高考数学解题思路：导数利器——导数结合数列问题（Word版含解析）
文档属性
| 名称 | 高考数学解题思路：导数利器——导数结合数列问题（Word版含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 3.7MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-05-19 09:14:41 | ||
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文档简介
导数利器——导数与数列结合问题
1．已知函数false．
（1）求函数false的最大值；
（2）证明：false．
【答案】（1）false；（2）证明见解析.
【详解】
（1）函数false的定义域为false，且false.
当false时，false，此时函数false单调递增，
当false时，false，此时函数false单调递减.
所以，false；
（2）证明：由（1）可知，当false时，false，即false，
令false，则false，即false，
所以false【小结】
利用导数证明不等式问题，方法如下：
（1）直接构造函数法：证明不等式false（或false）转化为证明false（或false），进而构造辅助函数false；
（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；
（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.
2．已知函数false，求证：
（1）函数false有且仅有一个零点；
（2）false.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【详解】
（1）函数的定义域为false，显然false，
又false，
即false在false上单调递增，所以函数false存在唯一零点false.
（2）证明：由（1）可知，当false时，false，
即false，即false，
令false，则false，
即false，
所以false
falsefalse.
【点睛】
关键点点睛：运用（1）中的结论得到不等式false，令false得出不等式false是解题的关键.
3．曲线的曲率定义如下：若false是false的导函数，令false，则曲线false在点false处的曲率false．已知函数false，false，且false在点false处的曲率false．
（1）求false的值，并证明：当false时，false；
（2）若false，且false，求证：false．
【答案】（1）2，证明见解析；（2）证明见解析.
【详解】
（1）false，false，false，false，
false在点false，false处的曲率false，falsefalse，解得false．
当false时，false，
false，
令false，则false，
false在false时单调递增，false，false，false函数false在false上单调递增，false，因此false．
（2）证明：由（1）可得：false，
falsefalse，false，令false，则：false，
false要证明：false，
只要证明：false即可，
false时，左边false
false时，令false，falsefalse，false（2）false，
false在false上单调递减，false（2）false，
综上可得：false成立．
【小结】
本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、等价转化方法，解决本题的关键点是由（1）可得：false，将要证明的不等式转化为证明false，考查了学生推理能力与计算能力，属于难题．
4．已知关于false的函数false
（1）讨论false的单调性；
（2）证明：当false时，false
【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析.
【详解】
（1）由false得false
知当false时false在false上单调递减
当false时，false
false当false时false在false上单调递增，
当false时false在false上单调递减.
（2）由（1）知false时false在false上单调递减，在false上单调递增，
false，即有false，
false，
false
false
false
false
以上各式相加得false，
false
5．已知函数false，false．
（1）当false时，false恒成立，求实数false的取值范围；
（2）求证：false．
【答案】（1）false；（2）证明见解析.
【详解】
（1）设false，则当false时，false恒成立，
false
令false，
则false；
①当false时，false在false上恒成立，false在false上单调递减，
false，
false在false上恒成立，false在false上单调递减，
false，即false在false上恒成立，满足题意；
②当false时，令false，解得：false，
false当false时，false，false在false上单调递增，
false，即false在false上恒成立，
false在false上单调递增，false，
即当false时，false，不合题意；
③若false，则false，false在false上单调递增，
false，即false在false上恒成立，
false在false上单调递增，false，即false，不合题意；
综上所述：实数false的取值范围为false.
（2）证明：false，
false要证原不等式成立，只需证false；
由（1）知：当false时，若false，则false（当且仅当false时取等号），即false恒成立，
取false，则false，
即false，
false，则原不等式得证.
【小结】
本题考查利用导数解决不等式恒成立问题、证明不等式的问题；证明不等式的关键是能够根据对数运算将不等式进行转化，进而利用（1）中已得结论整理得到所证的不等式.
6．已知函数false，false.
（1）若false在false单调递增，求false的取值范围；
（2）若false，求证：false.
【答案】（1）false；（2）证明见解析.
【详解】
（1）因为函数false在false上单调递增，
所以false在false上恒成立，
则有false在false上恒成立，即false.
令函数false，false，
所以false时，false，false在false上单调递增，
所以false，
所以有false，即false，因此false.
（2）由（1）可知当false时，false为增函数，
不妨取false，则有false在false上单调递增，
所以false，即有false在false上恒成立，
令false，则有false，
所以false，
所以false，
因此false.
【小结】
方法点睛：(1)利用导数研究函数的单调性的关键在于准确判定导数的符号，当f(x)含参数时，需依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论．(2)若可导函数f(x)在指定的区间D上单调递增(减)，求参数范围问题，可转化为f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立问题，从而构建不等式，要注意“＝”是否可以取到．
7．已知函数false.
（1）求函数false的极小值；
（2）证明：对于任意正整数false，false(false为自然对数的底数).
【答案】（1）极小值false；（2）证明见解析.
【详解】
（1）易知false的定义域为false.
false，令false，解得false，
当false时，false；当false时，false，
所以false在false上单调递减，在false上单调递增，
故当false时，false在false上有极小值false.
（2）由（1）知当false时，false，
故当false时，false，
即当false时，false，即false.
令false得false，
从而false.
故false，
所以，对于任意正整数false，false成立.
【小结】
（1）求极值需研究函数的单调性；
（2）利用导数证明不等式的本质是利用导数判断单调性，利用单调性比较大小.
8．设函数false.
（1）讨论false的单调性；
（2）当false时，若false的最小值为false，证明：false.
【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析.
【详解】
（1）由题意函数false的定义域为false，
false，
当false时，false，
所以false在false上单调递减，在false上单调递增；
当false时，false，
所以false在false上单调递减，在false上单调递增.
（2）由（1）知false，
所以false，所以false，
即false，对于任意false恒成立，当且仅当false时，等号成立，
令false，则false，
整理得false，所以false.
【小结】
关键点睛：含有参数的单调性讨论，一般要注意定义和找准临介值，证明和数列有关的不等式，一是要注意结合单调性和最值找到恰当的不等式，二是不等式可加性或可乘性的运用.
9．已知函数false
（1）求函数的极值；
（2）①当false时，false恒成立，求正整数false的最大值
②证明：false
【答案】（1）答案见解析；（2）①3，②证明见解析.
【详解】
（1）定义域false
当false时，false，所以函数false在false上单调递增，无极值
当false时，false，得false得false
所以函数false在false上单调递减，在false上单调递增
此时函数false的极小值false无极大值
综上，当false时，函数false无极值;当false时，
函数false的极小值为false，无极大值.
（2）当false时，false恒成立，即只需false成立即可
由（1）可知
当false时，函数false在false上单调递减，在false上单调递增
（i）若false，即false时，false在false上单调递增，所以false满足题意
（ii）若false，即false，函数false在false上单调递减，在false上单调递增所以false
令false所以false在false上单调递增
又知false所以false使得false，则false的解集为false
综上false的取值范围为false，所以正整数false的最大值为false
②证明：两边取对数得false
即只需证false
由（i）知false
令false，则false
所以false
false
所以false
【小结】
本题证明false的关键在于先取对数得到false，再利用前面的结论得出一个不等式false，然后累加.
10．已知函数false.
（1）是否存在实数false，使得false为false的极值点？若存在，求出实数false的值；否则，请说明理由；
（2）若false，且false，求证：false.
【答案】（1）不存在，理由见解析；（2）证明见解析.
【详解】
（1）由false可得false，
若false是false的极值点，则false，即false，
false.当false时，false，false.
令false，则false，
由false可得false，当false时，false，当false时，false.
false在false上单调递减，在false上单调递增，
false在false处取极小值false，false，即false，
false在false上单调递增，
false没有极值，即不存在实数false，使得false为false的极值点；
（2）由（1）可知，当false时，false在false上单调递增.
false当false时，false，即false，即false.
false，即false，
(当且仅当false时，取等号)令false可得false，
false，false
false，……，false，
把以上各式相加可得
false，
即false.
【小结】
本题第二问关键是由false的结构，联想到指数化对数和数列累加法的应用，从而由false，得到false取对数，令false利用累加法二得解.
11．已知函数false（false即自然对数的底数）
（1）若函数false在false是单调减函数，求实数a的取值范围；
（2）在（1）的条件下，当false时，证明：false．
【答案】（1）false；（2）证明见解析．
【详解】
（1）∵函数false在false是单调减函数，
false在区间false上恒成立．false，可得false
false，即实数a的取值范围为false；
（2）由（1）得当false时，false在false上单调递减，false，
可得false，令false，可得false，
分别取false，
falsefalse，
即false，
可得false，对任意的false成立．
【小结】
本题考查利用导数证明数列不等式，解题的关键是根据false，得出false.
12．已知函数false．
（1）证明：false时false；
（2）证明：false时，false．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．
【详解】
（1）因为false，则false，
设false，则false，故false在false上为减函数，可得false，即false，故false在false上为减函数，故false；
（2）由（1）知：false时false，
可得：false
false
false，
当false时，false，
故false，
所以，false，
因此，false．
【小结】
利用导数证明不等式问题，方法如下：
（1）直接构造函数法：证明不等式false（或false）转化为证明false（或false），进而构造辅助函数false；
（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；
（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.
13．已知函数false，false为自然对数的底数）.
（1）求函数false的单调区间；
（2）记函数false的最小值为false，求false取最大值时实数false的值；
（3）在（2）的条件下，证明：false（其中false.
【答案】（1）递减区间为false，单调递增区间为false；（2）1；（3）证明见解析.
【详解】
（1）由题意false，false，由false，得false.
当false时，false；当false时，false.
false的单调递减区间为false，单调递增区间为false.
（2）由（1）知，当false时，false取得极小值，也为最小值，
其最小值为falsefalse.
由falsefalse，得false.
false在区间false上单调递增，在区间false上单调递减，
false在false处取得最大值，而falsefalse.
因此false取得最大值时，false
（3）证明：由（2）知，当false时，对任意实数false均有false，即false，即false.
令false，false，1，2，3，false，false，则false，
falsefalse，
falsefalse
false
【小结】
对于数列型的不等式的证明问题，需要给函数不等式合理赋值，得到一个简单数列不等式，然后通过累加累乘等方法得出答案.
14．设函数false，其中false.
（1）讨论函数false的单调性；
（2）当false且false时证明不等式：false.
【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析
【详解】
（1）false，
当false时，false，false在false上递增；
当false，false，解得，false，false，
①当false时，false，false，false，得false，false，得false，
②当false时，false，false，false，得false，false，false，得false；
综上可得，当false时，false的增区间为false；
当false时，false的增区间为falsefalse，false，减区间为false；
当false时，false的增区间为falsefalse，false，false，减区间为falsefalse，false；
（2）false时，false，
令false，false在false恒正，
false在false，false递增，false时，false，
即当false时，false，
即false，对任意的false为正整数，取false，有false，
则false
false
falsefalse
falsefalsefalse.
【小结】
解答本题的关键是由证明的不等式想到先证明当false时， false，取false，有false.
15．若函数false在false，false上为增函数.
（Ⅰ）求正实数false的取值范围.
（Ⅱ）若false，求证：false且false
【答案】（Ⅰ）false；（Ⅱ）证明见解析.
【详解】
（Ⅰ）由已知：false,依题意得：false对false，false恒成立，
false对false，false恒成立,false即：false
（Ⅱ）false，false，false在false，false上为增函数，
false时：false
即：falsefalsefalse
设false，
则false对false，false恒成立，false在false为减函数，falsefalse
false时：false，即：false
false综上所证：false且false成立.
【小结】
本题考查利用导数证明数列不等式，解题的关键是根据false在false，false上为增函数得false，再根据false为减函数得false.
16．已知函数false．
（1）求false的单调区间；
（2）设false，在（1）的条件下，求证：falsefalse．
【答案】（1）false单调递增区间为false，无递减区；（2）证明见解析.．
【详解】
（1）函数false的定义域为false
由false，得false
令false
false
即false在false上单调递减，在false上单调递增，
故false，于是false单调递增区间为false，无递减区
（2）证明：由（1）可知false在false上单调递增函数，又false，
false当false时，false，false
falsefalse
false
falsefalse
于是false得证．
【小结】
本题考查用导数求单调区间，用导数证明数列不等式．这类问题的解决，通常后一小题需要用到前一小题（或前面所有）的结论，通过变形，赋值等手段进行证明求解．如本题第（1）小题函数单调性得出不等式false，只要在此不等式中对false赋值false，false个不等式相加即可．
17．已知函数false.
（1）求证：false；
（2）求证：对于任意正整数false，false.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【详解】
（1）由题意得false当false时false，false单调增
当false时false，false单调减所以false的最小值为false，
所以false即false成立
（2）由（1）知false令false得false
所以falsefalse即false
所以false
【小结】
已知不等式证明问题常用的方法：
（1）证明false或false；
（3）构造两个函数false，证明false
18．已知函数false的图象在false处的切线斜率为false.
