2012二轮小专题：“放缩”有度
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2012二轮小专题：“放缩”有度
做了很多题目，有一个小小的发现：很多题目难住自己的，实际上就难在一两步上甚至是在一两个点上，要是有有一步突破不了，丢掉的不仅仅是一道题的分数，还有继续往答题的信心。比如涉及到函数与数列综合题目中的大小比较，用放缩法证明就是较为常见的难点。这类题目就是很多人的心病，一遇到这类题就心生畏惧。即便很多人在“稀里糊涂”中把题目做出来了，还是不知道所以然，这样在云里雾里生活是很危险的。
【明晰定义】：
指若直接证明不等式较困难，而借助一个或多个中间变量（函数、方程、数列、向量或不等式）通过适当的放大或缩小，而达到证明不等式成立的一种方法。叙述方式为：要证明，可构造出函数式，使，且，其中数学式，常通过将放大，或将缩小而构成。
放缩法证明不等式的依据：①不等式的传递性，即若则；②等量加不等量为不等量；③同分子异分母（或同分母异分子）的两个分式大小的比较等。一般用于两边差别较大的不等式。
放缩法的实质是非等价转化，放缩没有确定的准则和程序，放缩目的性很强，需按题意适当放缩.即通过放缩将复杂的一边化简，凑出另一边的形式。
放缩法的尺度：根据不等式两端的特点及已知特点，谨慎的采取措施，进行适当的放缩，任何不适宜都会导致推证的失败；这就需要认真的分析结论特点，由结论的特点探究解题规律；放缩标准：放缩到可裂项，放缩到可用公式，放缩到可控的范围……
【常用结论】：
（1）变形类：若
（2）添舍类：
，
（3）分式类：
；
或
（4）基本不等式类：；
；
（5）综合运用类：
i、；
ii、（程度大）；
（程度小）；
iii、；
，则.
注意：，等特例.
还有：
【解题方法】
①一边为无限项的和或积，另一边为定值；
②在证明涉及求和的不等式时，通过逐项放缩的手段，一方面放缩，另一方面使放缩之后便于求和，以达到求和目的；
③恰当引入辅助函数，通过函数单调性达到放缩目的；
④对涉及正整数的不等式，可以先考虑用数学归纳法进行整体放缩；
⑤运用公式性质，函数单调性；
⑥运用绝对值不等式；
⑦运用二项式定理，利用三角有界性放缩，利用三角形的三边关系进行放缩；
⑧舍弃或添加一些项进行放缩.将部分项放缩，或每项放缩；
⑨裂项利用一些熟悉的关系式放缩；
【常见题型】
放缩法影射到具体问题中，涉及到不等式证明，数列比较大小等。（此项有待进一步拓展）
【例析技巧】
说明：此处只是在方法上，从一些小的点上切入，没有专题性的那么全面。
1、添加或舍弃一些正项（或负项）
例1、已知求证：
证明：
若多项式中加上一些正的值，多项式的值变大，多项式中加上一些负的值，多项式的值变小。由于证明不等式的需要，有时需要舍去或添加一些项，使不等式一边放大或缩小，利用不等式的传递性，达到证明的目的。本题在放缩时就舍去了，从而是使和式得到化简.
2、先放缩再求和（或先求和再放缩）
例2、函数f（x）=，求证：f（1）+f（2）+…+f（n）>n+.
证明：由f(n)= =1-
得f（1）+f（2）+…+f（n）>
.
此题不等式左边不易求和,此时根据不等式右边特征, 先将分子变为常数，再对分母进行放缩，从而对左边可以进行求和. 若分子, 分母如果同时存在变量时, 要设法使其中之一变为常量，分式的放缩对于分子分母均取正值的分式。如需放大，则只要把分子放大或分母缩小即可；如需缩小，则只要把分子缩小或分母放大即可。
3、先放缩，后裂项（或先裂项再放缩）
例3、已知an=n ，求证： eq \f(,) ＜3．
证明：=＜1＋ eq \f(1,)
＜１＋ eq \f(2,( ＋)) =
=1＋ ( eq \f(1,) － eq \f(1,) )
=1＋1＋－－ eq \f(1,) ＜2＋＜3．
本题先采用减小分母的两次放缩，再裂项，最后又放缩，有的放矢，直达目标.
4、放大或缩小“因式”；
例4、已知数列满足求证：
证明
本题通过对因式放大，而得到一个容易求和的式子，最终得出证明.
