高考数学解题思路：立几利器——立体几何非主流好题赏析（Word版含解析）

立体几何利器——立体几何非常规题型鉴赏
1．图1中的机械设备叫做“转子发动机”，其核心零部件之一的转子形状是“曲侧面三棱柱”，图2是一个曲侧面三棱柱，它的侧棱垂直于底面，底面是“莱洛三角形”，莱洛三角形是以正三角形的三个顶点为圆心，正三角形的边长为半径画圆弧得到的，如图3．若曲侧面三棱柱的高为10，底面任意两顶点之间的距离为20，则其侧面积为（ ）
A．false B．600 C．false D．false
【答案】C
【析解】
莱洛三角形由三段半径为20，圆心角为false的圆弧构成，所以该零件底面周长为false，故其侧面积为false．
故选：C.
2．空间直角坐标系false中，经过点false，且法向量为false的平面方程为false，经过点false且一个方向向量为false的直线false的方程为false，阅读上面的材料并解决下面问题：现给出平面false的方程为false，经过false的直线false的方程为false，则直线false与平面false所成角的正弦值为（ ）
A．false B．false C．false D．false
【答案】B
【析解】
因为平面false的方程为false，故其法向量为false，
因为直线false的方程为false，故其方向向量为false，
故直线false与平面false所成角的正弦值为false，
故选：B.
3．我国南北朝时期的著名数学家祖暅原提出了祖暅原理：“幂势既同，则积不容异.”意思是，夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意一个平面所截，若截面面积都相等，则这两个几何体的体积相等.运用祖暅原理计算球的体积时，构造一个底面半径和高都与球的半径相等的圆柱，与半球（如图①）放置在同一平面上，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥后得到一新几何体（如图②），用任何一个平行于底面的平面去截它们时，可证得所截得的两个截面面积相等，由此可证明新几何体与半球体积相等，即false.现将椭圆false绕false轴旋转一周后得一橄榄状的几何体（如图③），类比上述方法，运用祖暅原理可求得其体积等于（ ）
A．false B．false C．false D．false
【答案】D
【详解】
构造一个底面半径为false，高为false的圆柱，
在圆柱中挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点的圆锥，
则当截面与顶点距离为false时，小圆锥底面半径为false，则false，
false，故截面面积为：false，把false代入false，
即false，解得：false，false橄榄球形几何体的截面面积为false，由祖暅原理可得橄榄球形几何体的体积为：
false圆柱false圆锥false.故选：D.
371157510058404．将地球近似看作球体.设地球表面某地正午太阳高度角为false，false为此时太阳直射纬度（当地夏半年取正值，冬半年取负值），false为该地的纬度值，如图．已知太阳每年直射范围在南北回归线之间，即false．北京天安门广场的汉白玉华表高为9.57米，北京天安门广场的纬度为北纬false，若某天的正午时刻，测得华表的影长恰好为9.57米，则该天的太阳直射纬度为（ ）
A．北纬false B．南纬false
C．北纬false D．南纬false
【答案】D
【详解】
由题可知，天安门广场的太阳高度角false，
由华表的高和影长相等可知false，所以false.
所以该天太阳直射纬度为南纬false，
故选：D.
5．如图，水平桌面上放置一个棱长为4的正方体水槽，水面高度恰为正方体棱长的一半，在该正方体侧面false上有一个小孔false，false点到false的距离为3，若该正方体水槽绕false倾斜（false始终在桌面上），则当水恰好流出时，侧面false与桌面所成角的正切值为（ ）
A．false B．false C．false D．2
【答案】D
【详解】
由题意知，水的体积为false，如图所示，
设正方体水槽绕false倾斜后，水面分别与棱false交于false由题意知false，水的体积为false
false，即false，
false在平面false内，过点false作false交false于false，
则四边形false是平行四边形，且false
又侧面false与桌面所成的角即侧面false与水面false所成的角，即侧面false与平面false所成的角,其平面角为false,
在直角三角形false中，false.
故选：D.
6．空间中13个不同的点构成的集合false，满足当false时，false都是正四面体.对于任意平面false，false的最大值是（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
【答案】C
【详解】
为使得对于任意平面false，false取得最大值，
故要使得使之在同一平面中三棱锥顶点最多，
如下所示：
如图所示：三棱锥false，均为正四面体,显然，最多有11个点在同一平面中.
同时，若同一平面中存在12个三棱锥的顶点，则只有1个点在平面外，
无法构造几何体.故false的最大值为：false.故选：false.