（1）求证：false时，false；
（2）求证：false.false.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【详解】
（1）false，
由题false，所以false.
故false，
在false上，易知false
方法一：false，
令false，知false在false单调递增，
所以false，也即false，
所以false在false上单调递减，false，
所以，在false得证；
方法二：false，
令false，知false在false单调递减，
所以false，知false在false单调递增，
所以false，也即false，
所以false在false上单调递减，false，
所以，在false得证；
方法三：false，
因为false，设false，显然false在false单调递增，false，所以false，
所以false在false单调递减，故false，因为false，
所以false.
（2）当false时，false，
因为false，所以false，
则false，由（1）知：false时，false，
令false，
所以false，
相加得false.
【小结】
方法点睛：导数解决函数最值问题，对于复杂函数，可以利用放缩的办法求得函数值恒成立，从而证得结论.
19．已知：对任意false，false恒成立
（1）求false的范围；
（2）证明：false．（参考数据：false，false，false，false，false）
【答案】（1）false；（2）证明见解析.
【详解】
（1）false，
令false，
当false时，false即false恒成立，故false在false单调递增，又false，故false恒成立，
当false时，由false，设false且false，则false时，false即false，因此在false上false单调递减，又false，故false时，false，不符合题意，
综上，false的取值范围为false．
（2）由（1）知，取false，当false时，false，
故对false，false，
∴false，
∴false．
【小结】
（1）恒成立求参数的范围的处理方法：①参变分离，转化为不含参数的最值问题；②不能参变分离，直接对参数讨论，研究false的单调性及最值；③特别地，个别情况下false恒成立，可转换为false（二者在同一处取得最值）.
（2）利用导数证明不等式的形式比较多，其本质是利用导数判断单调性，利用单调性比较大小.
20．已知函数false.
（1）求函数false的单调区间；
（2）若不等式false恒成立，求实数false的取值范围；
（3）当false时，求证：false.
【答案】（1）答案见解析；（2）false；（3）证明见解析.
【详解】
（1）falsefalse
①当false时，false，所以false在false上递增；
②当false时，令false，则false，
当false时，false；当false时，false，
所以false在区间false上递增，在false上递减.
（2）方法1：构造函数
falsefalse
①当false时，由（1）false在false上递增，又false，不符合题意，舍；
②当false时，由（1）知false在区间false上递增，在false上递减；
所以false，解得：false.
综上：false
方法2：分离参数
false恒成立，等价于false，false
设false，false，false，令false，false，则
当false时，false；当false时，false，
所以false在区间false上递增，在false上递减；
所以false，所以：false
（3）由(2)知，当false时，false恒成立，即false(仅当false时等号成立)
①当false时，false，即false；
所以，false，false，false，……，false；
上述不等式相加可得：false，
即：false，
即：false，false；
②当false时，false，即false，即false
所以，false，false，false，……，false；
上述不等式相加可得：false，
即：false，
即：false，false；
综上：当false时，false.
【小结】
此题考查导数的应用，考查利用导数求函数的单调区间，利用导数解决恒成立问题，考查累加法的应用，考查转化思想和计算能力，属于难题
21．已知数列false满足false，false．求证：当false时，
（Ⅰ）false；
（Ⅱ）当false时，有false；
（Ⅲ）当false时，有false．
【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）见解析（Ⅲ）见解析
【详解】
（Ⅰ）用数学归纳法进行证明．①当false时，false成立；
②假设当false时，有false成立，则当false时，有false，又false，故false，综上，可知当false时，均有false．
（Ⅱ）设false，则false恒成立，false在false上单调递增，所以false，即false．
因为false，即false，
当false时，由累乘法可得，false，
又false，即false，所以false；
因为false，即false，
当false时，由累乘法可得，false，
又false，即false，所以false，
故当false时，有false；
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知， false，即false，且false．
设false，false恒成立，
false在false上单调递增，所以false，所以false，
因为false，
即false，且false，
所以false，即false，
故有false，变形为false，
当false时，所以false，
又false，即false，所以false．
【小结】
本题主要考查数学归纳法的应用，通过函数的单调性对数列不等式进行放缩，以及累乘法的应用，意在考查学生的转化能力，数学建模能力，数学运算能力和逻辑推理能力，综合性强，属于难题．
22．冠状病毒是一个大型病毒家族，已知可引起感冒以及中东呼吸综合征（false）和严重急性呼吸综合征（false）等较严重疾病.而今年出现在湖北武汉的新型冠状病毒（false）是以前从未在人体中发现的冠状病毒新毒株.人感染了新型冠状病毒后常见体征有呼吸道症状、发热、咳嗽、气促和呼吸困难等.在较严重病例中，感染可导致肺炎、严重急性呼吸综合征、肾衰竭，甚至死亡.某医院为筛查冠状病毒，需要检验血液是否为阳性，现有n（false）份血液样本，有以下两种检验方式：方式一：逐份检验，则需要检验n次.方式二：混合检验，将其中k（false且false）份血液样本分别取样混合在一起检验.若检验结果为阴性，这k份的血液全为阴性，因而这k份血液样本只要检验一次就够了，如果检验结果为阳性，为了明确这k份血液究竟哪几份为阳性，就要对这k份再逐份检验，此时这k份血液的检验次数总共为false.假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是独立的，且每份样本是阳性结果的概率为p（false）.现取其中k（false且false）份血液样本，记采用逐份检验方式，样本需要检验的总次数为false，采用混合检验方式，样本需要检验的总次数为false.
（1）若false，试求p关于k的函数关系式false；
（2）若p与干扰素计量false相关，其中false（false）是不同的正实数，满足false且false（false）都有false成立.
（i）求证：数列false等比数列；
（ii）当false时，采用混合检验方式可以使得样本需要检验的总次数的期望值比逐份检验的总次数的期望值更少，求k的最大值
【答案】（1）false，（false，且false）；（2）（i）证明见解析；（ii）
【详解】
（1）由已知，false，false，得false，
false的所有可能取值为1，false，
∴false，false.
∴false.
若false，则false，
所以false，∴false，
∴false.
∴p关于k的函数关系式为false，（false，且false）.
（2）（i）∵证明：当false时，false，∴false，所以false，
令false，则false，
∵false，∴下面证明对任意的正整数n，false.
①当false，2时，显然成立；
②假设对任意的false时，false，下面证明false时，false；
由题意，得false，
∴false，
∴falsefalse，∴false，
所以false.∴false或false（负值舍去）.
∴false成立.∴由①②可知，对任意的正整数n，false，
所以false，所以false为等比数列.
（ii）解：由（i）知，false，false，
∴false，得false，∴false.
设false（false），false，
∴当false时，false，则false在false上单调递减；
又false，false，所以false，
false，false，所以false，
false，false，∴false；
false，false.∴false.
∴k的最大值为4.
【小结】
本题考查了对立事件的概率公式，考查了离散型随机变量的期望公式，考查了数学归纳法，考查了等比数列的定义，考查了利用导数解决不等式恒成立问题，属于难题.
23．已知函数false．
（Ⅰ）若对任意false，都有false成立，求false的取值范围；
（Ⅱ）证明：false．
【答案】（Ⅰ）false；（Ⅱ）见解析
【详解】
（Ⅰ）当false时，false，不合题意．
当false时，false，令false，得false，false.若false，则有false在false上单调递减，false，不合题意.所以false，且false，解得false，所以false的取值范围是false．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当false时，对false，都有false，即false．
所以false．
因为false；false
falsefalse．
于是falsefalse．
【小结】
本小题主要考查利用导数研究不等式恒成立问题，考查放缩法证明不等式，考查分类讨论的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题.
24．已知函数false
（1）若false在[1，+∞)上恒成立，求a的取值范围．
（2）证明：false
【答案】（1）false；（2）见解析．
【详解】
（1）设false，false，
false，即false时，false恒成立，false在false上是增函数，
∴false，∴false满足题意，
false时，false有两个不等实根false，false，false，
不妨设false，则false，
当false时，false，false递减，false时，false，false递增，
∴在false时，false，
false，又false，false，
∴false，
令false，false，
∴false在false上递减，
∴false，false在false上不恒成立，
综上，false．即false的取值范围是false．
（2）由（1）false时，false，且当false时，false，
令false，则有false，
∴false，false，
这false个不等式相加得false，
整理得false．证毕．
【小结】
本题考查用导数研究不等式恒成立问题，用导数证明不等式，不等式恒成立问题常常转化为研究函数的最值，为了研究导函数的正负，可能对导函数（或其中一部分构成的新函数）再求导，确定正负，确定单调性．
25．已知函数false.
（1）求函数false的单调递减区间；
（2）若关于x的不等式可false对于任意false成立，求实数a的取值范围；
（3）证明：false.
【答案】（1）见解析（2）见解析（3）见解析
【详解】
（1）由题意，得false，
令false，即false，解得false，
所以，函数false的单调递减区间为false.
（2）由（1）得false，则不等式false转化为
false，即false对任意false成立，
令false，false，则false，
当false时，false；当false时，false，
所以，false在false时取最大值，此时false，即false
故实数a的取值范围为false.
（3）先证：false，对任意false恒成立，令false，false，则false恒成立，即false在false上单调递减，所以，false，又false，
所以，false，即false对任意false恒成立，
所以，对任意false，总有false，
则false，
先证false，即证false，即证false，
又false，则false，即证false，
而false，而false显然成立，
即false成立，
所以，当false时，
false，
即false.
【小结】
本题考察了函数的单调性，导数的应用，不等式的证明，参变分离思想，不等式放缩，属于难题.
26．设l为曲线C：false在点false处的切线.
（1）求l的方程；
（2）证明：除切点false之外，曲线C在直线l的下方；
（3）求证：false（其中false，false）.
【答案】（1）false（2）见解析（3）见解析
【详解】
（1）设false（false），则false（false），
从而曲线在点false处的切线斜率为false，
于是切线方程为false，即false，
因此直线l的方程为false.
（2）令false（false），
则除切点false之外，曲线C在直线l的下方等价于false（任意false，false）恒成立.
false满足false，且false（false，false），
当false时，false，false，从而false，于是false在false单调递减；
当false时，false，false，从而false，于是false在false单调递增.
因此false（任意false，false），除切点false之外，曲线C在直线l的下方.
（3）方法1 由（2）可知false（任意false，false）.
令false得false，即false.
则false，false，…，false.
将以上各式相加得falsefalse，
当false，false时，false，
false，
falsefalse，
所以当false，false时，false，结论成立.
方法2：用数学归纳法证明：
①当false时，左边false，右边false，左边false右边，不等式成立.
②假设当false（false，false）时，不等式成立，
即false，
当false时，falsefalse，
只需证明false（*）
false
false（**）.
由（2）可知false（任意false，false），
则false（false）.
又当false，false时，false，
false，
false（false）.
所以（**）成立，从而（*）成立.
false时，不等式成立.
由①②可知，当false，false时，false成立.
【小结】
本题主要考查的是导数的几何意义的应用，以及利用导数研究函数的单调性和最值，放缩法证明不等式，数学归纳法的应用，考查的是分析问题的能力以及计算能力，是难题.
27．已知函数false．
（1）若false对false恒成立，求实数false的取值集合；
（2）在函数false的图象上取定点false，记直线AB的斜率为false，证明：存在false，使false成立；
（3）当false时，证明：false．
【答案】（1）false；（2）证明见解析；（3）证明见解析.
【详解】
（1）false，
令false，当false，
当false时，false取得极大值，
亦为最大值，false，
false，设false，
令false.
false，又false，
false；
（2）false，
false，
false，令false，false，
当false，
false，同理false，函数false连续不断，故存在false，使得false，即存在false，使false成立；
（3）设false，
当false时，false在false递增，
false，令false
false，
false
【小结】
本题考查导数的综合应用，涉及不等式恒成立最值问题、函数零点、数列不等式的证明，解题的关键是构造函数，导数性质的合理运用，属于难题.
28．已知函数false.
（1）若不等式false在false上有解，求false的取值范围；
（2）若false对任意的false均成立，求false的最小值.
【答案】（1）false；（2）false .
【详解】
（1）false，由定理可知，
函数false的单调递增区间为false，递减区间为false .
故false，
由题意可知，当false，
解得false，故false；
当false，由false函数的单调性，
可知在false恒单调增，且恒大于零，故false无解；
综上：false；
(2)当false时，false,
false,false，false且false，
false ，
false
false
false ，false ，false的最小值为false .
