高考数学解题思路：导数利器——导数双变量问题（Word版含解析）

导数利器——导数双变量处理策略
1．已知函数false(false为常数).
（1）讨论函数false的单调区间；
（2）当false时，设false的两个极值点false，false，求false的最小值.
【解析】
（1）false，false，当false，由false，解得false，即当false时，false，false单调递增；由false解得false，即当false时，false，false单调递减；当false时，false，即false在false上单调递增；
当false时，false，故false，即false在false上单调递增.
综上：当false时，false的单调递增区间为false，单调递减区间为false；
当false时，false的单调递增区间为false.
（2）由题意得false，false为false的两个零点，
由（1）得false，
故false
设false，由false且false得false，
则false，得false.
false在false上单调递减，故false.
故false最小值为false.
【小结】
导数中求解双变量问题的一般步骤：
（1）先根据已知条件确定出变量false满足的条件；
（2）将待求的问题转化为关于false的函数问题，同时注意将双变量转化为单变量，具体有两种可行的方法：①通过将所有涉及false的式子转化为关于false的式子，将问题转化为关于自变量false（false亦可）的函数问题；②通过false的乘积关系，用false表示false（用false表示false亦可），将双变量问题替换为false（或false）的单变量问题；
（3）构造关于false或false的新函数，同时根据已知条件确定出false或false的范围即为新函数定义域，借助新函数的单调性和值域完成问题的分析求解.
2．已知函数false，false为false的导数.
（1）设函数false，求false的单调区间；
（2）若false有两个极值点false，
①求实数a的取值范围；
②证明：当false时，false.
【解析】
（1）依题意，false的定义域为false，且false，
则false.
①当false时，false在false上恒成立，false单调递减；
②当false时，令false得，false，所以，当false时，false，false递减；
当false时，false，false递增.
综上，当false时，false的减区间为false，无增区间；
当false时，false的减区间为false，增区间为false.
（2）①因为false有两个极值点，所以false有两个零点.由（1）知，false时不合；
当false时，false.
（i）当false时，false，false没有零点，不合；
（ii）当false时，false，false有一个零点false，不合；
(ⅲ)当false时，false.false，设false，false，则false.所以false，即false.所以存在false，使得false.又因为false，所以存在false，使得false.
false的值变化情况如下表：
x
false
false
false
false
false
false
+
0
-
0
+
false
false
极大值
false
极小值
false
所以当false时，false有两个极值点.
综上，a的取值范围是false.
②因为false，false，所以false.
因为false是false的两个零点，所以false，false.
所以false，false.
记false，则false，所以false在false上单调递增.又因为false，所以false，即false.
【小结】
利用导数证明不等式问题，方法如下：
（1）直接构造函数法：证明不等式false（或false）转化为证明false（或false），进而构造辅助函数false；
（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；
（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.
3．已知函数false有两个相异零点false．
（1）求a的取值范围．
（2）求证：false．
【解析】
（1）false当false时，false单调递减；当false时，false单调递增；由false得，false，当false时，false，
所以false使得ffalse使得false，综上：false
（2）由（1）可知，false，要证false
即证false
构造函数false，则false
所以false在false单调递减，false．故有false
因为false在false上单调递增，所以只需证false
即证false构造函数false，
false下面证false在false时恒成立
即证false，构造函数false
false在false时恒成立因此false在false上单调递增，从而false，false在false时恒成立false在false时单调递增false成立，即falsefalse成立．
【小结】
本题考查用导数研究函数的零点，考查用导数证明与零点有关的不等式，证明的关键是问题的转化，一是三变量false转化为双变量，其次双变量转化为单变量，从而再引入新函数，由新函数的导数研究函数性质证明结论成立．本题证明难度较大，回属于困难题．
4．已知函数false(afalseR)．
（1）讨论函数false的单调性；
（2）若false，false为函数false的两个极值点，证明：false．
【解析】（1）false，令false
当false即false时，false，false在false上单调递增；
当false即false或false时，
① 当false时，falsefalse在false上单调递增；
② 当false时，令false，false
false
false
false
false
false
false
false
+
0
-
0
+
false
递增
极大值
递减
极小值
递增
综上：当false时，false在false上单调递增；
当false时，false在false上单调递增，
在false上单调递减.
（2）由（1）知false时false有两个极值点false，
且false，不妨设false，
false要证false即证false，即false，false
设false由（1）知当false时，false在false上单调递增，false，则false在false上单调递减， false.原式得证.
【小结】
本题考查用导数研究函数的单调性，证明不等式．含有参数的函数在求单调区间时一般需要分类讨论，可根据false的根的情况分类讨论．对于双变量的不等式的证明需要进行变形，利用双变量之间的关系，转化为只有一个变量的不等式，从而可引入新函数，利用函数的性质进行证明．解题过程中换元法是一种重要的方法．
5．已知函数false.
（Ⅰ）设函数false，当false时，证明：当false时，false；
（Ⅱ）若false恒成立，求实数false的取值范围；
（Ⅲ）若false使false有两个不同的零点false，证明：false.
【解析】
（Ⅰ）false
当false时，false
false，
当false时，false，所以false在false上为单调递增函数，
因为false，所以false，
（Ⅱ）设函数false，则false，
令false，当false时，当false时，false，
当false时，false，得false，
所以当false时，false在false上为单调递增函数，且false，
所以有false，可得false．当false时，有false，
此时false有两个零点，设为false，且false.又因为false，false，
所以false，在false上，false为单调递减函数，
所以此时有false，即false，得false，
此时false不恒成立，综上false．
（Ⅲ）若false有两个不同的零点false，不妨设false，
则false为false的两个零点，且false，false，
由（Ⅱ）知此时false，并且false在false，false为单调递增函数，
在false上为单调递减函数，且false，所以false，false，
因为false，false，false，且false图象连续不断，
所以false，false，所以false，因为false，综上得:false.
【小结】
求不等式恒成立问题的方法
（1）分离参数法
若不等式falsefalse（false是实参数）恒成立，将false转化为false或false恒成立，进而转化为false或false，
求false的最值即可.
（2）数形结合法
结合函数图象将问题转化为函数图象的对称轴、区间端点的函数值或函数图象的位置关系（相对于false轴）求解.此外，若涉及的不等式转化为一元二次不等式，可结合相应一元二次方程根的分布解决问题.
（3）主参换位法
把变元与参数变换位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围列式求解，一般情况下条件给出谁的范围，就看成关于谁的函数，利用函数的单调性求解.
6．已知函数false.
（1）求函数false的最大值；
（2）若关于false的方程false有两个不等实数根false，证明：false.
