不等式：①；②；③.
⑵了解不等式证明的方法：如比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法.
题型一 含绝对值不等式
例（2011全国课标卷理科第24题）设函数,其中.
（Ⅰ）当时，求不等式的解集
（Ⅱ）若不等式的解集为 ，求a的值。
点拨：⑴解含绝对值不等式的关键是去掉绝对值符号.
⑵可考虑采用零点分段法.
解：
（Ⅰ）当时，可化为,
由此可得 或,
故不等式的解集为或.
( Ⅱ) 由的
此不等式化为不等式组
或
即 或
因为，所以不等式组的解集为
由题设可得= ，故.
易错点：⑴含绝对值的不等式的转化易出错；⑵不会运用分类讨论的数学思想,去掉绝对值符号.
变式与引申：若，求证： .
题型二 不等式的性质
例.⑴设,则的最小值是( ).
A. B. C. D.
⑵设且,求的最大值.
点拨：⑴观察分母能发现其和为,则添加可配凑成
,再利用基本不等式求解；
⑵观察已知条件,可将所求式子转化为,再利用基本不等式求解.
(1)【答案】D 解：,
当且仅当
,时等号成立.如取,满足条件.选D.
（2）∵,∴.
又,∴,即
易错点：忽视基本不等式求最值时的“一正、二定、三相等”条件.
变式与引申2：已知,且,求证:.
题型三 不等式的证明
例3 已知,且,求证：.
点拨：由,得,,.可使问题得证.
解：∵ ,∴,,,
∴.
易错点：⑴易出现的错误；⑵忽视基本不等式中等号成立的条件.
变式与引申3： 是和的等比中项，则的最大值为( ).
A. B. C. D.
题型四 不等式与函数的综合应用
例4已知函数.当时.求证：.
点拨：本题中所给条件并不足以确定参数,的值，但应该注意到：所要求的结论不是的确定值,而是与条件相对应的“取值范围”,因此,我们可以用 、来表示,,因为由已知条件有,,可使问题获证.
证明：由，从而有
,∵,∴.
易错点：⑴不会用、来表示、、及其它们的和差关系式,从而解题思路受阻；⑵不能灵活运用绝对值,对问题进行转化.
变式与引申4：设二次函数，函数的两个零点为.
（1）若求不等式的解集；
（2）若且，比较与的大小．
本节主要考查：⑴不等式的性质(基本不等式与柯西不等式)应用；⑵含绝对值不等式的解法；
⑶逆求参数取值范围；⑷函数方程思想、分类讨论思想、转化化归思想以及比较法、分析法、综合法等数学思想方法.
点评：⑴运用不等式性质解有关问题时,要随时对性质成立的条件保持高度警惕,避免错误发生；
⑵应用绝对值不等式解题时,要注意绝对值不等式中等号成立的条件；解含绝对值不等式的关键是去掉绝对值符号,主要思路有：①利用绝对值的几何意义；②零点分段讨论；③平方转化；④借助图象直观获解.
⑶利用基本不等式和柯西不等式求最值是不等式选讲的重点考查内容之一,解题中常用技巧是注意创设应用基本不等式的条件,合理地拆分项或配凑因式,即把已知式子转化成基本不等式和柯西不等式的模型.在应用求最值时,“一正、二定、三相等”三个条件不可缺一.
⑷证明不等式的常用方法：
①比较法,即作差比较法与作商比较法；②综合法—-由因导果；③分析法---执果索因；④放缩法,常出现在与数列和式有关的不等式证明中,运用时应注意观察“放与缩”的方向和“放与缩”的量的大小,把握好放缩的“度”,熟记一些常用放缩技巧和放缩的结构形式.
⑸不等式作为工具,常与函数、导数、数列、解析几何结合在一起,有着广泛的应用,应给予关注.
习题3-3
1.(2011陕西文科第3题)设，则下列不等式中正确的是 （ ）
（A） （B）
（c） (D)
2．不等式的解集是( ).
A. B. C. D.
3．不等式对任意实数恒成立,则实数的取值范围为( ).