【小结】
本题考查用导数研究证明不等式，研究不等式恒成立问题．解题中一要求有较高的转化与化归能力，二要求有较高的运算求解能力．第（1）小题中在解不等式false时还要用到分类讨论的思想，第（2）小题用到放缩法，而且这里的放缩的理论根据就是由第（1）小题中函数false的性质确定的，发现问题解决问题的能力在这里要求较高，本题难度较大．
29．已知函数false.
（1）当false时，不等式false恒成立，求实数false的取值范围；
（2）证明：false，false.
【答案】（1）false；（2）证明见解析.
【详解】
（1）解：不等式false，等价于false，
记false，∴false，
令false，则false，∵false，∴false，
∴false在false上单调递增，∴false，从而false，
故false在false上单调递增，∴false，故false；
（2）证明：由（1）可知当false时，取false，false，则false，即false恒成立，
则当false时，false恒成立，当且仅当false时取等号，
令false，则false，
∴当false时，false，
当false时，false，
……
false，
上式相加可得false，
即false，原不等式得证.
【小结】
本题主要考查了导数的应用，利用导数讨论函数的单调性得不等关系，进而真么数列问题，本题的难点是第二问要利用第一问的结论得false，属于难题.
30．已知函数false
(1)判断函数false在false上的单调性
(2)若false恒成立，求整数false的最大值
(3)求证：false
【答案】（1）函数false在false上为减函数 （2）整数false的最大值为3 （3）见解析
【详解】
（1）因为false，所以false，false，
又因为 false，所以false，false，所以 false，
即函数false在false上为减函数；
（2）由false恒成立，即false恒成立，
即false，设false，
所以false，false，令false，
则false，即false在false为增函数，
又false ，false，
即存在唯一的实数根false，满足false，且false，false，
当false时，false，false，当false时，false，false，
即函数false在false为减函数，在false为增函数，
则false，
故整数false的最大值为3；
（3）由（2）知，false，false，令false，
则 false，
falsefalse=false，
故false.
【小结】
本题考查了利用导数判断函数的单调性、构造函数求解不等式恒成立问题及利用证明的结论证明不等式，属综合性较强的题型.
31．已知函数falsefalse.
（1）若false对false都成立，求false的取值范围；
（2）已知false为自然对数的底数，证明：falsefalseNfalse，falsefalsefalse.
【答案】（1）false；（2）证明见解析.
【解析】（1）解：∵false，其定义域为false,
∴false.
① 当false时，false，当falsefalse时，false，
则false在区间false上单调递减，此时，false，不符合题意.
② 当false时，令false，得false，false，
当falsefalse时，false，则false在区间false上单调递减，
此时，false，不符合题意.
③ 当false时，false，当falsefalse时，false，
则false在区间false上单调递增，此时，false，符合题意.
④ 当false时，令false，得false，false，当falsefalse时，false，
则false在区间false上单调递增，此时，false，符合题意.
综上所述，false的取值范围为false.
（2）证明：由（1）可知，当false时，false对false都成立，
即false对false都成立.
∴false.
即falsefalse.
由于falseNfalse，则false.
∴falsefalse.
∴falsefalse.
由（1）可知，当false时，false对false都成立，
即false对false都成立.
∴false.
即false.
得false
由于falseNfalse，则false.
∴falsefalsefalse.
∴falsefalse.
∴falsefalsefalse.
【小结】
用导数判断函数的单调性；2、参数的取值范围；3、用导数证明不等式；4、放缩法.
32．已知函数false .
（1）若函数false与false的图象恰好相切与点false，求实数false 的值；
（2）当false时，false恒成立，求实数false的取值范围；
（3）求证：false .
【答案】（1）false（2）false（3）见解析
【解析】
（1）false所以false
（2）方法一：（分参）
即false时，false，false时，显然成立；
false时，即false
令false，则false
令false[]
false
false即false
false在false上单调递减
false
故false
方法二：（先找必要条件）
注意到false时，恰有false
令false
则false
false在false恒成立的必要条件为false
即false
下面证明：当false时，false
false
令false
false即false
false在false递减，
false恒成立，即false也是充分条件，故有false.
（3）不妨设false为false前false项和，则false
要证原不等式，只需证false
而由（2）知：当false时恒有false
即false当且仅当false时取等号
取false，则false
即false即false
即false成立，从而原不等式获证.
【小结】
对于求不等式成立时的参数范围问题，在可能的情况下把参数分离出来，使不等式一端是含有参数的不等式，另一端是一个区间上具体的函数，这样就把问题转化为一端是函数，另一端是参数的不等式，便于问题的解决.但要注意分离参数法不是万能的，如果分离参数后，得出的函数解析式较为复杂，性质很难研究，就不要使用分离参数法.
33．已知函数false，false．
（Ⅰ）若函数false与false的图像在点false处有相同的切线，求false的值；
（Ⅱ）当false时，false恒成立，求整数false的最大值；
（Ⅲ）证明：falsefalse．
【答案】(Ⅰ)false；（Ⅱ）false；（Ⅲ）证明见解析.
【解析】
试题分析：(Ⅰ)求出false与false，由false且false解方程组可求false的值；（Ⅱ）false恒成立等价于false恒成立，先证明当false时恒成立，再证明false时不恒成立，进而可得结果；（Ⅲ））由false，令false，
即false，即false，令false ，各式相加即可得结果.
试题解析：(Ⅰ)由题意可知，false和false在false处有相同的切线，
即在false处false且false，
解得false.
（Ⅱ）现证明false，设false，
令false，即false，因此false，即false恒成立，
即false，同理可证false.
由题意，当false时，false且false，
即false，即false时，false成立.
当false时，false，即false不恒成立.因此整数false的最大值为2.
（Ⅲ）由false，令false，
即false，即false
由此可知，当false时，false，
当false时，false，
当false时，false，
……
当false时，false.
综上：false
false
false.
即false.
34．设false，曲线false在点false处的切线与直线false垂直．
（1）求false的值；
（2）若对于任意的false， false恒成立，求false的取值范围；
（3）求证： false．
【答案】（Ⅰ）false（Ⅱ）false（Ⅲ）详见解析
【解析】（Ⅰ）先求导数，再根据导数几何意义列方程，解方程可得false的值；（Ⅱ）不等式恒成立问题，一般转化为对应函数最值问题，本题去分母转化为差函数： false，因为false，所以false最大值不小于false，根据false导函数符号可得false才满足条件.（Ⅲ）不等式证明中涉及求和问题，一般方法为适当放缩，再利用裂项相消法给予证明.本题由（Ⅱ）知，当false时, false时, false成立，所以放缩这一难点已暗示，下面只需令false得false，即false，最后叠加可得证.
试题解析：（Ⅰ） false
由题设false，∴false false.
（Ⅱ）false,false， false，即false
设false，即false.
false false
①若false， false，这与题设false矛盾
②若false当false, false单调递增， false，与题设矛盾.
③若false当false， false单调递减， false，即不等式成立
综上所述， false .
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当false时, false时, false成立.
不妨令false所以false，
false
false
false
…………
false
累加可得
∴false
【小结】
利用导数解决不等式恒成立问题的“两种”常用方法
(1)分离参数法：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的最值，根据要求得所求范围.一般地， false恒成立，只需false即可； false恒成立，只需false即可.(2)函数思想法：将不等式转化为某含待求参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的极值(最值)，然后构建不等式求解.
35．已知f（x）=x-false（a>0），g（x）=2lnx+bx且直线y=2x－2与曲线y=g（x）相切．
（1）若对[1，+false）内的一切实数x，小等式f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围；
（2）当a=l时，求最大的正整数k，使得对[e，3]（e=2．71828是自然对数的底数）内的任意k个实数x1，x2，，xk都有false成立；
（3）求证：false．
【答案】（1）；（2）的最大值为．（3）见解析．
【详解】
试题分析：（1）设点为直线与曲线的切点，则有． （*）
，． （**）
由（*）、（**）两式，解得，．
由整理，得，
，要使不等式恒成立，必须恒成立．
设，，
，当时，，则是增函数，
，是增函数，，
因此，实数的取值范围是．
（2）当时，，
，在上是增函数，在上的最大值为．
要对内的任意个实数都有
成立，必须使得不等式左边的最大值小于或等于右边的最小值，
当时不等式左边取得最大值，时不等式右边取得最小值．
，解得．
因此，的最大值为．
（3）证明（法一）：当时，根据（1）的推导有，时，，
即．
令，得，
化简得，
．
（法二）数学归纳法：当时，左边=，右边=，
根据（1）的推导有，时，，即．
令，得，即．
因此，时不等式成立．
（另解：，，，即．）
假设当时不等式成立，即，
则当时,，
要证时命题成立，即证，
即证．
在不等式中，令，得
．
时命题也成立．
根据数学归纳法，可得不等式对一切成立．
考点：函数的性质；导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；数学归纳法．
【小结】
本题主要考查导数的几何意义及其应用和数学归纳法等综合知识，考查学生的计算推理能力及分析问题、解决问题的能力及创新意识．对学生的能力要求较高，尤其是分析问题解决问题的能力．（2）解决恒成立问题常用变量分离法，变量分离法主要通过两个基本思想解决恒成立问题， 思路1：在上恒成立；思路2:在上恒成立．
36．已知函数false，（false ）,常数false.
(Ⅰ)试确定函数false的单调区间；
(Ⅱ)若对于任意false恒成立，试确定实数false的取值范围；
(Ⅲ)设函数false，求证：false（false）
【答案】(Ⅰ)单调递增区间是false，单调递减区间是false (Ⅱ)false (Ⅲ)证明见解析
【详解】
(Ⅰ) 对函数求导得false 且定义域为false
当false时,即有false ,所以false的单调递增区间是false
当false时,即有false ,所以false的单调递减区间是false
(Ⅱ)若false，函数false在false递增，故只要false即可.
若false，函数false在false递减，在false递增，故只要false ,即false 若false时,false,此时对false故实数false的取值范围是false
(Ⅲ)证明：false
false
因为false false false
false false false所以false
false
false
false
false
式子左右分别相乘可得
falsefalse
原式得证
【小结】
本题考查了导数在函数单调性中的应用,应用导数证明不等式恒成立,分类讨论求参数的取值范围,是高考的重点难点,属于难题.
37．已知函数false.
（1）证明：false时，false；
（2）证明：false.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【分析】
（1）由false，即false在定义域内为增函数，即可证明结论.
（2）根据（1）结论，令false可得false，将false所得的n个式子相加，结合对数运算性质、放缩法即可证不等式.
【详解】
（1）false时，false，
故false为增函数，false；
（2）由（1）知：false，
令false时，有false，
故false，false，…，false，
将false式相加得：falsefalse，
∴false.
【小结】
（1）利用函数的导函数确定函数单调性证明函数不等式.
（2）由（1）结论，令false有false，应用累加求和求证不等式.
38．已知函数false.
（1）讨论false的零点个数；
（2）求证：对一切false均有false成立，其中false为自然对数的底数.
【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析.
【详解】
（1）false的定义域为false，令false，则false.
当false时false；当false时，false，
false在(false单调递减，在false单调递增，
false的最小值为false.
当false时，false，此时false无零点.
当false时，false，此时false只有一个零点.
当false时，false，false，又false，
false在false上有且只有一个零点.
false，令false，
false，false，false，
false，false，false，
所以false在false上有且只有一个零点.
综上：当false时，函数无零点；
当false时，函数有且只有一个零点；
当false时，函数有两个零点.
（2）由（1）知：当false时，false，false，
令false，则false，
即false，所以false，
令false，则false，
即false，所以false，
所以false，
所以false，
所以对一切false均有false成立.
【小结】
方法点睛：（1）由证明的结果逆推，如果通项公式成立，则和必然成立；
（2）由和找到通项公式，结合第（1）问的结论，对false赋值；
（3）证明通项公式成立；
（4）推导求和成立，写出结论.
39．已知函数false, 其中false.
（1）求函数false的单调区间；
（2）证明：当false时，false恒成立.
【答案】（1）见解析.（2）见解析
【解析】
（1）：定义域为false
false，
解得false，
当false时：false在false递减，在false递增；
当false时：false在false递增，在false递减，在false递增；
当false时：false在false递增；
当false时：false在false递增，在false递减，在false递增；
（2）当false时，false在false递减，在false递增
则false
得到false，
当false时false
累加得到：当false
false原不等式得证.
【小结】
（思路点评：看结论可知需要累加，右边需要列项相消，赋值时考虑二次函数处需要凑出false或false就能方便取倒数后裂项相消，尝试后选择false）.本题主要考查利用导数求函数的单调区间，利用构造法证明数列不等式，还考查了分类讨论的数学思想方法和化归与转化的数学思想方法.第一问研究函数的单调性，要先求定义域，求导通分后进行因式分解，此时导函数有两个零点，对零点的分布进行讨论得到函数的单调区间.第二问在第一问的基础上，取false的一个特殊值构造不等式来证明.