【解析】
（1）因为false，所以false.
令false，得false；令false，得false，
所以false在false上单调递增，在false上单调递减，
所以false.
（2）证明：方程false可化为falsefalse.
设false，显然false在false上是增函数，又false，
所以有false，即方程false有两个实数根false，false.
由（1）可知false，则有false，所以false的取值范围为false.
因为方程false有两个实数根false，false，所以false，则false，要证false，即证false.
falsefalse，需证false.
需证false.不妨设false，令false，则false，即要证false.
设false，则false，所以false在false上是增函数，false，即false成立，故原式成立.
【小结】
本题考查利用导数证明不等式双变量问题，属于难题.
难点一：方程实根个数转化为false有两个实数根false，false，
难点二：通过变形，消去并得到关于要证不等式不等号右边false和false的关于的表达式，进而整理为由false表达的形式，利用换元得到关于单变量false的函数表达式.
7．已知函数false，false.
（1）当false时，求false在false处的切线方程；
（2）若false存在两个极值点false，且false，求false的取值范围.
【解析】
（1）由题意false，falsefalse，又false，
因此切线方程是false，即false；
（2）函数定义域是false，false，
false恒成立，因此由false有两个极值点得false在false上有两个不等的实根．
∴false，解得false，false，false，因此有false，
则由false得false，
令false，
false，false时，false，false单调递减，∴false，∴false．
【小结】
本题考查屦的几何意义，考查函数极值点问题．在由有关极值点的不等式问题中解题关键是消元，解题方法是首先确定极值的性质：false，false，然后不等式化为false，转化为求false的取值范围（或最小值），这是需要把false中三个变量变成一个变量，利用上面极值点的性质进行转化即可得，然后再利用导数研究函数的单调性得范围．
8．已知函数false在false和false时取极值，且false.
（1）已知false，求false的值；
（2）已知false，求false的取值范围.
【解析】
⑴∵false，∴false，
∵false在false和false时取极值，∴false，
∴false，false是false的两个不等实根，
∴false ，false，解得false，
经检验，符合题意.
⑵由⑴知false，false，
∴false
∵false，false是false的两个不等实根，
∴false，false，
∴false，false，
∴false
false
设false，∵false，∴false，①
又false，false是false的两个不等实根，
∴△=false，得false，②
由①②知false，
而false，设false，则false，false，
由二次函数的性质可知false在false上恒成立，
则false在false上恒成立，则false在false上单调递减，
而false，false，故false的取值范围为false.
【小结】
本题考查极值与导数的关系，考查与极值点有关的性质证明．实际上false中三个变量false，解题关键是消去两个变量化为一元函数，本题中即利用了韦达定理false，又利用false是方程的解，从而简化函数．同时要注意参数false的取值范围，除由false得出外，还有false有两个不等实根也蕴藏着false的范围，否则会出错．
9．已知函数false．
（1）若函数false在false处取得极值，求曲线false在点false处的切线方程；
（2）已知false，若方程false有两个不相等的实数根false，false，且false，证明：false．
【解析】
（1）：因为false，所以false．
因为函数false在false处取得极值，所以false，即false．
因为false，所以false．
因为false，所以所求切线的方程为false．
（2）证明：由false，可得false．
令false，false，
则falsefalse．
当false时，false在false上单调递增，false至多一个根，不符合题意；
当false时，false在false上单调递减，在false上单调递增，且false．
不妨设false，
要证false，即证false，只需证false．
因为false，所以只需证false，即证false．
因为false在false上单调递增，所以只需证false．
因为false，所以只要证false，false．
令false，则falsefalse
false，即证false．
令false
falsefalse
falsefalse
falsefalse
falsefalse．
当false时，false，false在false上单调递减．因为false，
所以当false时，false，即false，
于是false，
所以false，即false恒成立．
【小结】
导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．
10．已知函数false若关于false的方程false有两个正实数根false且false.
（1）求实数false的取值范围；
（2）求证：false.
【解析】
（1）false，
由false可得false；由false可得false或false，
所以false在false和false单调递减，在false单调递增，
所以false的极小值false，false的极大值false，
所以false的图象如图所示：
若false有两个正实数根false，
则false与false的图象有两个横坐标大于false的交点，
由图知：false，
（2）由题意可得false，false，
两式相加可得：false①，
两式相减可得：false②，
所以false，即false③，
将③代入①可得false，
因为false，由图知false，
设false，false，
则false，
所以false在false单调递减，
所以false，
即false，因为false，所以false，
因为false在false单调递减，
所以false，即false，
要证false，只需证false，
即证false，因为false，false，所以false显然成立，
故false
【小结】
已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.
11．已知函数false，false.
（1）讨论false的单调性；
（2）若对于任意false，存在false使得不等式false成立，求实数a的取值范围.
【解析】
（1）由题意得false，false，
①当false时，令false，则false，∴false在false上递减；
令false，则false，∴false在false上递增；
②当false时，则false，
令false，则false或false，∴false在false和false上递减；
令false，则false，∴false在false上递增；
③当false时，则false，∴false在false上递减；
④当false时，则false，
令false，则false或false，∴false在false和false上递减；
令false，则false，∴false在false上递增；
（2）由题意得false在false恒成立，
∴false在false上递增，∴false，
∴存在false使得false成立，即false成立，
令false，false，则false，
∴false在false上递增，∴false，
∴实数a的取值范围为false.
【小结】
由不等式恒成立求参数的取值范围的方法：
1.讨论最值，先构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出含参函数的最值，进而得出相应的含参不等式求参数的取值范围；
2.分离参数：先分离参数变量，再构造函数，求出函数的最值，从而求出参数的取值范围.
12．已知函数false，false.
（1）求false的最小值；
（2）设函数false，讨论false的单调性；
（3）设函数false，若函数false的图像与false的图像有false，false两个不同的交点，证明：false.
【解析】
（1）false.
令false，得false，所以false在false上单调递增；
令false，得false，所以false在false上单调递减.
所以false的最小值为false.
（2）false，定义域为false，
false.
当false时，false在false上单调递增，在false上单调通减.
当false时.令false，得false，
所以false在false，false上单调递增；令false，得false，
所以false在false上单调递减.当false时，false，false在false上单调递增.
当false时，令false，得false，
所以false在false，false上单调递增；
令false，得false，所以false在false上单调递减.
（3）false，
因为函数false的图象与false的图象有两个不同的交点.
所以关于false的方程false，即false有两个不同的根.
由题知false①，false②，
①false②得false③，
②false①得false④.