A. B. C. D.
4.(2011年山东卷文科第16题）.已知当2＜a＜3＜b＜4时，函数的零点 .
5.设,是大于的常数,若的最小值是,则的值等于______.
第四节 数列与不等式的综合应用
数列与不等式的综合问题是考查的热点和重点内容，近几年，高考关于数列与不等式的综合应用的命题趋势是：
（1）以客观题考查不等式的性质、解法与数列、等差数列、等比数列的简单交汇．
（2）以解答题以中档题或压轴题的形式考查数列与不等式的交汇，还有可能涉及到导数、解析几何、三角函数的知识等，深度考查不等式的证明(主要比较法、综合法、分析法、放缩法、数学归纳法、反证法)和逻辑推理能力及分类讨论、化归的数学思想，试题新颖别致，难度相对较大．
题型一 数列中的不等关系
例1设等差数列的前项和为，，，则的最大值是 .
点拨：数列与不等式的小题，主要是运用基本不等式、不等式的性质、线性规划等求范围或最值．本题明为数列，实为线性规划，着力考查了转化化归和数形结合思想．因约束条件只有两个，本题也可用不等式的方法求解．
解法1：由题意，，即，，．
建立平面直角坐标系，画出可行域（图略），画出目标函数即直线，由图知，当直线过可行域内点时截距最大，此时目标函数取最大值．
解法2：前面同解法1
设，由解得，∴
由不等式的性质得： ，即
，的最大值是4．
解法3：前面同解法1，
∴ ∴，即
∴，的最大值是4．
易错点：一方面得出不等式组，之后不知如何运用；另一方面用线性规划求最值时，用错点的坐标．
变式与引申1：
（1）等比数列的公比，第17项的平方等于第24项，求使 恒成立的正整数的取值范围．
（2）（2011年浙江文科卷第19题）已知公差不为0的等差数列的首项为，且，，成等比数列．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）对，试比较与的大小．
题型二 数列、函数与不等式
例2 已知函数，数列满足，且．
（1）设，证明：；
（2）设（1）中的数列的前项和为，证明．
点拨：数列与不等式的证明问题常用的方法：(1)比较法，特别是差值比较法是最根本的方法；(2)分析法与综合法：一般是利用分析法分析，再利用综合法证明；(3)放缩法：利用迭代法、累加法、累乘法构建关系进行放缩.
【解】（1）
由条件知 故
（2）由（1）的过程可知
，
.
易错点：不易找出放缩的方法，从而无法证明．放缩法可通过对分母分子的扩大或缩小、项数的增加与减少等手段达到证明的目的．
变式与引申2： 已知数列是首项的等比数列，其前项和为，且成等差数列。
（1）求数列的通项公式；
（2）若，设为数列的前项和，
求证：
题型三 数列、解几与不等式
例3 如图，已知曲线．从C上的点作x轴的垂线，交于点，再从点作y轴的垂线，交C于点设，．
（1）求点Q1、Q2的坐标；
（2）求数列的通项公式；
（3）记数列的前n项和为，求证：．
点拨：运用数列知识解决数列与解几的综合问题，尤其是解析几何中的点列
问题是高考的热点，关健是充分利用解析几何的有关性质、公式建立数列的
递推关系式，然后借助数列知识来解决问题，注意三点坐标间的关系.
解析（1）∵
∴点的坐标为，∴.
（2）∵ 在曲线C上 ∴，又∵在曲线上，∴
∴ ∴
（3）
∴
∴
易错点：（1）三点坐标之间的关系不易寻找，要充分利用数形结合解决问题．（2）型递推数列求通项用累加法，求放缩方法不容易找到，求和就成问题.
变式与引申3：（2011年陕西文科卷）如图，从点做x轴的垂线交曲线于点曲线在点处的切线与x轴交于点，再从做x轴的垂线交曲线于点，依次重复上述过程得到一系列点：记点的坐标为.
（Ⅰ）试求与的关系
（ Ⅱ）求．
题型四 数列与不等式的探索问题
例4设数列的前项和为，对任意的正整数，都有成立，记.