7．设false、false、…、false为平面false内的false个点，在平面false内的所有点中，若点false到false、false、…、false点的距离之和最小，则称点false为false、false、…、false点的一个“中位点”，有下列命题：①false、false、false三个点共线，false在线段false上，则false是false、false、false的中位点；②直角三角形斜边的中点是该直线三角形三个顶点的中位点；③若四个点false、false、false、false共线，则它们的中位点存在且唯一；④梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点；其中的真命题是（ ）
A．②④ B．①② C．①④ D．①③④
【答案】C
【详解】
①若三个点false共线,false在线段false上,根据两点之间线段最短,
则false是false的中位点,正确；
②举一个反例,如边长为false的直角三角形false,此直角三角形的斜边的中点到三个顶点的距离之和为false,而直角顶点到三个顶点的距离之和为7,∴直角三角形斜边的中点不是该直角三角形三个顶点的中位点；故错误；
③若四个点false共线,则它们的中位点是中间两点连线段上的任意一个点,故它们的中位点存在但不唯一；故错误；
④如图,在梯形false中,对角线的交点falsefalse是任意一点,则根据三角形两边之和大于第三边得false,
∴梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点．正确．
故①④正确.故选：C
8．若点false为点false在平面false上的正投影，则记false.如图，在棱长为false的正方体false中，记平面false为false，平面false为false，点false是棱false上一动点（与false、false不重合）false，false.给出下列三个结论：
①线段false长度的取值范围是false；②存在点false使得false平面false；
③存在点false使得false.其中，所有正确结论的序号是
A．①②③ B．②③ C．①③ D．①②
【答案】D
【详解】
取false的中点false，过点false在平面false内作false，再过点false在平面false内作false，垂足为点false.
在正方体false中，false平面false，false平面false，false，又false，false，false平面false，即false，false，同理可证false，false，则false，false.以点false为坐标原点，false、false、false所在直线分别为false轴、false轴、false轴建立空间直角坐标系false，设false，则false，false，false，false，false.
对于命题①，false，false，则false，则false，所以，false，命题①正确；
对于命题②，false，则平面false的一个法向量为false，
false，令false，解得false，
所以，存在点false使得false平面false，命题②正确；
对于命题③，false，令false，
整理得false，该方程无解，所以，不存在点false使得false，命题③错误.
故选：D.
9．如图，设false为正四面体false表面（含棱）上与顶点不重合的一点，由点false到四个顶点的距离组成的集合记为false，如果集合false中有且只有false个元素，那么符合条件的点false有．
A．false个 B．false个 C．false个 D．false个
【答案】C
【详解】
试题分析：分以下两种情况讨论：（1）点false到其中两个点的距离相等，到另外两点的距离分别相等，且这两个距离不等，此时点false位于正四面体各棱的中点，符合条件的有false个点；
点false到其中三个点的距离相等，到另外一点的距离与它到其它三点的距离不相等，此时点false在正四面体各侧面的中心点，符合条件的有false个点，故选C.
10．在三维空间中，定义向量的外积：false叫做向量false与false的外积，它是一个向量，满足下列两个条件：①false，false，且false，false和false构成右手系（即三个向量的方向依次与右手的拇指、食指、中指的指向一致，如图所示）：②false的模false（false表示向量false，false的夹角）在正方体false中，有以下四个结论，正确的有（ ）
A．false B．false
C．false方向相同 D．false与正方体表面积的数值相等
【答案】ACD
【详解】
设正方体的棱长为false，
对于A，如图，因为false为等边三角形，故false，
因为false，而false为等边三角形，
故false，故A正确.
对于B，根据定义，false，false，两者不相等，故B错.
对于C，因为false平面false，结合外积的定义可得false的方向即为false的方向，
故C正确.
对于D，false，故它与正方体的表面积相同，
故选：ACD.
11．平面中两条直线l和n相交于O，对于平面上任意一点M，若p，q分别是M到直线l和n的距离，则称有序非负实数对（p，q）是点M的“距离坐标”.则下列说法正确的（ ）
A．若p=q=0，则“距离坐标”为（0，0）的点有且仅有一个
B．若pq=0，且p+q≠0，则“距离坐标”为（p，q）的点有且仅有2个
C．若pq≠0，则“距离坐标”为（p，q）的点有且仅有4个
D．若p=q，则点M的轨迹是一条过O点的直线
【答案】ABC
【详解】
首先点到直线的距离是唯一确定的.
对于A选项，由于false，所以false表示false点，有且仅有一个，故A选项正确.对于B选项，由于false，且false，当false或false时，分别表示点false或false，有且仅有两个，故B选项正确.
对于C选项，由于false和false相交与false，所以直线false和直线false确定一个平面false，根据对称性可知，在平面false的上方和下方，各有两个“距离坐标”为false的点.故“距离坐标”为false的点有且仅有false个，所以C选项正确.