5、逐项放大或缩小
例5、设求证：
证明：∵
∴
∴ ， ∴
本题利用，对中每项都进行了放缩，从而得到可以求和的数列，达到化简的目的。
6、固定一部分项，放缩另外的项；
例6、求证：
证明：
此题采用了从第三项开始拆项放缩的技巧，放缩拆项时，不一定从第一项开始，须根据具体题型分别对待，即不能放的太宽，也不能缩的太窄，真正做到恰倒好处。
7、利用基本不等式放缩
例7、已知，证明：不等式对任何正整数都成立.
证明：要证，只要证 .
因为 ，，
故只要证 ，
即只要证 .
因为，
所以命题得证.
本题通过化简整理之后，再利用基本不等式由放大即可.
8、先适当组合, 排序, 再逐项比较或放缩
例8、.已知i，m、n是正整数，且1＜i≤m＜n.
(1)证明：niA＜miA；
(2)证明：(1+m)n＞(1+n)m
证明：(1)对于1＜i≤m，且A =m·…·(m－i+1)，
，
由于m＜n，对于整数k=1，2，…，i－1，有，
所以
(2)由二项式定理有：
(1+m)n=1+Cm+Cm2+…+Cmn，
(1+n)m=1+Cn+Cn2+…+Cnm，
由(1)知miA＞niA (1＜i≤m＜n ，而C=
∴miCin＞niCim(1＜m＜n
∴m0C=n0C=1，mC=nC=m·n，m2C＞n2C，…，
mmC＞nmC，mm+1C＞0，…，mnC＞0，
∴1+Cm+Cm2+…+Cmn＞1+Cn+C2mn2+…+Cnm，
即(1+m)n＞(1+n)m成立.
【真题精选18题】
最难的放缩法涉及到的试题都在这里，不妨做做看看，有没有！
1．（本小题满分14分）（2003江苏卷）
设如图，已知直线及曲线C：，C上的点Q1的横坐标为
（）.从C上的点Qn（n≥1）作直线平行于x轴，交直线l于点，再从点作直线平行于y轴，交曲线C于点Qn+1.Qn（n=1，2，3，…）的横坐标构成数列
（Ⅰ）试求的关系，并求的通项公式；
（Ⅱ）当时，证明；
（Ⅲ）当a=1时，证明
（Ⅰ）解：∵
∴ ∴
， ∴
（Ⅱ）证明：由a=1知 ∵ ∴
∵当
∴
（Ⅲ）证明：由（Ⅰ）知，当a=1时，
因此
=
（在形式上借助图像，在知识上综合数列，在方法上重点考查精准的变形放缩。）
2．（本小题满分12分）（2005重庆卷）
数列{an}满足.
（Ⅰ）用数学归纳法证明：；
（Ⅱ）已知不等式，其中无理数
e=2.71828….
（Ⅱ）证法一：
由递推公式及（Ⅰ）的结论有
两边取对数并利用已知不等式得
故
上式从1到求和可得
即
（Ⅱ）证法二：
由数学归纳法易证成立，故
令
取对数并利用已知不等式得
上式从2到n求和得
因
故成立.
3.（本小题满分14分）（2006天津卷）
已知数列满足，，并且
，（为非零参数，2，3，4，…）
（1）若成等比数列，求参数的值；
（2）当时，证明（）
（3）当时，证明（）。
（1）解：由已知，且，，
若、、成等比数列，则，即，而，解得
（2）证明：由已知，，及，可得，。由不等式的性质，有
另一方面，
因此，，故
（3）证明：当时，由（2）可知
又由（2），则从而
因此，
4.（本小题满分14分）（2006天津卷）
已知数列满足，，并且
，（为非零参数，2，3，4，…）
（1）若成等比数列，求参数的值；
（2）当时，证明（）
（3）当时，证明（）。
（1）解：由已知，且，，
若、、成等比数列，则，即，而，解得
（2）证明：由已知，，及，可得，。由不等式的性质，有
另一方面，
因此，，故
（3）证明：当时，由（2）可知
又由（2），则从而
因此，
5．（本小题满分14分）（2007福建卷）
已知函数
（Ⅰ）若，试确定函数的单调区间；
（Ⅱ）若，且对于任意，恒成立，试确定实数的取值范围；
（Ⅲ）设函数，求证：．
解：（Ⅰ）由得，所以．
由得，故的单调递增区间是，
由得，故的单调递减区间是．
（Ⅱ）由可知是偶函数．
于是对任意成立等价于对任意成立．
由得．
①当时，．
此时在上单调递增．
故，符合题意．
②当时，．
当变化时的变化情况如下表：
单调递减 极小值 单调递增
由此可得，在上，．
依题意，，又．