（I）求数列与数列的通项公式；
（II）设数列的前项和为，是否存在正整数，使得成立？若存在，找出一个正整数；若不存在，请说明理由；
（III）记，设数列的前项和为，求证：对任意正整数都有；
点拨：数列与不等式中的探索性问题主要表现为存在型，解答的一般策略：先假设所探求对象存在或结论成立，以此假设为前提条件进行运算或逻辑推理，若由此推出矛盾，则假设不成立，从而得到“否定”的结论，即不存在.若推理不出现矛盾，能求得在范围内的数值或图形，就得到肯定的结论，即得到存在的结果.也可直接推理判断是否存在.
解（1）当时，.
又
∴数列是首项为，公比为的等比数列，∴，
（2）不存在正整数，使得成立.
证明：
∴当n为偶数时，设 ∴
当n为奇数时，设
∴
∴对于一切的正整数n，都有 ∴不存在正整数，使得成立．
（3）
又∴， 当时，，
当时，
易错点：（1）在第二问中对不加讨论，导致结论不正确；（2）找不到的放缩技巧，也有可能放得过大而无法证明
变式与引申4：已知数列和满足,,.
(Ⅰ) 当时,求证: 对于任意的实数,一定不是等差数列；
(Ⅱ) 当时,试判断是否为等比数列.
本节主要考查：数列的通项公式、前n项和公式以及二者之间的关系、等差数列和等比数列、归纳与猜想、比较大小、不等式证明、参数取值范围的探求，在不等式的证明中要注意放缩法的应用，此类题型主要考查学生对知识的灵活变通、融合与迁移，考查学生数学视野的广度和进一步学习数学的潜能.
点评：
（1）数列与不等式作为高中数学代数五大内容的两大核心内容，其在高考试卷中处于核心地位，数列与不等式的综合是高考的重中之重，有数列与不等式的主要交汇，有不等式与函数的重点交叉，数列与函数、数列与数学归纳法、不等式与解析几何的交汇也比较突出．当这些两者甚至三者交汇结合在一起的时候，问题会变得非常的灵活，对学生的数学思维能力，分析问题和解决问题的能力，计算能力以及数学的思想和方法、数学的素养都有较高的要求．
（2）求解数列中的某些最值问题，有时须结合不等式来解决，其具体解法有：①建立目标函数，通过不等式确定变量范围，进而求得最值；②首先利用不等式判断数列的单调性，然后确定最值；③利用条件中的不等式关系确定最值．
（3）探索型问题常常需要由给定的题设条件去探索相应的结论，或探索满足某些条件的对象是否存在，问题增加了许多可变因素，思维指向不明显．探索型问题有：①猜想型，即结论未给出，解题时需要首选探索结论，然后再加以证明；②判断型，即判定符合某种条件的数学对象是否存在或其结论是否成立，解题时常先假设存在，然后求出或导出矛盾．
（4）数列中的不等式问题，一般有放缩，构造函数这两类常见的方法．用放缩法证明不等式有：①利用迭代法构建关系进行放缩；②利用累加法构建关系进行放缩；③利用累乘法构建关系进行放缩；④利用可求和的新数列构建关系进行放缩．而放缩主要是把数列的通项放缩为一个可求和的数列，如放缩为等比、等差或可裂项求和的数列．
习题3－4
1．数列的通项公式,若此数列满足(),则的取值范围是
A, B, C, D,
2．已知三角形的三边构成等比数列,它们的公比为, 则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．已知为锐角，且，
函数，数列{an}的首项.
⑴ 求函数的表达式；
⑵ 求证：.
4．函数的最小值为且数列的前项和为．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）若数列是等差数列，且，求非零常数；
（Ⅲ）若，求数列的最大项．
5．(2011全国理科)设数列满足且
（Ⅰ）求的通项公式；
（Ⅱ）设
第三讲(文) 数列与不等式参考答案
第一节 数列及其应用
变式与引申1【解析】根据题意，点适合抛物线有以下特点①开口向上，②过原点，③对称轴，（1）由对称性可知，另一交点为，表明.（2）当为最小时，.