40．已知函数false，false.
（1）求false的单调区间；
（2）当false时，证明：false；
（3）证明：false.
（参考数据：自然对数的底数false）
【答案】见解析；
【详解】
（1）解：函数false的定义域为false，
又∵false，
∴当false时，false，当false时，false，
∴false的单调减区间为false，单调增区间为false；
（2）证明：要证明false，即证明false.
设false，
故false，false，
当false时，false，故false在false递增.
故false，false在false递增，
故false恒成立，
故当false时false，即有false；
（3）证明：false（false，false）.
即证明false，
由（1）可知false在false单调递增，故false对于false恒成立，
∵false，false，false，∴false，
而依据第（2）问，当false时，false，
故false时，false，
故false
false
false
false
又∵false，∴false，即false，
故false，
∴false（false，false）.
41．已知函数false（false）.
（1）讨论false的单调性.
（2）证明：当false时，false（false）.
【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析.
【详解】
（1）false的定义域为false.
false（false），
当false时，令false，得false或false；令false，得false，
false在区间false，false上单调递增，在区间false上单调递减.
当false时，false，false在区间false上单调递增.
当false时，令false，得false或false；令false，得false，
false在区间false，false上单调递增，在区间false上单调递减.
当false时，令false，得false；令false，得false，
false在区间false上单调递增，在区间false上单调递减.
综上，当false时，false在区间false，false上单调递增，在区间false上单调递减；
当false时，false在区间false上单调递增，无单调递减区间；
当false时，false在区间false，false上单调递增，在区间false上单调递减；
当false时，false在区间false上单调递增，在区间false上单调递减.
（2）证明：当false时，由（1）可知，false在区间false上单调递增，在区间false上单调递减，false，
false，即false.
当false时，false，
令false，得
false，
false，
false，…，
false，
以上各式两端分别相加，得
false，
false（false）.
【小结】
本题考查利用导数研究函数的单调性，利用导数证明不等式，属于难题.
42．已知函数false．
（1）讨论false的单调性；
（2）求证：当false时，false；
（3）设false是整数，对于任意的正整数false，有false，求false的最小值．
【答案】（1）当false时，false在false上单调递增；当false时，false在false上单调递增，在false上单调递减；（2）证明见解析；（3）3．
【详解】
（1）解：falsefalse，
若false，则false恒成立，false在false上单调递增；
若false，令false，则false，
当false时，false，false单调递增，
当false时，false，false单调递减，
综上所述，当false时，false在false上单调递增；
当false时，false在false上单调递增，在false上单调递减；
（2）证：由（1）知，当false时，false在false上单调递增，在false上单调递减，
falsefalsefalsefalse，
于是需要证明false，
令false，则false，
当false时，false，false在false上单调递减，
当false时，false，false在false上单调递增，
false当false时，函数false取得最小值false，
false，即false（当且仅当false时，等号成立），
false，
falsefalse，
故当false时，false；
（3）解：由（2）可得，false（当且仅当false时，等号成立），
令false，得false，false，
falsefalsefalsefalse，
即false．
又false，
false当false时，false，
false，false，
false的最小值为3．
【小结】
本题主要考查利用导数研究函数的单调性、恒成立问题和不等式的证明，还涉及等比数列的前false项和公式、对数的运算法则等基础知识，将函数的恒成立问题转化为函数的最值问题，以及充分利用放缩法是解题的关键，考查学生的转化与化归思想、逻辑推理能力和运算能力，属于难题．
43．已知false（false）
（1）若false对false恒成立，求实数a范围；
（2）求证：对false，都有false.
【答案】（1）false；（2）证明见解析.
【详解】
（1）false，
当false时，false对false恒成立，则false在false上单调递增，
由false，与题设矛盾
当false时，由false，得false，由false，得false
false在false单调递减，在false单调递增.
false对false成立
令false（false）
false（false）
由false，得false；由false，得false.
false在false单调递增，在false单调递减
false
false只有false适合题意
综上，a的取值范围是false.
（2）由（1）可知，false时，false，则false
false，
令false（false，2，3，…，n），则false（false，2，3，…，n）
false
false
由false，知false，则false，
false
【小结】
本题考查了利用导数解决不等式恒成立问题，考查了利用导数证明不等式问题，考查了数学运算能力.
44．false
（1）求false在false上的单调区间；
（2）当false时，设函数false，false时，证明false．
（3）证明：false．
【答案】（1）见解析（2）见解析（3）见解析
【详解】
（1）由题意得：false，
①当false时，false在false上恒成立，
false的单调递减区间为false，无单调递增区间；
②当false时，令false，解得：false或false（舍），
false当false时，false；当false时，false；
false的单调递增区间为false，单调递减区间为false；
③当false时，false在false上恒成立，
false的单调递增区间为false，无单调递减区间；
④当false时，令false，解得：false（舍）或false
false当false时，false；当false时，false；
false的单调递增区间为false，单调递减区间为false；
综上所述：当false时，false的单调递减区间为false，无单调递增区间；
当false时，false的单调递增区间为false，单调递减区间为false；
当false时，false的单调递增区间为false，无单调递减区间；
当false时，false的单调递增区间为false，单调递减区间为false.
（2）由题意得：false，
false，false，即false，
要证false，需证false，即证false，
设false，则要证false，等价于证：false，
令false，则false，
false在区间false内单调递增，false，
即false，故false.
（3）由（1）知：当false时，false在false上为增函数，false，
即false，
令false， 可得：false，
即false，
falsefalse，
则false，false，false，false，false，
不等式左右分别相加得：
falsefalsefalse，不等式得证.
【小结】
本题考查导数在研究函数中的应用，涉及到讨论含参数函数的单调性、双变量问题的处理、不等式的证明；解决导数中的双变量问题的常用方法是引入第三个变量，从而将所证不等式转化为关于第三个变量的函数最值的求解问题，从而利用导数来进行求解，属于难题.
45．已知函数false.
（1）讨论false的单调性；
（2）证明：false.注：false为自然对数的底数.
【答案】（1）当false时，false在false内单调递增；当false时，false在false内单调递减，在false内单调递增.（2）证明见解析；
【详解】
（1）解：∵false，∴false.
①若false，则false，
∴false在false内单调递增；
②若false，则false在false内单调递增，且false，
∴当false时，false；当false时，false，
∴false在false内单调递减，在false内单调递增.
综上所述，当false时，false在false内单调递增；
当false时，false在false内单调递减，在false内单调递增.
（2）证明：当false时，false，
由（1）知false，∴false，当且仅当false时，等号成立，
令false，易知false，
∴false，
从而false，
false，
false
false，
累加可得false，
即false，
∴false，证毕.
【小结】
本题考查利用导数求false的单调性，考查不等式的证明，考查列项相消法求和，考查数学分类讨论的思想，考查指数的运算，属于综合性比较强的中档题.
46．已知数列false满足:false
（1）证明:false
（2） 证明:false
【答案】(1)见解析;(2)见解析.
【分析】
(1) 设false,通过导数分析得, false时,false,从而证明false.
(2)设false，代入已知条件得false，从而结合累加法可知false，结合导数易知false递增，可得false，令false，从而得false，通过累加法可证false，由false，结合false可证明false，从而可证false.
【详解】
(1)证明:设false 则false
解得:false.当false 时,false;当false 时, false.
所以当false时,false.
false则false 所以false,false.
（2）证明：设false，则false.由false可知false，即
false，从而可得false，结合累加法可知，
false.设false ，
则false ，所以false，即false.
当false 时，false，即false.
于是false，false，…，
false .将所有式子相加得false
所以false.所以
false，
所以false
false.即false ，
所以false
【小结】
本题考查了利用导数对函数最值的求解,考查了累加法求通项公式，考查了裂项求和，考查了放缩法.利用导数求最值时,一般首先确定函数的定义域,令导数为0,解方程,讨论导数与函数随自变量的变化,从而得到最值点.易错点是忽略了定义域.本题难点在于第二问中，不等式右边式子的构造.
47．设函数false．
（1）求false的单调区间；
（2）设false，且false有两个极值点false其中false，求false的最小值；
（3）证明：false＞false（n∈N*，n≥2）．
【答案】（1）详见解析；（2）false；（3）证明详见解析.
【详解】
（1）false的定义域为false.
①当false时，false恒成立，false在定义域false上单调递增；
②当false时，令false得false，
（ⅰ）当false时，即false时，false恒成立，
所以false在定义域false上单调递增；
（ⅱ）当false时，即false时，false的两根为false或false，
当false时，false单调递增，
当false时，false单调递减，
当false时，false单调递增，
综上，当false，false在定义域false上单调递增，无递减区间；
当false时，false的递增区间为false，false，
递减区间为false
（2）（2）false的定义域为false，
令false，得false，其两根为false，且false，所以false
所以false
false.
设false，
则false，
因为false，
当false时，恒有false，当false时，恒有false，
总之，false时，恒有false，所以false在false上单调递减，
所以false，所以false.
（3）因为false，
所以要证
false即证明false，false，
令false，
则false，即证false，
由（1）知，false时，false在false 单调递增，所以false，
所以false.
【小结】
本题考查了利用导数研究函数单调性，极值与最值，应用了分类讨论的思想，利用韦达定理统一变量，注意对自变量范围的限制，证明不等式可以采用分析法，重点考查分类讨论，转化与化归的思想，考查了推理论证，分析问题和解决问题的能力，综合性强，计算量大，难点大，对能力比较高.
47．已知false，false，直线false，false，false与曲线false所围成的曲边梯形的面积为false.其中false，且false.
（1）当false时，false恒成立，求实数false的值；
（2）请指出false，false，false的大小，并且证明；
（3）求证：false.
【答案】（1）1；（2）false，证明见解析；（3）见解析
【详解】
（1）由已知得false时，不合题意，所以false.
false恒成立，即false恒成立.
令false，false.
当false时，false在false上为增函数，此时false成立.
当false时，false在false上为减函数，不合题意，所以false.
令false，false，当false时，false在false上为增函数，此时false，false恒成立.
当false时，false在false上为减函数，不合题意，所以false.
综上得false.
（2）由（1）知false.令false，得false，
从而false，
又因为false，则false.
（3）由已知false
falsefalse，
因为false，所以
false
false，
false
false.
从而false.
【小结】
本题考查了定积分的几何意义、不等式的恒成立问题、对数的运算等，考查的核心素养是逻辑推理、数学运算，属于难题.
49．已知函数false，函数false，其中false，false是false的一个极值点，且false.
（1）讨论false的单调性
（2）求实数false和a的值
（3）证明false
【答案】（1）false在区间false单调递增；（2）false；（3）证明见解析.
【详解】
（1）由已知可得函数false的定义域为false，且false，
令false，则有false，由false，可得false，
可知当x变化时，false的变化情况如下表：
false
false
1
false
false
-
0
+
false
false
极小值
false
false，即false，可得false在区间false单调递增；
（2）由已知可得函数false的定义域为false，且false，
由已知得false，即false，①
由false可得，false，②
联立①②，消去a，可得false，③
令false，则false，
由（1）知，false，故false，false在区间false单调递增，
注意到false，所以方程③有唯一解false，代入①，可得false，
false；
（3）证明：由（1）知false在区间false单调递增，
故当false时，false，false，
可得false在区间false单调递增，
因此，当false时，false，即false，亦即false，
这时false，故可得false，取false，
可得false，而false，
故false
false.
【小结】
本题主要考查利用导数研究函数的单调性以及不等式的证明，属于难题.不等式证明问题是近年高考命题的热点，利用导数证明不等主要方法有两个，一是比较简单的不等式证明，不等式两边作差构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出函数的最值即可；二是较为综合的不等式证明，要观察不等式特点，结合已解答的问题把要证的不等式变形，并运用已证结论先行放缩，然后再化简或者进一步利用导数证明.
50．已知函数false．
（1）证明：false；
（2）设false，false在false上的极值点从小到大排列为false，求证：false时，false．
【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析
【详解】
（1）false时，false，
故false在false上是减函数，
所以false；
（2）false，
故false，
令false，false，false，
在区间false上，false，
故false在false上仅有1个零点，设为false，
在false上，false为增函数，
false，
故false在false上仅有1个零点，
故false在false上仅有1个零点，设为false；
在false上，false为减函数，
false，
故false在false上仅有1个零点，
故false在false上仅有1个零点，设为false，
又在区间false上false，无零点，
故在一个区间false上，false有两个零点false，
且false，
false，false，
而false，
又false与false，
可得：false
∴false．
【小结】
本题考查用导数证明不等式，用导数研究函数极值．用导数证明不等式的关键在于问题的转化，如第（1）小题用导数研究函数的单调性，就可得出结论，有时可能要求出函数的最值，第（2）小题函数的函数的极值点转化为函数的零点，而函数false的零点又要通过一级导数false和二级导数false来研究，本题中不等式的证明还要利用正弦函数的性质才能最终证明，本题属于困难题．
1．已知函数false．
（1）求函数false的最大值；
（2）证明：false．
【答案】（1）false；（2）证明见解析.