综合①，②得，实数的取值范围是．
（Ⅲ），
，
，
由此得，
故．
6．（本小题满分14分）（2007湖北卷）
已知为正整数，
（I）用数学归纳法证明：当时，；
（II）对于，已知，求证，
求证，；
（III）求出满足等式的所有正整数．
解法1：（Ⅰ）证：用数学归纳法证明：
（ⅰ）当时，原不等式成立；当时，左边，右边，
因为，所以左边右边，原不等式成立；
（ⅱ）假设当时，不等式成立，即，则当时，
，，于是在不等式两边同乘以得
，
所以．即当时，不等式也成立．
综合（ⅰ）（ⅱ）知，对一切正整数，不等式都成立．
（Ⅱ）证：当时，由（Ⅰ）得，
于是，．
（Ⅲ）解：由（Ⅱ）知，当时，
，
．
即．即当时，不存在满足该等式的正整数．
故只需要讨论的情形：
当时，，等式不成立；
当时，，等式成立；
当时，，等式成立；
当时，为偶数，而为奇数，故，等式不成立；
当时，同的情形可分析出，等式不成立．
综上，所求的只有．
解法2：（Ⅰ）证：当或时，原不等式中等号显然成立，下用数学归纳法证明：
当，且时，，． ①
（ⅰ）当时，左边，右边，因为，所以，即左边右边，不等式①成立；
（ⅱ）假设当时，不等式①成立，即，则当时，
因为，所以．又因为，所以．
于是在不等式两边同乘以得
，
所以．即当时，不等式①也成立．
综上所述，所证不等式成立．
（Ⅱ）证：当，时，，，
而由（Ⅰ），，
．
（Ⅲ）解：假设存在正整数使等式成立，
即有． ②
又由（Ⅱ）可得
，与②式矛盾．
故当时，不存在满足该等式的正整数．
下同解法1．
7. (本小题满分14分)（2007四川卷）
设函数.
(Ⅰ)当x=6时,求的展开式中二项式系数最大的项;
(Ⅱ)对任意的实数x,证明＞
(Ⅲ)是否存在,使得an＜＜恒成立 若存在,试证明你的结论并求出a的值;若不存在,请说明理由.
（Ⅰ）解：展开式中二项式系数最大的项是第4项，这项是
（Ⅱ）证法一：因
证法二：因
而
故只需对和进行比较。
令，有
由，得
因为当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以在处有极小值
故当时，，
从而有，亦即
故有恒成立。
所以，原不等式成立。
（Ⅲ）对，且
有
又因，故
∵，从而有成立，
即存在，使得恒成立。
8.（本题15分）（2007浙江卷）
已知数列中的相邻两项是关于的方程的两个根，且．
（I）求，，，；
（II）求数列的前项和；
（Ⅲ）记，
，
求证：．
（I）解：方程的两个根为，，
当时，，
所以；
当时，，，
所以；
当时，，，
所以时；
当时，，，
所以．
（II）解：
．
（III）证明：，
所以，
．
当时，
，
，
同时，
．
综上，当时，．
9. (本小题满分12分)（2007重庆卷）
已知各项均为正数的数列{}的前n项和满足，且
（1）求{}的通项公式；(5分)
（2）设数列{}满足，并记为{}的前n项和，
求证：. (7分)
（I）解：由，解得或，由假设，因此，
又由，
得，
即或，因，故不成立，舍去．
因此，从而是公差为，首项为的等差数列，
故的通项为．
（II）证法一：由可解得；
从而．
因此．
令，则．
因，故．
特别地，从而．
即．
证法二：同证法一求得及，
由二项式定理知，当时，不等式成立．
由此不等式有
．
证法三：同证法一求得及．
令，．
因．因此．
从而
．
证法四：同证法一求得及．
下面用数学归纳法证明：．
当时，，，
因此，结论成立．
假设结论当时成立，即．
则当时，
因．故．
从而．这就是说，当时结论也成立．
综上对任何成立．
10.（本小题满分13分）（2008安徽卷）
设数列满足,其中为实数。
（Ⅰ）证明：对任意成立的充分必要条件是,
(Ⅱ)设,证明：;
(Ⅲ)设,证明：
（Ⅰ）必要性：∵，又∵，∴，即.
充分性：设，对任意用数学归纳法证明.
当时，.
假设当时，，则，且，.
由数学归纳法知，对任意成立.
(Ⅱ) 设，当时，，结论成立；
当时，∵，∴.
∵，由（Ⅰ）知，∴且，
∴，
∴.
(Ⅲ)设,当时，，结论成立；
当时，由(Ⅱ)知，
∴.
∴
.