变式与引申2
【解析】（1） 两式相减：
是以2为公比的等比数列，
（2）
而
3.解 （1）因为对任意的,点，均在函数且均为常数)的图像上.所以得, 当时,,
当时,,
又因为{}为等比数列, 所以, 公比为, 所以
（2）当b=2时，,
则
相减,得=
所以
变式与引申4
【解析】（1）由表知，每年比上一年多造林400亩.
因为2009年新植1400亩，故当年沙地应降为亩，但当年实际沙地面积为24000亩，所以2009年沙化土地为200亩. 同理2010年沙化土地为200亩.
所以每年沙化的土地面积为200亩
（2）由(1)知，每年林木的“有效面积”应比实造林面积少200亩.
设2010年及其以后各年的造林亩数分别为、、、…，则n年造林面积总和为：
由题意： 化简得
解得： 故8年，即到2017年可绿化完全部沙地.
变式与引申5解：（1）由已知得
又
是以为首项，以为公比的等比数列.
（2）由（I）知，
将以上各式相加得：
（3）存在，使数列是等差数列.
数列是等差数列的充要条件是、是常数
即
又
当且仅当，即时，数列为等差数列.
习题3－1
1. 【答案】A
【解析】法一：分别求出前10项相加即可得出结论；
法二：，故.故选A.
2. 【答案】；
【解析】==．
3. 【解析】（1），，， 因为，，成等比数列，
所以， 解得或． ∵c≠0，∴．
（2）当时，由于 ，，，
所以．
又，，故．当时，上式也成立，
所以．
（3）令
……①
……②
①-②得：
4.
【分析】（1）根据函数的导数求切线方程，然后再求切线与轴的交点坐标；（2）尝试求出通项的表达式，然后再求和．
【解】（Ⅰ）设，由得点处切线方程为
由得。
（ Ⅱ），得，
5. 【解析】（1）
当时上式也成立，
（2）
①
②
①—②，得
第二节 解不等式
变式与引申1 （1）
【解析】: ，数轴标根得：
（2）解析：由已知,∴当时，由得,,解得或.
当，由得,,解得.
综上所述：不等式的解集是.选A.
变式与引申2 （1）解：本题与例2解法类似，请自行设计算法框图，再求解.这里仅提供答案：当时， 解集为；当时，解集为；当时， 解集为；当时，解集为；当时，解集为.
（2）解（1）将得
（2）不等式即为,即
①当
②当
③.
变式与引申3 （1）解：设，则问题的条件变为当时，恒成立.∵当,即时，恒成立.
又当时，在上恒成立的充要条件是
，
故a的取值范围是.
本题实际上也是一道恒成立的问题，此类问题还可运用分离参数法求解，请自行尝试解答.
（2）解：易知奇函数在上递增,且,则
.令,则.由题意,在上不等式恒成立,从而或或,解得.
因此，满足条件的实数存在，它可取内的一切值.
变式与引申4：
【答案】B
【解析】三条直线的交点分别为（0,1），（0，－1），（1,0），分别代入，得最大值为2，最小值为－2.故选B.
（2）因为当且仅当，且，
即时，取“=”号,选C.
习题3－2
1．【答案】B
【解析】画出平面区域表示的可行域如图所示,由目标函数得直线，当直线平移至点A(3,1)时, 目标函数取得最大值为10,故选B.
答图
2．【答案】①③.
【解析】，
又，由题意对一切则xR恒成立，则对一切则xR恒成立，即，恒成立，而，所以，此时.所以.
①，故①正确；
②，
，
所以＜，②错误；
③，所以③正确；
④由①知，，
由知，所以③不正确；
⑤由①知，要经过点（a，b）的直线与函数的图像不相交，则此直线与横轴平行，又的振幅为，所以直线必与图像有交点.⑤不正确.