【详解】
（1）函数false的定义域为false，且false.
当false时，false，此时函数false单调递增，
当false时，false，此时函数false单调递减.
所以，false；
（2）证明：由（1）可知，当false时，false，即false，
令false，则false，即false，
所以false【小结】
利用导数证明不等式问题，方法如下：
（1）直接构造函数法：证明不等式false（或false）转化为证明false（或false），进而构造辅助函数false；
（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；
（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.
2．已知函数false，求证：
（1）函数false有且仅有一个零点；
（2）false.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【详解】
（1）函数的定义域为false，显然false，
又false，
即false在false上单调递增，所以函数false存在唯一零点false.
（2）证明：由（1）可知，当false时，false，
即false，即false，
令false，则false，
即false，
所以false
falsefalse.
【点睛】
关键点点睛：运用（1）中的结论得到不等式false，令false得出不等式false是解题的关键.
3．曲线的曲率定义如下：若false是false的导函数，令false，则曲线false在点false处的曲率false．已知函数false，false，且false在点false处的曲率false．
（1）求false的值，并证明：当false时，false；
（2）若false，且false，求证：false．
【答案】（1）2，证明见解析；（2）证明见解析.
【详解】
（1）false，false，false，false，
false在点false，false处的曲率false，falsefalse，解得false．
当false时，false，
false，
令false，则false，
false在false时单调递增，false，false，false函数false在false上单调递增，false，因此false．
（2）证明：由（1）可得：false，
falsefalse，false，令false，则：false，
false要证明：false，
只要证明：false即可，
false时，左边false
false时，令false，falsefalse，false（2）false，
false在false上单调递减，false（2）false，
综上可得：false成立．
【小结】
本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、等价转化方法，解决本题的关键点是由（1）可得：false，将要证明的不等式转化为证明false，考查了学生推理能力与计算能力，属于难题．
4．已知关于false的函数false
（1）讨论false的单调性；
（2）证明：当false时，false
【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析.
【详解】
（1）由false得false
知当false时false在false上单调递减
当false时，false
false当false时false在false上单调递增，
当false时false在false上单调递减.
（2）由（1）知false时false在false上单调递减，在false上单调递增，
false，即有false，
false，
false
false
false
false
以上各式相加得false，
false
5．已知函数false，false．
（1）当false时，false恒成立，求实数false的取值范围；
（2）求证：false．
【答案】（1）false；（2）证明见解析.
【详解】
（1）设false，则当false时，false恒成立，
false
令false，
则false；
①当false时，false在false上恒成立，false在false上单调递减，
false，
false在false上恒成立，false在false上单调递减，
false，即false在false上恒成立，满足题意；
②当false时，令false，解得：false，
false当false时，false，false在false上单调递增，
false，即false在false上恒成立，
false在false上单调递增，false，
即当false时，false，不合题意；
③若false，则false，false在false上单调递增，
false，即false在false上恒成立，
false在false上单调递增，false，即false，不合题意；
综上所述：实数false的取值范围为false.
（2）证明：false，
false要证原不等式成立，只需证false；
由（1）知：当false时，若false，则false（当且仅当false时取等号），即false恒成立，
取false，则false，
即false，
false，则原不等式得证.
【小结】
本题考查利用导数解决不等式恒成立问题、证明不等式的问题；证明不等式的关键是能够根据对数运算将不等式进行转化，进而利用（1）中已得结论整理得到所证的不等式.
6．已知函数false，false.
（1）若false在false单调递增，求false的取值范围；
（2）若false，求证：false.
【答案】（1）false；（2）证明见解析.
【详解】
（1）因为函数false在false上单调递增，
所以false在false上恒成立，
则有false在false上恒成立，即false.
令函数false，false，
所以false时，false，false在false上单调递增，
所以false，
所以有false，即false，因此false.
（2）由（1）可知当false时，false为增函数，
不妨取false，则有false在false上单调递增，
所以false，即有false在false上恒成立，
令false，则有false，
所以false，
所以false，
因此false.
【小结】
方法点睛：(1)利用导数研究函数的单调性的关键在于准确判定导数的符号，当f(x)含参数时，需依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论．(2)若可导函数f(x)在指定的区间D上单调递增(减)，求参数范围问题，可转化为f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立问题，从而构建不等式，要注意“＝”是否可以取到．
7．已知函数false.
（1）求函数false的极小值；
（2）证明：对于任意正整数false，false(false为自然对数的底数).
【答案】（1）极小值false；（2）证明见解析.
【详解】
（1）易知false的定义域为false.
false，令false，解得false，
当false时，false；当false时，false，
所以false在false上单调递减，在false上单调递增，
故当false时，false在false上有极小值false.
（2）由（1）知当false时，false，
故当false时，false，
即当false时，false，即false.
令false得false，
从而false.
故false，
所以，对于任意正整数false，false成立.
【小结】
（1）求极值需研究函数的单调性；
（2）利用导数证明不等式的本质是利用导数判断单调性，利用单调性比较大小.
8．设函数false.
（1）讨论false的单调性；
（2）当false时，若false的最小值为false，证明：false.
【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析.
【详解】
（1）由题意函数false的定义域为false，
false，
当false时，false，
所以false在false上单调递减，在false上单调递增；
当false时，false，
所以false在false上单调递减，在false上单调递增.
（2）由（1）知false，
所以false，所以false，
即false，对于任意false恒成立，当且仅当false时，等号成立，
令false，则false，
整理得false，所以false.
【小结】
关键点睛：含有参数的单调性讨论，一般要注意定义和找准临介值，证明和数列有关的不等式，一是要注意结合单调性和最值找到恰当的不等式，二是不等式可加性或可乘性的运用.
9．已知函数false
（1）求函数的极值；
（2）①当false时，false恒成立，求正整数false的最大值
②证明：false
【答案】（1）答案见解析；（2）①3，②证明见解析.
【详解】
（1）定义域false
当false时，false，所以函数false在false上单调递增，无极值
当false时，false，得false得false
所以函数false在false上单调递减，在false上单调递增
此时函数false的极小值false无极大值
综上，当false时，函数false无极值;当false时，
函数false的极小值为false，无极大值.
（2）当false时，false恒成立，即只需false成立即可
由（1）可知
当false时，函数false在false上单调递减，在false上单调递增
（i）若false，即false时，false在false上单调递增，所以false满足题意
（ii）若false，即false，函数false在false上单调递减，在false上单调递增所以false
令false所以false在false上单调递增
又知false所以false使得false，则false的解集为false
综上false的取值范围为false，所以正整数false的最大值为false
②证明：两边取对数得false
即只需证false
由（i）知false
令false，则false
所以false
false
所以false
【小结】
本题证明false的关键在于先取对数得到false，再利用前面的结论得出一个不等式false，然后累加.
10．已知函数false.
（1）是否存在实数false，使得false为false的极值点？若存在，求出实数false的值；否则，请说明理由；
（2）若false，且false，求证：false.
【答案】（1）不存在，理由见解析；（2）证明见解析.
【详解】
（1）由false可得false，
若false是false的极值点，则false，即false，
false.当false时，false，false.
令false，则false，
由false可得false，当false时，false，当false时，false.
false在false上单调递减，在false上单调递增，
false在false处取极小值false，false，即false，
false在false上单调递增，
false没有极值，即不存在实数false，使得false为false的极值点；
（2）由（1）可知，当false时，false在false上单调递增.
false当false时，false，即false，即false.
false，即false，
(当且仅当false时，取等号)令false可得false，
false，false
false，……，false，
把以上各式相加可得
false，
即false.
【小结】
本题第二问关键是由false的结构，联想到指数化对数和数列累加法的应用，从而由false，得到false取对数，令false利用累加法二得解.
11．已知函数false（false即自然对数的底数）
（1）若函数false在false是单调减函数，求实数a的取值范围；
（2）在（1）的条件下，当false时，证明：false．
【答案】（1）false；（2）证明见解析．
【详解】
（1）∵函数false在false是单调减函数，
false在区间false上恒成立．false，可得false
false，即实数a的取值范围为false；
（2）由（1）得当false时，false在false上单调递减，false，
可得false，令false，可得false，
分别取false，
falsefalse，
即false，
可得false，对任意的false成立．
【小结】
本题考查利用导数证明数列不等式，解题的关键是根据false，得出false.
12．已知函数false．
（1）证明：false时false；
（2）证明：false时，false．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．
【详解】
（1）因为false，则false，
设false，则false，故false在false上为减函数，可得false，即false，故false在false上为减函数，故false；
（2）由（1）知：false时false，
可得：false
false
false，
当false时，false，
故false，
所以，false，
因此，false．
【小结】
利用导数证明不等式问题，方法如下：
（1）直接构造函数法：证明不等式false（或false）转化为证明false（或false），进而构造辅助函数false；
（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；
（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.
13．已知函数false，false为自然对数的底数）.
（1）求函数false的单调区间；
（2）记函数false的最小值为false，求false取最大值时实数false的值；
（3）在（2）的条件下，证明：false（其中false.
【答案】（1）递减区间为false，单调递增区间为false；（2）1；（3）证明见解析.
【详解】
（1）由题意false，false，由false，得false.
当false时，false；当false时，false.
false的单调递减区间为false，单调递增区间为false.
（2）由（1）知，当false时，false取得极小值，也为最小值，
其最小值为falsefalse.
由falsefalse，得false.
false在区间false上单调递增，在区间false上单调递减，
false在false处取得最大值，而falsefalse.
因此false取得最大值时，false
（3）证明：由（2）知，当false时，对任意实数false均有false，即false，即false.
令false，false，1，2，3，false，false，则false，
falsefalse，
falsefalse
false
【小结】
对于数列型的不等式的证明问题，需要给函数不等式合理赋值，得到一个简单数列不等式，然后通过累加累乘等方法得出答案.
14．设函数false，其中false.
（1）讨论函数false的单调性；
（2）当false且false时证明不等式：false.
【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析
【详解】
（1）false，
当false时，false，false在false上递增；
当false，false，解得，false，false，
①当false时，false，false，false，得false，false，得false，
②当false时，false，false，false，得false，false，false，得false；
综上可得，当false时，false的增区间为false；
当false时，false的增区间为falsefalse，false，减区间为false；
当false时，false的增区间为falsefalse，false，false，减区间为falsefalse，false；
（2）false时，false，
令false，false在false恒正，
false在false，false递增，false时，false，
即当false时，false，
即false，对任意的false为正整数，取false，有false，
则false
false
falsefalse
falsefalsefalse.
【小结】
解答本题的关键是由证明的不等式想到先证明当false时， false，取false，有false.
15．若函数false在false，false上为增函数.
（Ⅰ）求正实数false的取值范围.
（Ⅱ）若false，求证：false且false
【答案】（Ⅰ）false；（Ⅱ）证明见解析.
【详解】
（Ⅰ）由已知：false,依题意得：false对false，false恒成立，
false对false，false恒成立,false即：false
（Ⅱ）false，false，false在false，false上为增函数，
false时：false
即：falsefalsefalse
设false，
则false对false，false恒成立，false在false为减函数，falsefalse
false时：false，即：false
false综上所证：false且false成立.
【小结】
本题考查利用导数证明数列不等式，解题的关键是根据false在false，false上为增函数得false，再根据false为减函数得false.
16．已知函数false．
（1）求false的单调区间；
（2）设false，在（1）的条件下，求证：falsefalse．
【答案】（1）false单调递增区间为false，无递减区；（2）证明见解析.．
【详解】
（1）函数false的定义域为false
由false，得false
令false
false
即false在false上单调递减，在false上单调递增，
故false，于是false单调递增区间为false，无递减区
（2）证明：由（1）可知false在false上单调递增函数，又false，
false当false时，false，false
falsefalse
false
falsefalse
于是false得证．
【小结】
本题考查用导数求单调区间，用导数证明数列不等式．这类问题的解决，通常后一小题需要用到前一小题（或前面所有）的结论，通过变形，赋值等手段进行证明求解．如本题第（1）小题函数单调性得出不等式false，只要在此不等式中对false赋值false，false个不等式相加即可．
17．已知函数false.
（1）求证：false；
（2）求证：对于任意正整数false，false.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【详解】
（1）由题意得false当false时false，false单调增
当false时false，false单调减所以false的最小值为false，
所以false即false成立
（2）由（1）知false令false得false
所以falsefalse即false
所以false
【小结】
已知不等式证明问题常用的方法：
（1）证明false或false；
（3）构造两个函数false，证明false
18．已知函数false的图象在false处的切线斜率为false.