11．（本题14分）（2008浙江卷）
已知数列，，，．
记：，．
求证：当时，
（Ⅰ）；
（Ⅱ）；
（Ⅲ）
（Ⅰ）证明：用数学归纳法证明．
①当时，因为是方程的正根，所以．
②假设当时，，
因为
，
所以．
即当时，也成立．
根据①和②，可知对任何都成立．
（Ⅱ）证明：由，（），
得．
因为，所以．
由及得，
所以．
（Ⅲ）证明：由，得
所以，
于是，
故当时，，
又因为，
所以．
12.（本小题满分13分）（2009湖南卷）
对于数列若存在常数M＞0,对任意的，恒有
，则称数列为B-数列
（1）首项为1，公比为的等比数列是否为B-数列？请说明理由;请以其中一组的一个论断条件，另一组中的一个论断为结论组成一个命题判断所给命题的真假，并证明你的结论；
（2）设是数列的前项和，给出下列两组论断；
A组：①数列是B-数列 ②数列不是B-数列
B组：③数列是B-数列 ④数列不是B-数列
请以其中一组中的一个论断为条件，另一组中的一个论断为结论组成一个命题。判断所给命题的真假，并证明你的结论；
（3）若数列都是数列，证明：数列也是数列。
解（1）设满足题设的等比数列为,则，于是
因此｜- ｜+｜-｜+…+｜-｜=
因为所以即
故首项为1，公比为的等比数列是B-数列。
（2）命题1：若数列是B-数列，则数列是B-数列
次命题为假命题。
事实上，设，易知数列是B-数列，但
由的任意性知，数列是B-数列此命题为。
命题2：若数列是B-数列，则数列是B-数列
此命题为真命题
事实上，因为数列是B-数列，所以存在正数M，对任意的有
即。于是
所以数列是B-数列。
（III）若数列 {}是数列，则存在正数，对任意的有
注意到
同理：
记，则有
因此
+
故数列是数列
13. (本小题满分14分) （2009湖北卷）
在R上定义运算（b、c为实常数）。记，，.令.
如果函数在处有极什,试确定b、c的值；
求曲线上斜率为c的切线与该曲线的公共点；
记的最大值为.若对任意的b、c恒成立，试示的最大值。
（3）当得对称轴x=b位于区间之外
此时
由 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
若
于是
若，则，
于是
综上，对任意的b、c都有
而当，时，在区间上的最大值
故对任意的b，c恒成立的k的最大值为
14．（本小题满分12分）（2009陕西卷）
已知数列满足， .
猜想数列的单调性，并证明你的结论；
(Ⅱ)证明：。
证（1）由
由猜想：数列是递减数列
下面用数学归纳法证明：
（1）当n=1时，已证命题成立 （2）假设当n=k时命题成立，即
易知，那么
=
即
也就是说，当n=k+1时命题也成立，结合（1）和（2）知，命题成立
（2）当n=1时，，结论成立
当时，易知
15．（本小题共14分）（2011广东卷）
设b>0,数列满足a1=b，.
（1）求数列的通项公式；
（2）证明：对于一切正整数n，
解（１）法一：，得，
设，则，
设，则，
令，得，，
知是等比数列，，又，
，．
法二：，，，
猜想，下面用数学归纳法证明：
①当时，猜想显然成立；
②假设当时，，则
，
所以当时，猜想成立，
由①②知，，．
（２），
，
，以上n个式子相加得
，
．
16.（本题满分14分）（2011浙江卷）
已知公差不为0的等差数列的首项为a（）,设数列的前n项和为，且，，成等比数列
（1）求数列的通项公式及
（2）记，，当时，试比较与的大小．
（I）解：设等差数列的公差为d，由
得
因为，所以所以
（II）解：因为，所以
因为，所以
当，
即
所以，当
当
17.（本小题满分12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分）（2011重庆卷）
设实数数列的前项和，满足
（Ⅰ）若成等比数列，示和；
（Ⅱ）求证：对有
（I）解：由题意，
由S2是等比中项知
由解得
（II）证法一：由题设条件有
故
从而对有
①
因，由①得
要证，由①只要证
即证
此式明显成立.
因此
最后证若不然
又因矛盾.
因此
证法二：由题设知，
故方程（可能相同）.