3．
解：（1）当a＝4时，由x＋－4＝＝＞0， 解得0＜x＜1或x＞3，　　
故A＝{x|0＜x＜1或x＞3}
　　（2）由(CIM)∪(CIB)＝，得CIM＝，且CIB＝，即M＝B＝R，
若B＝R，只要u＝x＋－a可取到一切正实数，则x＞0及umin≤0，
∴umin＝2－a≤0，解得a≥2……①
　　 若M＝R，则a＝5或 解得1＜a≤5
　　 由①②得实数a的取值范围为[2，5]
4．【解析】原不等式可化为 ( http: / / www. / wxc / ) ＞0，
①当时，原不等式与同解．
由于∴原不等式的解为．
②当时，原不等式与.由于,
当时，,解集为；
当时，，解集为；
当时，,解集为．
综上所述 当时解集为；
当时，解集为；
当时，解集为；当时，解集为 ( http: / / www. / wxc / )
5．【解析】解：有两种情况 其一是，此时；其二是，此时或.以下分三种情况求的取值范围．
设，有.
(1)当时，，.
(2)当时，或.当时　；当时， ( http: / / www. / wxc / )
(3)当时，或.设方程的两根，且，那么，
即解得.
∴的取值范围是．
第三节 不等式选讲
变式与引申：
证明：
变式与引申2：
证法一:用柯西不等式.
当且仅当,即时,等号成立.
证法二：代入法：
当且仅当时,等号成立.
变式与引申3：选B
解：由条件可知,用三角代换设,,
则
∴选B.
变式与引申4：（1）由题意知，　　　
当时，不等式 即为.
当时，不等式的解集为或；
当时，不等式的解集为.
（2）
且，∴
∴， 即．
习题3-3
1. 【答案】B
【解】（方法一）已知和，比较与，因为，所以，同理由得；作差法：，所以，综上可得；故选B．
（方法二）取，，则，，所以．
2．
【答案】A 解：由绝对值大于本身，知其值为负数，即,解得.
3．【答案】A 解：∵,∴的最大值为,要使
对任意实数恒成立,则,解得或.故.
4.【答案】2
【解析】因为函数在（0，上是增函数，
，
即.
5.【答案】 解：.∴.
第四节 数列与不等式的综合应用
变式与引申1：（1）解由题意得：（），∴. 由等比数列的性质知：
数列是以为首项，以为公比的等比数列，要使不等式成立，则须，
把代入并整理，得∴，∴n＞19，
故所求正整数的取值范围是n≥20.
（2）（Ⅰ）解：设等差数列的公差为，由题意可知
即，从而
因为
故通项公式
（Ⅱ）解：记
所以
从而，当时，；当
变式与引申2：
解：设数列的公比为
（1）若，则
显然不成等差数列，与题设条件矛盾，所以≠1
由成等差数列，得
化简得
∴
（2）证：
当≥2时，
=1+
变式与引申3：
【解】（Ⅰ）设，由得点处切线方程为
由得。
（ Ⅱ），得，
变式与引申：4
【解析】（Ⅰ）当时,
假设是等差数列,由得, ， 方程无解.
故对于任意的实数,一定不是等差数列.
（Ⅱ）当时,.而,所以
=.
又 .
故当时, 不是等比数列.
当时, 是以为首项,为公比的等比数列.
习题3－4
1. 答案D 解析：1由,恒成立,有,得.
2. 【答案】D 解析： 设三边为则，即
得，即
3：解：⑴ 又∵为锐角
∴ ∴
⑵ ∵ ∴都大于0
∴ ∴
4. 解：（Ⅰ）由
，，
由题意知：的两根，
（Ⅱ），
为等差数列，，，
经检验时，是等差数列，.
（Ⅲ）
5.解： (I) 是公差为1的等差数列，
所以
(II)
.
图3-1-2
图3-1-3
开始
结束
化为
化为规范式
化为规范式
与的大小
是否确定？
讨论与的大小关系
与的大小
是否确定？
讨论与的大小关系
写出解集
图
图
图
Pn
Pn+1
图
x
y
O
答图
答图3—2－3