由③，④得false，
不妨设false，记false.令false，则false，
所以false在false上单调递增，所以false.
则false，即false，
所以false.
因为false，
所以false，即false.
令false，则false在false上单调递增.
又false，
所以false，
即false，所以false.
两边同时取对数可得false，得证.
【小结】
本题考查利用导数求函数的最值，和含参数的函数单调性问题，利用导数证明不等式，属于难题.
难点一：（2）中根据导函数在定义域内的零点情况分类讨论；
难点二：（3）中的由得到通过变形成，消去false并得到关于要证不等式不等号左边false的关于false的表达式，进而整理为由false表达的形式，利用换元得到关于单变量t的函数表达式.
13．己知函数false
（1）若false，求函数false的单调区间；
（2）设false，若对任意false，恒有false，求a的取值范围.
【解析】
（1）当false时，由已知得false，
所以false，令false得false，
即false时，false；false时，false；
故false单调递增区间为false，单调递减区间为false；
（2）false，
由false得false，所以false在false单调递减，
设false从而对任意false，
恒有false，
即false，
令false，则false等价于false在false单调递减，
即false恒成立，从而false恒成立，
故设false，
则false
false，当false时，false为减函数，false时，false，false为增函数.∴false,∴a的取值范围为false.
【小结】
导数是研究函数的单调性和极值最值问题的重要而有效的工具．本题就是以含参数false的函数解析式为背景，考查的是导数知识在研究函数单调性和极值等方面的综合运用和分析问题解决问题的能力．本题的第一问求解时借助导数与函数单调性的关系，运用分类整合的数学思想分类求出其单调区间和单调性；第二问的求解中则先构造函数false，然后再对函数false求导，运用导数的知识研究函数的单调性，然后运用函数的单调性，从而使得问题简捷巧妙获证．
14．已知函数false.
（1）当false时，求false的单调递减区间；
（2）若对任意false，总存在不相等的正实数false，false，恒有false成立，求false 的取值范围.
【解析】
（1）由已知可得，函数的定义域为false.
当false时，令false，所以原函数可化为false，且false.
①当false时，因为false在false上单调递减，由于false在false上单调递增，故令false，即false，解得false.
所以原函数在区间false单调递减.
②当false时，因为false在false上单调递减，由于false在false上单调递减，故原函数的不存在单调递减区间.
综上所述：原函数的单调递减区间为false.
（2）解法一：由题意可知，由于false，故
false， 即false，false，
∵false，false，且false，∴false恒成立，
∴false，因为false，∴false.
整理可得不等式false，令false （false）
∴false，当且仅当false时，false取最大值false，∴false.
解法二：由于false，令false，∴false，
false，false，且false，∵false，∴false，
∴false，
由于false，所以上式不能取等号.即不等式false，
令false （false）
∴false，当且仅当false时，false取最大值false，∴false.
【小结】
换元法解决复合函数单调性，最值问题；利用函数的思想，构造函数把参数取值范围问题转化为函数值域问题.
15．已知函数false.
（Ⅰ）若false在false处的切线方程为false，求a的值；
（Ⅱ）若false，false，都有false恒成立，求实数a的取值范围.
【解析】
（Ⅰ）求导false，
false在false处的切线方程为false，即斜率为false，
false，即false，解得false.
（Ⅱ）若false，false，false，false在区间false上是增函数，函数false是减函数，不妨设false，由已知，false，所以false，设false，false，
则false在区间false是减函数，
false在false上恒成立，false，
令false，求导false在false上恒成立，
false单调递减，false，
所以false，故false.
【小结】
本题考查利用导数求函数的最值，以及利用导数研究双变量不等式问题，解题的关键就是将问题转化为函数的单调性问题，结合导数不等式在区间上恒成立来求解，考查化归与转化思想，属于中等题.
16．已知函数false，false.
（1）求函数false的极值；
（2）若存在false，false，且当false时，false，当false时，求证：false.
【解析】
（1）由false，false，
当false，false，false在false上为增函数，无极值，
当false，false，false；false，false，
false在false上为减函数，在false上为增函数，
false，false有极小值false，无极大值，
综上知：当false，false无极值，
当false，false有极小值false，无极大值.
（2）false，false，
false，false，false，
所以，当false，false在false上为增函数，
所以当false时，恒有false，即false成立；
当false，false在false上为增函数，
当false，false在false上为增函数，这时，false在false上为增函数，
所以不可能存在false，false，满足当false时，false，所以有false.设false，false得：false，
false①，false，
false②，由①②式可得：false，
即false，又false，false，
false③，要证false④，所以由③式知，只需证明：false，即证false，设false，只需证false，即证：false，令false，由false，false在false上为增函数，false，false成立，所以由③知，false成立.
【小结】
(1)利用导数研究函数的单调性的关键在于准确判定导数的符号．
(2)利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用.
17．设函数false(false)．
（1）讨论函数false的单调性；
（2）若false且方程false，false在false上有两个不相等的实数根false，false，求证：false．
【解析】
（1）false
当false时，false恒成立，false在false上单调递增，
当false时，令false得false，令false得false，
false在false上单调递增，在false上单调递减，
综上：当false时，false在false上单调递增，
当false时，false在false上单调递增，在false上单调递减．
（2）方程false即false，
在false上有两个不等实根false和false，不妨设false，
则false①，
false②，①-②得false，
欲证false，只需证false，
因为false，所以false，则false，
即需证：false，
整理得：false，即证false
令false，设false，则false，显然false在false上单增．
所以false，故原命题得证．
【小结】
本题考查利用导数解决双变量问题，解题的关键是将不等式化为false，进而证明false即可.
18．已知函数false.
（1）讨论函数false的单调性.
（2）若函数false有两个极值点false，且false，求证：false.
注：false
【解析】
（1）因为false
所以false
令false，则false
讨论：
当false即false时，false，即false，所以false在false上单调递减；
当false.即false时，令false，解得false，false.
当false时，false.所以当false以及false时，false；当false时，false，所以false在区间false以及区间false上单调递减.
false在区间false上单调递增当false时false
所以当false时，false，当false时，false，
所以false在false上单调递增，在false上单调递减.
（2）因为false，
则false.因为false有两个极值点false
所以false是关于false的方程false在false上的两个不相等实数根，
所以false又false，所以false.又false，
所以false要证false，
只要证false
即证当false时，false
falsefalse
令false则falsefalsefalse
所以false在false上单调递增.又当false时，false，
所以当false时，false所以falsefalse
所以false即false.