因此判别式
又由
因此，
解得
因此
由，得
因此
18.（本小题满分14分）（2011湖北卷）
（Ⅰ）已知函数求函数的最大值；
（Ⅱ）设均为正数，证明：
（1）若，则
（2）若，则。
解：（Ⅰ）的定义域为，令
，解得
当时，，在上是增函数；
当时，，在上是减函数；
故函数在x=1处取得最大值
（Ⅱ）（1）由（Ⅰ）知，当，有，即，
，从而有，得。
求和得：
，，即
（2）①先证：。
令，则，于是
由（1）得，即
，。
②再证
记,于是由（1）得，即
，
综合①②，（2）得证。
O
c
y
l
x
Q1
Q2
Q3
a1
a2
a3
r2
r1
做了很多题目，有一个小小的发现：很多题目难住自己的，实际上就难在一两步上甚至是在一两个点上，要是有有一步突破不了，丢掉的不仅仅是一道题的分数，还有继续往答题的信心。比如涉及到函数与数列综合题目中的大小比较，用放缩法证明就是较为常见的难点。这类题目就是很多人的心病，一遇到这类题就心生畏惧。即便很多人在“稀里糊涂”中把题目做出来了，还是不知道所以然，这样在云里雾里生活是很危险的。
【明晰定义】：
指若直接证明不等式较困难，而借助一个或多个中间变量（函数、方程、数列、向量或不等式）通过适当的放大或缩小，而达到证明不等式成立的一种方法。叙述方式为：要证明，可构造出函数式，使，且，其中数学式，常通过将放大，或将缩小而构成。
放缩法证明不等式的依据：①不等式的传递性，即若则；②等量加不等量为不等量；③同分子异分母（或同分母异分子）的两个分式大小的比较等。一般用于两边差别较大的不等式。
放缩法的实质是非等价转化，放缩没有确定的准则和程序，放缩目的性很强，需按题意适当放缩.即通过放缩将复杂的一边化简，凑出另一边的形式。
放缩法的尺度：根据不等式两端的特点及已知特点，谨慎的采取措施，进行适当的放缩，任何不适宜都会导致推证的失败；这就需要认真的分析结论特点，由结论的特点探究解题规律；放缩标准：放缩到可裂项，放缩到可用公式，放缩到可控的范围……
【常用结论】：
（1）变形类：若
（2）添舍类：
，
（3）分式类：
；
或
（4）基本不等式类：；
；
（5）综合运用类：
i、；
ii、（程度大）；
（程度小）；
iii、；
，则.
注意：，等特例.
还有：
【解题方法】
①一边为无限项的和或积，另一边为定值；
②在证明涉及求和的不等式时，通过逐项放缩的手段，一方面放缩，另一方面使放缩之后便于求和，以达到求和目的；
③恰当引入辅助函数，通过函数单调性达到放缩目的；
④对涉及正整数的不等式，可以先考虑用数学归纳法进行整体放缩；
⑤运用公式性质，函数单调性；
⑥运用绝对值不等式；
⑦运用二项式定理，利用三角有界性放缩，利用三角形的三边关系进行放缩；
⑧舍弃或添加一些项进行放缩.将部分项放缩，或每项放缩；
⑨裂项利用一些熟悉的关系式放缩；
【常见题型】
放缩法影射到具体问题中，涉及到不等式证明，数列比较大小等。（此项有待进一步拓展）
【例析技巧】
说明：此处只是在方法上，从一些小的点上切入，没有专题性的那么全面。
1、添加或舍弃一些正项（或负项）
例1、已知求证：
证明：
若多项式中加上一些正的值，多项式的值变大，多项式中加上一些负的值，多项式的值变小。由于证明不等式的需要，有时需要舍去或添加一些项，使不等式一边放大或缩小，利用不等式的传递性，达到证明的目的。本题在放缩时就舍去了，从而是使和式得到化简.
2、先放缩再求和（或先求和再放缩）
例2、函数f（x）=，求证：f（1）+f（2）+…+f（n）>n+.
证明：由f(n)= =1-
得f（1）+f（2）+…+f（n）>
.
此题不等式左边不易求和,此时根据不等式右边特征, 先将分子变为常数，再对分母进行放缩，从而对左边可以进行求和. 若分子, 分母如果同时存在变量时, 要设法使其中之一变为常量，分式的放缩对于分子分母均取正值的分式。如需放大，则只要把分子放大或分母缩小即可；如需缩小，则只要把分子缩小或分母放大即可。
3、先放缩，后裂项（或先裂项再放缩）
例3、已知an=n ，求证： eq \f(,) ＜3．
证明：=＜1＋ eq \f(1,)
＜１＋ eq \f(2,( ＋)) =
=1＋ ( eq \f(1,) － eq \f(1,) )
=1＋1＋－－ eq \f(1,) ＜2＋＜3．
本题先采用减小分母的两次放缩，再裂项，最后又放缩，有的放矢，直达目标.
4、放大或缩小“因式”；
例4、已知数列满足求证：
证明
本题通过对因式放大，而得到一个容易求和的式子，最终得出证明.
5、逐项放大或缩小
例5、设求证：
证明：∵
∴
∴ ， ∴
本题利用，对中每项都进行了放缩，从而得到可以求和的数列，达到化简的目的。
6、固定一部分项，放缩另外的项；
例6、求证：
证明：
此题采用了从第三项开始拆项放缩的技巧，放缩拆项时，不一定从第一项开始，须根据具体题型分别对待，即不能放的太宽，也不能缩的太窄，真正做到恰倒好处。
7、利用基本不等式放缩
例7、已知，证明：不等式对任何正整数都成立.