（1）求证：false时，false；
（2）求证：false.false.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【详解】
（1）false，
由题false，所以false.
故false，
在false上，易知false
方法一：false，
令false，知false在false单调递增，
所以false，也即false，
所以false在false上单调递减，false，
所以，在false得证；
方法二：false，
令false，知false在false单调递减，
所以false，知false在false单调递增，
所以false，也即false，
所以false在false上单调递减，false，
所以，在false得证；
方法三：false，
因为false，设false，显然false在false单调递增，false，所以false，
所以false在false单调递减，故false，因为false，
所以false.
（2）当false时，false，
因为false，所以false，
则false，由（1）知：false时，false，
令false，
所以false，
相加得false.
【小结】
方法点睛：导数解决函数最值问题，对于复杂函数，可以利用放缩的办法求得函数值恒成立，从而证得结论.
19．已知：对任意false，false恒成立
（1）求false的范围；
（2）证明：false．（参考数据：false，false，false，false，false）
【答案】（1）false；（2）证明见解析.
【详解】
（1）false，
令false，
当false时，false即false恒成立，故false在false单调递增，又false，故false恒成立，
当false时，由false，设false且false，则false时，false即false，因此在false上false单调递减，又false，故false时，false，不符合题意，
综上，false的取值范围为false．
（2）由（1）知，取false，当false时，false，
故对false，false，
∴false，
∴false．
【小结】
（1）恒成立求参数的范围的处理方法：①参变分离，转化为不含参数的最值问题；②不能参变分离，直接对参数讨论，研究false的单调性及最值；③特别地，个别情况下false恒成立，可转换为false（二者在同一处取得最值）.
（2）利用导数证明不等式的形式比较多，其本质是利用导数判断单调性，利用单调性比较大小.
20．已知函数false.
（1）求函数false的单调区间；
（2）若不等式false恒成立，求实数false的取值范围；
（3）当false时，求证：false.
【答案】（1）答案见解析；（2）false；（3）证明见解析.
【详解】
（1）falsefalse
①当false时，false，所以false在false上递增；
②当false时，令false，则false，
当false时，false；当false时，false，
所以false在区间false上递增，在false上递减.
（2）方法1：构造函数
falsefalse
①当false时，由（1）false在false上递增，又false，不符合题意，舍；
②当false时，由（1）知false在区间false上递增，在false上递减；
所以false，解得：false.
综上：false
方法2：分离参数
false恒成立，等价于false，false
设false，false，false，令false，false，则
当false时，false；当false时，false，
所以false在区间false上递增，在false上递减；
所以false，所以：false
（3）由(2)知，当false时，false恒成立，即false(仅当false时等号成立)
①当false时，false，即false；
所以，false，false，false，……，false；
上述不等式相加可得：false，
即：false，
即：false，false；
②当false时，false，即false，即false
所以，false，false，false，……，false；
上述不等式相加可得：false，
即：false，
即：false，false；
综上：当false时，false.
【小结】
此题考查导数的应用，考查利用导数求函数的单调区间，利用导数解决恒成立问题，考查累加法的应用，考查转化思想和计算能力，属于难题
21．已知数列false满足false，false．求证：当false时，
（Ⅰ）false；
（Ⅱ）当false时，有false；
（Ⅲ）当false时，有false．
【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）见解析（Ⅲ）见解析
【详解】
（Ⅰ）用数学归纳法进行证明．①当false时，false成立；
②假设当false时，有false成立，则当false时，有false，又false，故false，综上，可知当false时，均有false．
（Ⅱ）设false，则false恒成立，false在false上单调递增，所以false，即false．
因为false，即false，
当false时，由累乘法可得，false，
又false，即false，所以false；
因为false，即false，
当false时，由累乘法可得，false，
又false，即false，所以false，
故当false时，有false；
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知， false，即false，且false．
设false，false恒成立，
false在false上单调递增，所以false，所以false，
因为false，
即false，且false，
所以false，即false，
故有false，变形为false，
当false时，所以false，
又false，即false，所以false．
【小结】
本题主要考查数学归纳法的应用，通过函数的单调性对数列不等式进行放缩，以及累乘法的应用，意在考查学生的转化能力，数学建模能力，数学运算能力和逻辑推理能力，综合性强，属于难题．
22．冠状病毒是一个大型病毒家族，已知可引起感冒以及中东呼吸综合征（false）和严重急性呼吸综合征（false）等较严重疾病.而今年出现在湖北武汉的新型冠状病毒（false）是以前从未在人体中发现的冠状病毒新毒株.人感染了新型冠状病毒后常见体征有呼吸道症状、发热、咳嗽、气促和呼吸困难等.在较严重病例中，感染可导致肺炎、严重急性呼吸综合征、肾衰竭，甚至死亡.某医院为筛查冠状病毒，需要检验血液是否为阳性，现有n（false）份血液样本，有以下两种检验方式：方式一：逐份检验，则需要检验n次.方式二：混合检验，将其中k（false且false）份血液样本分别取样混合在一起检验.若检验结果为阴性，这k份的血液全为阴性，因而这k份血液样本只要检验一次就够了，如果检验结果为阳性，为了明确这k份血液究竟哪几份为阳性，就要对这k份再逐份检验，此时这k份血液的检验次数总共为false.假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是独立的，且每份样本是阳性结果的概率为p（false）.现取其中k（false且false）份血液样本，记采用逐份检验方式，样本需要检验的总次数为false，采用混合检验方式，样本需要检验的总次数为false.
（1）若false，试求p关于k的函数关系式false；
（2）若p与干扰素计量false相关，其中false（false）是不同的正实数，满足false且false（false）都有false成立.
（i）求证：数列false等比数列；
（ii）当false时，采用混合检验方式可以使得样本需要检验的总次数的期望值比逐份检验的总次数的期望值更少，求k的最大值
【答案】（1）false，（false，且false）；（2）（i）证明见解析；（ii）
【详解】
（1）由已知，false，false，得false，
false的所有可能取值为1，false，
∴false，false.
∴false.
若false，则false，
所以false，∴false，
∴false.
∴p关于k的函数关系式为false，（false，且false）.
（2）（i）∵证明：当false时，false，∴false，所以false，
令false，则false，
∵false，∴下面证明对任意的正整数n，false.
①当false，2时，显然成立；
②假设对任意的false时，false，下面证明false时，false；
由题意，得false，
∴false，
∴falsefalse，∴false，
所以false.∴false或false（负值舍去）.
∴false成立.∴由①②可知，对任意的正整数n，false，
所以false，所以false为等比数列.
（ii）解：由（i）知，false，false，
∴false，得false，∴false.
设false（false），false，
∴当false时，false，则false在false上单调递减；
又false，false，所以false，
false，false，所以false，
false，false，∴false；
false，false.∴false.
∴k的最大值为4.
【小结】
本题考查了对立事件的概率公式，考查了离散型随机变量的期望公式，考查了数学归纳法，考查了等比数列的定义，考查了利用导数解决不等式恒成立问题，属于难题.
23．已知函数false．
（Ⅰ）若对任意false，都有false成立，求false的取值范围；
（Ⅱ）证明：false．
【答案】（Ⅰ）false；（Ⅱ）见解析
【详解】
（Ⅰ）当false时，false，不合题意．
当false时，false，令false，得false，false.若false，则有false在false上单调递减，false，不合题意.所以false，且false，解得false，所以false的取值范围是false．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当false时，对false，都有false，即false．
所以false．
因为false；false
falsefalse．
于是falsefalse．
【小结】
本小题主要考查利用导数研究不等式恒成立问题，考查放缩法证明不等式，考查分类讨论的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题.
24．已知函数false
（1）若false在[1，+∞)上恒成立，求a的取值范围．
（2）证明：false
【答案】（1）false；（2）见解析．
【详解】
（1）设false，false，
false，即false时，false恒成立，false在false上是增函数，
∴false，∴false满足题意，
false时，false有两个不等实根false，false，false，
不妨设false，则false，
当false时，false，false递减，false时，false，false递增，
∴在false时，false，
false，又false，false，
∴false，
令false，false，
∴false在false上递减，
∴false，false在false上不恒成立，
综上，false．即false的取值范围是false．
（2）由（1）false时，false，且当false时，false，
令false，则有false，
∴false，false，
这false个不等式相加得false，
整理得false．证毕．
【小结】
本题考查用导数研究不等式恒成立问题，用导数证明不等式，不等式恒成立问题常常转化为研究函数的最值，为了研究导函数的正负，可能对导函数（或其中一部分构成的新函数）再求导，确定正负，确定单调性．
25．已知函数false.
（1）求函数false的单调递减区间；
（2）若关于x的不等式可false对于任意false成立，求实数a的取值范围；
（3）证明：false.
【答案】（1）见解析（2）见解析（3）见解析
【详解】
（1）由题意，得false，
令false，即false，解得false，
所以，函数false的单调递减区间为false.
（2）由（1）得false，则不等式false转化为
false，即false对任意false成立，
令false，false，则false，
当false时，false；当false时，false，
所以，false在false时取最大值，此时false，即false
故实数a的取值范围为false.
（3）先证：false，对任意false恒成立，令false，false，则false恒成立，即false在false上单调递减，所以，false，又false，
所以，false，即false对任意false恒成立，
所以，对任意false，总有false，
则false，
先证false，即证false，即证false，
又false，则false，即证false，
而false，而false显然成立，
即false成立，
所以，当false时，
false，
即false.
【小结】
本题考察了函数的单调性，导数的应用，不等式的证明，参变分离思想，不等式放缩，属于难题.
26．设l为曲线C：false在点false处的切线.
（1）求l的方程；
（2）证明：除切点false之外，曲线C在直线l的下方；
（3）求证：false（其中false，false）.
【答案】（1）false（2）见解析（3）见解析
【详解】
（1）设false（false），则false（false），
从而曲线在点false处的切线斜率为false，
于是切线方程为false，即false，
因此直线l的方程为false.
（2）令false（false），
则除切点false之外，曲线C在直线l的下方等价于false（任意false，false）恒成立.
false满足false，且false（false，false），
当false时，false，false，从而false，于是false在false单调递减；
当false时，false，false，从而false，于是false在false单调递增.
因此false（任意false，false），除切点false之外，曲线C在直线l的下方.
（3）方法1 由（2）可知false（任意false，false）.
令false得false，即false.
则false，false，…，false.
将以上各式相加得falsefalse，
当false，false时，false，
false，
falsefalse，
所以当false，false时，false，结论成立.
方法2：用数学归纳法证明：
①当false时，左边false，右边false，左边false右边，不等式成立.
②假设当false（false，false）时，不等式成立，
即false，
当false时，falsefalse，
只需证明false（*）
false
false（**）.
由（2）可知false（任意false，false），
则false（false）.
又当false，false时，false，
false，
false（false）.
所以（**）成立，从而（*）成立.
false时，不等式成立.
由①②可知，当false，false时，false成立.
【小结】
本题主要考查的是导数的几何意义的应用，以及利用导数研究函数的单调性和最值，放缩法证明不等式，数学归纳法的应用，考查的是分析问题的能力以及计算能力，是难题.
27．已知函数false．
（1）若false对false恒成立，求实数false的取值集合；
（2）在函数false的图象上取定点false，记直线AB的斜率为false，证明：存在false，使false成立；
（3）当false时，证明：false．
【答案】（1）false；（2）证明见解析；（3）证明见解析.
【详解】
（1）false，
令false，当false，
当false时，false取得极大值，
亦为最大值，false，
false，设false，
令false.
false，又false，
false；
（2）false，
false，
false，令false，false，
当false，
false，同理false，函数false连续不断，故存在false，使得false，即存在false，使false成立；
（3）设false，
当false时，false在false递增，
false，令false
false，
false
【小结】
本题考查导数的综合应用，涉及不等式恒成立最值问题、函数零点、数列不等式的证明，解题的关键是构造函数，导数性质的合理运用，属于难题.
28．已知函数false.
（1）若不等式false在false上有解，求false的取值范围；
（2）若false对任意的false均成立，求false的最小值.
【答案】（1）false；（2）false .
【详解】
（1）false，由定理可知，
函数false的单调递增区间为false，递减区间为false .
故false，
由题意可知，当false，
解得false，故false；
当false，由false函数的单调性，
可知在false恒单调增，且恒大于零，故false无解；
综上：false；
(2)当false时，false,
false,false，false且false，
false ，
false
false
false ，false ，false的最小值为false .
【小结】
本题考查用导数研究证明不等式，研究不等式恒成立问题．解题中一要求有较高的转化与化归能力，二要求有较高的运算求解能力．第（1）小题中在解不等式false时还要用到分类讨论的思想，第（2）小题用到放缩法，而且这里的放缩的理论根据就是由第（1）小题中函数false的性质确定的，发现问题解决问题的能力在这里要求较高，本题难度较大．
29．已知函数false.