【小结】
本题考查用导数研究函数的单调性，含有参数的问题需要进行分类讨论．用导数证明极值点有关的不等式，解题关键是问题的转化，转化思路之一是消元，由函数有两个极值点得出极值点false的性质与参数false的关系，然后把不等式消元为一个变量false，转化思路之二是把只有一个就变量的不等式变形后引入新函数，利用导数求得函数的最值或证明新函数的不等关系，再结合不等式性质完成证明．
19．已知函数false（false为常数）.
（1）若false是定义域上的单调函数，求false的取值范围；
（2）若函数false存在两个极值点false，false，且false，求false的范围.
【解析】
（1）∵false，
∴只要false，即false时false恒成立，false在定义域false上单调递增.
（2）由（1）知false有两个极值点则false，
false的二根为false，false
则false，false，
false
falsefalse
false，
设false，又false，∴false.
则false，false，
∴false在false递增，false.
即false的范围是false.
【小结】
关于双变量的问题，一般转化成单变量的函数问题来解决.本题就是把双变量的false化成关于false的函数false再来解答.
20．已知函数false．
（1）讨论false在其定义域内的单调性；
（2）若false，且false，其中false，求证：false．
【解析】
（1）false
①当false时，false，则false在区间false上单调递增；
②当false时，false，false，false在区间false上单调递增；
false，false，false在区间false上单调递减，
（2）由（1）得：当false时，false在false上单调递增，在false上单调递减，
∴false，将要证的不等式转化为false考虑到此时，false，false，又当false时，false递增，故只需证明false，
即证false，设false，
则false.
当false时，false，false递增，所以，当false时，false.
所以false，从而命题得证.
【小结】
本题考查用导数研究函数的单调性，用导数证明不等式．关于不等式的证明，首先对于双变量问题，要进行转化，转化为单变量，方法是把要证的不等式进行变形，分离参数，然后利用已知函数的单调性转化为要证明函数不等式，再利用函数值相等双变量转化为单变量，其次引入新函数，利用导数确定新函数的单调性从而证得新不等式成立．
21．已知函数false，false为false的导函数．
（1）设false，讨论函数false的单调性；
（2）若点false，falsefalse均在函数false的图象上，设直线AB的斜率为k，证明：false．
【解析】
（1）因为false，所以false
函数false的定义域为false，false，
当false，即false时，恒有false，所以函数false在false上单调递增；
当false，即false时，令false，解得false；令false，解得false，
所以函数false在false上单调递增，在false上单调递减．
（2）依题意false．
要证false，由于false，即证false．
令false，则false，所以只须证false．
①设false，则false，所以false在false上单调递增，
所以false，即false成立；
②要证false，由于false，即证false．设false，则false，
所以false在false上单调递增，所以false，即false成立．综上可知，false成立．
【小结】
导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．
22．已知false，false.
（1）求false的解析式；
（2）求false时，false的值域；
（3）设false，若false对任意的false，总有false恒成立，求实数a的取值范围.
【解析】
（1）设false，则false，所以false，所以false.
（2）设false，则false
当false时，false，false的值域为false.
当false时，false.
若false，false，false的值域为false；
若false，false，false的false上单调递增，在false上单调递减.
false的值或为false
综上，当false时，false的值域为false.当false时，false的值域为false.
（3）因为false对任意false，false总有false，所以false在false上满足false.
设false，则false，false.
当false即false时，false在区间false单调递增，
所以false，即false，所以false(舍).
当false时，false，不符合题意.
当false时，若false即false时，false在区间单调递增，所以
false，则false；
若false，即false时，false在false上递增，
在false上递减，所以false
解得false；
若false，即false时，false的区间false单调递减，
所以false，即false，得false.
综上所示，false.
【小结】
利用导数证明不等式问题，方法如下：
（1）直接构造函数法：证明不等式false（或false）转化为证明false（或false），进而构造辅助函数false；
（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；
（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.
23．已知函数false
（1）解关于false的不等式false；
（2）若对任意的false，false恒成立，求实数false的取值范围
（3）已知false，当false时，若对任意的false，总存在false，使false成立，求实数false的取值范围．
【解析】
（1）因为函数false，所以false即为false，
所以 false，当false时，解得 false，当 false时，解得false，
当 false时，解得 false，综上：当false时，不等式的解集为 false，
当 false时，不等式的解集为 false，当 false时，不等式的解集为 false，
（2）因为对任意的false，false恒成立，
所以对任意的false，false恒成立，
当false时，false恒成立，所以对任意的false时，false恒成立，
令false，当且仅当 false，即 false时取等号，
所以false，所以实数false的取值范围是false.
（3）当false时，false，因为false，所以函数false的值域是false，
因为对任意的false，总存在false，使false成立，所以false的值域是false的值域的子集，当false时，false，
则false，解得false当false时，false，则false，解得false，
当false时，false，不成立；综上：实数false的取值范围false.
【小结】
方法点睛：双变量任意、存在恒成立问题：
若false， false成立，则 false；
若false， false成立，则 false；
若false， false成立，则 false；
若false， false成立，则 false；
若false， false成立，则 false的值域是false的子集；
24．（1）已知false，求证：false；
（2）若false，求证：false.
【解析】
（1）设false，由对数定义，得
false，则false，所以false.
所以false成立.
（2）由false，得false.
要证明false，只要证false，即证false.
令false，则只要证当false时，false恒成立.
令false，则false，
所以false在false上单调递增，所以false，
即false成立，从而原不等式成立.
【小结】
第二个问题方法属于变量集中，目的是减元.
25．已知函数false.
（1）求曲线false上一点false处的切线的方程；
（2）设函数false的两个极值点为false，求false的最小值.
【解析】
对false求导得：false，故切线斜率为false，
因此切线方程为false，即false，
故切线的方程为false；
（2）函数false，定义域为false，
false，
因为false是函数false的两个极值点，所以false是方程false的两不等正根，
则有false，
∴false，故false，且有false，
false，
falsefalse
falsefalse，
令false，则false，
false，false，
当false时，false单调递减，当false时，false单调递增，
所以，false，所以，false的最小值为false.
【小结】
本题考查极值与导数的关系，考查与极值点有关的性质证明以及利用导数求函数的最值，实际上false中三个变量false，解题关键是消去两个变量化为一元函数，本题中即利用了韦达定理false，又利用false是方程的解，从而简化函数．同时要注意参数false的取值范围.
26．已知命题false：false，使不等式false成立；命题false：false，false，使不等式false成立.
（1）若命题false为真，求实数false的取值范围；
（2）若命题false和命题false一真一假，求实数false的取值范围.
【解析】
（1）因为false时，false，所以 false，不等式false成立，
转化为false，不等式false成立，令 false，所以false.