对于D选项，设false和false相交与false，直线false和直线false相交所形成的两组对角的角平分线上的点，都满足false，所以点false的轨迹不只是一条过false点的直线，所以D选项错误.由于false，故选：ABC
12．古希腊数学家阿波罗尼斯发现：平面上到两定点false、false距离之比false是常数的点的轨迹是一个圆心在直线false上的圆，该圆简称为阿氏圆.根据以上信息，解决下面的问题：在棱长为2的正方体false中，点false是正方体的表面false(包括边界)上的动点，若动点false满足false，则点false所形成的阿氏圆的半径为______；若false是false的中点，且满足false，则三棱锥false体积的最大值是______.
阿波罗尼奥斯
【答案】false false
【详解】
在false上取点false，在false延长线上取点false，使得false，false，则false是题中阿氏圆上的点，由题意false是阿氏圆的直径，
false，则false，false，所以false，∴阿氏圆半径为false；
正方体中false，false都与侧面false垂直，从而与侧面false内的直线false垂直，如图false，则false，∴false，即false在上述阿氏圆上，∵false的面积是2为定值，因此只要false到平面false距离最大，则三棱锥false体积的最大，由于false点在阿氏圆上，当false是阿氏圆与false交点false时，false到平面false距离最大，此时false，因此false，false，三棱锥false体积的最大值为false．
故答案为：false；false．
13．古希腊数学家阿波罗尼奥斯发现：平面上到两定点false，false距离之比为常数false且false的点的轨迹是一个圆心在直线false上的圆，该圆简称为阿氏圆．根据以上信息，解决下面的问题：如图，在长方体false中，false，点false在棱false上，false，动点false满足false．若点false在平面false内运动，则点false所形成的阿氏圆的半径为________；若点false在长方体false内部运动，false为棱false的中点，false为false的中点，则三棱锥false的体积的最小值为___________．
【答案】false false
【详解】
（1）以AB为false轴，AD为false轴，false为false轴，建立如图所示的坐标系，则false设false，由false得false，
所以false，所以若点false在平面false内运动，则点false所形成的阿氏圆的半径为false.
（2）设点false，由false得false，
所以false，由题得false
所以false设平面false的法向量为false，
所以false，
由题得false，
所以点P到平面false的距离为false，
因为false，
所以false，所以点M到平面false的最小距离为false，
由题得false为等边三角形，且边长为false，
所以三棱锥false的体积的最小值为false.
故答案为：(1). false (2). false ．
14．北京大兴国际机场的显著特点之一是各种弯曲空间的运用．刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容．用曲率刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于false与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制），多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和．例如：正四面体在每个顶点有3个面角，每个面角是false，所以正四面体在各顶点的曲率为false，故其总曲率为false．
（1）求四棱锥的总曲率；
（2）若多面体满足：顶点数-棱数+面数false，证明：这类多面体的总曲率是常数．
【答案】（1）false；（2）证明见解析.
【详解】
（1）由题可知：四棱锥的总曲率等于四棱锥各顶点的曲率之和.
可以从整个多面体的角度考虑，所有顶点相关的面角就是多面体的所有多边形表面的内角的集合.由图可知：四棱锥共有5个顶点，5个面，其中4个为三角形，1个为四边形.所以四棱锥的表面内角和由4个为三角形，1个为四边形组成，则其总曲率为：false.
（2）设顶点数、棱数、面数分别为false、false、false，所以有false
设第false个面的棱数为false，所以false
所以总曲率为：false
falsefalse所以这类多面体的总曲率是常数.
15．已知集合false，定义false上两点false，
false的距离false.
（1）当false时，以下命题正确的有__________（不需证明）：
①若false，false，则false；
②在false中，若false，则false；
③在false中，若false，则false;
（2）当false时，证明false中任意三点false满足关系false；
（3）当false时，设false，false，false，其中false，
false.求满足false点的个数false，并证明从这false个点中任取11个点，其中必存在4个点，它们共面或者以它们为顶点的三棱锥体积不大于false.
【答案】（1）①；（2）证明见解析；（3）false，证明见解析．
【详解】
（1）当false时，
①若false，false，则false，①正确；
②在false中，若false，则false，设false，所以false
而false，
falsefalse，但false不一定成立，②错误；③在false中，若false，在②中的点坐标，有false，但false不一定成立，因此false不一定成立，从而false不一定成立，③错误．
空格处填①
（2）证明：设false，根据绝对值的性质有
false，false，
所以false．,
（3）false，
false，所以false，当且仅当以上三个等号同时成立，false
又由已知false，∴false，
又false，∴false，false，
点false是以false为对角线的正方体内部（含面上）的整数点，共125个，false．
这125个点在false这五面内．
这三个平面内，一个面上取不共线的3点，相邻面上再取一点构成一个三棱锥．则这个三棱锥的体积最大为false，
现在任取11个点，若有四点共面，则命题已成立，若其中无4点共面，但11个点分在5个平面上至少有一个平面内有3个点（显然不共线），
若这三点在false这三个平面中的一个上，与这个面相邻的两个面上如果有一点，那么这一点与平面上的三点这四点可构成三棱锥的四个顶点，其体积不超过false，否则还有8个点在平面false和false上，不合题意，
若这三个点在平面false或false上，不妨设在平面false，若在平面false在一个点，则同样四点构成的三棱锥体积不超过false，否则剩下的8个点在false三个平面上，只能是3，3，2分布，不管哪一种分布都有四点构成的三棱锥体积不超过false，
综上，任取11个点，其中必存在4个点，它们共面或者以它们为顶点的三棱锥体积不大于false.