证明：要证，只要证 .
因为 ，，
故只要证 ，
即只要证 .
因为，
所以命题得证.
本题通过化简整理之后，再利用基本不等式由放大即可.
8、先适当组合, 排序, 再逐项比较或放缩
例8、.已知i，m、n是正整数，且1＜i≤m＜n.
(1)证明：niA＜miA；
(2)证明：(1+m)n＞(1+n)m
证明：(1)对于1＜i≤m，且A =m·…·(m－i+1)，
，
由于m＜n，对于整数k=1，2，…，i－1，有，
所以
(2)由二项式定理有：
(1+m)n=1+Cm+Cm2+…+Cmn，
(1+n)m=1+Cn+Cn2+…+Cnm，
由(1)知miA＞niA (1＜i≤m＜n ，而C=
∴miCin＞niCim(1＜m＜n
∴m0C=n0C=1，mC=nC=m·n，m2C＞n2C，…，
mmC＞nmC，mm+1C＞0，…，mnC＞0，
∴1+Cm+Cm2+…+Cmn＞1+Cn+C2mn2+…+Cnm，
即(1+m)n＞(1+n)m成立.
【真题精选18题】
最难的放缩法涉及到的试题都在这里，不妨做做看看，有没有！
1．（本小题满分14分）（2003江苏卷）
设如图，已知直线及曲线C：，C上的点Q1的横坐标为
（）.从C上的点Qn（n≥1）作直线平行于x轴，交直线l于点，再从点作直线平行于y轴，交曲线C于点Qn+1.Qn（n=1，2，3，…）的横坐标构成数列
（Ⅰ）试求的关系，并求的通项公式；
（Ⅱ）当时，证明；
（Ⅲ）当a=1时，证明
（Ⅰ）解：∵
∴ ∴
， ∴
（Ⅱ）证明：由a=1知 ∵ ∴
∵当
∴
（Ⅲ）证明：由（Ⅰ）知，当a=1时，
因此
=
（在形式上借助图像，在知识上综合数列，在方法上重点考查精准的变形放缩。）
2．（本小题满分12分）（2005重庆卷）
数列{an}满足.
（Ⅰ）用数学归纳法证明：；
（Ⅱ）已知不等式，其中无理数
e=2.71828….
（Ⅱ）证法一：
由递推公式及（Ⅰ）的结论有
两边取对数并利用已知不等式得
故
上式从1到求和可得
即
（Ⅱ）证法二：
由数学归纳法易证成立，故
令
取对数并利用已知不等式得
上式从2到n求和得
因
故成立.
3.（本小题满分14分）（2006天津卷）
已知数列满足，，并且
，（为非零参数，2，3，4，…）
（1）若成等比数列，求参数的值；
（2）当时，证明（）
（3）当时，证明（）。
（1）解：由已知，且，，
若、、成等比数列，则，即，而，解得
（2）证明：由已知，，及，可得，。由不等式的性质，有
另一方面，
因此，，故
（3）证明：当时，由（2）可知
又由（2），则从而
因此，
4.（本小题满分14分）（2006天津卷）
已知数列满足，，并且
，（为非零参数，2，3，4，…）
（1）若成等比数列，求参数的值；
（2）当时，证明（）
（3）当时，证明（）。
（1）解：由已知，且，，
若、、成等比数列，则，即，而，解得
（2）证明：由已知，，及，可得，。由不等式的性质，有
另一方面，
因此，，故
（3）证明：当时，由（2）可知
又由（2），则从而
因此，
5．（本小题满分14分）（2007福建卷）
已知函数
（Ⅰ）若，试确定函数的单调区间；
（Ⅱ）若，且对于任意，恒成立，试确定实数的取值范围；
（Ⅲ）设函数，求证：．
解：（Ⅰ）由得，所以．
由得，故的单调递增区间是，
由得，故的单调递减区间是．
（Ⅱ）由可知是偶函数．
于是对任意成立等价于对任意成立．
由得．
①当时，．
此时在上单调递增．
故，符合题意．
②当时，．
当变化时的变化情况如下表：
单调递减 极小值 单调递增
由此可得，在上，．
依题意，，又．
综合①，②得，实数的取值范围是．
（Ⅲ），
，
，
由此得，
故．
6．（本小题满分14分）（2007湖北卷）
已知为正整数，
（I）用数学归纳法证明：当时，；
（II）对于，已知，求证，
求证，；