（2）令false，则 false，
所以 false在false上递减，则false ，因为false，使不等式false成立.所以falsefalse成立
所以false， false成立，即falsefalse成立，
令false，而false，当且仅当false，即false时取等号，所以false，所以false，因为命题false和命题false一真一假，
当命题false为真，命题false为假时，false ，所以false .
当命题false为假，命题false为真时，false ，所以false ，
综上：实数false的取值范围是false.
【小结】
恒（能）成立问题的解法：
若false在区间D上有最值，则
（1）恒成立：false；false；
（2）能成立：false；false.
若能分离常数，即将问题转化为：false（或false），则
（1）恒成立：false；false；
（2）能成立：false；false；
27．设false．
（1）若false，false对一切false恒成立，求false的最大值；
（2）设false，且false，false是曲线false上任意两点．若对任意的false，直线false的斜率恒大于常数false，求false的取值范围；
【解析】
（1）当false时，对任意false，false；当false时，由false，得false，令false，则false．当false时，false；当false时，false．故false．所以false，false的最大值为1．
（2）设false，false是任意两个实数，且false，则有false．
故false．所以函数false在false上单调递增．
所以false恒成立．即对任意的false，任意的false，false恒成立．
又false，先将false视为关于false的函数，令falsefalse，因为false，
所以false单减，所以false，
所以只需false对任意的false恒成立又false，故false．
【小结】
对于函数恒成立问题，常常采用分离参数的方法解决，但要注意讨论参数的系数的正负，第二问经常转化为构造函数研究单调性的问题，注意函数单调递增转化为导函数大于等于0恒成立．另外对任意的false，任意的false，false恒成立，可以采用变换主元先将其视为关于false的函数，达到减元的目的.
28．已知函数false，false.
（Ⅰ）讨论函数false的单调区间与极值；
（Ⅱ）若false，对任意false，总存在false，使得不等式false成立，试求实数false的取值范围.
【解析】
（Ⅰ）false.
①当false时，false，false在false上单调递增，无极值.
②当false时，令false，得false.令false，则false；令false，则false.∴false在false上单调递增，在false上单调递减，
此时false，无极小值.
综上，当false时，false的单调递增区间为false，无单调递减区间，无极值；
当false时，false的单调递增区间为false，单调递减区间为false，
极大值为false，无极小值.
（Ⅱ）对任意false，总存在false，使得false成立，
等价于false在false上的最小值false与false在false上的最小值false的差恒小于1，
false，当false时，false，false在false上单调递增；
当false时，false，false在false上单调递减.
又false，false，false.由（Ⅰ）知：
①当false时，false，
由false得false，所以false.
②当false时，false在false上单调递增，在false上单调递减.
false，又false，
∴当false时，false，
由false得false，所以false；
当false时，false，
由false，得false，所以false.
综上所述，false的取值范围是false.
【小结】
本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：
一般地，已知函数false，false
（1）若false，false，总有false成立，故false；
（2）若false，false，有false成立，故false；
（3）若false，false，有false成立，故false；
（4）若false，false，有false，则false的值域是false值域的子集 ．
29．函数false，false．
（1）若函数false在false上单调递增，求实数false的取值范围；
（2）若直线false是函数false图象的切线，求false的最小值；
（3）当false时，若false与false的图象有两个交点false，false，试比较false与false的大小．（取false为2.8，取false为0.7，取false为1.4）
【解析】
（1）：false，则false，false在false上单调递增，false对false，都有false，
即对false，都有false，false，false，故实数false的取值范围是false；
（2）false，
设切点false，则切线方程为false，
即false，
即false，
令false，由题意得false，false，
令false，则false，
当false时，false，false在false上单调递减；
当false时，false，false在false上单调递增，
false，故false的最小值为false；
（3）由题意知false，false，
两式相加得false，
两式相减得false，即false
false，
即false，
不妨令false，记false，
令false，则false，
false在false上单调递增，则false，
false，则false，false，
false，false，即false，令false，则false时，false，
false在false上单调递增，又false，
false，则false，即false．
【小结】
本题考查利用导数讨论函数的单调性，利用导数求函数的最值和比较大小，解题的关键是正确的构造函数，利用导数判断出函数的单调性，通过单调性求出函数的最值.
30．已知函数false，false．
（1）求函数false的最小值；
（2）若false是false的切线，求实数k的值；
（3）若false与false的图象有两个不同交点A(false，false)，B(false，false)，求证：false．
【解析】
（1）∵false，∴false
当false时，false，∴false在false上单调递减；
当false时，false，∴false在false上单调递增．
故函数false的最小值为false
（2）若false是false的切线，设切点为false
则过点false的切线方程为false
即false，即false
由题意知false
令false，则false时，false
∴false在false上单调递增，又false
∴false有唯一的实根false，则false．
（3）由题意知false
两式相加得false
两式相减得false，即false
∴false，即false
不妨令false，记false，则falsefalse
令false，则false
∴false在false上单调递增，则false
∴false，因而falsefalse
令false，则false时，false，∴false在false上单调递增
∵false，∴false．
【小结】
在处理极值点偏移问题时，关键是构造新函数，结合单调性解决极值点偏移问题.
31．对于函数false、false、false，如果存在实数false使得false，那么称false为false、false的生成函数.
（1）下面给出两组函数，false是否分别为false、false的生成函数？并说明理由；
第一组：false，false，false；
第二组：false，false，false；
（2）设false，false，取false，生成函数false图象的最低点坐标为false.若对于任意正实数false，且false，试问是否存在最大的常数false，使false恒成立？如果存在，求出这个false的值；如果不存在，请说明理由.
【解析】
（1）第一组：false是false、false的生成函数，因为存在false使false，
第二组：false不是false、false的生成函数，因为若存在a，b使得false，
则有false，
故false，而此方程无解，所以false不是false、false的生成函数.
（2）存在最大的常数m为289
依题意，false，由false，
当且仅当false即false时等号成立，
得：false，解得false，故false
false
false
false
（当且仅当false即false时取等号），
因为正数false，满足false，故false
（当且仅当false时等号成立），所以上式取不到等号，
令false，
即false，
因为false，
所以false在false上单调递减，
从而false，
故存在最大的常数false，其值为289.
【小结】
本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：
一般地，已知函数false，false
（1）若false，false，总有false成立，故false；
（2）若false，false，有false成立，故false；
（3）若false，false，有false成立，故false；
（4）若若false，false，有false，则false的值域是false值域的子集.
32．设函数false.
（1）求函数false的递增区间；
（2）若对任意false，总存在false，使得false，求实数k的取值范围.