（1）当false时，不等式false恒成立，求实数false的取值范围；
（2）证明：false，false.
【答案】（1）false；（2）证明见解析.
【详解】
（1）解：不等式false，等价于false，
记false，∴false，
令false，则false，∵false，∴false，
∴false在false上单调递增，∴false，从而false，
故false在false上单调递增，∴false，故false；
（2）证明：由（1）可知当false时，取false，false，则false，即false恒成立，
则当false时，false恒成立，当且仅当false时取等号，
令false，则false，
∴当false时，false，
当false时，false，
……
false，
上式相加可得false，
即false，原不等式得证.
【小结】
本题主要考查了导数的应用，利用导数讨论函数的单调性得不等关系，进而真么数列问题，本题的难点是第二问要利用第一问的结论得false，属于难题.
30．已知函数false
(1)判断函数false在false上的单调性
(2)若false恒成立，求整数false的最大值
(3)求证：false
【答案】（1）函数false在false上为减函数 （2）整数false的最大值为3 （3）见解析
【详解】
（1）因为false，所以false，false，
又因为 false，所以false，false，所以 false，
即函数false在false上为减函数；
（2）由false恒成立，即false恒成立，
即false，设false，
所以false，false，令false，
则false，即false在false为增函数，
又false ，false，
即存在唯一的实数根false，满足false，且false，false，
当false时，false，false，当false时，false，false，
即函数false在false为减函数，在false为增函数，
则false，
故整数false的最大值为3；
（3）由（2）知，false，false，令false，
则 false，
falsefalse=false，
故false.
【小结】
本题考查了利用导数判断函数的单调性、构造函数求解不等式恒成立问题及利用证明的结论证明不等式，属综合性较强的题型.
31．已知函数falsefalse.
（1）若false对false都成立，求false的取值范围；
（2）已知false为自然对数的底数，证明：falsefalseNfalse，falsefalsefalse.
【答案】（1）false；（2）证明见解析.
【解析】（1）解：∵false，其定义域为false,
∴false.
① 当false时，false，当falsefalse时，false，
则false在区间false上单调递减，此时，false，不符合题意.
② 当false时，令false，得false，false，
当falsefalse时，false，则false在区间false上单调递减，
此时，false，不符合题意.
③ 当false时，false，当falsefalse时，false，
则false在区间false上单调递增，此时，false，符合题意.
④ 当false时，令false，得false，false，当falsefalse时，false，
则false在区间false上单调递增，此时，false，符合题意.
综上所述，false的取值范围为false.
（2）证明：由（1）可知，当false时，false对false都成立，
即false对false都成立.
∴false.
即falsefalse.
由于falseNfalse，则false.
∴falsefalse.
∴falsefalse.
由（1）可知，当false时，false对false都成立，
即false对false都成立.
∴false.
即false.
得false
由于falseNfalse，则false.
∴falsefalsefalse.
∴falsefalse.
∴falsefalsefalse.
【小结】
用导数判断函数的单调性；2、参数的取值范围；3、用导数证明不等式；4、放缩法.
32．已知函数false .
（1）若函数false与false的图象恰好相切与点false，求实数false 的值；
（2）当false时，false恒成立，求实数false的取值范围；
（3）求证：false .
【答案】（1）false（2）false（3）见解析
【解析】
（1）false所以false
（2）方法一：（分参）
即false时，false，false时，显然成立；
false时，即false
令false，则false
令false[]
false
false即false
false在false上单调递减
false
故false
方法二：（先找必要条件）
注意到false时，恰有false
令false
则false
false在false恒成立的必要条件为false
即false
下面证明：当false时，false
false
令false
false即false
false在false递减，
false恒成立，即false也是充分条件，故有false.
（3）不妨设false为false前false项和，则false
要证原不等式，只需证false
而由（2）知：当false时恒有false
即false当且仅当false时取等号
取false，则false
即false即false
即false成立，从而原不等式获证.
【小结】
对于求不等式成立时的参数范围问题，在可能的情况下把参数分离出来，使不等式一端是含有参数的不等式，另一端是一个区间上具体的函数，这样就把问题转化为一端是函数，另一端是参数的不等式，便于问题的解决.但要注意分离参数法不是万能的，如果分离参数后，得出的函数解析式较为复杂，性质很难研究，就不要使用分离参数法.
33．已知函数false，false．
（Ⅰ）若函数false与false的图像在点false处有相同的切线，求false的值；
（Ⅱ）当false时，false恒成立，求整数false的最大值；
（Ⅲ）证明：falsefalse．
【答案】(Ⅰ)false；（Ⅱ）false；（Ⅲ）证明见解析.
【解析】
试题分析：(Ⅰ)求出false与false，由false且false解方程组可求false的值；（Ⅱ）false恒成立等价于false恒成立，先证明当false时恒成立，再证明false时不恒成立，进而可得结果；（Ⅲ））由false，令false，
即false，即false，令false ，各式相加即可得结果.
试题解析：(Ⅰ)由题意可知，false和false在false处有相同的切线，
即在false处false且false，
解得false.
（Ⅱ）现证明false，设false，
令false，即false，因此false，即false恒成立，
即false，同理可证false.
由题意，当false时，false且false，
即false，即false时，false成立.
当false时，false，即false不恒成立.因此整数false的最大值为2.
（Ⅲ）由false，令false，
即false，即false
由此可知，当false时，false，
当false时，false，
当false时，false，
……
当false时，false.
综上：false
false
false.
即false.
34．设false，曲线false在点false处的切线与直线false垂直．
（1）求false的值；
（2）若对于任意的false， false恒成立，求false的取值范围；
（3）求证： false．
【答案】（Ⅰ）false（Ⅱ）false（Ⅲ）详见解析
【解析】（Ⅰ）先求导数，再根据导数几何意义列方程，解方程可得false的值；（Ⅱ）不等式恒成立问题，一般转化为对应函数最值问题，本题去分母转化为差函数： false，因为false，所以false最大值不小于false，根据false导函数符号可得false才满足条件.（Ⅲ）不等式证明中涉及求和问题，一般方法为适当放缩，再利用裂项相消法给予证明.本题由（Ⅱ）知，当false时, false时, false成立，所以放缩这一难点已暗示，下面只需令false得false，即false，最后叠加可得证.
试题解析：（Ⅰ） false
由题设false，∴false false.
（Ⅱ）false,false， false，即false
设false，即false.
false false
①若false， false，这与题设false矛盾
②若false当false, false单调递增， false，与题设矛盾.
③若false当false， false单调递减， false，即不等式成立
综上所述， false .
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当false时, false时, false成立.
不妨令false所以false，
false
false
false
…………
false
累加可得
∴false
【小结】
利用导数解决不等式恒成立问题的“两种”常用方法
(1)分离参数法：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的最值，根据要求得所求范围.一般地， false恒成立，只需false即可； false恒成立，只需false即可.(2)函数思想法：将不等式转化为某含待求参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的极值(最值)，然后构建不等式求解.
35．已知f（x）=x-false（a>0），g（x）=2lnx+bx且直线y=2x－2与曲线y=g（x）相切．
（1）若对[1，+false）内的一切实数x，小等式f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围；
（2）当a=l时，求最大的正整数k，使得对[e，3]（e=2．71828是自然对数的底数）内的任意k个实数x1，x2，，xk都有false成立；
（3）求证：false．
【答案】（1）；（2）的最大值为．（3）见解析．
【详解】
试题分析：（1）设点为直线与曲线的切点，则有． （*）
，． （**）
由（*）、（**）两式，解得，．
由整理，得，
，要使不等式恒成立，必须恒成立．
设，，
，当时，，则是增函数，
，是增函数，，
因此，实数的取值范围是．
（2）当时，，
，在上是增函数，在上的最大值为．
要对内的任意个实数都有
成立，必须使得不等式左边的最大值小于或等于右边的最小值，
当时不等式左边取得最大值，时不等式右边取得最小值．
，解得．
因此，的最大值为．
（3）证明（法一）：当时，根据（1）的推导有，时，，
即．
令，得，
化简得，
．
（法二）数学归纳法：当时，左边=，右边=，
根据（1）的推导有，时，，即．
令，得，即．
因此，时不等式成立．
（另解：，，，即．）
假设当时不等式成立，即，
则当时,，
要证时命题成立，即证，
即证．
在不等式中，令，得
．
时命题也成立．
根据数学归纳法，可得不等式对一切成立．
考点：函数的性质；导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；数学归纳法．
【小结】
本题主要考查导数的几何意义及其应用和数学归纳法等综合知识，考查学生的计算推理能力及分析问题、解决问题的能力及创新意识．对学生的能力要求较高，尤其是分析问题解决问题的能力．（2）解决恒成立问题常用变量分离法，变量分离法主要通过两个基本思想解决恒成立问题， 思路1：在上恒成立；思路2:在上恒成立．
36．已知函数false，（false ）,常数false.
(Ⅰ)试确定函数false的单调区间；
(Ⅱ)若对于任意false恒成立，试确定实数false的取值范围；
(Ⅲ)设函数false，求证：false（false）
【答案】(Ⅰ)单调递增区间是false，单调递减区间是false (Ⅱ)false (Ⅲ)证明见解析
【详解】
(Ⅰ) 对函数求导得false 且定义域为false
当false时,即有false ,所以false的单调递增区间是false
当false时,即有false ,所以false的单调递减区间是false
(Ⅱ)若false，函数false在false递增，故只要false即可.
若false，函数false在false递减，在false递增，故只要false ,即false 若false时,false,此时对false故实数false的取值范围是false
(Ⅲ)证明：false
false
因为false false false
false false false所以false
false
false
false
false
式子左右分别相乘可得
falsefalse
原式得证
【小结】
本题考查了导数在函数单调性中的应用,应用导数证明不等式恒成立,分类讨论求参数的取值范围,是高考的重点难点,属于难题.
37．已知函数false.
（1）证明：false时，false；
（2）证明：false.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【分析】
（1）由false，即false在定义域内为增函数，即可证明结论.
（2）根据（1）结论，令false可得false，将false所得的n个式子相加，结合对数运算性质、放缩法即可证不等式.
【详解】
（1）false时，false，
故false为增函数，false；
（2）由（1）知：false，
令false时，有false，
故false，false，…，false，
将false式相加得：falsefalse，
∴false.
【小结】
（1）利用函数的导函数确定函数单调性证明函数不等式.
（2）由（1）结论，令false有false，应用累加求和求证不等式.
38．已知函数false.
（1）讨论false的零点个数；
（2）求证：对一切false均有false成立，其中false为自然对数的底数.
【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析.
【详解】
（1）false的定义域为false，令false，则false.
当false时false；当false时，false，
false在(false单调递减，在false单调递增，
false的最小值为false.
当false时，false，此时false无零点.
当false时，false，此时false只有一个零点.
当false时，false，false，又false，
false在false上有且只有一个零点.
false，令false，
false，false，false，
false，false，false，
所以false在false上有且只有一个零点.
综上：当false时，函数无零点；
当false时，函数有且只有一个零点；
当false时，函数有两个零点.
（2）由（1）知：当false时，false，false，
令false，则false，
即false，所以false，
令false，则false，
即false，所以false，
所以false，
所以false，
所以对一切false均有false成立.
【小结】
方法点睛：（1）由证明的结果逆推，如果通项公式成立，则和必然成立；
（2）由和找到通项公式，结合第（1）问的结论，对false赋值；
（3）证明通项公式成立；
（4）推导求和成立，写出结论.
39．已知函数false, 其中false.
（1）求函数false的单调区间；
（2）证明：当false时，false恒成立.
【答案】（1）见解析.（2）见解析
【解析】
（1）：定义域为false
false，
解得false，
当false时：false在false递减，在false递增；
当false时：false在false递增，在false递减，在false递增；
当false时：false在false递增；
当false时：false在false递增，在false递减，在false递增；
（2）当false时，false在false递减，在false递增
则false
得到false，
当false时false
累加得到：当false
false原不等式得证.
【小结】
（思路点评：看结论可知需要累加，右边需要列项相消，赋值时考虑二次函数处需要凑出false或false就能方便取倒数后裂项相消，尝试后选择false）.本题主要考查利用导数求函数的单调区间，利用构造法证明数列不等式，还考查了分类讨论的数学思想方法和化归与转化的数学思想方法.第一问研究函数的单调性，要先求定义域，求导通分后进行因式分解，此时导函数有两个零点，对零点的分布进行讨论得到函数的单调区间.第二问在第一问的基础上，取false的一个特殊值构造不等式来证明.
40．已知函数false，false.
（1）求false的单调区间；
（2）当false时，证明：false；
（3）证明：false.