（III）求出满足等式的所有正整数．
解法1：（Ⅰ）证：用数学归纳法证明：
（ⅰ）当时，原不等式成立；当时，左边，右边，
因为，所以左边右边，原不等式成立；
（ⅱ）假设当时，不等式成立，即，则当时，
，，于是在不等式两边同乘以得
，
所以．即当时，不等式也成立．
综合（ⅰ）（ⅱ）知，对一切正整数，不等式都成立．
（Ⅱ）证：当时，由（Ⅰ）得，
于是，．
（Ⅲ）解：由（Ⅱ）知，当时，
，
．
即．即当时，不存在满足该等式的正整数．
故只需要讨论的情形：
当时，，等式不成立；
当时，，等式成立；
当时，，等式成立；
当时，为偶数，而为奇数，故，等式不成立；
当时，同的情形可分析出，等式不成立．
综上，所求的只有．
解法2：（Ⅰ）证：当或时，原不等式中等号显然成立，下用数学归纳法证明：
当，且时，，． ①
（ⅰ）当时，左边，右边，因为，所以，即左边右边，不等式①成立；
（ⅱ）假设当时，不等式①成立，即，则当时，
因为，所以．又因为，所以．
于是在不等式两边同乘以得
，
所以．即当时，不等式①也成立．
综上所述，所证不等式成立．
（Ⅱ）证：当，时，，，
而由（Ⅰ），，
．
（Ⅲ）解：假设存在正整数使等式成立，
即有． ②
又由（Ⅱ）可得
，与②式矛盾．
故当时，不存在满足该等式的正整数．
下同解法1．
7. (本小题满分14分)（2007四川卷）
设函数.
(Ⅰ)当x=6时,求的展开式中二项式系数最大的项;
(Ⅱ)对任意的实数x,证明＞
(Ⅲ)是否存在,使得an＜＜恒成立 若存在,试证明你的结论并求出a的值;若不存在,请说明理由.
（Ⅰ）解：展开式中二项式系数最大的项是第4项，这项是
（Ⅱ）证法一：因
证法二：因
而
故只需对和进行比较。
令，有
由，得
因为当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以在处有极小值
故当时，，
从而有，亦即
故有恒成立。
所以，原不等式成立。
（Ⅲ）对，且
有
又因，故
∵，从而有成立，
即存在，使得恒成立。
8.（本题15分）（2007浙江卷）
已知数列中的相邻两项是关于的方程的两个根，且．
（I）求，，，；
（II）求数列的前项和；
（Ⅲ）记，
，
求证：．
（I）解：方程的两个根为，，
当时，，
所以；
当时，，，
所以；
当时，，，
所以时；
当时，，，
所以．
（II）解：
．
（III）证明：，
所以，
．
当时，
，
，
同时，
．
综上，当时，．
9. (本小题满分12分)（2007重庆卷）
已知各项均为正数的数列{}的前n项和满足，且
（1）求{}的通项公式；(5分)
（2）设数列{}满足，并记为{}的前n项和，
求证：. (7分)
（I）解：由，解得或，由假设，因此，
又由，
得，
即或，因，故不成立，舍去．
因此，从而是公差为，首项为的等差数列，
故的通项为．
（II）证法一：由可解得；
从而．
因此．
令，则．
因，故．
特别地，从而．
即．
证法二：同证法一求得及，
由二项式定理知，当时，不等式成立．
由此不等式有
．
证法三：同证法一求得及．
令，．
因．因此．
从而
．
证法四：同证法一求得及．
下面用数学归纳法证明：．
当时，，，
因此，结论成立．
假设结论当时成立，即．
则当时，
因．故．
从而．这就是说，当时结论也成立．
综上对任何成立．
10.（本小题满分13分）（2008安徽卷）
设数列满足,其中为实数。
（Ⅰ）证明：对任意成立的充分必要条件是,
(Ⅱ)设,证明：;
(Ⅲ)设,证明：
（Ⅰ）必要性：∵，又∵，∴，即.
充分性：设，对任意用数学归纳法证明.
当时，.
假设当时，，则，且，.
由数学归纳法知，对任意成立.
(Ⅱ) 设，当时，，结论成立；
当时，∵，∴.
∵，由（Ⅰ）知，∴且，
∴，
∴.
(Ⅲ)设,当时，，结论成立；
当时，由(Ⅱ)知，
∴.
∴
.