【解析】
（1）false，令false，得false，
falsefalse的递增区间为false.
（2）当false在false上递减，false，
当false时，false ，false在false上递减，
∴false，由题意可得，false，又false.
当false时，false在false上递增，false.
当false时， 当false时，false；当false时，false，
false， 综上，false.
【小结】
利用导数解决不等式恒成立问题的常用方法：
（1）分离参数法：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的最值，根据要求得所求范围.一般地，false恒成立，只需false即可；false恒成立，只需false即可.
（2）函数思想法：将不等式转化为某含待求参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的极值（最值），然后构建不等式求解.
33．已知函数false．
（Ⅰ）求函数false的图象在点false处的切线方程；
（Ⅱ）若存在两个不相等的数false，false，满足false，求证：false．
【解析】
（Ⅰ）false，所以false的图象在点false处的切线方程为false．
（Ⅱ）令false，解得false，当false时false，false在false．上单调递增；当false时，false ， false在false上单调递减．
所以false为false的极大值点，不妨设false，由题可知false．
令false，
false，因为false，所以false，所以false单调递减．
又false，所以false在false上恒成立，即false在false上恒成立．所以false，
因为false，false，又false在false上单调递增，所以false，
所以false．
【小结】
本题是典型的极值点偏移问题，需先分析出原函数的极值点，找到两个根的大致取值范围，再将其中一个根进行对称的转化变形，使得false与false在同一个单调区间内，进而利用函数的单调性分析.
34．设函数false，false.
（1）若false对false恒成立，求false的取值范围；
（2）若false，当false时，求证：false.
【解析】
（1）解：false，
当false时，false，令false得：false，
∴false在区间false上单调递增，在区间false上单调递减.
∴false，由false，得：false，
当false时，false，则false对false恒成立，
∴false在区间false上单调递增，且false，所以不符合.
故：false的取值范围为false.
（2）∵false，
∴false，得：false，
若false或false，则结论显然成立.
当false时，falsefalse，
令false，false，
false，所以false为单调递增函数，
则，证：false证：false，而false，
所以等价于证：false，即证：false，
false，
令：false，
false，
得：false在区间false上递增，在区间false上递减，
∴false，因为false，所以false，所以false，
故原不等式得证.
【小结】
本题考查考查不等式恒成立问题，考查与方程根的不等式的证明．证明不等式时第一个关键点是利用两个变量之间的关系，把问题转化为一个变量，第二个关键点在于等价转化，通过引入函数，利用函数的单调性进行转化．最终转化为研究函数的性质即可证．同时注意问题的转化，如本题中false或false时，不等式已经成立，只要证明false时即可．
35．已知函数false，false，其中e是自然对数的底数.
（1）false，false，使得不等式false成立，试求实数m的取值范围；
（2）若false，求证：false.
【解析】
（1）false，false使得不等式false成立，
即false，false，
false，false，
当false时，false，故false在false上单调递增，
所以当false时，false，又false，
false，false，当false时，false，
false在false上单调递减，false，故false在false上单调递减，
因此，当false时，false，false，即false，
false实数m的取值范围是false；
（2）证明：当false时，要证false，只需证false，
即证false，由于false，
false只需证false，令false，则false，
当false时，false，false单调递减，当false时，false，false单调递增，
false当且仅当false时，false取得最小值，且最小值为false，
令false，则false，即false，即false，
由三角函数的有界性，得：false，即false，false，
又当false时，false，当false时，false，false，
即false，综上所述：当false时，false成立.
【小结】
本题解题的关键是利用等价转换的思想去思考问题，将复杂问题简单化.
36．函数false（false）．
（1）讨论false的单调性；
（2）若false存在两个极值点false，false，且false，求false的取值范围．
【解析】
（1）函数false的定义域满足false且false
false，
（1）当false时，false，函数false的定义域为false
此时false，false在false上单调递增；
（2）当false时，函数false的定义域为false，false，
false在false上单调递减，false上单调递增；
（3）当false时，函数定义域false，
由false，得false，由false，得false，或false
由false，得false，或false
所以false在false，false上单调递增，false，false上单调递减；
（4）false时，函数定义域为false，由false，得false，
由false，得false，或false
由false，得false
所以false在false，false上单调递增，false上单调递减.
（2）由（1）知，当false或false时，函数false有两个极值点false，false，
且false，false，所以，falsefalse
false
当false时，false，不合题意，舍去；
当false时，记false，false，
false，∵false，∴false，所以，false在false上递减，
∴false.所以，false，即false.
∴false存在两个极值点false，false，且false时，false的取值范围为false.
【小结】
本题考查用导数研究函数的单调性，研究不等式恒成立问题，解答本题的关键是不等式恒成立问题的转化，把问题转化为求新函数的最值，即由条件可得false，false，从而将falsefalse，再由导数的知识求解，属于难题.
37．设函数false，false，其中false，false.
（1）讨论函数false的单调性；
（2）若false且方程false在false，上有两个不相等的实数根false，false，求证false.
【解析】
（1）false
1°若false，即false时，令false，得false或false，
令false，得false．
false在false和false上单调递增，在false上单调递减
2°若false，即false时，false恒成立false在false上单调递增
3°若false，即false时，
令false得false或false，令false得false
false在false和false上单调递增，在false上单调递减
综上：false时， false在false上单调递减，false和false上单调递增
false时， false在false上单增
false时，false在false上单减，在false和false上单增
（2）方程false即false
在false上有两个不等实根false和false不妨设false
则false① false②
①-②得false因为false，由（1）知
false在false上单减， false上单增，即false时，false，false时，false 故若证false，只需证false
即证false只需证false因为false，所以false
即需证：false整理得：false
即证false令false，falsefalse
显然false在false上单增．所以false故false得证
【小结】
本题第二问一道极值点偏移问题，首先对题设条件进行变形，利用齐次式的特征，转化两根的关系，再构造新函数分析函数的单调性.
38．已知函数false.
(1)若false只有一个极值点，求false的取值范围.
(2)若函数false存在两个极值点false，记过点false的直线的斜率为false，证明：false.
【解析】
(1)解：false，false
令false，则false.令false，
要使函数false只有一个极值点，则需满足false，即false；
(2)证明：因为false，
所以false，
因为false存在两个极值点，所以false即false
不妨假设false，则false
要证false，即要证false，
只需证false，
只需证false，
即证false
设false，函数false，false
因为false，故false，所以false，即false，
故false在false上单调递减，则false
又因为false，所以false，即false，
从而false得证.