（参考数据：自然对数的底数false）
【答案】见解析；
【详解】
（1）解：函数false的定义域为false，
又∵false，
∴当false时，false，当false时，false，
∴false的单调减区间为false，单调增区间为false；
（2）证明：要证明false，即证明false.
设false，
故false，false，
当false时，false，故false在false递增.
故false，false在false递增，
故false恒成立，
故当false时false，即有false；
（3）证明：false（false，false）.
即证明false，
由（1）可知false在false单调递增，故false对于false恒成立，
∵false，false，false，∴false，
而依据第（2）问，当false时，false，
故false时，false，
故false
false
false
false
又∵false，∴false，即false，
故false，
∴false（false，false）.
41．已知函数false（false）.
（1）讨论false的单调性.
（2）证明：当false时，false（false）.
【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析.
【详解】
（1）false的定义域为false.
false（false），
当false时，令false，得false或false；令false，得false，
false在区间false，false上单调递增，在区间false上单调递减.
当false时，false，false在区间false上单调递增.
当false时，令false，得false或false；令false，得false，
false在区间false，false上单调递增，在区间false上单调递减.
当false时，令false，得false；令false，得false，
false在区间false上单调递增，在区间false上单调递减.
综上，当false时，false在区间false，false上单调递增，在区间false上单调递减；
当false时，false在区间false上单调递增，无单调递减区间；
当false时，false在区间false，false上单调递增，在区间false上单调递减；
当false时，false在区间false上单调递增，在区间false上单调递减.
（2）证明：当false时，由（1）可知，false在区间false上单调递增，在区间false上单调递减，false，
false，即false.
当false时，false，
令false，得
false，
false，
false，…，
false，
以上各式两端分别相加，得
false，
false（false）.
【小结】
本题考查利用导数研究函数的单调性，利用导数证明不等式，属于难题.
42．已知函数false．
（1）讨论false的单调性；
（2）求证：当false时，false；
（3）设false是整数，对于任意的正整数false，有false，求false的最小值．
【答案】（1）当false时，false在false上单调递增；当false时，false在false上单调递增，在false上单调递减；（2）证明见解析；（3）3．
【详解】
（1）解：falsefalse，
若false，则false恒成立，false在false上单调递增；
若false，令false，则false，
当false时，false，false单调递增，
当false时，false，false单调递减，
综上所述，当false时，false在false上单调递增；
当false时，false在false上单调递增，在false上单调递减；
（2）证：由（1）知，当false时，false在false上单调递增，在false上单调递减，
falsefalsefalsefalse，
于是需要证明false，
令false，则false，
当false时，false，false在false上单调递减，
当false时，false，false在false上单调递增，
false当false时，函数false取得最小值false，
false，即false（当且仅当false时，等号成立），
false，
falsefalse，
故当false时，false；
（3）解：由（2）可得，false（当且仅当false时，等号成立），
令false，得false，false，
falsefalsefalsefalse，
即false．
又false，
false当false时，false，
false，false，
false的最小值为3．
【小结】
本题主要考查利用导数研究函数的单调性、恒成立问题和不等式的证明，还涉及等比数列的前false项和公式、对数的运算法则等基础知识，将函数的恒成立问题转化为函数的最值问题，以及充分利用放缩法是解题的关键，考查学生的转化与化归思想、逻辑推理能力和运算能力，属于难题．
43．已知false（false）
（1）若false对false恒成立，求实数a范围；
（2）求证：对false，都有false.
【答案】（1）false；（2）证明见解析.
【详解】
（1）false，
当false时，false对false恒成立，则false在false上单调递增，
由false，与题设矛盾
当false时，由false，得false，由false，得false
false在false单调递减，在false单调递增.
false对false成立
令false（false）
false（false）
由false，得false；由false，得false.
false在false单调递增，在false单调递减
false
false只有false适合题意
综上，a的取值范围是false.
（2）由（1）可知，false时，false，则false
false，
令false（false，2，3，…，n），则false（false，2，3，…，n）
false
false
由false，知false，则false，
false
【小结】
本题考查了利用导数解决不等式恒成立问题，考查了利用导数证明不等式问题，考查了数学运算能力.
44．false
（1）求false在false上的单调区间；
（2）当false时，设函数false，false时，证明false．
（3）证明：false．
【答案】（1）见解析（2）见解析（3）见解析
【详解】
（1）由题意得：false，
①当false时，false在false上恒成立，
false的单调递减区间为false，无单调递增区间；
②当false时，令false，解得：false或false（舍），
false当false时，false；当false时，false；
false的单调递增区间为false，单调递减区间为false；
③当false时，false在false上恒成立，
false的单调递增区间为false，无单调递减区间；
④当false时，令false，解得：false（舍）或false
false当false时，false；当false时，false；
false的单调递增区间为false，单调递减区间为false；
综上所述：当false时，false的单调递减区间为false，无单调递增区间；
当false时，false的单调递增区间为false，单调递减区间为false；
当false时，false的单调递增区间为false，无单调递减区间；
当false时，false的单调递增区间为false，单调递减区间为false.
（2）由题意得：false，
false，false，即false，
要证false，需证false，即证false，
设false，则要证false，等价于证：false，
令false，则false，
false在区间false内单调递增，false，
即false，故false.
（3）由（1）知：当false时，false在false上为增函数，false，
即false，
令false， 可得：false，
即false，
falsefalse，
则false，false，false，false，false，
不等式左右分别相加得：
falsefalsefalse，不等式得证.
【小结】
本题考查导数在研究函数中的应用，涉及到讨论含参数函数的单调性、双变量问题的处理、不等式的证明；解决导数中的双变量问题的常用方法是引入第三个变量，从而将所证不等式转化为关于第三个变量的函数最值的求解问题，从而利用导数来进行求解，属于难题.
45．已知函数false.
（1）讨论false的单调性；
（2）证明：false.注：false为自然对数的底数.
【答案】（1）当false时，false在false内单调递增；当false时，false在false内单调递减，在false内单调递增.（2）证明见解析；
【详解】
（1）解：∵false，∴false.
①若false，则false，
∴false在false内单调递增；
②若false，则false在false内单调递增，且false，
∴当false时，false；当false时，false，
∴false在false内单调递减，在false内单调递增.
综上所述，当false时，false在false内单调递增；
当false时，false在false内单调递减，在false内单调递增.
（2）证明：当false时，false，
由（1）知false，∴false，当且仅当false时，等号成立，
令false，易知false，
∴false，
从而false，
false，
false
false，
累加可得false，
即false，
∴false，证毕.
【小结】
本题考查利用导数求false的单调性，考查不等式的证明，考查列项相消法求和，考查数学分类讨论的思想，考查指数的运算，属于综合性比较强的中档题.
46．已知数列false满足:false
（1）证明:false
（2） 证明:false
【答案】(1)见解析;(2)见解析.
【分析】
(1) 设false,通过导数分析得, false时,false,从而证明false.
(2)设false，代入已知条件得false，从而结合累加法可知false，结合导数易知false递增，可得false，令false，从而得false，通过累加法可证false，由false，结合false可证明false，从而可证false.
【详解】
(1)证明:设false 则false
解得:false.当false 时,false;当false 时, false.
所以当false时,false.
false则false 所以false,false.
（2）证明：设false，则false.由false可知false，即
false，从而可得false，结合累加法可知，
false.设false ，
则false ，所以false，即false.
当false 时，false，即false.
于是false，false，…，
false .将所有式子相加得false
所以false.所以
false，
所以false
false.即false ，
所以false
【小结】
本题考查了利用导数对函数最值的求解,考查了累加法求通项公式，考查了裂项求和，考查了放缩法.利用导数求最值时,一般首先确定函数的定义域,令导数为0,解方程,讨论导数与函数随自变量的变化,从而得到最值点.易错点是忽略了定义域.本题难点在于第二问中，不等式右边式子的构造.
47．设函数false．
（1）求false的单调区间；
（2）设false，且false有两个极值点false其中false，求false的最小值；
（3）证明：false＞false（n∈N*，n≥2）．
【答案】（1）详见解析；（2）false；（3）证明详见解析.
【详解】
（1）false的定义域为false.
①当false时，false恒成立，false在定义域false上单调递增；
②当false时，令false得false，
（ⅰ）当false时，即false时，false恒成立，
所以false在定义域false上单调递增；
（ⅱ）当false时，即false时，false的两根为false或false，
当false时，false单调递增，
当false时，false单调递减，
当false时，false单调递增，
综上，当false，false在定义域false上单调递增，无递减区间；
当false时，false的递增区间为false，false，
递减区间为false
（2）（2）false的定义域为false，
令false，得false，其两根为false，且false，所以false
所以false
false.
设false，
则false，
因为false，
当false时，恒有false，当false时，恒有false，
总之，false时，恒有false，所以false在false上单调递减，
所以false，所以false.
（3）因为false，
所以要证
false即证明false，false，
令false，
则false，即证false，
由（1）知，false时，false在false 单调递增，所以false，
所以false.
【小结】
本题考查了利用导数研究函数单调性，极值与最值，应用了分类讨论的思想，利用韦达定理统一变量，注意对自变量范围的限制，证明不等式可以采用分析法，重点考查分类讨论，转化与化归的思想，考查了推理论证，分析问题和解决问题的能力，综合性强，计算量大，难点大，对能力比较高.
47．已知false，false，直线false，false，false与曲线false所围成的曲边梯形的面积为false.其中false，且false.
（1）当false时，false恒成立，求实数false的值；
（2）请指出false，false，false的大小，并且证明；
（3）求证：false.
【答案】（1）1；（2）false，证明见解析；（3）见解析
【详解】
（1）由已知得false时，不合题意，所以false.
false恒成立，即false恒成立.
令false，false.
当false时，false在false上为增函数，此时false成立.
当false时，false在false上为减函数，不合题意，所以false.
令false，false，当false时，false在false上为增函数，此时false，false恒成立.
当false时，false在false上为减函数，不合题意，所以false.
综上得false.
（2）由（1）知false.令false，得false，
从而false，
又因为false，则false.
（3）由已知false
falsefalse，
因为false，所以
false
false，
false
false.
从而false.
【小结】
本题考查了定积分的几何意义、不等式的恒成立问题、对数的运算等，考查的核心素养是逻辑推理、数学运算，属于难题.
49．已知函数false，函数false，其中false，false是false的一个极值点，且false.
（1）讨论false的单调性
（2）求实数false和a的值
（3）证明false
【答案】（1）false在区间false单调递增；（2）false；（3）证明见解析.
【详解】
（1）由已知可得函数false的定义域为false，且false，
令false，则有false，由false，可得false，
可知当x变化时，false的变化情况如下表：
false
false
1
false
false
-
0
+
false
false
极小值
false
false，即false，可得false在区间false单调递增；
（2）由已知可得函数false的定义域为false，且false，
由已知得false，即false，①
由false可得，false，②
联立①②，消去a，可得false，③
令false，则false，
由（1）知，false，故false，false在区间false单调递增，
注意到false，所以方程③有唯一解false，代入①，可得false，
false；
（3）证明：由（1）知false在区间false单调递增，
故当false时，false，false，
可得false在区间false单调递增，
因此，当false时，false，即false，亦即false，
这时false，故可得false，取false，
可得false，而false，
故false
false.
【小结】
本题主要考查利用导数研究函数的单调性以及不等式的证明，属于难题.不等式证明问题是近年高考命题的热点，利用导数证明不等主要方法有两个，一是比较简单的不等式证明，不等式两边作差构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出函数的最值即可；二是较为综合的不等式证明，要观察不等式特点，结合已解答的问题把要证的不等式变形，并运用已证结论先行放缩，然后再化简或者进一步利用导数证明.
50．已知函数false．
（1）证明：false；
（2）设false，false在false上的极值点从小到大排列为false，求证：false时，false．
【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析
【详解】
（1）false时，false，
故false在false上是减函数，
所以false；
（2）false，
故false，
令false，false，false，
在区间false上，false，
故false在false上仅有1个零点，设为false，
在false上，false为增函数，
false，
故false在false上仅有1个零点，
故false在false上仅有1个零点，设为false；
在false上，false为减函数，
false，
故false在false上仅有1个零点，
故false在false上仅有1个零点，设为false，
又在区间false上false，无零点，
故在一个区间false上，false有两个零点false，
且false，
false，false，
而false，
又false与false，
可得：false
∴false．
【小结】
本题考查用导数证明不等式，用导数研究函数极值．用导数证明不等式的关键在于问题的转化，如第（1）小题用导数研究函数的单调性，就可得出结论，有时可能要求出函数的最值，第（2）小题函数的函数的极值点转化为函数的零点，而函数false的零点又要通过一级导数false和二级导数false来研究，本题中不等式的证明还要利用正弦函数的性质才能最终证明，本题属于困难题．
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