11．（本题14分）（2008浙江卷）
已知数列，，，．
记：，．
求证：当时，
（Ⅰ）；
（Ⅱ）；
（Ⅲ）
（Ⅰ）证明：用数学归纳法证明．
①当时，因为是方程的正根，所以．
②假设当时，，
因为
，
所以．
即当时，也成立．
根据①和②，可知对任何都成立．
（Ⅱ）证明：由，（），
得．
因为，所以．
由及得，
所以．
（Ⅲ）证明：由，得
所以，
于是，
故当时，，
又因为，
所以．
12.（本小题满分13分）（2009湖南卷）
对于数列若存在常数M＞0,对任意的，恒有
，则称数列为B-数列
（1）首项为1，公比为的等比数列是否为B-数列？请说明理由;请以其中一组的一个论断条件，另一组中的一个论断为结论组成一个命题判断所给命题的真假，并证明你的结论；
（2）设是数列的前项和，给出下列两组论断；
A组：①数列是B-数列 ②数列不是B-数列
B组：③数列是B-数列 ④数列不是B-数列
请以其中一组中的一个论断为条件，另一组中的一个论断为结论组成一个命题。判断所给命题的真假，并证明你的结论；
（3）若数列都是数列，证明：数列也是数列。
解（1）设满足题设的等比数列为,则，于是
因此｜- ｜+｜-｜+…+｜-｜=
因为所以即
故首项为1，公比为的等比数列是B-数列。
（2）命题1：若数列是B-数列，则数列是B-数列
次命题为假命题。
事实上，设，易知数列是B-数列，但
由的任意性知，数列是B-数列此命题为。
命题2：若数列是B-数列，则数列是B-数列
此命题为真命题
事实上，因为数列是B-数列，所以存在正数M，对任意的有
即。于是
所以数列是B-数列。
（III）若数列 {}是数列，则存在正数，对任意的有
注意到
同理：
记，则有
因此
+
故数列是数列
13. (本小题满分14分) （2009湖北卷）
在R上定义运算（b、c为实常数）。记，，.令.
如果函数在处有极什,试确定b、c的值；
求曲线上斜率为c的切线与该曲线的公共点；
记的最大值为.若对任意的b、c恒成立，试示的最大值。
（3）当得对称轴x=b位于区间之外
此时
由 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
若
于是
若，则，
于是
综上，对任意的b、c都有
而当，时，在区间上的最大值
故对任意的b，c恒成立的k的最大值为
14．（本小题满分12分）（2009陕西卷）
已知数列满足， .
猜想数列的单调性，并证明你的结论；
(Ⅱ)证明：。
证（1）由
由猜想：数列是递减数列
下面用数学归纳法证明：
（1）当n=1时，已证命题成立 （2）假设当n=k时命题成立，即
易知，那么
=
即
也就是说，当n=k+1时命题也成立，结合（1）和（2）知，命题成立
（2）当n=1时，，结论成立
当时，易知
15．（本小题共14分）（2011广东卷）
设b>0,数列满足a1=b，.
（1）求数列的通项公式；
（2）证明：对于一切正整数n，
解（１）法一：，得，
设，则，
设，则，
令，得，，
知是等比数列，，又，
，．
法二：，，，
猜想，下面用数学归纳法证明：
①当时，猜想显然成立；
②假设当时，，则
，
所以当时，猜想成立，
由①②知，，．
（２），
，
，以上n个式子相加得
，
．
16.（本题满分14分）（2011浙江卷）
已知公差不为0的等差数列的首项为a（）,设数列的前n项和为，且，，成等比数列
（1）求数列的通项公式及
（2）记，，当时，试比较与的大小．
（I）解：设等差数列的公差为d，由
得
因为，所以所以
（II）解：因为，所以
因为，所以
当，
即
所以，当
当
17.（本小题满分12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分）（2011重庆卷）
设实数数列的前项和，满足
（Ⅰ）若成等比数列，示和；
（Ⅱ）求证：对有
（I）解：由题意，
由S2是等比中项知
由解得
（II）证法一：由题设条件有
故
从而对有
①
因，由①得
要证，由①只要证
即证
此式明显成立.
因此
最后证若不然
又因矛盾.
因此
证法二：由题设知，
故方程（可能相同）.
因此判别式
又由
因此，
解得
因此
由，得
因此
18.（本小题满分14分）（2011湖北卷）
（Ⅰ）已知函数求函数的最大值；
（Ⅱ）设均为正数，证明：
（1）若，则
（2）若，则。
解：（Ⅰ）的定义域为，令
，解得
当时，，在上是增函数；
当时，，在上是减函数；
故函数在x=1处取得最大值
（Ⅱ）（1）由（Ⅰ）知，当，有，即，
，从而有，得。
求和得：
，，即
（2）①先证：。
令，则，于是
由（1）得，即
，。
②再证
记,于是由（1）得，即
，
综合①②，（2）得证。
O
c
y
l
x
Q1
Q2
Q3
a1
a2
a3
r2
r1
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