【小结】
关键点点睛：解答本题的关键是通过分析得到只需证明false.对于比较复杂的问题，我们可以通过分析把问题转化，再证明，提高解题效率.
39．已知函数false，false，设false．
（1）若false，求false的最大值；
（2）若false有两个不同的零点false，false，求证：false.
【解析】
false
（1）解：当false时，false
所以false．
注意false，且当false时，false，false单调递增；
当false时，false，false单调递增减．
所以false的最大值为false．
（2）证明：由题知，false，
即false，false，
可得false．
falsefalse．
不妨false，则上式进一步等价于false．
令false，则只需证false．设false，false，
所以false在false上单调递增，从而false，即false，
故原不等式得证．
【小结】
本题考查导数在最大值、最小值问题中的应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，属于难题．
40．已知函数false，false．
（1）当false时，求函数false的零点个数；
（2）若函数false的图象在false轴的同侧（含false轴），
（i）求false的最小值；
（ii）当false取到最小值时，若对任意实数false，都有false恒成立，试求实数false的取值范围．
【解析】
（1）法一：函数false的零点个数为0个.
false，false，
false，false，false，
所以false时，函数false没有零点；
法二：先证false，得false，false，
所以false时，函数false没有零点；
（2）（i）法一：有题意false恒成立（∵false）
false在false上单调递增，
false，设false在false上单调递增，而false
所以false，falsefalse下证明false，false成立：
false在false上单调递增，
而false∴false，false，false单调递减；
false，false单调递增，
所以false∴false.
法二：由题意则对任意false有
false，
显然可求得false，故false.
（ii）将false的最小值代入则要证不等式为false，
令false,
由于false为偶函数，故只需考虑false情况.false,
令false，false，
false,故分类讨论:当false，则false，
记右侧函数为false，false,
易知false，
所以false在false单调递减，故false，符合题意.
当false，false，
当false，false，此时false单调递增，有false，不符合题意.故false.
【小结】
本题考查利用导数研究函数的零点个数；利用导数求函数的最值问题和已知不等式恒成立求参数的取值范围问题，属中高档题，难度较大.
41．设函数false
（1）讨论false的单调性；
（2）若false有两个极值点false和false，记过点false的直线的斜率为false，问：是否存在false，使得false？若存在，求出false的值，若不存在，请说明理由．
【解析】
（1）false定义域为false，
false，令false，
①当false时，false，false，故false在false上单调递增，
②当false时，false，false的两根都小于零，在false上，false，
故false在false上单调递增，
③当false时，false，false的两根为false，
当false时，false；当false时，false；当false时，false；
故false分别在false上单调递增，在false上单调递减.
（2）由（1）知，false，
因为false.
所以false,
又由（1）知，false，于是false，
若存在false，使得false，则false，即false，
亦即false（false）
再由（1）知，函数false在false上单调递增，
而false，所以false，这与（false）式矛盾，
故不存在false，使得false.
42．已知函数false，false，其中false.
（1）若函数false的图象与直线false在第一象限有交点，求false的取值范围.
（2）当false时，若false有两个零点false，false，求证：false.
【解析】
（1）设false，
则由题设知，方程false，在false有解，
而false.
设false，则false.
①若false，由false可知false，且false，
从而false，即false在false上单调递减，从而false恒成立，
因而方程false在false上无解.
②若false，则false，又false时，false，
因此false，在false上必存在实根，设最小的正实根为false，
由函数的连续性可知，false上恒有false，
即false在false上单调递减，
也即false，在false上单调递减，从而在false上恒有false，
因而false在false上单调递减，故在false上恒有false，即false，
注意到false，因此false，
令false时，则有false，由零点的存在性定理可知函数false在false，false上有零点，符合题意.
③若false时，则由false可知，false恒成立，从而false在false上单调递增，
也即false在false上单调递增，从而false恒成立，故方程false在false上无解.综上可知，false的取值范围是false.
（2）因为false有两个零点，所以false（2）false，
即false，设false，则要证false，
因为false，false，又因为false在false上单调递增，
所以只要证明false，设falsefalse，
则false，
所以false在false上单调递减，false（2）false，所以false，
因为false有两个零点，false，false，所以false，
方程false即false构造函数false，
则false，false，false，
记false，
则false在false上单调递增，在false上单调递减，所以false，且false，
设false，false，所以false递增，
当false时，false，当false时，false，
所以false，即false，
false，false，false，
所以false，同理false，
所以false，所以false，
所以false，由false得：false，综上：false.
【小结】
本题考查导数的综合应用，不等式的证明，关键是运用分类讨论，构造函数的思想去解决问题，属于难题.
43．已知函数false.
（1）讨论函数false的单调性；
（2）若false存在两个极值点false，求证：false.
【解析】
（1）解：函数false的定义域为false，false，则false.
①当false时，对false，所以函数false在false上单调递增；
②当false时，false，所以对false，所以函数false在false上单调递增；
③当false时，令false，得false或false，所以函数false在false，false上单调递增；
令false，得false，所以false在false上单调递减.
（2）证明：由（1）知false且false，所以false.
又由false
false又因为false
所以要证false，只需证false.
因为false，所以只需证false，即证false.
令false，则false，所以函数false在false上单调递增，所以对false.所以false.
所以若false存在两个极值点false，则false.
【小结】
本题考查函数与导数的综合应用，属于较难题.导数中通过双极值点求解最值或证明不等式时，可通过双极值点对应的等式将待求的式子或待证明的式子转变为关于同一变量（注意变量的范围）的式子，然后通过构造新函数，分析新函数的单调性后从而达到求解最值或证明不等式的目的.
44．已知函数false（false为自然对数的底数），其中false.
（1）在区间false上，false是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由.
（2）若函数false的两个极值点为false，证明：false.
【解析】
（1）由条件可函数false在false上有意义，false，
令false，得false，false，
因为false，所以false，false.所以当false时，false，当false上false，
所以false在false上是增函数，在false是减函数.由false可知，
当false时，false，当false时，false，当false时，false，
因为falsefalse，所以false，
又函数在false上是减函数，且false，所以函数在区间false上的有最小值，
其最小值为false.
（2）由（1）可知，当false时函数false存在两个极值点false，
且false是方程false的两根，
所以false，且false，
false，false，
所以falsefalse，
falsefalse，
所以false
false，又falsefalse，
由（1）可知false，设false，false，则false，
故要证false成立，只要证false成立，
下面证明不等式false成立，构造函数false，false
则false，所以false在false上单调递增，false，即false成立，令false，即得不等式false，
从而false成立.