16．（1）如图，对于任一给定的四面体false，找出依次排列的四个相互平行的平面false，false，false，false，使得false，且其中每相邻两个平面间的距离都相等；
（2）给定依次排列的四个相互平行的平面false，false，false，false，其中每相邻两个平面间的距离为1，若一个正四面体false的四个顶点满足：false，求该正四面体false的体积．
【答案】（1）见解析； （2）false.
【详解】
（1）
取false的三等分点false，false，false的中点false，false的中点false，
过三点false，false，false作平面false，过三点false，false，false作平面false，
因为false，false，所以平面false平面false，
再过点false，false分别作平面false，false与平面false平行，那么四个平面，false，false，false依次相互平行，由线段false被平行平面false，false，false，false截得的线段相等知，每相邻两个平面间的距离相等，故false，false，false，false为所求平面．
（2）如图，将此正四面体补形为正方体false（如图），
分别取false、false、false、false的中点false、false、false、false，
平面false与false是分别过点false、false的两平行平面，若其距离为1，
则正四面体false满足条件，右图为正方体的下底面，设正方体的棱长为false，
若false，因为false，false，
在直角三角形false中，false，所以false，所以false，
又正四面体的棱长为false，
所以此正四面体的体积为false．
17．在空间直角坐标系中，定义：平面false的一般方程为false，点false到平面false的距离false，则在底面边长与高都为2的正四棱锥中，底面中心O到侧面的距离等于________．
【答案】false
【详解】
如图，以底面中心false为原点建立空间直角坐标系false，
则false，false，1，false，false，1，false，false，0，false，
设平面false的方程为false，
将false坐标代入计算得false解得false，false，false，
false，即false，false．
故答案为：false
18．古代中国，建筑工匠们非常注重建筑中体现数学美，方形和圆形的应用比比皆是，在唐、宋时期的单檐建筑中较多存在false的比例关系，这是当时工匠们着意设计的常见比例，今天，false纸之所以流行的重要原因之一，就是它的长与宽的比无限接近false，我们称这种满足了false的矩形为“优美”矩形．现有一长方体false，false，false，false，则此长方体的表面六个矩形中，“优美”矩形的个数为___________．
【答案】4
【详解】
由题意，该长方体如图所示：
falsefalse，false，false，
falsefalse，false，
false，falsefalse，false，
falsefalse，false，false，false此长方体的表面六个矩形中，“优美”矩形的个数为4.故答案为：4.
19．瑞士数学家、物理学家欧拉发现任一凸多面体（即多面体内任意两点的连线都被完全包含在该多面体中，直观上讲是指没有凹陷或孔洞的多面体）的顶点数false，棱数false及面数false满足等式false，这个等式称为欧拉多面体公式，被认为是数学领域最漂亮，简洁的公式之一.如图是一个面数为26的多面体（其表面仅由正方形和正三角形围成），根据欧拉多面体公式可求得其棱数false_______.
【答案】48
【详解】该多面体面数false，由图知，顶点数false，
根据欧拉多面体公式false得：棱数false.
故答案为：false.
20．如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC＝90°，AB＝1，AC＝CD＝DA＝2，动点M在边DC上（不同于D点），P为边AB上任意一点，沿AM将△ADM翻折成△AD'M，当平面AD'M垂直于平面ABC时，线段PD'长度的最小值为_____．
【答案】false
【详解】
过D′作AM的垂线，垂足为H，由题意可知D′A＝DA＝2，随着点M在边DC上向点C方向移动，DM逐渐变大，即D'M越来越大，又D′H为三角形AD'M中AM边上的高，D′A长度不变，D'M越来越大，所以垂足为H越来越靠近点A，所以当点M与C重合即折痕为AC时，H到直线AB的距离最小，又AC＝CD＝DA＝2，所以AC＝CD′＝D′A＝2，此时H为AC的中点，所以D′H＝DHfalse，此时，H到直线AB的最小距离为hfalseBCfalse，所以PD′的最小距离为false．
故答案为：false