【小结】
本题考查了利用导函数求函数的最值，证明不等式，其中换元法、反证法的应用是本题的关键，考查了转化的思想，属于综合性较强的难题.
45．已知函数false，false(其中false为自然对数的底数).
（1）若false，求函数false在区间false上的最大值；
（2）若false，关于false的方程false有且仅有一个实数解，求实数false的取值范围；
（3）若对任意false，false，不等式false均成立，求实数false的取值范围.
【解析】
（1）当false时,false, 故false在false上单调递减,false上单调递增, 当false时,false, 当false时,false, 故在区间false上false．
（2）当false时, 关于false的方程为false有且仅有一个实根, 则false有且仅有一个实根, 设false,则false,
因此false在false和false上单调递减, 在false上单调递增,false, 如图所示, 实数false的取值范围是false．
（3）不妨设false,则false恒成立．
因此false恒成立, 即false恒成立,
且false恒成立, 因此false和false均在false上单调递增,
设false,
则false在上false上恒成立, 因此false在false上恒成立因此false,而false在false上单调递减, 因此false时,false．由false在false上恒成立, 因此false在false上恒成立, 因此false,设false,则false．当false时,false, 因此false在false内单调递减, 在false内单调递增,因此false．综上述,false．
【小结】
本题考查的知识点是导数在最大值和最小值中的应用，利用导数分析函数的单调性，利用导数分析函数的极值，运算量大，综合性强，转化困难，属于难题．
46．已知函数false，其中false为自然对数的底数.
（1）证明：false在false上单调递减，false上单调递增；
（2）设false，函数false，如果总存在false，对任意false，false都成立，求实数false的取值范围.
【解析】
（1）证明：false
令false，解得false，∴false在false上单调递增
令false，解得false，∴false在false上单调递减
（2）总存在false，false，对任意false都有false，
即函数false在false，false上的最大值不小于false，false的最大值
false
令false，∴false，对称轴false
∴false∴false，false，令false，∴false，∴false∴false，∴false
【小结】
本题考查利用导数研究函数的单调性，考查三角函数的有界性，二次函数的最值以及恒成立问题的转化，考查转化思想以及计算能力，属于中档题.
47．已知函数false，false．其中false，false为常数．
（1）若函数false在定义域内有且只有一个极值点，求实数false的取值范围；
（2）已知false，false是函数false的两个不同的零点，求证：false．
【解析】
（1）false，因为函数false在定义域有且仅有一个极值点，
所以false在false内有且仅有一个变号零点，
由二次函数的图象和性质知false，解得false，
即实数false的取值范围为false．
false，当false时，false，
false在false上单调递增，函数false至多有一个零点，不符合题意，
当false时，令false，得false，当false时，false，false单调递减，
当false时，false，false单调递增，
故当false时，函数false取得最小值false，
当false时，false，false，函数false无零点，不合题意，
当false时，false，false，函数false仅有一个零点，不合题意，
当false时，false，false，又false，所以false在false上只有一个零点，令false，则false，故当false时，false，false单调递增，
当false时，false，false单调递减，所以false，即false，所以false，
所以false，又false，所以false在false上只有一个零点．所以false满足题意．不妨设false，则false，false，
令false，则false，
false，
当false时，false，所以false在false上单调递减，
所以当false时，false，即false，
因为false，所以false，
所以false，
又false，false，且false在false上单调递增，
所以false，故false得证．
【小结】
本题考查利用导数证明函数的单调性，极值，最值，零点，函数与方程，不等式的综合应用，重点考查逻辑推理，转化与变形，计算能力，属于难题.
48．已知false，其中false为常数.
（1）当false时，求证：不等式false恒成立；
（2）当false时，记方程false的两根为false和false，试判断false与false的大小，并证明.
【解析】
（1）当false时，要证false恒成立，即证false恒成立，
令false，则false，false，
当false时，有false，当false时，有false
即false在false上单调递减，在false上单调递增，且当false时，false恒成立，false，
又false，存在唯一的实数false，使得false，即false，当false时，false，当false时，false，
所以false在false上单调递减，在false上单调递增，
false
由false及对勾函数的性质可得false，
falsefalse恒成立，即不等式false恒成立；
（2）当false时，false，即false，
令false，不妨设false，
则false，false，
当false时，有false，当false时，有false
即false在false上单调递减，在false上单调递增，且当false时，false恒成立，false，又false，存在唯一的实数false，使得false， 当false时，false，当false时，false，
所以false在false上单调递减，在false上单调递增，
所以由false及false的单调性可知false，
由false得false，
false，
故函数false有两个不同的零点false，
又由false的单调性可知false有且仅有两个不同的零点false，
false，false.
【小结】
本题考查利用导数研究函数的单调性及最值，考查函数与方程的综合问题，对学生的计算能力和分析能力要求比较高，是一道难度较大的题目.
49．已知函数false.
（1）求曲线false在点false处的切线方程；
（2）若函数false（其中false是false的导函数）有两个极值点false、false，且false，求false的取值范围.
【解析】
（1）函数false的定义域为false，false.
而false，即false，
故所求切线的斜率为false，
所以方程为false，即false，即false；
（2）false，
则函数false的定义域为false，false，
若函数false有两个极值点false、false，且false.
则方程false的判别式false，且false，false，
false，由基本不等式得false，且false.
所以falsefalsefalse.
设false，
则false在false上恒成立.
故false在false单调递减，从而false，false.
因此，false的取值范围是false.
【小结】
本题考查利用导数求函数的切线方程，同时也考查了利用导数求代数式的取值范围，解题的关键就是利用根与系数的关系将所求代数式转化为以某变量为自变量的函数，转化为函数的值域问题，并借助导数来求解，考查化归与转化思想与函数思想的应用，属于难题.
50．已知函数false，false．
（1）若函数false在false上单调递增，求实数false的取值范围；
（2）当false时，若false与false的图象有两个交点false，false，试比较false与false的大小．（取false为2.8，取false为0.7，取false为1.4）
【解析】
（1）false，则false，
∵false在false上单调递增，∴对false，都有false，
即对false，都有false，∵false，∴false，
故实数false的取值范围是false．
（2）由题意知false，false，
两式相加得false，两式相减得false，
即false，∴false，
即false，
不妨令false，记false，令falsefalse，则false，
∴false在false上单调递增，则false，
∴false，则false，∴false，
又false，
∴false，即false，
令false，则false时，false，∴false在false上单调递增，
又false，
∴false，则false，即false．
【小结】
本题考查导数的综合应用，其中涉及到根据单调性求解参数范围以及双变量转化为单变量等问题，对学生的分析、计算与转化能力要求很高，难度偏难.